小波分析小结

小波分析实验报告课程：小波分析姓名：学院：学号：一、实验目的：1、运用傅里叶变换知识对常用的基本函数做基本变换。

2、通过观察小波变换系数建立对小波变换及其有关性质的感性认识3、加深对因果滤波器的理解，并会判断因果滤波器的类型。

4、运用卷积公式对基本信号做滤波处理并作出分析，以加深理解。

5、熟悉Matlab中相关函数的用法。

二、实验原理：1、“小波”就是小区域、长度有限、均值为0的波形。

所谓“小”是指它具有衰减性；而称之为“波”则是指它的波动性，其振幅正负相间的震荡形式。

与Fourier变换相比，小波变换是时间(空间)频率的局部化分析，它通过伸缩平移运算对信号（函数)逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分，能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节，解决了Fourier变换的困难问题，成为继Fourier变换以来在科学方法上的重大突破。

小波转换分成两个大类：离散小波变换(DWT)和连续小波转换(CWT)。

两者的主要区别在于，连续转换在所有可能的缩放和平移上操作，而离散转换采用所有缩放和平移值的特定子集。

小波变换的公式有内积形式和卷积形式，两种形式的实质都是一样的。

它要求的就是一个个小波分量的系数也就是“权”。

其直观意义就是首先用一个时窗最窄，频窗最宽的小波作为尺子去一步步地“量”信号，也就是去比较信号与小波的相似程度。

信号局部与小波越相似，则小波变换的值越大，否则越小。

当一步比较完成后，再将尺子拉长一倍，又去一步步地比较，从而得出一组组数据。

如此这般循环，最后得出的就是信号的小波分解（小波级数）。

当尺度及位移均作连续变化时，可以理解必将产生大量数据，作实际应用时并不需要这么多的数据，因此就产生了离散的思想。

将尺度作二进离散就得到二进小波变换，同时也将信号的频带作了二进离散。

当觉得二进离散数据量仍显大时，同时将位移也作离散就得到了离散小波变换。

2、二维离散小波变换常用函数三、实验内容：1. 对信号noissin 分别采用图形接口和命令行两种方式进行单尺度小波分解重构和多尺度小波分解重构层数为4，并显示各层低频高频图形，加以比较。

实验四一、实验目的理解小波阈值去噪法原理。

对所得的去噪效果进行分析。

二、实验要求在载入原始图片后，对图片进行含噪和消噪处理，再对所得的图片效果进行分析。

三、主要内容载入原始图片，对原始图片添加一个随机噪声，得出含噪图片。

用sym6小波对图像进行1层分解，设置一个全局阈值，对图像分解系数，将低频系数进行重构，得出消噪后的图像。

再与原图像，含噪图像一起进行分析比较。

运行代码如下clear all;load woman;subplot(2,2,1);image(X);colormap(map);xlabel('(a)原始图像');axis square;init=2055615866;randn('seed',init);x=X+48*randn(size(X));subplot(2,2,2);image(x);colormap(map);xlabel('(b)含噪图像');axis square;%用sym6小波对图像进行1层分解t1=wpdec2(x,1,'sym6');%设置一个全局阈值thr=10.358;%对图像分解系数t2=wpthcoef(t1,0,'s',thr);%对低频系数进行重构x1=wprcoef(t1,1);subplot(2,2,3);image(x1);运行结果四、思考体会小波去噪的根本任务是在小波域将信号的小波变换与噪声的小波变换有效的分离。

噪声的能量分布于整个小波域内，小波分解后，信号的小波系数幅值要大于噪声的系数幅值，也可以认为，幅值比较大的小波系数一般以信号为主，而比较小的系数在很大程度上是噪声。

于是，采用阈值的方法可把信号系数保留，而把大部分噪声系数减少至零。

将含噪信号在各尺度上进行小波分解，保留大尺度（低分辨率）下的全部系数，对于小尺度（高分辨率）下的小波系数，设定一个阈值，幅值不超过阈值的小波系数设置为零，幅值高于该阈值的小波系数或者完整保留，或者做相应的收缩处理，最后将处理后的小波系数利用逆小波变换进行重构，恢复出有效信号。

一、小波分析基本原理：信号分析是为了获得时间和频率之间的相互关系。

傅立叶变换提供了有关频率域的信息，但有关时间的局部化信息却基本丢失。

与傅立叶变换不同，小波变换是通过缩放母小波（Mother wavelet）的宽度来获得信号的频率特征，通过平移母小波来获得信号的时间信息。

对母小波的缩放和平移操作是为了计算小波系数，这些小波系数反映了小波和局部信号之间的相关程度。

相关原理详见附件资料和系统设计书。

注：小波分析相关数学原理较多，也较复杂，很多中文的著作都在讨论抽象让非数学相关专业人难理解的数学。

本人找到了相对好理解些的两个外文的资料：Tutorial on Continuous Wavelet Analysis of Experimental Data.docTen.Lectures.of.Wavelets.pdf二、搜索到的小波分析源码简介（仅谈大体印象，还待继续研读）：１、83421119WaveletVCppRes.rar源码类型：VC++程序功能是：对简单的一维信号在加上了高斯白噪声之后进行Daubechies小波、Morlet小波和Haar小波变换，从而得到小波分解系数；再通过改变分解得到的各层高频系数进行信号的小波重构达到消噪的目的。

说明：在这一程序实现的过程中能直观地理解信号小波分解重构的过程和在信号消噪中的重要作用，以及在对各层高频系数进行权重处理时系数的选取对信号消噪效果的影响。

但这是为专业应用写的算法，通用性差。

２、WA.FOR（南京气象学院常用气象程序中的小波分析程序）源码类型：fortran程序功能是：对简单的一维时间序列进行小波分析。

说明：用的是墨西哥帽小波。

程序短小，但代码写得较乱，思路不清，还弄不明白具体应用。

３、中科院大气物理学所.zip（原作者是美国Climate Diagnostics Center的C. Torrence 等）源码类型：fortran和matlab程序各一份功能是：气象应用。

小波分析及其应用（学习总结）一、 初步认识小波小波(Wavelet)这一术语，顾名思义，是小的波形。

所谓“小”是指它具有衰减性；而称之为“波”则是指它的波动性，其振幅正负相间的震荡形式。

与Fourier 变换相比，小波变换是时间（空间）频率的局部化分析，它通过伸缩平移运算对信号(函数)逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分，能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节，解决了Fourier 变换的困难问题，成为继Fourier 变换以来在科学方法上的重大突破。

小波变换被人们称为“数学显微镜”。

从数学的角度来看，小波实际上是在特定空间内按照称之为小波的基函数（通常具有鲜明的物理意义）对数学表达式的展开与逼近。

作为一种快速高效、高精度的近似方法，小波理论构成调和分析领域中Fourier 分析的重要发展。

与Fourier 变换由三角基函数构成相比，小波基函数大多具有快速衰减、充分光滑、能量集中在一个局部区域的函数()x ψ经过伸缩与平移得到的函数集合，其中b 起到平移的作用，而a 为伸缩因子（a 作为一种尺度在变化时产生多分辨特性）。

因此，从信号处理的角度来看，作为一种新的时频分析工具，小波克服了Fourier 分析方法表示信息时能够清晰的揭示出信号的频率特性而不能反映时间域上的局部信息的缺陷，而局部性质的描述无论是在理论上还是在实际应用方面都十分重要。

当利用小波实施视频分析时，由于同时具有时间和频率的局部特性以及多分辨分析特性，使得对非平稳信号的处理变得相对容易。

二、 第一代小波由L 2(R)空间的正交分解和变换相关知识，对于给定信号f(t)，关键是选择合适的标准正交基g i (t)，使得f(t)在这组基下的表现呈现出我们需要的特性，但是如果某一个基不满足要求，可通过变换将函数转换到另一个基下表示，才能得到我们需要的函数表示。

常用的变换有：(1) K-L 变换 (2) Walsh 变换 (3) Fourier 变换 (4) 小波变换如图1所示是信号f(t)的Fourier 变换示意图。