考点50 几何概型

随堂普查练
数学 低段
第50课 第6题 P290
33
随堂普查练
数学 低段
第50课 第6题 P290
34
随堂普查练
数学 低段
第50课 第6题 P290
35
随堂普查练 D
数学 低段
第50课 第6题 P290
36
随堂普查练 D
数学 低段
第50课 第7题 P290
37
随堂普查练
数学 低段
第50课 第8题 P290
74
课后提分练 B
数学 低段
第49-50课 第14题 P108
75
三组题讲透
数学 低段
9 32
第50课 第（5）题
P289
16
三组题讲透
5 12
数学 低段
第50课 第（6）题
P289
17
三组题讲透
数学 低段
第50课 第（7）题
P289
18
三组题讲透
数学 低段
第50课 第（7）题
P289
19
三组题讲透 C
数学 低段
第50课 第（7）题
P289
20
数学 低段
特点
4
一张图学透
数学 低段
第50课 一张图学透 几何概型的 概率公式
5
一张图学透
数学 低段
第50课 一张图学透 随机模拟的
方法
6
三组题讲透
数学 低段
B
第50课 第（1）题
P288
7
三组题讲透 A
数学 低段
第50课 第（2）题
P288
8
数学 低段
第50课 小提示 P288

1．几何概型的概念设D是一个可度量的区域(例如线段、平面图形、立体图形等)，每个基本事件可以视为从区域D内随机地取一点，区域D内的每一点被取到的机会都一样；随机事件A的发生可以视为恰好取到区域D内的某个指定区域d中的点．这时，事件A发生的概率与d的测度(长度、面积、体积等)成正比，与d的形状和位置无关．我们把满足这样条件的概率模型称为几何概型．2．几何概型的概率计算公式一般地，在几何区域D中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率P(A)＝d的测度D的测度.3．要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性．4．随机模拟方法(1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法．(2)用计算机或计算器模拟试验的方法为随机模拟方法．这个方法的基本步骤是①用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；②统计代表某意义的随机数的个数M和总的随机数个数N；③计算频率f n(A)＝MN作为所求概率的近似值．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零．(√)(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．( √ )(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．( √ ) (4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．( √ ) (5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．( × ) (6)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是P ＝19.( × )1．(教材改编)在线段[0,3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为________． 答案 13解析 坐标小于1的区间为[0,1]，长度为1，[0,3]区间长度为3，故所求概率为13.2．(2015·山东改编)在区间[0,2]上随机地取一个数x ，则事件“－1≤12log ⎝⎛⎭⎫x ＋12≤1”发生的概率为________． 答案 34解析 ∵由－1≤12log ⎝⎛⎭⎫x ＋12≤1，得12≤x ＋12≤2， ∴0≤x ≤32.∴由几何概型的概率计算公式得所求概率 P ＝32－02－0＝34.3．(2014·辽宁改编)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB ＝2，BC ＝1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是________． 答案 π4解析 设质点落在以AB 为直径的半圆内为事件A ， 则P (A )＝阴影面积长方形面积＝12π·121×2＝π4.4．(2014·福建)如图，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．答案 0.18解析 由题意知，这是个几何概型问题， S 阴S 正＝1801 000＝0.18， ∵S 正＝1，∴S 阴＝0.18.5．(教材改编)如图，圆中有一内接等腰三角形．假设你在图中随机撒一把黄豆，则它落在阴影部分的概率为________． 答案 1π解析 设圆的半径为R ，由题意知圆内接三角形为等腰直角三角形，其直角边长为2R ，则所求事件的概率为： P ＝S 阴S 圆＝12×2R ×2R πR 2＝1π.题型一 与长度、角度有关的几何概型例1 (1)(2015·重庆)在区间[0,5]上随机地选择一个数p ，则方程x 2＋2px ＋3p －2＝0有两个负根的概率为________．(2)(2015·烟台模拟)在区间[－π2，π2]上随机取一个数x ，则cos x 的值介于0到12之间的概率为________． 答案 (1)23 (2)13解析 (1)方程x 2＋2px ＋3p －2＝0有两个负根，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x 1＋x 2＜0，x 1·x 2＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧4p 2－4(3p －2)≥0，－2p ＜0，3p －2＞0，解得p ≥2或23＜p ≤1，又p ∈[0,5]，则所求概率为P ＝3＋135＝1035＝23.(2)当－π2≤x ≤π2时，由0≤cos x ≤12，得－π2≤x ≤－π3或π3≤x ≤π2，根据几何概型概率公式得所求概率为13.(3)如图所示，在△ABC 中，∠B ＝60°，∠C ＝45°，高AD ＝3，在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，求BM <1的概率． 解 因为∠B ＝60°，∠C ＝45°，所以∠BAC ＝75°. 在Rt △ABD 中，AD ＝3，∠B ＝60°， 所以BD ＝AD tan 60°＝1，∠BAD ＝30°.记事件N 为“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，使BM <1”，则可得∠BAM <∠BAD 时事件N 发生．由几何概型的概率公式，得：P (N )＝30°75°＝25.引申探究1．本例(2)中，若将“cos x 的值介于0到12”改为“cos x 的值介于0到32”，则概率如何？解 当－π2≤x ≤π2时，由0≤cos x ≤32，得－π2≤x ≤－π6或π6≤x ≤π2，根据几何概型概率公式得所求概率为23.2．若本例(3)中“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ”改为“在线段BC 上找一点M ”，求BM <1的概率．解 依题意知BC ＝BD ＋DC ＝1＋3，P (BM <1)＝11＋3＝3－12.思维升华 求解与长度、角度有关的几何概型的方法求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解．要特别注意“长度型”与“角度型”的不同．解题的关键是构建事件的区域(长度或角度)．(1)如图，在直角坐标系内，射线OT 落在30°角的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在∠yOT 内的概率为________．(2)已知集合A ＝{x |－1<x <5}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －23－x >0，在集合A 中任取一个元素x ，则事件“x ∈(A ∩B )”的概率是________． 答案 (1)16 (2)16解析 (1)如题图，因为射线OA 在坐标系内是等可能分布的，所以OA 落在∠yOT 内的概率为60°360°＝16. (2)由题意得A ＝{x |－1<x <5}，B ＝{}x | 2<x <3，故A ∩B ＝{x |2<x <3}．由几何概型知，在集合A 中任取一个元素x ，则x ∈(A ∩B )的概率为P ＝16.题型二 与面积有关的几何概型命题点1 与平面图形面积有关的问题例2 (2015·福建改编)如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1,0)，且点C 与点D 在函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，－12x ＋1，x ＜0的图象上．若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________． 答案 14解析 由图形知C (1,2)，D (－2,2)，∵S 四边形ABCD ＝6，S 阴＝12×3×1＝32.∴P ＝326＝14.命题点2 与线性规划知识交汇命题的问题例3 (2014·重庆)某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为________． 答案932解析 设小张与小王的到校时间分别为7：00后第x 分钟，第y 分钟，根据题意可画出图形，如图所示，则总事件所占的面积为(50－30)2＝400.小张比小王至少早5分钟到校表示的事件A ＝{(x ，y )|y －x ≥5,30≤x ≤50,30≤y ≤50}，如图中阴影部分所示，阴影部分所占的面积为12×15×15＝2252，所以小张比小王至少早5分钟到校的概率为P (A )＝2252400＝932.思维升华 求解与面积有关的几何概型的注意点求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．(1)在区间[－π，π]内随机取出两个数分别记为a ，b ，则函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π2有零点的概率为________．(2)(2014·湖北改编)由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x －2≤0确定的平面区域记为Ω1，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ＋y ≥－2确定的平面区域为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为________． 答案 (1)1－π4 (2)78解析 (1)由函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π2有零点， 可得Δ＝(2a )2－4(－b 2＋π2)≥0，整理得a 2＋b 2≥π2， 如图所示，(a ，b )可看成坐标平面上的点，试验的全部结果构成的区域为 Ω＝{(a ，b )|－π≤a ≤π，－π≤b ≤π}， 其面积S Ω＝(2π)2＝4π2. 事件A 表示函数f (x )有零点，所构成的区域为M ＝{(a ，b )|a 2＋b 2≥π2}， 即图中阴影部分，其面积为S M ＝4π2－π3，故P (A )＝S M S Ω＝4π2－π34π2＝1－π4.(2)如图，平面区域Ω1就是三角形区域OAB ，平面区域Ω2与平面区域Ω1的重叠部分就是区域OACD ，易知C (－12，32)，故由几何概型的概率公式，得所求概率P ＝S 四边形OACD S △OAB ＝2－142＝78.题型三 与体积有关的几何概型例4 在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1 内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________． 答案 1－π12解析 V 正＝23＝8，V 半球＝12×43π×13＝23π，V 半球V 正＝2π8×3＝π12， 故点P 到O 的距离大于1的概率为1－π12.思维升华 求解与体积有关问题的注意点对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A －A 1BD 内的概率为________．答案 16解析 因为11A A BD A ABD V V －－＝＝13·S △ABD ·AA 1＝16·S矩形ABCD ·AA 1＝16V 长方体，故所求概率为1A A BD V V －长方体＝16.12．混淆长度型与面积型几何概型致误典例 (14分)在长度为1的线段上任取两点，将线段分成三段，试求这三条线段能构成三角形的概率．易错分析 不能正确理解题意，无法找出准确的几何度量来计算概率． 规范解答解 设x 、y 表示三段长度中的任意两个． 因为是长度，所以应有0<x <1,0<y <1,0<x ＋y <1，即(x ，y )对应着坐标系中以(0,1)、(1,0)和(0,0)为顶点的三角形内的点，如图所示．[6分]要形成三角形，由构成三角形的条件知 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y >1－x －y ，1－x －y >x －y ，1－x －y >y －x ，所以x <12，y <12，且x ＋y >12，故图中阴影部分符合构成三角形的条件．[10分] 因为阴影部分的三角形的面积占大三角形面积的14，故这三条线段能构成三角形的概率为14.[14分]温馨提醒 解决几何概型问题的易误点：(1)不能正确判断事件是古典概型还是几何概型，导致错误．(2)利用几何概型的概率公式时，忽视验证事件是否具有等可能性，导致错误．[方法与技巧]1．区分古典概型和几何概型最重要的是看基本事件的个数是有限个还是无限个． 2．转化思想的应用对一个具体问题，可以将其几何化，如建立坐标系将试验结果和点对应，然后利用几何概型概率公式．(1)一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在坐标轴上即可； (2)若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系建立与体积有关的几何概型． [失误与防范]1．准确把握几何概型的“测度”是解题关键；2．几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果．A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)1．(2014·湖南改编)在区间[－2,3]上随机选取一个数X ，则X ≤1的概率为________． 答案 35解析 在区间[－2,3]上随机选取一个数X ，则X ≤1，即－2≤X ≤1的概率为P ＝35.2．在区间[－1,4]内取一个数x ，则2x －x 2≥14的概率是________．答案 35解析 不等式22x x －≥14，可化为x 2－x －2≤0， 则－1≤x ≤2，故所求概率为2－(－1)4－(－1)＝35.3．已知△ABC 中，∠ABC ＝60°，AB ＝2，BC ＝6，在BC 上任取一点D ，则使△ABD 为钝角三角形的概率为__________． 答案 12解析 如图，当BE ＝1时，∠AEB 为直角，则点D 在线段BE (不包含B 、E 点)上时，△ABD 为钝角三角形；当BF ＝4时，∠BAF 为直角，则点D在线段CF (不包含C 、F 点)上时，△ABD 为钝角三角形．所以△ABD 为钝角三角形的概率为1＋26＝12. 4．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是__________．答案 1－π4解析 如图所示，正方形OABC 及其内部为不等式组表示的区域D ，且区域D 的面积为4，而阴影部分表示的是区域D 内到坐标原点的距离大于2的区域．易知该阴影部分的面积为4－π.因此满足条件的概率是1－π4. 5．已知一只蚂蚁在边长分别为5,12,13的三角形的边上随机爬行，则其恰在离三个顶点的距离都大于1的地方的概率为________．答案 45解析 由题意可知，三角形的三条边长的和为5＋12＋13＝30，而蚂蚁要在离三个顶点的距离都大于1的地方爬行，则它爬行的区域长度为3＋10＋11＝24，根据几何概型的概率计算公式可得所求概率为2430＝45. 6．有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．答案 23解析 V 圆柱＝2π，V 半球＝12×43π×13＝23π， V 半球V 圆柱＝13， 故点P 到O 的距离大于1的概率为23.7．在区间[1,5]和[2,4]上分别各取一个数，记为m 和n ，则方程x 2m 2＋y 2n 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆的概率是________． 答案 12 解析 ∵方程x 2m 2＋y 2n2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，∴m >n . 如图，由题意知，在矩形ABCD 内任取一点Q (m ，n )，点Q 落在阴影部分的概率即为所求的概率，易知直线m ＝n 恰好将矩形平分，∴所求的概率为P ＝12. 8．随机地向半圆0<y <2ax －x 2(a 为正常数)内掷一点，点落在圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点与该点的连线与x 轴的夹角小于π4的概率为______． 答案 12＋1π解析 半圆域如图所示：设A 表示事件“原点与该点的连线与x 轴的夹角小于π4，由几何概型的概率计算公式得P (A )＝A 的面积半圆的面积＝14πa 2＋12a 212πa 2＝12＋1π. 9．随机向边长为5,5,6的三角形中投一点P ，则点P 到三个顶点的距离都不小于1的概率是________．答案 24－π24解析 由题意作图，如图则点P 应落在深色阴影部分，S 三角形＝12×6×52－32＝12，三个小扇形可合并成一个半圆，故其面积为π2，故点P 到三个顶点的距离都不小于1的概率为12－π212＝24－π24. 10．已知向量a ＝(－2,1)，b ＝(x ，y )．(1)若x ，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a ·b ＝－1的概率；(2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，求满足a ·b <0的概率．解 (1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6＝36(个)； 由a ·b ＝－1有－2x ＋y ＝－1，所以满足a ·b ＝－1的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3个；故满足a ·b ＝－1的概率为336＝112. (2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，则全部基本事件的结果为Ω＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6}；满足a ·b <0的基本事件的结果为A ＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6且－2x ＋y <0}；画出图形如图，矩形的面积为S 矩形＝25，阴影部分的面积为S 阴影＝25－12×2×4＝21， 故满足a ·b <0的概率为2125. B 组 专项能力提升(时间：30分钟)11．一个长方体空屋子，长，宽，高分别为5米，4米，3米，地面三个角上各装有一个捕蝇器(大小忽略不计)，可捕捉距其一米空间内的苍蝇，若一只苍蝇从位于另外一角处的门口飞入，并在房间内盘旋，则苍蝇被捕捉的概率是________．答案 π120解析 屋子的体积为5×4×3＝60立方米，捕蝇器能捕捉到的空间体积为18×43π×13×3＝π2立方米．故苍蝇被捕捉的概率是π260＝π120. 12．(2015·湖北改编)在区间[0,1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≤12”的概率，p 2为事件“xy ≤12”的概率，则下列正确的是________． ①p 1<p 2<12 ②p 2<12<p 1③12<p 2<p 1 ④p 1<12<p 2 答案 ④ 解析 在直角坐标系中，依次作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤1，x ＋y ≤12，⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤x ≤1，0≤y ≤1，xy ≤12的可行域如图所示：依题意，p 1＝S △ABOS 四边形OCDE ，p 2＝S 曲边多边形OEGFC S 四边形OCDE ， 而12＝S △OEC S 四边形OCDE ，所以p 1<12<p 2. 13.如图，已知点A 在坐标原点，点B 在直线y ＝1上，点C (3,4)，若AB ≤10，则△ABC 的面积大于5的概率是________．答案 524解析 设B (x,1)，根据题意知点D (34，1)，若△ABC 的面积小于或等于5，则12×DB ×4≤5，即DB ≤52，此时点B 的横坐标x ∈[－74，134]，而AB ≤10， 所以点B 的横坐标x ∈[－3,3]，所以△ABC 的面积小于或等于5的概率为P ＝3－(－74)6＝1924， 所以△ABC 的面积大于5的概率是1－P ＝524. 14．已知集合A ＝[－2,2]，B ＝[－1,1]，设M ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈B }，在集合M 内随机取出一个元素(x ，y )．(1)求以(x ，y )为坐标的点落在圆x 2＋y 2＝1内的概率；(2)求以(x ，y )为坐标的点到直线x ＋y ＝0的距离不大于22的概率．解 (1)集合M 内的点形成的区域面积S ＝8.因圆x 2＋y 2＝1的面积S 1＝π，故所求概率为S 1S ＝π8. (2)由题意|x ＋y |2≤22，即－1≤x ＋y ≤1，形成的区域如图中阴影部分，阴影部分面积S 2＝4， 所求概率为S 2S ＝12.15．甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的．如果甲船停泊时间为1 h ，乙船停泊时间为2 h ，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率．解 设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x 与y ，记事件A 为“两船都不需要等待码头空出”，则0≤x ≤24,0≤y ≤24，要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1 h 以上或乙比甲早到达2 h 以上，即y －x ≥1或x －y ≥2.故所求事件构成集合A ＝{(x ，y )|y －x ≥1或x －y ≥2，x ∈[0,24]，y ∈[0,24]}．A 为图中阴影部分，全部结果构成集合Ω为边长是24的正方形及其内部．所求概率为P (A )＝A 的面积Ω的面积＝(24－1)2×12＋(24－2)2×12242 ＝506.5576＝1 0131 152.。

第50课 几何概型1．与长度、角度有关的几何概型(1)(2016全国Ⅰ，5分)某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至 8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( B )A.13B.12C.23D.34解析：由题意知，小明到达发车站的时间总长度为40分钟，当他到达时间在7：50－ 8：00或8：20－8：30时等车不超过10分钟，则等车不超过10分钟的时间长度之和为20分钟，故所求概率为2040＝12.故选B.(2)(2015山东，5分)在区间[0，2]上随机地取一个数x ，则事件“－1≤121log 2x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤1”发生的概率为( A )A.34B.23C.13D.14解析：由－1≤121log 2x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤1，得12≤x ＋12≤2，解得0≤x ≤32.故所求概率P ＝322＝34.故选A.(3)(经典题，5分)如图50－2，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝1，以A 为圆心，AD 为半径作四分之一个圆弧DE ，在圆弧DE 上任取一点P ，则射线AP 与线段BC 有公共点的概率是 13．图50－2解析：由题意知，本题是一个几何概型，试验的所有结果所构成的区域为∠BAD ＝90°. 如图，连接AC ，交弧DE ︵于P .∵tan ∠CAB ＝13＝33，∴∠CAB ＝30°.由题意知，当射线AP 在∠CAB 内或与∠CAB 的边重合时，射线AP 与线段BC 有公共点，∴射线AP 与线段BC 有公共点的概率P ＝30°90°＝13.2．与面积有关的几何概型a ．与三角形、矩形、圆等平面图形的面积有关的几何概型(4)(2017全国Ⅰ，5分)如图50－3，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( B )图50－3A.14B.π8C.12D.π4解析：设正方形的边长为2，则正方形的面积为2×2＝4，大圆的半径为1，面积为π× 12＝π，运用割补法易知图中黑色部分的面积是大圆面积的12，即π2，则此点取自黑色部分的概率为π24＝π8.故选B.b ．与线性规划交汇的几何概型(5)(经典题，5分)某校早上8：00上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30—7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时间到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为932． 解析： 设小张和小王到校的时间分别为7时x 分和7时y 分，(x ，y )可以看成平面直角坐标系中的点，试验的全部结果所构成的区域为Ω＝{(x ，y )|30≤x ≤50，30≤y ≤50}，这是一个正方形区域，面积为20×20＝400，而小张比小王至少早5分钟到校对应的区域为{x |y －x ≥5}，作出符合题意的图形，如图所示，则符合题意的区域为△ABC .联立⎩⎪⎨⎪⎧y －x ＝5，y ＝50，得C (45，50)；联立⎩⎪⎨⎪⎧y －x ＝5，x ＝30，得B (30，35)，则S △ABC ＝12×15×15＝2252.由几何概型的概率计算公式可知，小张比小王至少早5分钟到校的概率为2252400＝932.c ．与定积分交汇的几何概型 (6)(2015福建，4分)如图50－4，点A 的坐标为(1，0)，点C 的坐标为(2，4)，函数f (x )=x 2，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于512．图50－4解析：由已知得阴影部分面积为2232111154d 44(81)333x x x -=-=-⨯-=⎰，所以此点取自阴影部分的概率等于534＝512. d ．与随机模拟相关的几何概型(7)(2016全国Ⅱ，5分)从区间[0，1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( C )A.4n mB.2n mC.4m nD.2m n解析：由题意，两数的平方和小于1，对应的区域(图中阴影部分)面积为14π×12；从区间[0，1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，对应的区域面积为12.所以14π×1212＝m n ，所以π＝4mn.故选C.3．与体积有关的几何概型(8)(经典题，5分)在棱长为2的正方体内部随机取一点，则该点到正方体8个顶点的距离都不小于1的概率为( D )A.16B.56C.π6 D ．1－π6解析：符合条件的点落在棱长为2的正方体内，且以正方体的每一个顶点为球心，半径为1的18球体外．根据几何概型的概率计算公式，得P ＝23－8×18×π×43×1323＝1－π6.故选D. 随堂普查练501．(2016全国Ⅱ，5分)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( B )A.710B.58C.38D.310解析：行人在红灯亮起25秒内到达该路口，则至少需要等待15秒才出现绿灯，根据几何概型的概率公式可知，所求事件的概率P ＝2540＝58.故选B.2．(2017江苏，5分)记函数f (x )＝6＋x －x 2的定义域为D .在区间[－4，5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是 59．解析：由题意有6＋x －x 2≥0，解得－2≤x ≤3，即D ＝{x |－2≤x ≤3}．由几何概型的概率公式，知在[－4，5]上随机取一个数x ，x ∈D 的概率为P ＝3－（－2）5－（－4）＝59.3．(2016山东，5分)在[－1，1]上随机地取一个数k ，则事件“直线y ＝kx 与圆22(5)9x y -+=相交”发生的概率为 34．解析：直线y ＝kx 与圆(x －5)2＋y 2＝9相交，需要满足圆心到直线的距离小于半径．由圆的方程得圆心为(5，0)，半径为3，所以d ＝|5k |1＋k 2<3，解得－34<k <34，对应区域长度为32；而k ∈[－1，1]，对应区域长度为2.所以所求概率P ＝322＝34.4．(经典题，7分)如图50－6所示，在△ABC 中，∠B ＝60°，∠C ＝45°，高AD ＝3，在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，求BM <1的概率．图50－6答案：25解：因为∠B ＝60°，∠C ＝45°，所以∠BAC ＝75°.(1分) 在Rt △ABD 中，AD ＝3，∠B ＝60°，所以BD ＝ADtan60°＝1，∠BAD ＝30°.(3分)记事件N 为“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，BM <1”． 易知∠BAM <∠BAD 时事件N 发生．(5分) 由几何概型的概率公式，得P (N )＝30°75°＝25.(7分)5．(2015福建，5分)如图50－7，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1，0)，且点C 与点D 在函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，－12x ＋1，x <0的图像上．若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于( B )图50－7A.16B.14C.38D.12解析：由题意得B (1，0)，把x ＝1代入y ＝x ＋1，可得y ＝2，即C (1，2)；令－12x ＋1＝2，解得x ＝－2，即D (－2，2)；把x ＝0代入y ＝x ＋1，可得y ＝1，即图中阴影三角形的第3个顶点为(0，1)．∴矩形ABCD 的面积S ＝3×2＝6，阴影三角形的面积133122S '=⨯⨯=，∴所求概率14S P S '==.故选B.6．(经典题，5分)由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x －2≤0确定的平面区域记为Ω1，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ＋y ≥－2确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为( D )A.18B.14C.34D.78解析：如图，平面区域Ω1为三角形AOB 及其内部，面积为12×2×2＝2；平面区域Ω2与平面区域Ω1的公共部分为四边形OBDC ，其中C (0，1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y －x －2＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎨⎧x ＝－12，y ＝32，故D ⎝⎛⎭⎫－12，32.又因为A (0，2)，所以三角形ACD 的面积为12×1×12＝14.所以四边形OBDC 的面积为2－14＝74.故在Ω1中随机取一点，该点恰好在Ω2内的概率为742＝78.故选D.7．(经典题，5分)如图50－8所示的阴影部分是由x 轴、直线x ＝1及曲线y ＝e x －1围成的，现向矩形区域OABC 内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率是( D )图50－8A.1eB.1e －1 C ．1－1e D.e －2e －1解析：由几何概型可知，所求概率为()()11e 1d e e 2.1(e 1)e 1e 1xxxx ---==⨯---⎰ 8．(2018福建联考，5分)我们可以利用计算机随机模拟方法计算y ＝x 2与y ＝4所围成的区域Ω的面积．先利用计算机产生两个在区间[0，1]内的均匀随机数a 1＝RAND ，b 1＝RAND ，然后进行平移与伸缩变换a ＝4a 1－2，b ＝4b 1.已知试验进行了100次，前98次中落在所求面积区域内的样本点数为65，最后两次试验的随机数为a 1＝0.3，b 1＝0.8及a 1＝0.4，b 1＝0.3，则本次模拟得出Ω的面积的近似值为( D )A ．10.4B ．10.56C ．10.61D ．10.72解析：考虑最后两次试验的结果(a ，b )是否落在区域Ω内，将110.30.8a b =⎧⎨=⎩，和110.40.3a b =⎧⎨=⎩，分别代入变换11424a a b b =-⎧⎨=⎩，，得到(－0.8，3.2)和(－0.4，1.2)，经验证，两个点都落在区域Ω内．由几何概型的概率公式，得65＋2100＝1224S Ω⨯，解得S Ω＝10.72.故选D.9．(经典题，5分)如图50－9，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体内随机取一点M ，则使四棱锥M －ABCD 的体积小于16的概率为 12．图50－9解析：∵正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，∴正方体的体积V ＝1×1×1＝1.当四棱锥M －ABCD 的体积小于16时，设它的高为h ，则13×1×1 · h ＜16，解得h ＜12，则点M 在到平面ABCD 的距离等于12的截面以下时，四棱锥M －ABCD 的体积小于16.∴四棱锥M －ABCD 的体积小于16的概率P ＝1×1×121＝12.课后提分练49－50 随机事件的概率与古典概型、几何概型A 组(巩固提升)1．(经典题，5分)给出如下四对事件：①某人射击1次，“射中7环”与“射中8环”；②甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中，但乙未射中目标”； ③从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，“至少有一个黑球”与“都是红球”； ④从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，“没有黑球”与“恰有一个红球”． 其中属于互斥但不对立的事件的有( C )A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对解析：①某人射击1次，“射中7环”与“射中8环”两个事件不会同时发生，故为互斥事件，但还可以“射中6环”等，故不是对立事件；②甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中，但乙未射中目标”，前者包含后者，故不是互斥事件；③“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生，但一定会有一个发生，所以这两个事件是对立事件；④“没有黑球”与“恰有一个红球”不可能同时发生，故它们是互斥事件，但还有可能“没有红球”，故不是对立事件．①④是符合要求的，故选C.2．(经典题，5分)某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是0.05和0.03，则抽检一件是正品(甲级品)的概率为( C )A ．0.95B ．0.97C ．0.92D ．0.08解析：记抽检的产品是甲级品为事件A ，是乙级品为事件B ，是丙级品为事件C ，这三个事件彼此互斥，因此所求概率为P (A )＝1－P (B )－P (C )＝1－0.05－0.03＝0.92.3．(这一地区男婴出生的概率约是 0.5173 ．(保留四位小数) 解析：男婴出生的频率依次约是：0.5200，0.5173，0.5173，0.5173.随着试验次数的增加，频率稳定在0.5173，因此这一地区男婴出生的概率约为0.5173.4．(2018全国Ⅱ，5分)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是( C )A.112B.114C.115D.118解析：已知不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，其中两数之和等于30的有7＋23，11＋19，13＋17，共有3组，所以所求概率为210331C 4515==.故选C.5．(经典题，5分)某天下课以后，教室里还剩下2位男同学和2位女同学．如果他们依次走出教室，则第2位走出的是男同学的概率为( A )A.12B.13C.14D.15解析：(法一)设2位男同学分别为A 1，A 2，2位女同学分别为B 1，B 2，利用树形图画出所有可能的顺序，由题意只需考虑前2位，如下图所示．由树形图可知，基本事件总数为12种，事件“第2位走出的是男同学”包含6种，所以第2位走出的是男同学的概率P ＝612＝12.(法二)2位女同学和2位男同学走出的所有可能顺序有：(女，女，男，男)，(女，男，女，男)，(女，男，男，女)，(男，男，女，女)，(男，女，男，女)，(男，女，女，男)，共6种，其中事件“第2位走出的是男同学”有3种，所以第2位走出的是男同学的概率P ＝36＝12.(法三)2位男同学和2位女同学依次走出教室的顺序共有44A 24=(种)等可能的结果，其中第2位走出的是男同学的顺序有1323C A 2612=⨯=(种)结果，所以第2位走出的是男同学的概率P ＝1224＝12.6．(2018全国Ⅰ，5分)右图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC .△ABC 的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则( A )A．p1＝p2B．p1＝p3C．p2＝p3D．p1＝p2＋p3解析：设AB＝c，AC＝b，可得S△ABC＝12cb.由图可知空白部分的面积等于大半圆的面积减去△ABC的面积，已知大半圆的直径为BC＝c2＋b2，所以可得空白部分面积为S1＝()22211112282cb c b cbπ⋅-=π+-⎝⎭.已知黑色部分面积为两个小半圆的面积和减去空白部分的面积，设黑色部分的面积为S2，可得S2＝221112222c bS⎛⎫⎛⎫π+π-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝18π(c2＋b2)－⎣⎡⎦⎤18π（c2＋b2）－12cb＝12cb＝S△ABC.所以根据几何概型的概率公式可知p1＝p2.故选A.7．(经典题，5分)已知a，b∈(0，1)，则函数f(x)＝ax2－4bx＋1在区间[1，＋∞)内是增函数的概率为(A)A.14 B.12 C.34 D.35解析：函数f(x)＝ax2－4bx＋1(a>0)在[1，＋∞)上递增，由二次函数的单调性可知4212b ba a--=…，即a≥2b.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧0＜a＜1，0＜b＜1，a≥2b，画出其表示的平面区域(如图阴影部分)．∴所求概率为12×1×121×1＝14.故选A.8．(经典题，5分)在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部任作一条射线CM，交边AB于点M，则AM的长小于AC的长的概率为34．解析：在AB上取AC AC'=，则1804567.52ACC︒︒'︒-∠==.记事件A为“在∠ACB内部任作一条射线CM，与线段AB交于点M，AM＜AC”，则所有可能结果的区域为∠ACB，事件A 构成的区域为ACC '∠.又∠ACB ＝90°，ACC '∠＝67.5°，∴P (A )＝67.5°90°＝34.故所求概率为34.9．(经典题，5分)如图所示，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300粒黄豆，数出落在椭圆外的黄豆为96粒，以此试验数据为依据，可以估计椭圆的面积为( B )A ．7.68B ．16.32C ．17.32D ．8.68 解析：黄豆落在椭圆外的概率为矩形面积－椭圆面积S 矩形面积＝24－S 24，即96300＝24－S24，解得S ＝16.32.故选B.10．(2018北京海淀二模，13分)某中学为了解高二年级中华传统文化经典阅读的整体情况，从高二年级随机抽取10名学生进行了两轮测试，并把两轮测试成绩的平均分作为该名学(Ⅰ)从该校高二年级随机选取一名学生，试估计这名学生考核成绩大于等于90 分的概率； 答案：0.6解：这10名学生的考核成绩(单位：分)分别为：93，89.5，89，88，90，88.5，91.5，91，90.5，91，其中大于等于90分的有1号、5号、7号、8号、9号、10号，共6人，所以样本中学生考核成绩大于等于90分的频率为610＝0.6，所以从该校高二年级随机选取一名学生，估计这名学生考核成绩大于等于90分的概率为0.6.(4分)(Ⅱ)从考核成绩大于等于90分的学生中再随机抽取两名学生，求这两名学生两轮测试成绩均大于等于90分的概率；答案：0.2解：设事件A 为“从考核成绩大于等于90分的学生中再随机抽取两人，这两人的两轮测试成绩均大于等于90分”．由(Ⅰ)知，上述考核成绩大于等于90分的学生共6人，其中两轮测试成绩均大于等于90分的学生有1号、8号、10号，共3人，所以2326C 3()0.2.C 15P A ===(9分)(Ⅲ)记抽取的10名学生第一轮测试成绩的平均数和方差分别为211,x s ，考核成绩的平均数和方差分别为222,x s ，试比较1x 与2x , 21s 与22s 的大小．(只需写出结论)答案：221212,x x s s =>解：因为1x ＝90.2，21s ＝6.16；2x ＝90.2，22s ＝2.06，所以221212,x x s s =>.(只写结论即可)(13分)B 组(冲刺满分)11.(经典题，5分)在区间[－3，3]上随机取一个数x ，使得||x ＋1－||x －2≥1成立的概率为 13．解析：当－3≤x ≤－1时，||x ＋1－||x －2＝－3，此时||x ＋1－||x －2≥1不成立； 当－1＜x ＜2时，由||x ＋1－||x －2＝2x －1≥1，得x ≥1，∴1≤x ＜2； 当2≤x ≤3时，||x ＋1－||x －2＝3≥1恒成立．综上所述，当1≤x ≤3时，||x ＋1－||x －2≥1成立．由几何概型知，使得||x ＋1－||x －2≥1成立的概率为3－13－（－3）＝13.12．(经典题，5分)如图所示，已知菱形ABCD 的边长为4，∠ABC ＝150°，若在菱形内任取一点，则该点到菱形的四个顶点的距离均不小于1的概率为 1－π8．解析：分别以菱形ABCD 的各个顶点为圆心，1为半径作圆弧，如图所示．在菱形ABCD 内任取一点P ，当点P 位于四个扇形的外部或在圆弧上时，满足点P 到四个顶点的距离均不小于1，即图中的阴影部分区域（包括边界）.由题意知，S 菱形ABCD ＝AB ·BC sin150°＝4×4× 12＝8，∴S 阴影＝S 菱形ABCD －S 空白＝8－π×12＝8－π.因此，该点到四个顶点的距离均不小于1的概率P ＝S 阴影S 菱形ABCD＝8－π8＝1－π8.13．（2018江西模拟，5分）某单位周一至周六要安排甲、乙、丙、丁四人值班，每人至少值一天班，每天都要有人值班，则甲至少值两天班的概率为（ A ）A.1126B.926C.1152D.952解析：由题可知，四个人值六天班，每人至少值一天班，共有111311224654365424322322C C C C C C C C A A A A ⋅+⋅4448010801560A =+=种情况．甲至少值两天班，即甲值两天班或三天班．若甲值两天班，则其他人值1，1，2天，有211234216322C C C C A 540A ⋅=⋅种情况； 若甲值三天班，则其他人各值一天，有111333216333C C C C A 120A ⋅=⋅种情况． 由古典概型的概率公式知，甲至少值两天班的概率为P ＝540＋1201560＝1126.故选A.14．（2015湖北，5分）在区间[0，1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≥12”的概率，p 2为事件“||x －y ≤12”的概率，p 3为事件“xy ≤12”的概率，则（ B ）A ．p 1<p 2<p 3B ．p 2<p 3<p 1C ．p 3<p 1<p 2D ．p 3<p 2<p 1解析：依题意，知点（x ，y ）形成的区域是边长为1的正方形及其内部，其面积为S ＝1.满足x ＋y ≥12的区域如图1中的阴影部分，图1其面积为S 1＝1－12×12×12＝78，∴p 1＝S 1S ＝78.满足||x －y ≤12的区域如图2中的阴影部分，图2其面积为S 2＝1－12×12×12－12×12×12＝34，∴p 2＝S 2S ＝34.满足xy ≤12的区域如图3中的阴影部分，图3其面积为113211111111d ln ln 212222222S x x x=⨯+=+=+⎰，∴3311ln 222S p S ==+.∵p 1－p 3＝38－12ln2＝3－4ln28＝lne 3－ln248＝18ln e 316，而e 3＞16，∴p 1－p 3＞0，即p 1＞p 3.而p 2－p 3＝14－12ln2＝14ln 4e＜0，∴p 2＜p 3.∴p 1＞p 3＞p 2.。

思考：思考辨析（2）中若将“任取一个 数”改为“任取一个整数”，结果如何？
注：1.几何概型的基本事件的个数是无限的， 古典概型中基本事件的个数是有限的，前 者概率的计算与基本事件的区域长度(面积 或体积)的大小有关，而与形状和位置无关.
思考：若将诊断自测2中“小于1”改为“小 于等于1”结果如何？
事件A理解为区域Ω的某一子区域A，A的 概率只与子区域A的几何度量（长度、面积 或体积）成正比，而与A的位置和形状无关， 满足以上条件的试验称为几何概型．
概率公式： P( A) A
性质：（1）无限性：在一次试验中，可能出 现的结果有无限种； (2)等可能性：每个结果的发生具有相同的可 能性。
注：2.几何概型中，线段的端点、图形 的边框是否包含在事件之内不影响所求 结果.
题型一 与长度（角度）有关的几何概型
思维升华 ：求与长度（角度）有关的几何 概型的概率的方法是把题中所表示的几何模 型转化为长度（角度），然后求解。
P( A)

A

A的长度（角度） 的长度（角度）
题型二 与面积有关的几何概型
关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件 的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可 利用其对立事件去求.
P( A)
A

A的体积 的体积
课堂小结
1、几何概型的概念及特点 2、几何概型的公式
P( A) A
3、类型：长度型、角度型、面积型、 体积型
思维升华 ：求解与面积有关的几何概型时，
关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根
据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，
找到全部试验结果构成的平面图形，以便求
解，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求.P( A) A