直线的方程

2 x 5 y 10 0
五.直线方程的一般式
在平面直角坐标系中 , 对于任何一条直线 , 都有一
个表示这条直线的关于 x, y的二元一次方程 形式为 证明: 关于x, y的二元一次方程的一般
Ax By C 0( A, B不同时为 0)
A C A 1)当B 0时, 有y x , 这 是 斜 率 为 , BC B B 在y轴 上 的 斜 距 为 的直线方程 . B C 2)当B 0时,因A, B不 同 时 为 0, 故A 0, x . A 它表示一条与 y轴平行或重合的直线 .
求这个三角形三边所在 的直线方程 .
解: 把A, B代入两点式 ,得
y0 x (5) 3 0 3 (5)
3x 8 y 15 0
把B, C代入两点式 ,得
y 3 x 3 23 03
5x 3 y 6 0
A(5,0), B(3,3), C (0,2) 例3三角形的顶点是
二
名称
直线方程的五种形式
方程 说明 不包括y轴和平行于y轴 的直线 不包括y轴和平行于y轴 的直线
已知条件
点斜式 点P1(x1,y1)和斜率 y-y1=k(x-x1) k 斜截式 斜率k和y轴上截 距 两点式 点P1(x1,y1)和点 P2(x2,y2) 截距式 在x轴上的截距a 在y轴上的截距b 一般式 A、B不同时为零 y=kx+b
已知直线 l的 斜 率 为 k , 与y轴 的 交 点 是 (0, b), 求直线的方程 . 解: 由直线的点斜式,得 y b k ( x 0)
即y kx b
y
l
方程 y kx b叫做直线方程的斜截式 .

第6讲直线的方程新课标要求根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式）。

知识梳理1.直线的点斜式方程2.直线的斜截式方程3.直线的两点式方程和截距式方程4.线段的中点坐标公式若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，设P (x ，y )是线段P 1P 2的中点，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22.5.直线的一般式方程6.直线的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式的关系3.2.1 直线的点斜式方程名师导学【例1-1】（南京校级模拟）根据条件写出下列直线的点斜式方程： (1)过点A (－4，3)，斜率k ＝3； (2)经过点B (－1，4)，倾斜角为135°； (3)过点C (－1，2)，且与y 轴平行； (4)过点D (2，1)和E (3，－4)． 【分析】求直线的点斜式方程的思路【解答】 (1)由点斜式方程可知，所求直线方程为：y －3＝3[x －(－4)]．(2)由题意知，直线的斜率k ＝tan 135°＝－1，故所求直线的方程为y －4＝－(x ＋1)．(3)∵直线与y 轴平行，斜率不存在，∴直线的方程不能用点斜式表示，由于直线上所有点的横坐标都是－1， 故这条直线的方程为x ＝－1. (4)∵直线过点D (2，1)和E (3，－4)， ∴斜率k ＝－4－13－2＝－5.由点斜式得y －1＝－5(x －2)．【变式训练1-1】（蜀山区校级月考）根据条件写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点A (2，5)，斜率是4； (2)经过点B (2，3)，倾斜角是45°； (3)经过点C (－1，－1)，与x 轴平行．【解析】 (1)由点斜式方程可知，所求直线方程为y －5＝4(x －2)； (2)∵直线的斜率k ＝tan 45°＝1， ∴直线方程为y －3＝x －2； (3)y ＝－1.【例2-1】（菏泽调研）根据条件写出下列直线的斜截式方程． (1)斜率为2，在y 轴上的截距是5； (2)倾斜角为150°，在y 轴上的截距是－2；(3)倾斜角为60°，与y 轴的交点到坐标原点的距离为3. 【分析】直线的斜截式方程的求解策略：(1)求直线的斜截式方程只要分别求出直线的斜率和在y 轴上的截距，代入方程即可． (2)当斜率和截距未知时，可结合已知条件，先求出斜率和截距，再写出直线的斜截式方程．【解答】 (1)由直线方程的斜截式可知， 所求直线方程为y ＝2x ＋5.(2)∵倾斜角α＝150°，∴斜率k ＝tan 150°＝－33. 由斜截式可得方程为y ＝－33x －2. (3)∵直线的倾斜角为60°，∴其斜率k ＝tan 60°＝ 3.∵直线与y 轴的交点到原点的距离为3， ∴直线在y 轴上的截距b ＝3或b ＝－3. ∴所求直线方程为y ＝3x ＋3或y ＝3x －3.【变式训练2-1】（宁波校级月考）写出下列直线的斜截式方程： (1)直线斜率是3，在y 轴上的截距是－3； (2)直线倾斜角是60°，在y 轴上的截距是5； (3)直线在x 轴上的截距为4，在y 轴上的截距为－2.【解析】 (1)由直线方程的斜截式可知，所求方程为y ＝3x －3. (2)∵k ＝tan 60°＝3，∴y ＝3x ＋5.(3)∵直线在x 轴上的截距为4，在y 轴上的截距为－2， ∴直线过点(4，0)和(0，－2)． ∴k ＝－2－00－4＝12，∴y ＝12x －2.【例3-1】（新华区校级期末）(1)当a 为何值时，直线l 1：y ＝－x ＋2a 与直线l 2：y ＝(a 2－2)x ＋2平行？ (2)当a 为何值时，直线l 1：y ＝(2a －1)x ＋3与直线l 2：y ＝4x －3垂直？【分析】在解决有关直线位置关系的问题时，常常用到数形结合思想和待定系数法．数形结合思想是一种可使复杂问题简单化、抽象问题具体化的常用的数学思想方法．而待定系数法是解析几何中求直线方程或其他曲线方程的重要方法．【解答】(1)∵l 1∥l 2，∴a 2－2＝－1， 又2a ≠2，解得a ＝－1.(2)∵l 1⊥l 2，∴4(2a －1)＝－1，解得a ＝38.【变式训练3-1】（黄冈期末）求证：不论m 为何值，直线l ：y ＝(m －1)x ＋2m ＋1总过第二象限． 【证明】 法一 直线l 的方程可化为y －3＝(m －1)(x ＋2)， ∴直线l 过定点(－2，3)，由于点(－2，3)在第二象限，故直线l 总过第二象限． 法二 直线l 的方程可化为m (x ＋2)－(x ＋y －1)＝0.令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，x ＋y －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3. ∴无论m 取何值，直线l 总经过点(－2，3)． ∵点(－2，3)在第二象限，∴直线l 总过第二象限．【变式训练3-2】（赤峰期末）是否存在过点(－5，－4)的直线l ，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为5? 【解析】 假设存在过点(－5，－4)的直线l ，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为5.由题意可知，直线l 的斜率一定存在且不为零，设直线的斜率为k (k ≠0)，则直线方程为y ＋4＝k (x ＋5)，则分别令y ＝0，x ＝0，可得直线l 与x 轴的交点为(－5k ＋4k ，0)，与y 轴的交点为(0，5k －4)．因为直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为5，所以12|－5k ＋4k |·|5k －4|＝5，所以－5k ＋4k ·(5k －4)＝±10，即25k 2－30k ＋16＝0(无解)或25k 2－50k ＋16＝0，所以k ＝85或k ＝25，所以存在直线l 满足题意，直线l 的方程为y ＋4＝85(x ＋5)或y ＋4＝25(x ＋5).名师导练A 组-[应知应会]1．（宣城期末）过点()3,2，斜率是23的直线方程是（ ） A ．243y x =+ B ．223y x =+ C ．230x y -=D ．320x y -=【答案】C【解析】∵直线过点()3,2且斜率为23， 由直线方程的点斜式得：22(3)3y x -=-， 整理得：230x y -=. 故选C.2．（绵阳期末）已知直线的方程是y ＋2＝－x －1，则( ) A ．直线经过点(－1,2)，斜率为－1 B 直线经过点(2，－1)，斜率为－1 C ．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1 D ．直线经过点(－2，－1)，斜率为1【答案】C【解析】方程可化为y －(－2)＝－[x －(－1)]，所以直线过点(－1，－2)，斜率为－1.选C. 3．（上饶期末）直线y ＝3(x －3)的斜率与在y 轴上的截距分别是( ) A ．3，3 B ．3，－3 C ．3，3 D ．－3，－3 【答案】B【解析】由直线方程知直线斜率为3，令x ＝0可得在y 轴上的截距为y ＝－3.故选B. 4．（通州区期末）直线y ＝kx ＋b 经过第一、三、四象限，则有( ) A ．k >0，b >0 B ．k >0，b <0 C ．k <0，b >0D ．k <0，b <0【答案】 B【解析】 ∵直线经过第一、三、四象限，∴图形如图所示，由图知，k >0，b <0.5．（龙凤区校级期末）过点()2,0且与直线25y x =+垂直的直线l 的方程是（ ）A ．24y x =-B ．24y x =-+C ．112y x =- D ．112y x =-+ 【答案】D【解析】因为所求直线与直线25y x =+垂直，所以其斜率为12k =-， 又所求直线过点()2,0， 因此，所求直线方程为：()122y x =--，即112y x =-+. 故选D.6．（南关区校级期末）已知直线l 过点()2,0，且与直线21y x =-+平行，则直线l 的方程为（ ）A ．24y x =-B ．24y x =+C ．24y x =-+D ．24y x =--【答案】C 【解析】直线l 与直线21y x =-+平行，∴直线l 的斜率与21y x =-+的斜率相等，即直线l 的斜率：2k =-；又直线l 过点()2,0，则由点斜式可知直线方程为()022y x -=-- 整理可得：24y x =-+ 故选C.7．（兴庆区校级期末）直线y ＝2x －5在y 轴上的截距是________． 【答案】 －5【解析】 ∵令x ＝0，则y ＝－5， ∴直线y ＝2x －5在y 轴上的截距是－5.8．（无锡期末）在y 轴上的截距为－6，且与y 轴相交成30°角的直线方程是________． 【答案】 y ＝3x －6或y ＝－3x －6【解析】 与y 轴相交成30°角的直线方程的斜率为： k ＝tan 60°＝3，或k ＝tan 120°＝－3，∴y 轴上的截距为－6，且与y 轴相交成30°角的直线方程是：y ＝3x －6或y ＝－3x －6.9．（金牛区校级期末）与直线l ：y ＝34x ＋1平行，且在两坐标轴上截距之和为1的直线l 1的方程为________．【答案】 y ＝34x －3【解析】 根据题意知直线l 的斜率k ＝34，故直线l 1的斜率k 1＝34.设直线l 1的方程为y ＝34x ＋b ，则令y ＝0，得它在x 轴上的截距a ＝－43b .∵a ＋b ＝－43b ＋b ＝－13b ＝1，∴b ＝－3.∴直线l 1的方程为y ＝34x －3.10．（南岗区校级期末）斜率为34，且与坐标轴所围成的三角形的周长是12的直线方程是________．【答案】 y ＝34x ±3【解析】 设所求直线方程为y ＝34x ＋b ，令y ＝0得x ＝－4b3.由题意得：|b |＋⎪⎪⎪⎪－43b ＋b 2＋16b 29＝12， 即|b |＋43|b |＋53|b |＝12，即4|b |＝12，∴b ＝±3， ∴所求直线方程为y ＝34x ±3.11．（金华校级月考）写出下列直线的斜截式方程： (1)直线的倾斜角为45°且在y 轴上的截距是2； (2)直线过点A (3，1)且在y 轴上的截距是－1.【解析】 (1)斜率k ＝tan 45°＝1，可得斜截式：y ＝x ＋2. (2)k ＝－1－10－3＝23，可得斜截式方程：y ＝23x －1.12．（洛龙区校级期末）(1)求经过点(1，1)，且与直线y ＝2x ＋7平行的直线的点斜式方程； (2)求经过点(－2，－2)，且与直线y ＝3x －5垂直的直线的斜截式方程． 【解析】 (1)∵所求直线与直线y ＝2x ＋7平行， ∴所求直线斜率为2， 由点斜式方程可得 y －1＝2(x －1)．(2)∵所求直线与直线y ＝3x －5垂直， ∴所求直线的斜率为－13，由点斜式方程得：y ＋2＝－13(x ＋2)，即y ＝－13x －83.故所求的直线方程为y ＝－13x －83.B 组-[素养提升]1．（诸暨市校级期中）已知三角形的顶点坐标是A (－5，0)，B (3，－3)，C (0，2)，试求这个三角形的三条边所在直线的斜截式方程．【解析】 直线AB 的斜率k AB ＝－3－03－（－5）＝－38，又过点A (－5，0)，∴直线AB 的点斜式方程为y ＝－38(x＋5)，即所求边AB 所在直线的斜截式方程为y ＝－38x －158.同理，直线BC 的方程为y －2＝－53x ，即y ＝－53x ＋2.直线AC 的方程为y －2＝25x ，即y ＝25x ＋2.∴边AB ，BC ，AC 所在直线的斜截式方程分别为y ＝ －38x －158，y ＝－53x ＋2，y ＝25x ＋2. 3.2.2 直线的两点式方程名师导学知识点1 直线的两点式方程【例1-1】（武侯区校级期末）已知三角形的顶点是A (1，3)，B (－2，－1)，C (1，－1)，求这个三角形三边所在直线的方程．【分析】当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足即可考虑用两点式求方程．在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程． 【解答】直线AB 过A (1，3)，B (－2，－1)，其两点式方程为y －3－1－3＝x －1－2－1，整理，得4x －3y ＋5＝0，这就是直线AB 的方程．直线AC 垂直于x 轴，其方程为x ＝1.直线BC 平行于x 轴，其方程为y ＝－1.【变式训练1-1】（开江县校级开学考）过(1，1)，(2，－1)两点的直线方程为 ( ) A ．2x －y －1＝0 B ．x －2y ＋3＝0 C ．2x ＋y －3＝0 D ．x ＋2y －3＝0 【答案】C【解析】∵直线过两点(1，1)和(2，－1)，∴直线的两点式方程为y －（－1）1－（－1）＝x －21－2，整理得2x ＋y －3＝0，故选C.知识点2 直线的截距式方程【例2-1】（诸暨市校级期中）求过点A (3，4)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l 的方程． 【分析】如果题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”、“截距互为相反数”、“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的m 倍(m >0)”等条件时，采用截距式求直线方程，一定要注意考虑“零截距”的情况． 【解答】(1)当直线l 在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时，可设直线l 的方程为x a ＋y－a ＝1.又l 过点A (3，4)，所以3a ＋4－a ＝1，解得a ＝－1.所以直线l 的方程为x －1＋y1＝1，即x －y ＋1＝0.(2)当直线l 在两坐标轴上的截距互为相反数且为0时，即直线l 过原点时，设直线l 的方程为y ＝kx ，因为l 过点A (3，4)，所以4＝k ·3，解得k ＝43，直线l 的方程为y ＝43x ，即4x －3y ＝0.综上，直线l 的方程为x －y ＋1＝0或4x －3y ＝0.【变式训练2-1】若将例2-1中“截距互为相反数”改为“截距相等”呢？ 【解析】(1)当截距不为0时，设直线l 的方程为x a ＋ya ＝1，又知l 过(3，4)，∴3a ＋4a ＝1，解得a ＝7， ∴直线l 的方程为x ＋y －7＝0.(2)当截距为0时，直线方程为y ＝43x ，即4x －3y ＝0.综上，直线l 的方程为x ＋y －7＝0或4x －3y ＝0. 知识点3 直线的综合应用【例3-1】（沭阳县校级期中）已知三角形的三个顶点A (－5，0)，B (3，－3)，C (0，2)，求BC 边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程．【分析】(1)已知一点的坐标，求过该点的直线方程，一般选取点斜式方程，再由其他条件确定直线的斜率． (2)若已知直线的斜率，一般选用直线的斜截式，再由其他条件确定直线的一个点或者截距． (3)若已知两点坐标，一般选用直线的两点式方程，若两点是与坐标轴的交点，就用截距式方程．(4)不论选用怎样的直线方程，都要注意各自方程的限制条件，对特殊情况下的直线要单独讨论解决． 【解答】如图，过B (3，－3)，C (0，2)的两点式方程为y －2－3－2＝x －03－0，整理得5x ＋3y －6＝0.这就是BC 边所在直线的方程．BC 边上的中线是顶点A 与BC 边中点M 所连线段，由中点坐标公式可得点M 的坐标为(3＋02，－3＋22)，即(32，－12)．过A (－5，0)，M (32，－12)的直线的方程为y －0－12－0＝x ＋532＋5，即x ＋13y ＋5＝0. 这就是BC 边上中线所在直线的方程．【变式训练3-1】（天心区校级期末）求过点A (4，2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线l 的方程． 【解析】当直线过原点时，它在x 轴、y 轴上的截距都是0，满足题意． 此时，直线的斜率为12，所以直线l 的方程为y ＝12x ，即x －2y ＝0.当直线不过原点时，由题意可设直线方程为x a ＋yb ＝1.又因为过点A ，所以4a ＋2b ＝1. ①因为直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等， 所以|a |＝|b |. ② 由①②联立方程组，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2. 所以所求直线的方程为x 6＋y 6＝1或x 2＋y－2＝1，化简得直线l 的方程为x ＋y ＝6或x －y ＝2， 即直线l 的方程为x ＋y －6＝0或x －y －2＝0，综上，直线l 的方程为x －2y ＝0或x ＋y －6＝0或x －y －2＝0.名师导练A 组-[应知应会]1．（锡山区校级期中）过两点(－2，1)和(1，4)的直线方程为 ( ) A ．y ＝x ＋3 B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝x ＋2D ．y ＝－x －2【解析】 代入两点式得直线方程y －14－1＝x ＋21＋2，整理得y ＝x ＋3.【答案】 A2．（红桥区期中）经过P (4，0)，Q (0，－3)两点的直线方程是 ( ) A.x 4＋y3＝1 B.x 3＋y 4＝1 C.x 4－y3＝1D.x 3－y 4＝1 【解析】 由P ，Q 两点坐标知直线在x 轴、y 轴上的截距分别为4，－3，所以直线方程为x 4＋y －3＝1，即x4－y3＝1. 【答案】 C3．（江宁区校级月考）过点P (4，－3)且在坐标轴上截距相等的直线有 ( ) A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条【解析】 当直线过原点时显然符合条件；当直线不过原点时，设所求直线的方程为x a ＋ya ＝1，把点P (4，－3)代入方程得a ＝1.因而所求直线有2条． 【答案】 B4．（临泉县校级月考）经过两点(5，0)，(2，－5)的直线方程为 ( ) A ．5x ＋3y －25＝0 B ．5x －3y －25＝0 C ．3x －5y －25＝0D ．5x －3y ＋25＝0【解析】 经过两点(5，0)，(2，－5)的直线方程为： y －0－5－0＝x －52－5，整理，得5x －3y －25＝0. 故选B. 【答案】 B5．（朝阳区校级月考）已知直线l ：ax ＋y －2＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则实数a 的值是( ) A ．1B ．－1C ．－2或－1D ．－2或1【解析】 显然a ≠0.把直线l ：ax ＋y －2＝0化为x 2a ＋y2＝1.∵直线l ：ax ＋y －2＝0在x 轴和y 轴上的截距相等， ∴2a ＝2，解得a ＝1，故选A. 【答案】 A6．（庐江县校级期末）点M (4，m )关于点N (n ，－3)的对称点为P (6，－9)，则 ( ) A ．m ＝－3，n ＝10 B ．m ＝3，n ＝10 C ．m ＝－3，n ＝5D ．m ＝3，n ＝5【解析】 ∵M (4，m )关于点N (n ，－3)的对称点为P (6，－9)，∴4＋62＝n ，m －92＝－3；∴n ＝5，m ＝3，故选D. 【答案】 D7．（海淀区校级期末）已知A (2，－1)，B (6，1)，则在y 轴上的截距是－3，且经过线段AB 中点的直线方程为________．【解析】 由于A (2，－1)，B (6，1)，故线段AB 中点的坐标为(4，0)， 又直线在y 轴上的截距是－3，∴直线方程为x 4－y3＝1，即3x －4y －12＝0.【答案】 3x －4y －12＝08．（红岗区校级期末）过点P (3，2)，且在坐标轴上截得的截距相等的直线方程是________． 【解析】 当直线过原点时，斜率等于2－03－0＝23，故直线的方程为y ＝23x ，即2x －3y ＝0.当直线不过原点时，设直线的方程为x ＋y ＋m ＝0，把P (3，2)代入直线的方程得m ＝－5， 故求得的直线方程为x ＋y －5＝0，综上，满足条件的直线方程为2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0. 【答案】 2x －3y ＝0或x ＋y －5＝09．（兴庆区校级期末）求经过点A (－2，3)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程． 【解】 (1)当横截距、纵截距都是零时，设所求的直线方程为y ＝kx ，将(－2，3)代入y ＝kx 中，得k ＝－32，此时，直线方程为y ＝－32x ，即3x ＋2y ＝0.(2)当横截距、纵截距都不是零时， 设所求直线方程式为x 2a ＋ya＝1，将(－2，3)代入所设方程，解得a ＝2，此时，直线方程为x ＋2y －4＝0. 综上所述，所求直线方程为x ＋2y －4＝0或3x ＋2y ＝0.10．（城关区校级期末）求经过点A (－2，3)，B (4，－1)的直线的两点式方程，并把它化成点斜式、斜截式和截距式．【解】 过A ，B 两点的直线的两点式方程是y ＋13＋1＝x －4－2－4.点斜式为：y ＋1＝－23(x －4)，斜截式为：y ＝－23x ＋53，截距式为：x 52＋y53＝1.B 组-[素养提升]1．（鼓楼区校级期末）两条直线l 1：x a －y b ＝1和l 2：x b －ya＝1在同一直角坐标系中的图象可以是( )【解析】 化为截距式x a ＋y －b ＝1，x b ＋y－a＝1.假定l 1的位置，判断a ，b 的正负，从而确定l 2的位置，知A 项符合． 【答案】 A2.（秦州区校级期末）直线l 经过点A (1，2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是 ( ) A.⎝⎛⎭⎫－1，15B.⎝⎛⎭⎫－∞，12∪(1，＋∞) C ．(－∞，1)∪⎝⎛⎭⎫15，＋∞D ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞【解析】 设直线的斜率为k ，如图，过定点A 的直线经过点B (3，0)时，直线l 在x 轴上的截距为3，此时k ＝－1；过定点A 的直线经过点C (－3，0)时，直线l 在x 轴的截距为－3，此时k ＝12，满足条件的直线l的斜率范围是(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞.【答案】 D3．（金湖县校级期中）垂直于直线3x －4y －7＝0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在x 轴上的截距是________．【解析】 设直线方程是4x ＋3y ＋d ＝0，分别令x ＝0和y ＝0，得直线在两坐标轴上的截距分别是－d 3，－d4，∴6＝12×|－d 3|×|－d 4|＝d 224，∴d ＝±12，则直线在x 轴上的截距为3或－3.【答案】 3或－34．（启东市校级月考）已知A (3，0)，B (0，4)，直线AB 上一动点P (x ，y )，则xy 的最大值是________． 【解析】 直线AB 的方程为x 3＋y 4＝1，设P (x ，y )，则x ＝3－34y ，∴xy ＝3y －34y 2＝34(－y 2＋4y )＝34[－(y －2)2＋4]≤3，即当P 点坐标为⎝⎛⎭⎫32，2时，xy 取得最大值3. 【答案】 35．（杨浦区校级期末）在△ABC 中，已知A (5，－2)，B (7，3)，且AC 边的中点M 在y 轴上，BC 边的中点N 在x 轴上，求：(1)顶点C 的坐标；(2)直线MN 的方程． 【解】 (1)设C (x 0，y 0)，则AC 边的中点为M ⎝⎛⎭⎫x 0＋52，y 0－22，BC 边的中点为N ⎝⎛⎭⎫x 0＋72，y 0＋32.因为M 在y 轴上，所以x 0＋52＝0，得x 0＝－5.又因为N 在x 轴上，所以y 0＋32＝0，所以y 0＝－3.所以C (－5，－3)． (2)由(1)可得M ⎝⎛⎭⎫0，－52，N (1，0)，所以直线MN 的方程为x 1＋y－52＝1，即5x －2y －5＝0.3.2.3 直线的一般式方程名师导学知识点1 直线的一般式方程与其他形式的转化【例1-1】（水富市校级期末）(1)下列直线中，斜率为－43，且不经过第一象限的是( )A ．3x ＋4y ＋7＝0B ．4x ＋3y ＋7＝0C ．4x ＋3y －42＝0D ．3x ＋4y －42＝0(2)直线3x －5y ＋9＝0在x 轴上的截距等于( ) A.3B ．－5C.95D ．－33【分析】(1)当A ≠0时，方程可化为x ＋B A y ＋C A ＝0，只需求B A ，C A 的值；若B ≠0，则方程化为A B x ＋y ＋CB ＝0，只需确定A B ，CB的值．因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程．(2)在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式．【解答】(1)将一般式化为斜截式，斜率为－43的有：B 、C 两项．又y ＝－43x ＋14过点(0，14)即直线过第一象限，所以只有B 项满足要求． (2)令y ＝0，则x ＝－3 3.【变式训练1-1】（包河区校级期末）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程． (1)斜率是3，且经过点A (5，3)； (2)斜率为4，在y 轴上的截距为－2； (3)经过A (－1，5)，B (2，－1)两点； (4)在x ，y 轴上的截距分别是－3，－1.【解析】(1)由点斜式方程可知，所求直线方程为：y －3＝3(x －5)，化为一般式为：3x －y ＋3－53＝0. (2)由斜截式方程可知，所求直线方程为：y ＝4x －2，化为一般式为：4x －y －2＝0.(3)由两点式方程可知，所求直线方程为：y －5－1－5＝x －（－1）2－（－1）.化为一般式方程为：2x ＋y －3＝0.(4)由截距式方程可得，所求直线方程为x －3＋y－1＝1，化成一般式方程为：x ＋3y ＋3＝0.知识点2 直线的一般式方程的应用【例2-1】（上虞区期末）(1)若方程(m 2＋5m ＋6)x ＋(m 2＋3m )y ＋1＝0表示一条直线，则实数m 满足________． (2)已知方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1表示直线．当m ＝____________时，直线的倾斜角为45°；当m ＝____________时，直线在x 轴上的截距为1.【解析】(1)若方程不能表示直线，则m 2＋5m ＋6＝0且m 2＋3m ＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6＝0，m 2＋3m ＝0，得m ＝－3，所以m ≠－3时，方程表示一条直线． (2)因为已知直线的倾斜角为45°， 所以此直线的斜率是1，所以－2m 2＋m －3m 2－m ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m ≠0，2m 2＋m －3＝－（m 2－m ），解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0且m ≠1，m ＝－1或m ＝1.所以m ＝－1.因为已知直线在x 轴上的截距为1， 令y ＝0得x ＝4m －12m 2＋m －3，所以4m －12m 2＋m －3＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －3≠0，4m －1＝2m 2＋m －3，解得⎩⎨⎧m ≠1且m ≠－32，m ＝－12或m ＝2.所以m ＝－12或m ＝2.【例2-2】（柳南区校级期末）已知直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0，求满足下列条件的直线l ′的方程： (1)过点(－1，3)，且与l 平行； (2)过点(－1，3)，且与l 垂直． 【解析】l 的方程可化为y ＝－34x ＋3，∴l 的斜率为－34.法一 (1)∵l ′与l 平行，∴l ′的斜率为－34.又∵l ′过点(－1，3)，由点斜式知方程为y －3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y －9＝0.(2)∵l ′与l 垂直，∴l ′的斜率为43，又l ′过点(－1，3)，由点斜式可得方程为y －3＝43(x ＋1)，即4x －3y ＋13＝0.法二 (1)由l ′与l 平行，可设l ′的方程为3x ＋4y ＋m ＝0.将点(－1，3)代入上式得m ＝－9. ∴所求直线的方程为3x ＋4y －9＝0.(2)由l ′与l 垂直，可设l ′的方程为4x －3y ＋n ＝0. 将(－1，3)代入上式得n ＝13. ∴所求直线的方程为4x －3y ＋13＝0.【变式训练2-1】（佛山校级月考）已知直线l 经过点P (2，1)，且与直线2x －y ＋2＝0平行，那么直线l 的方程是( ) A ．2x －y －3＝0B ．x ＋2y －4＝0C ．2x －y －4＝0D ．x －2y －4＝0【解析】 由题意可设所求的方程为2x －y ＋c ＝0(c ≠2)， 代入已知点(2，1)，可得4－1＋c ＝0，即c ＝－3， 故所求直线的方程为：2x －y －3＝0，故选A. 【答案】 A【变式训练2-2】（西湖区校级月考）设直线l 1：(a ＋1)x ＋3y ＋2＝0，直线l 2：x ＋2y ＋1＝0.若l 1∥l 2，则a ＝________；若l 1⊥l 2，则a ＝________．【解析】 直线l 1：(a ＋1)x ＋3y ＋2＝0，直线l 2：x ＋2y ＋1＝0，分别化为：y ＝－a ＋13x －23，y ＝－12x －12.若l 1∥l 2，则－a ＋13＝－12，解得a ＝12.若l 1⊥l 2，则－a ＋13×(－12)＝－1，解得a ＝－7.【答案】 12－7名师导练A 组-[应知应会]1．（芜湖校级月考）已知ab <0，bc <0，则直线ax ＋by ＝c 通过( ) A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限【解析】 由题意可把ax ＋by ＝c 化为y ＝－a b x ＋c b .∵ab <0，bc ＜0，∴直线的斜率k ＝－ab >0，直线在y 轴上的截距cb<0.由此可知直线通过第一、三、四象限． 【答案】 C2．（南岸区校级期末）过点(1，0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝0【解析】 由题意，得所求直线斜率为12，且过点(1，0)．故所求直线方程为y ＝12(x －1)，即x －2y －1＝0.【答案】 A3．（辽源期末）若直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，则实数m 等于( ) A ．－1B ．1C.12D ．－12【解析】 由两直线垂直，得1×2＋(－2)m ＝0，解得m ＝1. 【答案】 B4．（宜兴县校级期中）直线l 1：ax －y ＋b ＝0，l 2：bx －y ＋a ＝0(a ≠0，b ≠0，a ≠b )在同一坐标系中的图形大致是( )【解析】 将l 1与l 2的方程化为斜截式得： y ＝ax ＋b ，y ＝bx ＋a ，根据斜率和截距的符号可得选C. 【答案】 C5．（城关区校级期末）直线(2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5m ＝0的倾斜角45°，则m 的值为( ) A ．－2 B ．2C ．－3D ．3 【解析】∵直线(2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5m ＝0的倾斜角45°，当m 2＝4时，与题意不符，∴2m 2－5m ＋2m 2－4＝tan 45°＝1，解得m ＝3或m ＝2(舍去)． 故选D. 【答案】 D6．（金凤区校级期末）若直线ax ＋2y ＋1＝0与直线x ＋y －2＝0互相平行，那么a 的值等于________． 【解析】 ∵直线ax ＋2y ＋1＝0与直线x ＋y －2＝0分别化为y ＝－a 2x －12，y ＝－x ＋2，则－a2＝－1，解得a ＝2. 【答案】 27．（越秀区校级期末）已知过点A (－2，m )，B (m ，4)的直线与直线2x ＋y －1＝0互相垂直，则m ＝________． 【解析】 因为两条直线垂直，直线2x ＋y －1＝0的斜率为－2，所以过点A (－2，m )，B (m ，4)的直线的斜率4－m m ＋2＝－12，解得m ＝2.【答案】 28．（凯里市校级期末）已知两条直线a 1x ＋b 1y ＋4＝0和a 2x ＋b 2y ＋4＝0都过点A (2，3)，则过两点P 1(a 1，b 1)，P 2(a 2，b 2)的直线方程为________________．【解析】 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋3b 1＋4＝0，2a 2＋3b 2＋4＝0，易知两点P 1(a 1，b 1)，P 2(a 2，b 2)都在直线2x ＋3y ＋4＝0上，即2x ＋3y ＋4＝0为所求． 【答案】 2x ＋3y ＋4＝09．（和平区校级期中）若方程(m 2－3m ＋2)x ＋(m －2)y －2m ＋5＝0表示直线． (1)求实数m 需满足的条件；(2)若该直线的斜率k ＝1，求实数m 的值．【解】 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＋2≠0，m －2≠0，解得m ≠2.(2)由题意知，m ≠2，由－m 2－3m ＋2m －2＝1，解得m ＝0. 10．（如东县期中）(1)已知直线l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线l 2：mx ＋3y －2＝0平行，求m 的值；(2)当a 为何值时，直线l 1：(a ＋2)x ＋(1－a )y －1＝0与直线l 2：(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直？【解】 法一 (1)由l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0，l 2：mx ＋3y －2＝0知：①当m ＝0时，显然l 1与l 2不平行．②当m ≠0时，l 1∥l 2，需2m ＝m ＋13≠4－2. 解得m ＝2或m ＝－3，∴m 的值为2或－3.(2)由题意知，直线l 1⊥l 2.①若1－a ＝0，即a ＝1时，直线l 1：3x －1＝0与直线l 2：5y ＋2＝0显然垂直．②若2a ＋3＝0，即a ＝－32时，直线l 1：x ＋5y －2＝0与直线l 2：5x －4＝0不垂直． ③若1－a ≠0，且2a ＋3≠0，则直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2都存在，k 1＝－a ＋21－a ，k 2＝－a －12a ＋3. 当l 1⊥l 2时，k 1·k 2＝－1，即(－a ＋21－a )·(－a －12a ＋3)＝－1， ∴a ＝－1.综上可知，当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2.法二 (1)令2×3＝m (m ＋1)，解得m ＝－3或m ＝2.当m ＝－3时，l 1：x －y ＋2＝0，l 2：3x －3y ＋2＝0，显然l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2.同理当m ＝2时，l 1：2x ＋3y ＋4＝0，l 2：2x ＋3y －2＝0，显然l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2.∴m 的值为2或－3.(2)由题意知直线l 1⊥l 2，∴(a ＋2)(a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0，解得a ＝±1，将a ＝±1代入方程，均满足题意．故当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2.B 组-[素养提升]1．（昌江区校级期末）若三条直线x ＋y ＝0，x －y ＝0，x ＋ay ＝3能构成三角形，则a 满足的条件是________．【解析】 由直线x ＋y ＝0与x －y ＝0都过(0，0)点，而x ＋ay ＝3不过(0，0)点，故只需满足x ＋ay ＝3不与x ＋y ＝0与x －y ＝0平行即可，故a ≠±1.【答案】 a ≠±12．（河南校级月考）已知直线l ：5ax －5y －a ＋3＝0.(1)求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限；(2)为使直线不经过第二象限，求a 的取值范围．(1)【证明】 将直线l 的方程整理为y －35＝a (x －15)，∴l 的斜率为a ，且过定点A (15，35)，而点A (15，35)在第一象限，故不论a 为何值，l 恒过第一象限．(2)【解】 当a ＝0时，直线l 的方程为5y －3＝0，不符合题意，故要使l 不经过第二象限，需a >0且l 在y 轴上的截距不大于零，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，－a －35≤0，∴a ≥3. 3．（镜湖区校级期中）已知平面内两点A (8，－6)，B (2，2)．(1)求AB 的中垂线方程；(2)求过点P (2，－3)且与直线AB 平行的直线l 的方程；(3)一束光线从B 点射向(2)中的直线l ，若反射光线过点A ，求反射光线所在直线的方程．【解】 (1)因为8＋22＝5，－6＋22＝－2， 所以AB 的中点坐标为(5，－2)．因为k AB ＝－6－28－2＝－43， 所以AB 的中垂线的斜率为34， 故AB 的中垂线的方程为y ＋2＝34(x －5) 即3x －4y －23＝0.(2)由(1)知k AB ＝－43， 所以直线l 的方程为y ＋3＝－43(x －2)， 即4x ＋3y ＋1＝0.(3)设B (2，2)关于直线l 的对称点为B ′(m ，n )，由⎩⎪⎨⎪⎧n －2m －2＝34，4×m ＋22＋3×n ＋22＋1＝0，解得⎩⎨⎧m ＝－145，n ＝－85，所以B ′(－145，－85)，k B ′A ＝－6＋858＋145＝－1127， 所以反射光线所在直线方程为y ＋6＝－1127(x －8)． 即11x ＋27y ＋74＝0.。

直线方程有多种表达形式，包括点斜式、两点式、斜截式、截距式和一般式。点斜式是通过直线上一点和直线的斜率来确定直线方程的，公式为y-y1=k(x-x1)。两点式则是通过直线上两点来确定直线方程的，公式为y-y1பைடு நூலகம்(y2-y1)/(x2-x1)*(x-x1)。斜截式是通过直线的斜率和在y轴上的截距来确定直线方程的，公式为y=kx+b。截距式是通过直线在x轴和y轴上的截距来确定直线方程的，公式为x/a+y/b=1。一般式则是关于x和y的一次方程，形式为Ax+By+C=0，其中A、B、C为常数，且A、B不全为零。这些形式各有特点，适用于不同的场景。例如，已知一点和斜率时可用点斜式；已知两点时可用两点式；已知斜率和y轴截距时可用斜截式；已知x轴和y轴截距时可用截距式；而一般式则更为通用，可以表示任意直线。通过熟练掌握这些形式，可以灵活求解直线方程，并应用于实际问题中。

练习1 根据下列条件写出直线方程， 并化成一般式
1 ( 1 )斜 率 是 ， 经 过 点 ( 8 ,2 ) A 2 ( 2 )经 过 点B( 4 ,2 ),平 行 于x轴 3 ( 3 )在x轴 和y轴 上 的 截距 分 别 是 ， 3 2 ( 4 )经 过 两 点 1 ( 3 ,2 ), P2 ( 5 ,4 ) P
若求过两点Ax1，y1 ，Bx2，y2 x1 x2 的直线方程呢？
直线方程的两点式：
已知直线l经过点Px1，y1 ，P2 x2，y2 x1 x2 . 1
求直线l的方程.
y 2 - y1 . 推导：直线l的斜率k x 2 - x1
当 y2 y 1时 ,方 程 可 写 成 y - y1 x - x1 .x 1 x 2 y1 y 2 y 2 - y1 x 2 - x 1
4 4 k 0 9k 2 9k 12 k k 4 2 当 且 仅 当 9k时,即k 时 取 最 小 值 . k 3 S 12
此时直线 l的方程为 2 x 3 y 12 0. :
2 2 2.截 距 和 2 3k 3 5 3k 5 2 6 k k 2 6 当 且 仅 当 3k 时,即k 时, k 3 截距和取到最小值为 2 6 :5
这 就 是 直 线 AB的 方 程 .
直 线 A C 过 A 5, 0、 C0, 2 点 ， 由 距式 得 两 截
整理得 x y 1， 5 2 2x 5y 10 0.

这就 是直线AC的方 程 .
注意恰当选取直线方程 的形式解题 .
练 习:
1.求 过 下 列 两 点 直 线 的 两 式 方 程 化 成 斜 截 式 方 程 点 ,再 . y 1 x2 1. p1 2,1, p2 0,3 ; 整理得y 2 x 3 31 0 2