高二选修2-3课件：计数原理

第一讲分类加法计数原理与分步乘法计数原理【教材扫描】1．分类加法计数原理2．分步乘法计数原理3.两个原理的区别【知识运用】题型一：分类加法计数原理的应用【例1】在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为__________．[解析] (1)法一：根据题意，将十位上的数字按1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个．由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)．法二：分析个位数字，可分以下几类：个位是9，则十位可以是1,2,3，…，8中的一个，故共有8个；个位是8，则十位可以是1,2,3，…，7中的一个，故共有7个；同理，个位是7的有6个；……个位是2的有1个．由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)．[答案] 36[一题多变]1．[变条件]若本例条件变为个位数字小于十位数字且为偶数，那么这样的两位数有多少个．解：当个位数字是8时，十位数字取9，只有1个．当个位数字是6时，十位数字可取7,8,9，共3个．当个位数字是4时，十位数字可取5,6,7,8,9，共5个．同理可知，当个位数字是2时，共7个，当个位数字是0时，共9个．由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有1＋3＋5＋7＋9＝25(个)．2．[变条件，变设问]用1,2,3这3个数字可以写出没有重复数字的整数________个．解析：分三类：第一类为一位整数，有3个；第二类为两位整数，有12,21,23,32,13,31，共6个；第三类为三位整数，有123,132,231,213,321,312，共6个，∴共写出没有重复数字的整数3＋6＋6＝15个．答案：15【变式】1某校高二共有三个班，各班人数如下表：（1）从三个班中选1名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？（2）从高二（1）班、（2）班男生中或从高二（3）班女生中选1名学生任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？【解析】（1）从每个班选1名学生任学生会主席，共有3类不同的方案：第1类，从高二（1）班中选出1名学生，有50种不同的选法；第2类，从高二（2）班中选出1名学生，有60种不同的选法；第3类，从高二（3）班中选出1名学生，有55种不同的选法.根据分类加法计数原理知，从三个班中选1名学生任学生会主席，共有50＋60＋55＝165种不同的选法.（2）从1）班、（2）班男生或高3）班女生中选1名学生任有3类不第1类，1）班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；第2类，从高二（2）班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；第3类，从高二（3）班女生中选出1名学生，有20种不同的选法.根据分类加法计数原理知，从高二（1）班、（2）班男生或高二（3）班女生中选1名学生任学生会生活部部长，共有30＋30＋20＝80种不同的选法.2.从高三年级的四个班中共抽出22人，其中一、二、三、四班分别为4人、5人、6人、7人，他们自愿组成数学课外小组，选其中一人为组长，有多少种不同的选法？分四类：从一班中选一人，有4种选法．从二班中选一人，有5种选法．从三班中选一人，有6种选法．从四班中选一人，有7种选法．共有不同选法N＝4＋5＋6＋7＝22种．3. 一个科技小组有3名男同学，5名女同学，从中任选一名同学参加学科竞赛，共有不同的选派方法________种．【解析】任选一名同学参加学科竞赛，有两类办法：第一类：从男同学中选取一名参加学科竞赛，有3种不同的选法；第二类：从女同学中选取一名参加学科竞赛，有5种不同的选法．由分类加法计数原理，不同的选派方法共有3＋5＝8(种)．【答案】8题型二：分步乘法计数原理的应用类型一：涂色A B C D四个区域涂色,有5种不同的颜色可供选择，规定一个区域只涂一种颜色,相【例2-1】如图,将图中的,,,邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有______种．⨯⨯⨯=种.【解析】由分步乘法计数原理，可得不同的涂色方案有5433180【名师点睛】解答涂色问题有两种方法：（1）选择正确的涂色顺序,按步骤逐一涂色,这时用分步乘法计数原理进行计数；（2）根据涂色时所用颜色数的多少,进行分类处理,这时用分类加法计数原理进行计数.注意：“相邻区域不得使用同一种颜色”,找好不相邻的区域是解题的关键.一般地,在分步涂色时,要注意尽量让相邻区域多的区域先涂色.【变式】用6种不同颜色为如图所示的广告牌着色，要求有公共边界的区域不能用同一种颜色，问一共有多少种不同的方法着色？【解】由分步乘法计数原理知第1步，涂①区有6种方法；第2步，涂②区有5种方法；第3步，涂③区有4种方法；第4步，涂④区有4种方法．由分步乘法计数原理知，共有N＝6×5×4×4＝480(种)方法．类型二：数字问题【例2-2】一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共十个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数的号码(各位上的数字允许重复)?解析：按从左到右的顺序拨号可以分四步完成：第一步，有10种拨号方式，所以m1＝10；第二步，有10种拨号方式，所以m2＝10；第三步，有10种拨号方式，所以m3＝10；第四步，有10种拨号方式，所以m4＝10.根据分步乘法计数原理，共可以组成N＝10×10×10×10＝10 000个四位数的号码．【变式】1、从1,2,3,4中选三个数字，组成无重复数字的整数，则分别满足下列条件的数有多少个？(1)三位数；(2)三位数的偶数．[解] (1)三位数有三个数位，百位十位个位故可分三个步骤完成：第1步，排个位，从1,2,3,4中选1个数字，有4种方法；第2步，排十位，从剩下的3个数字中选1个，有3种方法；第3步，排百位，从剩下的2个数字中选1个，有2种方法．依据分步乘法计数原理，共有4×3×2＝24个满足要求的三位数．(2)分三个步骤完成：第1步，排个位，从2,4中选1个，有2种方法；第2步，排十位，从余下的3个数字中选1个，有3种方法；第3步，排百位，只能从余下的2个数字中选1个，有2种方法．故共有2×3×2＝12个三位数的偶数．2．从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇数的个数为( ) A．24 B．18C．12 D．6解析：选B 由于题目要求是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇，偶奇奇．如果是第一种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析(3种情况)，之后十位(2种情况)，最后百位(2种情况)，共12种；如果是第二种情况偶奇奇：个位(3种情况)，十位(2种情况)，百位(不能是0，一种情况)，共6种．因此总共有12＋6＝18种情况．故选B．3.某商店现有甲种型号电视机10台，乙种型号电视机8台，丙种型号电视机12台，从这三种型号的电视机中各选1台检验，有多少种不同的选法？解：从这三种型号的电视机中各选1台检验可分三步完成：第一步，从甲种型号中选1台，有10种不同的选法；第二步，从乙种型号中选1台，有8种不同的选法；第三步，从丙种型号中选1台，有12种不同的选法．根据分步乘法计数原理，不同的选法共有10×8×12＝960种．题型三、两个计数原理的综合应用【例3】用0，1，2，3，4五个数字，①可以排出多少个三位数字的电话号码？②可以排成多少个三位数？③可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？【解析】①三位数字的电话号码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种排法，共有5×5×5=53=125(种).②三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5=100(种).③被2整除的数即偶数，末位数字可取0，2，4，因此，可以分两类，一类是末位数字是0，则有4×3=12种排法；一类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，再排首位，因为0不能在首位，所以有3种排法，十位有3种排法，因此有2×3×3=18种排法.因而有12+18=30种排法，即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数.【变式】1.在7名学生中，有3名会下象棋但不会下围棋，有2名会下围棋但不会下象棋，另2名既会下象棋又会下围棋，现在从7人中选2人同时参加象棋比赛和围棋比赛，共有多少种不同的选法？解析：选参加象棋比赛的学生有两种方法：在只会下象棋的3人中选或在既会下象棋又会下围棋的2人中选；选参加围棋比赛的学生也有两种选法：在只会下围棋的2人中选或在既会下象棋又会下围棋的2人中选．互相搭配，可得四类不同的选法．从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛有3×2＝6种选法；从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛有3×2＝6种选法；从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加象棋比赛有2×2＝4种选法；2名既会下象棋又会下围棋的学生分别参加象棋比赛和围棋比赛有2种选法．∴共有6＋6＋4＋2＝18种选法．所以共有18种不同的选法．2. 某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法？【解】依题意得既会英语又会日语的有7＋3－9＝1人，6人只会英语，2人只会日语．第一类：从只会英语的6人中选一人有6种方法，此时会日语的有2＋1＝3种．由分步乘法计数原理可得N1＝6×3＝18种．第二类：不从只会英语的6人中选，只有1种方法，此时会日语的有2种．由分步乘法计数原理可得N2＝1×2＝2种综上可知，共有18＋2＝20种不同的选法．【强化练习】1．甲、乙两人从4门课程中各选修1门，则甲、乙所选的课程不相同的选法共有( )A．6种 B．12种C．30种 D．36种解析：选B ∵甲、乙两人从4门课程中各选修1门，∴由分步乘法计数原理，可得甲、乙所选的课程不相同的选法有4×3＝12种．2．由数字1,2,3组成的无重复数字的整数中，偶数的个数为( )A．15 B．12C．10 D．5解析：选D 分三类，第一类组成一位整数，偶数有1个；第二类组成两位整数，其中偶数有2个；第三类组成3位整数，其中偶数有2个．由分类加法计数原理知共有偶数5个．3．三人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下．由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回甲，则不同的传递方式共有( )A．4种 B．5种C．6种 D．12种解析：选C 若甲先传给乙，则有甲→乙→甲→乙→甲，甲→乙→甲→丙→甲，甲→乙→丙→乙→甲3种不同的传法；同理，甲先传给丙也有3种不同的传法，故共有6种不同的传法．4．现给如图所示的4个区域涂色，要求相邻区域不得使用同一颜色，共有3种颜色可供选择，则不同的涂色方法共有A．4种B．6种 C．8种D．12种B 【解析】首先给下面一个涂色，有三种涂色方法，再给上面的最左边涂色，有两种涂色方法，中间一块只有一种涂色方法，右边的一块只有一种涂色方法，根据分步计数原理，得共有种不同的涂色方法.5．由错误！未找到引用源。