2014高考数学高分突破精品教案(吴军高分系统内部资料)

2014 年高考数学（理）二轮复习精选资料 - 高效整合篇专题10概率与统计（一）选择题（12*5=60分）1.【改编自2013 年高考湖南卷理】高一年级有男、女学生各400 名 . 为认识男女学生在学习兴趣与业余喜好方面能否存在明显差别，拟从全体学生中抽取80 名学生进行检查，则宜采纳的抽样方法是（）矚慫润厲钐瘗睞枥。

A．抽签法B．随机数法C．系统抽样法D．分层抽样法2. 【广东省广州市执信、广雅、六中2014 届高三 10 月三校联考 ( 理）】已知，若，则等于()A．B．C．D．3．【安徽省池州一中2014 届高三第一次月考数学（理）】甲、乙两位歌手在“中国好声音”选拔赛中， 5 位评委评分状况如茎叶图所示，记甲、乙两人的均匀得分分别为、，则以下判断正确的选项是（）A.甲比乙成绩稳固B.乙比甲成绩稳固聞創沟燴鐺險，，爱氇。

C.，甲比乙成绩稳固D.，乙比甲成绩稳固4.【广省广州市“十校” 2013-2014 学年度高三第一次考理】学校认识学生在外物方面的支出状况，抽取了个同学行，果示些同学的支出都在[10,50) （位：元），此中支出在（位：元）的同学有67 人，其率散布直方如右所示，的（）残骛楼諍锩瀨濟溆。

A．100 B ． 120C．130D．3905.【中原名校盟 2013-2014 学年高三上期第一次摸底考理】在内任取一点，点恰幸亏地区内的概率（）酽锕极額閉镇桧猪。

A ．B．C．D．6. .【山西省山大附中2014 届高三 9 月月考数学理】抛一枚均匀硬，正反每面出的概率都是，频频投，数列定以下：，若，事件“”的概率是（）彈贸摄尔霁毙攬砖。

A． B. C. D.7.【内蒙古赤峰市全市高中2014 届高三摸底考（理）】在本率散布直方中，共有 9 个小方形，若中一个小方形的面等于它8 个方形的面和的，且祥本容量 140，中一的数( )謀荞抟箧飆鐸怼类。

A.28B.40C.56D.608. 【改自 2013 年西高考】某学校高三年共有1080 名学生 ,采纳系抽方法,抽取 60 人做卷 ,将1080人按1, 2,⋯,1080 随机号 ,抽取的60 人中 ,号落入区 [581, 720]的人数（）厦礴恳蹒骈時盡继。

（一）选择题（12*5=60分）1.【内蒙古全市优质高中2014届高三摸底考试】复数121iz i+=- 的共扼复数z 表示的点在（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.【安徽省六校教育研究会2014届高三素质测试】已知集合{}1,3,A zi =，i 为虚数单位，{}4B =，A B A =则复数z = （ ）A.2i -B.2iC.4i -D.4i3.【河南省洛阳市2014届高三统一测试】执行如图1所示的程序框图，若输入8x =，则输出y 的值为（ ） A.34- B.12 C.52D.3【解析】4.【福建省厦门市外国语学校2014届高三第一次月考】已知定义在复数集C 上的函数()f x 满足()f x =()1,1,x x R i x x R+∈⎧⎨-∉⎩，则()1f i +等于（ ）A.2-B.0C.2D.2i +5.【宁夏银川九中2014届高三第四次月考】在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为()132n n -条时，第一步检验n 等于（ ） A.1 B.2 C.3 D.06.【云南省部分名校2014届高三11月统一考试】已知程序框图如图2所示，则该程序框图的功能是（ ）A.求数列1n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项的和()n N *∈ B.求数列1n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前11项的和()n N *∈C.求数列12n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项的和()n N *∈ D.求数列12n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前11项的和()n N *∈7.【天津市红桥区2014届高三上学期期中考试】某流程图如图3所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（ ）A.()xf x x = B.())lgf x x = C.()x xx x e e f x e e--+=-D.()2211x f x x-=+8.【吉林省白山一中2014届高三8月摸底考试】如图4给出的是计算11112462012++++的值的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是（ ）A.1005i ≤B.1005i >C.1006i ≤D.1006i >9.【云南师大附中2014届高三适应性月考三】执行如图5所示的程序框图，则输出结果S的值为（）A.12B.0C.32-D.1-10.【广东省中山一中等七校2014届高三第二次联考】对任意实数x 、y ，定义运算x y ax by cxy ⊗=++，其中a 、b 、c 是常数，等式右边的运算是通常的加法和乘法运算.已知123⊗=，234⊗=，并且有一个非零常数m ，使得x R ∀∈，都有x m x ⊗=，则34⊗的值是（ ）A.4-B.4C.3-D.311.【广东省五校协作体2014届高三第二次联考】定义在R 上的函数()f x ，如果存在函数()g x kx b =+（k 、b 为常数），使得()()f x g x ≥对一切实数x 都成立，则称()g x 为函数()f x 的一个承托函数．现 有如下命题：①对给定的函数()f x ，其承托函数可能不存在，也可能有无数个； ②()2g x x =为函数()2xf x =的一个承托函数；③定义域和值域都是R 的函数()f x 不存在承托函数. 其中正确命题的序号是（ ） A.① B.② C.①③D.②③12.【云南师大附中2014届高三适应性月考三】已知数列{}n a 的通项公式为()21n a n n N *=-∈，现将该数列{}n a 的各项排列组成如图6所示的三角形数阵：记(),M a b 表示该数阵中第a 行的第b 个数，则数阵中的数2015对应于A.()46,27MB.()46,19MC.()45,27MD.()45,18M1234第行第行第行第行135791113151719图6（二）填空题（4*5=20分）13.【四川省内江市2014届高三模拟考试】根据下列算法语句：INPUT “x =”；x IF 50x ≤ THEN 0.5y x =*ELSE()250.650y x =+*-END IF PRINT y当输入x 为60时，输出y 的值为.14.【2013年高考上海卷改编】定义运算a b ad bc c d =-，已知复数121m ii m mi-+++为纯虚数，其中i 为虚数单位，m R ∈，则m = .15.【陕西省商南县高中2014届高三第二次模拟考试】1212⨯=，221334⨯⨯=⨯，32135456⨯⨯⨯=⨯⨯， 4213575678⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯，，依此类推，第n 个等式为 .16.【河南省信阳四中2014届高三第三次月考】在平面几何里，有勾股定理“设ABC ∆的两边AB 、AC 互相垂直，则222AB AC BC +=”.拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面积与底面面积间的关系，可以得出正确的结论是：“设三棱锥A BCD -的三个侧面ABC 、ACD 、ABD 两两相互垂直，则 .（三）解答题（10+5*12=70分）17.【上海市吴淞中学2014届高三第二次月考】实数m 分别取什么数值时？复数()256z m m =+++()2215m m i --.（1）与复数i 1612+互为共轭复数；（2）对应的点在x 轴上方.18.【福建省德化中学2014届高三暑期测试】用数学归纳法证明：当2n ≥且n N *∈时， 2221111111232n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⋅-⋅⋅-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.19.【安徽省望江四中2014届高三第一次月考】某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数a .①22sin 13cos 17sin13cos17+-；②22sin 15cos 15sin15cos15+-；③22sin 18cos 12sin18cos12+-；④()()22sin18cos 48sin 18cos 48-+--； ⑤()()22sin 25cos 55sin 25cos55-+--. （1）从上述五个式子中选择一个，求出常数a ；（2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广为一个三角恒等式，并证明你的结论.20.【重庆市铜梁县铜梁中学2014届高三第二次月考】已知椭圆E 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心，且过双曲线2221x y -=的顶点. （1）求椭圆E 的标准方程；（2）命题：“设M 、N 是双曲线2221x y -=上关于它的中心对称的任意两点，P 为该双曲线上的动点，若直线PM 、PN 均存在斜率，则它们的斜率之积为定值”．试类比上述命题，写出一个关于椭圆E 的类似的正确命题，并加以证明和求出此定值；（3）试推广（2）中的命题，写出关于方程221mx ny +=（0mn ≠，m 、n 不同时为负数）的曲线的统一的一般性命题（不必证明）.①-②，得()()()2222222212121212404x x y y x x y y -+-=⇒-=--，21.【2013年高考陕西卷】设{}n a 是公比为q 的等比数列.（1）推导{}n a 的前n 项和公式；（2）设1q ≠，证明数列{}n a 不是等比数列.22.【全国重点中学2014届高三联考】对于函数()()f x x D ∈，若x D ∈时，均有()()f x f x '>成立，则称函数()f x 为J 函数.（1）当函数()ln xf x me x =是J 函数时，求m 的取值范围； （2）若函数()g x 为R +上的J 函数. ①试比较()g a 与()11a e g -的大小；②求证：对于任意大于1的正数1x 、2x 、、n x ，均有()()()1212ln ln ln n g x x x g x g x +++>++⎡⎤⎣⎦()ln n g x +.（四）附加题（15分）23.【湖北省孝感高中2014届高三9月调研考试】已知函数()f x 的定义域为()0,+∞，若()f x y x=在 ()0,+∞上为增函数，则称()f x 为“一阶比增函数”；若()2f x y x=在()0,+∞上为增函数，则称()f x 为“二阶比增函数”.我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为1Ω，所有“二阶比增函数”组成的集合记为2Ω.（1）已知函数()322f x x hx hx =--，若()1f x ∈Ω，且()2f x ∉Ω，求实数h 的取值范围；（2）已知0a b c <<<，()1f x ∈Ω且()f x 的部分函数值由下表给出：求证：()240d d t ⋅+->；（3）定义集合()()()(){}2,,0,,f x f x k x f x k ψ=∈Ω∈+∞<且存在常数使得任取.请问：是否存在常数M ，使得()f x ∀∈ψ，()0,x ∀∈+∞，有()f x M <成立？若存在，求出M 的最小值；若不存在，说明理由.。

(对应学生用书P253解析为教师用书独有)(时间：45分钟满分：100分)一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分)1．从3名女同学和2名男同学中选1人做学习委员，则不同的选法种数为() A．6 B．5C．3 D．2解析B“完成这件事”即选出一人作学习委员，可分选女学习委员和男学习委员两类进行，分别有3种选法和2种选法，所以共有3＋2＝5种不同的选法．2．(2013·安庆模拟)将3封信投入4个信箱，投法共有() A．A34种B．C34种C．43种D．34种解析C投3封信分三步，每投1封信为一步，每步均有4种方法，由分步乘法计数原理知，共有43种方法．3．如图是某汽车维修公司的维修点环形分布图，公司在年初分配给A，B，C，D四个维修点某种配件各50件，在使用前发现需将A，B，C，D四个维修点的这批配件分别调整为40,45,54,61件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么要完成上述调整，最少的调动件次(n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n)为()A．15 B．16C．17 D．18解析B只需A处给D处10件，B处给C处5件，C处给D处1件，共16件次．4．某晚会演出，原准备的节目表有6个节目，如果保持节目的顺序不变，在它们之间再插入2个节目，并且插入的节目不在排头和排尾，那么不同的插入方法有() A．20种B．30种C．42种D．56种解析B分两步进行，第一步，插入第一个节目，有5种不同的插法；第二步，插入第二个节目，有6种不同的插法，所以，总共有5×6＝30种不同的插法．5．从集合{1,2,3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为() A．3 B．4C．6 D．8解析D当公比为2时，等比数列可为1、2、4,2、4、8.当公比为3时，等比数列可为1、3、9.当公比为32时，等比数列可为4、6、9.同时，4、2、1,8、4、2,9、3、1和9、6、4也是等比数列，共8个．6．用1、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有() A．24个B．30个C．40个D．60个解析A分2种情况，当末位数为2时，有4×3＝12(个)，当末位数为4时，有4×3＝12(个)，共24个．二、填空题(本大题共3小题，每小题8分，共24分)7．在正方体中，由一条棱和一条平面对角线可以组成异面直线的对数为________．解析正方体共12条棱，每条棱可以与6条对角线组成异面直线，由分步乘法计数原理，共有6×12＝72对．【答案】728．(2013·太原模拟)三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，那么称这个数为凹数，如635,729,868等，所有的三位凹数的个数是________．解析按十位上的数字分九类，有12＋22＋32＋42＋52＋62＋72＋82＋92＝285个．【答案】2859．如图所示的阴影部分由方格纸上3个小方格组成，我们称这样的图案为L型(每次旋转90°仍为L型图案)，那么在由4×5个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L型图案的个数是________．解析每四个小方格(2×2型)中有“L”型图案4个，共有2×2型小方格12个，所以共有“L”型图案4×12＝48个．【答案】48三、解答题(本大题共3小题，共40分)10．(12分)电视台在“欢乐在今宵”节目中拿出两个信箱，其中放着竞猜中成绩优秀的观众来信，甲箱中有30封，乙箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两箱中各确定一名幸运观众，有多少种不同结果？解析分两类：(1)幸运之星在甲箱中抽，选定幸运之星，再在两箱内各抽一名幸运观众，有30×29×20＝17 400种；(2)幸运之星在乙箱中抽取，有20×19×30＝11 400种，共有不同结果17 400＋11 400＝28 800种．11．(12分)高二年级四个班中有34人自愿组成数学课外小组，其中一班有7人，二班有8人，三班有9人，四班有10人．推荐两人为中心发言人，且这两人必须来自不同的班级，则有多少种不同的选法？解析分六类，每类都分两步，①从一、二班各选一人，共有7×8＝56种；②从一、三班各选一人，共有7×9＝63种；③从一、四班各选一人，共有7×10＝70种；④从二、三班各选一人，共有8×9＝72种；⑤从二、四班各选一人，共有8×10＝80种；⑥从三、四班各选一人，共有9×10＝90种．所以共有不同的选法为：N＝56＋63＋70＋72＋80＋90＝431种．12．(16分)某校高一有6个班，高二有7个班，高三有8个班，学校利用星期六组织学生到某厂进行社会实践活动．(1)任选1个班的学生参加社会实践，有多少种不同的选法？(2)三个年级各选一个班的学生参加社会实践，有多少种不同的选法？(3)选2个班的学生参加社会实践，要求这2个班来自不同年级，有多少种不同的选法？解析(1)分三类：第一类，从高一年级选1个班，有6种不同方法；第二类，从高二年级选1个班，有7种不同方法；第三类，从高三年级选1个班，有8种不同方法．由分类加法计数原理，共有6＋7＋8＝21种不同的选法．(2)分三步：第一步，从高一年级选1个班，有6种不同方法；第二步，从高二年级选1个班，有7种不同方法；第三步，从高三年级选1个班，有8种不同方法．由分步乘法计数原理，共有6×7×8＝336种不同的选法．(3)分三类，每类又分两步．第一类，从高一、高二两个年级各选1个班，有6×7种不同方法；第二类，从高一、高三两个年级各选1个班，有6×8种不同方法；第三类，从高二、高三年级各选1个班，有7×8种不同的方法，故共有6×7＋6×8＋7×8＝146种不同选法．。

2014年高考数学（理）二轮复习精品资料-高效整合篇专题04不等式（一）选择题（12*5=60分）1. 【2014届湖南省四校高三上学期第三次联考理科】全集则（）A．B．C．D．2.【2014届江西师大附中高三年级10月月考理科】设全集为实数集，，，则图中阴影部分所表示的集合是（）A．B．C．D．3.【2014届吉林省实验中学高三上学期第一次阶段检测理科】已知变量满足约束条件，则的最小值为( )A．B．C． 8 D．4.【2014届安徽省皖南八校高三第一次联考理科】若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是( )A．B．C． D．5.【2014届山东省日照市第一中学高三上学期第一次月考理科】设函数，则满足的x的取值范围是 ( )A．，2] B．[0，2] C．[1，+) D．[0，+)6.【2014届河北省衡水中学高三上学期一调考试理科】实数，条件:，条件:，则是的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7.【2013届吉林省吉林市高三三模（期末）理科】已知点在不等式组表示的平面区域上运动，则的取值范围是（）A．B．C．D．8. 【2014届内蒙古赤峰市全市优质高中高三摸底考试理科】已知变量x，y满足则的取值范围是( )A．B．C．D．9.【2014届北京101中学高三上学期10月阶段性考试理科】已知点的坐标满足条件，那么的取值范围为（）A．B．C．D．10.【2012年高考江西卷理科8】某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50计，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表为使一年的种植总利润（总利润=总销售收入 总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为（ ）A ．50，0B ．30，20C ．20，30D ．0，50经过点()30,20B ,即30,20x y ==时,z 取得最大值,且max 48z =（万元）.故选B.11.【2014届湖北省教学合作高三10月联考理科】设，若，则的最大值为（）A．2 B．3 C．4 D．12. 【2014届湖南省四校高三上学期第三次联考理科】在R上定义运算若对任意，不等式都成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．（二）填空题（4*5=20分）13.【2014届浙江省嘉兴市高三上学期9月月考理科】已知正实数，满足，则的最小值是___________.14.【2014届山西省山西大学附中高三第一学期8月月考理科】设、满足约束条件，若目标函数的最大值为，则的最小值为 .15.【2014届山东省临沂市某重点中学高三9月月考理科】设命题p:,命题q:若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是___________．16. 2014届湖南省四校高三上学期第三次联考理科定义在R上的函数满足：，且对于任意的,都有＜，则不等式22log x 1f log x 2（）>的解集为 .（三）解答题（10+5*12=70分）17. 【2014届云南师大附中高考适应性月考理科】若均为正实数，并且，求证：【解析】18.【2014届湖北省教学合作高三10月联考理科】（本小题满分12分） 已知函数f(x)＝|2x －1|＋|2x ＋a|，g(x)=x+3.（Ⅰ）当a=-2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；（Ⅱ）设a ＞－1，且当x ∈[－，)时，f(x)≤g(x)，求a 的取值范围.【解析】19.【2012年高考江苏卷】（本小题满分12分）如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程221(1)(0)20y kx k x k =-+>表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标． （1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．20.【2014届广东省广州市执信、广雅、六中高三9月三校联考理科】已知数列前n 项和为成等差数列.（I）求数列的通项公式；（II）数列满足，求证：21.【2014届湖南省四校高三上学期第三次联考理科】已知函数，．（Ⅰ）设（其中是的导函数），求的最大值；（Ⅱ）求证:当时，有；（Ⅲ）设,当时,不等式恒成立，求的最大值.22.【2014届江西省余江一中高三第二次模拟考试理科】已知函数．（1）当时，求在最小值；（2）若存在单调递减区间，求的取值范围；（3）求证：（）．或：（四）附加题（15分）23. 【2014届湖北省武汉市高三11月调考理科】已知函数f(x)的导函数为f ′(x)，且对任意x ＞0，都有()()f x f x x '＞.（Ⅰ）判断函数()f x xF(x)=在(0，＋∞)上的单调性；（Ⅱ）设12x x (0)∈∞，，＋，证明：()()1212f x f x f (x x )＋＜＋; （Ⅲ）请将（Ⅱ）中的结论推广到一般形式，并证明你所推广的结论．。

数系的扩充与复数的引入[知识能否忆起]一、复数的有关概念1．复数的概念：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若a ＝0，b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数．2．复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c ，b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )．3．共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＋d ＝0(a ，b ，c ，d ∈R )．4．复数的模：向量OZ ―→的长度叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2.二、复数的几何意义复数z ＝a ＋b i ―→复平面内的点Z (a ，b )―→平面向量OZ . 三、复数的运算1．复数的加、减、乘、除运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则：(1)加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； (2)减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； (3)乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ； (4)除法：z 1z 2＝a ＋b ic ＋d i ＝a ＋b ic －d ic ＋d i c －d i＝ac ＋bd ＋bc －ad ic 2＋d 2(c ＋d i≠0)．2．复数加法、乘法的运算律对任意z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)；z 1·z 2＝z 2·z 1，(z 1·z 2)·z 3＝z 1·(z 2·z 3)，z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 3.[小题能否全取]1．(教材习题改编)已知a ∈R ，i 为虚数单位，若(1－2i)(a ＋i)为纯虚数，则a 的值等于( )A ．－6B ．－2C ．2D ．6解析：选B 由(1－2i)(a ＋i)＝(a ＋2)＋(1－2a )i 是纯虚数，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＝0，1－2a ≠0，由此解得a ＝－2.2．(2011·湖南高考)若a ，b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋i ，则( ) A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝－1，b ＝－1D ．a ＝1，b ＝－1解析：选D 由(a ＋i)i ＝b ＋i ，得－1＋a i ＝b ＋i ，根据两复数相等的充要条件得a ＝1，b ＝－1.3．(2012·天津高考)i 是虚数单位，复数5＋3i4－i ＝( )A ．1－iB ．－1＋iC ．1＋iD ．－1－i解析：选C 5＋3i4－i ＝5＋3i 4＋i 4－i4＋i ＝20＋5i ＋12i ＋3i 216－i 2＝17＋17i17＝1＋i. 4．若复数z 满足z1＋i＝2i ，则z 对应的点位于第________象限．解析：z ＝2i(1＋i)＝－2＋2i ，因此z 对应的点为(－2,2)，在第二象限内． 答案：二5．若复数z 满足z ＋i ＝3＋ii ，则|z |＝________.解析：因为z ＝3＋ii －i ＝1－3i －i ＝1－4i ，则|z |＝17.答案：17 1.复数的几何意义除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意 (1)|z |＝|z －0|＝a (a >0)表示复数z 对应的点到原点的距离为a ； (2)|z －z 0|表示复数z 对应的点与复数z 0对应的点之间的距离． 2．复数中的解题策略(1)证明复数是实数的策略：①z ＝a ＋b i ∈R ⇔b ＝0(a ，b ∈R )；②z ∈R ⇔z ＝z . (2)证明复数是纯虚数的策略：①z ＝a ＋b i 为纯虚数⇔a ＝0，b ≠0(a ，b ∈R )； ②b ≠0时，z －z ＝2b i 为纯虚数；③z 是纯虚数⇔z ＋z ＝0且z ≠0.复数的有关概念典题导入[例1] (1)(2012·陕西高考)设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2012·郑州质检)如果复数2－b i1＋2i (其中i 为虚数单位，b 为实数)的实部和虚部互为相反数，那么b 等于( )A ．－23B.23C. 2D ．2[自主解答] (1)若复数a ＋bi ＝a －b i 为纯虚数，则a ＝0，b ≠0，ab ＝0；而ab ＝0时a＝0或b ＝0，a ＋b i 不一定是纯虚数，故“ab ＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的必要不充分条件．(2)2－b i 1＋2i ＝2－b i1－2i 1＋2i1－2i ＝2－2b －4＋b i5，依题意有2－2b ＝4＋b ，解得b ＝－23.[答案] (1)B (2)A由题悟法处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理．由于复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )由它的实部与虚部唯一确定，故复数z 与点Z (a ，b )相对应．以题试法1．(2012·东北模拟)已知x1＋i ＝1－y i ，其中x ，y 是实数，i 是虚数单位，则x ＋y i的共轭复数为( )A ．1＋2iB ．1－2iC ．2＋iD ．2－i解析：选 D 依题意得x ＝(1＋i)(1－y i)＝(1＋y )＋(1－y )i ；又x ，y ∈R ，于是有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋y ，1－y ＝0，解得x ＝2，y ＝1.x ＋y i ＝2＋i ，因此x ＋y i 的共轭复数是2－i.复数的几何意义典题导入[例2] (2012·山西四校联考)已知复数z 的实部为－1，虚部为2，则2－iz(i 为虚部单位)在复平面内对应的点所在的象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[自主解答] 选C 依题意得2－i z ＝2－i －1＋2i ＝2－i－1－2i －1＋2i－1－2i ＝－4－3i5，因此该复数在复平面内对应的点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，－35，位于第三象限．由题悟法复数与复平面内的点是一一对应的，复数和复平面内以原点为起点的向量也是一一对应的，因此复数加减法的几何意义可按平面向量加减法理解，利用平行四边形法则或三角形法则解决问题．以题试法2．(1)在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B ，若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i(2)(2012·连云港模拟)已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－4i ，它们在复平面上对应的点分别为A ，B ，C ，若OC ＝λOA ＋μOB ，(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值是________．解析：(1)复数6＋5i 对应的点为A (6,5)，复数－2＋3i 对应的点为B (－2,3)．利用中点坐标公式得线段AB 的中点C (2,4)，故点C 对应的复数为2＋4i.(2)由条件得OC ＝(3，－4)，OA ＝(－1,2)，OB ＝(1，－1)， 根据OC ＝λOA ＋μOB 得(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－λ＋μ＝3，2λ－μ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝2.∴λ＋μ＝1. 答案：(1)C (2)1复数的代数运算典题导入[例3] (1)(2012·山东高考)若复数z 满足z (2－i)＝11＋7i(i 为虚数单位)，则z 为( )A ．3＋5iB ．3－5iC ．－3＋5iD ．－3－5i(2)(2011·重庆高考)复数i 2＋i 3＋i41－i ＝( )A ．－12－12iB ．－12＋12iC.12－12iD.12＋12i [自主解答] (1)z ＝11＋7i 2－i ＝11＋7i2＋i 2－i 2＋i ＝15＋25i5＝3＋5i.(2)i 2＋i 3＋i41－i ＝－1＋－i ＋11－i ＝－i1－i＝－i 1＋i 1－i 1＋i ＝1－i 2＝12－12i.[答案] (1)A (2)C由题悟法1．复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法运算是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式．2．记住以下结论，可提高运算速度：①(1±i)2＝±2i；②1＋i1－i＝i；③1－i1＋i＝－i；④a＋b ii＝b－a i；⑤i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N)．以题试法3．(1)(2012·山西四校联考)设复数z的共轭复数为z，若z＝1－i(i为虚数单位)，则zz＋z2的值为( )A．－3i B．－2iC．i D．－i(2)i为虚数单位，⎝⎛⎭⎪⎫1＋i1－i4＝________.解析：(1)依题意得zz＋z2＝1＋i1－i＋(1－i)2＝－i2＋i1－i－2i＝i－2i＝－i.(2)⎝⎛⎭⎪⎫1＋i1－i4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i224＝i4＝1.答案：(1)D (2)11．(2012·江西高考)若复数z＝1＋i(i为虚数单位)，z是z的共轭复数，则z2＋z2的虚部为( )A．0 B．－1C．1 D．－2解析：选A ∵z＝1＋i，∴z＝1－i，∴z2＋z2＝(z＋z)2－2z z＝4－4＝0，∴z2＋z 2的虚部为0.2．(2012·北京高考)在复平面内，复数10i3＋i 对应的点的坐标为( )A ．(1,3)B ．(3,1)C ．(－1,3)D ．(3，－1)解析：选A 由10i3＋i ＝10i 3－i 3＋i 3－i＝101＋3i10＝1＋3i 得，该复数对应的点为(1,3)．3．(2012·长春调研)若复数(a ＋i)2在复平面内对应的点在y 轴负半轴上，则实数a 的值是( )A ．1B ．－1 C. 2D ．－ 2解析：选B 因为复数(a ＋i)2＝(a 2－1)＋2a i ，所以其在复平面内对应的点的坐标是(a2－1,2a )，又因为该点在y 轴负半轴上，所以有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，2a <0，解得a ＝－1.4．(2013·萍乡模拟)复数1＋2i 2＋i1－i 2等于( ) A.52B ．－52C.52iD ．－52i解析：选B1＋2i 2＋i 1－i 2＝2＋4i ＋i ＋2i 2－2i ＝5i －2i ＝－52. 5．(2012·河南三市调研)已知i 为虚数单位，复数z ＝2＋i 1－2i ，则|z |＋1z ＝( )A ．iB ．1－iC ．1＋iD ．－i解析：选B 由已知得z ＝2＋i 1－2i ＝－2i 2＋i 1－2i ＝i 1－2i 1－2i ＝i ，|z |＋1z ＝|i|＋1i ＝1－i.6．(2012·安徽名校模拟)设复数z 的共轭复数为z ，若(2＋i)z ＝3－i ，则z ·z 的值为( )A ．1B ．2 C. 2D ．4解析：选B 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，代入(2＋i)z ＝3－i ，得(2a －b )＋(2b ＋a )i ＝3－i ，从而可得a ＝1，b ＝－1，那么z ·z ＝(1－i)(1＋i)＝2.7．(2013·长沙模拟)已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫i ，i 2，1i ，1＋i2i，i 是虚数单位，Z 为整数集，则集合Z ∩M 中的元素个数是( )A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个解析：选B 由已知得M ＝{i ，－1，－i,2}，Z 为整数集，∴Z ∩M ＝{－1,2}，即集合Z ∩M 中有2个元素．8．定义：若z 2＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则称复数z 是复数a ＋b i 的平方根．根据定义，则复数－3＋4i 的平方根是( )A ．1－2i 或－1＋2iB ．1＋2i 或－1－2iC ．－7－24iD ．7＋24i解析：选B 设(x ＋y i)2＝－3＋4i(x ，y ∈R )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝－3，xy ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2.9．在复平面内，复数1＋i 与－1＋3i 分别对应向量OA 和OB ，其中O 为坐标原点，则|AB |＝________.解析：由题意知A (1,1)，B (－1,3)， 故|AB |＝－1－12＋3－12＝2 2.答案：2 210．已知复数z ＝1－i ，则z 2－2zz －1＝________.解析：z 2－2z z －1＝z －12－1z －1＝z －1－1z －1＝(－i)－1－i ＝－i －i －i·i＝－2i.答案：－2i11．设复数z 满足|z |＝5且(3＋4i)z 是纯虚数，则z ＝________. 解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则有a 2＋b 2＝5. 于是(3＋4i)z ＝(3a －4b )＋(4a ＋3b )i.由题设得⎩⎪⎨⎪⎧3a －4b ＝04a ＋3b ≠0得b ＝34a 代入得a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫34a 2＝25，a ＝±4，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝－3.∴z ＝4－3i 或z ＝－4＋3i. 答案：±(4－3i) 12.－1＋i2＋ii3＝________.解析：－1＋i2＋ii3＝－3＋i －i＝－1－3i.答案：－1－3i13．(2011·上海高考改编)已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，则z 2＝________.解析：(z 1－2)(1＋i)＝1－i ⇒z 1＝2－i. 设z 2＝a ＋2i ，a ∈R . 则z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i) ＝(2a ＋2)＋(4－a )i.∵z 1·z 2∈R ，∴a ＝4.∴z 2＝4＋2i. 答案：4＋2i14．若复数z ＝a 2－1＋(a ＋1)i(a ∈R )是纯虚数，则1z ＋a的虚部为________． 解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a ＋1≠0，所以a ＝1，所以1z ＋a ＝11＋2i＝1－2i 1＋2i 1－2i ＝15－25i ，根据虚部的概念，可得1z ＋a 的虚部为－25. 答案：－251．(2012·山东日照一模)在复数集C 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ，x ∈R ，1－i x ，x ∉R ，则f (1＋i)等于( )A ．2＋iB ．－2C ．0D ．2解析：选D ∵1＋i ∉R ，∴f (1＋i)＝(1－i)(1＋i)＝2.2．已知i 为虚数单位，a 为实数，复数z ＝(1－2i)(a ＋i)在复平面内对应的点为M ，则“a >12”是“点M 在第四象限”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C z ＝(1－2i)(a ＋i)＝(a ＋2)＋(1－2a )i ，若其对应的点在第四象限，则a ＋2>0，且1－2a <0，解得a >12.即“a >12”是“点M 在第四象限”的充要条件．3．已知复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，且|z －2|＝3，则yx的最大值为________． 解析：|z －2|＝x －22＋y 2＝3，∴(x －2)2＋y 2＝3. 由图可知⎝ ⎛⎭⎪⎫y x max ＝31＝ 3. 答案： 34．复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i ，与复数12＋16i 互为共轭复数，则实数m ＝________.解析：根据共轭复数的定义得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6＝12，m 2－2m －15＝－16.解之得m ＝1.答案：15．已知z 是复数，z ＋2i ，z2－i 均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由题意得y ＝－2. ∵z2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i)＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i. 由题意得x ＝4，∴z ＝4－2i.∴(z ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i. 由于(z ＋a i)2在复平面上对应的点在第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2>0，8a －2>0，解得2<a <6.∴实数a 的取值范围是(2,6)．6．设z 是虚数，ω＝z ＋1z，且－1<ω<2.(1)求|z |的值及z 的实部的取值范围； (2)设u ＝1－z1＋z ，求证：u 为纯虚数．解：(1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，b ≠0)，ω＝a ＋b i ＋1a ＋b i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a a 2＋b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b －b a 2＋b 2i ，∵ω是实数，∴b －ba 2＋b 2＝0.又b ≠0，∴a 2＋b 2＝1.∴|z |＝1，ω＝2a . ∵－1<ω<2，∴－12<a <1，即z 的实部的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1. (2)u ＝1－z 1＋z ＝1－a －b i 1＋a ＋b i ＝1－a 2－b 2－2b i 1＋a 2＋b 2＝－b a ＋1i. ∵－12<a <1，b ≠0，∴u 为纯虚数．1．已知a ＋2ii＝b ＋i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a ＋b ＝( ) A ．－1 B ．1 C ．2 D ．3解析：选Ba ＋2i i ＝i a ＋2ii 2＝2－a i ＝b ＋i ，由复数相等的条件得b ＝2，a ＝－1，则a ＋b ＝1.2．对任意复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，i 为虚数单位，则下列结论正确的是( ) A ．|z －z |＝2y B ．z 2＝x 2＋y 2C ．|z －z |≥2xD ．|z |≤|x |＋|y |解析：选D ∵z －z ＝2y i ，∴|z －z |＝2|y |，选项A 、C 错误；而z 2＝(x ＋y i)2＝x2－y 2＋2xy i ，选项B 错误；而|z |＝x 2＋y 2，|z |2＝x 2＋y 2，(|x |＋|y |)2＝x 2＋y 2＋2|xy |≥x 2＋y 2，因此|z |≤|x |＋|y |.3．已知虚数z ，使得z 1＝z 1＋z 2和z 2＝z 21＋z 都为实数，求z . 解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，且y ≠0)，则z 2＝x 2－y 2＋2xy i ，∴z 1＝x x 2＋y 2＋1＋y 1－x 2－y 2ix 2－y 2＋12＋4x 2y 2，∵z 1∈R ，又y ≠0，∴x 2＋y 2＝1，同理，由z 2∈R 得x 2＋2x ＋y 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝±32.∴z ＝－12±32i.三角函数、解三角形 平面向量、数系的扩充与复数的引入一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)1．(2012·新课标全国卷)复数z ＝－3＋i2＋i 的共轭复数是( )A ．2＋iB ．2－iC ．－1＋iD ．－1－i解析：选D z ＝－3＋i2＋i ＝－3＋i 2－i2＋i2－i＝－1＋i ，所以z ＝－1－i.2．(2012·潍坊模拟)已知x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，cos x ＝45，则tan 2x ＝( ) A.724B ．－724C.247D ．－247解析：选D 依题意得sin x ＝－1－cos 2x ＝－35，tan x ＝sin x cos x ＝－34，所以tan 2x＝2tan x 1－tan 2x ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－341－⎝ ⎛⎭⎪⎫－342＝－247. 3．(2012·广州调研)设复数z 1＝1－3i ，z 2＝3－2i ，则z 1z 2在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限 解析：选D 因为z 1z 2＝1－3i3－2i＝1－3i 3＋2i 3－2i3＋2i ＝9－7i 13，所以z 1z 2在复平面内对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫913，－713，在第四象限．4．(2012·邵阳模拟)已知a ＝(1，sin 2x )，b ＝(2，sin 2x )，其中x ∈(0，π)．若|a ·b |＝|a ||b |，则tan x 的值等于( )A ．1B ．－1 C. 3D.22解析：选A 由|a ·b |＝|a ||b |知，a ∥b ，所以sin 2x ＝2sin 2x ，即2sin x cos x ＝2sin 2x ，而x ∈(0，π)， 所以sin x ＝cos x ，tan x ＝1.5．(2012·福州质检查)“cos α＝35”是“cos 2α＝－725”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A ∵cos α＝35，∴cos 2α＝2cos 2α－1＝2×925－1＝－725，∴由cos α＝35可推出cos 2α＝－725. 由cos 2α＝－725得cos α＝±35，∴由cos 2α＝－725不能推出cos α＝35.综上，“cos α＝35”是“cos 2α＝－725”的充分而不必要条件．6．若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( )A.π2B.2π3C.3π2D.5π3解析：选C ∵f (x )为偶函数，∴φ3＝k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝3k π＋32π(k ∈Z )．又∵φ∈[0,2π]，∴φ＝32π.7．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若c cos A ＝b ，则△ABC ( ) A ．一定是锐角三角形 B ．一定是钝角三角形 C ．一定是直角三角形 D ．一定是斜三角形解析：选C 在△ABC 中，因为c cos A ＝b ，根据余弦定理，得c ·b 2＋c 2－a 22bc＝b ，故c2＝a 2＋b 2，因此△ABC 一定是直角三角形．8．设点A (2,0)，B (4,2)，若点P 在直线AB 上，且|AB |＝2|AP |，则点P 的坐标为( )A ．(3,1)B ．(1，－1)C ．(3,1)或(1，－1)D ．无数多个解析：选C 设P (x ，y )，则由|AB |＝2|AP |，得AB ＝2AP 或AB ＝－2AP .AB ＝(2,2)，AP ＝(x －2，y )，即(2,2)＝2(x －2，y )，x ＝3，y ＝1，P (3,1)，或(2,2)＝－2(x －2，y )，x ＝1，y ＝－1，P (1，－1)．9．(2012·福州质检)将函数f (x )＝sin 2x (x ∈R )的图象向右平移π4个单位后，所得到的图象对应的函数的一个单调递增区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0B.⎝⎛⎭⎪⎫0，π2C.⎝⎛⎭⎪⎫π2，3π4D.⎝⎛⎭⎪⎫3π4，π解析：选B 将函数f (x )＝sin 2x (x ∈R )的图象向右平移π4个单位后得到函数g (x )＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝－cos 2x 的图象，则函数g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2，k ∈Z ，而满足条件的只有B.10．(2012·西安名校三检)已知tan β＝43，sin(α＋β)＝513，且α，β∈(0，π)，则sin α的值为( )A.6365B.1365C.3365D.6365或3365解析：选A 依题意得sin β＝45，cos β＝35；注意到sin(α＋β)＝513<sin β，因此有α＋β>π2(否则，若α＋β≤π2，则有0<β<α＋β≤π2，0<sin β<sin(α＋β)，这与“sin(α＋β)<sin β”矛盾)，cos(α＋β)＝－1213，sin α＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝6365.11．(2012·河南三市调研)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b 2＝a 2－ac ＋c 2，C －A ＝90°，则cos A cos C ＝( )A.14B.24 C ．－14D ．－24解析：选C 依题意得a 2＋c 2－b 2＝ac ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ac 2ac ＝12.又0°<B <180°，所以B ＝60°，C ＋A ＝120°.又C －A ＝90°，所以C ＝90°＋A ，A ＝15°，cos A cos C ＝cos A cos(90°＋A )＝－12sin 2A ＝－12sin 30°＝－14.12．(2012·广东高考)对任意两个非零的平面向量α和β，定义α∘β＝α·ββ·β.若两个非零的平面向量a ，b 满足a 与b 的夹角θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，且a ∘b 和b ∘a 都在集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2|n ∈Z 中，则a ∘b ＝( )A.52B.32 C ．1D.12解析：选D a ∘b ＝a ·b b ·b ＝|a ||b|cos θ|b |2＝|a |cos θ|b |，① b ∘a ＝b ·a a ·a ＝|b ||a |cos θ|a |2＝|b |cos θ|a |.② ∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，∴0<cos θ<22.①×②得(a ∘b )(b ∘a )＝cos 2θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.因为a ∘b 和b ∘a 都在集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2|n ∈Z 中，设a ∘b ＝n 12，b ∘a ＝n 22(n 1，n 2∈Z )，即(a ∘b )·(b ∘a )＝cos 2θ＝n 1n 24，所以0<n 1n 2<2，所以n 1，n 2的值均为1，故a ∘b ＝n 12＝12.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知a ＝2，b ＝3，则sin Asin A ＋C ＝________.解析：sin A sin A ＋C ＝sin A sin B ＝a b ＝23.答案：2314．(2012·安徽高考)设向量a ＝(1,2m )，b ＝(m ＋1,1)，c ＝(2，m )．若(a ＋c )⊥b ，则|a |＝________.解析：a ＋c ＝(1,2m )＋(2，m )＝(3,3m )．∵(a ＋c )⊥b ，∴(a ＋c )·b ＝(3,3m )·(m ＋1,1)＝6m ＋3＝0. ∴m ＝－12.∴a ＝(1，－1)．∴|a |＝ 2. 答案： 215.如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位所在直线AB 与旗杆所在直线MN 共面，在该列的第一个座位A 和最后一个座位B 测得旗杆顶端N 的仰角分别为60°和30°，且座位A 、B 的距离为106米，则旗杆的高度为________米．解析：由题可知∠BAN ＝105°，∠BNA ＝30°，由正弦定理得AN sin 45°＝106sin 30°，解得AN ＝203(米)，在Rt △AMN 中，MN ＝203sin 60°＝30(米)．故旗杆的高度为30米．答案：3016．已知函数f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x －1，x ∈R ，若函数h (x )＝f (x ＋α)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0对称，且α∈(0，π)，则α的值为________．解析：∵f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x －1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，∴h (x )＝f (x ＋α)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2α－π3.∵函数h (x )的图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0∴－2π3＋2α－π3＝k π.∴α＝k ＋1π2，k ∈z .又α∈(0，π)，∴α＝π2.答案：π2三、解答题(本题共6小题，共70分)17．(本小题满分10分)(2012·广州二测)已知函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3(A >0，ω>0)在某一个周期内的图象的最高点和最低点的坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫5π12，2，⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12，－2.(1)求A 和ω的值；(2)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin α＝45，求f (α)的值．解：(1)∵函数f (x )在某一周期内的图象的最高坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，2，∴A ＝2，得函数f (x )的周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12－5π12＝π，∴ω＝2πT＝2.(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin α＝45，∴cos α＝1－sin 2α＝35，∴sin 2α＝2sin αcos α＝2425，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝－725.∴f (α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2αcos π3－cos 2αsin π3＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫2425×12＋725×32＝24＋7325.18．(本小题满分12分)(2012·天津高考)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋2cos 2x －1，x ∈R .(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值和最小值． 解：(1)f (x )＝sin 2x ·cos π3＋cos 2x ·sin π3＋sin 2x ·cos π3－cos 2x ·sin π3＋cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π8上是增函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π4上是减函数，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1，故函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值为2，最小值为－1.19．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C .(1)求角B 的大小；(2)设m ＝(sin A ，cos 2A )，n ＝(4k,1)(k >1)，且m ·n 的最大值是5，求k 的值． 解：(1)因为(2a －c )cos B ＝b cos C ，所以在△ABC 中，由正弦定理，得(2sin A －sin C )cosB ＝sin B cosC ，所以2sin A cos B ＝sin B cos C ＋cos B sin C ， 即2sin A cos B ＝sin A .又在△ABC 中，sin A >0，B ∈(0，π)，所以cos B ＝12.所以B ＝π3.(2)因为m ＝(sin A ，cos 2A )，n ＝(4k,1)(k >1)， 所以m ·n ＝4k sin A ＋cos 2A ＝－2sin 2A ＋4k sin A ＋1， 即m ·n ＝－2(sin A －k )2＋2k 2＋1.又B ＝π3，所以A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2π3.所以sin A ∈(0,1]．所以当sin A ＝1⎝⎛⎭⎪⎫A ＝π2时，m ·n 的最大值为4k －1. 又m ·n 的最大值是5，所以4k －1＝5.所以k ＝32.20．(本小题满分12分)已知复数z 1＝sin 2x ＋t i ，z 2＝m ＋(m －3cos 2x )i(i 为虚数单位，t ，m ，x ∈R )，且z 1＝z 2.(1)若t ＝0且0<x <π，求x 的值；(2)设t ＝f (x )，已知当x ＝α时，t ＝12，试求cos ⎝⎛⎭⎪⎫4α＋π3的值． 解：(1)因为z 1＝z 2，所以⎩⎨⎧sin 2x ＝m ，t ＝m －3cos 2x ，即t ＝sin 2x －3cos 2x .若t ＝0，则sin 2x －3cos 2x ＝0，得tan 2x ＝ 3. 因为0<x <π，所以0<2x <2π，所以2x ＝π3或2x ＝4π3，所以x ＝π6或x ＝2π3.(2)因为t ＝f (x )＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3， 因为当x ＝α时，t ＝12，所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3＝12，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α＝－14，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4α＋π3＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6－1＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α－1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－142－1＝－78.21．(本小题满分12分)(2012·长春调研)如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A ，B 两点．(1)如果A ，B 两点的纵坐标分别为45，1213，求cos α和sin β；(2)在(1)的条件下，求cos(β－α)的值；(3)已知点C (－1，3)，求函数f (α)＝OA ·OC 的值域． 解：(1)根据三角函数的定义，得sin α＝45，sin β＝1213.又α是锐角，所以cos α＝35.(2)由(1)知sin β＝1213.因为β是钝角，所以cos β＝－513.所以cos(β－α)＝cos βcos α＋sin βsin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－513×35＋1213×45＝3365. (3)由题意可知，OA ＝(cos α，sin α)，OC ＝(－1，3)． 所以f (α)＝OA ·OC ＝3sin α－cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6， 因为0<α<π2，所以－π6<α－π6<π3，所以－12<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6<32，从而－1<f (α)< 3.所以函数f (α)的值域为(－1, 3)．22．(本小题满分12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边长，已知 2sin A ＝3cos A .(1)若a 2－c 2＝b 2－mbc ，求实数m 的值；(2)若a ＝3，求△ABC 面积的最大值．解：(1)由2sin A ＝3cos A 两边平方得2sin 2A ＝3cos A 即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0，解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍)． 而a 2－c 2＝b 2－mbc 可以变形为b 2＋c 2－a 22bc ＝m 2， 即cos A ＝m 2＝12，所以m ＝1. (2)由(1)知 cos A ＝12，则sin A ＝32. 又b 2＋c 2－a 22bc ＝12， 所以bc ＝b 2＋c 2－a 2≥2bc －a 2，即bc ≤a 2.当且仅当b ＝c 时等号成立．故S △ABC ＝bc2sinA ≤a 22·32＝334.。

(对应学生用书P275解析为教师用书独有)(时间：45分钟满分：100分)一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分)1．(2012·重庆高考)对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是() A．相离B．相切C．相交但直线不过圆心D．相交且直线过圆心解析C直线y＝kx＋1过定点(0,1)，而02＋12<2，所以点(0,1)在圆x2＋y2＝2内部，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2相交且直线不经过圆心，故选C.2．半径为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程是() A．(x－4)2＋(y－6)2＝6B．(x±4)2＋(y－6)2＝6C．(x－4)2＋(y－6)2＝36D．(x±4)2＋(y－6)2＝36解析D依题意，设圆心为(x,6)，由两圆内切，得(x－0)2＋(6－3)2＝6－1，∴x＝±4，∴圆的方程为(x±4)2＋(y－6)2＝36.3．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0截得的弦长为()A. 3 B．2C. 6 D．2 3解析D圆心坐标为(0,2)，直线方程为y＝3x，作出草图，数形结合，构造直角三角形，圆心在y轴，直径为4，所求弦长过原点且与x轴所成的角为60°⇒弦长＝4cos 30°＝2 3.4．两圆x2＋y2＝m与x2＋y2＋6x－8y－11＝0有公共点，则实数m的取值范围是()A ．m <1B ．1≤m ≤121C ．m >121D ．1<m <121解析 B 若两圆有公共点，则两圆的位置关系为相切或相交，将m ＝1代入验证符合题意，故选B.5．已知圆O 的方程是x 2＋y 2－8x －2y ＋10＝0，则过点M (3,0)的最短弦所在的直线方程是( )A ．x ＋y －3＝0B ．x －y －3＝0C ．2x －y －6＝0D ．2x ＋y －6＝0 解析 A 圆O 的方程化为标准形式为(x －4)2＋(y －1)2＝7，圆心O (4,1)，设过点M (3,0)的最短弦所在的直线为l ，∵k OM ＝1，∴k l ＝－1，∴l 的方程为y ＝－1·(x －3)，即x ＋y －3＝0.6．已知点P (a ，b )(ab ≠0)是圆x 2＋y 2＝r 2内的一点，直线m 是以P 为中点的弦所在的直线，直线l 的方程为ax ＋by ＝r 2，那么( )A ．m ∥l ，且l 与圆相交B ．m ⊥l ，且l 与圆相切C ．m ∥l ，且l 与圆相离D ．m ⊥l ，且l 与圆相离解析 C 直线m 的方程为y －b ＝－a b (x －a )，即ax ＋by －a 2－b 2＝0，∵P 在圆内，∴a 2＋b 2<r 2，∴m ∥l .∵圆心到直线l 的距离d ＝r 2a 2＋b 2>r ，∴直线l 与圆相离． 二、填空题(本大题共3小题，每小题8分，共24分)7．(2013·西安二检)已知圆O ：x 2＋y 2＝5和点A (1,2)，则过点A 且与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于________．解析 ∵点A (1,2)在圆x 2＋y 2＝5上，∴过点A 与圆O 相切的切线方程为x ＋2y ＝5，易知切线在坐标轴上的截距分别为5，52，所以切线与坐标轴围成的三角形的面积为254.8．若圆O 1：x 2＋y 2＝5与圆O 2：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R )相交于A 、B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是________．解析 由题知O 1(0,0)，O 2(m,0)，且5<|m |<35，又O 1A ⊥AO 2，所以有m 2＝(5)2＋(25)2＝25⇒m ＝±5，又S △AO 1O 2＝12|O 1A ||O 2A |＝12|O 1O 2|·|AB |2，所以|AB |＝2|O 1A ||O 2A ||O 1O 2|＝4. 【答案】 49．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值范围是________．解析 因为圆的半径为2，且圆上有且仅有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，即要圆心到直线的距离小于1，即|c |122＋(－5)2<1，解得－13<c <13. 【答案】 (－13,13)三、解答题(本大题共3小题，共40分)10．(12分)若直线y ＝kx ＋1与x 2＋y 2＋kx ＋my －4＝0交于M ，N 两点，并且M ，N 关于直线x ＋y ＝0对称，求m 的值．解析 根据题意，可知直线y ＝kx ＋1与直线x ＋y ＝0垂直，∴k ＝1. ∵圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 2，－m 2在直线x ＋y ＝0上， 则－k 2－m 2＝0，∴m ＝－1.11．(12分)已知直线l 1：4x ＋y ＝0，直线l 2：x ＋y －1＝0以及l 2上一点P (3，－2)．求圆心C 在l 1上且与直线l 2相切于点P 的圆的方程．解析 设圆心为C (a ，b )，半径为r ，依题意，得b ＝－4a .又PC ⊥l 2，直线l 2的斜率k 2＝－1，∴过P ，C 两点的直线的斜率k PC ＝－2－(－4a )3－a＝1， 解得a ＝1，b ＝－4，r ＝|PC |＝2 2.故所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.12．(16分)已知圆C ：x 2＋(y －1)2＝5，直线l ：mx －y ＋1－m ＝0.(1)求证：对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同的交点；(2)设直线l 与圆C 交于A ，B 两点，若|AB |＝17，求直线l 的倾斜角．解析 (1)将已知直线l 化为y －1＝m (x －1)．故直线l 恒过定点P (1,1)． 因为12＋(1－1)2＝1<5，故点P (1,1)在已知圆C 内，从而直线l 与圆C 总有两个不同的交点．(2)圆半径r ＝5，圆心C 到直线l 的距离为d ＝r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＝32， 由点到直线的距离公式得|－m |m 2＋(－1)2＝32，解得m ＝±3，故直线的斜率为±3，从而直线l 的倾斜角为π3或2π3.。

常考问题1 函数、基本初等函数的图象与性质[真题感悟]1．(2011·江苏卷)函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是________．解析 因为函数u ＝2x ＋1，y ＝log 5u 在定义域上都是递增函数，所以函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间即为该函数的定义域，即2x ＋1＞0，解得x ＞－12，所以所求单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞2．(2013·山东卷改编)已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2＋1x，则f (－1)＝________.解析 f (－1)＝－f (1)＝－2. 答案 －23．(2013·南京、盐城模拟)若函数f (x )＝a －12x －1是定义在(－∞，－1]∪[1，＋∞)上的奇函数，则f (x )的值域为________．解析 由题意可得f (－1)＝－f (1)，解得a ＝－12，所以f (x )＝－12－12x －1，当x ≥1时，得f (x )为增函数，2x ≥2,2x －1≥1，∴0＜12x－1≤1，∴－32≤f (x )＜－12.由对称性知，当x ≤－1时，12＜f (x )≤32.综上，所求值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，－12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤12，32.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，－12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤12，324．(2010·江苏卷)设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x)(x ∈R )是偶函数，则实数a 的值为______________．解析 由题意可得g (x )＝e x＋a e －x为奇函数，由g (0)＝0，得a ＝－1. 答案 －1 [考题分析]高考对本内容的考查主要有：(1)函数的概念和函数的基本性质是B级要求，是重要考点；(2)指数与对数的运算、指数函数与对数函数的图象和性质都是考查热点，要求都是B级；(3)幂函数是A级要求，不是热点考点，但要了解幂函数的概念以及简单幂函数的性质．试题类型一般是一道填空题，有时与方程、不等式综合考查.1．函数及其图象(1)定义域、值域和对应关系是确定函数的三要素，是一个整体，研究函数问题时务必须“定义域优先”．(2)对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换．2．函数的性质(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、变形、判断符号和下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则；(2)奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质．偶函数的图象关于y轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性；(3)周期性：周期性也是函数在定义域上的整体性质．若函数满足f(a＋x)＝f(x)(a不等于0)，则其周期T＝ka(k∈Z)的绝对值．3．求函数最值(值域)常用的方法(1)单调性法：适合于已知或能判断单调性的函数；(2)图象法：适合于已知或易作出图象的函数；(3)基本不等式法：特别适合于分式结构或两元的函数；(4)导数法：适合于可求导数的函数．4．指数函数、对数函数和幂函数的图象和性质(1)指数函数y＝a x(a>0且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)的图象和性质，分0<a<1和a>1两种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质；(2)幂函数y＝xα的图象和性质，分幂指数α>0和α<0两种情况．5．函数图象的应用函数的图象和解析式是函数关系的主要表现形式，它们的实质是相同的，在解题时经常要互相转化．在解决函数问题时，尤其是较为繁琐的(如分类讨论，求参数的取值范围等)问题时，要注意充分发挥图象的直观作用.热点一 函数的性质及其应用【例1】 (1)设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝________.(2)(2013·苏州模拟)设奇函数y ＝f (x )(x ∈R )，满足对任意t ∈R 都有f (t )＝f (1－t )，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12时，f (x )＝－x 2，则f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32的值等于________．解析 (1)依题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－2×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝－12. (2)根据对任意t ∈R 都有f (t )＝f (1－t )可得f (－t )＝f (1＋t )，即f (t ＋1)＝－f (t )，进而得到f (t ＋2)＝－f (t ＋1)＝－[－f (t )]＝f (t )，得函数y ＝f (x )的一个周期为2，故f (3)＝f (1)＝f (0＋1)＝－f (0)＝0, f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－14.所以f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32的值是0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝－14.答案 (1)－12 (2)－14[规律方法] 根据函数的奇偶性、单调性和周期性，把所求函数值转化为给定范围内的函数值，再利用所给范围内的函数解析式求出函数值．【训练1】 (1)函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为________．(2)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )，当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2，当－1≤x <3时，f (x )＝x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2014)＝________.解析 (1)由f ′(x )>2转化为f ′(x )－2>0，构造函数F (x )＝f (x )－2x ，得F (x )在R 上是增函数，又F (－1)＝f (－1)－2×(－1)＝4，f (x )>2x ＋4，即F (x )>4＝F (－1)，所以x >－1.(2)易知函数的周期为6.所以f (－3)＝f (3)＝－1，f (－2)＝f (4)＝0，f (1)＝1，f (2)＝2，所以在一个周期内有f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝1＋2－1＋0－1＋0＝1，所以f (1)＋f (2)＋…＋f (2014)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋335×1＝335＋2＝337. 答案 (1)(－1，＋∞) (2)337 热点二 函数的图象及其应用【例2】 设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，则不等式f x －f －xx<0的解集为________．解析由奇函数的定义和f (2)＝0得出函数在(－∞，0)上也为增函数．画出函数草图(如图)，可得在(－2,0)和(2，＋∞)上f (x )>0，在(－∞，－2)和(0,2)上f (x )<0.当x >0时，由f x －f －xx<0，可得f (x )－f (－x )＝2f (x )<0，结合图象可知(0,2)符合；当x <0时，由f x －f －xx<0，可得f (x )－f (－x )＝2f (x )>0，结合图象可知(－2,0)符合．答案 (－2,0)∪(0,2)[规律方法] 研究函数时，注意结合图象，在解方程和不等式等问题时，借助图象能起到十分快捷的作用．【训练2】 (2013·盐城调研)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋cx ≤0，2 x >0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为________．解析由f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，可得b ＝4，c ＝2.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2x ≤0，2 x >0，图象如图所示．方程f (x )＝x 解的个数即y ＝f (x )与y ＝x 图象的交点个数．由图知两图象有A ，B ，C 三个交点，故方程有3个解． 答案 3热点三 函数的综合应用【例3】 (2013·无锡模拟)设函数f (x )＝lg∑n －1i ＝1i x ＋n xa n，其中a ∈R ，对于任意的正整数n (n ≥2)，如果不等式f (x )＞(x －1)lg n 在区间[1，＋∞)上有解，则实数a 的取值范围为______．解析 由题意可得函数f (x )＝lg ∑n －1i ＝1i x＋n xa n ＝lg1x ＋2x ＋3x ＋…＋n －1x＋n xan＞(x －1)lgn ＝lg nx －1，即为1x ＋2x ＋3x ＋…＋n －1x＋n xa n＞n x －1在区间[1，＋∞)上有解，分离参数可得1－a ＜⎣⎢⎡ ⎝ ⎛⎭⎪⎫1nx＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2n x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3n x ＋…＋⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n x max ，由指数函数的单调性可得函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1n x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2n x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3n x ＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n x 在区间[1，＋∞)递减，即x ＝1时取得最大值1＋2＋3＋…＋n －1n＝n －12，所以1－a ＜n －12⇒a ＞3－n2在n ≥2时恒成立，所以a ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫3－n 2max，而3－n 2在[2，＋∞)上递减，所以当n ＝2时取得最大值12，故a ＞12. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞[规律方法] 关于不等式恒成立、有解问题，通常利用分离参数的方法将所求字母的取值范围转化为函数最值，再利用相关函数的单调性等性质求函数最值，要熟练掌握并且能够灵活应用这一解法．【训练3】 已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x a －12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b x－12的定义域是[a ，b ]，其中0＜a ＜b .(1)求f (x )的最小值； (2)讨论f (x )的单调性．解 (1)f (x )＝x 2a 2＋b 2x 2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x a ＋b x ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x a ＋b x 2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x a ＋b x ＋2－2b a.设t ＝x a ＋bx ，则由x ∈[a ，b ]，0＜a ＜b ，得t ≥2 b a， 从而t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2b a ，1＋b a ，于是y ＝t 2－2t ＋2－2b a＝(t －1)2＋1－2b a在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2b a ，1＋b a 上单调递增， 所以当t ＝2b a ，即x ＝ab 时，f (x )min ＝2⎝⎛⎭⎪⎫ b a －12. (2)由t ＝x a ＋bx≥2b a ，当且仅当x a ＝bx， 即x ＝ab 时等号成立，且t ＝x a ＋b x在[a ，ab ]上单调递减， 在[ab ，b ]上单调递增， 且y ＝t 2－2t ＋2－2b a 是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 b a ，1＋b a 上单调递增函数，所以f (x )在区间[a ，ab ]上单调递减，区间[ab ，b ]上单调递增.备课札记：希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！。

[数学思想专练(四)]一、选择题1．若a>2，则关于x的方程错误!x3－ax2＋1＝0在（0，2）上恰好有（）A．0个根B．1个根C．2个根D．3个根解析：选B 设f（x)＝13x3－ax2＋1，则f′（x）＝x2－2ax＝x （x－2a），当x∈(0,2)时，f′（x)〈0，f（x)在(0,2）上为减函数．又f（0）f（2)＝1×错误!＝错误!－4a〈0，所以f(x）＝0在（0，2)上恰好有1个根．2.如图所示，已知三棱锥P。

ABC，PA＝BC＝2错误!，PB＝AC＝10，PC＝AB＝241,则三棱锥P.ABC的体积为( )A．40 B．80C．160 D．240解析：选C 因为三棱锥P。

ABC的三组对边两两相等，则可将此三棱锥放在一个特定的长方体中（如图所示）．把三棱锥P.ABC补成一个长方体AEBG。

FPDC，易知三棱锥P。

ABC的各边分别是此长方体的面对角线,不妨令PE＝x ，EB ＝y ，EA ＝z ，则由已知,可得⎩⎨⎧ x 2＋y 2＝100，，x 2＋z 2＝136，，y 2＋z 2＝164⇒错误!从而知V P .ABC ＝V AEBG 。

FPDC －V P 。

AEB －V C 。

ABG －V B ­PDC －V A .FPC ＝V AEBG 。

FPDC －4V P 。

AEB ＝6×8×10－4×16×6×8×10＝160. 3．定义运算：（a ⊕b ）⊗x ＝ax 2＋bx ＋2.若关于x 的不等式(a ⊕b ）⊗x 〈0的解集为{x ｜1〈x 〈2}，则关于x 的不等式（b ⊕a )⊗x <0的解集为（ )A ．(1，2)B ．(－∞，1）∪（2，＋∞）C 。

错误! D.错误!∪（1,＋∞)解析：选D 1,2是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两实根，1＋2＝－错误!，1×2＝错误!，解得错误!所以(－3⊕1）⊗x ＝－3x 2＋x ＋2〈0，即3x 2－x －2〉0，解得x <－错误!或x >1。

2014年普通高等学校招生全国统一考试全国课标1理科数学注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效.4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1.已知集合A={x |2230x x --≥}，B={x |－2≤x ＜2＝，则A B ⋂=A .[-2,-1]B .[-1,2）C .[-1,1]D .[1,2）2.32(1)(1)i i +-=A .1i +B .1i -C .1i -+D .1i --3.设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 时奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是A .()f x ()g x 是偶函数B .|()f x |()g x 是奇函数C .()f x |()g x |是奇函数D .|()f x ()g x |是奇函数4.已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为A .3B .3C .3mD .3m5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率A .18B .38C .58D .786.如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为7.执行下图的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =A .203 B .165 C .72 D .1588.设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则A .32παβ-=B .22παβ-= C .32παβ+=D .22παβ+=9.不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集记为D .有下面四个命题：1p ：(,),22x y D x y ∀∈+≥-，2p ：(,),22x y D x y ∃∈+≥,3P ：(,),23x y D x y ∀∈+≤，4p ：(,),21x y D x y ∃∈+≤-.其中真命题是 A .2p ，3P B .1p ，4p C .1p ，2p D .1p ，3P10.已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个焦点，若4FP FQ =u u u r u u u r，则||QF =A .72B .52C .3D .211.已知函数()f x =3231ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且0x ＞0，则a 的取值范围为A .（2，+∞）B .（-∞，-2）C .（1，+∞）D .（-∞，-1）12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为A .62B .42C .6D .4第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。