专题：极坐标与参数方程知识点及对应例题

专题1极坐标与参数方程知识点及典型例题（原卷版）知识点精讲一．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换的作用下,点P(x,y)对应到点,称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.1．已知曲线通过伸缩变换后得到的曲线方程为（ ） A ．B ．C ．D ．2．将正弦曲线作如下变换:得到的曲线方程为（） A ． B ．C ．D ． 3sin?2Y X =3．在同一平面直角坐标系中，将曲线23y sin x =按伸缩变换变换后为( ) A ．B ．94y sin x =C ．4y sinx =D ．9y sinx =4．在同一平面直角坐标系中，将直线按：变换后得到的直线为l ，则直线l 的方程（ ） A ．440x y +-= B ．440x y --= C ．440x y --=D ．440x y ++=二、极坐标系在平面上取一个定点，由点出发的一条射线 、一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系.点称为极点，称为极轴.平面上任一点M 的位置可以由线段的长度和从到的角度 (弧度制)来刻画(如图16-31和图16-32所示).这两个实数组成的有序实数对称为点M 的极坐标. 称为极径，称为极角.5．下列点不在曲线上的是（ ） A ． B ． C ．D ．三、极坐标与直角坐标的互化设为平面上的一点，其直角坐标为，极坐标为，由图16-31和图16-32可知，下面的关系式成立:或 （对也成立）.(,)M ρθ图 16-31图 16-327．点的直角坐标为，则点的极坐标可以为（ ） A ． B ． C ．D ．8．若点P 的直角坐标为(，－)，则它的极坐标可表示为（ ） A ．(2，)B ．(2，)C ．(2，)D ．(2，)9．已知点的极坐标为，则它的直角坐标是（ ） A ．B ．C ．D ．10．已知点P 的极坐标为，则它的直角坐标为（ ） A ．B ．C ．D ．四、极坐标的几何意义——表示以为圆心，为半径的圆；——表示过原点(极点)倾斜角为的直线，为射线；2cos a ρθ=表示以为圆心过点的圆.(可化直角坐标: 22cos a ρρθ=.)11．在极坐标系下，已知圆：cos sin ρθθ=+和直线：20x y -+=. （Ⅰ）求圆的直角坐标方程和直线的极坐标方程； （Ⅱ）求圆上的点到直线的最短距离．12．在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ＝. （1）求圆O 和直线l 的直角坐标方程；（2）当θ∈(0,π)时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标.五、直线的参数方程直线的参数方程可以从其普通方程转化而来，设直线的点斜式方程为 ，其中tan (k αα=为直线的倾斜角)，代人点斜式方程:00sin ()()cos 2y y x x απαα-=-≠,即. 记上式的比值为,整理后得,也成立，故直线的参数方程为(为参数，为倾斜角，直线上定点000(,)M x y ，动点 ，为的数量，向上向右为正(如图16-33所示).13．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与轴的正半轴重合．若直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为，求曲线被直线截得的弦长．14．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为（t 是参数），在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭． （Ⅰ）写出直线l 的普通方程、曲线C 的参数方程；（Ⅱ）过曲线C 上任意一点A 作与直线l 的夹角为45°的直线，设该直线与直线l 交于点B ，求的最值．15．以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位已知直线l 的参数方程为(为参数，)，抛物线C 的普通方程为. (1)求抛物线C 的准线的极坐标方程；(2)设直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，求的最小值及此时的值.16．在平面直角坐标系中，已知直线为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）设点的直角坐标为，直线与曲线的交点为，求的值.六、圆的参数方程若圆心为点00(,)M x y ，半径为，则圆的参数方程为.17．已知曲线的参数方程为（为参数），将曲线上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标伸长到原来的倍，得到曲线. （Ⅰ）求曲线的普通方程；（Ⅱ）已知点()1,1B ，曲线与轴负半轴交于点， 为曲线上任意一点， 求的最大值. 18．（本小题满分10分）已知曲线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为．（1）将曲线的参数方程化为普通方程，将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）曲线，是否相交，若相交请求出公共弦的长，若不相交，请说明理由．七、椭圆的参数方程椭圆的参数方程为（为参数，）.19．在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，直线的极坐标方程为. （1）写出曲线的极坐标方程并指出它是何种曲线；（2）设与曲线交于、两点，与曲线交于、两点，求四边形ABCD 面积的取值范围.. 20．（本小题满分10分） 选修4-4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系中，圆锥曲线的参数方程为（为参数），定点，是圆锥曲线的左，右焦点． （Ⅰ）以原点为极点、轴正半轴为极轴建立极坐标系，求经过点且平行于直线的直线的极坐标方程； （Ⅱ）在（I ）的条件下，设直线与圆锥曲线交于两点，求弦的长．八、双曲线的参数方程 双曲线的参数方程为.23．已知双曲线：（为参数），则该双曲线的离心率为______. 24．直线（是参数）与曲线（是参数）的交点个数为________．九、抛物线的参数方程抛物线的参数方程为（为参数，参数的几何意义是抛物线上的点与顶点连线的斜率的倒数）. 23．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭若直线交曲线于，两点，求线段的长. 24．在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为（t 为参数），直线过点且倾斜角为，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系. （1）写出曲线C 的极坐标方程和直线的参数方程； （2）若直线l 与曲线C 交于两点，求的值.十.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数中的一个与参数的关系,例如,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系,那么就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使的取值范围保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。

极坐标和参数方程的典型例题在数学中，极坐标和参数方程是研究平面曲线的重要工具。

极坐标是一种用极径和极角来表示平面上点位置的坐标系统，而参数方程则是用一个或多个参数来表示曲线上的点的坐标。

在本文中，我们将通过一些典型例题来探讨如何使用极坐标和参数方程解决问题。

例题一：极坐标下的圆首先让我们考虑一个非常简单的例子，即极坐标下的圆。

圆的极坐标方程为：$$ \\begin{cases} r = a \\\\ \\theta \\in [0, 2\\pi) \\end{cases} $$其中，r表示极径，a表示圆的半径，$\\theta$表示极角。

这个方程说明了圆上的每个点都满足极径等于半径a，并且极角可以在0到$2\\pi$之间取值。

例题二：参数方程下的抛物线接下来，我们考虑一个使用参数方程描述的曲线：抛物线。

抛物线的参数方程为：$$ \\begin{cases} x = at^2 \\\\ y = 2at \\end{cases} $$其中，a为常数，t为参数。

根据这个参数方程，我们可以看到x和y都是t的二次函数。

这个参数方程给出了抛物线上的每个点的坐标。

例题三：极坐标和参数方程的转换有时候，我们需要在极坐标和参数方程之间进行转换。

下面的例题将展示如何将一个极坐标方程转换为参数方程。

考虑极坐标方程：$$ \\begin{cases} r = 2\\cos\\theta \\\\ \\theta \\in [0, \\pi] \\end{cases} $$我们可以使用三角恒等式来将这个极坐标方程转换为参数方程。

首先，我们注意到r是$\\theta$的函数，而x和y是r的函数。

根据极坐标和直角坐标之间的关系，我们有下面的关系式：$$ \\begin{cases} x = r\\cos\\theta \\\\ y = r\\sin\\theta \\end{cases} $$将极坐标方程中的r代入上述关系式，我们得到参数方程：$$ \\begin{cases} x = 2\\cos(\\theta)\\cos(\\theta) = 2\\cos^2(\\theta) \\\\y = 2\\cos(\\theta)\\sin(\\theta) = \\sin(2\\theta) \\end{cases} $$ 通过这个转换，我们将极坐标方程转换为了参数方程。

选做题部分 极坐标系与参数方程一、极坐标系1．极坐标系与点的极坐标(1) 极坐标系： 如图 4－4－1 所示，在平面内取一个定点 O ，叫做极点，自极点 O 引一条射线 Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位， 一个角度单位 ( 往常取弧度 ) 及其正方向 ( 往常取逆时针方向 ) ，这样就成立了一个极坐标系．(2) 极坐标： 平面上任一点 M 的地点能够由线段 OM 的长度 ρ 和从 Ox 到 OM 的角度 θ 来刻画，这两个数构成的有序数对 ( ρ ，θ) 称为点M 的极坐标．此中 ρ 称为点 M 的极径， θ 称为点 M 的极角． 2．极坐标与直角坐标的互化点 M直角坐标 (x ， y)极坐标 (ρ， θ)互化 公式题型一 极坐标与直角坐标的互化1、已知点 P 的极坐标为 ( 2,) ，则点 P 的直角坐标为 （ ）4A.（ 1，1）B. （1，-1 ）C. （-1 ，1）D.（-1 ，-1）2、设点 P 的直角坐标为 ( 3,3) ，以原点为极点，实轴正半轴为极轴成立极坐标系(02 ) ，则点 P 的极坐标为（ ）A ． (32,3 )B ．(32,5)C ．(3,5)D ．(3,3)44 4 43．若曲线的极坐标方程为 ρ ＝ 2sin θ ＋4cos θ ，以极点为原点，极轴为 x 轴正半轴 成立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为 ________．4．在极坐标系中，过点 (1,0) 而且与极轴垂直的直线方程是 ( )A ．ρ ＝cos θB ． ρ ＝ sin θC ． ρcos θ＝ 1D．ρ sin θ＝ 15．曲线 C 的直角坐标方程为 x 2＋y 2－ 2x ＝0，以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系，则曲线 C 的极坐标方程为 ________．π6. 在极坐标系中，求圆ρ＝2cos θ与直线 θ＝ 4( ρ>0) 所表示的图形的交点的极坐标．题型二极坐标方程的应用由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，假如不可以直接用极坐标解决，可先转变成直角坐标方程，而后求解．ππ3与极1. 在极坐标系中，已知圆 C经过点 P(2，4 ) ，圆心为直线ρsinθ－3＝－2轴的交点，求圆 C 的直角坐标方程．π2.圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为 C，点 P 的极坐标为 4，3，则|CP| ＝________.π3.在极坐标系中，已知直线 l 的极坐标方程为ρ sin θ＋4＝1，圆 C的圆心的极坐标π是 C 1，4，圆的半径为 1.(i)则圆 C的极坐标方程是 ________； (ii) 直线 l 被圆 C所截得的弦长等于 ________．π4. 在极坐标系中，已知圆C：ρ＝ 4cos θ被直线 l ：ρsinθ－6＝a截得的弦长为2 3，则实数 a 的值是 ________．二、参数方程1．参数方程和一般方程的互化(1)曲线的参数方程和一般方程是曲线方程的不一样形式．一般地，能够经过消去参数而从参数方程获得一般方程．(2)假如知道变数 x， y 中的一个与参数t 的关系，比如x＝f(t)，把它代入一般方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么，x＝ f t ，就是曲线的参数方程．y＝ g t2．常有曲线的参数方程和一般方程点的轨迹一般方程直线y－ y0＝ tan α(x－x0 )圆x2＋ y2＝r 2椭圆x2y2a2＋b2＝ 1(a>b>0)参数方程x＝x0＋ tcos α(t 为参数 )y＝y0＋ tsin αx＝ rcos θ( θ为参数 )y＝ rsin θx＝ acos φ(φ为参数 )y＝ bsin φ题型一参数方程与一般方程的互化【例 1】把以下参数方程化为一般方程：1 x＝3＋cos θ，x＝1＋2t ，(1)(2)3 y＝2－sin θ；y＝5＋t.2题型二直线与圆的参数方程的应用1、已知直线 l 的参数方程为x＝ 1＋ t，x＝ 2cos θ＋ 2，(参数 t∈R)，圆 C 的参数方程为(参y＝ 4－ 2t y＝ 2sin θ数θ∈ [0,2π，])求直线 l 被圆 C 所截得的弦长．2、曲线 C的极坐标方程为：ρ =acosθ（a＞0），直线l的参数方程为：（1）求曲线 C与直线 l 的一般方程；（2）若直线 l 与曲线 C相切，求 a 值．3、在直角坐标系xoy 中，曲线 C1的参数方程为，（α 为参数），以原点O为极点， x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线C1的一般方程与曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）设 P 为曲线 C1上的动点，求点P 到 C2上点的距离最小值．综合应用1、曲线x25t(t为参数 ) 与坐标轴的交点是（）y12tA(0,2、1B1、1,0)C(0,4)、(8,0)D(0,5 、) (,0)(0,) () (8,0) 52529x2sin2（为参数）化为一般方程为（）3、参数方程sin2yA．y x2B． y x2C．y x2(2x3)D． y x2(0y 1)3．判断以下结论的正误．(1)平面直角坐标系内的点与坐标能成立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系 ()π(2)若点 P 的直角坐标为 (1 ，－ 3) ，则点 P的一个极坐标是（2，－3）()(3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是独一的()(4)极坐标方程θ＝π ( ρ≥0) 表示的曲线是一条直线 ()x t1）4.参数方程为t (t为参数 ) 表示的曲线是（y2A．一条直线B．两条直线C．一条射线D．两条射线5．与参数方程为A ．x2y24C．x2y24x t(t为参数 ) 等价的一般方程为（）y 2 1 t1 B ．x2y21(0x1)41(0 y 2) D ．x2y21(0x1,0 y 2)415.参数方程x2为参数所表示的曲线是（）y tan cotA．直线B．两条射线 C ．线段D．圆16.以下参数方程（t 是参数）与一般方程y2x 表示同一曲线的方程是：()x tB．x2x tD ．x1cos2tA．t 2sin t C．y t1cos2ty y sin ty tant3. 由参数方程x 2 sec 21 为参数，给出曲线在直角坐标系下的方程y 2tan22是。

极坐标和参数方程知识点+典型例题及其详解极坐标和参数方程知识点+典型例题及其详解知识点回顾（一）曲线的参数方程的定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即⎩⎨⎧==)()(t f y t f x并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数． （二）常见曲线的参数方程如下：1．过定点（x 0，y 0），倾角为α的直线：ααsin cos 00t y y t x x +=+= （t 为参数）其中参数t 是以定点P （x 0，y 0）为起点，对应于t 点M （x ，y ）为终点的有向线段PM 的数量，又称为点P 与点M 间的有向距离．根据t 的几何意义，有以下结论． ○1．设A 、B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为t A 和t B ，则AB＝AB t t -＝BA AB t t t t ⋅--4)(2．○2．线段AB 的中点所对应的参数值等于2BA t t +．2．中心在（x 0，y 0），半径等于r 的圆：θθsin cos 00r y y r x x +=+= （θ为参数） 3．中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的椭圆：θθsin cos b y a x == （θ为参数） （或θθsin cos a y b x ==）中心在点（x0,y0）焦点在平行于x 轴的直线上的椭圆的参数方程为参数）ααα(.sin ,cos 0⎩⎨⎧+=+=b y y a x x 4．中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的双曲线：θθtg sec b y a x == （θ为参数） （或θθec a y b x s tg ==）5．顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上的抛物线：pty pt x 222== （t 为参数，p ＞0）直线的参数方程和参数的几何意义过定点P （x 0，y 0），倾斜角为α的直线的参数方程是⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）．（三）极坐标系1、定义：在平面内取一个定点O ，叫做极点，引一条射线Ox ，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。

极坐标与参数方程例题例题1：求曲线r=2sinθ的极坐标方程对应的参数方程。

解答：我们可以将极坐标方程r=2sinθ转化为参数方程。

首先，我们需要找到x和y与r和θ之间的关系。

根据定义，我们有x=r*cosθ，y=r*sinθ。

将r=2sinθ代入上述公式中，可以得到x=2sinθ*cosθ，y=2sinθ*sinθ。

因此，曲线r=2sinθ对应的参数方程为x=2sinθ*cosθ，y=2sinθ*sinθ。

例题2：求曲线x=2cosθ，y=3sinθ的参数方程对应的极坐标方程。

解答：要将参数方程x=2cosθ，y=3sinθ转化为极坐标方程，我们需要找到r和θ与x和y之间的关系。

通过平方求和公式，我们有cos²θ+sin²θ=1将x=2cosθ，y=3sinθ代入上述公式中，我们可以得到(2cosθ)²+(3sinθ)²=1化简得到4cos²θ+9sin²θ=1因此，曲线x=2cosθ，y=3sinθ对应的极坐标方程为4cos²θ+9sin²θ=1例题3：已知曲线的参数方程为x=t+1，y=2t-2，求其对应的极坐标方程。

解答：我们需要找到r和θ与x和y之间的关系。

根据定义，我们有x=r*cosθ，y=r*sinθ。

将参数方程x=t+1，y=2t-2代入上述公式中，我们可以得到t+1=r*cosθ，2t-2=r*sinθ。

进一步化简可得r²=t²+2t+1+4t²-8t+4化简得5t²-6t+5=r²。

因此，参数方程x=t+1，y=2t-2对应的极坐标方程为5t²-6t+5=r²。

通过以上例题，我们可以看出极坐标与参数方程之间的转换可以通过代入关系来进行。

在已知形式的方程中，我们可以根据已知的方程形式求解出另一种形式的方程。

这种转换在解决特定问题或者在研究特定曲线时非常有用。

参数方程极坐标一、知识点：1．伸缩变换：设点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换⎩⎨⎧>⋅='>⋅=').0(,y y 0),(x,x :μμλλϕ的作用下，点),(y x P 对应到点),(y x P '''，称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。

2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。

3．点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离||OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的xOM ∠叫做点M 的极角，记为θ。

有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为),(θρM . 极坐标),(θρ与)Z )(2,(∈+k k πθρ表示同一个点。

极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ.4.若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称，即),(θρ-与),(θπρ+表示同一点。

如果规定πθρ20,0≤≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。

5．极坐标与直角坐标的互化：6.圆的极坐标方程：在极坐标系中，以极点为圆心，r 为半径的圆的极坐标方程是 r =ρ；在极坐标系中，以 )0,(a C )0(>a 为圆心， a 为半径的圆的极坐标方程是 θρcos 2a =；在极坐标系中，以 )2,(πa C )0(>a 为圆心，a 为半径的圆的极坐标方程是θρsin 2a =； 7.在极坐标系中，)0(≥=ραθ表示以极点为起点的一条射线；)R (∈=ραθ表示过极点的一条直线. 在极坐标系中，过点)0)(0,(>a a A ，且垂直于极轴的直线l 的极坐标方程是a =θρcos .8．参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标y x ,都是某个变数t 的函数⎩⎨⎧==),(),(t g y t f x 并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点),(y x M 都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数y x ,的变数t 叫做参变数，简称参数。

极坐标及参数方程知识点及例题一、极坐标知识点1.极坐标系的概念：在平面内取一个定点 O，从 O 引一条射线 Ox，选定一个单位长度以及计算角度的正方向 (通常取逆时针方向为正方向 )，这样就建立了一个极坐标系， O 点叫做极点，射线 Ox 叫做极轴①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可 .2．点 M 的极坐标：设 M 是平面内一点，极点 O 与点 M 的距离| OM |叫做点 M 的极径，记为；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的xOM 叫做点M 的极角，记为。

有序数对(,) 叫做点M 的极坐标，记为M ( ,) .极坐标( , )与( , 2k )(k Z) 表示同一个点。

极点O 的坐标为(0, )( R ) .3.极坐标与直角坐标的互化：(1)互化的前提条件①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与 x 轴的正半轴重合③两种坐标系中取相同的长度单位.(2)互化公式2 x2 y 2 , x cos ,y sin , tan y( x 0) x4.曲线的极坐标方程：1．直线的极坐标方程：若直线过点M ( 0 , 0 ) ，且极轴到此直线的角为，则它的方程为：sin()0 sin(0)几个特殊位置的直线的极坐标方程（ 1）直线过极点（2）直线过点M(a,0)且垂直于极轴（3）直线过M (b,) 且平2 行于极轴方程：（ 1）(R )或写成及（2）cos a（3）ρsinθ=b2．圆的极坐标方程： 若圆心为 M ( 0 , 0 ) ，半径为 r 的圆方程为：22 0 cos()2 r 2几个特殊位置的圆的极坐标方程（ 1）当圆心位于极点， r 为半径 （2）当圆心位于 C (a,0) (a>0),a 为半径 （ 3） 当圆心位于 C(a,) (a 0) ， a 为半径2 方程： (1) r (2)2acos (3)2asin5.在极坐标系中， (0) 表示以极点为起点的一条射线；(R)表示过极点的一条直线 .极坐标方程典型例题考点一 极坐标与直角坐标的互化1.点 M 的直角坐标是 ( 1, 3) ，则点 M 的极坐标为（ ）A ． (2,)B ． (2,)C ．(2,2)D ． (2, 2k),( k Z) 33332.点 2， 2 的极坐标为。

极坐标与参数方程知识点、题型总结一、伸缩变换：点是平面直角坐标系中的任意一点，在变换),(y x P 的作用下，点对应到点，称伸缩变换⎩⎨⎧>⋅='>⋅=').0(,y y 0),(x,x :μμλλϕ),(y x P ),(y x P '''一、1、极坐标定义：M 是平面上一点，表示OM 的长度，是，则有序实数实ρθMOx ∠数对,叫极径，叫极角；一般地，，。

，点P 的直角坐标、(,)ρθρθ[0,2)θπ∈0ρ≥极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)2、直角坐标极坐标 2、极坐标直角坐标⇒cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩⇒222tan (0)x y yx xρθ⎧=+⎪⎨=≠⎪⎩3、求直线和圆的极坐标方程：方法一、先求出直角坐标方程，再把它化为极坐标方程方法二、（1）若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)（2）若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r 的圆方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ02－r 2＝0二、参数方程：（一）．参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数 并且对于的每一个允许值，由这个方程所确y x ,t ⎩⎨⎧==),(),(t g y t f x t 定的点都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数),(y x M 的变数叫做参变数，简称参数。

相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的y x ,t 方程叫做普通方程。

（二）．常见曲线的参数方程如下：直线的标准参数方程1、过定点（x 0，y 0），倾角为α的直线：（t 为参数）ααsin cos 00t y y t x x +=+=（1）其中参数t 的几何意义：点P （x 0，y 0），点M 对应的参数为t ，则PM =|t| (2)直线上对应的参数是。

专题十四------极坐标与参数方程一、极坐标系的概念1、极坐标系如图所示，在平面内取一个定点O ，点O 叫做_________，自极点O 引一条射线ox ,叫做________；再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景；平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.2、极坐标设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离||OM 叫做点M 的__________，记为ρ；以极轴ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的________，记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ.【一般地,不作特殊说明时,我们认为可取任意实数.】①特别地，当点M 在极点时，它的极坐标为(0，θ)()R θ∈.和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.②如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示；同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的.3.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:(2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y ,极坐标是(,)(0)ρθρ≥,于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:点M 直角坐标(,)xy 极坐标(,)ρθ互化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩222tan (0)x y y x xρθ⎧+=⎪⎨=≠⎪⎩在一般情况下,由tan θ确定角时,要根据点M 所在的直角坐标象限来确定角的大小.4.常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点,半径为r 的圆圆心为(,0)r ,半径为r 的圆圆心为(,)2r π,半径为r 的圆过极点,倾斜角为α的直线过点(,0)a ,与极轴垂直的直线过点(,)2a π,与极轴平行的直线注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即(,),(,2),(,),(,)ρθρπθρπθρπθ+-+--+都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.典型例题：1、点A 的极坐标是⎪⎭⎫ ⎝⎛65,2π，则点A 的直角坐标是_______________.2、点A 的极坐标是⎪⎭⎫ ⎝⎛3,2π，则点A 的直角坐标是_______________.3、点M 的直角坐标是()3,1-，则点M 的极坐标是_______________.。

极坐标与参数方程知识点、题型总结知识点和题型总结：一、伸缩变换伸缩变换是指点P(x,y)在变换作用下对应到点P'(x',y')，其中x' = λx (λ。

0)，y' = μy (μ。

0)。

这个变换称为伸缩变换。

二、极坐标和直角坐标的转换1、极坐标定义在平面上，点M的极坐标表示为(ρ,θ)，其中ρ表示OM 的长度，θ表示∠MOx的角度，且θ∈[0,2π)，ρ≥0.点P的直角坐标为(x,y)，极坐标为(ρ,θ)。

2、直角坐标转换为极坐标x = ρcosθ，y = ρsinθ。

3、极坐标转换为直角坐标ρ = √(x²+y²)，tanθ = y/x (x≠0)，x = ρcosθ，y = ρsinθ。

4、直线和圆的极坐标方程方法一：先求出直角坐标方程，再把它化为极坐标方程。

方法二：1）若直线过点M(ρ,θ)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ-α) = ρsin(θ-α)。

2）若圆心为M(ρ,θ)，半径为r的圆方程为ρ²-2ρrcos(θ-θ)+ρ²-r² = 0.三、参数方程1、参数方程的概念在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数，且对于t的每一个允许值，由这个方程所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y的变数t叫做参变数，简称参数。

相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。

2、常见曲线的参数方程1）直线的标准参数方程过定点(x,y)，倾角为α的直线：x = x+tcosα，y = y+tsinα (t为参数)。

其中参数t的几何意义是点P(x,y)，点M对应的参数为t，则PM = |t|。

直线上P1,P2对应的参数是t1,t2.|P1P2| = |t1-t2| = √((x1-x2)²+(y1-y2)²)。

参数方程与极坐标方程例题和知识点总结一、参数方程参数方程是在数学中常用的一种表示曲线的方式，它通过引入一个参数来描述曲线上点的坐标。

（一）参数方程的定义一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标$x$、＄y$都是某个变数$t$的函数：＼＼begin{cases}x ＝ f(t) ＼＼y ＝ g(t)＼end{cases}＼并且对于$t$的每一个允许的取值，由方程组所确定的点$（x,y)＄都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做曲线的参数方程，联系变数$x$、＄y$的变数$t$叫做参变数，简称参数。

（二）参数方程的常见形式1、直线的参数方程若直线经过点$M(x_0,y_0)＄，倾斜角为$＼alpha$，则直线的参数方程为：＼＼begin{cases}x ＝ x_0 ＋ t\cos\alpha ＼＼y ＝ y_0 ＋ t\sin\alpha＼end{cases}＼（＄t$为参数）2、圆的参数方程圆心在点$（a,b)＄，半径为$r$的圆的参数方程为：＼＼begin{cases}x ＝ a ＋ r\cos\theta ＼＼y ＝ b ＋ r\sin\theta＼end{cases}＼（＄＼theta$为参数）3、椭圆的参数方程焦点在$x$轴上的椭圆：＄＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1$ （＄a ＞ b ＞ 0$）的参数方程为：＼＼begin{cases}x ＝ a\cos\varphi ＼＼y ＝ b\sin\varphi＼end{cases}＼（＄＼varphi$为参数）（三）参数方程的应用1、求曲线的轨迹方程例：已知点$M(x,y)＄在圆$x^2 ＋ y^2 ＝ 4$上运动，求点$N(2x 3, 2y ＋ 4)＄的轨迹方程。

设点$M(2\cos\theta, 2\sin\theta)＄，则点$N(4\cos\theta 3, 4\sin\theta ＋ 4)＄所以$x ＝ 4\cos\theta 3$，＄y ＝ 4\sin\theta ＋ 4$消去参数$＼theta$可得：＄（x ＋ 3)＾2 ＋（y 4)＾2 ＝ 16$2、参数方程在物理中的应用在研究物体的运动时，常常使用参数方程来描述物体的位置、速度等随时间的变化关系。