极坐标与参数方程、不等式专题(理科)之2019高考真题分专题

【母题原题1】【2019年高考全国Ⅲ卷理数】如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A，)4B π，)4C 3π，(2,)D π，弧»AB ，»BC ，»CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2π，(1,)π，曲线1M 是弧»AB ，曲线2M 是弧»BC，曲线3M 是弧»CD ． （1）分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；（2）曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M上，且||OP =P 的极坐标．【答案】（1）2cos ([0,])4ρθθπ=∈，32sin ([,])44ρθθππ=∈，32cos ([,])4ρθθπ=-∈π， （2）)6π，)3π，2)3π，5)6π． 【解析】（1）由题设可得，弧»»»,,AB BCCD 所在圆的极坐标方程分别为2cos ρθ=，2sin ρθ=，2cos ρθ=-．所以1M 的极坐标方程为π2cos 04ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，2M 的极坐标方程为π3π2sin 44ρθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭，3M 的极坐标方程为3π2cos π4ρθθ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭． （2）设(,)P ρθ，由题设及（1）知 若π04θ≤≤，则2cos θ=π6θ=；专题22 坐标系与参数方程若π3π44θ≤≤，则2sin θ=π3θ=或2π3θ=； 若3ππ4θ≤≤，则2cos θ-=5π6θ=． 综上，P的极坐标为π6⎫⎪⎭或π3⎫⎪⎭或2π3⎫⎪⎭或5π6⎫⎪⎭．【名师点睛】此题考查了极坐标中过极点的圆的方程，思考量不高，运算量不大，属于中档题． 【母题原题2】【2018年高考全国Ⅲ卷理数】在平面直角坐标系xOy 中，O ⊙的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（θ为参数），过点(0，且倾斜角为α的直线l 与O ⊙交于A B ，两点． （1）求α的取值范围；（2）求AB 中点P 的轨迹的参数方程．【答案】（1）(,)44π3π；（2）2,2cos 222x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩(α为参数，44απ3π<<)． 【解析】（1）O e 的直角坐标方程为221x y +=．当2απ=时，l 与O e 交于两点． 当2απ≠时，记tan k α=，则l的方程为y kx =l 与O e交于两点当且仅当|1<，解得1k <-或1k >，即(,)42αππ∈或(,)24απ3π∈． 综上，α的取值范围是(,)44π3π．（2）l的参数方程为cos ,(sin x t t y t αα=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数，44απ3π<<)． 设A ，B ，P 对应的参数分别为A t ，B t ，P t ，则2A BP t t t +=，且A t ，B t满足2sin 10t α-+=．于是A B t t α+=，P t α=．又点P 的坐标(,)x y满足cos ,sin .P P x t y t αα=⎧⎪⎨=⎪⎩所以点P的轨迹的参数方程是2,2x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(α为参数，44απ3π<<)． 【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，圆的参数方程，考查求点的轨迹方程，属于中档题． 【母题原题3】【2017年高考全国Ⅲ卷理数】在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为2+,,x t y kt =⎧⎨=⎩（t 为参数），直线l 2的参数方程为2,,x m m my k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（为参数）．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ．（1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设()3:cos sin 0l ρθθ+=，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．【答案】（1）()2240x y y -=≠；（2【解析】（1）消去参数t 得1l 的普通方程()1:2l y k x =-；消去参数m 得l 2的普通方程()21:2l y x k=+． 设(),P x y ，由题设得()()212y k x y x k ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩，消去k 得()2240x y y -=≠． 所以C 的普通方程为()2240x y y -=≠．（2）C 的极坐标方程为()()222cos sin 402π,πρθθθθ-=<<≠．联立()()222cos sin 4,cos sin 0ρθθρθθ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩得()cos sin 2cos sin θθθθ-=+．故1tan 3θ=-，从而2291cos ,sin 1010θθ==． 代入()222cos sin 4ρθθ-=得25ρ=，所以交点M【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力．遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解．要结合题目本身特点，确定选择何种方程．【命题意图】能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．主要考查考生的数学运算能力和转化与化归思想的应用．【命题规律】主要考查极坐标（方程）与直角坐标（方程）的互化，参数方程与普通方程的互化，根据极坐标方程或参数方程求弦长、面积、最值等，其中利用直线参数方程中参数的几何意义求值，利用椭圆或圆的参数方程或点到直线的距离求最值是考查的重点，以解答题的形式出现，分值10分，难度中等．【知识总结】1．极坐标和直角坐标的互化（1）互化的前提：①直角坐标系的原点与极点重合；②x轴的正半轴与极轴重合；③在两种坐标系中取相同的长度单位．（2）互化公式：设M是平面内任一点，它的直角坐标是（x，y），极坐标是（ρ，θ），则极坐标与直角坐标的互化公式为cossinxyρθρθ=⎧⎨=⎩，，可得222tan0x yyxxρθ⎧=+⎪⎨=≠⎪⎩，（）．注意：把直角坐标化为极坐标时，一定要明确点所在的象限（即极角的终边的位置）和极角的范围，以便正确求出极角，否则点的极坐标将不唯一．2．简单曲线的极坐标方程3．参数方程和普通方程的互化（1）曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，将参数方程化为普通方程需消去参数． （2）如果知道变量x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如，x=f （t ），把它代入普通方程，求出另一个变量与参数t 的关系y=g （t ），那么x f t y gt =⎧⎨=⎩（），（）就是曲线的参数方程．注意：（1）在参数方程与普通方程的互化中，一定要注意变量的范围以及转化的等价性．（2）普通方程化为参数方程，参数方程的形式不唯一，即如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同．4．直线和圆锥曲线的参数方程和普通方程【方法总结】1．极坐标与直角坐标互化的方法（1）将点的直角坐标（x ，y ）化为极坐标（ρ，θ）时，运用公式tan θ=yx（x ≠0）即可．在[0，2π]范围内，由tan θ=yx（x ≠0）求θ时，要根据直角坐标的符号特征判断出点所在的象限．如果允许θ∈R ，再根据终边相同的角的意义，表示为θ+2k π（k ∈Z ）即可．（2）将点的极坐标（ρ，θ）化为直角坐标（x ，y ）时，运用公式x=ρcos θ，y=ρsin θ即可． 2．极坐标方程与直角坐标方程互化的方法 直角坐标方程极坐标方程．3．求解与极坐标有关问题的主要方法（1）直接法：直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想配合使用；（2）间接法：转化为直角坐标系，用直角坐标求解．若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标．4．将参数方程化为普通方程的方法（1）将参数方程化为普通方程时，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数基本关系式消参，如sin 2θ+cos 2θ=1等；（2）将参数方程化为普通方程时，要注意参数的取值范围对普通方程中点的坐标的影响，注意两种方程的等价性，避免产生增解的情况． 5．将普通方程化为参数方程的方法只要适当选取参数t ，确定x=f （t ），再代入普通方程，求得y=g （t ），即可化为参数方程x f t y gt =⎧⎨=⎩（），（）．注意参数t 的意义和取值范围．选取参数的原则：（1）曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较明显且相对简单；（2）当参数取某一个值时，可以唯一确定x ，y 的值．一般地，与时间有关的问题，常取时间作为参数；与旋转有关的问题，常取旋转角作为参数．此外也常常用线段的长度，直线的倾斜角、斜率、截距等作为参数．6．直线方程中参数t 的几何意义的应用经过点P （x 0，y 0），倾斜角为α的直线l 的参数方程为00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩，（t 为参数）．若A ，B 为直线l 上的两点，其对应的参数分别为t 1，t 2，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为t 0，则以下结论在解题中经常用到：（1）t 0=122t t +； （2）|PM|=|t 0|=|122t t+|；（3）|AB|=|t 2–t 1|； （4）|PA|·|PB|=|t 1·t 2|．注意：在直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义，其几何意义为：|t|是直线上任一点M （x ，y ）到M 0（x 0，y 0）的距离，即|M 0M|=|t|．1．【广西桂林市、崇左市2019届高三下学期二模联考数学】在平面直角坐标系中，已知曲线C 的参数方程为2cos 22sin x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩（ϕ为参数），以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）过点()1,2P 倾斜角为135︒的直线l 与曲线C 交于M N 、两点，求22PM PN +的值． 【答案】（1）4sin ρθ=；（2）8．【解析】（1）依题意，曲线C 的普通方程为()2224x y +-=，即2240x y y +-=，故224x y y +=，故4sin ρθ=，故所求极坐标方程为4sin ρθ=；（2）由题意，可设直线l的参数方程为122x t y =-=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩（t 为参数）， 将此参数方程代入2240x y y +-=中，化简可得230t -=，显然0∆>．设,M N 所对应的参数分别为1t ，2t，则12123t t t t ⎧+=⎪⎨⋅=-⎪⎩．∴()2222212121228PM PN t t t t t t +=+=+-=．【名师点睛】本题主要考查参数方程、普通方程和极坐标方程的互化，考查直线参数方程t 的几何意义解答，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．2．【广西壮族自治区南宁、梧州等八市2019届高三4月联合调研考试数学】已知曲线l 的参数方程为325415x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4ρθπ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设1(2)P ，．直线l 与曲线C 交于点A B ，．求·PA PB 的值． 【答案】（1）22(2)(2)8x y -+-=；（2）7．【解析】（1）由4ρθπ⎛⎫=-⎪⎝⎭得4cos 4sin ρθθ=+， ∴24cos 4sin ρρθρθ=+，又cos sin x y ρθρθ==，，∴2244x y x y +=+即曲线C 的直角坐标方程为22(2)(2)8x y -+-=．（2）将325415x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩代入C 的直角坐标方程，得229418255t t ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，∴28705t t +-＝， 设A ，B 两点对应的参数分别为12t t ，，∴127t t =-．则12·7PA PB t t ==．【名师点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标的互化，以及参数方程的应用，熟记公式即可求解，属于常考题型．3．【广西南宁市2019届高三毕业班第一次适应性测试数学】在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos 1sin x r y r ϕϕ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（0r >，ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos()106ρθπ++=．若直线l 与曲线C 相切． （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）在曲线C 上任取两点M ，N ，该两点与原点O 构成MON △，且满足6MON π∠=，求MON △面积的最大值．【答案】（1）4sin()3ρθπ=+；（2）2．【解析】（1）由题意可知，直线l 20y -+=．曲线C 是圆心为)，半径为r 的圆，由直线l 与曲线C 相切可得2r ==．可知曲线C 的直角坐标方程为(()2214x y +-=．所以曲线C 的极坐标方程为2cos 2sin 0ρθρθ--=，即4sin 3ρθπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．（2）由（1）不妨设()1,M ρθ，2,6N ρθπ⎛⎫+⎪⎝⎭（10ρ>，20ρ>，233θππ-<<）． 1211sin 264MON S OM ON ρρπ==△24sin sin 2sin cos32θθθθθππ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin2θθ=++2sin 23θπ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．当12θπ=时，MON △面积的最大值为2． 【名师点睛】本题主要考查了直角坐标与极坐标的互化，考查了极坐标系下三角形的面积公式，考查了三角函数的最值问题，属于中档题．4．【广西壮族自治区柳州市2019届高三毕业班3月模拟考试数学】在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为12cos x y αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），将曲线1C 上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标缩短为原来的3，得到曲线2C ，在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为4sin()103ρθπ++=． （1）求曲线2C 的极坐标方程及直线l 的直角坐标方程；（2）设点P 为曲线3C ：2213y x +=上的任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值．【答案】（1）2C ：23cos 04ρρθ--=，l：210y ++=；（2【解析】（1）曲线1C的参数方程为12cos x y αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），根据图象变换可得曲线2C 的参数方程为1cos 2sin x y αα⎧=+⎪⎨⎪=⎩（α为参数）， 消去方程中的α可得普通方程为22304x y x +--=， 将222,cos x y x ρρθ+==代入上式得23cos 04ρρθ--=．所以曲线2C 的极坐标方程23cos 04ρρθ--=．直线l的极坐标方程为14sin cos 1022ρθθ⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭，即2sin cos 10ρθθ++=，将sin ,cos y x ρθρθ==代入上式，得210y ++=， 所以直线l的直角坐标方程为210y ++=． （2）设()cos P αα为曲线3C 上任一点，则点P 到直线l的距离|d ==， ∴当sin 14απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，d有最大值14+， ∴点P 到直线l． 【名师点睛】本题考查各种方程间的相互转化，在进行极坐标和直角坐标间的转化时，要注意转化公式在解题中的灵活应用．参数方程的建立便于点的坐标的选取，利用参数方程求点到直线的距离等提供了新的解题思路．5．【广西柳州市2019届高三毕业班1月模拟考试高三数学】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为322522x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线2C 的极坐标方程为ρ=（1）求曲线1C 的普通方程，曲线2C 的参数方程；（2）若P Q ，分别为曲线1C ，2C 上的动点，求PQ 的最小值，并求PQ 取得最小值时，Q 点的直角坐标．【答案】（1）40x y +-=，2C的参数方程为sin x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数）．（2）31,22Q ⎛⎫⎪⎝⎭【解析】（1）由曲线1C 的参数方程为322522x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），消去t ，得40x y +-=，由ρ=，()2212sin 3ρθ∴+=即2222sin 3ρρθ+=，22223x y y ∴++=，即2213x y +=，2C ∴的参数方程为sin x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数）．（2）设曲线2C 上动点为Q),sin ϕϕ，则点Q 到直线1C 的距离：d=， ∴当sin 13ϕπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，即6ϕπ=时，d，即PQ，3621sin 62x y π⎧==⎪⎪∴⎨π⎪==⎪⎩，31,22Q ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭．【名师点睛】本题考查了直角坐标方程，参数方程，及极坐标方程间的转化，考查了点到直线的距离公式的应用，考查了利用三角函数求最值，属于基础题．6．【云南省昆明市2019届高三高考模拟（第四次统测）数学】在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩，（α为参数），将曲线C 按伸缩变换公式'1'2x xy y =⎧⎪⎨=⎪⎩，变换得到曲线E ．（1）求E 的普通方程；（2）直线l 过点(0,2)M -，倾斜角为4π，若直线l 与曲线E 交于A ，B 两点，N 为AB 的中点，求OMN △的面积．【答案】（1）2214x y +=；（2）85．【解析】（1）依题意，E 的参数方程为2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），所以E 的普通方程为2214x y +=．（2）因为直线l 过点()0,2M -，倾斜角为4π， 所以l的参数方程为222x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），设A 、B 对应的参数分别为1t ，2t ，则N 对应的参数为122t t +，联立22,22,1,4x t y x y ⎧=⎪⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪+=⎪⎪⎩，化简得25240t -+=，(245240∆=-⨯⨯>，所以1225t t +=，即MN =，所以118sin 2242525OMN S MN MO π=⋅⋅=⨯⨯=△． 【名师点睛】本题考查了参数方程化为普通方程、曲线的伸缩变换，以及利用直线参数方程参数的意义求弦长问题．7．【四川省峨眉山市2019届高三高考适应性考试数学】已知曲线C 的参数方程为12cos 12sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数），直线l 的极坐标方程为3()4θρπ=∈R ，直线l 与曲线C 相交于M ，N 两点，以极点O 为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系． （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）记线段MN 的中点为P ，求OP 的值． 【答案】（1）2cos 24ρθπ⎛⎫++= ⎪⎝⎭；（2）OP =【解析】（1）∵曲线C 的参数方程为12cos 12sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数），∴所求方程为222(1)(1)2x y ++-=，∵cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，∴22cos 2sin 2ρρθρθ+-=，∴曲线C的极坐标方程为2cos 24ρθπ⎛⎫++= ⎪⎝⎭． （2）联立34θπ=和22cos 2sin 20ρρθρθ+--=，得220ρ--=， 设()1,M ρα，()2,N ρα，则12ρρ+=12||2OP ρρ+=，得OP =【名师点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，普通方程与及坐标方程的互化，利用极径的几何意义求弦长，属于中档题．8．【四川省名校联盟2019届高考模拟信息卷（一）数学】在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的方程为()222cos 4sin 4ρθθ+=，过点()2,1P 的直线l的参数方程为2212x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）． （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求AB 的值，并求定点P 到A ，B 两点的距离之积．【答案】（1）直线l 的普通方程10x y --=，曲线C 的直角坐标方程为22440x y +-=；（2）85．【解析】（1）由212x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），消去参数t ，得直线l 的普通方程10x y --=． 由()222cos 4sin 4ρθθ+=，得曲线C 的直角坐标方程为22440xy +-=．（2）将直线l的参数方程为21x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）， 代入22440x y +-=，得2580t ++=．则12t t +=1285t t =．∴12AB t t =-=5==， 1285PA PB t t ⋅==．所以AB 的值为5，定点P 到A ，B 两点的距离之积为85．【名师点睛】本题考查了简单曲线的极坐标方程，参数方程转化为普通方程，直线的参数方程． 9．【四川省双流中学2019届高三第一次模拟考试数学】在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩，其中a 为参数，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆C 的极坐标方程；（2）B 为圆C 上一点，且B 点的极坐标为()000,,,26ρθθππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，射线OB 绕O 点逆时针旋转π3，得射线OA ，其中A 也在圆C 上，求OA OB +的最大值． 【答案】（1）2cos ρθ=；（2）【解析】（1）1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩2222(1)120x y x y x ⇒-+=⇒+-=，由222,cos ,x y x ρρα=+=可得圆C 的极坐标方程2cos ρθ=．（2）由题意可知：10(,)6A ρθπ+，所以0002cos 2cos 36OA OB θθθππ⎛⎫⎛⎫+=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0,26θππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以0()(,)633θπππ+∈-01cos()(,1]62θπ⇒+∈，从而OA OB +最大值为【名师点睛】本题考查了把圆的参数方程化成普通方程再化为极坐标方程问题．考查了在极坐标下，利用三角恒等变换求两极径之和最大值问题，考查了运算能力．10．【四川省宜宾市2019届高三第三次诊断性考试数学】在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的参数方程为32cos (2sin x y ααα=+=⎧⎪⎨⎪⎩为参数）． （1）写出C 的普通方程，求C 的极坐标方程；（2）若过原点的直线l 与C 相交于,A B 两点，AB 中点D 的极坐标为03ρπ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，求D 的直角坐标．【答案】（1）226170x y x +--+=，26cos sin 170ρρθθ--+=；（2）944⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，．【解析】（1）C 的普通方程()(2234x y -+-=，∴226170x y x +--+=，C的极坐标方程26cos sin 170ρρθθ--+=； （2）由已知得直线l 的极坐标方程为π3θ=，代入26cos sin 170ρρθθ--+=，得29170ρρ-+=， ∴294170∆=-⨯>，设12ππ33A B ρρ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，则129ρρ+=， ∵D 是AB 中点， ∴120922ρρρ+==，∴9π99πcos sin 234234D D x y ====，， ∴D的直角坐标为94⎛ ⎝⎭．【名师点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程、参数方程与普通方程间的转化和应用，属中档题．11．【四川省内江市2019届高三第三次模拟考试数学】在平面直角坐标系xOy 中，已知点M 的直角坐标为()1,0，直线l的参数方程为12x y ⎧⎪=+⎨=⎪⎪⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=． （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）直线l 和曲线C 交于A 、B 两点，求11MA MB+的值． 【答案】（1）10x y --=和24y x =．（2）1【解析】（1）将12x y ⎧⎪=+⎨=⎪⎪⎪⎩中的参数t 消去，得：10x y --=，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入2sin 4cos ρθθ=，得24y x =． ∴直线l 和曲线C 的直角坐标方程分别为：10x y --=和24y x =．（2）将直线l 的参数方程代入曲线C的普通方程，得280t -=，设A 、B 两点对应的参数为1t 、2t ，则1MA t =，2MB t =，且12t t +=128t t =-． ∴12128t t t t +=-==，∴121111MA MB t t +=+121212121t t t t t t t t +-===． 【名师点睛】本题考查的知识要点：参数方程、直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．12．【四川省攀枝花市2019届高三下学期第三次统考数学】在平面直角坐标xOy 中，直线l 的参数方程为12x a y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数，a 为常数）．以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为24cos sin θρθ=． （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于A B 、两点，若16AB =，求a 的值．【答案】（1）033x y --=，24y x =；（2）1a =． 【解析】（1）∵直线l的参数方程为12x a y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数，a 为常数），消去参数t 得l的普通方程为：)3y x a =-即033x y a --=．∵24cos sin θρθ=，∴2sin 4cos ρθθ=即22sin 4cos ρθρθ=，即24y x =． 故曲线C 的直角坐标方程为24y x =．（2）法一：将直线l的参数方程代入曲线中得2160t a --=，∴121264(3)0316a a t t t t a ∆=+>⇒>-⎧⎪+=⎨⎪=-⎩， ∴12||16AB t t =-===，解得1a =．法二：将)y x a =-代入曲线24y x =， 化简得：222(6)0x a x a -++=，∴1221264(3)032(6)a a x x a x x a ∆=+>⇒>-⎧⎪+=+⎨⎪=⎩∴||16AB ====，解得1a =． 【名师点睛】直线的参数方程有很多种，如果直线的参数方程为00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩（其中t 为参数），注意t 表示直线上的点(),P x y 到()00,P x y 的距离，我们常利用这个几何意义计算直线上线段的长度和、差、积等．13．【四川省雅安市2019届高三第三次诊断考试数学】在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C的参数方程为x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos sin 1ρθρθ+=．（1）求椭圆C 的极坐标方程和直线l 的直角坐标方程；（2）若点P 的极坐标为(1,)2π，直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求PA PB +的值．【答案】（1）22132x y +=，1x y +=；（2【解析】（1）椭圆C 的普通方程为22132x y +=，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入整理得：2222sin 60ρρθ+-=，∴椭圆C 的极坐标方程为2222sin 60ρρθ+-=，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得直线l 的直角坐标方程为：1x y +=；（2）设点A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ， 点1,2P π⎛⎫⎪⎝⎭的直角坐标为()0,1P ，它在直线l 上．设直线l的参数方程为212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），代入22132x y+=，得22231622⎛⎫⎛⎫-++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，化简得2560t +-=，所以125t t +=-，1265t t ⋅=-，由直线参数方程的几何意义可得：1212PA PB t t t t +=+=-==． 【名师点睛】本题主要考查了直角坐标方程与极坐标方程互化，还考查了直线参数方程及参数的几何意义应用，考查了韦达定理及计算能力，属于中档题．14．【四川省成都市外国语学校2019届高三一诊模拟考试数学】在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，曲线C 与曲线D 关于极点对称．（1）以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，求曲线D 的直角坐标方程； （2）设P 为曲线D 上一动点，记P 到直线sin 3ρθ=-与直线cos 2ρθ=的距离分别为1d ，2d ，求12d d +的最小值．【答案】（1）22(2)4x y ++=；（2）7-．【解析】（1）∵曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，∴24cos ρρθ=， ∴曲线C 的直角坐标方程224x y x +=，即()2224x y -+=．∴曲线D 的直角坐标方程为()2224x y ++=． （2）由（1）设sin 3ρθ=-，[)0,2α∈π，直线sin 3ρθ=-与直线cos 2ρθ=的直角坐标方程分别为3y =-，2x =， ∴12sin 3d α=+，()2222cos 42cos d αα=--+=-，∴122sin 342cos 74d d αααπ⎛⎫+=++-=+- ⎪⎝⎭，∴12d d +的最小值为7-．【名师点睛】本题考查曲线的直角坐标方程的求法，考查点到两直线的距离和的最小值的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．15．【贵州省2019年普通高等学校招生适应性考试数学】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩，（t 为参数，0t ≥），在以O 为原点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C ，3C 的极坐标方程为242cos 05ρρθ--=，()7cos sin 5ρθθ+=． （1）判断2C ，3C 的位置关系，并说明理由；（2）若()3tan 04αα=≤≤π，1C 分别与2C ，3C 交于M ，N 两点，求MN ． 【答案】（1）圆2C 与直线3C 相交；（2）1．【解析】（1）由224:2cos 05C ρρθ--=，可得224205x y x +--=， 即2C 是圆心为()10，的圆； 又()37:cos sin 5C ρθθ+=可得705x y +-=，即3C 是一条直线， 圆心()10，到直线3C的距离5d ==<，即d r <， 所以圆2C 与直线3C 相交．（2）由()3tan 04αα=≤<π，有3sin 5α=，4cos 5α=， 由()2042cos 05θαρρρθ⎧=≥⎪⎨--=⎪⎩，，得284055ρρ--=，解得12ρ=，225ρ=-（舍去）， 由()()07cos sin 5θαρρθθ⎧=≥⎪⎨+=⎪⎩，，，得347555ρ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得31ρ=，故131MN ρρ=-=． 【名师点睛】本题考查曲线的极坐标方程与普通直角坐标方程的互化，考查了极径的应用，属于中档题．。

2019年高考真题极坐标与参数方程1. 在极坐标系中，已知两点，，直线的方程为．（1）求，两点间的距离．（2）求点到直线的距离．2. 如图，在极坐标系中，，，，，弧，，所在圆的圆心分别是，，，曲线是弧，曲线是弧，曲线是弧．（1）分别写出，，的极坐标方程．（2）曲线由，，构成，若点在上，且，求的极坐标．3. 在极坐标系中，为极点，点在曲线上，直线过点且与垂直，垂足为．（1）当时，求及的极坐标方程．（2）当在上运动且在线段上时，求点轨迹的极坐标方程．4. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．（1）求和的直角坐标方程．（2）求上的点到距离的最小值．参考答案1.（1）【答案】【解析】解：设极点为，则在中，由余弦定理，得，．【知识点】极坐标系、余弦定理【来源】2019年江苏省高考数学试卷1.（2）【答案】【解析】解：由直线的方程，知直线过，倾斜角为，又，点到直线的距离为．【知识点】简单曲线的极坐标方程【来源】2019年江苏省高考数学试卷2.（1）【答案】见解析【解析】解：由题设得，弧，，所在圆的极坐标方程分别为，，，则的极坐标方程为，的极坐标方程为，的极坐标方程为．【知识点】简单曲线的极坐标方程【来源】2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）； 2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）2.（2）【答案】或或或【解析】解：设，由题设及知，若，由得，得，若，由得，得或，若，由得，得，综上，的极坐标为或或或．【知识点】极坐标系【来源】2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）； 2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）3.（1）【答案】见解析【解析】解：当时，，，曲线的直角坐标方程为，将极坐标化为直角坐标得，直线的方程为，又直线与垂直，直线的斜率为，又直线过点，故的极坐标方程为，即．【知识点】简单曲线的极坐标方程【来源】2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）； 2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）3.（2）【答案】见解析【解析】解：设，则在中，有，在线段上，，故点轨迹的极坐标方程为，．【知识点】简单曲线的极坐标方程【来源】2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）； 2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）4.（1）【答案】见解析【解析】解：由(为参数)，得，两式平方相加，得，的直角坐标方程为，由，得．即直线的直角坐标方程为．【知识点】极坐标与参数方程综合【来源】2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）； 2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）； 2019高考真题新课标I224.（2）【答案】见解析【解析】解：设与直线平行的直线方程为，联立，得．由，得．当时，直线与曲线的切点到直线的距离最小，为．【知识点】参数方程的应用、极坐标与参数方程综合【来源】2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）； 2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）； 2019高考真题新课标I22。

2019年高考（理科）数学真题专题09 不等式、推理与证明1．【2019年高考全国II 卷理数】2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日2L 点的轨道运行．2L 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M １，月球质量为M ２，地月距离为R ，2L 点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：121223()()M M M R r R r r R +=++.设rRα=，由于α的值很小，因此在近似计算中34532333(1)ααααα++≈+，则r 的近似值为 ABC．D【答案】D 【解析】由rRα=，得r R α= 因为121223()()M M M R r R r r R +=++，所以12122222(1)(1)M M M R R R ααα+=++，即543232221133[(1)]3(1)(1)M M αααααααα++=+-=≈++，解得3α=所以3.r R α==【名师点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是复杂式子的变形出错．2．【2019年高考全国II 卷理数】若a >b ，则 A ．ln(a −b )>0 B ．3a <3b C ．a 3−b 3>0 D ．│a │>│b │【答案】C【解析】取2,1a b ==，满足a b >，ln()0a b -=，知A 错，排除A ；因为9333a b =>=，知B 错，排除B ；取1,2a b ==-，满足a b >，12a b =<=，知D 错，排除D ，因为幂函数3y x =是增函数，a b >，所以33a b >，故选C ．【名师点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断．3．【2019年高考北京卷理数】若x ，y 满足|1|x y ≤-，且y ≥−1，则3x+y 的最大值为 A ．−7 B ．1C ．5D ．7【答案】C【解析】由题意1,11yy x y-≤⎧⎨-≤≤-⎩作出可行域如图阴影部分所示.设3,3z x y y z x =+=-,当直线0:3l y z x =-经过点()2,1-时,z 取最大值5.故选C ．【名师点睛】本题是简单线性规划问题的基本题型,根据“画､移､解”等步骤可得解.题目难度不大,注重了基础知识､基本技能的考查.4．【2019年高考北京卷理数】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 2−m 1=52lg 21E E ，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1，2）．已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 A ． 1010.1B ． 10.1C ． lg10.1D ． 10–10.1【答案】A【解析】两颗星的星等与亮度满足12125lg 2E m m E -=,令211.45,26.7m m =-=-, ()10.111212222lg( 1.4526.7)10.1,1055E E m m E E =⋅-=-+==. 故选：A ．【名师点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及指数对数运算.5．【2019年高考天津卷理数】设变量,x y 满足约束条件20,20,1,1,x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎪⎨-⎪⎪-⎩……，则目标函数4z x y =-+的最大值为 A ．2 B ．3C ．5D ．6【答案】D【解析】已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分. 目标函数的几何意义是直线4y x z =+在y 轴上的截距， 故目标函数在点A 处取得最大值.由20,1x y x -+=⎧⎨=-⎩，得(1,1)A -，所以max 4(1)15z =-⨯-+=.故选C.【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域，分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值或范围．即：一画，二移，三求． 6．【2019年高考天津卷理数】设x ∈R ，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】化简不等式，可知 05x <<推不出11x -<， 由11x -<能推出05x <<，故“250x x -<”是“|1|1x -<”的必要不充分条件， 故选B.【名师点睛】本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合的关系来判断条件.7．【2019年高考浙江卷】若实数,x y 满足约束条件3403400x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩，则32z x y =+的最大值是A ． 1-B ． 1C ． 10D ． 12【答案】C【解析】画出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示。

2019年新课标全国卷1理科数学考点讲评与真题分析9．坐标系与参数方程一、考试大纲1．坐标系(1)理解坐标系的作用.(2)了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.(3)能在极坐标系中用极坐标表示点的位置,理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化.(4)能在极坐标系中给出简单图形的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程,理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.(5)了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法,并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较,了解它们的区别.2．参数方程(1)了解参数方程,了解参数的意义.(2)能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.(3)了解平摆线、渐开线的生成过程,并能推导出它们的参数方程.(4)了解其他摆线的生成过程,了解摆线在实际中的应用,了解摆线在表示行星运动轨道中的作用.二、考点讲评与真题分析坐标系与参数方程的题目，主要考查两个方面：一是极坐标方程与普通方程的转化，二是极坐标方程和参数方程的简单应用，难度较小。

直线与圆的位置关系考查较多，注意直线参数方程中参数的几何意义的应用。

重点考查了数形结合的数学思想和转化与化归能力．解决坐标系与参数方程中求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解，解题时要结合题目自身特点，确定选择何种方程．三、典型高考试题讲评题型1 参数方程与普通方程的转化（2014·新课标Ⅰ，23）已知曲线C ：22149x y +=，直线l ：222x t y t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）. (Ⅰ)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（Ⅱ）过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o 30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值.【解析】(Ⅰ) 曲线C 的参数方程为：2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）， 直线l 的普通方程为：260x y +-=（Ⅱ）（2）在曲线C 上任意取一点P (2cos θ,3sin θ)到l 的距离为3sin 6d θθ=+-，则()0||6sin 30d PA θα==+-，其中α为锐角．且4tan 3α=.当()sin 1θα+=-时，||PA当()sin 1θα+=时，||PA . 【解题技巧】解决坐标系与参数方程相关问题，一般先根据题目已知条件将曲线的方程转化成同一坐标系下的方程，然后利用平面解析几何的方法进行计算求解即可。

2019年全国及各省市高考数学试题分类汇编（13 坐标系与参数方程、不等式选讲、矩阵）1.（2019·北京理·3）已知直线l 的参数方程为1324x ty t=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），则点(1,0)到直线l 的距离是（ ） A.15B.25C.45D.65答案：D解析：由直线的参数方程可得直线的普通方程为4320x y -+=，则点(1,0)到直线l 的距离为402655d -+==.2.（2019·全国I 文/理·22）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22211()41t x t t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩为参数.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2cos sin 110ρθθ++=.（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）求C 上的点到l 距离的最小值.解析：(1)曲线C :由题意得22212111t x t t -==-+++即2211x t +=+，则2(1)y t x =+，然后代入即可得到2214y x +=(1)x ?，而直线l ：将c o s ,s i n x y ρθρθ==代入即可得到2110x +=. （2）将曲线C 化成参数方程形式为则d ==所以当362ππθ+=. 3.（2019·全国II 文/理·22）在极坐标系中，O 为极点，点00(,)M ρθ0(0)ρ>在曲线:=4sin C ρθ上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P .（1）当03πθ=时，求0ρ及l 的极坐标方程；（2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程.解析：当03πθ=时，00=4sin 4sin3πρθ==以O 为原点，极轴为x 轴建立直角坐标系，在直角坐标系中有M ，(4,0)A ，OM k ，则直线l 的斜率k =，由点斜式可得直线l ：4)y x =-，化成极坐标方程为sin()26πρθ+=；（1）∵l OM ⊥∴2OPA π∠=，则P 点的轨迹为以OA 为直径的圆，此时圆的直角坐标方程为22(2)4x y -+=，化成极坐标方程为=4cos ρθ，又P 在线段OM 上，由4sin 4cos ρθρθ=⎧⎨=⎩可得4πθ=，∴P 点轨迹的极坐标方程为=4cos ρθ(,)42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 4.（2019·全国III 文/理·22）如图，在极坐标系Ox 中，)0,2(A ,)4,2(πB ,)43,2(πC ,),2(πD ,弧AB ,BC ,CD 所在圆的圆心分别是)0,1(，)2,1(π，),1(π，曲线1M 是弧AB ,曲线2M 是弧BC ，曲线3M 是弧CD .（1）分别写出1M ,2M ,3M 的极坐标方程；（2）曲线M 由1M ,2M ,3M 构成，若点P 在M 上，且3=OP ,求P 的极坐标.解析：由题意可知1M ,2M ,3M 的直角坐标方程为：)01,12(1)1(22≥≥≥≥=+-y x y x ，)21,11(1)1(22≤≤≤≤-=-+y x y x ，)10,12(1)1(22≤≤-≤≤-=++y x y x ，所以1M ,2M ,3M 的极坐标为)40(cos 2πθθρ≤≤=，)434(sin 2πθπθρ≤≤=，)43(cos 2πθπθρ≤≤-=. （1）3cos 2=θ时，23cos =θ，6πθ=，3sin 2=θ时，23sin =θ，3πθ=或32πθ=， 3cos 2=-θ时，23cos -=θ，65πθ=，所以P 点的极坐标为)6,3(π，)3,3(π，)32,3(π，)65,3(π.5.（2019·江苏·22）在极坐标系中，已知两点(3,)4A π，)2B π，直线l 的方程为sin()34πρθ+=.（1）求A ，B 两点间的距离； （2）求点B 到直线l 的距离.解析：（1）设极点为O ，在OAB ∆中，(3,)4A π，)2B π，由余弦定理，得AB ==（2）因为直线l 的方程为sin()34πρθ+=，则直线l 过点)2π，倾斜角为34π.又)2B π，所以点B 到直线l 的距离为3sin()242ππ⨯-=.6.（2019·全国I 文/理·23）已知a ，b ，c 为正数，且满足1=abc ，证明： （1）222111c b a cb a ++≤++； （2）24)()()(333≥+++++a c c b b a .解析：（1） ab b a 222≥+，bc c b 222≥+，ac a c 222≥+，∴ac bc ab c b a 222222222++≥++，即ac bc ab c b a ++≥++222，当且仅当c b a ==时取等号. 1=abc 且a ，b ，c 都为正数，∴c ab 1=，a bc 1=，b ac 1=，故222111c b a cb a ++≤++. （2） 3333333)()()(3)()()(ac c b b a a c c b b a +++≥+++++，当且仅当333)()()(a c c b b a +=+=+时等号成立，即c b a ==时等号成立.又))()((3)()()(33333a c c b b a a c c b b a +++=+++ac bc ab 2223⋅⋅⨯≥abc 42=，当且仅当c b a ==时等号成立， 1=abc ，故2424)()()(33333=≥+++abc a c c b b a ，即得24)()()(333≥+++++a c c b b a .7.（2019·全国II 文/理·23）已知 ()|||2|()f x x a x x x a =-+-- （1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集： （2）若(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 得取值范围. 解析：（1）当1a =时，22242(2),()12(1)22(12),242(1).x x x f x x x x x x x x x x ⎧-+≥⎪=-+--=-<<⎨⎪-+-≤⎩所以不等式()0f x <等价于224202x x x ⎧-+<⎨≥⎩或22012x x -<⎧⎨<<⎩或224201x x x ⎧-+-<⎨≤⎩解得不等式的解集为{}1x x <。

⎩ （ 为 参数）.⎨y = t s in α,⎨ 22014-2019 全国卷高考极坐标与参数方程真题（含答案）x 2+y =⎧ x = 2 + t（2014 年 1 卷）已知曲线C ： 491，直线l ：⎨ y = 2 - 2 t t (Ⅰ)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（Ⅱ）过曲线C 上任一点 P 作与l 夹角为30o的直线，交l 于点 A ，求| PA | 的最大值与最小值.（2014 年 2 卷）（本小题满分 10）选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴 ρ= 2 cos θ θ ∈ ⎡ 0 , π ⎤为极轴建立极坐标系，半圆 C 的极坐标方程为，⎢⎣2 ⎥⎦ .（Ⅰ）求 C 的参数方程；（Ⅱ）设点 D 在 C 上，C 在 D 处的切线与直线l : y = 得到的参数方程，确定 D 的坐标.3x + 2 垂直，根据（Ⅰ）中你（2015 年 1 卷）在直角坐标系 xOy 中，直线C : x = - 2，圆C ：(x -1)2+ ( y - 2)2= 1,以坐标原点为极点， x 12轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求C 1 ， C 2 的极坐标方程；π（Ⅱ）若直线C 3 的极坐标方程为θ=(ρ∈ R ) ，设C 2 与C 3 的交点为 M , N ,求 ∆C 2 MN 的面积.4（2015 年 2 卷）在直角坐标系 xOy 中,曲线 1 : ⎧ x = t c o s α, ⎩ (t 为参数,且 t≠0),其中 0≤α<π,在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C 2:ρ=2sin θ,C 3:ρ=2cos θ.(1)求 C 2 与 C 3 交点的直角坐标.(2)若 C 1 与 C 2 相交于点 A,C 1 与 C 3 相交于点 B,求|AB|的最大值.（2016 年 1 卷）在直线坐标系 xOy 中,曲线 C 1 的参数方程为 ⎧x⎩y = acost,= 1 + asint(t 为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C 2:ρ=4cosθ. (1)说明 C 1 是哪一种曲线,并将 C 1 的方程化为极坐标方程.(2)直线 C 3 的极坐标方程为θ=α0,其中α0 满足 tanα0=2,若曲线 C 1 与 C 2 的公共点都在 C 3 上,求 a.C10 22 ⎨y = t sin α⎨ θ + ⎨y = sin θ⎨ y = 1 - t⎩ （2016 年 2 卷）在直线坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为( x + 6)2+ y 2 = 25 ．（I ） 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 C 的极坐标方程； （II ） 直线 l 的参数方程是 ⎧ x = t co s α （t 为参数），l 与 C 交于 A 、B 两点， AB = ，求 l 的斜率．⎩（2016 年 3 卷）在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 1 的参数方程为 ⎧⎪x =3cosα (α为参数),以坐标原点为极点,⎪⎩y = sinα以 x 轴的正半轴为极轴,,建立极坐标系,曲线 C 2 的极坐标方程为ρsin ⎛π ⎫ =2. 4 ⎪ ⎝ ⎭(1) 写出 C 1 的普通方程和 C 2 的直角坐标方程.(2) 设点 P 在 C 1 上,点 Q 在 C 2 上,求|PQ|的最小值及此时 P 的直角坐标.（2017 年 1 卷）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 ⎧ x = 3 cos θ（θ 为参数），直线 l 的参数方程为⎩ ⎧ x = a + 4 t ( t 为参数 ) . ⎩ （1） 若 a = -1 ，求C 与l 的交点坐标；（2）（2）若C 上的点到l 的距离的最大值为，求 a .（2107 年 2 卷）在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 1 的极坐标方程为ρcos θ= 4 ．（1）M 为曲线C 1 上的动点，点 P 在线段OM 上，且满足 OM ⋅ OP = 16 ，求点 P 的轨迹C 2 的直角坐标方程；（2） 设点 A 的极坐标为⎛ 2 , π ⎫ ，点 B 在曲线C 2 上，求△OAB 面积的最大值．3 ⎪ ⎝ ⎭（2017 年 3 卷）在平面直角坐标系 xOy 中，直线l 的参数方程为⎧ x = 2+t （ t 为参数），直线l 的参数方程为⎧ x = -2 + m1⎨y = kt2⎪ ⎨ y = m ⎩ k （m 为参数）．设l 1 与l 2 的交点为 P ，当 k 变化时， P 的轨迹为曲线C ． （1） 写出C 的普通方程；（2） 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ+ sin θ) -= 0 ， M 为l 3 与C 的交点，求 M 的极径．17 ⎪⎩ xOy ⊙O（2018年1卷）在直角坐标系中，曲线的方程为．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极 坐标方程为． ⑴求的直角坐标方程；⑵若与有且仅有三个公共点，求的方程．（2018年2卷）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）．（1） 求和的直角坐标方程；（2） 若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．⎧ x = cos θ，（2018年3卷）在平面直角坐标系 中， 的参数方程为 ⎨ y = sin θ（θ为参数），过点(0 ，- 2 ) 且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于 A ，B 两点．（1） 求α的取值范围；（2） 求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程．⎧ 1- t 2x = ，⎪ 1+ t 2 （2019 年 1 卷）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 ⎨ ⎪ y = ⎩ 4t1+ t 2（t 为参数）．以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 2ρcos θ+3ρsin θ+11 = 0 ．（1） 求 C 和 l 的直角坐标方程；（2） 求 C 上的点到 l 距离的最小值．（2019 年 2 卷）在极坐标系中，O 为极点，点 M (ρ0 ,θ0 )(ρ0 > 0) 在曲线C :ρ= 4 sin θ上，直线 l 过点 A (4, 0) 且与OM 垂直，垂足为 P .（1）当θ = π时，求ρ 及 l 的极坐标方程；3（2）当 M 在 C 上运动且 P 在线段 OM 上时，求 P 点轨迹的极坐标方程.3 552⎩y = s i n t ,（2019 年 3 卷）如图，在极坐标系 Ox 中，A (2, 0) ，B ( 2, π) ，C ( 2, 3π) ， D (2, π) ，弧 AB ，B C ， 44C D 所在圆的圆心分别是(1, 0) ，(1, π) ，(1, π) ，曲线 M 1 是弧 AB ，曲线 M 2 是弧 B C ，曲线 M 3 是弧C D . （1） 分别写出 M 1 ， M 2 ， M 3 的极坐标方程；（2） 曲线 M 由 M 1 ， M 2 ， M 3 构成，若点 P 在M 上，且| OP |= ，求P 的极坐标.【参考答案】（2014 年 1 卷）⎧ x = 2 cos θ.（ I ） 曲线C 的参数方程为⎨ y = 3 sin θ. (θ为参数).直线l 的普通方程为2x + y - 6 = 0.（ I I ） 曲 线 C 上 任 意 一 点 P ( 2 co s θ. 3 sin θ) 到 l 的 距 离 为d =4 co s θ + 3 sin θ - 6 .则 P A =d= sin 3 0 ︒ 5 sin (θ + α) - 6 , 其 中 α为 锐 角 ， 且 tan α = 4.3当 sin (θ+α) = - 1 时 ，P A 取 得 最 大 值 ， 最 大 值 为 2 2 5.5 当 sin (θ + α) = 1时 ，P A 取 得 最 小 值 ， 最 小 值 为 2 5.5（2014 年 2 卷）解析：（I ）C 的普通方程为(x -1)2 + y 2= 1(0 ≤ y ≤ 1) . 可得 C 的参数方程为⎧ x = 1 + c o s t ,⎨⎩ （t 为参数，0 ≤ t ≤ x ） （Ⅱ）设 D (1 + cos t , sin t ) .由（I ）知 C 是以 G （1,0）为圆心，1 为半径的上半圆。

绝密★启用前2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，则A．B．C．D．2．若，则z=A．B．C．D．3．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为A．0.5B．0.6C．0.7D．0.84．（1+2x2）（1+x）4的展开式中x3的系数为A．12B．16C．20D．245．已知各项均为正数的等比数列{a n}的前4项为和为15，且a5=3a3+4a1，则a3= A．16B．8C．4D．26．已知曲线在点（1，a e）处的切线方程为y=2x+b，则A．B．a=e，b=1C．D．，7．函数在的图象大致为A．B．C．D．8．如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M 是线段ED的中点，则A．BM=EN，且直线BM、EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM=EN，且直线BM、EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线9．执行下边的程序框图，如果输入的为0.01，则输出的值等于A. B. C. D.10．双曲线C：=1的右焦点为F，点P在C的一条渐进线上，O为坐标原点，若，则△PFO的面积为A．B．C．D．11．设是定义域为R的偶函数，且在单调递减，则A．（log3）＞（）＞（）B．（log3）＞（）＞（）C．（）＞（）＞（log3）D．（）＞（）＞（log3）12．设函数=sin（）(＞0)，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论：①在（）有且仅有3个极大值点②在（）有且仅有2个极小值点③在（）单调递增④的取值范围是[)其中所有正确结论的编号是A．①④B．②③C．①②③D．①③④二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

E单元不等式E1 不等式的概念与性质6.B6,B7,E1[2019·全国卷Ⅱ]若a>b,则()A.ln(a-b)>0B.3a<3bC.a3-b3>0D.|a|>|b|6.C[解析]因为a>b,不妨设a=-1,b=-2,则ln(a-b)=ln1=0,3-1>3-2,|-1|<|-2|,选项A,B,D均错,故选C.E2 绝对值不等式的解法3.A2,E2,E3[2019·天津卷]设x∈R,则“x2-5x<0”是“|x-1|<1”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.B[解析]设一元二次不等式x2-5x<0的解集为A,绝对值不等式|x-1|<1的解集为B,则A={x|0<x<5},B={x|0<x<2},易知B⫋A,所以“x2-5x<0”是“|x-1|<1”的必要而不充分条件.E3 一元二次不等式的解法1.A1,E3[2019·全国卷Ⅰ]已知集合M={x|-4<x<2},N={x|x2-x-6<0},则M∩N=()A.{x|-4<x<3}B.{x|-4<x<-2}C.{x|-2<x<2}D.{x|2<x<3}1.C[解析]因为N={x|x2-x-6<0}={x|-2<x<3},所以M∩N={x|-4<x<2}∩{x|-2<x<3}={x|-2<x<2}.1.A1,E3[2019·全国卷Ⅱ]设集合A={x|x2-5x+6>0},B={x|x-1<0},则A∩B=()A.(-∞,1)B.(-2,1)C.(-3,-1)D.(3,+∞)1.A[解析]因为A=(-∞,2)∪(3,+∞),B=(-∞,1),所以A∩B=(-∞,1).1.A1,E3[2019·全国卷Ⅲ]已知集合A={-1,0,1,2},B={x|x2≤1},则A∩B=()A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{-1,1}D.{0,1,2}1.A[解析]因为A={-1,0,1,2},B={x|x2≤1}={x|-1≤x≤1},所以A∩B={-1,0,1}.3.A2,E2,E3[2019·天津卷]设x∈R,则“x2-5x<0”是“|x-1|<1”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.B[解析]设一元二次不等式x2-5x<0的解集为A,绝对值不等式|x-1|<1的解集为B,则A={x|0<x<5},B={x|0<x<2},易知B⫋A,所以“x2-5x<0”是“|x-1|<1”的必要而不充分条件.E4 简单的一元高次不等式的解法E5 简单的线性规划问题5.E5[2019·北京卷]若x,y满足|x|≤1-y,且y≥-1,则3x+y的最大值为()A.-7B.1C.5D.75.C[解析]作出可行域,如图中阴影部分所示,其中A(2,-1),B(-2,-1),C(0,1).设z=3x+y,当直线z=3x+y经过点A(2,-1)时,z=3×2-1=5;当直线z=3x+y经过点B(-2,-1)时,z=3×(-2)-1=-7;当直线z=3x+y经过点C(0,1)时,z=3×0+1=1.由于线性目标函数的最值在三角形ABC的顶点处取到,所以z=3x+y 的最大值为5.故选C .2.E5[2019·天津卷] 设变量x ,y 满足约束条件{x +y -2≤0,x -y +2≥0,x ≥-1,y ≥-1,则目标函数z=-4x+y 的最大值为( )A .2B .3C .5D .62.C [解析] 作出可行域,如图所示,由图可知,当直线y=4x+z 经过直线x=-1与直线x-y+2=0的交点M (-1,1)时,目标函数z=-4x+y 取得最大值5.3.E5[2019·浙江卷] 若实数x , y 满足约束条件{x -3y +4≥0,3x -y -4≤0,x +y ≥0,则z=3x+2y 的最大值是 ( )A .-1B .1C .10D .123.C [解析] 作出可行域如图中阴影部分所示.由z=3x+2y ,得y=-32x+z2,易知当直线y=-32x+z2过点A 时,z 取得最大值,由{x -3y +4=0,3x -y -4=0,得A (2,2),所以z=3x+2y 的最大值为10.E6 2a bab + 21.H5,H8,H9,E6[2019·全国卷Ⅱ] 已知点A (-2,0),B (2,0),动点M (x ,y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为-12.记M 的轨迹为曲线C. (1)求C 的方程,并说明C 是什么曲线.(2)过坐标原点的直线交C 于P ,Q 两点,点P 在第一象限,PE ⊥x 轴,垂足为E ,连接QE 并延长交C 于点G.(i)证明:△PQG 是直角三角形; (ii)求△PQG 面积的最大值.21.解:(1)由题设得yx+2·yx -2=-12,化简得x 24+y 22=1(|x|≠2),所以C 为中心在坐标原点,焦点在x 轴上的椭圆,不含左右顶点.(2)(i)证明:设直线PQ 的斜率为k ,则其方程为y=kx (k>0).由{y =kx,x 24+y 22=1得x=±2√1+2k .记u=1+2k ,则P (u ,uk ),Q (-u ,-uk ),E (u ,0),于是直线QG 的斜率为k2,方程为y=k2(x-u ).由{y =k2(x -u),x 24+y 22=1得(2+k 2)x 2-2uk 2x+k 2u 2-8=0.① 设G (x G ,y G ),则-u 和x G 是方程①的解,故x G =u(3k 2+2)2+k2,由此得y G =uk32+k2,从而直线PG 的斜率为uk 32+k 2-uk u(3k 2+2)2+k 2-u =-1k ,所以PQ ⊥PG ,即△PQG 是直角三角形. (ii)由(i)得|PQ|=2u √1+k 2,|PG|=2uk √k 2+12+k2,所以△PQG 的面积S=12|PQ||PG|=8k(1+k 2)(1+2k 2)(2+k 2)=8(1k +k )1+2(1k+k )2.设t=k+1k ,则由k>0得t ≥2,当且仅当k=1时取等号.因为S=8t1+2t 2在[2,+∞)单调递减,所以当t=2, 即k=1时,S 取得最大值, 最大值为169. 因此,△PQG 面积的最大值为169.10.E6、H2[2019·江苏卷] 在平面直角坐标系xOy 中,P 是曲线y=x+4x (x>0)上的一个动点,则点P 到直线x+y=0的距离的最小值是 . 10.4 [解析] 方法一:由已知可设P (x,x +4x ),x>0, 所以点P 到直线x+y=0的距离d=|x+x+4x |√2=2x+4x √2≥2√2x ·4x√2=4,当且仅当2x=4x ,即x=√2时取等号,故点P 到直线x+y=0的距离的最小值为4.方法二:作直线x+y=0的平行线x+y+C=0(图略),当直线x+y+C=0与曲线y=x+4x (x>0)相切于点P 时,点P 到直线x+y=0的距离最小.由{x +y +C =0,y =x +4x,得2x 2+Cx+4=0,所以Δ=C 2-32=0,解得C=±4√2.因为x>0,所以y>0,所以C<0,则C=-4√2,则所求距离的最小值为√2=4.13.E6 [2019·天津卷] 设x>0,y>0,x+2y=5,则xy的最小值为 .13.4√3 [解析] 因为x>0,y>0,x+2y=5, 所以(x+1)(2y+1)xy =2xy+(x+2y)+1xy =2xy+6xy =2(√xy 3xy)≥4√3, 当且仅当x=3,y=1或x=2,y=32时等号成立,故√xy 的最小值为4√3.5.A2,E6[2019·浙江卷] 设a>0,b>0,则“a+b ≤4”是“ab ≤4”的 ( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 5.A [解析] 由题知a>0,b>0,若a+b ≤4,则ab ≤(a+b 2)2≤4,当且仅当a=b=2时等号成立;若ab ≤4,取a=6,b=12,则a+b>4.所以“a+b ≤4”是“ab ≤4”的充分不必要条件.21.H7,H8,E6[2019·浙江卷] 如图1-4,已知点F (1,0)为抛物线y 2=2px (p>0)的焦点.过点F 的直线交抛物线于A ,B 两点,点C 在抛物线上,使得△ABC 的重心G 在x 轴上,直线AC 交x 轴于点Q ,且Q 在点F 的右侧.记△AFG ,△CQG 的面积分别为S 1,S 2.图1-4(1)求p 的值及抛物线的准线方程; (2)求S1S 2的最小值及此时点G 的坐标.21.解:(1)由题意得p2=1,即p=2. 所以,抛物线的准线方程为x=-1.(2)设A (x A ,y A ),B (x B ,y B ),C (x C ,y C ),重心G (x G ,y G ).令y A =2t ,t ≠0,则x A =t 2. 由于直线AB 过点F ,故直线AB 的方程为x=t 2-12t y+1,代入y 2=4x ,得y 2-2(t 2-1)ty-4=0,故2ty B =-4,即y B =-2t ,所以B (1t 2,-2t ).又由于x G =13(x A +x B +x C ),y G =13(y A +y B +y C )及重心G 在x 轴上,故2t-2t +y C =0, 得C ((1t -t)2,2(1t -t)),G (2t 4-2t 2+23t 2,0). 所以,直线AC 的方程为y-2t=2t (x-t 2),得Q (t 2-1,0). 由于Q 在焦点F 的右侧,故t 2>2.从而S 1S 2=12|FG|·|y A |12|QG|·|y C |=|2t 4-2t 2+23t 2-1|·|2t||t 2-1-2t 4-2t 2+23t 2|·|2t -2t |=2t 4-t 2t 4-1=2-t 2-2t 4-1.令m=t 2-2,则m>0,S1S 2=2-m m 2+4m+3=2-1m+3m +4≥2-2√m ·3m +4=1+√32.当m=√3时,S 1S 2取得最小值1+√32,此时G (2,0).E7 不等式的证明方法20.E7,B11,B12[2019·天津卷] 设函数f (x )=e x cos x ,g (x )为f (x )的导函数. (1)求f (x )的单调区间;(2)当x ∈[π4,π2]时,证明f (x )+g (x )(π2-x)≥0;(3)设x n 为函数u (x )=f (x )-1在区间(2nπ+π4,2nπ+π2)内的零点,其中n ∈N,证明2n π+π2-x n <e -2nπsin x0-cos x 0. 20.解:(1)由已知,有f'(x )=e x (cos x-sin x ).因此,当x ∈(2kπ+π4,2kπ+5π4)(k ∈Z)时,有sin x>cos x ,得f'(x )<0,则f (x )单调递减;当x ∈(2kπ-3π4,2kπ+π4)(k ∈Z)时,有sin x<cos x ,得f'(x )>0,则f (x )单调递增.所以,f (x )的单调递增区间为[2kπ-3π4,2kπ+π4](k ∈Z),f (x )的单调递减区间为[2kπ+π4,2kπ+5π4](k ∈Z).(2)证明:记h (x )=f (x )+g (x )(π2-x).依题意及(1),有g (x )=e x (cos x-sin x ),从而g'(x )=-2e x sin x ,当x ∈(π4,π2)时,g'(x )<0,故h'(x )=f'(x )+g'(x )(π2-x)-g (x )=g'(x )(π2-x)<0. 因此,h (x )在区间[π4,π2]上单调递减,进而h (x )≥h (π2)=f (π2)=0. 所以,当x ∈[π4,π2]时,f (x )+g (x )(π2-x)≥0.(3)证明:依题意,u (x n )=f (x n )-1=0,即e x n cos x n =1.记y n =x n -2n π,则y n ∈(π4,π2),且f (y n )=e y n cosy n =e x n -2nπcos(x n -2n π)=e -2n π(n ∈N).由f (y n )=e -2n π≤1=f (y 0)及(1),得y n ≥y 0.由(2)知,当x ∈(π4,π2)时,g'(x )<0,所以g (x )在[π4,π2]上为减函数,因此g (y n )≤g (y 0)<g (π4)=0.又由(2)知,f (y n )+g (y n )(π2-y n )≥0,故π2-y n ≤-f(y n )g(y n)=-e -2nπg(y n)≤-e -2nπg(y 0)=e -2nπe y 0(sin y 0-cos y 0)<e -2nπsin x 0-cos x 0.所以,2n π+π2-x n <e -2nπsin x0-cos x 0.E8 不等式的综合应用4.E8, M1[2019·全国卷Ⅰ] 古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是√5-12(√5-12≈0.618,称为黄金分割比例),著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是√5-12.若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105 cm,头顶至脖子下端的长度为26 cm,则其身高可能是( )图1-1A .165 cmB .175 cmC .185 cmD .190 cm4.B [解析] 设此人肚脐至足底的长度为x cm,则头顶至肚脐的长度约为0.618x cm,而x>105,所以身高约为x+0.618x>1.618×105≈170(cm);头顶至咽喉的长度小于26 cm,所以头顶至肚脐的长度小于26+260.618≈68(cm),所以身高小于68+680.618≈178(cm).结合选项可知选B .14.E8[2019·北京卷] 李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x 元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%.①当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付 元;②在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x 的最大值为 .14.130 15 [解析] ①一次购买草莓和西瓜各1盒,总价为60+80=140(元),超过120元,所以顾客少付10元,即顾客只需要支付130元.②设促销前总价为T 元,依题意得,(T-x )×80%≥0.7T 对T ≥120恒成立,所以x ≤18T 对T ≥120恒成立,等价于x ≤(18T )min=18×120=15,所以x 的最大值为15.E9 单元综合8.[2019·黑龙江大庆一中模拟] 已知p :2xx -1<1,q :(x+a )(x-3)>0,若p 是q 的充分不必要条件,则实数a 的取值范围是 ( ) A .(-3,-1] B .[-3,-1] C .(-∞,-1]D .(-∞,-3]8.C [解析] 由2xx -1<1得x+1x -1<0,解得-1<x<1.因为p 是q 的充分不必要条件,所以-a ≥1,则a ≤-1.故选C .8.[2019·陕西汉中联考] 已知x>0,函数f (x )=(e x -a)2+(e -x +a)2e x -e -x的最小值为6,则a= ( )A .-2B .-1或7C .1或-7D .28.B[解析] f (x )=e 2x +e -2x -2a(e x -e -x )+2a 2e x -e -x=(e x -e -x )2-2a(e x -e -x )+2a 2+2e x -e -x=e x -e -x +2a 2+2e x -e -x-2a ≥2√2a 2+2-2a=6(当且仅当e x -e -x =√2a 2+2时取等号),此时a 2-6a-7=0,解得a=-1或7,故选B .11.[2019·辽宁联考] 已知函数f (x )=2x -12x +1+x+sin x ,若正实数a ,b 满f (4a )+f (b-9)=0,则1a +1b 的最小值是( )A .1B .92 C .9 D .1811.A [解析] 因为f (x )=2x -12x +1+x+sin x (x ∈R),所以f (-x )=2-x -12-x +1-x-sin x=-(2x -12x +1+x+sinx)=-f (x ),所以函数f (x )为奇函数,又正实数a ,b 满f (4a )+f (b-9)=0,所以4a+b-9=0,所以1a +1b =19×(1a +1b )(4a+b )=19×(4+b a +4a b +1)=19×(5+b a +4a b )≥19(5+2√4)=1,当且仅当b a =4a b,即b=2a=3时,取等号.故选A .。