集合的运算(交集、并集)

(1)集合的运算（交集、并集）上海市松江一中潘勇一、教学内容分析本小节的重点是交集与并集的概念，只要结合图形，抓住概念中的关键词“且”、“或”，理解它们并不困难。

可以借助代数运算帮助理解“且”、“或”的含义：求方程组的解集是求各个方程的解集的交集，求方程的解集，则是求方程和的解集的并集。

本小节的难点是弄清交集与并集的概念及符号之间的联系和区别。

突破难点的关键是掌握有关集合的术语和符号、简单的性质和推论，并会正确地表示一些简单的集合。

利用数形结合的思想，将满足条件的集合用维恩图或数轴一一表示出来，从而求集合的交集、并集、补集，这是既简单又直观且是最基本、最常见的方法，要注意灵活运用．二、教学目标设计理解交集与并集的概念; 掌握有关集合运算的术语和符号，能用图示法表示集合之间的关系,会求给定集合的交集与并集；知道交集、并集的基本运算性质。

发展运用数学语言进行表达、交流的能力。

通过对交集、并集概念的学习，提高观察、比较、分析、概括等能力。

三、教学重点及难点交集与并集概念、数形结合思想方法在概念理解与解题中运用；交集与并集概念、符号之间的区别与联系。

四、教学流程设计五、教学过程设计一、复习回顾思考并回答下列问题1、子集与真子集的区别。

2、含有n个元素的集合子集与真子集的个数。

3、空集的特殊意义。

二、讲授新课关于交集1、概念引入（1）考察下面集合的元素，并用列举法表示（课本p12）A=}{的正约数为xx15x B=}10为{的正约数xC=}xx为1015{的正公约数与解答：A={1，2，5，10}，B={1，3，5，15}，C={1，5}[说明]启发学生观察并发现如下结论：C中元素是A与B 中公共元素。

（2）用图示法表示上述集合之间的关系A B2，10 1，5 3，152、概念形成交集定义一般地，由集合A和集合B的所有公共元素所组成的集合，叫做A与B的交集。

记作A∩B（读作“A交B”），即：A∩B={x|x ∈A且x∈B}（让学生用描述法表示）。

交集的图示法B B A A B A ⊂≠⊂≠⋂⋂, B A B A ⊂=⋂ φ=⋂B A请学生通过讨论并举例说明。

3、概念深化交集的性质（补充）由交集的定义易知，对任何集合A ，B ，有：A ∩A=A ，A ∩U=A ，A ∩φ=φ；②A ∩B ⊆A ，A ∩B ⊆B ；③A ∩B=B ∩A ；④A ∩B ∩C=（A ∩B ）∩C= A ∩（B ∩C ）；⑤A ∩B=A ⇔A ⊆B 。

4、例题解析例1：已知}21{≤<-=x x A ，B=}02{<≤-x x ，求B A ⋂。

(补充)解：}01|{<<-=x x B A I[说明]①启发学生数形结合，利用数轴解题。

②求交集的实质是找出两个集合的公共部分。

例2：设A={x|x 是等腰三角形}，B={x|x 是直角三角形}，求A ∩B 。

（补充）解：A ∩B={x|x 是等腰三角形}∩{x|x 是直角三角形}={x|x 是等腰直角三角形}[说明]：此题运用文氏图，其公共部分即为A ∩B例3：设A 、B 两个集合分别为{}102),(=+=y x y x A ，}53),{(=-=y x y x B ，求A ∩B ，并且说明它的意义。

（课本p11例1） 解：⎭⎬⎫⎩⎨⎧=-=+=⋂53102{),(y x y x y x B A ={（3，4）} [说明] B A ⋂表示方程组的解的集合，也可以理解为两条一次函数的图像的交点的坐标集合。

例4（补充）设A={1，2，3}，B={2，5，7}，C={4，2，8}， 求（A ∩B ）∩C ， A ∩（B ∩C ），A ∩B ∩C 。

解：（A ∩B ）∩C=（{1，2，3}∩{2，5，7}）∩{4，2，8}={2}∩{4，2，8}={2}； A ∩（B ∩C ）={1，2，3}∩（{2，5，7}∩{4，2，8}）={1，2，3}∩{2}={2}；A ∩B ∩C=（A ∩B ）∩C= A ∩（B ∩C ）={2}。

三、巩固练习练习（1）关于并集1、概念引入引例：考察下面集合的元素，并用列举法表示A=02{=-x x }， B={}03=+x x ， C=}0)3)(2({=+-x x x 答：A={}2， B={-3} ，C={2，-3}[说明]启发学生观察并发现如下结论：C 中元素由A 或B 的元素构成。

2、概念形成并集的定义一般地，由所有属于A 或属于B 的元素组成的集合，叫做A 与B 的并集，记作A ∪B （读作“A 并B ”），即A ∪B={x|x ∈A 或x ∈B}。

并集的图示法,A B A ⊃≠⋃,B B A ⊃≠⋃ ,B B A =⋃ ,A B A ⊃≠⋃,B B A ⊃≠⋃ 请学生通过讨论并举例说明。

3、概念深化并集的性质（补）①A∪A=A，A∪U=U ，A∪φ=A；②A⊆（A∪B），B⊆（A∪B）；③A∪B=B∪A；④A∩B⊆A∪B，当且仅当A=B时，A∩B=A∪B；⑤A∪B=A⇔B⊆A.[说明]交集与并集的区别（由学生回答）（补）交集是属于A且属于B的全体元素的集合。

并集是属于A或属于B的全体元素的集合。

x∈A或x∈B的“或”代表了三层含义：即下图所示。

4、例题解析例5：设A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，求A∪B。

（补充）解：∴A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，则A∪B={4，5，6，8}∪{3，5，7，8}={3，4，5，6，7，8}。

[说明]①运用文恩解答该题。

②用例举法求两个集合的并集，只需把两个集合中的所有元素不重复的一一找出写在大括号中即可。

例6：设A={a,b,c,d}，B={b，d，e，f}，求A∩B ,A∪B。

（课本p12例2）解：A∩B={b,d}，则A∪B={a,b,c,d,e,f }。

例7：设A={x|x是锐角三角形}，B={x|x是钝角三角}，求A∪B。

（补充）解：A∪B={x|x是锐角三角形}∪{x|x是钝角三角形}={x|x是斜三角形}。

例8：设A={x|-2<x<2}，B={x|1>1或x<-1}，求A∪B。

（课本P12例3）解：A∪B=R[说明]本题是集合语言及运算与简单不等式相结合的问题，解题中应充分利用数形结合思想，体现抽象与直观的完美结合。

例9、已知A={x|x=2k, k∈Z或x∈B}, B={x|x=2k-1, k∈Z},求A∪B。

（课本P12例4）[说明]解题的关键是读懂描述法表示集合的含义。

三、巩固练习：（2）补充练习1、设A={ x |-1< x <2}, B={ x |1< x <3}，求A∪B.解析:利用数轴，将A、B分别表示出来，则阴影部分即为所求.解：将A={ x |-1< x <2}及B={ x |1< x <3}在数轴上表示出来，如图阴影部分即为所求。

A∪B={ x |-1< x <2}∪{ x |1< x <3}={ x |-1< x <3}2、A={1，3，x}，B={2x,1},且A∪B={1，3，x}。

求x3、{0，1} ∪A={0，1，2}，求A的个数4、A ={x|-2<x<4},B ={x|x<a},A∪B ={x|x<4},求a的范围四、课堂小结1.交集、并集的概念；交集并集的求法；交集并集的基本性质，以及有关符号的正确使用.2.求两个集合的交集、并集时，往往先将集合化简，求两个数集的交集、并集，可通过数轴直观显示或利用韦恩图表示，有助于解题.3、区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字出发去揭示、挖掘题设条件，进而用集合语言表示，从而解决问题。

五、课后作业1、书面作业：习题,5,6,7,8,92、思考题：设集合M={x|x>2},P={x|x<3},则“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的什么条件（“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的必要不充分条件）3、思考题：设集合A={-4，2m-1,m2}，B={9，m-5，1-m}，又A∩B={9},求实数m的值.解：∵A∩B={9}，A={-4，2m-1,m2}，B={9，m-5，1-m}，∴2m-1=9或m2=9，解得m=5或m=3或m=-3.若m=5，则A={-4，9，25}，B={9，0，-4}与A∩B={9}矛盾；若m=3，则B中元素m-5=1-m=-2，与B中元素互异矛盾；若m=-3，则A={-4，-7，9}，B={9，-8，4}满足A∩B={9}.∴m=-3。

六、教学设计说明1、注重数形结合，从集合A和B的文氏图中引出交集、并集的概念在引出交集、并集的概念时，最好不要直接给出它们各自概念的含义，建议结合图形，启发学生从集合A和集合B的文氏图中，寻找它们之间的联系，学生较为容易接受，理解也较为深刻，为以后进行集合之间的交并运算打下基础。

2、注意交集、并集概念的符号语言表示，提高学生的数学语言表达能力。

教材对于交集、并集的概念还给出了它们各自的符号语言表示，即：①②对于符号语言的表示要注意它们的区别和联系，抓住概念中的关键词“且”、“或”。

①中的“且”字，它说明的任一元素都是A与B的公共元素。

由此可知，必是A与B 的公共子集，即：。

②式中的“或”字的意义，“”这一条件，包括下列三种情况：，，且（很明显，适合第三种情况的元素构成的集合就是）。

还要注意，A与B 的公共元素在中只出现一次。

因此，是由所有至少属于A，B两者之一的元素组成的集合。

由定义可知，A与B都是的子集，联系到都是A，B的子集，可得下面的关系式：3、运用对比教学的方法，使学生区分交、并集的概念，能正确对集合之间求交与求并。

教师在讲解了交集、并集的概念后，可以涉及一个表格，让学生填写内容。

见下表：名称交集并集定由所有属于集合A且属于集合B的由所有属于集合A或属于集合B的义元素所组成的集合，叫做A与B的交集。

元素所组成的集合，叫做A与B的并集。

记号（读作“A交B”）（读作“A并B”）简而言之A与B的公共元素组成的集合即且A与B的所有元素组成的集合即或图示（一般情形）（阴影为）（阴影为）性质，,，，。

，,，，。

4、可是当补充用图示法（即文氏图）表示集合之间的关系的问题。

用图示法表示集合之间的关系有两层意思：一方面给定一个集合或集合之间的运算关系，会用图示法（即维恩图）表示；另一方面给出一个维恩图，会用集合表示图中指定的部分（如阴影部分）。

作一些这方面的引导和训练，既可加深对集合关系及运算的理解，又可提高学生数形结合的能力，还可不断培养正向思维和逆向思维的能力。

5、适当地运用集合关系进行简单推理。