专题十三 推理与证明第三十八讲 推理与证明答案

专题十三 推理与证明第三十八讲 推理与证明答案部分1．B 【解析】解法一 因为ln 1x x -≤(0x >)，所以1234123ln()a a a a a a a +++=++1231a a a ++-≤，所以41a -≤，又11a >，所以等比数列的公比0q <．若1q -≤，则212341(1)(10a a a a a q q +++=++）≤， 而12311a a a a ++>≥，所以123ln()0a a a ++>，与1231234ln()0a a a a a a a ++=+++≤矛盾，所以10q -<<，所以2131(1)0a a a q -=->，2241(1)0a a a q q -=-<，所以13a a >，24a a <，故选B ．解法二 因为1x e x +≥，1234123ln()a a a a a a a +++=++，所以123412312341a a a a e a a a a a a a +++=++++++≥，则41a -≤，又11a >，所以等比数列的公比0q <．若1q -≤，则212341(1)(10a a a a a q q +++=++）≤， 而12311a a a a ++>≥，所以123ln()0a a a ++>与1231234ln()0a a a a a a a ++=+++≤矛盾，所以10q -<<，所以2131(1)0a a a q -=->，2241(1)0a a a q q -=-<，所以13a a >，24a a <，故选B ．2．D 【解析】解法一 点(2,1)在直线1x y -=上，4ax y +=表示过定点(0,4)，斜率为a-的直线，当0a ≠时，2x ay -=表示过定点(2,0)，斜率为1a的直线，不等式2x ay -≤表示的区域包含原点，不等式4ax y +>表示的区域不包含原点．直线4ax y +=与直线2x ay -=互相垂直，显然当直线4ax y +=的斜率0a ->时，不等式4ax y +>表示的区域不包含点(2,1)，故排除A ；点(2,1)与点(0,4)连线的斜率为32-，当32a -<-，即32a >时，4ax y +>表示的区域包含点(2,1)，此时2x ay -<表示的区域也包含点(2,1)，故排除B ；当直线4ax y +=的斜率32a -=-，即32a =时，4ax y +>表示的区域不包含点(2,1)，故排除C ，故选D ．解法二 若(2,1)A ∈，则21422a a +>⎧⎨-⎩≤，解得32a >，所以当且仅当32a ≤时，(2,1)A ∉．故选D ．3．D 【解析】由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲、丁一人优秀一人良好，乙看到丙的结果则知道自己的结果，丁看到甲的结果则知道自己的结果，故选D ．4．B 【解析】设O 为三角形ABC 中心，底面如图2，过O 作OE RP ⊥，OF PQ ⊥，OG RQ ⊥，由题意可知tan DO OE α=，tan OD OF β=，tan OD OGγ=， G FE O DC B AP QR 图1 图2由图2所示，以P 为原点建立直角坐标系，不妨设2AB =，则(1,0)A -，(1,0)B，C，(0,3O ，∵AP PB =，2BQ CR QC RA==，∴1(,33Q，2(,33R -，则直线RP的方程为2y x =-，直线PQ的方程为y =，直线RQ的方程为39y x =+，根据点到直线的距离公式，知21OE =39OF =，13OG =，∴OF OG OE <<，tan tan tan αγβ<<，因为α，β，γ为锐角，所以αγβ<<．选B5．B 【解析】由数据可知，进入立定跳远决赛的8人为1~8号，所以进入30秒跳绳决赛的6人从1~8号里产生．数据排序后可知3号，6号，7号必定进入30秒跳绳决赛，则得分为63，a ，60，63，a -l 的5人中有3人进入30秒跳绳决赛．若1号，5号学生未进入30秒跳绳决赛，则4号学生就会进入决赛，与事实矛盾，所以l 号，5号学生必进入30秒跳绳决赛，故选B ．6．A 【解析】当4s =时，p ，q ，r 都是取0，1，2，3中的一个，有44464⨯⨯=种，当3s =时，p ，q ，r 都是取0，1，2中的一个，有33327⨯⨯=种，当2s =时，p ，q ，r 都是取0，1中的一个，有2228⨯⨯=种，当1s =时，p ，q ，r 都取0，有1种，所以()card 642781100E =+++=，当0t =时，u 取1，2，3，4中的一个，有4种，当1t =时，u 取2，3，4中的一个，有3种，当2t =时，u 取3，4中的一个，有2种，当3t =时，u 取4，有1种，所以t 、u 的取值有123410+++=种， 同理，v 、w 的取值也有10种，所以()card F 1010100=⨯=，所以()()card card F 100100200E +=+=，故选D ．7．B 【解析】学生甲比学生乙成绩好，即学生甲两门成绩中一门高过学生乙，另一门不低于学生乙，一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且没有相同的成绩，则存在的情况是，最多有3人，其中一个语文最好，数学最差；另一个语文最差，数学最好；第三个人成绩均为中等．故选B ．8．A 【解析】“至少有一个实根”的反面为“没有实根”，故选A ．9．D 【解析】∵553125=,6515625=,7578125=,85390625=，951953125=， 1059765625=,⋅⋅⋅,∴5n (n Z ∈,且5n ≥)的末四位数字呈周期性变化，且最小正 周期为4,记5n(n Z ∈,且5n ≥)的末四位数字为()f n ,则(2011)(50147)f f =⨯+ (7)f =，∴20115与75的末位数字相同，均为8 125，选D ．10．D 【解析】由给出的例子可以归纳推理得出：若函数()f x 是偶函数，则它的导函数是奇函数，因为定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，即函数()f x 是偶函数，所以它的导函数是奇函数，即有()g x -=()g x -，故选D ．11．27【解析】所有的正奇数和2n (*n ∈N )按照从小到大的顺序排列构成{}n a ，在数列{}n a中，52前面有16个正奇数，即5212a =，6382a =．当1n =时，1211224S a =<=，不符合题意；当2n =时，2331236S a =<=，不符合题意；当3n =时，3461248S a =<=，不符合题意；当4n =时，45101260S a =<=，不符合题意；……；当26n =时，52621(141)2(12)212S ⨯+⨯-=+-= 441 +62= 503<2712516a =，不符合题意；当27n =时，52722(143)2(12)212S ⨯+⨯-=+-=484 +62=546>2812a =540，符合题意．故使得112n n S a +>成立的n 的最小值为27．12．1Q 2p 【解析】设线段i i A B 的中点为(,)i i i C x y ，则2i i Q y =，其中1,2,3i =①由题意只需比较线段i i A B 中点的纵坐标的大小即可，作图可得11A B 中点纵坐标比2233,A B A B 的中点纵坐标大，所以第一位选1Q ． ②由题意i i iy p x =，只需比较三条线段1OC ，2OC 3OC 斜率的大小，分别作123,,B B B 关于原点的对称点123,,B B B '''，比较直线112233,,A B A B A B ''' 斜率，可得22A B '最大，所以选2.p13．1和3【解析】为方便说明，不妨将分别写有1和2，1和3，2和3的卡片记为A ，B ，C 从丙出发，由于丙的卡片上的数字之和不是5，则丙只可能是卡片A 或B ，无论是哪一张，均含有数字1，再由乙与丙的卡片上相同的数字不是1可知，乙所拿的卡片必然是C ，最后由甲与乙的卡片上相同的数字不是2，知甲所拿的卡片为B ，此时丙所拿的卡片为A ．14．【解析】根据已知，归纳可得结果为43n (n+1)． 15．111111111234212122n n n n n -+-+⋅⋅⋅+-=++⋅⋅⋅+-++．【解析】观察等式知：第n 个等式的左边有2n 个数相加减，奇数项为正，偶数项为负，且分子为1，分母是1到2n 的连续正整数，等式的右边是111122n n n ++⋅⋅⋅+++． 16．14n -【解析】 具体证明过程可以是：0121012121212121212121211(2222)2n n n n n n n n n n C C C C C C C C ----------++++=++++021122223121212121212121211[()()()()]2n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C ------------=++++++++ 01212121121212121212111()2422n n n n n n n n n n n C C C C C C ----------=+++++++=⋅=．17．14【解析】解法一 直接递推归纳；等腰直角三角形ABC 中，斜边BC =1122,AB AC a AA a =====，1231A A a ==，⋅⋅⋅，65671124A A a a ==⨯=．解法二 求通项：等腰直角三角形ABC 中，斜边BC =所以1122,AB AC a AA a ====⋅⋅⋅，11sin 2(422n n n n n n A A a a a π-+==⋅==⨯，故6722a =⨯=1418．6【解析】因为①正确，②也正确，所以只有①正确是不可能的；若只有②正确，①③④都不正确，则符合条件的有序数组为(2,3,1,4)，(3,2,1,4)；若只有③正确，①②④都不正确，则符合条件的有序数组为(3,1,2,4)；若只有④正确，①②③都不正确，则符合条件的有序数组为(2,1,4,3)，(3,1,4,2)，(4,1,3,2)．综上符合条件的有序数组的个数是6．19．42【解析】先由徒弟粗加一工原料B ，6天后，师傅开始精加工原料B ，徒弟同时开始粗加工原料A ，再9天后（15天后），徒弟粗加工原料A 完成，此时师傅还在精加工原料B ，27天后，师傅精加工原料B 完成，然后接着精加工原料A ，再15天后，师傅精加工原料A 完成，整个工作完成，一共需要6 +21+15= 42个工作日．20．12014x x +【解析】由1()1x f x x =+，得2()()112x x f x f x x==++， 可得32()(())13x f x f f x x ==+，故可归纳得2014()12014x f x x=+． 21．2F V E +-=【解析】三棱柱中5 +6-9 =2；五棱锥中6+6 -10 =2；立方体中6+8 -12 =2，由此归纳可得2F V E +-=．22．12－22+32－42+…+（－1）n +1n 2=（－1）n +1·(1)2n n +（n ∈*N ） 【解析】观察上式等号左边的规律发现，左边的项数一次加1，故第n 个等式左边有n 项，每项所含的底数的绝对值也增加1，一次为1，2，3，…n ，指数都是2，符号成正负交替出现可以用1(1)n +-表示，等式的右边数的绝对值是左边项的底数的和，故等式的右边可以表示为(1)n-·(1)2n n +，所以第n 个式子可为12－22+32－42+…+12(1)n n +-=（－1）n+1·(1)2n n +（n ∈*N ）． 23．1000【解析】观察2n 和n 前面的系数，可知一个成递增的等差数列另一个成递减的等差数列，故()2,241110N n n n =-，()10,241000N ∴= 24．6116151413121122222<+++++【解析】观察不等式的左边发现，第n 个不等式的左边=222111123(1)n +++⋅⋅⋅++，右边=()1112+-+n n ，所以第五个不等式为6116151413121122222<+++++． 25．（1）6；（2）43211n -⨯+【解析】（1）当N =16时，012345616P x x x x x x x =，可设为(1,2,3,4,5,6,,16)，113571524616P x x x x x x x x x =，即为(1,3,5,7,9,2,4,6,8,,16)，2159133711152616P x x x x x x x x x x x =，即(1,5,9,13,3,7,11,15,2,6,,16)，7x 位于2P 中的第6个位置； （2）在1P 中173x 位于两段中第一段的第87个位置，位于奇数位置上，此时在2P 中173x 位于四段中第一段的第44个位置上，再作变换得3P 时，173x 位于八段中第二段的第22个位置上，再作变换时，173x 位于十六段中的第四段的第11个位置上．也就是位于4P 中的第43211n -⨯+个位置上．26．2(1)(32)(21)n n n n ++++-=- 【解析】把已知等式与行数对应起来，则每一个等式的左边的式子的第一个数是行数n ，加数的个数是21n -；等式右边都是完全平方数，行数 等号左边的项数1=1 1 12+3+4=9 2 33+4+5+6+7=25 3 54+5+6+7+8+9+10=49 4 7…… …… ……所以2(1)[(21)1](21)n n n n n +++++--=-， 即2(1)(32)(21)n n n n ++++-=-27．0,1123n nn n ⎧⎪⎨-⎪⎩当为偶数时，当为奇数时【解析】根据合情推理，利用归纳和类比进行简单的推理，可得n T =0,1123n n n n ⎧⎪⎨-⎪⎩当为偶数时，当为奇数时． 28．962【解析】观察等式可知，cos α的最高次的系数2,8,32,128构成了公比为4的等比数列，故1284512m =⨯=．取0α=，则cos 1α=，cos101α=，代入等式⑤得 1512128011201n p =-+++-，即350n p +=- ① 取3πα=，则1cos 2α=，1cos102α=-，代入等式⑤得 108642111111512()1280()1120()()()1222222n p -=⨯-⨯+⨯+⨯+⨯- 即4200n p +=- ②联立①②得，400,50n p =-=，所以m n p -+=512(400)50962--+=．29．【解析】(1)因为(1,1,0)α=，(0,1,1)β=，所以1(,)[(11|11|)(11|11|)(00)|00|)]22M αα=+--++--++--=， 1(,)[(10|10|)(11|11|)(01|01|)]12M αβ=+--++--++--=． (2)设1234(,,,)x x x x B α=∈，则1234(,)M x x x x αα=+++．由题意知1x ，2x ，3x ，4x ∈{0，1}，且(,)M αα为奇数，所以1x ，2x ，3x ，4x 中1的个数为1或3．所以B ⊆{(1，0，0，0)，(0，1，0，0)，(0，0，1，0)，(0，0，0，1)，(0，1，1，1)，(1，0，1，1)，(1，1，0，1)，(1，1，1，0)}．将上述集合中的元素分成如下四组：(1，0，0，0)，(1，1，1，0)；(0，1，0，0)，(1，1，0，1)；(0，0，1，0)，(1，0，1，1)；(0，0，0，1)，(0，1，1，1)．经验证，对于每组中两个元素α，β，均有(,)1M αβ=．所以每组中的两个元素不可能同时是集合B 的元素．所以集合B 中元素的个数不超过4．又集合{(1，0，0，0)，(0，1，0，0)，(0，0，1，0)，(0，0，0，1)}满足条件， 所以集合B 中元素个数的最大值为4．(3)设1212121{(,,,)|(,,,),1,0}k n n k k S x x x x x x A x x x x -=⋅⋅⋅⋅⋅⋅∈===⋅⋅⋅==(1,2,,)k n =⋅⋅⋅，11212{(,,,)|0}n n n S x x x x x x +=⋅⋅⋅==⋅⋅⋅==，则121n A S S S +=⋅⋅⋅．对于k S （1,2,,1k n =⋅⋅⋅-）中的不同元素α，β，经验证，(,)1M αβ≥． 所以k S （1,2,,1k n =⋅⋅⋅-）中的两个元素不可能同时是集合B 的元素．所以B 中元素的个数不超过1n +．取12(,,,)k n k e x x x S =⋅⋅⋅∈且10k n x x +=⋅⋅⋅==（1,2,,1k n =⋅⋅⋅-）．令1211(,,,)n n n B e e e S S -+=⋅⋅⋅，则集合B 的元素个数为1n +，且满足条件． 故B 是一个满足条件且元素个数最多的集合．30．【解析】(1)记()abc τ为排列abc 的逆序数，对1，2，3的所有排列，有(123)=0(132)=1(213)=1(231)=2(312)=2(321)=3ττττττ，，，，，，所以333(0)1(1)(2)2f f f ===，．对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，4333(2)(2)(1)(0)5f f f f =++=．(2)对一般的n (4)n ≥的情形，逆序数为0的排列只有一个：12n ⋅⋅⋅，所以(0)1n f =．逆序数为1的排列只能是将排列12n ⋅⋅⋅中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以(1)1n f n =-．为计算1(2)n f +，当1，2，…，n 的排列及其逆序数确定后，将1n +添加进原排列，1n +在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，1(2)(2)(1)(0)(2)n n n n n f f f f f n +=++=+．当5n ≥时，112544(2)[(2)(2)][(2)(2)][(2)(2)](2)n n n n n f f f f f f f f ---=-+-++-+…242(1)(2)4(2)2n n n n f --=-+-+⋯++=， 因此，5n ≥时，(2)n f =222n n --． 31．【解析】证明:（1）因为{}n a 是等差数列，设其公差为d ，则1(1)n a a n d =+-，从而，当n 4≥时，n k n k a a a -++=+11(1)(1)n k d a n k d --+++-122(1)2n a n d a =+-=，1,2,3,k =所以n n n n n n n a a a a a a a ---+++++=321123+++6，因此等差数列{}n a 是“(3)P 数列”.（2）数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，因此，当3n ≥时，n n n n n a a a a a --+++++=21124，①当4n ≥时，n n n n n n n a a a a a a a ---++++++++=3211236.②由①知，n n n a a a ---+=-32141()n n a a ++，③n n n a a a ++++=-23141()n n a a -+，④将③④代入②，得n n n a a a -++=112，其中4n ≥， 所以345,,,a a a 是等差数列，设其公差为d'. 在①中，取4n =，则235644a a a a a +++=，所以23a a d'=-， 在①中，取3n =，则124534a a a a a +++=，所以122a a d'=-， 所以数列{}n a 是等差数列.32．【解析】（Ⅰ）易知11a =，22a =，33a =且11b =，23b =，35b =所以111110,c b a =-=-=21122max{2,2}max{121,322}1c b a b a =--=-⨯-⨯=-， 3112233max{3,3,3}max{131,332,533}2c b a b a b a =---=-⨯-⨯-⨯=-． 下面证明：对任意n ∈*N 且2n ≥，都有11n c b a n =-⋅． 当k ∈*N 且2k n ≤≤时，11()()k k b a n b a n -⋅--⋅[(21)]1k nk n =---+(22)(1)k n k =---(1)(2)k n =--∵10k ->且20n -≤∴11()()0k k b a n b a n -⋅--⋅≤⇒11()()k k b a n b a n -⋅-⋅≥． 因此对任意n ∈*N 且2n ≥，111n c b a n n =-⋅=-，则11n n c c +-=-． 又∵211c c -=-，故11n n c c +-=-对n ∈*N 均成立，从而{}n c 是等差数列 （Ⅱ）设数列{}n a 和{}n b 的公差分别为,a b d d ，下面我们考虑n c 的取值． 对11b a n -⋅，22b a n -⋅，n n b a n -⋅，考虑其中任意项i i b a n -⋅(i ∈*N 且1)i n ≤≤，i i b a n -⋅11[(1)][(1)]b a b i d a i d n =+--+-⋅ 11()(1)()b a b a n i d d n =-⋅+--⋅下面分0a d =，0a d >，0a d <三种情况进行讨论． （1）若0a d =，则i i b a n -⋅11()(1)b b a n i d =-⋅+- ①若0b d ≤，则11()()(1)0i i b b a n b a n i d -⋅--⋅=-≤ 则对于给定的正整数n 而言，11n c b a n =-⋅ 此时11n n c c a +-=-，故{}n c 是等差数列②0b d >，则()()()0i i n n b b a n b a n i n d -⋅--⋅=-≤ 则对于给定的正整数n 而言，1n n n n c b a n b a n =-⋅=-⋅ 此时11n n b c c d a +-=-，故{}n c 是等差数列此时取1m =，则123,,,c c c ⋅⋅⋅是等差数列，命题成立．（2）若0a d >，则此时a b d n d -⋅+为一个关于n 的一次项系数为负数的一次函数．故必存在m ∈*N ，使得当n m ≥时，0a b d n d -⋅+<则当n m ≥时，11()()(1)(0i i a b b a n b a n i d n d -⋅--⋅=--⋅+)≤(,1)i i n ∈*N ≤≤因此，当n m ≥时，11n c b a n =-⋅．此时11n n c c a +-=-，故{}n c 从第m 项开始为等差数列，命题成立．（3）0a d <，则此时a b d n d -⋅+为一个关于n 的一次项系数为正数的一次函数．故必存在s ∈*N ，使得当n s ≥时，0a b d n d -⋅+>则当n s ≥时，()()()(0i i n n a b b a n b a n i n d n d -⋅--⋅=--⋅+)≤(,1)i i n ∈*N ≤≤因此当n s ≥时，n n n c b a n =-⋅．此时n n n n n c b a n b a n n n -⋅==-+11()b a a b b d d n d a d n-=-⋅+-++ 令0a d A -=>，1a b d a d B -+=，1b b d C -= 下面证明n c CAn B n n=++对任意正数M ，存在正整数m ，使得当n m ≥时，nc M n>． ①若0C ≥，则取||[]1M B m A-=+（[]x 表示不等于x 的最大整数） 当n m ≥时，||([]1)n c M B M B An B Am B A B A B M n A A--++=++>⋅+=≥≥ 此时命题成立． 若0C <，则取||[]1M C B m A--=+当n m ≥时||([]1)n c M C B An B C Am B C A B C n A--++++=+++≥≥ M C B B C M --++=≥此时命题成立．因此，对任意正数M ，使得当n m ≥时，nc M n>． 综合以上三种情况，命题得证．33．【解析】(1)由已知得1*13,n n a a n N -=⋅∈.于是当{2,4}T =时，2411132730r S a a a a a =+=+=. 又30r S =，故13030a =，即11a =.所以数列{}n a 的通项公式为1*3,n n a n N -=∈.(2)因为{1,2,,}T k ⊆，1*30,n n a n N -=>∈，所以1121133(31)32k k k r k S a a a -≤+++=+++=-<.因此，1r k S a +<.(3)下面分三种情况证明. ①若D 是C 的子集，则2C CDC D D D D S S S S S S S +=+≥+=.②若C 是D 的子集，则22C CDC C CD S S S S S S +=+=≥.③若D 不是C 的子集，且C 不是D 的子集. 令U E CC D =，U F D C C =则E φ≠，F φ≠，EF φ=.于是C E C D S S S =+，D F CD S S S =+，进而由C D S S ≥，得E F S S ≥.设k 是E 中的最大数，l 为F 中的最大数，则1,1,k l k l ≥≥≠.由（2）知，1E k S a +<，于是1133l kl F E k a S S a -+=≤≤<=，所以1l k -<，即l k ≤.又k l ≠，故1l k ≤-， 从而11121131311332222l k l k E F l a S S a a a ------≤+++=+++=≤=≤，故21E F S S ≥+，所以2()1C C DD C DS S S S -≥-+，即21C CDD S S S +≥+.综合①②③得，2C CDD S S S +≥.34．【解析】(1)因为()()442311111x x x x x x x----+-==--+， 由于[]0,1x ∈，有41111x x x -++≤，即23111x x x x-+-+≤， 所以2()1.f x x x -+≥ (2)由01x ≤≤得3x x ≤， 故()()()3121113333()11222122x x f x x x x x x -+=++-+=++++≤≤， 所以3()2f x ≤. 由(1)得22133()1()244f x x x x -+=-+≥≥， 又因为1193()2244f =>，所以()34f x >，综上，33()42f x <≤．35．【解析】(1)()f x 的定义域为(,)-∞+∞，()1e x f x '=-．当()0f x '>，即0x <时，()f x 单调递增；当()0f x '<，即0x >时，()f x 单调递减．故()f x 的单调递增区间为(,0)-∞，单调递减区间为(0,)+∞． 当0x >时，()(0)0f x f <=，即1e x x +<．令1x n=，得111e n n +<，即1(1)e n n +<．(*)(2)11111(1)1121b a =⋅+=+=；22212121212122(1)(21)32b b b b a a a a =⋅=⋅+=+=； 2333123312123123133(1)(31)43b b b b b b a a a a a a =⋅=⋅+=+=． 由此推测：1212(1)n nnb b b n a a a =+．(**) 下面用数学归纳法证明②．①当1n =时，左边=右边2=，(**)成立． ②假设当n k =时，(**)成立，即1212(1)k kkb b b k a a a =+． 当1n k =+时，1111(1)(1)1k k k b k a k +++=+++，由归纳假设可得 111211211211211(1)(1)(1)(2)1k k k k k k k k k k k b b b b b b b b k k k a a a a a a a a k ++++++=⋅=+++=++． 所以当1n k =+时，(**)也成立．根据①②，可知(**)对一切正整数n 都成立．(3)由n c 的定义，(**)，算术-几何平均不等式，n b 的定义及(*)得 123n n T c c c c =++++=111131211212312()()()()nn a a a a a a a a a ++++111131212312112()()()()2341nn b b b b b b b b b n =+++++12312112122334(1)nb b b b b b b b b n n ++++++≤++++⨯⨯⨯+121111111[][]1223(1)2334(1)(1)n b b b n n n n n n =+++++++++⋅⨯⨯+⨯⨯++1211111(1)()()1211n b b b n n n n =-+-++-+++1212n b b b n <+++1212111(1)(1)(1)12n n a a a n=++++++12e e e n a a a <+++=e n S ，即e n n T S <．36．【解析】(1)()613f =．(2)当6n ≥时，()2,623112,612322,622312,632312,6423122,6523n n n n t n n n n t n n n n t f n n n n n t n n n n t n n n n t ⎧⎛⎫+++= ⎪⎪⎝⎭⎪⎪--⎛⎫+++=+⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪-⎛⎫+++=+⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨-⎛⎫⎪+++=+ ⎪⎪⎝⎭⎪-⎛⎫⎪+++=+ ⎪⎪⎝⎭⎪--⎛⎫⎪+++=+ ⎪⎪⎝⎭⎩（t *∈N ）．下面用数学归纳法证明： ①当6n =时，()666621323f =+++=，结论成立； ②假设n k =（6k ≥）时结论成立，那么1n k =+时，1k S +在k S 的基础上新增加的元素在()1,1k +，()2,1k +，()3,1k +中产生，分以下情形讨论： 1）若16k t +=，则()615k t =-+，此时有()()12132323k k f k f k k --+=+=++++ ()111223k k k ++=++++，结论成立； 2）若161k t +=+，则6k t =，此时有()()112123k kf k f k k +=+=++++ ()()()11111223k k k +-+-=++++，结论成立；3）若162k t +=+，则61k t =+，此时有()()11122223k k f k f k k --+=+=++++ ()()1211223k k k +-+=++++，结论成立； 4）若163k t +=+，则62k t =+，此时有()()2122223k k f k f k k -+=+=++++()()1111223k k k +-+=++++，结论成立；5）若164k t +=+，则63k t =+，此时有()()1122223k kf k f k k -+=+=++++ ()()1111223k k k +-+=++++，结论成立； 6）若165k t +=+，则64k t =+，此时有()()1112123k k f k f k k -+=+=++++ ()()()11121223k k k +-+-=++++，结论成立．综上所述，结论对满足6n ≥的自然数n 均成立． 37．【解析】(1)当2q =，3n =时，{}0,1M =，{}12324,,1,2,3i A x x x x x M x i==+?+.可得，{}0,1,2,3,4,5,6,7A =.(2)由,s t A Î，112n n s a a q a q -=+++，112n n t b b q b q -=+++，,i i a b M Î，1,2,,i n =及n n a b <，可得()()()()11222111n n n n n n a b q a b q s t a b a b q -----=-+-++-+-()()()21111n n q q q q q q --?+-++--()()11111n n q q q q----=--10=-<.所以，s t <.38．【证明】(1)若0=c ，则n n S b n =，*N n ∈，又由题(1)2n n n d S na -=+， 12n n S n b a d n -∴==+，112n n b b d +∴-=，{}n b ∴是等差数列，首项为a ，公差为2d，)0(≠d ，又421b b b ，，成等比数列，2214b b b ∴=，23()()22d da a a ∴+=+，23()42d d ad a ∴+=，0d ≠，2d a ∴=，2n S n a ∴=，222222(),nk k S nk a n k a n S n k a ∴===，2nk k S n S ∴=（*,N n k ∈）． (2)由题c n nS b n n +=2，*N n ∈，22[2(1)]2()n n a n d b n c +-=+，若}{n b 是等差数列，则可设n b x yn =+，,x y 是常数，22[2(1)]2()n a n d x yn n c +-=++关于*N n ∈恒成立．整理得：32(2)(22)220d y n a d x n cyn cx -+----=关于*N n ∈恒成立．20,220,20,20d y a d x cy cx ∴-=--===，20,22,0,0d y a x d cy cx ∴=≠-===0c ∴=．。

专题十三推理与证明第三十八讲推理与证明答案部分1．B【解析】解法一因为ln x ≤x -1 (x > 0 ) 所以a1 + a2 + a3 + a4 = ln(a1 + a2 + a3 )≤a1 + a2+ a3-1 所以a4≤-1 又a1> 1 所以等比数列的公比q < 0 ．若q ≤-1则a + a+a + a=a(1+q)(1+q2）≤01 2 3 4 1而a1 + a2 + a3 ≥a1 > 1 所以ln(a1 + a2 + a3 ) > 0与ln(a1 + a2 + a3 ) = a1 + a2 + a3 + a4 ≤0 矛盾所以-1 < q < 0 所以a - a= a (1- q2 ) > 0 a - a= a q(1- q2 ) < 01 3 12 4 1所以a1 > a3a2 < a4故选B．解法二因为e x ≥x +1 a + a+a + a= ln(a + a +a )1 2 3 4 1 2 3所以e a1 +a2 +a3 +a4= a1 + a2 + a3 ≥ a1 + a2 + a3 + a4 +1 则a4 ≤-1又a1 > 1 所以等比数列的公比q < 0 ．若q ≤-1则a + a+a + a=a(1+q)(1+q2）≤01 2 3 4 1而a1 + a2 + a3 ≥a1 > 1 所以ln(a1 + a2 + a3 ) > 0与ln(a1 + a2 + a3 ) = a1 + a2 + a3 + a4 ≤0 矛盾所以-1 < q < 0 所以a - a= a (1- q2 ) > 0 a - a= a q(1- q2 ) < 01 3 12 4 1所以a1 > a3a2 < a4故选B．2．D【解析】解法一点(2,1) 在直线x - y = 1上ax + y = 4 表示过定点(0, 4) 斜率为-a 的直线当a ≠ 0 时x - ay = 2 表示过定点(2, 0)1斜率为的直线不等式ax - ay ≤2 表示的区域包含原点不等式ax + y > 4 表示的区域不包含原点．直线ax + y = 4 与直线x - ay = 2 互相垂直显然当直线ax + y = 4 的斜率-a > 0 时不等E RO F GQP式 ax + y > 4 表示的区域不包含点 (2,1) 故排除 A ；点 (2,1) 与点 (0, 4) 连线的斜率为- 3 当 -a < -3 2 2即 a > 3 时 ax + y > 4 表示的区域包含点 (2,1) 2 此时 x - ay < 2 表示的区域也包含点 (2,1) 故排除B ；当直线 ax + y = 4 的斜率 -a = - 3 2 即 a = 32时ax + y > 4 表示的区域不包含点 (2,1)故排除 C 故选 D ．解 法 二 若 (2,1) ∈ A⎧2a +1 > 4 则 ⎨⎩2 - a ≤ 2 解 得 a > 3 2所 以 当 且 仅 当 a ≤ 3时 2(2,1) ∉ A ．故选 D ．3．D 【解析】由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好 则甲、丁一人优秀一人良好 乙看到丙的结果则知道自己的结果丁看到甲的结果则知道自己的结果故选 D ． 4． B 【 解析】 设 O 为三角形 ABC 中心 底面如图 2过 O 作 OE ⊥ RP OF ⊥ PQOG ⊥ RQ由题意可知 tan =DOOEtan = OD OF tan = ODOGDACB图 1图 2由图 2 所示以 P 为原点建立直角坐标系不妨设 AB = 2则 A (-1, 0)B (1, 0)C (0,) O (0, 3 ) ∵ AP = PB BQ = CR = 2 ∴ Q (1 , 2 3 ) R (- 2 , 3) 3 则直线 RP 的方程为 y = -y =QC RA3x 直线 PQ 的方程为 y = 2 23 3 3 3x 直线 RQ 的方程为y CQG R O FAEBxP3 3 3 x + 5 3 根据点到直线的距离公式 知 OE = 2 21 OF = 39 OG = 1 3 9 21 39 3∴OF <OG <OE tan< tan< tan因为为锐角所以<<．选B5．B【解析】由数据可知进入立定跳远决赛的8 人为1~8 号所以进入30 秒跳绳决赛的6 人从1~8 号里产生．数据排序后可知3 号 6 号7 号必定进入30 秒跳绳决赛则得分为63a6063 a - l 的5 人中有3 人进入30 秒跳绳决赛．若1 号 5 号学生未进入30 秒跳绳决赛则4 号学生就会进入决赛与事实矛盾所以l 号 5 号学生必进入30 秒跳绳决赛故选B．6．A 【解析】当s = 4 时p q r 都是取0 1 2 3 中的一个有4 ⨯ 4 ⨯ 4 = 64 种当s = 3 时p q r 都是取0 1 2 中的一个有3⨯ 3⨯ 3= 27 种当s = 2 时pq r 都是取0 1中的一个有2 ⨯ 2 ⨯ 2 = 8 种当s = 1 时p q r 都取0 有1 种所以card (E) = 64 + 27 + 8 +1 = 100当t = 0 时u 取1 2 3 4 中的一个有4 种当t = 1时u取2 3 4 中的一个有3 种当t = 2 时u 取3 4 中的一个有2 种当t = 3 时u 取4有1种所以t 、u 的取值有1+ 2 + 3 + 4 = 10 种同理v 、w 的取值也有10 种所以card (F) = 10 ⨯10 = 100所以card (E) + card (F) = 100 +100 = 200故选D．7．B【解析】学生甲比学生乙成绩好即学生甲两门成绩中一门高过学生乙另一门不低于学生乙一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好并且没有相同的成绩则存在的情况是最多有3 人其中一个语文最好数学最差；另一个语文最差数学最好；第三个人成绩均为中等．故选B．8．A【解析】“至少有一个实根”的反面为“没有实根”故选A．9．D【解析】∵55 = 3125 , 56 = 15 625 , 57 = 78125 , 58 = 390 625 59 = 1953125 510 = 9 765 625 , ⋅⋅⋅ ,∴5n ( n ∈ Z ,且n ≥5 )的末四位数字呈周期性变化且最小正周期为4,记5n ( n ∈ Z ,且n ≥5 )的末四位数字为f (n) ,则f (2011) = f (501⨯ 4 + 7) = f (7) ∴52011 与57 的末位数字相同均为8 125 选D．10．D【解析】由给出的例子可以归纳推理得出：若函数f (x) 是偶函数则它的导函数是nx i 1236奇函数 因为定义在 R 上的函数 f (x ) 满足 f (-x ) = f (x )即函数 f (x ) 是偶函数所以它的导函数是奇函数即有 g (-x ) = -g (x ) 故选D ． 11．27【解析】所有的正奇数和 2n ( n ∈ N * )按照从小到大的顺序排列构成{a } 在数列{a n } 中 25前 面 有 16 个 正 奇 数 即 a 21 = 2a 38 = 2 ． 当n = 1 时S 1 = 1 < 12a 2 = 24不符合题意；当 n = 2 时S 2 = 3 < 12a 3 = 36 不符合题意；当n = 3 时 S 3 = 6 < 12a 4 = 48不符合题意；当n = 4 时 S 4= 10 < 12a 5 = 60 不符合 题 意 ； … … ； 当 n = 26 时 21⨯(1+ 41) 2 ⨯(1- 25 ) S 26 = + 2 1- 2= 441 +62= 503<12a 27 = 516不 符 合 题 意 ； 当n = 27 时 22 ⨯(1+ 43) 2 ⨯(1- 25 ) S 27 = + 2 1- 2=484+62=546>12a 28 =540 符合题意．故使得 S n > 12a n +1 成立的 n 的最小值为 27．12． Q 1 p 2 【解析】设线段 A i B i 的中点为 C i (x i , y i ) 则 Q i = 2 y i 其中 i = 1, 2, 3①由题意只需比较线段 A i B i 中点的纵坐标的大小即可 作图可得 A 1B 1 中点纵坐标比A 2B 2 , A 3 B 3 的中点纵坐标大 所以第一位选 Q 1 ．②由题意 p =y ii只需比较三条线段 OC 1 OC 2 OC 3 斜率的大小 分别作 B 1 , B 2 , B 3关于原点的对称点 B ', B ', B ' 比较直线 A B ', A B ', A B ' 斜率 可得 A B ' 最大 所1 12 23 32 2以选 p 2 .13．1 和 3【解析】为方便说明不妨将分别写有 1 和 2 1 和 3 2 和 3 的卡片记为 A BC 从丙出发由于丙的卡片上的数字之和不是 5则丙只可能是卡片 A 或 B 无论是哪 一张 均含有数字 1再由乙与丙的卡片上相同的数字不是 1 可知乙所拿的卡片必然 是 C 最后由甲与乙的卡片上相同的数字不是 2知甲所拿的卡片为 B 此时丙所拿的 卡片为 A ．414．【解析】根据已知归纳可得结果为 n (n+1)． 31 1 111 11 115．1- + - + ⋅⋅⋅ +- = + + ⋅⋅⋅ + ． 2 3 42n -1 2n n +1 n + 2 2n52 2 2 n 【解析】观察等式知：第 n 个等式的左边有 2n 个数相加减奇数项为正 偶数项为负 且分子为 1 分母是 1 到 2n 的连续正整数 等式的右边是1+ 1 + ⋅⋅⋅ + 1．16． 4n - 1【解析】 具体证明过程可以是：n +1 n + 2 2n12n -11(2 0 2 1 2 2 2 n -1 ) C 2n -1 + C 2n -1 + C 2n -1 + + C 2n -1 = 2 C 2n -1 + C 2n -1 + C 2n -1 + + C 2n -11 [( 0 2n -1 ) ( 1 2n -2 ) ( 2 2n -3 ) ( n -1n )] = C 2n -1 + C 2n -1 2 + C 2n -1 + C 2n -1 + C 2n -1 + C 2n -1 + + C 2n -1 + C 2n -11 ( 0 12 n -1 n 2n -1 ) 1 22n -1 4n -1 ．= C 2n -1 + C 2n -1 + C 2n -1 + + C 2n -1 + C 2n -1 + + C 2n -1 21= ⋅ = 2 17． 【解析】解法一 直接递推归纳；等腰直角三角形 ABC 中斜边 BC = 2 所以4AB = AC = a 1 = 2, AA 1 = a 2 = A 1 A 2 = a 3 = 1⋅⋅⋅A A = a = a ⨯(2)6 = 1 ． 5 6712 4解法二 求通项：等腰直角三角形 ABC 中斜边 BC = 2所以 AB = AC = a 1 = 2, AA 1 = a 2 = ⋅⋅⋅A A = a = s in ⋅ a = n -1 n n +1 4 n a n = 2 ⨯( 26 1 ) 故 a7 = 2 ⨯( ) =2 2 418．6【解析】因为①正确②也正确所以只有①正确是不可能的；若只有②正确①③④都不正确则符合条件的有序数组为 (2, 3,1, 4) (3, 2,1, 4) ；若只有③正确①②④都不正确则符合条件的有序数组为 (3,1, 2, 4) ；若只有④正确①②③都不正确则符合条件的有序数组为 (2,1, 4, 3) (3,1, 4, 2) (4,1, 3, 2) ．综上符合条件的有序数组的个数是 6． 19．42【解析】先由徒弟粗加一工原料 B6 天后师傅开始精加工原料 B徒弟同时开始粗加工原料 A 再 9 天后（15 天后）徒弟粗加工原料 A 完成此时师傅还在精加工原料 B27 天后师傅精加工原料 B 完成然后接着精加工原料 A再15 天后师傅精加工原料 A 完成整个工作完成一共需要 6 +21+15= 42 个工作日．xx20． 【解析】由 f (x ) =得 f (x ) = f (x) = x1+ 2014x 1 1+ x 2 x 1+ x 1+ 2xx可得 f 3 (x ) =f ( f 2 (x )) = 1+ 3x 故可归纳得 f 2014 (x ) = ． 1+ 2014x2 2 2 221． F + V - E = 2 【解析】三棱柱中 5 +6-9 =2；五棱锥中 6+6 -10 =2；立方体中 6+8 -12=2由此归纳可得 F + V - E = 2 ．n (n +1) *22．12－22+32－42+…+（－1）n +1n 2=（－1）n +1·（n ∈ N ）2【解析】观察上式等号左边的规律发现 左边的项数一次加 1故第 n 个等式左边有 n项每项所含的底数的绝对值也增加 1一次为 123… n 指数都是 2符号成正负交替出现可以用 (-1)n +1表示 等式的右边数的绝对值是左边项的底数的和 故等式的 右 边 可 以 表 示 为 (-1)n·n (n +1)2所 以 第 n 个 式 子 可 为 12－ 22+32－ 42+… +(-1)n +1 n 2 =（－1）n+1· n (n +1)（ n ∈ N * ）．223．1000【解析】观察 n 2和 n 前面的系数 可知一个成递增的等差数列另一个成递减的等差数列 故 N (n , 24) = 11n 2 - 10n ∴ N (10, 24) = 100024．1 + 1 + 1 + 22 32 1 + 1 + 42 521 < 11 62 6【解析】观察不等式的左边发现 第 n 个不等式的左 111 边 =1+++ ⋅⋅⋅ +右 边 = 2(n + 1) - 1所 以 第 五 个 不 等 式 为 2232(n +1)2n + 11 + 122+ 1 + 1 32 42 + 1 + 1 52 62 < 11 ．625．（1）6；（2） 3⨯ 2n -4+11【解析】（1）当 N =16 时P 0 = x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 16可设为 (1, 2, 3, 4, 5, 6, ,16)P 1 = x 1 x 3 x 5 x 7 x 15 x 2 x 4 x 6 x 16即为 (1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6,8, ,16)P 2 = x 1 x 5 x 9 x 13 x 3 x 7 x 11 x 15 x 2 x 6 x 16即 (1, 5, 9,13, 3, 7,11,15, 2, 6, ,16)x 7 位于 P 2 中的第 6 个位置；（2）在 P 1 中 x 173 位于两段中第一段的第 87 个位置 位于奇数位置上 此时在 P 2 中 x 173位于四段中第一段的第 44 个位置上 再作变换得 P 3 时 x 173 位于八段中第二段的第 22个位置上 再作变换时 x 173 位于十六段中的第四段的第 11 个位置上．也就是位于 P 4中的第 3⨯ 2n -4+11个位置上．可得 T = 26． n + (n +1) + + (3n - 2) = (2n -1)2【解析】把已知等式与行数对应起来 则每一个等式的左边的式子的第一个数是行数 n 加数的个数是 2n -1；等式右边都是完全平 方数行数等号左边的项数1=11 12+3+4=92 33+4+5+6+7=25354+5+6+7+8+9+10=49 47………………所以 n + (n +1) + +[n + (2n -1) -1] = (2n -1)2即 n + (n +1) + + (3n - 2) = (2n -1)2⎧0,当n 为偶数时 ⎪ 27． ⎨ 1 1【解析】根据合情推理利用归纳和类比进行简单的推理 ⎪⎩ 2n- ，当n 为奇数时 3n⎧0,当n 为偶数时 ⎪ n ⎨ 1 1． ⎪⎩ 2n- ，当n 为奇数时 3n28．962【解析】观察等式可知 cos的最高次的系数 2,8,32,128 构成了公比为 4 的等比数列故 m = 128⨯ 4 = 512 ．取= 0则 cos = 1cos10= 1 代入等式⑤得1 = 512 -1280 +1120 + n + p -1即 n + p = -350 ①取= 3 则 c os = 1 2 cos10= - 1 2代入等式⑤得- 1 = 512 ⨯( 1 )10 -1280 ⨯( 1 )8 +1120 ⨯( 1 )6 + n ⨯( 1 )4 + p ⨯( 1)2 -1 2 2 2 2 2 2即 n + 4 p = -200②联立①②得 n = -400, p = 50 所以 m - n + p = 512 - (-400) + 50 = 962 ．29．【解析】(1)因为= (1,1, 0)= (0,1,1) 所以M (,) = 1[(1+1- |1-1|) + (1+1- |1-1|) + (0 + 0)- | 0 - 0 |)] = 2 2M (,) = 1[(1+ 0- |1- 0 |) + (1+1- |1-1|) + (0 +1- | 0 -1|)] = 1．2(2)设= (x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ B 则M (,)= x1 + x2 + x3 + x4 ．由题意知x1x2 x3x4∈{0 1} 且M (,)为奇数所以x1x2 x3x4中1 的个数为1 或3．所以B ⊆ {(1000)(0100)(0010)(0001)(0111)(10 11)(1101)(1110)}．将上述集合中的元素分成如下四组：(1000)(1110)；(0100)(1101)；(0010)(1011)；(0 001)(0111)．经验证对于每组中两个元素均有M (,)= 1．所以每组中的两个元素不可能同时是集合B 的元素．所以集合B 中元素的个数不超过4．又集合{(1000)(0100)(0010)(0001)}满足条件所以集合B 中元素个数的最大值为4．(3)设S k = {(x1 , x2 ,⋅⋅⋅, x n ) | (x1 , x2 ,⋅⋅⋅, x n ) ∈ A, x k = 1, x1 = x2 = ⋅⋅⋅ = x k -1 = 0}(k = 1, 2,⋅⋅⋅, n)Sn+1 = {(x1, x2,⋅⋅⋅, xn) | x1= x2= ⋅⋅⋅ = xn= 0}则A = S1 S2 ⋅⋅⋅ S n+1 ．对于S k （k = 1, 2,⋅⋅⋅, n-1）中的不同元素经验证M (,)≥1．所以S k （k = 1, 2,⋅⋅⋅, n -1）中的两个元素不可能同时是集合B 的元素．所以B 中元素的个数不超过n +1．取e k = (x1 , x2 ,⋅⋅⋅, x n ) ∈ S k 且x k +1 = ⋅⋅⋅ = x n = 0 （k = 1, 2,⋅⋅⋅, n -1）．令B = (e1 , e2 ,⋅⋅⋅, e n-1 ) S n S n+1则集合B 的元素个数为n +1 且满足条件．故B 是一个满足条件且元素个数最多的集合．30．【解析】(1)记(abc)为排列abc的逆序数对12 3 的所有排列有(123)=0 ，(132)=1，(213)=1，(231)=2 ，(312)=2 ，(321)=3所以 f 3 (0) = 1，f 3 (1) = f 3 (2) = 2 ．对 123 4 的排列利用已有的 12 3 的排列将数字 4 添加进去 4 在新排列中的 位置只能是最后三个位置．因此 f 4 (2) = f 3 (2) + f 3 (1) + f 3 (0) = 5 ．(2)对一般的 n (n ≥ 4) 的情形 逆序数为 0 的排列只有一个： 12 ⋅⋅⋅ n 所以 f n (0) = 1．逆序数为 1 的排列只能是将排列12 ⋅⋅⋅ n 中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列所以 f n (1) = n - 1 ．为计算 f n +1 (2)当 12…n 的排列及其逆序数确定后将 n +1添加进原排列n +1在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此 f n +1 (2) = f n (2) + f n (1) + f n (0) = f n (2) + n ．当 n ≥ 5 时f n (2) = [ f n (2) - f n -1 (2)] + [ f n -1 (2) - f n -2 (2)] +… n 2 - n - 2+ [ f 5 (2) - f 4 (2)] + f 4 (2) = (n - 1) + (n - 2) +⋯+ 4 + f 4 (2) =2 n 2- n - 2因此n ≥ 5 时 f n (2) =．231．【解析】证明:（1）因为{a n }是等差数列 设其公差为 d 则a n = a 1 + (n -1)d从而当 n ≥ 4 时 a n -k + a n +k = a 1 + (n - k -1)d + a 1 + (n + k -1)d= 2a 1 + 2(n -1)d = 2a nk = 1, 2, 3,所以a n -3 + a n -2 +a n -1+a n +1 + a n +2 +a n +3 = 6a n 因此等差数列{a n }是“P (3) 数列”. （2）数列{a n }既是“P (2) 数列” 又是“ P (3) 数列” 因此当 n ≥ 3 时 a n -2 + a n -1 + a n +1 + a n +2 = 4a n ①当 n ≥ 4 时 a n -3 + a n -2 + a n -1 + a n +1 + a n +2 + a n +3 = 6a n .②由①知 a n -3 + a n -2 = 4a n -1 - (a n + a n +1 ) ③a n +2 + a n +3 = 4a n +1 - (a n -1 + a n ) ④将③④代入② 得 a n -1 + a n +1 = 2a n其中 n ≥ 4所以 a 3 , a 4 , a 5 , 是等差数列 设其公差为 d' .在①中取 n = 4 则 a 2 + a 3 + a 5 + a 6 = 4a 4 所以a 2 = a 3 - d'在①中取 n = 3 则 a 1 + a 2 + a 4 + a 5 = 4a 3 所以 a 1 = a 2 - 2d'所以数列{a n } 是等差数列.32．【解析】（Ⅰ）易知a 1 = 1 a 2 = 2 a 3 = 3 且b 1 = 1 b 2 = 3 b 3 = 5所以c 1 = b 1 - a 1 = 1-1 = 0,c 2 = max{b 1 - 2a 1 , b 2 - 2a 2} = max{1- 2 ⨯1, 3 - 2 ⨯ 2} = -1c 3 = max{b 1 - 3a 1 , b 2 - 3a 2 , b 3 - 3a 3} = max{1- 3⨯1, 3 - 3⨯ 2, 5 - 3⨯ 3} = -2 ．下面证明：对任意 n ∈ N * 且n ≥ 2 都有 c n = b 1 - a 1 ⋅ n ．当 k ∈ N * 且2 ≤ k ≤ n 时(b k - a k ⋅ n ) - (b 1 - a 1 ⋅ n )= [(2k -1) - nk ] -1+ n= (2k - 2) - n (k -1)= (k -1)(2 - n )∵ k -1 > 0 且 2 - n ≤ 0∴(b k - a k ⋅ n ) - (b 1 - a 1 ⋅ n ) ≤ 0 ⇒ (b 1 - a 1 ⋅ n ) ≥ (b k - a k ⋅ n ) ．因此对任意 n ∈ N * 且 n ≥ 2 c n = b 1 - a 1 ⋅ n = 1- n 则 c n +1 - c n = -1 ．又∵c 2 - c 1 = -1故 c n +1 - c n = -1 对 n ∈ N * 均成立 从而{c n }是等差数列i i 1 1 a b（Ⅱ）设数列{a n } 和{b n } 的公差分别为 d a , d b 下面我们考虑 c n 的取值．对 b 1 - a 1 ⋅ n b 2 - a 2 ⋅ n b n - a n ⋅ n考虑其中任意项 b i - a i ⋅ n (i ∈ N且1≤ i ≤ n )b i - a i ⋅ n = [b 1 + (i -1)d b ] -[a 1 + (i -1)d a ]⋅ n= (b 1 - a 1 ⋅ n ) + (i -1)(d b - d a ⋅ n )下面分 d a = 0 d a > 0 d a < 0 三种情况进行讨论．（1）若 d a = 0 则 b i - a i ⋅ n = (b 1 - a 1 ⋅ n ) + (i -1)d b①若 d b ≤ 0 则 (b i - a i ⋅ n ) - (b 1 - a 1 ⋅ n ) = (i -1)d b ≤ 0则对于给定的正整数 n 而言 c n = b 1 - a 1 ⋅ n此时 c n +1 - c n = -a 1 故{c n }是等差数列② d b > 0 则 (b i - a i ⋅ n ) - (b n - a n ⋅ n ) = (i - n )d b ≤ 0则对于给定的正整数 n 而言 c n = b n - a n ⋅ n = b n - a 1 ⋅ n此时 c n +1 - c n = d b - a 1 故{c n }是等差数列此时取 m = 1 则 c 1 , c 2 , c 3 ,⋅⋅⋅是等差数列 命题成立．（2）若 d a > 0 则此时 -d a ⋅ n + d b 为一个关于 n 的一次项系数为负数的一次函数．故必存在 m ∈ N*使得当 n ≥ m 时 -d a ⋅ n + d b < 0则当 n ≥ m 时(b - a ⋅ n ) - (b - a ⋅ n ) = (i -1)(-d ⋅ n + d ) ≤ 0 (i ∈ N *,1≤ i ≤ n )因此当 n ≥ m 时 c n = b 1 - a 1 ⋅ n ．此时 c n +1 - c n = -a 1 故{c n }从第 m 项开始为等差数列 命题成立．（3） d a < 0 则此时 -d a ⋅ n + d b 为一个关于 n 的一次项系数为正数的一次函数．故必存在 s ∈ N*使得当 n ≥ s 时 -d a ⋅ n + d b > 0则当 n ≥ s 时*i i n n ab 1 n n (b - a ⋅ n ) - (b - a ⋅ n ) = (i - n )(-d ⋅ n + d ) ≤ 0 (i ∈ N * ,1≤ i ≤ n )因此当 n ≥ s 时 c n = b n - a n ⋅ n ．c 此时n = b n - a n ⋅ n = -a + b n = -d ⋅ n + d - a + d + b 1 - d bnnnna( a1 b)n令 -d a = A > 0 d a - a 1 + d b = B b 1 - d b = Cc下 面 证 明 n = An + B + C对任 意 正 数 M 存 在 正 整 数 m 使 得 当 n ≥ m 时 c n> M ． n①若 C ≥ 0n n则取 m = [| M - B |] +1（[x ] 表示不等于 x 的最大整数） A当 n ≥ m 时c n ≥ An + B ≥ Am + B = A ([| M - B |] +1) + B > A ⋅ M - B+ B = M nA A此时命题成立．若 C < 0 则取m = [| M - C - B |] +1A当 n ≥ m 时c n≥ An + B + C ≥ Am + B + C = A ([| M - C - B |] +1) + B + CnA≥ M - C - B + B + C = M此时命题成立． 因此对任意正数 M使得当 n ≥ m 时cn > M ． n综合以上三种情况命题得证．n -1 *33．【解析】(1)由已知得 a n = a ⋅3 , n ∈ N .于是当 T = {2, 4} 时 S r = a 2 + a 4 = 3a 1 + 27a 1 = 30a 1 .又 S r = 30 故 30a 1 = 30 即 a 1 = 1.所以数列{a }的通项公式为 a = 3n -1, n ∈ N * .n -1*(2)因为 T ⊆ {1, 2, , k } a n = 3 > 0, n ∈ N所以 S ≤ a + a + + a = 1+ 3 + + 3k -1 = 1 (3k -1) < 3k.r12k2因此 S r < a k +1 .l F E k +1 (3)下面分三种情况证明.①若 D 是 C 的子集 则 S C + S C D = S C + S D ≥ S D + S D = 2S D .②若 C 是 D 的子集 则 S C + S C D = S C + S C = 2S C ≥ 2S D .③若 D 不是 C 的子集且 C 不是 D 的子集.令 E = C C U D F = D C U C 则 E ≠ F ≠ E F = .于是 S C = S E + S C DS D = S F + S C D 进而由S C ≥ S D 得 S E ≥ S F .设 k 是 E 中的最大数l 为 F 中的最大数则 k ≥ 1, l ≥ 1, k ≠ l .由（2）知 S E < a k +1 于是 3l -1 = a ≤ S ≤ S < a = 3k 所以l -1 < k 即 l ≤ k .又 k ≠ l 故 l ≤ k -13l -1 3k -1 -1 a -1 S -1从而 S ≤ a + a + + a = 1+ 3 + + 3l -1= ≤ = k ≤ EF12l22 2 2故 S E ≥ 2S F +1 所以 S C - S C D ≥ 2(S D - S C D ) +1 即 S C + S C D ≥ 2S D +1.综合①②③得 S C + S C D ≥ 2S D .1- (-x )41- x 434．【解析】(1)因为1- x + x 2 - x 3= =1- (-x ) 1+ x由于 x ∈[0,1] 1- x 4有1+ x ≤1 1+ x 即1- x + x2 - x 3≤1 1+ x所以 f (x ) ≥1- x + x 2.(2)由 0 ≤ x ≤1得 x 3≤ x311 3 3 ( x -1)(2x +1) 3 3 故 f (x ) = x +≤ x + - + = + ≤1+ x所以 f (x ) ≤ 3.21+ x2 2 2 ( x +1) 2 2 由(1)得 f (x ) ≥1- x + x 2= (x - 1 )2 + 3 ≥ 32 4 4又因为 f ( 1 ) = 19 > 32 24 4 所以 f (x ) > 3 4 综上 3 < f (x ) ≤ 3 ．4 2) 35．【解析】(1) f (x ) 的定义域为 (-∞, +∞) f '(x ) = 1 - e x ．当 f '(x ) > 0 当 f '(x ) < 0 即x < 0 时 即x > 0 时 f (x ) 单调递增； f (x ) 单调递减． 故 f (x ) 的单调递增区间为 (-∞, 0) 单调递减区间为 (0, +∞) ．当 x > 0 时 f (x ) < f (0) = 0 即1 + x < e x ．1 1 1令 x = 1 n 得1 + < e n n 即 (1 + )n < e ．(*)n (2)b 1= 1⋅ (1 + 1 1 = 1 + 1 = 2 ； b 1b 2 = b 1 ⋅ b 2 = 2 ⋅ 2(1 + 1 )2 = (2 + 1)2 = 32 ； a 1 1 a 1a 2 a 1 a 2 2 b 1b 2b 3 = b 1b 2 ⋅ b 3 = 32 ⋅ 3(1 + 1)3 = (3 + 1)3 = 43 ． a 1a 2 a 3 a 1a 2 a 3 3 由此推测： b 1b 2 b n a 1a 2 a n = (n + 1)n ．(**)下面用数学归纳法证明②．①当 n = 1 时左边 = 右边 = 2 (**)成立．②假设当 n = k 时 (**)成立 即 b 1b 2 b k a 1a 2 a k = (k + 1)k ．当 n = k + 1 时b= (k + 1)(1 + 1 )k +1 a由归纳假设可得 k +1 k + 1k +1b 1b 2 b k b k +1 =b 1b 2 b k ⋅ b k +1 = (k + 1)k (k + 1)(1 + 1 )k +1 = (k + 2)k +1 ．a 1a 2 a k a k +1 a 1a 2 a k a k +1k + 1 所以当 n = k + 1 时(**)也成立． 根据①② 可知(**)对一切正整数 n 都成立． (3)由 c n 的定义 (**) 算术-几何平均不等式b n 的定义及(*)得1111T n = c 1 + c 2 + c 3 + + c n = (a 1 )1 + (a 1a 2 )2 + (a 1a 2 a 3 )3 + + (a 1a 2 a n )n (b 1 ) 11+(b 1b 2 ) + (b 1b 2b 3 ) 1 1 + + (b 1b 2 b n ) 12 3 = 2 3 4nn + 1 ≤ b 1 + b 1 + b 2 + b 1 + b 2 + b 3 + + b 1 + b 2 + + b n 1⨯ 2 2 ⨯ 3 3 ⨯ 4 n (n + 1)= b [ 1 + 1 + + 1 ] + b [ 1 + 1 + + 1 ] + + b ⋅ 1 1 1⨯ 2 2 ⨯ 3 n (n + 1) 2 2 ⨯ 3 3 ⨯ 4 n (n + 1) n n (n + 1)= b (1 -1) + b (1 - 1 ) + + b ( 1 - 1)1 n + 12 2 n + 1 nn n + 1 < b 1 + b 2 + + b n = (1 + 1 1 a + (1 + 1 )2 a + + (1 + 1 )n a1 2 n ) 1 2 n1 2 n2 3 ⎨ < e a 1 + e a 2 + + e a n = e S n36．【解析】(1) f (6) = 13 ．即 T n < e S n ．⎧n + 2 + ⎛ n + n ⎫, n = 6t⎪⎪ ⎪ ⎝ ⎭ ⎪ ⎛ n -1 n -1 ⎫ n + 2 + + , n = 6t +1⎪ 2 3 ⎪⎪⎝ ⎭ ⎪ ⎛ n n - 2 ⎫ ⎪n + 2 + + ⎪ , n = 6t + 2 (2)当 n ≥ 6 时 f (n ) = ⎪ ⎝ 2 3 ⎭（ t ∈ N * ）． ⎪n + 2 + ⎛ n -1 + n ⎫ , n = 6t + 3⎪ 2 3 ⎪ ⎝ ⎭⎪ ⎪n + 2 + ⎛ n + n -1 ⎫ , n = 6t + 4⎪ 2 3 ⎪⎝ ⎭ ⎪n + 2 + ⎛ n -1 + n - 2 ⎫ , n = 6t + 5⎪ 2 3 ⎪ ⎩ ⎝ ⎭下面用数学归纳法证明：①当 n = 6 时 f (6) = 6 + 2 + 6 + 6= 13 2 3结论成立；②假设 n = k （ k ≥ 6 ）时结论成立那么 n = k +1 时 S k +1 在S k 的基础上新增加的元素在 (1, k +1)(2, k +1) (3, k +1) 中产生 分以下情形讨论：1）若 k +1 = 6t 则k = 6 (t -1) + 5 此时有 f (k +1) = f (k ) + 3 = k + 2 +k -1 + k - 2+ 3 2 3= (k +1) + 2 + k +1 + k +1 2 3结论成立；2）若 k +1 = 6t +1 则 k = 6t 此时有 f (k +1) =f (k ) +1 = k + 2 + k + k+1 2 3 = (k +1) + 2 +(k +1) -1 + (k +1) -123结论成立；3）若 k +1 = 6t + 2 则 k = 6t +1 此时有f (k +1) =f (k ) + 2 = k + 2 + k -1 + k -1 + 2 2 3 = (k +1) + 2 + k +1 + (k +1) - 2 2 3结论成立；4）若 k +1 = 6t + 3 则 k = 6t + 2 此时有f (k +1) =f (k ) + 2 = k + 2 + k + k - 2+ 2 2 3= (k +1) + 2 + (k +1) -1 + k +1 2 3结论成立；5）若 k +1 = 6t + 4 则 k = 6t + 3 此时有f (k +1) =f (k ) + 2 = k + 2 + k -1 + k + 2 2 3 = (k +1) + 2 + k +1 + (k +1) -1 2 3结论成立；6）若 k +1 = 6t + 5 则 k = 6t + 4 此时有f (k +1) =f (k ) +1 = k + 2 + k + k -1 +1 2 3 = (k +1) + 2 +(k +1) -1 + (k +1) - 223结论成立．综上所述 结论对满足 n ≥ 6 的自然数n 均成立．37．【解析】(1)当 q = 2 n = 3 时 M = {0,1}A = {x x = x 1 + 2x 2 + 4x 3 , x i Î M ,i = 1, 2,3} .可得 A = {0,1, 2,3,4,5, 6, 7} .(2)由 s ,t Î A s = a 1 + a 2q + + a n q n - 1 t = b 1 + b 2q + + b n q n - 1 a i ,b i Î Mi = 1, 2, , n 及 a n < b n 可得s - t = (a 1 - b 1 )+ (a 2 - b 2 )q + + (a n - 1 - b n - 1 )q n - 2 + (a n - b n )q n- 1£ (q - 1)+ (q - 1)q + + (q - 1) q n - 2 -q n - 1(q - 1)(1- q n - 1) = - q n - 1 = - 1< 0 .1- q所以s < t .38．【证明】(1)若 c = 0 则b n = S n nn ∈ N * 又由题S n = na + n (n -1)d 2∴b n = S n n = a + n -1 d 2 ∴b n +1 - b n = 1 d 2d ∴{b n } 是等差数列 首项为 a 公差为 2 (d ≠ 0) 又 b 1， b 2， b 4 成等比数列22 d 2 3d d 3d ∴b 2= b 1b 4∴(a + ) = a (a + ) ∴ a d + = a ( ) d ≠ 0∴ d = 2a2 2 4 2nnk k= n S∴2 n∴ S = n2 a∴ S= (nk )2 a = n2 k 2 a, n2 S= n2 k 2 a Snk k（k,n∈N*）．(2)由题b n= nS nn 2 + c n ∈ N * bn2[2a + (n -1)d ]=2(n2 + c)若{b n}是等差数列则可设b n = x + yn x, y 是常数n2[2a + (n -1)d ]2(n2 + c)= x + yn 关于n ∈ N *恒成立．整理得：(d - 2y)n3 + (2a - d- 2x)n2 - 2cyn - 2cx = 0关于n ∈ N * 恒成立．∴ d- 2 y= 0, 2a - d - 2x = 0, 2cy = 0, 2cx = 0 ∴ d= 2 y≠ 0, 2a - 2x = d ,c y = 0, c x = 0∴c = 0 ．。

【最新】高考数学《推理与证明》专题解析一、选择题1．在等差数列{}n a 中，若0n a >，公差0d ≠，则有4637a a a a >.类比上述性质，在等比数列{}n b 中，若0n b >，公比1q ≠，则关于5b ，7b ，4b ，8b 的一个不等关系正确的是（ ） A ．5748b b b b > B ．7845b b b b > C ．5748b b b b +<+ D ．7845b b b b ++<【答案】C 【解析】 【分析】类比等差数列{}n a 与等比数列{}n b 各项均为正数，等差数列中的“和”运算类比到等比数列变为“积”运算，即可得到答案． 【详解】在等差数列{}n a 中，由4637+=+时，有4637a a a a >， 类比到等比数列{}n b 中，由5748+=+时，有4857b b b b +>+，因为4334857444444()(1)(1)b b b b b b q b q b q b q b q q +-+=+--=-+-32244(1)(1)(1)(1)0b q q b q q q =--=-++>，所以4857b b b b +>+成立． 故选：C 【点睛】本题主要考查类比推理，同时考查观察、分析、类比能力及推理论证能力，属于中档题．2．设十人各拿一只水桶，同到水龙头前打水，设水龙头注满第i (i ＝1，2，…，10)个人的水桶需T i 分钟，假设T i 各不相同，当水龙头只有一个可用时，应如何安排他(她)们的接水次序，使他(她)们的总的花费时间(包括等待时间和自己接水所花费的时间)最少( ) A ．从T i 中最大的开始，按由大到小的顺序排队 B ．从T i 中最小的开始，按由小到大的顺序排队C ．从靠近T i 平均数的一个开始，依次按取一个小的取一个大的的摆动顺序排队D ．任意顺序排队接水的总时间都不变 【答案】B 【解析】 【分析】表示出拎小桶者先接水时等候的时间，然后加上拎大桶者一共等候者用的时间，用（2m+2T+t ）减去二者的和就是节省的时间；由此可推广到一般结论 【详解】事实上，只要不按从小到大的顺序排队，就至少有紧挨着的两个人拎着大桶者排在拎小桶者之前，仍设大桶接满水需要T 分钟，小桶接满水需要t 分钟，并设拎大桶者开始接水时已等候了m 分钟，这样拎大桶者接满水一共等候了（m+T ）分钟，拎小桶者一共等候了（m+T+t ）分钟，两人一共等候了（2m+2T+t ）分钟，在其他人位置不变的前提下，让这两个人交还位置，即局部调整这两个人的位置，同样介意计算两个人接满水共等候了22m t T ++ 2m+2t+T 分钟，共节省了T t - T-t分钟，而其他人等候的时间未变，这说明只要存在有紧挨着的两个人是拎大桶者在拎小桶者之前都可以这样调整，从而使得总等候时间减少．这样经过一系列调整后，整个队伍都是从小打到排列，就打到最优状态，总的排队时间就最短． 故选B. 【点睛】一般的，对某些设计多个可变对象的数学问题，先对其少数对象进行调整，其他对象暂时保持不变，从而化难为易，取得问题的局部解决．经过若干次这种局部的调整，不断缩小范围，逐步逼近目标，最终使问题得到解决，这种数学思想就叫做局部调整法．3．已知数列{}n a 满足132n n a -=⨯，*n N ∈，现将该数列按下图规律排成蛇形数阵（第i行有i 个数，*i N ∈），从左至右第i 行第j 个数记为(),i j a （*,i j N ∈且j i ≤），则()21,20a =（ ）A ．20932⨯B ．21032⨯C ．21132⨯D ．21232⨯【答案】C 【解析】 【分析】由题可观察得到第i 行有i 个数,当i 为奇数时,该行由右至左i 逐渐增大,()21,20a 表示第21行第20个数,即为第21行倒数第2个数,则先求得前20行的数的个数,再加2即为()21,20a 对应的数列的项,即可求解. 【详解】由题可知,第i 行有i 个数,当i 为奇数时,该行由右至左i 逐渐增大,()21,20a 表示第21行第20个数,即为第21行倒数第2个数,则前20行共有()1+2020=2102⨯个数,即第21行倒数第1个数为211a,所以()21121221,2032a a ==⨯,故选:C 【点睛】本题考查合情推理,考查归纳总结能力,考查等差数列求和公式的应用.4．已知函数()f x 的导函数为()f x '，记()()1f x f x '=，()()21f x f x '=，…，()()1n n f x f x +'=(n ∈N *). 若()sin f x x x =，则()()20192021f x f x += （ ）A ．2cos x -B ．2sin x -C ．2cos xD ．2sin x【答案】D 【解析】 【分析】通过计算()()()()()12345,,,,f x f x f x f x f x ，可得()()()()4342414,,,k k k k f x f x f x f x ---，最后计算可得结果.【详解】由题可知：()sin f x x x =所以()()12sin cos ,2cos sin f x x x x f x x x x =+=-()()343sin cos ,4cos sin f x x x x f x x x x =--=-+ ()55sin cos ,f x x x x =+⋅⋅⋅所以猜想可知：()()4343sin cos k f x k x x x -=-+()()4242cos sin k f x k x x x -=-- ()()4141sin cos k f x k x x x -=--- ()44cos sin k f x k x x x =-+由201945051,202145063=⨯-=⨯- 所以()20192019sin cos f x x x x =--()20212021sin cos f x x x x =+所以()()201920212sin f x f x x += 故选：D 【点睛】本题考查导数的计算以及不完全归纳法的应用，选择题、填空题可以使用取特殊值，归纳猜想等方法的使用，属中档题.5．甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（ ）A ．丙被录用了B ．乙被录用了C ．甲被录用了D ．无法确定谁被录用了 【答案】C 【解析】 【分析】假设若甲被录用了，若乙被录用了，若丙被录用了，再逐一判断即可. 【详解】解：若甲被录用了，则甲的说法错误，乙，丙的说法正确，满足题意， 若乙被录用了，则甲、乙的说法错误，丙的说法正确，不符合题意， 若丙被录用了，则乙、丙的说法错误，甲的说法正确，不符合题意， 综上可得甲被录用了， 故选：C. 【点睛】本题考查了逻辑推理能力，属基础题.6．在《中华好诗词大学季》的决赛赛场上，由南京师范大学郦波老师、中南大学杨雨老师、著名历史学者纪连海和知名电视节目主持人赵忠祥四位大学士分别带领的四支大学生团队进行了角逐．将这四支大学生团队分别记作甲、乙、丙、丁，且比赛结果只有一支队伍获得冠军，现有小张、小王、小李、小赵四位同学对这四支参赛团队的获奖结果预测如下：小张说：“甲或乙团队获得冠军”；小王说：“丁团队获得冠军”；小李说“乙、丙两个团队均未获得冠军”；小赵说：“甲团队获得冠军”．若这四位同学中只有两位预测结果是对的，则获得冠军的团队是（ ） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】D 【解析】 【分析】对甲、乙、丙、丁分别获得冠军进行分类讨论，结合四人的说法进行推理，进而可得出结论. 【详解】若甲获得冠军，则小张、小李、小赵的预测都正确，与题意不符； 若乙获得冠军，则小王、小李、小赵的预测不正确，与题意不符； 若丙获得冠军，则四个人的预测都不正确，与题意不符；若丁获得冠军，则小王、小李的预测都正确，小张和小赵预测的都不正确，与题意相符． 故选：D ． 【点睛】本题考查合情推理，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.7．小正方形按照下图中的规律排列，每个图形中的小正方形的个数构成数列{}n a 有以下结论:①515a ；②{}n a 是一个等差数列；③数列{}n a 是一个等比数列；④数列{}n a的递堆公式11(),n n a a n n N *+=++∈其中正确的是（ ）A ．①②④B ．①③④C ．①②D ．①④【答案】D 【解析】由图形可得：a 1=1,a 2=1+2，… ∴()1122n n n a n +=++⋯+=.所以①a 5=15； 正确；②an −a n −1= n ,所以数列{a n }不是一个等差数列；故②错误； ③数列{an }不是一个等比数列；③错误； ④数列{a n }的递推关系是a n +1=a n +n +1(n ∈N ∗).正确； 本题选择D 选项.点睛： 数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．8．数学家托勒密从公元127年到151年在亚历山大城从事天文观测，在编制三角函数表过程中发现了很多重要的定理和结论，如图便是托勒密推导倍角公式“2212cos a sin a =-”所用的几何图形，已知点,B C 在以线段AC 为直径的圆上，D 为弧BC 的中点，点E 在线段AC 上且,AE AB =点F 为EC 的中点.设2,AC r =,DAC a ∠=那么下列结论:2,DC rcosa =① 22,AB rcos a =②()12,FC r cos a =-③()22DC r r AB =-④.其中正确的是（ ） A ．②③ B ．②④C ．①③④D ．②③④【答案】D 【解析】 【分析】在Rt ADC ∆中，可判断①，Rt ABC ∆中，可判断②，利用ADB ∆与ADE ∆全等及ADC ∆与DFC ∆相似即可判断③④. 【详解】在Rt ADC ∆中，2sin ,DC r a =故①不正确； 因为 ,BD DC =所以2,BAC a ∠=在Rt ABC ∆中，2cos2AB r a =，故②正确； 因为AE AB BD DC ==，，易知ADB ∆与ADE ∆全等，故DE BD DC DF EC ==⊥，，所以()1cos22ABFC r r a =-=-， 又CC ACD FC D =，所以()22DC AC FC r r AB =⋅=-，故③④正确， 由2sin 2cos2DC r a AB r a ==,，()22DC r r AB =-，可得()()22sin 22cos2r a r r r a =-，即22sin 1cos2a a =-.故选：D. 【点睛】本题考查推理与证明，考查学生在圆中利用三角形边长证明倍角公式的背景下，判断所需的边长是否正确，是一道中档题.9．现有甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，其中只有一位获奖. 有人走访了四人，甲说：“乙、丁都未获奖”，乙说：“是甲或丙获奖”，丙说：“是甲获奖”，丁说：“是乙获奖”，四人所说话中只有一位是真话，则获奖的人是( ) A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】B 【解析】 【分析】结合题意分类讨论甲乙丙丁获奖的情况，然后考查说真话的人的个数即可确定获奖的人. 【详解】结合题意分类讨论：若甲获奖，则说真话的人为：甲乙丙，说假话的人为：丁，不合题意； 若乙获奖，则说真话的人为：丁，说假话的人为：甲乙丙，符合题意； 若丙获奖，则说真话的人为：甲乙，说假话的人为：丙丁，不合题意； 若丁获奖，则说假话的人为：甲乙丙丁，不合题意； 综上可得，获奖人为乙.【点睛】本题主要考查数学推理的方法，分类讨论的数学思想，属于中等题.10．用数学归纳法证明 11151236n n n ++⋅⋅⋅+≥++时，从n k =到1n k =+，不等式左边需添加的项是（ ） A ．111313233k k k +++++ B ．112313233k k k +-+++ C ．11331k k -++ D ．133k + 【答案】B 【解析】分析：分析n k =，1n k =+时，左边起始项与终止项，比较差距，得结果. 详解：n k =时，左边为111123k k k++⋅⋅⋅+++, 1n k =+时，左边为111111233313233k k k k k k ++⋅⋅⋅++++++++++, 所以左边需添加的项是11111123132331313233k k k k k k k ++-=+-+++++++，选B. 点睛：研究n k =到1n k =+项的变化，实质是研究式子变化的规律，起始项与终止项是什么，中间项是如何变化的.11．甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，四人在成绩公布前作出如下预测： 甲预测说：获奖者在乙、丙、丁三人中； 乙预测说：我不会获奖，丙获奖 丙预测说：甲和丁中有一人获奖； 丁预测说：乙的猜测是对的成绩公布后表明，四人的猜测中有两人的预测与结果相符.另外两人的预测与结果不相符，已知有两人获奖，则获奖的是（） A ．甲和丁 B ．乙和丁 C ．乙和丙 D ．甲和丙 【答案】B 【解析】 【分析】从四人的描述语句中可以看出，乙、丁的表述要么同时与结果相符，要么同时与结果不符，再进行判断若乙、丁的预测成立，则甲、丙的预测不成立，推出矛盾．故乙、丙预测不成立时，推出获奖的是乙和丁 答案选B 【点睛】真假语句的判断需要结合实际情况，作出合理假设，才可进行有效论证12．某单位实行职工值夜班制度，己知A ，B ，C ，D ，E 5名职工每星期一到星期五都要值一次夜班，且没有两人同时值夜班，星期六和星期日不值夜班，若A 昨天值夜班，从今天起B ，C 至少连续4天不值夜班，D 星期四值夜班，则今天是星期几 A ．二 B ．三C ．四D ．五【答案】C 【解析】分析：A 昨天值夜班，D 周四值夜班，得到今天不是周一也不是周五，假设今天是周二，则周二与周三B ，C 至少有一人值夜班，与已知从今天起B ，C 至少连续4天不值夜班矛盾；若今天是周三，则周五与下周一B ，C 至少有一人值夜班，与已知从今天起B ，C 至少连续4天不值夜班矛盾；由此得到今天是周四．详解：∵A 昨天值夜班，D 周四值夜班，∴今天不是周一也不是周五，若今天是周二，则周一A 值夜班，周四D 值夜班，则周二与周三B ，C 至少有一人值夜班，与已知从今天起B ，C 至少连续4天不值夜班矛盾；若今天是周三，则A 周二值夜班，D 周四值夜班，则周五与下周一B ，C 至少有一人值夜班，与已知从今天起B ，C 至少连续4天不值夜班矛盾；若今天是周四，则周三A 值夜班，周四D 值夜班，周五E 值夜班，符合题意． 故今天是周四． 故选：C ．点睛：本题考查简单的推理，考查合情推理等基础知识，考查推理论证能力，属于中档题．13．设x ，y ，z ＞0，则三个数,,y y z z x xx z x y z y+++ （ ） A ．都大于2B ．至少有一个大于2C ．至少有一个不小于2D ．至少有一个不大于2【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】假设这三个数都小于2，则三个数之和小于6，又y x ＋y z ＋z x ＋z y ＋xz ＋x y ＝(y x＋x y )＋(yz ＋z y )＋(z x ＋x z)≥2＋2＋2＝6，当且仅当x ＝y ＝z 时取等号，与假设矛盾，故这三个数至少有一个不小于2.14．学业水平测试成绩按照考生原始成绩从高到低分为A 、B 、C 、D 、E 五个等级．某班共有36名学生且全部选考物理、化学两科，这两科的学业水平测试成绩如图所示．该班学生中，这两科等级均为A 的学生有5人，这两科中仅有一科等级为A 的学生，其另外一科等级为B ，则该班（ ）A ．物理化学等级都是B 的学生至多有12人 B ．物理化学等级都是B 的学生至少有5人C ．这两科只有一科等级为B 且最高等级为B 的学生至多有18人D ．这两科只有一科等级为B 且最高等级为B 的学生至少有1人 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意分别计算出物理等级为A ，化学等级为B 的学生人数以及物理等级为B ，化学等级为A 的学生人数，结合表格中的数据进行分析，可得出合适的选项. 【详解】根据题意可知，36名学生减去5名全A 和一科为A 另一科为B 的学生105858-+-=人（其中物理A 化学B 的有5人，物理B 化学A 的有3人）， 表格变为：A BCD E物理 10550--= 16313-= 910 化学8530--=19514-=72对于A 选项，物理化学等级都是B 的学生至多有13人，A 选项错误；对于B选项，当物理C和D，化学都是B时，或化学C和D，物理都是B时，物理、化--=（人），B选项错误；学都是B的人数最少，至少为13724对于C选项，在表格中，除去物理化学都是B的学生，剩下的都是一科为B且最高等级为B的学生，因为都是B的学生最少4人，所以一科为B且最高等级为B的学生最多为++-=（人），1391419C选项错误；对于D选项，物理化学都是B的最多13人，所以两科只有一科等级为B且最高等级为B -=（人），D选项正确.的学生最少14131故选：D.【点睛】本题考查合情推理，考查推理能力，属于中等题.15．“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”。

专题十三推理与证明第三十八讲推理与证明2019年2019年8.（2019全国I理4）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是51-（51-≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是51-．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是A．165 cm B．175 cm C．185 cm D．190 cm8 解析头顶至脖子下端的长度为26cm，说明头顶到咽喉的长度小于26cm，由头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是5-10.6182≈，可得咽喉至肚脐的长度小于2642 0.618≈，由头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5-12，可得肚脐至足底的长度小42+26=1100.618，即有该人的身高小于11068178cm+=，又肚脐至足底的长度大于105cm，可得头顶至肚脐的长度大于105×0.618≈65cm，即该人的身高大于65+105=170cm.综上可得身高在170cm-178cm之间．故选B．9.（2019全国II理4）2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就.实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问 题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿 着围绕地月拉格朗日2L 点的轨道运行．2L 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球 质量为M １，月球质量为M ２，地月距离为R ，2L 点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和 万有引力定律，r 满足方程：121223()()M M M R r R r r R +=++.设rRα=，由于α的值很小，因此在近似计算中34532333(1)ααααα++≈+，则r 的近似值为 ABCD9解析 解法一（直接代换运算）：由121223()()M M M R r R r r R +=++及rR α=可得1212222(1)(1)M M M R r R αα+=++，3232111122222222[(1)1](33)(1)(1)(1)(1)M M M M M r R R R R αααααααα+-++=+-==+++. 因为34532333(1)ααααα++≈+，所以21122333M M M r r r R R R≈⋅=，则33213M R r M ≈，r ≈.故选D.解法二（由选项结构特征入手）：因为rRα=，所以r R α=， r 满足方程：121223()()M M M R r R r r R +=++．所以3453221333(1)M M ααααα++=≈+，所以r R α==故选D . 2010-2018年一、选择题1．(2018浙江)已知1a ，2a ，3a ，4a 成等比数列，且1234123ln()a a a a a a a +++=++．若11a >，则A ．13a a <，24a a <B ．13a a >，24a a <C ．13a a <，24a a >D ．13a a >，24a a >2．(2018北京)设集合{(,)|1,4,2},A x y x y ax y x ay =-+>-≥≤则A ．对任意实数a ，(2,1)A ∈B ．对任意实数a ，(2,1)A ∉C ．当且仅当0a <时，(2,1)A ∉D ．当且仅当32a ≤时，(2,1)A ∉ 3．（2017新课标Ⅱ）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则 A ．乙可以知道四人的成绩 B ．丁可以知道四人的成绩 C ．乙、丁可以知道对方的成绩 D ．乙、丁可以知道自己的成绩4．（2017浙江）如图，已知正四面体D ABC -（所有棱长均相等的三棱锥），P ，Q ，R 分别为AB ，BC ，CA 上的点，AP PB =，2BQ CRQC RA==，分别记二面角D PR Q --，D PQ R --，D QR P --的平面角为α，β，γ，则R QPABC DA ．γ<α<βB ．α<γ<βC ．α<β<γD ．β<γ<α5．(2016北京)某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段．下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则A ．2号学生进入30秒跳绳决赛B ．5号学生进入30秒跳绳决赛C ．8号学生进入30秒跳绳决赛D ．9号学生进入30秒跳绳决赛6．(2015广东)若集合(){,,,04,04,04Εp q r s p s q s r s =<<<≤≤≤≤≤≤，且,,,}p q r s ∈N ，(){},,,04,04,,,F t u v w t u v w t u v w =<<∈N ≤≤≤≤且，用()card Χ表示集合Χ中的元素个数，则()()card card ΕF += A ．200 B ．150 C ．100 D ．507．（2014北京）学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”三种．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”，如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两个学生，那么这组学生最多有 A ．2人 B ．3人 C ．4人 D ．5人8．（2014山东）用反证法证明命题“设,a b 为实数，则方程30x ax b ++=至少有一个实根”时，要做的假设是A ．方程30x ax b ++=没有实根B ．方程30x ax b ++=至多有一个实根 C ．方程30x ax b ++=至多有两个实根 D ．方程30x ax b ++=恰好有两个实根9．（2011江西）观察下列各式: 553125=，6515625=，7578125=，⋅⋅⋅，则20115的末四位数字为A ．3125B ．5625C ．0625D ．812510．（2010山东）观察2()2x x '=，43()4x x '=，(cos )sin x x '=-，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，记()g x 为()f x 的导函数，则()g x -= A ．()f x B ．()f x - C ．()g x D ．()g x - 二、填空题11．(2018江苏)已知集合*{|21,}A x x n n ==-∈N ，*{|2,}n B x x n ==∈N ．将A B U 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为 ．12．（2017北京）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点iA 的横、纵坐标分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点iB 的横、纵坐标分别为第i 名工人下午的工作时间和加工的零件数，i =1，2，3．①记i Q 为第i 名工人在这一天中加工的零件总数，则1Q ，2Q ，3Q 中最大的是_ ___． ②记i p 为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则1p ，2p ，3p 中最大的 是______．13．(2016新课标Ⅱ)有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 ． 14．（2016山东）观察下列等式：22π2π4(sin )(sin )12333--+=⨯⨯；2222π2π3π4π4(sin )(sin )(sin )(sin )2355553----+++=⨯⨯；2222π2π3π6π4(sin )(sin )(sin )(sin )3477773----+++⋅⋅⋅+=⨯⨯；2222π2π3π8π4(sin )(sin )(sin )(sin )4599993----+++⋅⋅⋅+=⨯⨯；…… 照此规律，2222π2π3π2π(sin)(sin )(sin )(sin )21212121n n n n n ----+++⋅⋅⋅+=++++_______． 15．（2015陕西）观察下列等式：1－1122= 1－1111123434+-=+1－1111111123456456+-+-=++……据此规律，第n 个等式可为______________________．16．（2015山东）观察下列各式：0014C =；011334C C +=； 01225554C C C ++= 0123377774C C C C +++=……照此规律，当*N n ∈时，012121212121n n n n n C C C C -----+++⋅⋅⋅+= ．17．（2014安徽）如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC =A 作BC 的垂线，垂足为1A ；过点1A 作AC 的垂线，垂足为2A ；过点2A 作1A C 的垂线，垂足为3A ；…，依此类推，设1BA a =，12AA a =，123A A a =，…，567A A a =，则7a =__．1318．(2014福建)若集合},4,3,2,1{},,,{=d c b a 且下列四个关系：①1=a ；②1≠b ；③2=c ；④4≠d 有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组),,,(d c b a 的个数是____． 19．(2014北京)顾客请一位工艺师把A 、B 两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：则最短交货期为 个工作日．20．(2014陕西)已知0,1)(≥+=x xxx f ，若++∈==N n x f f x f x f x f n n )),(()(),()(11，则)(2014x f 的表达式为________．21．(2014陕西)观察分析下表中的数据：猜想一般凸多面体中，E V F ，，所满足的等式是_________． 22．(2013陕西)观察下列等式:211=22123-=- 2221263+-= 2222124310-+-=-…照此规律, 第n 个等式可为 ．23．(2013湖北)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1，3，6，10，…，第n 个三角形数为()2111222n n n n +=+．记第n 个k 边形数为 (),N n k ()3k ≥，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 ()211,322N n n n =+ 正方形数 ()2,4N n n = 五边形数 ()231,522N n n n =- 六边形数 ()2,62N n n n =- ……可以推测(),N n k 的表达式，由此计算()10,24N = ． 24．(2012陕西)观察下列不等式213122+< 231151233++<，474131211222<+++，……照此规律，第五个．．．不等式为 ． 25．(2012湖南)设2nN =*(,2)n N n ∈…，将N 个数12,,,N x x x ⋅⋅⋅依次放入编号为1,2，…，N 的N 个位置，得到排列012N P x x x =⋅⋅⋅．将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前2N 和后2N个位置，得到排列113124N N P x x x x x x -=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，将此操作称为C 变换，将1P 分成两段，每段2N个数，并对每段作C 变换，得到2P ；当22i n -剟时，将i P 分成2i段，每段2i N 个数，并对每段C 变换，得到1i P +，例如，当N =8时，215372648P x x x x x x x x =，此时7x 位于2P 中的第4个位置.（1）当N =16时，7x 位于2P 中的第 个位置；（2）当2nN =（8n …）时，173x 位于4P 中的第 个位置. 26．(2011陕西)观察下列等式1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49……照此规律，第n 个等式为 ．27．(2010浙江)设112,,(2)(3)23n nn n N x x ≥∈+-+2012n n a a x a x a x =+++⋅⋅⋅+，将(0)k a k n ≤≤的最小值记为n T ，则2345335511110,,0,,,2323T T T T ==-==-⋅⋅⋅ ,n T ⋅⋅⋅其中n T =__________________．28．(2010福建)观察下列等式：① cos2α=22cos α-1；② cos4α=84cos α-82cos α+ 1；③ cos6α=326cos α-484cos α+ 182cos α-1；④ cos8α=1288cos α-2566cos α+ 1604cos α-322cos α+ 1；⑤ cos10α=m 10cos α-12808cos α+ 11206cos α+n 4cos α+p 2cos α-1． 可以推测，m n p -+= ． 三、解答题29．（2018北京）设n 为正整数，集合12={|(,,,),{0,1},1,2,,}n k A t t t t k n αα=∈=L L ．对于集合A 中的任意元素12(,,,)n x x x α=L 和12(,,,)n y y y β=L ，记(,)M αβ=111122221[(||)(||)(||)]2n n n n x y x y x y x y x y x y +--++--+++--L ． (1)当3n =时，若(1,1,0)α=，(0,1,1)β=，求(,)M αα和(,)M αβ的值；(2)当4n =时，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意元素,αβ，当,αβ相同时，(,)M αβ是奇数；当,αβ不同时，(,)M αβ是偶数．求集合B 中元素个数的最大值；(3)给定不小于2的n ，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意两个不同的元素,αβ，(,)0M αβ=．写出一个集合B ，使其元素个数最多，并说明理由．30．(2018江苏)设*n ∈N ，对1，2，···，n 的一个排列12n i i i L ，如果当s t <时，有s t i i >，则称(,)s t i i 是排列12n i i i L 的一个逆序，排列12n i i i L 的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序(2，1)，(3，1)，则排列231的逆序数为2．记()n f k 为1，2，···，n 的所有排列中逆序数为k 的全部排列的个数． (1)求34(2),(2)f f 的值；(2)求(2)(5)n f n ≥的表达式(用n 表示)．31．（2017江苏）对于给定的正整数k ，若数列{}n a 满足11112n k n k n n n k n k n a a a a a a ka --+-++-+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++=对任意正整数n ()n k >总成立，则称数列{}n a 是“()P k 数列”．（1）证明：等差数列{}n a 是“(3)P 数列”；（2）若数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，证明：{}n a 是等差数列． 32．（2017北京）设{}n a 和{}n b 是两个等差数列，记1122max{,,,}n n n c b a n b a n b a n =--⋅⋅⋅-(1,2,3,)n =⋅⋅⋅，其中12max{,,,}s x x x ⋅⋅⋅表示12,,,s x x x ⋅⋅⋅这s 个数中最大的数．（Ⅰ）若n a n =，21n b n =-，求123,,c c c 的值，并证明{}n c 是等差数列；（Ⅱ）证明：或者对任意正数M ，存在正整数m ，当n m ≥时，n c M n>；或者存在正整数m ，使得12,,,m m m c c c ++⋅⋅⋅是等差数列．33．(2016江苏)记{}1,2,,100U =L ．对数列{}n a （*n ∈N ）和U 的子集T ，若T =∅，定义0T S =；若{}12,,,k T t t t =L ，定义12k T t t t S a a a =+++L ．例如：{}1,3,66T =时，1366T S a a a =++．现设{}n a （*n ∈N ）是公比为3的等比数列，且当{}2,4T =时，30T S =．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)对任意正整数k （1100k ≤≤），若{}1,2,,T k ⊆L ，求证：1T k S a +<；(3)设C U ⊆，D U ⊆，C D S S ≥，求证：2C C D D S S S +I ≥．34．(2016浙江)设函数()f x =311x x ++，[0,1]x ∈．证明： (1)2()1f x x x -+≥； (2)33()42f x <≤． 35．(2015湖北)已知数列{}n a 的各项均为正数，1(1)()n n n b n a n n+=+∈N ，e 为自然对数的底数．(1)求函数()1e x f x x =+-的单调区间，并比较1(1)n n+与e 的大小；(2)计算11b a ，1212b b a a ，123123b b b a a a ，由此推测计算1212n n b b b a a a L L 的公式，并给出证明； (3)令112()n n n c a a a =L ，数列{}n a ，{}n c 的前n 项和分别记为n S ,n T , 证明：e n n T S <．36．(2015江苏)已知集合*{1,2,3},{1,2,3,.....,}()n X Y n n N ==∈，设{(,)|n S a b =a 整除b 或,,}n b a a X b Y ∈∈除，令()f n 表示集合n S 所含元素的个数．(1)写出(6)f 的值；(2)当6n ≥时，写出()f n 的表达式，并用数学归纳法证明．37．(2014天津)已知q 和n 均为给定的大于1的自然数.设集合{0,1,2,1,}M q L =-， 集合112,,1,2,,{}n n i x q x M in A x x x x q L L -+?==++.(1)当2q =，3n =时，用列举法表示集合A ；(2)设,s t A Î，112n n s a a q a q -=+++L ，112n n t b b q b q -=+++L ，其中i a ， i b M ∈，1,2,,i n =⋅⋅⋅．证明：若n n a b <，则s t <．38．(2013江苏)设{}n a 是首项为a ，公差为d 的等差数列()0d ≠，n S 是其前n 项和. 记2n n nS b n c=+，N n *∈，其中c 为实数. (1)若0c =，且1b ，2b ，4b 成等比数列，证明：()2N nk k S n S k,n *=∈；(2)若{}n b 是等差数列，证明：0c =．专题十三 推理与证明第三十八讲 推理与证明答案部分1．B 【解析】解法一 因为ln 1x x -≤(0x >)，所以1234123ln()a a a a a a a +++=++1231a a a ++-≤，所以41a -≤，又11a >，所以等比数列的公比0q <．若1q -≤，则212341(1)(10a a a a a q q +++=++）≤， 而12311a a a a ++>≥，所以123ln()0a a a ++>，与1231234ln()0a a a a a a a ++=+++≤矛盾，所以10q -<<，所以2131(1)0a a a q -=->，2241(1)0a a a q q -=-<，所以13a a >，24a a <，故选B ．解法二 因为1x e x +≥，1234123ln()a a a a a a a +++=++，所以123412312341a a a a e a a a a a a a +++=++++++≥，则41a -≤，又11a >，所以等比数列的公比0q <．若1q -≤，则212341(1)(10a a a a a q q +++=++）≤， 而12311a a a a ++>≥，所以123ln()0a a a ++>与1231234ln()0a a a a a a a ++=+++≤矛盾，所以10q -<<，所以2131(1)0a a a q -=->，2241(1)0a a a q q -=-<，所以13a a >，24a a <，故选B ．2．D 【解析】解法一 点(2,1)在直线1x y -=上，4ax y +=表示过定点(0,4)，斜率为a-的直线，当0a ≠时，2x ay -=表示过定点(2,0)，斜率为1a的直线，不等式2x ay -≤表示的区域包含原点，不等式4ax y +>表示的区域不包含原点．直线4ax y +=与直线2x ay -=互相垂直，显然当直线4ax y +=的斜率0a ->时，不等式4ax y +>表示的区域不包含点(2,1)，故排除A ；点(2,1)与点(0,4)连线的斜率为32-，当32a -<-，即32a >时，4ax y +>表示的区域包含点(2,1)，此时2x ay -<表示的区域也包含点(2,1)，故排除B ；当直线4ax y +=的斜率32a -=-，即32a =时，4ax y +>表示的区域不包含点(2,1)，故排除C ，故选D ．解法二 若(2,1)A ∈，则21422a a +>⎧⎨-⎩≤，解得32a >，所以当且仅当32a ≤时，(2,1)A ∉．故选D ．3．D 【解析】由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲、丁一人优秀一人良好，乙看到丙的结果则知道自己的结果，丁看到甲的结果则知道自己的结果，故选D ．4．B 【解析】设O 为三角形ABC 中心，底面如图2，过O 作OE RP ⊥，OF PQ ⊥，OG RQ ⊥，由题意可知tan DO OE α=，tan OD OF β=，tan OD OGγ=， G FE O DC B AP QR 图1 图2由图2所示，以P 为原点建立直角坐标系，不妨设2AB =，则(1,0)A -，(1,0)B，C，(0,3O ，∵AP PB =，2BQ CR QC RA==，∴1(,33Q，2(,33R -，则直线RP的方程为y x =，直线PQ的方程为y =，直线RQ的方程为39y x =+，根据点到直线的距离公式，知21OE =39OF =，13OG =，∴OF OG OE <<，tan tan tan αγβ<<，因为α，β，γ为锐角，所以αγβ<<．选B5．B 【解析】由数据可知，进入立定跳远决赛的8人为1~8号，所以进入30秒跳绳决赛的6人从1~8号里产生．数据排序后可知3号，6号，7号必定进入30秒跳绳决赛，则得分为63，a ，60，63，a -l 的5人中有3人进入30秒跳绳决赛．若1号，5号学生未进入30秒跳绳决赛，则4号学生就会进入决赛，与事实矛盾，所以l 号，5号学生必进入30秒跳绳决赛，故选B ．6．A 【解析】当4s =时，p ，q ，r 都是取0，1，2，3中的一个，有44464⨯⨯=种，当3s =时，p ，q ，r 都是取0，1，2中的一个，有33327⨯⨯=种，当2s =时，p ，q ，r 都是取0，1中的一个，有2228⨯⨯=种，当1s =时，p ，q ，r 都取0，有1种，所以()card 642781100E =+++=，当0t =时，u 取1，2，3，4中的一个，有4种，当1t =时，u 取2，3，4中的一个，有3种，当2t =时，u 取3，4中的一个，有2种，当3t =时，u 取4，有1种，所以t 、u 的取值有123410+++=种， 同理，v 、w 的取值也有10种，所以()card F 1010100=⨯=，所以()()card card F 100100200E +=+=，故选D ．7．B 【解析】学生甲比学生乙成绩好，即学生甲两门成绩中一门高过学生乙，另一门不低于学生乙，一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且没有相同的成绩，则存在的情况是，最多有3人，其中一个语文最好，数学最差；另一个语文最差，数学最好；第三个人成绩均为中等．故选B ．8．A 【解析】“至少有一个实根”的反面为“没有实根”，故选A ．9．D 【解析】∵553125=,6515625=,7578125=,85390625=，951953125=， 1059765625=,⋅⋅⋅,∴5n (n Z ∈,且5n ≥)的末四位数字呈周期性变化，且最小正 周期为4,记5n(n Z ∈,且5n ≥)的末四位数字为()f n ,则(2011)(50147)f f =⨯+ (7)f =，∴20115与75的末位数字相同，均为8 125，选D ．10．D 【解析】由给出的例子可以归纳推理得出：若函数()f x 是偶函数，则它的导函数是奇函数，因为定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，即函数()f x 是偶函数，所以它的导函数是奇函数，即有()g x -=()g x -，故选D ．11．27【解析】所有的正奇数和2n (*n ∈N )按照从小到大的顺序排列构成{}n a ，在数列{}n a中，52前面有16个正奇数，即5212a =，6382a =．当1n =时，1211224S a =<=，不符合题意；当2n =时，2331236S a =<=，不符合题意；当3n =时，3461248S a =<=，不符合题意；当4n =时，45101260S a =<=，不符合题意；……；当26n =时，52621(141)2(12)212S ⨯+⨯-=+-= 441 +62= 503<2712516a =，不符合题意；当27n =时，52722(143)2(12)212S ⨯+⨯-=+-=484 +62=546>2812a =540，符合题意．故使得112n n S a +>成立的n 的最小值为27．12．1Q 2p 【解析】设线段i i A B 的中点为(,)i i i C x y ，则2i i Q y =，其中1,2,3i =①由题意只需比较线段i i A B 中点的纵坐标的大小即可，作图可得11A B 中点纵坐标比2233,A B A B 的中点纵坐标大，所以第一位选1Q ． ②由题意i i iy p x =，只需比较三条线段1OC ，2OC 3OC 斜率的大小，分别作123,,B B B 关于原点的对称点123,,B B B '''，比较直线112233,,A B A B A B ''' 斜率，可得22A B '最大，所以选2.p13．1和3【解析】为方便说明，不妨将分别写有1和2，1和3，2和3的卡片记为A ，B ，C 从丙出发，由于丙的卡片上的数字之和不是5，则丙只可能是卡片A 或B ，无论是哪一张，均含有数字1，再由乙与丙的卡片上相同的数字不是1可知，乙所拿的卡片必然是C ，最后由甲与乙的卡片上相同的数字不是2，知甲所拿的卡片为B ，此时丙所拿的卡片为A ．14．【解析】根据已知，归纳可得结果为43n (n+1)． 15．111111111234212122n n n n n -+-+⋅⋅⋅+-=++⋅⋅⋅+-++． 【解析】观察等式知：第n 个等式的左边有2n 个数相加减，奇数项为正，偶数项为负，且分子为1，分母是1到2n 的连续正整数，等式的右边是111122n n n ++⋅⋅⋅+++． 16．14n -【解析】 具体证明过程可以是：0121012121212121212121211(2222)2n n n n n n n n n n C C C C C C C C ----------++++=++++L L 021122223121212121212121211[()()()()]2n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C L ------------=++++++++ 01212121121212121212111()2422n n n n n n n n n n n C C C C C C L L ----------=+++++++=⋅=． 17．14【解析】解法一 直接递推归纳；等腰直角三角形ABC中，斜边BC =1122,AB AC a AA a =====，1231A A a ==，⋅⋅⋅，65671124A A a a ==⨯=．解法二 求通项：等腰直角三角形ABC 中，斜边BC =所以1122,AB AC a AA a ====⋅⋅⋅，11sin 24n n n n n n A A a a π-+==⋅==⨯，故672a =⨯=1418．6【解析】因为①正确，②也正确，所以只有①正确是不可能的；若只有②正确，①③④都不正确，则符合条件的有序数组为(2,3,1,4)，(3,2,1,4)；若只有③正确，①②④都不正确，则符合条件的有序数组为(3,1,2,4)；若只有④正确，①②③都不正确，则符合条件的有序数组为(2,1,4,3)，(3,1,4,2)，(4,1,3,2)．综上符合条件的有序数组的个数是6．19．42【解析】先由徒弟粗加一工原料B ，6天后，师傅开始精加工原料B ，徒弟同时开始粗加工原料A ，再9天后（15天后），徒弟粗加工原料A 完成，此时师傅还在精加工原料B ，27天后，师傅精加工原料B 完成，然后接着精加工原料A ，再15天后，师傅精加工原料A 完成，整个工作完成，一共需要6 +21+15= 42个工作日．20．12014x x +【解析】由1()1x f x x =+，得2()()112x x f x f x x==++， 可得32()(())13x f x f f x x ==+，故可归纳得2014()12014x f x x=+． 21．2F V E +-=【解析】三棱柱中5 +6-9 =2；五棱锥中6+6 -10 =2；立方体中6+8 -12 =2，由此归纳可得2F V E +-=． 22．12－22+32－42+…+（－1）n +1n 2=（－1）n +1·(1)2n n +（n ∈*N ） 【解析】观察上式等号左边的规律发现，左边的项数一次加1，故第n 个等式左边有n 项，每项所含的底数的绝对值也增加1，一次为1，2，3，…n ，指数都是2，符号成正负交替出现可以用1(1)n +-表示，等式的右边数的绝对值是左边项的底数的和，故等式的右边可以表示为(1)n-·(1)2n n +，所以第n 个式子可为12－22+32－42+…+12(1)n n +-=（－1）n+1·(1)2n n +（n ∈*N ）． 23．1000【解析】观察2n 和n 前面的系数，可知一个成递增的等差数列另一个成递减的等差数列，故()2,241110N n n n =-，()10,241000N ∴= 24．6116151413121122222<+++++【解析】观察不等式的左边发现，第n 个不等式的左边=222111123(1)n +++⋅⋅⋅++，右边=()1112+-+n n ，所以第五个不等式为6116151413121122222<+++++． 25．（1）6；（2）43211n -⨯+【解析】（1）当N =16时，012345616P x x x x x x x =L ，可设为(1,2,3,4,5,6,,16)L ，113571524616P x x x x x x x x x =L L ，即为(1,3,5,7,9,2,4,6,8,,16)L L ，2159133711152616P x x x x x x x x x x x =L ，即(1,5,9,13,3,7,11,15,2,6,,16)L ，7x 位于2P 中的第6个位置；（2）在1P 中173x 位于两段中第一段的第87个位置，位于奇数位置上，此时在2P 中173x 位于四段中第一段的第44个位置上，再作变换得3P 时，173x 位于八段中第二段的第22个位置上，再作变换时，173x 位于十六段中的第四段的第11个位置上．也就是位于4P 中的第43211n -⨯+个位置上．26．2(1)(32)(21)n n n n ++++-=-L 【解析】把已知等式与行数对应起来，则每一个等式的左边的式子的第一个数是行数n ，加数的个数是21n -；等式右边都是完全平方数，行数 等号左边的项数1=1 1 12+3+4=9 2 33+4+5+6+7=25 3 54+5+6+7+8+9+10=49 4 7…… …… ……所以2(1)[(21)1](21)n n n n n +++++--=-L ，即2(1)(32)(21)n n n n ++++-=-L 27．0,1123n nn n ⎧⎪⎨-⎪⎩当为偶数时，当为奇数时【解析】根据合情推理，利用归纳和类比进行简单的推理，可得n T =0,1123n n n n ⎧⎪⎨-⎪⎩当为偶数时，当为奇数时． 28．962【解析】观察等式可知，cos α的最高次的系数2,8,32,128构成了公比为4的等比数列，故1284512m =⨯=．取0α=，则cos 1α=，cos101α=，代入等式⑤得 1512128011201n p =-+++-，即350n p +=- ① 取3πα=，则1cos 2α=，1cos102α=-，代入等式⑤得 108642111111512()1280()1120()()()1222222n p -=⨯-⨯+⨯+⨯+⨯- 即4200n p +=- ②联立①②得，400,50n p =-=，所以m n p -+=512(400)50962--+=．29．【解析】(1)因为(1,1,0)α=，(0,1,1)β=，所以1(,)[(11|11|)(11|11|)(00)|00|)]22M αα=+--++--++--=， 1(,)[(10|10|)(11|11|)(01|01|)]12M αβ=+--++--++--=． (2)设1234(,,,)x x x x B α=∈，则1234(,)M x x x x αα=+++．由题意知1x ，2x ，3x ，4x ∈{0，1}，且(,)M αα为奇数，所以1x ，2x ，3x ，4x 中1的个数为1或3．所以B ⊆{(1，0，0，0)，(0，1，0，0)，(0，0，1，0)，(0，0，0，1)，(0，1，1，1)，(1，0，1，1)，(1，1，0，1)，(1，1，1，0)}．将上述集合中的元素分成如下四组：(1，0，0，0)，(1，1，1，0)；(0，1，0，0)，(1，1，0，1)；(0，0，1，0)，(1，0，1，1)；(0，0，0，1)，(0，1，1，1)．经验证，对于每组中两个元素α，β，均有(,)1M αβ=．所以每组中的两个元素不可能同时是集合B 的元素．所以集合B 中元素的个数不超过4．又集合{(1，0，0，0)，(0，1，0，0)，(0，0，1，0)，(0，0，0，1)}满足条件， 所以集合B 中元素个数的最大值为4．(3)设1212121{(,,,)|(,,,),1,0}k n n k k S x x x x x x A x x x x -=⋅⋅⋅⋅⋅⋅∈===⋅⋅⋅== (1,2,,)k n =⋅⋅⋅，11212{(,,,)|0}n n n S x x x x x x +=⋅⋅⋅==⋅⋅⋅==，则121n A S S S +=⋅⋅⋅U U U ．对于k S （1,2,,1k n =⋅⋅⋅-）中的不同元素α，β，经验证，(,)1M αβ≥． 所以k S （1,2,,1k n =⋅⋅⋅-）中的两个元素不可能同时是集合B 的元素．所以B 中元素的个数不超过1n +．取12(,,,)k n k e x x x S =⋅⋅⋅∈且10k n x x +=⋅⋅⋅==（1,2,,1k n =⋅⋅⋅-）．令1211(,,,)n n n B e e e S S -+=⋅⋅⋅U U ，则集合B 的元素个数为1n +，且满足条件． 故B 是一个满足条件且元素个数最多的集合．30．【解析】(1)记()abc τ为排列abc 的逆序数，对1，2，3的所有排列，有(123)=0(132)=1(213)=1(231)=2(312)=2(321)=3ττττττ，，，，，，所以333(0)1(1)(2)2f f f ===，．对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，4333(2)(2)(1)(0)5f f f f =++=．(2)对一般的n (4)n ≥的情形，逆序数为0的排列只有一个：12n ⋅⋅⋅，所以(0)1n f =．逆序数为1的排列只能是将排列12n ⋅⋅⋅中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以(1)1n f n =-．为计算1(2)n f +，当1，2，…，n 的排列及其逆序数确定后，将1n +添加进原排列，1n +在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，1(2)(2)(1)(0)(2)n n n n n f f f f f n +=++=+． 当5n ≥时，112544(2)[(2)(2)][(2)(2)][(2)(2)](2)n n n n n f f f f f f f f ---=-+-++-+…242(1)(2)4(2)2n n n n f --=-+-+⋯++=， 因此，5n ≥时，(2)n f =222n n --．31．【解析】证明:（1）因为{}n a 是等差数列，设其公差为d ，则1(1)n a a n d =+-，从而，当n 4≥时，n k n k a a a -++=+11(1)(1)n k d a n k d --+++-122(1)2n a n d a =+-=，1,2,3,k =所以n n n n n n n a a a a a a a ---+++++=321123+++6， 因此等差数列{}n a 是“(3)P 数列”.（2）数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，因此， 当3n ≥时，n n n n n a a a a a --+++++=21124，①当4n ≥时，n n n n n n n a a a a a a a ---++++++++=3211236.② 由①知，n n n a a a ---+=-32141()n n a a ++，③n n n a a a ++++=-23141()n n a a -+，④将③④代入②，得n n n a a a -++=112，其中4n ≥， 所以345,,,a a a L 是等差数列，设其公差为d'.在①中，取4n =，则235644a a a a a +++=，所以23a a d'=-， 在①中，取3n =，则124534a a a a a +++=，所以122a a d'=-， 所以数列{}n a 是等差数列.32．【解析】（Ⅰ）易知11a =，22a =，33a =且11b =，23b =，35b =所以111110,c b a =-=-=21122max{2,2}max{121,322}1c b a b a =--=-⨯-⨯=-，3112233max{3,3,3}max{131,332,533}2c b a b a b a =---=-⨯-⨯-⨯=-．下面证明：对任意n ∈*N 且2n ≥，都有11n c b a n =-⋅． 当k ∈*N 且2k n ≤≤时，11()()k k b a n b a n -⋅--⋅[(21)]1k nk n =---+ (22)(1)k n k =--- (1)(2)k n =--∵10k ->且20n -≤∴11()()0k k b a n b a n -⋅--⋅≤⇒11()()k k b a n b a n -⋅-⋅≥．因此对任意n ∈*N 且2n ≥，111n c b a n n =-⋅=-，则11n n c c +-=-． 又∵211c c -=-，故11n n c c +-=-对n ∈*N 均成立，从而{}n c 是等差数列（Ⅱ）设数列{}n a 和{}n b 的公差分别为,a b d d ，下面我们考虑n c 的取值． 对11b a n -⋅，22b a n -⋅，n n b a n -⋅，考虑其中任意项i i b a n -⋅(i ∈*N 且1)i n ≤≤，i i b a n -⋅11[(1)][(1)]b a b i d a i d n =+--+-⋅ 11()(1)()b a b a n i d d n =-⋅+--⋅下面分0a d =，0a d >，0a d <三种情况进行讨论． （1）若0a d =，则i i b a n -⋅11()(1)b b a n i d =-⋅+- ①若0b d ≤，则11()()(1)0i i b b a n b a n i d -⋅--⋅=-≤ 则对于给定的正整数n 而言，11n c b a n =-⋅此时11n n c c a +-=-，故{}n c 是等差数列②0b d >，则()()()0i i n n b b a n b a n i n d -⋅--⋅=-≤ 则对于给定的正整数n 而言，1n n n n c b a n b a n =-⋅=-⋅ 此时11n n b c c d a +-=-，故{}n c 是等差数列此时取1m =，则123,,,c c c ⋅⋅⋅是等差数列，命题成立．（2）若0a d >，则此时a b d n d -⋅+为一个关于n 的一次项系数为负数的一次函数．故必存在m ∈*N ，使得当n m ≥时，0a b d n d -⋅+<则当n m ≥时，11()()(1)(0i i a b b a n b a n i d n d -⋅--⋅=--⋅+)≤(,1)i i n ∈*N ≤≤因此，当n m ≥时，11n c b a n =-⋅．此时11n n c c a +-=-，故{}n c 从第m 项开始为等差数列，命题成立．（3）0a d <，则此时a b d n d -⋅+为一个关于n 的一次项系数为正数的一次函数．故必存在s ∈*N ，使得当n s ≥时，0a b d n d -⋅+>则当n s ≥时，()()()(0i i n n a b b a n b a n i n d n d -⋅--⋅=--⋅+)≤(,1)i i n ∈*N ≤≤因此当n s ≥时，n n n c b a n =-⋅． 此时n n n n n c b a n b a n n n -⋅==-+11()b a a b b d d n d a d n-=-⋅+-++ 令0a d A -=>，1a b d a d B -+=，1b b d C -= 下面证明n c CAn B n n=++对任意正数M ，存在正整数m ，使得当n m ≥时，nc M n>． ①若0C ≥，则取||[]1M B m A-=+（[]x 表示不等于x 的最大整数） 当n m ≥时，||([]1)n c M B M B An B Am B A B A B M n A A--++=++>⋅+=≥≥此时命题成立． 若0C <，则取||[]1M C B m A--=+当n m ≥时||([]1)n c M C B An B C Am B C A B C n A--++++=+++≥≥ M C B B C M --++=≥此时命题成立．因此，对任意正数M ，使得当n m ≥时，nc M n>． 综合以上三种情况，命题得证．33．【解析】(1)由已知得1*13,n n a a n N -=⋅∈.于是当{2,4}T =时，2411132730r S a a a a a =+=+=. 又30r S =，故13030a =，即11a =.所以数列{}n a 的通项公式为1*3,n n a n N -=∈. (2)因为{1,2,,}T k ⊆L ，1*30,n n a n N -=>∈，所以1121133(31)32k kk r k S a a a -≤+++=+++=-<L L . 因此，1r k S a +<. (3)下面分三种情况证明.①若D 是C 的子集，则2C C D C D D D D S S S S S S S +=+≥+=I . ②若C 是D 的子集，则22C C D C C C D S S S S S S +=+=≥I . ③若D 不是C 的子集，且C 不是D 的子集.令U E C C D =I ，U F D C C =I 则E φ≠，F φ≠，E F φ=I . 于是C E C D S S S =+I ，D F C D S S S =+I ，进而由C D S S ≥，得E F S S ≥. 设k 是E 中的最大数，l 为F 中的最大数，则1,1,k l k l ≥≥≠.由（2）知，1E k S a +<，于是1133l kl F E k a S S a -+=≤≤<=，所以1l k -<，即l k ≤.又k l ≠，故1l k ≤-，从而11121131311332222l k l k E F l a S S a a a ------≤+++=+++=≤=≤L L ，故21E F S S ≥+，所以2()1C C D D C D S S S S -≥-+I I ，即21C C D D S S S +≥+I . 综合①②③得，2C C D D S S S +≥I .34．【解析】(1)因为()()442311111x x x x x x x----+-==--+， 由于[]0,1x ∈，有41111x x x -++≤，即23111x x x x-+-+≤， 所以2()1.f x x x -+≥ (2)由01x ≤≤得3x x ≤， 故()()()3121113333()11222122x x f x x x x x x -+=++-+=++++≤≤， 所以3()2f x ≤. 由(1)得22133()1()244f x x x x -+=-+≥≥， 又因为1193()2244f =>，所以()34f x >，综上，33()42f x <≤．35．【解析】(1)()f x 的定义域为(,)-∞+∞，()1e x f x '=-．当()0f x '>，即0x <时，()f x 单调递增； 当()0f x '<，即0x >时，()f x 单调递减．故()f x 的单调递增区间为(,0)-∞，单调递减区间为(0,)+∞． 当0x >时，()(0)0f x f <=，即1e x x +<．令1x n=，得111e n n +<，即1(1)e n n +<．(*)(2)11111(1)1121b a =⋅+=+=；22212121212122(1)(21)32b b b b a a a a =⋅=⋅+=+=； 2333123312123123133(1)(31)43b b b b b b a a a a a a =⋅=⋅+=+=． 由此推测：1212(1)n nnb b b n a a a =+L L ．(**)下面用数学归纳法证明②．①当1n =时，左边=右边2=，(**)成立． ②假设当n k =时，(**)成立，即1212(1)k kkb b b k a a a =+L L ．当1n k =+时，1111(1)(1)1k k k b k a k +++=+++，由归纳假设可得 111211211211211(1)(1)(1)(2)1k k k k k k k k k k k b b b b b b b b k k k a a a a a a a a k ++++++=⋅=+++=++L L L L ．所以当1n k =+时，(**)也成立．根据①②，可知(**)对一切正整数n 都成立．(3)由n c 的定义，(**)，算术-几何平均不等式，n b 的定义及(*)得 123n n T c c c c =++++=L 111131211212312()()()()nn a a a a a a a a a ++++L L111131212312112()()()()2341nn b b b b b b b b b n =+++++L L 12312112122334(1)n b b bb b b b b b n n ++++++≤++++⨯⨯⨯+L L 121111111[][]1223(1)2334(1)(1)n b b b n n n n n n =+++++++++⋅⨯⨯+⨯⨯++L L L 1211111(1)()()1211n b b b n n n n =-+-++-+++L 1212n b b b n <+++L 1212111(1)(1)(1)12n n a a a n=++++++L 12e e e n a a a <+++L =e n S ，即e n n T S <．36．【解析】(1)()613f =．(2)当6n ≥时，()2,623112,612322,622312,632312,6423122,6523n n n n t n n n n t n n n n t f n n n n n t n n n n t n n n n t ⎧⎛⎫+++= ⎪⎪⎝⎭⎪⎪--⎛⎫+++=+⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪-⎛⎫+++=+⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨-⎛⎫⎪+++=+ ⎪⎪⎝⎭⎪-⎛⎫⎪+++=+ ⎪⎪⎝⎭⎪--⎛⎫⎪+++=+ ⎪⎪⎝⎭⎩（t *∈N ）．下面用数学归纳法证明： ①当6n =时，()666621323f =+++=，结论成立； ②假设n k =（6k ≥）时结论成立，那么1n k =+时，1k S +在k S 的基础上新增加的元素在()1,1k +，()2,1k +，()3,1k +中产生，分以下情形讨论： 1）若16k t +=，则()615k t =-+，此时有()()12132323k k f k f k k --+=+=++++ ()111223k k k ++=++++，结论成立； 2）若161k t +=+，则6k t =，此时有()()112123k kf k f k k +=+=++++ ()()()11111223k k k +-+-=++++，结论成立；3）若162k t +=+，则61k t =+，此时有()()11122223k k f k f k k --+=+=++++ ()()1211223k k k +-+=++++，结论成立； 4）若163k t +=+，则62k t =+，此时有()()2122223k k f k f k k -+=+=++++()()1111223k k k +-+=++++，结论成立；5）若164k t +=+，则63k t =+，此时有()()1122223k kf k f k k -+=+=++++ ()()1111223k k k +-+=++++，结论成立； 6）若165k t +=+，则64k t =+，此时有()()1112123k k f k f k k -+=+=++++ ()()()11121223k k k +-+-=++++，结论成立．综上所述，结论对满足6n ≥的自然数n 均成立． 37．【解析】(1)当2q =，3n =时，{}0,1M =，{}12324,,1,2,3i A x x x x x M x i ==+?+.可得，{}0,1,2,3,4,5,6,7A =.(2)由,s t A Î，112n n s a a q a q -=+++L ，112n n t b b q b q -=+++L ，,i i a b M Î，1,2,,i n =L 及n n a b <，可得()()()()11222111n n n n n n a b q a b q s t a b a b q -----=-+-++-+-L ()()()21111n n q q q q q q --?+-++--L()()11111n n q q q q----=--10=-<.所以，s t <.38．【证明】(1)若0=c ，则n n S b n =，*N n ∈，又由题(1)2n n n dS na -=+， 12n n S n b a d n -∴==+，112n n b b d +∴-=，{}n b ∴是等差数列，首项为a ，公差为2d，)0(≠d ，又421b b b ，，成等比数列，2214b b b ∴=，23()()22d da a a ∴+=+，23()42d d ad a ∴+=，0d ≠Q ，2d a ∴=，2n S n a ∴=，222222(),nk k S nk a n k a n S n k a ∴===，2nk k S n S ∴=（*,N n k ∈）． (2)由题c n nS b n n +=2，*N n ∈，22[2(1)]2()n n a n d b n c +-=+，若}{n b 是等差数列，则可设n b x yn =+，,x y 是常数，22[2(1)]2()n a n d x yn n c +-=++关于*N n ∈恒成立．整理得：32(2)(22)220d y n a d x n cyn cx -+----=关于*N n ∈恒成立．20,220,20,20d y a d x cy cx ∴-=--===，20,22,0,0d y a x d cy cx ∴=≠-===0c ∴=．。

专题十三 推理与证明第三十九讲 数学归纳法答案部分1．【解析】（Ⅰ）用数学归纳法证明：0n x >当1n =时，110x => 假设n k =时，0k x >，那么1n k =+时，若10k x +≤，则110ln(1)0k k k x x x ++<=++≤，矛盾，故10k x +>． 因此0n x >()n ∈*N所以111ln(1)n n n n x x x x +++=++> 因此10n n x x +<<()n ∈*N（Ⅱ）由111ln(1)n n n n x x x x +++=++>得2111111422(2)ln(1)n n n n n n n n x x x x x x x x ++++++-+=-+++记函数2()2(2)ln(1)(0)f x x x x x x =-+++≥函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，所以()(0)f x f ≥=0， 因此 2111112(2)ln(1)()0n n n n n x x x x f x +++++-+++=≥ 故112(N )2n n n n x x x x n *++-∈≤ （Ⅲ）因为11111ln(1)2n n n n n n x x x x x x +++++=+++=≤所以112n n x -≥得 由1122n n n n x x x x ++-≥得 111112()022n n x x +-->≥ 所以12111111112()2()2222n n n n x x x -----⋅⋅⋅-=≥≥≥故212n n x -≤综上，1211(N )22n n n x n *--∈≤≤ ．2．【解析】（Ⅰ）()f x 的定义域为(,)-∞+∞，()1e x f x '=-．当()0f x '>，即0x <时，()f x 单调递增； 当()0f x '<，即0x >时，()f x 单调递减．故()f x 的单调递增区间为(,0)-∞，单调递减区间为(0,)+∞． 当0x >时，()(0)0f x f <=，即1e x x +<．令1x n=，得111e n n +<，即1(1)e n n +<． ①（Ⅱ）11111(1)1121b a =⋅+=+=；22212121212122(1)(21)32b b b b a a a a =⋅=⋅+=+=； 2333123312123123133(1)(31)43b b b b b b a a a a a a =⋅=⋅+=+=． 由此推测：1212(1)n nnb b b n a a a =+． ② 下面用数学归纳法证明②．（1）当1n =时，左边=右边2=，②成立． （2）假设当n k =时，②成立，即1212(1)k kkb b b k a a a =+． 当1n k =+时，1111(1)(1)1k k k b k a k +++=+++，由归纳假设可得 111211211211211(1)(1)(1)(2)1k k k k k k k k k k k b b b b b b b b k k k a a a a a a a a k ++++++=⋅=+++=++． 所以当1n k =+时，②也成立．根据（1）（2），可知②对一切正整数n 都成立．（Ⅲ）由n c 的定义，②，算术-几何平均不等式，n b 的定义及①得 123n n T c c c c =++++=111131211212312()()()()nn a a a a a a a a a ++++111131212312112()()()()2341nn b b b b b b b b b n =+++++12312112122334(1)nb b b b b b b b b n n ++++++≤++++⨯⨯⨯+121111111[][]1223(1)2334(1)(1)n b b b n n n n n n =+++++++++⋅⨯⨯+⨯⨯++1211111(1)()()1211n b b b n n n n =-+-++-+++1212n b b b n <+++1212111(1)(1)(1)12n n a a a n=++++++12e e e n a a a <+++=e n S ，即e n n T S <．3．【解析】（Ⅰ）由已知，得102sin cos sin ()(),x x x f x f x x x x '⎛⎫'===- ⎪⎝⎭于是21223cos sin sin 2cos 2sin ()(),x x x x x f x f x x x x x x ''⎛⎫⎛⎫'==-=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以12234216(),(),22f f πππππ=-=-+ 故122()() 1.222f f πππ+=- （Ⅱ）证明：由已知，得0()sin ,xf x x =等式两边分别对x 求导，得00()()cos f x xf x x '+=， 即01()()cos sin()2f x xf x x x π+==+，类似可得122()()sin sin()f x xf x x x π+=-=+， 2333()()cos sin()2f x xf x x x π+=-=+，344()()sin sin(2)f x xf x x x π+==+.下面用数学归纳法证明等式1()()sin()2n n n nf x xf x x π-+=+对所有的n ∈*N 都成立.(i)当n =1时，由上可知等式成立.(ii)假设当n =k 时等式成立, 即1()()sin()2k k k kf x xf x x π-+=+.因为111[()()]()()()(1)()(),k k k k k k k kf x xf x kf x f x xf x k f x f x --+'''+=++=++ (1)[sin()]cos()()sin[]2222k k k k x x x x ππππ+''+=+⋅+=+， 所以1(1)()()k k k f x f x +++(1)sin[]2k x π+=+. 所以当n=k +1时,等式也成立.综合(i),(ii)可知等式1()()sin()2n n n nf x xf x x π-+=+对所有的n ∈*N 都成立.令4x π=，可得1()()sin()44442nn n nf f πππππ-+=+(n ∈*N ).所以1()()444n n nf f πππ-+=n ∈*N )．4．【解析】（Ⅰ）证：用数学归纳法证明（1）当2p =时，22(1)1212x x x x +=++>+，原不等式成立。

小学常见奥数专题28个奥数，即奥林匹克数学竞赛，是指为培养学生的数学思维、逻辑推理和问题解决能力而设计的一种数学教育体系。

它在小学阶段的教育中起着重要的作用。

在小学常见的奥数专题中，有28个重要专题，本文将逐一介绍这些专题。

一、整数整数是基础的数学概念，在奥数竞赛中也是经常出现的。

小学生应该熟悉整数的定义、加法、减法、乘法和除法等基本运算，并能够运用这些知识解决实际问题。

二、分数分数是奥数中的又一个常见专题。

小学生应该了解分数的定义、分数的加、减、乘、除等基本运算规则，并能够应用这些知识解决应用题。

三、小数小数也是奥数中的一个重要专题。

小学生应该掌握小数的定义、大小比较和基本运算，以及应用题的解答方法。

四、代数与方程代数与方程是奥数中的难点专题之一。

小学生应该了解代数式的概念，能够根据题意列方程，并能够解一元一次方程。

五、几何几何是奥数中的另一个重要专题。

小学生应该熟悉几何图形的性质，能够计算图形的周长、面积和体积等，并能够解决与几何有关的问题。

六、概率与统计概率与统计是奥数中的一门实用学科。

小学生应该了解概率与统计的基本概念，能够计算简单情况下的概率，并能够读懂统计图表。

七、组合数学组合数学是奥数中的一门高级学科。

小学生可以从组合数学中学到一些技巧，帮助解决复杂的问题。

八、逻辑推理逻辑推理是奥数中的一项重要能力。

小学生需要培养逻辑思维能力，能够通过分析和推理解决问题。

九、数论数论是奥数中的一门专门研究整数性质的学科。

小学生可以通过数论学习到一些有趣的规律和性质。

十、最大公约数与最小公倍数最大公约数与最小公倍数是奥数中的一个重要专题。

小学生应该熟悉最大公约数与最小公倍数的概念，并能够计算最大公约数与最小公倍数。

十一、分解因式与四则运算分解因式与四则运算是奥数中的一个基础专题。

小学生应该熟悉分解因式与四则运算的方法，并能够灵活运用。

十二、数列数列是奥数中的一个重要概念。

小学生应该了解数列的定义、性质和计算方法，并能够解决与数列有关的问题。