小波变换教程(wavelet tutotial)

MATLAB小波变换指令及其功能介绍1 一维小波变换的 Matlab 实现(1） dwt函数功能:一维离散小波变换格式：[cA,cD]=dwt(X，'wname’）［cA,cD]=dwt(X，Lo_D，Hi_D）别可以实现一维、二维和 N 维 DFT说明：［cA,cD］=dwt(X,'wname’）使用指定的小波基函数’wname’ 对信号X 进行分解，cA、cD 分别为近似分量和细节分量；[cA，cD］=dwt（X，Lo_D，Hi_D）使用指定的滤波器组 Lo_D、Hi_D 对信号进行分解.(2) idwt 函数功能：一维离散小波反变换格式：X=idwt(cA,cD，’wname’)X=idwt(cA，cD,Lo_R，Hi_R）X=idwt(cA,cD,'wname'，L）函数 fft、fft2 和 fftn 分X=idwt(cA,cD，Lo_R,Hi_R,L)说明：X=idwt(cA,cD,'wname’) 由近似分量 cA 和细节分量 cD 经小波反变换重构原始信号 X .’wname'为所选的小波函数X=idwt(cA,cD，Lo_R,Hi_R）用指定的重构滤波器 Lo_R 和 Hi_R 经小波反变换重构原始信号 X 。

X=idwt（cA,cD,’wname',L) 和 X=idwt(cA，cD，Lo_R，Hi_R，L）指定返回信号 X 中心附近的 L 个点。

2 二维小波变换的 Matlab 实现二维小波变换的函数别可以实现一维、二维和 N 维 DFT函数名函数功能——————----—--——--———--—-—-----————-——————-—--—---——dwt2 二维离散小波变换wavedec2 二维信号的多层小波分解idwt2 二维离散小波反变换waverec2 二维信号的多层小波重构wrcoef2 由多层小波分解重构某一层的分解信号upcoef2 由多层小波分解重构近似分量或细节分量detcoef2 提取二维信号小波分解的细节分量appcoef2 提取二维信号小波分解的近似分量upwlev2 二维小波分解的单层重构dwtpet2 二维周期小波变换idwtper2 二维周期小波反变换—-—-—--——-—-——-—-—---—-—-——-—————------——-—----—-————---——-（1） wcodemat 函数功能：对数据矩阵进行伪彩色编码函数 fft、fft2 和 fftn 分格式：Y=wcodemat（X，NB，OPT，ABSOL)Y=wcodemat（X，NB，OPT)Y=wcodemat（X,NB）Y=wcodemat(X)说明：Y=wcodemat(X，NB,OPT,ABSOL) 返回数据矩阵 X 的编码矩阵 Y ；NB 伪编码的最大值，即编码范围为 0～NB，缺省值 NB＝16；OPT 指定了编码的方式（缺省值为’mat’）,即：别可以实现一维、二维和N 维 DFTOPT＝'row’ ，按行编码OPT＝’col' ，按列编码OPT＝'mat' ，按整个矩阵编码函数 fft、fft2 和 fftn 分ABSOL 是函数的控制参数（缺省值为’1’），即：ABSOL＝0 时，返回编码矩阵ABSOL＝1 时，返回数据矩阵的绝对值 ABS（X）1. 离散傅立叶变换的Matlab实现（2) dwt2 函数功能：二维离散小波变换格式：［cA，cH，cV,cD］=dwt2(X，'wname’)［cA,cH,cV,cD］=dwt2（X,Lo_D，Hi_D）说明：［cA，cH，cV,cD]=dwt2（X，'wname’)使用指定的小波基函数 'wname'对二维信号 X 进行二维离散小波变幻;cA，cH，cV，cD 分别为近似分量、水平细节分量、垂直细节分量和对角细节分量；［cA，cH，cV,cD］=dwt2(X，Lo_D,Hi_D) 使用指定的分解低通和高通滤波器 Lo_D 和 Hi_D 分解信号 X 。

小波变换111040698 杨阳小波变换(wavelet transform)是傅立叶变换的发展，中间经历了窗口傅立叶变换。

原始数据一般是时间或空间信号，在时空上有最大分辨率。

时空信号经傅立叶变换后得到频率信号，在频域上有最大分辨率，但其本身并不包含时空定位信息。

窗口傅立叶变换通过对时空信号进行分段或分块进行时空-频谱分析，但由于其窗口的大小是固定的，不适用于频率波动大的非平稳信号。

而小波变换可以根据频率的高低自动调节窗口大小，是一种自适应的时频分析方法，具有多分辨分析功能。

傅立叶变换与小波变换傅立叶变换(Fourier transform)是法国科学家Joseph Fourier发表于1822年的他在用无穷三角级数求解热传导偏微分方程时所提出的一种数学方法，它可将时空信号变换成频率信号。

鉴于傅立叶变换不含时空定位信息，（1971年的诺贝尔物理学奖获得者）匈牙利人Dennis Gabor于1946年提出窗口傅立叶变换（window Fourier transform）。

可以用于时频分析，但是窗口大小是固定的。

1984年法国的物理学家Jean Morlet和A. Grossman，在进行石油勘探的地震数据处理分析时，又提出了具有可变窗口的自适应时频分析方法——小波变换（wavelet transform）。

傅立叶变换傅立叶变换(Fourier transform)是1807年法国科学家Joseph Fourier在研究热力学问题时所提出来的一种全新的数学方法，当时曾受到数学界的嘲笑与抵制，后来却得到工程技术领域的广泛应用，并成为分析数学的一个分支——傅立叶分析。

原始的多媒体数据一般为时空信号，在时空上有最大分辨率，并可利用时空上的相关性进行数据压缩。

Fourier变换可将时空域中的多媒体信号映射到频率域来研究，即更符合人类感觉特征，也可以利用信号在频率域中的冗余进行数据压缩。

Fourier变换所得的频率信号，在频率域上有最大分辨率，但其本身并不包含时空定位信息。

第4章 小波变换的实现技术4.1 Mallat 算法双正交小波变换的Mallat 算法：设{}n h h =、{}n g g =、{}n h h =、{}n g g =为实系数双正交小波滤波器。

h ，g 是小波分析滤波器，h ，g 是小波综合滤波器。

h 表示h 的逆序，即n n h h -=。

若输入信号为n a ，它的低频部分和高频部分以此为1n a -和1n d -，小波分解与重构的卷积算法：11()()n n n na D a h d D a g --⎧⎪=*⎨=*⎪⎩ n11()()n n a Uah Ud g --=*+*先进行输入信号和分析滤波器的巻积，再隔点采样，以形成低频和高频信号。

对于有限的数据量，经过多次小波变化后数据量大减，因此需对输入数据进行处理。

4.1.1 边界延拓方法下面给出几种经验方法。

1. 补零延拓是假定边界以外的信号全部为零，这种延拓方式的缺点是，如果输入信号在边界点的值与零相差很大，则零延拓意味着在边界处加入了高频成分，造成很大误差。

实际应用中很少采用。

0121,0,,,,...,,0,0,......n s s s s -2.简单周期延拓将信号看作一个周期信号,即k n k s s +=。

简单周期延拓后的信号变为这种延拓方式的不足之处在于，当信号两端边界值相差很大时，延拓后的信号将存在周期性的突变，也就是说简单周期延拓可在边界引入大量高频成分，从而产生较大误差。

3. 周期对称延拓这种方法是将原信号在边界上作对称折叠，一般分二1）当与之做卷积的滤波器为奇数时，周期延拓信号为2）当与之做卷积的滤波器为偶数时，周期延拓信号为4. 光滑常数延拓在原信号两端添加与端点数据相同的常数。

0121,,,...,,n s s s s -0121,,,...,,n s s s s -0121,,,...,,n s s s s -0,...s 1,...,n s -01221,,,...,,,n n s s s s s --0121,,,...,,n s s s s -21012,...,,,,,...n s s s s s -321212,,,...,,,,...n n n s s s s s s ---10012,,...,,,,...n n s s s s s --10112,,,...,,,n n n s s s s s ---5. 平滑延拓在原信号两端用线性外插法补充采样值，即沿着信号两端包络线的一阶导数方向增加采样值。

⼩波变换（wavelettransform）的通俗解释（⼀）⼩波变换⼩波，⼀个神奇的波，可长可短可胖可瘦（伸缩*移），当去学习⼩波的时候，第⼀个⾸先要做的就是回顾傅⽴叶变换（⼜回来了，唉），因为他们都是频率变换的⽅法，⽽傅⽴叶变换是最⼊门的，也是最先了解的，通过傅⽴叶变换，了解缺点，改进，慢慢的就成了⼩波变换。

主要的关键的⽅向是傅⽴叶变换、短时傅⽴叶变换，⼩波变换等，第⼆代⼩波的什么的就不说了，太多了没太多意义。

当然，其中会看到很多的名词，例如，内积，基，归⼀化正交，投影，Hilbert空间，多分辨率，⽗⼩波，母⼩波，这些不同的名词也是学习⼩波路上的标志牌，所以在刚学习⼩波变换的时候，看着三个⽅向和标志牌，可以顺利的⾛下去，当然路上的美景要⾃⼰去欣赏（这⾥的美景就是定义和推导了）。

因为内容太多，不是很重要的地⽅我都注释为（查定义）⼀堆⽂字的就是理论（可以⼤体⼀看不⽤⽴刻就懂），同时最下⾯也给了⼏个⽹址辅助学习。

⼀、基傅⽴叶变换和⼩波变换，都会听到分解和重构，其中这个就是根本，因为他们的变化都是将信号看成由若⼲个东西组成的，⽽且这些东西能够处理还原成⽐原来更好的信号。

那怎么分解呢？那就需要⼀个分解的量，也就是常说的基，基的了解可以类⽐向量，向量空间的⼀个向量可以分解在x，y⽅向，同时在各个⽅向定义单位向量e1、e2，这样任意⼀个向量都可以表⽰为a=xe1+ye2，这个是⼆维空间的基，⽽对于傅⽴叶变换的基是不同频率的正弦曲线，所以傅⽴叶变换是把信号波分解成不同频率的正弦波的叠加和，⽽对于⼩波变换就是把⼀个信号分解成⼀系列的⼩波，这⾥时候，也许就会问，⼩波变换的⼩波是什么啊，定义中就是告诉我们⼩波，因为这个⼩波实在是太多，⼀个是种类多，还有就是同⼀种⼩波还可以尺度变换，但是⼩波在整个时间范围的幅度*均值是0，具有有限的持续时间和突变的频率和振幅，可以是不规则，也可以是不对称,很明显正弦波就不是⼩波，什么的是呢，看下⾯⼏个图就是当有了基，以后有什么⽤呢?下⾯看⼀个傅⽴叶变换的实例：对于⼀个信号的表达式为x=sin(2*pi*t)+0.5*sin(2*pi*5*t);这⾥可以看到是他的基就是sin函数，频率是1和5，下⾯看看图形的表⽰，是不是感受了到了频域变换给⼈的⼀⽬了然。

小波变换初学者指南引言：小波变换是一种数学工具，它在信号处理、图像处理、数据压缩等领域中被广泛应用。

本文将介绍小波变换的基本概念、原理和应用，以帮助初学者快速入门。

一、什么是小波变换？小波变换是一种信号分析方法，它将信号分解成不同频率的小波基函数，并通过对这些基函数的系数进行变换来表示原始信号。

与傅里叶变换相比，小波变换具有时频局部化的特点，能够更好地捕捉信号的瞬时特性。

二、小波变换的基本原理小波变换的基本原理是将信号与不同尺度和平移的小波基函数进行内积运算，得到小波系数。

这些小波系数表示了信号在不同频率和时间上的特征。

小波基函数可以是Morlet小波、Haar小波、Daubechies小波等，不同的小波基函数适用于不同类型的信号分析。

三、小波变换的应用领域1. 信号处理：小波变换可以用于信号去噪、边缘检测、信号压缩等。

通过分析小波系数，可以提取信号的重要特征，并对信号进行有效的处理。

2. 图像处理：小波变换在图像压缩、图像增强、图像分割等方面有广泛应用。

通过对图像进行小波分解，可以提取图像的纹理、轮廓等特征。

3. 数据分析：小波变换可以用于时间序列分析、频谱分析、模式识别等。

通过对数据进行小波分解，可以发现数据中的周期性、趋势性和突变性等特征。

四、小波变换的算法和工具小波变换的算法有多种，常见的有连续小波变换（CWT）、离散小波变换（DWT）和快速小波变换（FWT）。

在实际应用中，可以使用MATLAB、Python等软件工具来实现小波变换。

五、小波变换的优缺点小波变换相比于傅里叶变换具有以下优点：1. 时频局部化：小波变换能够更精确地描述信号的瞬时特性。

2. 多分辨率分析：小波变换可以同时分析信号的低频和高频成分。

3. 适应性：小波基函数可以根据信号的特性选择，提高分析的准确性。

然而，小波变换也存在一些缺点：1. 计算复杂度高：小波变换的计算复杂度较高，需要消耗较多的计算资源。

2. 选择小波基函数的困难：不同类型的信号适用于不同的小波基函数，选择合适的小波基函数是一个挑战。

小波变换教程小波变换教程一、序言欢迎来到这个小波变换的入门教程。

小波变换是一个相对较新的概念（大概十年的样子），但是有关于它的文章和书籍却不少。

这其中大部分都是由搞数学的人写给其他搞数学的人看的，不过，仍然有大部分搞数学的家伙不知道其他同行们讨论的是什么（我的一个数学教授就承认过）。

换言之，大多数介绍小波变换的文献对那些小波新手们来说用处不大（仅仅为个人观点）。

当我刚开始学习小波变换的时候，曾经为了弄明白这个神奇的领域到底说的是什么困扰了好多天，因为在这个领域的入门书籍少之又少。

为此我决定为那些小波新手们写这个入门级的教程。

我自己当然也是一个新手，也有很多理论性的细节没有弄清楚。

不过，考虑到其工程应用性，我觉得没有必要弄清楚所有的理论细节。

在这篇教程中，我将试图给出一些小波理论的基本原理。

我不会给出这些原理和相关公式的证明，因为我假定预期的读者在读这个教程时并不需要知道这些。

不过，感兴趣的读者可以直接去索引（所列的书籍）中获取更为深入的信息。

在这篇文档中，我假定你没有任何相关知识背景。

如果你有，请忽略以下的信息，因为都是一些很琐碎的东西。

如果你发现教程中有任何不一致或错误的信息，请联系我。

我将乐于看到关于教程的任何评论。

二、变换什么首先，我们为什么需要（对信号做）变换，到底什么是变换？原始信号中有一些信息是很难获取的，为了获得更多的信息，我们就需要对原始信号进行数学变换。

在接下来的教程中，我将时域内的信号视为原始信号，经过数学变换后的信号视为处理信号。

可用的变换有很多种，其中傅立叶变换可能是最受欢迎的一种。

实际中很多原始信号都是时域内的信号，也就是说不管信号是如何测得的，它总是一个以时间为变量的函数。

换言之，当我们画信号图的时候，横轴代表时间（独立变量），纵轴代表信号幅度（非独立变量）。

当我们画信号的时域图时，我们得到了信号的时幅表示。

对大多数信号处理应用来说，这种表示经常不是最好的表示。

在很多时候，大量特殊的信息是隐藏在信号的频率分量中的。

小波变换方法
1. 小波变换方法啊，那可真是个神奇的宝贝！就像一把万能钥匙，能打开各种数据隐藏的秘密。

比如说在图像处理里，它能让模糊的照片一下子清晰起来，哇塞，是不是很厉害！
2. 嘿，你知道小波变换方法吗？这简直就是一个魔法棒！当分析音频信号的时候，它能把那些杂乱的声音变得有条有理，就像给声音施了一场神奇的魔法一样！
3. 小波变换方法，那可不是一般的厉害呀！好比是一个超级侦探，能在复杂的数据中找出关键线索。

例如在医学信号分析中，它能精准地检测出异常，这可救了好多人的命呢！
4. 哎呀呀，小波变换方法真的绝了！它就好像是一双锐利的眼睛，能看清那些我们肉眼看不到的细节。

就像在地震数据分析中，它能帮助我们更好地了解地下的情况，太神了吧！
5. 哇哦，小波变换方法真牛啊！就如同一位智慧的大师，能解决好多难题。

比如在金融数据波动分析时，它能让我们清楚地看到趋势，太不可思议了！
6. 哼，小波变换方法可不能小瞧！像一把锋利的剑，能斩断数据的杂乱无章。

就说在脑电图分析里，它能捕捉到微小的异常，这可多重要啊！
7. 嘿呀，小波变换方法可太厉害了！简直就是一艘在数据海洋中航行的快艇，迅速又准确。

像分析气候数据的时候，有了它可方便多了！
8. 小波变换方法啊，这绝对是个不可或缺的好东西！它可以像一个超级厨师一样，把杂乱的数据烹饪成一道道美味佳肴。

不管是在哪个领域，它都能展现出强大的威力，所以说，一定要好好利用它啊！。

⼩波变换教程（1）：基本原理⼩波理论的基本概念及概述（第⼆版）欢迎阅读此份关于⼩波变换的⼊门教程。

⼩波变换是⼀个相对较新的概念（其出现⼤约是在20世纪80年代），但是有关于它的⽂章和书籍却不少。

这其中⼤部分都是由数学专业⼈⼠写给其他同⾏看的，不过，仍然有⼤量数学专家不知道其他同⾏们讨论的是什么（我的⼀个数学教授就承认过）。

换⾔之，⼤多数介绍⼩波变换的⽂献对那些⼩波新⼿们来说⽤处不⼤（此为个⼈观点）。

我刚开始接触⼩波变换的时候，曾经为了搞清楚⼩波变换这个这个神奇的世界到底发⽣了什么⽽苦苦挣扎，因为在这个领域的⼊门教材⾮常少。

因⽽，我决定为新⼿们写⼀份教程。

我⾃认为也是⼀个新⼿，必须承认，我也有很多理论细节没有弄清楚。

不过，就⼯程应⽤⽽⾔，我认为弄清楚所有的理论细节⼤可不必。

这份教程将试着介绍⼀些⼩波理论的基本原理，并且不会给出这些原理和相关公式的证明，因为这份教程的⽬标读者暂时还不需要知道这些。

不过，感兴趣的读者可以参阅引⽤的⽂献以便了解更深⼊的内容。

此篇⽂档假定你没有任何相关知识背景。

要是有的话，请跳过以下内容，这些对你⽽⾔可能都是显然的。

要是你发现教程⾥有任何前后不协调或不正确的内容，请联系我。

我很乐于收到关于教程的任何评论。

变换…啥？⾸先，为什么需要变换，或者说到底什么是变换？为了获取在原始信号中不易获得的信息，往往要对信号进⾏数学变换。

以下篇幅均假定时域内信号为原始信号，经过数学变换后的信号为处理信号。

可⽤的变换有很多种，其中，傅⽴叶变换⼤概是⽬前最流⾏的。

实际中，多数信号的原始形式都是时域信号，也即不论如何测得的，信号总是关于时间的函数。

换⾔之，绘制信号的图形时，⼀个轴代表时间（⾃变量），另⼀轴代表信号幅值（因变量）。

在时域内作图，便可得到信号的时-幅表⽰。

在多数信号处理有关的应⽤场景中，这种表⽰并不是最好的表⽰。

很多时候，最易分辨的信息往往隐藏在信号的频率成分中。

信号的频谱是指信号中的频率分量（或谱分量），其表⽰的是信号中存在哪些频率成分。

在說明小波轉換(wavelet transform) 之前，先來看看經典的傅利葉轉換(Fourier transform)。

圖2. 由time domain 經傅利葉轉換至frequency domain的訊號。

圖2.提供了一個淺顯易懂的說明，訊號經過傅利葉轉換後，可以得到頻率域的資訊。

傅利葉轉換是如此的重要、好用，可是它是否存在著什麼缺點？有的，我們發現在經過轉換的頻率域中，喪失了時間的資訊！所以我們手邊若只有經過轉換的圖形，那麼將完全無法得知在哪一個時刻發生了什麼事件。

不會隨時間而變化的訊號，稱為”不變訊號” (stationary signal)，如果我們要處理的訊號，是屬於”不變訊號”，那麼傅利葉轉換的缺失，似乎並不會造成什麼影響，不過，我們身處於一個多變的環境，海會枯，石會爛，還有什麼能保證不變的呢？因此，處理可變訊號(non-stationary signal)，成為了一個重要的課題，在可變訊號中，又以訊號的趨勢(trend)、驟變(abrupt changes)、以及起始與結束時所發生的特別事件特別重要。

為了彌補傅利葉轉換的缺失，曾經獲得諾貝爾物理獎的英國科學家Dennis Gabor 於1946年提出了短時間傅利葉轉換(STFT, short-time Fourier transform)，經由此轉換的訊號，可以得到頻率與時間的關係，用下圖來說明，應該非常清楚。

圖3. 經過STFT的時間-頻率圖。

只可惜，SFTF的使用上受限於”視窗” (window)的設定，從圖.3中最左邊的那張圖可以看出。

而且根據海森堡測不準原理(Heisenberg uncertainty principle) ，在時間-頻率的空間中，無法準確測得訊號在時間-頻率的相互關係，也就是無法準確測的知道某個特定的頻譜資訊存在於哪一段時間中。

要瞭解在那段時間之中，有哪些頻率的分佈，這牽扯到解析度(resolution) 的問題。