小题满分练1 -2021年高考数学二轮专题突破(新高考)(解析版)

小题满分练3一、单项选择题1．若集合M ＝{x|x<3}，N ＝{x|x 2>4}，则M ∩N 等于( ) A ．(－2,3) B ．(－∞，－2) C ．(2,3) D ．(－∞，－2)∪(2,3)【答案】 D【解析】 ∵N ＝(－∞，－2)∪(2，＋∞)，∴M ∩N ＝(－∞，－2)∪(2,3)． 2．(2020·全国Ⅰ)若z ＝1＋2i ＋i 3，则|z|等于( ) A ．0 B ．1 C. 2 D ．2 【答案】 C【解析】 ∵z ＝1＋2i ＋i 3＝1＋2i －i ＝1＋i ， ∴|z|＝12＋12＝ 2.3．已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，且|b ＋a |＝2，则向量a 与b 的夹角的余弦值为( ) A.22 B.23 C.28 D.24【答案】 D【解析】 由题意可知，|b ＋a |2＝b 2＋2a ·b ＋a 2＝3＋2a ·b ＝4， 解得a ·b ＝12，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝122＝24.4．(2020·全国Ⅰ)已知圆x 2＋y 2－6x ＝0，过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】 B【解析】 圆的方程可化为(x －3)2＋y 2＝9， 故圆心的坐标为C(3,0)，半径r ＝3. 如图，记点M(1,2)，则当MC 与直线垂直时，直线被圆截得的弦的长度最小， 此时|MC|＝22，弦的长度l ＝2r 2－|MC|2＝29－8＝2.5．(2020·新高考全国Ⅰ)基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝e rt描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R 0＝3.28，T ＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69) ( )A ．1.2天B ．1.8天C ．2.5天D ．3.5天 【答案】 B【解析】 由R 0＝1＋rT ，R 0＝3.28，T ＝6， 得r ＝R 0－1T ＝3.28－16＝0.38.由题意，累计感染病例数增加1倍， 则I(t 2)＝2I(t 1)，即20.38et ＝10.382et ，所以()210.38et t -＝2，即0.38(t 2－t 1)＝ln 2，所以t 2－t 1＝ln 20.38≈0.690.38≈1.8.6．已知a>0，b>0，若不等式m 3a ＋b －3a －1b≤0恒成立，则m 的最大值为( ) A ．4 B ．16 C ．9 D ．3 【答案】 B【解析】 因为a>0，b>0， 所以由m 3a ＋b －3a －1b≤0恒成立，得m ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋1b (3a ＋b)＝10＋3b a ＋3a b 恒成立， 因为3b a ＋3ab≥23b a ·3ab＝6， 当且仅当a ＝b 时等号成立， 所以10＋3b a ＋3ab ≥16，所以m ≤16，即m 的最大值为16.7．已知双曲线C ：y 2a 2－x2b 2＝1(a>0，b>0)，直线x ＝a 与C 的交点为A ，B(B 在A 的下方)，直线x ＝a 与C 的一条渐近线的交点D 在第一象限，若|AB||BD|＝43，则C 的离心率为( )A.32 B ．2 C.1＋174 D.7 【答案】 B【解析】 将x ＝a 代入y 2a 2－x 2b 2＝1，得y 2＝a 2c 2b 2，即y ＝±ac b ，则|AB|＝2acb.将x ＝a 代入y ＝a b x ，得y ＝a 2b ，则|BD|＝ac b ＋a2b .因为|AB||BD|＝43，所以2ac ac ＋a 2＝43，即2e e ＋1＝43，解得e ＝2. 8．(2020·重庆模拟)已知函数f(x)＝x 3－3x ＋1，若∀x 1∈[a ，b]，∃x 2∈[a ，b]，使得f(x 1)＝f(x 2)，且x 1≠x 2，则b －a 的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6【答案】 C【解析】 令f ′(x)＝3x 2－3＝0，解得x ＝±1，易得当x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f ′(x)>0，f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，当x ∈(－1,1)时，f ′(x)<0，f(x)在(－1,1)上单调递减，且f(－1)＝3，f(1)＝－1，作出函数f(x)的图象如图， 令f(x)＝3，解得x ＝－1或x ＝2， 令f(x)＝－1，解得x ＝1或x ＝－2， 由图象可知，b －a 的最大值为2－(－2)＝4. 二、多项选择题9．空气质量指数(简称：AQI)是定量描述空气质量状况的无量纲指数，空气质量按照AQI 大小分为六级：[0,50)为优，[50,100)为良，[100,150)为轻度污染，[150,200)为中度污染，[200,250)为重度污染，[250,300]为严重污染．下面记录了北京市22天的空气质量指数，根据图表，下列结论正确的是( )A．在北京这22天的空气质量中，按平均数来考查，最后4天的空气质量优于最前面4天的空气质量B．在北京这22天的空气质量中，有3天达到污染程度C．在北京这22天的空气质量中，12月29日空气质量最差D．在北京这22天的空气质量中，达到空气质量优的天数有7天【答案】ABC【解析】因为97>59,51>48,36>29,68>45，所以在北京这22天的空气质量中，按平均数来考察，最后4天的空气质量优于最前面4天的空气质量，即选项A正确；AQI不低于100的数据有3个：143,225,145，所以在北京这22天的空气质量中，有3天达到污染程度，即选项B正确；因为12月29日的AQI为225，为这22天中AQI的最大值，所以该天的空气质量最差，即选项C正确；AQI在[0,50)内的数据有6个：36,47,49,48,29,45，即达到空气质量优的天数有6天，所以选项D错误．10．(2020·山东新高考名校联考)某班期末考试数学成绩(满分150分)的频率分布直方图如图所示，其中分组区间为[80,90)，[90,100)，[100,110)，[110,120)，[120,130)，[130,140)，[140,150]，根据频率分布直方图，判断下列说法正确的是( )A．估计本次考试数学成绩的平均数为114.8分B ．估计本次考试数学成绩的众数为115分C ．估计本次考试数学成绩的中位数为114分D ．本次考试数学成绩110分以上的人数等于110分以下的人数 【答案】 ABC【解析】 由频率分布直方图可知，本次数学成绩的平均数为85×0.04＋95×0.06＋105×0.24＋115×0.36＋125×0.16＋135×0.12＋145×0.02＝114.8，A 正确；由图易知本次考试数学成绩的众数为115分，B 正确；前三组的频率和为(0.004＋0.006＋0.024)×10＝0.34，所以中位数应落在[110,120)之间，中位数为110＋0.5－0.340.36×10≈114(分)，C 正确；因为0.04＋0.06＋0.24<0.36＋0.16＋0.12＋0.02，故本次考试数学成绩在110分以上的人数多于110分以下的人数．11．将函数f(x)＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－1的图象向左平移π3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列关于函数g(x)的说法正确的是( ) A ．最大值为3，图象关于直线x ＝π12对称B ．图象关于y 轴对称C ．最小正周期为πD ．图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称 【答案】 BCD【解析】 将函数f(x)＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－1的图象向左平移π3个单位长度，得到y ＝3cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋π3－1＝3cos(2x ＋π)－1＝－3cos 2x －1的图象；再向上平移1个单位长度，得到函数g(x)＝－3cos 2x 的图象，对于函数g(x)，它的最大值为3，由于当x ＝π12时，g(x)＝－32，不是最值，故g(x)的图象不关于直线x ＝π12对称，故A 错误；由于该函数为偶函数，故它的图象关于y 轴对称，故B 正确； 它的最小正周期为2π2＝π，故C 正确；当x ＝π4时，g(x)＝0，故函数g(x)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称，故D 正确． 12．(2020·济南质量评估)若实数a ，b 满足2a＋3a ＝3b＋2b ，则下列关系式中可能成立的是( ) A ．0<a<b<1 B ．b<a<0 C ．1<a<b D ．a ＝b【答案】 ABD【解析】 设f(x)＝2x＋3x ，g(x)＝3x＋2x ，f(x)和g(x)在(－∞，＋∞)上均为增函数，且f(0)＝g(0)，f(1)＝g(1)．x ∈(－∞，0)时，f(x)<g(x)；x ∈(0,1)时，f(x)>g(x)；x ∈(1，＋∞)时，f(x)<g(x)．由函数f(x)与g(x)的图象可知，若f(a)＝2a＋3a ＝3b＋2b ＝g(b)，则b<a<0或0<a<b<1或a>b>1或a ＝b. 三、填空题13.⎝ ⎛⎭⎪⎫y x －3x 5的展开式中xy 2的系数为________． 【答案】 －270【解析】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫y x －3x 5的展开式中xy 2的项为C 35×⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 2×(－3x)3＝－270xy 2，故其系数为－270.14.在如图所示的图形中，每个三角形上各有一个数字，若六个三角形上的数字和为20，则称该图形是“和谐图形”．已知其中四个三角形上的数字之和为14.现从1,2,3,4,5中任取两个数字标在另外两个三角形上，则恰好使该图形为“和谐图形”的概率为________．【答案】 15【解析】 由题意可知，若该图形为“和谐图形”，则另外两个三角形上的数字之和恰为20－14＝6.从1,2,3,4,5中任取两个数字的所有情况有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10种，而其中数字之和为6的情况有(1,5)，(2,4)，共2种，所以所求概率P ＝15.15．在四面体ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC ⊥BD ，AB ＝BD ＝2，E 为CD 的中点，若异面直线AC 与BE 所成的角为60°，则BC ＝________. 【答案】 2【解析】 取AD 的中点F ，连接EF ，BF ，如图所示，则EF ∥AC ，∠BEF 为异面直线AC 与BE 所成的角，所以∠BEF ＝60°.设BC ＝x ，则BE ＝EF ＝x 2＋42，BF ＝2，从而△BEF 为等边三角形，则x 2＋42＝2，解得x ＝2.故BC ＝2.16．定义p(n)为正整数n 的各位数字中不同数字的个数，例如p(555)＝1，p(93)＝2，p(1 714)＝3.在等差数列{a n }中，a 2＝9，a 10＝25，则a n ＝________，数列{p(a n )}的前100项和为________．【答案】 2n ＋5 227【解析】 因为a 2＝9，a 10＝25，所以公差为d ＝25－910－2＝2，所以a n ＝9＋2(n －2)＝2n ＋5.因为a 1＝7，a 100＝205，且a n 为奇数，所以当a n ＝7,9,11,33,55,77,99,111时，p(a n )＝1；当a n ＝101,113,115,117,119,121,131,133,141,151,155,161,171,177,181,191,199时，p(a n )＝2.在数列{a n }中，小于100的项共有47项，这47项中满足p(a n )＝2的共有47－7＝40(项)，故数列{p(a n )}的前100项和为1×8＋2×(40＋17)＋3×(100－8－40－17)＝227.。

专题突破练1选择题、填空题的解法一、单项选择题1.(2020河南开封三模,理1)已知集合A={x|x2-4x+3>0},B={x|2x-3>0},则集合(∁R A)∩B=()A. B.C. D.2.(2020山东历城二中模拟四,2)已知复数z满足|z+1-i|=|z|,z在复平面内对应的点为(x,y),则()A.y=x+1B.y=xC.y=x+2D.y=-x3.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a,b,c成等差数列,则等于()A. B. C. D.4.(2020北京东城一模,7)在平面直角坐标系中,动点M在单位圆上按逆时针方向做匀速圆周运动,每12分钟转动一周.若点M的初始位置坐标为,则运动到3分钟时,动点M所处位置的坐标是()A. B.C. D.5.已知a,b,c,d都是常数,a>b,c>d.若f(x)=2 020+(x-a)(x-b)的零点为c,d,则下列不等式正确的是()A.a>c>d>bB.a>d>c>bC.c>d>a>bD.c>a>b>d6.(2020浙江,10)设集合S,T,S⊆N*,T⊆N*,S,T中至少有2个元素,且S,T满足:①对于任意的x,y∈S,若x≠y,则xy∈T;②对于任意的x,y∈T,若x<y,则∈S.下列命题正确的是()A.若S有4个元素,则S∪T有7个元素B.若S有4个元素,则S∪T有6个元素C.若S有3个元素,则S∪T有5个元素D.若S有3个元素,则S∪T有4个元素7.(2020天津河东区检测,9)已知函数f(x)=sin4x+x∈,函数g(x)=f(x)+a有三个零点x1,x2,x3,则x1+x2+x3的取值范围是()A. B.C. D.二、多项选择题8.(2020山东济南三模,9)已知复数z=1+cos 2θ+isin 2θ-<θ<(其中i为虚数单位),下列说法正确的是()A.复数z在复平面上对应的点可能落在第二象限B.z可能为实数C.|z|=2cos θD.的实部为9.一几何体的平面展开图如图所示,其中四边形ABCD为正方形,E,F分别为PB,PC的中点,在此几何体中,给出的下面结论中正确的有()A.直线AE与直线BF异面B.直线AE与直线DF异面C.直线EF∥平面PADD.直线EF∥平面ABCD10.对于定义域为D的函数f(x),若存在区间[m,n]⊆D,同时满足下列条件:①f(x)在[m,n]上是单调的;②当定义域是[m,n]时,f(x)的值域也是[m,n],则称[m,n]为该函数的“和谐区间”,下列函数存在“和谐区间”的是()A.f(x)=2xB.f(x)=3-C.f(x)=x2-2xD.f(x)=ln x+211.(2020海南天一大联考三模,12)已知函数f(x)=x3+ax+b,其中a,b∈R,则下列选项中的条件使得f(x)仅有一个零点的有()A.a<b,f(x)为奇函数B.a=ln(b2+1)C.a=-3,b2-4≥0D.a<0,b2+>0三、填空题12.(2020山东烟台模拟,13)已知向量a=(2,m),b=(1,-2),且a⊥b,则实数m的值是.13.已知函数f(x)是定义在R上的可导函数,其导函数记为f'(x),若对于∀x∈R,有f(x)>f'(x),且y=f(x)-1是奇函数,则不等式f(x)<e x的解集为.14.(2020山东聊城二模,14)已知f(x)=若f(a)=f(b),则的最小值为.15.(2020广东广州一模,16)已知△ABC的三个内角为A,B,C,且sin A,sin B,sin C成等差数列,则sin2B+2cos B的最小值为,最大值为.专题突破练1选择题、填空题的解法1.D解析因为A={x|x2-4x+3>0}={x|x>3或x<1},B={x|2x-3>0}=,则集合(∁R A)∩B={x|1≤x≤3}故选D.2.A解析(方法1:直接法)设z=x+y i,x∈R,y∈R,由|z+1-i|=|z|,得(x+1)2+(y-1)2=x2+y2,化简整理得y=x+1.(方法2:数形结合法)|z+1-i|=|z|的几何意义为点P(x,y)到点O(0,0)和A(-1,1)的距离相等,所以点P的轨迹为两点(-1,1)和(0,0)的垂直平分线,其对应方程为y-=x+,即y=x+1.3.B解析(方法一)由题意知,可取符合题意的特殊值a=3,b=4,c=5,则cos A=,cos C=0,故选B.(方法二)由题意可取特殊角A=B=C=60°,cos A=cos C=故选B.4.C解析由题意得,动点M每12分钟转动一周,则运动到3分钟时,动点M转过的角为2π=点M的初始位置坐标为,运动到3分钟时动点M所处位置的坐标是M'故选C.5.A解析由题意设g(x)=(x-a)(x-b),则f(x)=2020+g(x),所以g(x)=0的两个根是a,b.由题意知f(x)=0的两个根c,d,也就是g(x)=-2020的两个根,画出g(x)(开口向上)以及直线y=-2020的大致图象,则g(x)的图象与y=-2020的交点横坐标为c,d,g(x)图象与x轴交点横坐标为a,b.又a>b,c>d,则由图象得,a>c>d>b.故选A.6.A解析当集合S中有3个元素时,若S={1,2,4},则T={2,4,8},S∪T中有4个元素;若S={2,4,8},则T={8,16,32},S∪T中有5个元素,故排除C,D;当集合S中有4个元素时,若S={2,4,8,16},则T={8,16,32,64,128},S∪T={2,4,8,16,32,64,128},包含7个元素,排除选项B.下面来说明选项A的正确性:设集合S={a1,a2,a3,a4},且a1<a2<a3<a4,a1,a2,a3,a4∈N*,则a1a2<a1a4,且a1a2,a2a4∈T,则S,同理S,S,S,S,S,且若a1=1,则a2≥2,=a2,则<a3,故=a2,即a3=,=a2,则a4=a3a2=故S={1,a2,},此时{a2,}⊆T,可得S,这与S矛盾,故舍去.若a1≥2,则<a3,故=a2,=a1,即a3=,a2=又a4>>1,故=a1,所以a4=,故S={a1,},此时{}⊆T.若b∈T,不妨设b>,则S,故,i=1,2,3,4,故b=,i=1,2,3,4,即b∈{},其他情况同理可证.故{}=T,此时S∪T={a1,},即S∪T中有7个元素.故A正确.7.D解析根据题意画出函数f(x)的图象,如图所示,因为函数g(x)=f(x)+a有三个零点,即函数y=f(x)与函数y=-a有三个交点,当直线l 位于直线l1与直线l2之间时,符合题意,由图象可知,x1+x2=2x3<,所以x1+x2+x3<故选D.8.BCD解析z=1+cos2θ+isin2θ=2cosθ(cosθ+isinθ),∵-<θ<,∴cosθ>0,sinθ∈(-1,1),则复数z在复平面上对应的点不可能落在第二象限,故A错误;当θ=0时,z=2,则z可能为实数,故B正确;|z|=====2cosθ,故C正确;tanθ,所以的实部为,故D正确.故选BCD.9.ACD解析由题可知,该几何体为正四棱锥,如图所示.对于A,可假设AE与BF共面,由图可知,点F不在平面ABE中,与假设矛盾,故A正确;对于B,因E,F为BP,CP中点,故EF ∥BC,又四边形ABCD为正方形,所以AD∥BC,故EF∥AD,所以A,D,E,F四点共面,故B 错误;对于C,由B可知,EF∥AD,又AD⊂平面PAD,EF⊄平面PAD,故直线EF∥平面PAD,故C正确;对于D,因为EF∥BC,又BC⊂平面ABCD,EF⊄平面ABCD,故直线EF∥平面ABCD,D正确.故选ACD.10.BD解析对于A,可知函数单调递增,则若定义域为[m,n]时,值域为[2m,2n],故f(x)=2x 不存在“和谐区间”;对于B,f(x)=3-,可假设在x∈(0,+∞)存在“和谐区间”,函数为增函数,若定义域为[m,n]时,值域为[m,n],则解得(符合)(舍去)故函数存在“和谐区间”;对于C,f(x)=x2-2x,对称轴为x=1,当x∈(-∞,1)时,函数f(x)单调递减,若定义域为[m,n]时,值域为[m,n],则满足解得m=n=0,故与题设矛盾;同理当x∈(1,+∞)时,应满足解得m=n=3,所以f(x)=x2-2x 不存在“和谐区间”;对于D,f(x)=ln x+2在(0,+∞)内单调递增,则应满足可将解析式看作h(x)=ln x,g(x)=x-2,由图可知,两函数图象有两个交点,则存在“和谐区间”.故选BD.11.BD解析由题知f'(x)=3x2+a.对于A,由f(x)是奇函数,知b=0,因为a<0,所以f(x)存在两个极值点,由f(0)=0,易知f(x)有三个零点,故A错误;对于B,因为b2+1≥1,所以a≥0,f'(x)≥0,所以f(x)单调递增,则f(x)仅有一个零点,B 正确;对于C,若取b=2,f'(x)=3x2-3,则f(x)的极大值为f(-1)=4,极小值为f(1)=0,此时f(x)有两个零点,C错误;对于D,f(x)的极大值为f=b-,极小值为f=b+因为a<0,所以b2+>b2+>0,所以b2>-,则b>-或b<,从而f<0或f>0,可知f(x)仅有一个零点,D正确.12.1解析∵a⊥b,∴a·b=2-2m=0,解得m=1.13.(0,+∞)解析由题意令g(x)=,则g'(x)=,∵f(x)>f'(x),∴g'(x)<0,故函数g(x)=在R上单调递减.∵y=f(x)-1是奇函数,∴f(0)-1=0,即f(0)=1,g(0)=1,则不等式f(x)<e x等价为<1=g(0),即g(x)<g(0),解得x>0.14解析因f(x)=所以函数在区间(0,1],(1,+∞)内是单调函数.令0<a≤1,b>1,又f(a)=f(b),得1-ln a=-1+ln b,所以ln ab=2,即ab=e2.设y=,令y'==0,则b=e,即函数在(1,e]内单调递减,在(e,+∞)内单调递增,所以当b=e时,有最小值,最小值为15+1解析由sin A,sin B,sin C成等差数列可得,2sin B=sin A+sin C, 所以2b=a+c,即b=又cos B=,化简可得cos B=当且仅当a=c时取等号.又B∈(0,π),所以B令f(B)=sin2B+2cos B,则f'(B)=2cos2B-2sin B=2-4sin2B-2sin B=-4(sin B+1).当sin B>,即B时,f'(B)<0;当sin B<,即B时,f'(B)>0.则f(B)=sin2B+2cos B在内单调递增,在内单调递减,所以f(B)max=f=sin+2cos,由f(0)=sin0+2cos0=2,f=sin+2cos+1,所以f(B)min=f+1,所以sin2B+2cos B的最小值为+1,最大值为。

专题突破练5 专题一常考小题点过关检测一、单项选择题1.(2020全国Ⅰ,理2)设集合A={x|x2-4≤0},B={x|2x+a≤0},且A∩B={x|-2≤x≤1},则a=()A.-4B.-2C.2D.42.(2020山东淄博4月模拟,2)命题“∃x0∈(0,+∞),ln x0=x0-1”的否定是()A.∀x∈(0,+∞),ln x≠x-1B.∀x∉(0,+∞),ln x=x-1C.∃x0∈(0,+∞),ln x0≠x0-1D.∃x0∉(0,+∞),ln x0=x0-13.(2020全国Ⅲ,理2)复数11-3i的虚部是()A.-310B.-110C.110D.3104.(2020天津,2)设a∈R,则“a>1”是“a2>a”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.(2020山东模考卷,2)已知a+b i(a,b∈R)和1-i1+i是共轭复数,则a+b=()A.-1B.-12C.12D.16.(2020山西太原二模,理5)若a,b是两个非零向量,且|a+b|=m|a|=m|b|,m∈[1,√3].则向量b与a-b夹角的取值范围是()A.[π3,2π3] B.[π3,5π6]C.[2π3,5π6] D.[5π6,π]7.(2020山东济南一模,5)方舱医院的创设,在抗击新冠肺炎疫情中发挥了不可替代的重要作用.某方舱医院医疗小组有七名护士,每名护士从周一到周日轮流安排一个夜班.若甲的夜班比丙晚一天,丁的夜班比戊晚两天,乙的夜班比庚早三天,己的夜班在周四,且恰好在乙和丙的正中间,则周五值夜班的护士为()A.甲B.丙C.戊D.庚8.关于x的方程x2+(m-3)x+m=0在(0,2)内有两个不相等实数根,则实数m的取值范围是()A.(23,1]B.(23,1) C.(1,3)D.(-∞,1)∪(9,+∞) 二、多项选择题9.已知x<-1,那么在下列不等式中成立的是( ) A.x 2-1>0 B.x+1x <-2 C.sin x-x>0D.cos x+x>010.若1a <1b <0,则下列不等式成立的是( ) A.1a+b <1ab B.|a|+b>0 C.a-1a>b-1bD.ln a 2>ln b 211.(2020海南天一大联考模拟三,9)设a ,b ,c 为实数且a>b ,则下列不等式一定成立的是( ) A.1a>1bB.2 020a-b >1C.ln a>ln bD.a (c 2+1)>b (c 2+1)12.(2020山东历城二中模拟四,10)已知a ,b 是单位向量,且a +b =(1,-1),则( ) A.|a +b |=2 B.a 与b 垂直 C.a 与a -b 的夹角为π4 D.|a -b |=1 三、填空题13.(2020全国Ⅰ,文14)设向量a =(1,-1),b =(m+1,2m-4),若a ⊥b ,则m= . 14.(2020天津河北区线上测试,15)已知a>0,b>0,且1a+1b =1,则1a -1+4b -1的最小值为 .15.(2020山东济宁6月模拟,14)在平行四边形ABCD 中,AD=6,AB=3,∠DAB=60°,DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12FC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,若FG ⃗⃗⃗⃗⃗ =2GE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = .16.已知f (x )=x 2+2x+1+a ,∀x ∈R ,f (f (x ))≥0恒成立,则实数a 的取值范围为 .专题突破练5 专题一 常考小题点过关检测1.B 解析由已知得A={x|-2≤x ≤2},B={x |x ≤-a2}.因为A ∩B={x|-2≤x ≤1},所以有-a2=1,解得a=-2. 2.A 解析因为已知的是特称命题,所以它的否定为全称命题,故选A . 3.D 解析∵11-3i =1+3i(1-3i )(1+3i )=1+3i 10=110+310i,∴复数11-3i 的虚部是310.4.A 解析若a>1,则a 2>a 成立.若a 2>a ,则a>1或a<0.故“a>1”是“a 2>a ”的充分不必要条件.故选A . 5.D 解析由1-i 1+i=(1-i )22=-2i 2=-i,得a+b i =-(-i)=i,所以a=0,b=1,所以a+b=1.6.C 解析根据题意,设|a |=|b |=t ,则|a+b |=mt ,再设向量b 与a-b 夹角为θ,则有|a+b |2=(a+b )2=a 2+b 2+2a ·b =m 2t 2,变形可得a ·b =m 2t 22-t 2, 则有|a-b |2=(a-b )2=a 2+b 2-2a ·b =2t 2-2(m 2t 22-t 2)=4t 2-m 2t 2,则cos θ=b ·(a -b )|b ||a -b |=a ·b -b 2|b ||a -b |=m 2t 22-t 2-t 22=1222=-12×√4-m 2.由1≤m ≤√3,得1≤√4-m 2≤√3,则有-√32≤cos θ≤-12.又由0≤θ≤π,得2π3≤θ≤5π6,即θ的取值范围为[2π3,5π6].故选C .7.D 解析因为己的夜班在周四,且恰好在乙和丙的正中间,所以乙可能在星期一,二,三,五,六,日.因为乙的夜班比庚早三天,所以乙可能在星期二,三.如果乙在星期三,则庚在周六,且丙在周五,庚比丙晚一天,但与甲的夜班比丙晚一天矛盾,则乙在周二,庚在周五.故选D .8.B 解析由题意,令f (x )=x 2+(m-3)x+m ,则{Δ=(m -3)2-4m >0,f (0)=m >0,f (2)=4+2(m -3)+m >0,0<-m -32<2,解得23<m<1,故选B . 9.ABC 解析由x<-1,得|x|>1,所以x 2>1,即x 2-1>0,故A 成立;因为x<-1,所以-x>1,0<-1x <1,所以(-x )+(-1x )>2,即x+1x <-2,故B 成立; 因为x<-1,而sin x ∈[-1,1],即sin x>x ,所以sin x-x>0,故C 成立; 因为x<-1,而cos x ∈[-1,1],所以cos x+x<0,故D 不成立.故选ABC . 10.AC 解析由1a <1b <0,可知b<a<0.因为a+b<0,ab>0,所以1a+b<0,1ab >0,故有1a+b<1a θ,故A 正确;因为b<a<0,所以-b>-a>0,故-b>|a|,即|a|+b<0,故B 错误; 因为b<a<0,又有1a <1b <0,则-1a >-1b >0,所以a-1a >b-1b ,故C 正确;因为b<a<0,根据y=x 2在(-∞,0)上为减函数,可得b 2>a 2>0,而y=ln x 在定义域(0,+∞)上为增函数,所以ln b 2>ln a 2,故D 错误.故选AC .11.BD 解析对于A,若a>b>0,则1a <1b ,故A 错误;对于B,因为a-b>0,所以2020a-b >1,故B 正确;对于C,函数y=ln x 的定义域为(0,+∞),而a ,b 不一定是正数,故C 错误;对于D,因为c 2+1>0,所以a (c 2+1)>b (c 2+1),故D 正确.12.BC 解析由a+b =(1,-1)两边平方,得|a |2+|b |2+2a ·b =12+(-1)2=2,则|a+b |=√2.因为a ,b 是单位向量,所以1+1+2a ·b =2,得a ·b =0,则|a-b |2=a 2+b 2-2a ·b=2,所以|a-b|=√2,所以cos <a ,a-b >=a ·(a -b )|a ||a -b |=21×√2=√2=√22,所以a 与a-b 的夹角为π4.13.5 解析由a ⊥b ,可得a ·b =1×(m+1)+(-1)×(2m-4)=0,解得m=5. 14.4 解析∵a>0,b>0,且1a +1b=1,∴a>1,b>1,且b=aa -1,∴1a -1+4b -1=1a -1+4aa -1-1=1a -1+4(a-1)≥2√1a -1·4(a -1)=4,当且仅当a=32时,等号成立.∴1a -1+4b -1的最小值为4.15.21 解析以A 为原点,AD 为x 轴,AD 的垂线为y 轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则A (0,0),B (32,3√32),D (6,0),F 72,3√32,E132,√32.设点G 的坐标为(x ,y ).∵FG ⃗⃗⃗⃗⃗ =2GE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴x-72,y-3√32=2132-x ,√32-y ,解得x=112,y=5√36,∴G (112,5√36).∴AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =112,5√36·92,-3√32=994−15×312=21.16.[√5-32,+∞) 解析设t=f (x )=(x+1)2+a ≥a ,∴f (t )≥0对任意t ≥a 恒成立,即(t+1)2+a ≥0对任意t ∈[a ,+∞)都成立.当a ≤-1时,f (t )min =f (-1)=a , 即a ≥0,这与a ≤-1矛盾;当a>-1时,f (t )min =f (a )=a 2+3a+1,则a 2+3a+1≥0,解得a ≥√5-32.。

压轴题突破练21．(2020·北京朝阳区模拟)某学校组织了垃圾分类知识竞赛活动，设置了四个箱子，分别写有“厨余垃圾”“有害垃圾”“可回收物”“其他垃圾”，另有卡片若干张，每张卡片上写有一种垃圾的名称．每位参赛选手从所有卡片中随机抽取20张，按照自己的判断，将每张卡片放入对应的箱子中，按规则，每正确投放一张卡片得5分，投放错误得0分，比如将写有“废电池”的卡片放入写有“有害垃圾”的箱子，得5分，放入其他箱子，得0分，从所有参赛选手中随机抽取20人，将他们的得分按照[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]分组，绘成频率分布直方图如图．(1)分别求出所抽取的20人得分落在[0,20)和[20,40)内的人数；(2)从所抽取的20人中得分落在[0,40)的选手中随机选取3名选手，以X 表示这3名选手中得分不超过20分的人数，求X 的分布列和均值；(3)如果某选手将抽到的20张卡片逐一随机放入四个箱子，能否认为该选手不会得到100分？请说明理由．【解析】 (1)由题意知，所抽取的20人中得分落在[0,20)的有0.005 0×20×20＝2(人)，得分落在[20,40)的有0.007 5×20×20＝3(人)．所以所抽取的20人中得分落在[0,20)的人数为2，得分落在[20,40)的人数为3.(2)X 的所有可能取值为0,1,2.P(X ＝0)＝C 33C 35＝110， P(X ＝1)＝C 12C 23C 35＝35， P(X ＝2)＝C 22C 13C 35＝310，所以X 的分布列为 X 0 1 2 P110 35 310所以E(X)＝0×110＋1×35＋2×310＝1.2. (3)答案不唯一．答案示例1：可以认为该选手不会得到100分．理由如下：该选手获得100分的概率是⎝ ⎛⎭⎪⎫1420，概率非常小，故可以认为该选手不会得到100分． 答案示例2：不能认为该选手不可能得到100分．理由如下：该选手获得100分的概率是⎝ ⎛⎭⎪⎫1420，虽然概率非常小，但是也可能发生，故不能认为该选手不会得到100分．2．已知函数f(x)＝x 2＋(m －2)x －mln x.(1)讨论f(x)的极值点的个数；(2)设函数g(x)＝12x 2＋mln x ，P ，Q 为曲线y ＝f(x)－g(x)上任意两个不同的点，设直线PQ 的斜率为k ，若k ≥m 恒成立，求m 的取值范围．【解析】 (1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝2x ＋m －2－m x ＝2x 2＋m －2x －m x＝2x ＋mx －1x .令f ′(x)＝0，得x ＝－m 2或x ＝1.①当－m 2>1，即m<－2时，在(0,1)和⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2，＋∞上，f ′(x)>0，在⎝⎛⎭⎪⎫1，－m 2上，f ′(x)<0，所以当x ＝1时，f(x)取得极大值，当x ＝－m 2时，f(x)取得极小值， 故f(x)有两个极值点；②当0<－m 2<1，即－2<m<0时，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－m 2和(1，＋∞)上，f ′(x)>0，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2，1上，f ′(x)<0，同上可知f(x)有两个极值点；③当－m 2＝1，即m ＝－2时，f ′(x)＝2x ＋m x －1x＝2x －12x ≥0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，无极值点；④当－m 2≤0，即m ≥0时，在(0,1)上，f ′(x)<0，在(1，＋∞)上，f ′(x)>0，当x ＝1时，f(x)取得极小值，无极大值，故f(x)只有一个极值点．综上，当m ＝－2时，f(x)的极值点的个数为0；当m ≥0时，f(x)的极值点的个数为1；当m<－2或－2<m<0时，f(x)的极值点的个数为2.(2)令h(x)＝f(x)－g(x)，则h(x)＝12x 2＋(m －2)x －2mln x ， 设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，x 1，x 2∈(0，＋∞)，则k ＝h x 1－h x 2x 1－x 2. 不妨设x 1>x 2，则由k ＝h x 1－h x 2x 1－x 2≥m 恒成立， 可得h(x 1)－mx 1≥h(x 2)－mx 2恒成立．令c(x)＝h(x)－mx ，则c(x)在(0，＋∞)上单调递增，或c(x)为常函数，所以c ′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，即h ′(x)－m ≥0恒成立．则x ＋m －2－2m x－m ≥0恒成立， 即x 2－2x －2m x≥0恒成立． 又x ∈(0，＋∞)，所以x 2－2x －2m ≥0恒成立， 则2m ≤(x 2－2x)min ，因为x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1，所以2m ≤－1，解得m ≤－12， 即m 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12.。

小题专练01函数、导数与不等式(A)一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(考点:函数的定义域,★)函数f (x )=√3-x+lg (2x +3)的定义域是( ).A .(-32,3)B .(-∞,3)C .(-32,+∞)D .(-3,-32)2.(考点:导数的几何意义,★)若曲线y=f (x )=12x 2+ax+b 在点(4,f (4))处的切线方程是2x-y+1=0,则( ). A . a=10,b=1B . a=-2,b=-9C . a=-2,b=9D . a=2,b=-93.(考点:函数单调性与奇偶性的综合应用,★★)已知定义在R 上的偶函数f (x )在区间[0,+∞)上单调递减,则满足f (3x-1)<f (8)的x 的取值范围是( ). A .(-3,73)B .(-∞,-73)∪(3,+∞)C .(-73,3)D .(-∞,-3)∪(73,+∞)4.(考点:函数的图象,★★)函数f (x )=x 32x -4的图象大致为( ).5.(考点:函数的零点,★★)已知函数f (x )={2x +6,x ≤0,x 2-2x +4,x >0.若函数g (x )=f (x )-m 有三个不同的零点,则实数m 的取值范围为( ). A .(3,4)B .(-4,-3)C .[3,4]D .(3,6)6.(考点:均值不等式,★★)设a>0,b>0,若9是3a 与3b 的等比中项,则4a +1b的最小值为( ). A .4B .2C .34D .947.(考点:利用导数研究函数的单调性,★★★)若函数f (x )=kx-sin x 在区间(-π6,π3)上单调递增,则实数k 的取值范围是( ). A .[1,+∞)B .[-12,+∞)C .(1,+∞)D .(12,+∞)8.(考点:导数的综合应用,★★★)已知奇函数f (x )的导函数为f'(x ),当x>0时,f'(x )+2f (x )x>0.若a=1e2f(-1e),b=14f(-12),c=f(-1),则a,b,c的大小关系为().A. a<b<cB. c<b<aC. c<a<bD. a<c<b二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.(考点:不等式的综合应用,★)已知p:1x-1>1,则p成立的一个必要不充分条件可以是().A.1<x<2B.-2<x<3C.-2<x<4D.-3<x<210.(考点:函数的基本性质,★★)下列函数中,既是偶函数,又在(0,+∞)上单调递增的是().A.f(x)=ln(√1+4x2-2x)B.f(x)=e x+e-xC.f(x)=x2+5D.f(x)=cos x11.(考点:均值不等式,★★)已知正实数x,y满足x+2y=1,则1x +1y可能的值为().A.3B.6C.7D.912.(考点:导数的应用,★★★)设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,f'(x),g'(x)分别为其导函数,当x<0时,f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x)<0且g(-5)=0,则使得不等式f(x)·g(x)<0成立的x的值可以是().A.-6B.-4C.4D.6三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(考点:函数的基本性质,★★)函数f(x)=lo g12(-x2-2x+3)的单调递增区间是,值域是. 14.(考点:函数单调性的应用,★★)若函数f(x)=x2+4(a+2)x+3在(-∞,4]上不是单调函数,则实数a的取值范围是.15.(考点:均值不等式,★★)函数y=log a(x-3)+2(a>0且a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny-2=0上,其中m, n均大于0,则1m +1n的最小值为.16.(考点:利用导数研究函数的极值,★★★)已知函数f(x)=13x3+2x2-5x+2的极大值为a,极小值为b,则a+b= .答案解析：函数、导数与不等式(A)一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(考点:函数的定义域,★)函数f (x )=√3-x+lg (2x +3)的定义域是( ).A .(-32,3)B .(-∞,3)C .(-32,+∞)D .(-3,-32)【解析】要使函数有意义,则{3-x >0,2x +3>0,即{x <3,x >-32,即-32<x<3, 所以函数的定义域为(-32,3).故选A . 【答案】A2.(考点:导数的几何意义,★)若曲线y=f (x )=12x 2+ax+b 在点(4,f (4))处的切线方程是2x-y+1=0,则( ). A . a=10,b=1B . a=-2,b=-9C . a=-2,b=9D . a=2,b=-9【解析】因为f (x )=12x 2+ax+b ,所以f'(x )=x+a ,由题可知f'(4)=2,所以a=-2. 又切点坐标(4,f (4))满足切线方程2x-y+1=0,f (4)=b ,所以8-b+1=0,解得b=9. 故选C . 【答案】C3.(考点:函数单调性与奇偶性的综合应用,★★)已知定义在R 上的偶函数f (x )在区间[0,+∞)上单调递减,则满足f (3x-1)<f (8)的x 的取值范围是( ). A .(-3,73)B .(-∞,-73)∪(3,+∞)C .(-73,3)D .(-∞,-3)∪(73,+∞)【解析】因为f (x )是定义在R 上的偶函数, 所以f (3x-1)<f (8)等价于f (|3x-1|)<f (8). 又因为f (x )在[0,+∞)上单调递减, 所以|3x-1|>8, 所以3x-1<-8或3x-1>8, 解得x<-73或x>3,故x 的取值范围为(-∞,-73)∪(3,+∞).故选B . 【答案】B4.(考点:函数的图象,★★)函数f (x )=x 32x -4的图象大致为( ).【解析】由题意,函数f (x )=x 32x -4的定义域为{x|x ∈R,x ≠2},排除A;又f (1)<0,排除C;f (-1)>0,排除D.故选B .【答案】B5.(考点:函数的零点,★★)已知函数f (x )={2x +6,x ≤0,x 2-2x +4,x >0.若函数g (x )=f (x )-m 有三个不同的零点,则实数m 的取值范围为( ). A .(3,4)B .(-4,-3)C .[3,4]D .(3,6)【解析】函数g (x )=f (x )-m 有三个不同的零点等价于函数y=f (x )与y=m 的图象有三个不同的交点,作出函数f (x )的图象如图所示.函数y=m 的图象为水平的直线,由图象可知,当m ∈(3,4)时,两函数的图象有三个不同的交点,即函数g (x )有三个不同的零点.故选A . 【答案】A6.(考点:均值不等式,★★)设a>0,b>0,若9是3a 与3b 的等比中项,则4a +1b 的最小值为( ). A .4B .2C .34D .94【解析】因为9是3a 与3b 的等比中项, 所以3a ·3b =3a+b =92,即a+b=4, 所以4a +1b =14(a+b )(4a +1b )=54+144b a +ab≥54+14×4=94, 当且仅当4b a =ab ,即a=83,b=43时,等号成立,所以4a +1b的最小值为94.故选D . 【答案】D7.(考点:利用导数研究函数的单调性,★★★)若函数f (x )=kx-sin x 在区间(-π6,π3)上单调递增,则实数k 的取值范围是( ). A .[1,+∞)B .[-12,+∞)C .(1,+∞)D .(12,+∞)【解析】由题意可得f'(x )=k-cos x ,因为f (x )在(-π6,π3)上单调递增,所以f'(x )≥0在(-π6,π3)上恒成立,即f'(x )min =k-1≥0,所以k ≥1.故选A . 【答案】A8.(考点:导数的综合应用,★★★)已知奇函数f (x )的导函数为f'(x ),当x>0时,f'(x )+2f (x )x>0.若a=1e 2f (-1e ),b=14f (-12),c=f (-1),则a ,b ,c 的大小关系为( ). A . a<b<cB . c<b<aC . c<a<bD . a<c<b【解析】令g (x )=x 2f (x ),则g'(x )=2xf (x )+x 2f'(x ).由题意可知当x>0时,2xf (x )+x 2f'(x )>0,即当x>0时,g'(x )>0,所以函数g (x )在(0,+∞)上单调递增.又函数f (x )为奇函数,所以g (-x )=(-x )2·f (-x )=-x 2·f (x )=-g (x ),所以函数g (x )为奇函数,所以当x<0时,函数g (x )单调递增.因为-1e >-12>-1,所以g (-1e )>g -12>g (-1),所以a>b>c. 【答案】B二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分. 9.(考点:不等式的综合应用,★)已知p :1x -1>1,则p 成立的一个必要不充分条件可以是( ). A .1<x<2 B .-2<x<3 C .-2<x<4D .-3<x<2【解析】由1x -1>1⇔x -2x -1<0⇔(x-1)(x-2)<0⇔1<x<2,所以选项A 为p 成立的充要条件,选项B 、C 、D 为p 成立的必要不充分条件. 【答案】BCD10.(考点:函数的基本性质,★★)下列函数中,既是偶函数,又在(0,+∞)上单调递增的是( ). A .f (x )=ln(√1+4x 2-2x )B .f (x )=e x +e -xC .f (x )=x 2+5D .f (x )=cos x【解析】由题意,易知A,B,C,D 四个选项中的函数的定义域均为R,对于选项A,f(-x)+f(x)=ln(√1+4x2+2x)+ln(√1+4x2-2x)=0,则f(x)=ln(√1+4x2-2x)为奇函数,故选项A不符合题意;对于选项B,f(-x)=e-x+e x=f(x),即f(x)=e x+e-x为偶函数,当x∈(0,+∞)时,设t=e x(t>1),则y=t+1t,由对勾函数的性质可得,y=t+1t在t∈(1,+∞)时是增函数,又t=e x单调递增,所以f(x)=e x+e-x在(0,+∞)上单调递增,故选项B符合题意;对于选项C,f(-x)=(-x)2+5=x2+5=f(x),即f(x)=x2+5为偶函数,由二次函数的性质可知f(x)=x2+5在(0,+∞)上单调递增,故选项C符合题意;对于选项D,由余弦函数的性质可知y=cos x是偶函数,但不在(0,+∞)上单调递增,故选项D不符合题意.综上,BC正确.【答案】BC11.(考点:均值不等式,★★)已知正实数x,y满足x+2y=1,则1x +1y可能的值为().A.3B.6C.7D.9【解析】因为x,y都为正实数,所以1x +1y=x+2yx+x+2yy=3+2yx+xy≥3+2√2yx·xy=3+2√2(当且仅当2yx=xy,即x=√2y时取等号),显然6>3+2√2,7>3+2√2,9>3+2√2,故选项B,C,D符合题意.【答案】BCD12.(考点:导数的应用,★★★)设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,f'(x),g'(x)分别为其导函数,当x<0时,f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x)<0且g(-5)=0,则使得不等式f(x)·g(x)<0成立的x的值可以是().A.-6B.-4C.4D.6【解析】∵f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,∴f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),令h(x)=f(x)·g(x),则h(-x)=-h(x),故h(x)=f(x)·g(x)为定义在R上的奇函数.∵当x<0时,f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x)<0,即当x<0时,h'(x)=f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x)<0,∴h(x)=f(x)·g(x)在区间(-∞,0)上单调递减,∴奇函数h(x)在区间(0,+∞)上也单调递减,如图,∵g(-5)=0,∴g(5)=0,∴h(-5)=h(5)=0,∴当x∈(-5,0)∪(5,+∞)时,h(x)=f(x)·g(x)<0.故选BD.【答案】BD三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(考点:函数的基本性质,★★)函数f(x)=lo g12(-x2-2x+3)的单调递增区间是,值域是. 【解析】令t=-x2-2x+3,则由-x2-2x+3>0,可得-3<x<1.又因为y=lo g12t为减函数,而函数t=-x2-2x+3在区间(-3,-1)上单调递增,在(-1,1)上单调递减.故f(x)=lo g12(-x2-2x+3)在区间(-3,-1)上单调递减,在(-1,1)上单调递增.易知t=-x2-2x+3在区间(-3,1)上的值域为(0,4],故f(x)=lo g12t的值域为[-2,+∞).【答案】(-1,1)[-2,+∞)14.(考点:函数单调性的应用,★★)若函数f(x)=x2+4(a+2)x+3在(-∞,4]上不是单调函数,则实数a的取值范围是.【解析】由题意可得,f(x)图象的对称轴为直线x=-2(a+2),且满足-2(a+2)<4,解得a>-4.故实数a的取值范围为(-4,+∞).【答案】(-4,+∞)15.(考点:均值不等式,★★)函数y=log a(x-3)+2(a>0且a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny-2=0上,其中m, n均大于0,则1m +1n的最小值为.【解析】由题意可得点A(4,2),代入mx+ny-2=0得4m+2n-2=0,即2m+n=1.所以1m +1n=(1m+1n)(2m+n)=3+nm+2mn≥3+2√nm·2mn=3+2√2,当且仅当nm=2mn,即m=1-√22,n=√2-1时等号成立.【答案】3+2√216.(考点:利用导数研究函数的极值,★★★)已知函数f(x)=13x3+2x2-5x+2的极大值为a,极小值为b,则a+b= .【解析】∵f(x)=13x3+2x2-5x+2,∴f'(x)=x2+4x-5.令f'(x)=0,解得x=-5或x=1.列表如下:∴a=f (-5)=1063,b=f (1)=-23,∴a+b=1063-23=1043.【答案】1043。

专题突破练5专题一常考小题点过关检测一、单项选择题1.(2020全国Ⅰ,理2)设集合A={x|x2-4≤0},B={x|2x+a≤0},且A∩B={x|-2≤x≤1},则a=()A.-4B.-2C.2D.42.(2020山东淄博4月模拟,2)命题“∃x0∈(0,+∞),ln x0=x0-1”的否定是()A.∀x∈(0,+∞),ln x≠x-1B.∀x∉(0,+∞),ln x=x-1C.∃x0∈(0,+∞),ln x0≠x0-1D.∃x0∉(0,+∞),ln x0=x0-13.(2020全国Ⅲ,理2)复数的虚部是()A.-B.-C. D.4.(2020天津,2)设a∈R,则“a>1”是“a2>a”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.(2020山东模考卷,2)已知a+b i(a,b∈R)和是共轭复数,则a+b=()A.-1B.-C. D.16.(2020山西太原二模,理5)若a,b是两个非零向量,且|a+b|=m|a|=m|b|,m∈[1,].则向量b与a-b夹角的取值范围是()A. B.C. D.7.(2020山东济南一模,5)方舱医院的创设,在抗击新冠肺炎疫情中发挥了不可替代的重要作用.某方舱医院医疗小组有七名护士,每名护士从周一到周日轮流安排一个夜班.若甲的夜班比丙晚一天,丁的夜班比戊晚两天,乙的夜班比庚早三天,己的夜班在周四,且恰好在乙和丙的正中间,则周五值夜班的护士为()A.甲B.丙C.戊D.庚8.关于x的方程x2+(m-3)x+m=0在(0,2)内有两个不相等实数根,则实数m的取值范围是()A.B.C.(1,3)D.(-∞,1)∪(9,+∞)二、多项选择题9.已知x<-1,那么在下列不等式中成立的是()A.x2-1>0B.x+<-2C.sin x-x>0D.cos x+x>010.若<0,则下列不等式成立的是()A.B.|a|+b>0C.a->b-D.ln a2>ln b211.(2020海南天一大联考模拟三,9)设a,b,c为实数且a>b,则下列不等式一定成立的是()A.B.2 020a-b>1C.ln a>ln bD.a(c2+1)>b(c2+1)12.(2020山东历城二中模拟四,10)已知a,b是单位向量,且a+b=(1,-1),则()A.|a+b|=2B.a与b垂直C.a与a-b的夹角为D.|a-b|=1三、填空题13.(2020全国Ⅰ,文14)设向量a=(1,-1),b=(m+1,2m-4),若a⊥b,则m=.14.(2020天津河北区线上测试,15)已知a>0,b>0,且=1,则的最小值为.15.(2020山东济宁6月模拟,14)在平行四边形ABCD中,AD=6,AB=3,∠DAB=60°,,若=2,则=.16.已知f(x)=x2+2x+1+a,∀x∈R,f(f(x))≥0恒成立,则实数a的取值范围为.专题突破练5专题一常考小题点过关检测1.B解析由已知得A={x|-2≤x≤2},B=因为A∩B={x|-2≤x≤1},所以有-=1,解得a=-2.2.A解析因为已知的是特称命题,所以它的否定为全称命题,故选A.3.D解析i,∴复数的虚部是4.A解析若a>1,则a2>a成立.若a2>a,则a>1或a<0.故“a>1”是“a2>a”的充分不必要条件.故选A.5.D解析由=-i,得a+b i=-(-i)=i,所以a=0,b=1,所以a+b=1.6.C解析根据题意,设|a|=|b|=t,则|a+b|=mt,再设向量b与a-b夹角为θ,则有|a+b|2=(a+b)2=a2+b2+2a·b=m2t2,变形可得a·b=-t2,则有|a-b|2=(a-b)2=a2+b2-2a·b=2t2-2=4t2-m2t2,则cosθ==-由1≤m,得1,则有-cosθ≤-又由0≤θ≤π,得,即θ的取值范围为故选C.7.D解析因为己的夜班在周四,且恰好在乙和丙的正中间,所以乙可能在星期一,二,三,五,六,日.因为乙的夜班比庚早三天,所以乙可能在星期二,三.如果乙在星期三,则庚在周六,且丙在周五,庚比丙晚一天,但与甲的夜班比丙晚一天矛盾,则乙在周二,庚在周五.故选D.8.B解析由题意,令f(x)=x2+(m-3)x+m,则解得<m<1,故选B.9.ABC解析由x<-1,得|x|>1,所以x2>1,即x2-1>0,故A成立;因为x<-1,所以-x>1,0<-<1,所以(-x)+>2,即x+<-2,故B成立;因为x<-1,而sin x∈[-1,1],即sin x>x,所以sin x-x>0,故C成立;因为x<-1,而cos x∈[-1,1],所以cos x+x<0,故D不成立.故选ABC.10.AC解析由<0,可知b<a<0.因为a+b<0,ab>0,所以<0,>0,故有,故A正确;因为b<a<0,所以-b>-a>0,故-b>|a|,即|a|+b<0,故B错误;因为b<a<0,又有<0,则->->0,所以a->b-,故C正确;因为b<a<0,根据y=x2在(-∞,0)上为减函数,可得b2>a2>0,而y=ln x在定义域(0,+∞)上为增函数,所以ln b2>ln a2,故D错误.故选AC.11.BD解析对于A,若a>b>0,则,故A错误;对于B,因为a-b>0,所以2020a-b>1,故B正确;对于C,函数y=ln x的定义域为(0,+∞),而a,b不一定是正数,故C错误;对于D,因为c2+1>0,所以a(c2+1)>b(c2+1),故D正确.12.BC解析由a+b=(1,-1)两边平方,得|a|2+|b|2+2a·b=12+(-1)2=2,则|a+b|=因为a,b是单位向量,所以1+1+2a·b=2,得a·b=0,则|a-b|2=a2+b2-2a·b=2,所以|a-b|=,所以cos<a,a-b>=,所以a与a-b的夹角为13.5解析由a⊥b,可得a·b=1×(m+1)+(-1)×(2m-4)=0,解得m=5.14.4解析∵a>0,b>0,且=1,∴a>1,b>1,且b=,+4(a-1)≥2=4,当且仅当a=时,等号成立.的最小值为4.15.21解析以A为原点,AD为x轴,AD的垂线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B,D(6,0),F,E.设点G的坐标为(x,y)=2,∴x-,y-=2-x,-y,解得x=,y=,∴G=·,-==21.16解析设t=f(x)=(x+1)2+a≥a,∴f(t)≥0对任意t≥a恒成立,即(t+1)2+a≥0对任意t∈[a,+∞)都成立.当a≤-1时,f(t)min=f(-1)=a,即a≥0,这与a≤-1矛盾;当a>-1时,f(t)min=f(a)=a2+3a+1,则a2+3a+1≥0,解得a。

小题满分练1一、单项选择题1．(2020·全国Ⅰ)设集合A ＝{x|x 2－4≤0}，B ＝{x|2x ＋a ≤0}，且A ∩B ＝{x|－2≤x ≤1}，则a 等于( )A ．－4B ．－2C ．2D ．42．已知复数z 满足(1－i)z ＝2＋i ，则z 的共轭复数在复平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．(2020·全国Ⅱ)在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1 200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1 600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者( )A ．10名B ．18名C ．24名D ．32名4．设a ＝log 42，b ＝1212⎛⎫ ⎪⎝⎭，c ＝1313⎛⎫ ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a>b>c B ．c>b>aC ．b>a>cD ．b>c>a 5．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 4S 8＝13，则S 8S 16等于( ) A.310 B.13 C.19 D.186．已知α∈(0，π)，12sin 2α＝cos 2α＋1，则cos α等于( ) A.55或0 B.55 C.255 D.255或07.(2020·广州模拟)△ABC 是边长为2的等边三角形，M 为AC 的中点．将△ABM 沿BM 折起到△PBM 的位置，则当三棱锥P －BCM 的体积最大时，三棱锥P －BCM 外接球的表面积为( )A ．πB ．3πC ．5πD ．7π8．(2020·广州模拟)已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a>0)的两个焦点，过点F 1作垂直于x 轴的直线与双曲线C 交于A ，B 两点．若|AB|＝2，则△ABF 2的内切圆半径为( ) A.23 B.33 C.223 D.233 二、多项选择题9．(2020·石家庄模拟)国家正积极推行垃圾分类工作，教育部办公厅等六部门也发布了《关于在学校推进生活垃圾分类管理工作的通知》．《通知》指出，到2020年底，各学校生活垃圾分类知识普及率要达到100%.某市教育主管部门据此做了“哪些活动最能促进学生进行垃圾分类”的问卷调查(每个受访者只能在问卷的4个活动中选择一个)．如图是调查结果的扇形统计图，则以下结论不正确的是( )A ．回答该问卷的受访者中，选择(2)和(3)的人数总和比选择(4)的人数多B ．回答该问卷的受访者中，选择“校园外宣传”的人数不是最少的C ．回答该问卷的受访者中，选择(4)的人数比选择(2)的人数可能多30D ．回答该问卷的总人数不可能是1 00010．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为AD 1的中点，F 为BD 的中点，则( )A ．EF ∥CD 1B ．EF ⊥AD 1C ．EF ∥平面BCC 1B 1D ．EF ⊥平面AB 1C 1D 11．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，其准线与x 轴相交于点M ，经过M 点且斜率为k 的直线l 与抛物线相交于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)两点，则下列结论中正确的是( )A ．k 的取值范围是(－1,1)B ．y 1y 2＝8x 1x 2C ．存在k ，使得以AB 为直径的圆经过点FD ．若△ABF 的面积为162，则直线AB 的倾斜角为π6或5π612．(2020·威海模拟)设函数f(x)＝2cos 2x －2－cos 2x ，则( )A ．f(x)在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增 B ．f(x)的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32 C ．f(x)的一个周期为πD ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称 三、填空题13．(2020·全国Ⅱ)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有________种．14．|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，点C 在∠AOB 内，且∠AOC ＝60°，设OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则n m＝________. 15．将正整数排成如图：试问2 020是表中第________行的第________个数．16．已知函数f(x)＝2ln x －12ax 2＋(a －2)x ＋a ＋1(a>0)的值域与函数y ＝f(f(x))的值域相同，则a 的取值范围为________．。