数学竞赛辅导讲座：高斯函数

华杯赛初二辅导 第十讲 高斯函数一、知识概要1.定义：设x R ∈，用[]x 表示不超过x 的最大整数.则[]y x =称为高斯函数，也叫取整函数.显然，[]y x =的定义域是R ，值域是Z .任一实数都能写成整数部分与非负纯小数之和，即[]()01x x a a =+≤<，因此，[]x x ≤[]1x <+，这里，[]x 为x 的整数部分，而{}[]x x x =-为x 的小数部分.2．性质（1）函数[]y x =是一个分段表达的不减的无界函数，即当12x x ≤时，有[][]12x x ≤；（2）[][]n x n x +=+，其中n Z ∈；（3）[][]11x x x x -<≤<+；（4）若[][]x y n ==，则,,x n a y n b =+=+其中0,1a b ≤<；（5）对于一切实数,x y 有[][][]x y x y +≤+；（6）若0,0x y ≥≥，则[][][]xy x y ≥；（7）[][][]1x x x ⎧--⎪-=⎨-⎪⎩ （x 不是整数时） （x 是整数时）（8）若n N +∈，则[]x x n n ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；当1n =时，[][]x x ⎡⎤=⎣⎦； （9）若整数,a b 适合a bq r =+（0,,b q r >是整数，0r b ≤<），则a q b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦； （10）x 是正实数，n 是正整数，则在不超过x 的正整数中，n 的倍数共有x n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦个； （11）设p 为任一素数，在!n 中含p 的最高乘方次数记为()!p n ，则有：()()12!m m m n n n p n p n p p p p +⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++≤<⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦L ． 证明：由于p 是素数，所有!n 中所含p 的方次数等于!n 的各个因数1,2,,n L 所含p 的方次数之总和。

第二讲高斯记号进阶模块一、高斯记号求值：例1．和式S=5021305 [] 503nn =∑的值为。

解1：3051305502305503503⨯⨯+=，3052305501305503503⨯⨯+=，……，5021305305251503n n ==⨯∑ 所以5021305[]503n n =∑=5021305251503n n =-∑=304×251=76304. 解2：n =1时，3051[]0503⨯=；n =2时，3052[]1503⨯=；n =3时，3053[]1503⨯=；n =4时，3054[]2503⨯=； n =5时，3055[]3503⨯=；n =6时，3056[]3503⨯=；n =7时，3057[]4503⨯=；n =8时，3058[]4503⨯=； n =9时，3059[]5503⨯=；n =10时，30510[]6503⨯=；n =11时，30511[]6503⨯=；n =12时，30512[]7503⨯=； n =13时，30513[]7503⨯=；n =14，30514[]8503⨯=；n =15时，30515[]9503⨯=；n =16时，30516[]9503⨯=；…… 于是原式=0+(1+1+2+3+3)+(4+4+5+6+6)+(7+7+8+9+9)+……+(301+301+302+303+303)+304=10+25+40+……+1510+304=(101510)1003042+⨯+=76304.例2．计算：2101222[][][][]3333++++= 。

解：原式=0+0+1+2+5+10+21+42+85+170+341=677.解2：对于1、2、22、23、……、210，它们除以3的余数分别是1、2、1、2、……2、1， 所以直接算0121022223333++++，得到的数将偏大， 而前面11个余数中恰好组成5个3外加1个1， 于是0121022223333++++−153=1111(21)533⨯--=677. 例3．2000010010[]103+的值的个位数字为 。

第 六 讲 不等式（组）与高斯方程【知识要点】一、 定义：x 为实数，y 为不超过x 的最大整数，则有y=[x].[x]也叫做x 的整数部分，用{x}表示x 的小数部分，{x}=x-[x]，0≤{x}＜1；二、 性质：1、 x-1＜[x]≤x ；0≤{x}＜1；2、 0≤x-[x]＜1；3、 n 为整数，则[x+n]=[x]+n.【新知讲授】例一、设[]x 表示不小于x 的最小整数，如[][][][]3.44,44,3.84, 3.83===-=-．则下列结论中：①[]x x ≤；②[]1x x +＜；③[]x x =只有x 为整数才成立；④[][]22x x +=+；⑤[][]22x x -=-；⑥[][]22x x =；⑦[]22x x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦不成立的结论( ). (A)不超过3个 (B)恰为4个 (C)刚好为5个 (D)至少有6个 例二、[]x 表示不大于x 的最大整数，解方程53[]42x x +=.例三、解方程:（1）[2]32x x +=-； （2）56157[]85x x +-=.例四、解方程: （1）3[]6{}1x x -=- （2）53{}6x x -=.例五、对于数x ，符号［x ］表示不大于x 的最大整数．例如，［3.14］＝3，［－7.59］＝－8，则满足关系式［773＋x ］=4的x 的整数值有( ). （A ）6个（B ）5个 （C ）4个 （D ）3个例六、若[x]=5，[y]=-3，[z]=-1，则[x-y-z]所有可能的取值的个数是( ). (A)2个(B)3个 (C)4个 (D)5个例七、正整数n 满足n ≤2012，且[][][]236n n n n ++=，则满足条件的正整数n 的个数是 .例八、设[]x 表示不大于x 的最大整数，若222221111123414152341415S =+++++，则[]S 的值为 .例八、For a real number a ，let []a denote the maximum integer which does not exceed a .For example ，[3.1]=3，[-1.5]=-2，[0.7]=0. Now let 1()1x f x x +=-，then [2][3][99][100]f f f f +++= .（英汉小词典real number ：实数；the maximum integer which does not exceed ：不超过的最大整数）例九、实数x 、y 满足[][2]1[]1y x x y x =+--⎧⎨=+⎩，则x+y 的取值范围是( ).(A)整数 (B)9＜x+y＜10 (C)9≤x+y＜10 (D)9＜x+y≤10例十、设19202191[][][][]546100100100100x x x x++++++++=L L，求]100[x的值.例十一、若x、y、z满足[]{}0.9[]{}0.2{}[] 1.3x y zx y zx y z++=-⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，其中[]a表示不大于a的最大整数，{}[]a a a=-，求x、y、z的值. 【赛题解密】1．解方程:1[31]22x x+=-. 2．解方程:551[]23x x-+=.3．解方程:1751[]52x x +-=. 4．解方程：53[]4x x +=.5．解方程:35{}6x x -=. 6．解方程：2[]5{}4x x -=.7．][x 表示不大于x 的最大整数，那么方程50][43=+x x 的解为 .。

本讲我们将研究全国数学联赛二试范围内初等数论所要求的最后一个专题：高斯函数][x y =. 实际上高斯函数就是取整函数，利用这个函数可以将以前很多需要大量描述才能说清楚的问题很简洁地描述和处理.我们想给出高斯函数的定义及若干性质:定义一：对任意实数][,x x 是不超过x 的最大整数，称][x 为x 的整数部分.与它相伴随的是小数部分函数].[}{},{x x x x y -==由][x 、}{x 的定义不难得到如下性质：⑴ ][x y =的定义域为R ，值域为Z ；}{x y =的定义域为R ，值域为)1,0[ ⑵ 对任意实数x ，都有1}{0},{][<≤+=x x x x 且. ⑶ 对任意实数x ，都有x x x x x x ≤<-+<≤][1,1][][.⑷ ][x y =是不减函数，即若21x x ≤则][][21x x ≤；}{x y =是以1为周期的周期函数. ⑸ }{}{];[][x n x x n n x =++=+.其中*∈∈N n R x ,. ⑹ 11[][][];{}{}{};[][],n ni i i i i x y x y x y x y x x x R ==+≥++≥+≥∈∑∑；特别地，].[][ba nb na ≥⑺ ][][][y x xy ⋅≥，其中+∈R y x ,；一般有11[][],n niiii i x x x R+==≥∈∏∏；第14讲 格点与高斯函数14.1高斯函数特别地，[],,n x x R n N *+≤∈∈. ⑻ ]][[][nx n x =，其中,x R n N *+∈∈.以下给出高斯函数相关的几个重要定理：定理一：*∈+∈N n R x ,，且1至x 之间的整数中，有][nx 个是n 的倍数.定理二：在n ！中，质数p 的最高方次数是.][][][)!(32 +++=pn p n p n n p定理三：（厄米特恒等式）][]1[]2[]1[][,,nx nn x n x n x x N n R x =-+++++++∈∈ 则【例1】 请给出34！的质因子分解形式；并求其最后9位数.【例2】证明厄米特恒等式：,,x R n N∈∈则121[][][][][]nx x x x nxn n n-+++++++=．【例3】求出2000010010103⎡⎤⎢⎥+⎣⎦的个位数字.【例4】 解方程：22[2]2[][]x x x x -+=.【例5】 求所有满足条件4[][[]]an n a an =+的实数a ，其中n 为任意正整数时皆成立.【例6】 当n 遍历全体正整数时，证明1()2f n n ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦亦遍历全体正整数，但数列232n a n n =-中的项除外.【例7】 .][3]3[2]2[1][][:,,nnx x x x nx N n R x ++++≥∈+∈*证明【例8】 12γ=，证明：[][][(1)]()n n n n N γγγγ+++=∈高斯函数在格点（又叫整点）问题研究中有重要应用. 下面给出一个定理. 定理四：设函数],[)(b a x f y 在=上连续而且非负，那么和式∑≤<bt a b a t t f ],[)](([为内的整数）表示平面区域)(0,x f y b x a ≤<≤<内的格点个数.特别地，有⑴ 位于三角形：d x c b ax y ≤<>+=,0内的格点个数等于∑≤<+dx c x b ax 且]([为整数）； ⑵ 奇数p,q 满足1),(=q p ，矩形域]2,0;2,0[pq 内的格点数等于 .2121][][2/02/0∑∑<<<<-⋅-=+q x p y q p y p q x q p ⑶ 0>n ，区域：n xy y x ≤>>,0,0内的格点个数等于∑<<-nx n x n02][][2.【例9】 求圆2210000x y +=内部（不含边界）的整点个数．14.2格点问题【例10】 对任意自然数n ，连接原点与点(,3)n A n n +.用()f n 表示线段n OA 上除端点以外的整点个数，试求和：(1)(2)(3)...(2015)f f f f ++++．【演练1】求整数⎥⎦⎤⎢⎣⎡+310103193的末两位数．实战演练【演练2】解方程：[]{}2015x x x ⋅=.【演练3】对任意整数(2)n n >，证明：(1)1424n n n n ++⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦.【演练4】证明：21()224n n n n N ⎡⎤+⎡⎤⎡⎤⋅=∈⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦.将n 换为正实数x ，等式是否仍成立？【演练5】设三角形的三边长为正整数,,()a b c a b c <<，满足444{}{}{}101010a b c==，求其周长的最小值．。

初中数学竞赛之高斯函数对于任意实数x ，用[]x 表示不大于x 的最大整数，称为取整数。

符号[]叫做取整符号，或者叫做高斯记号。

一般地，[]x y =叫做取整函数，也叫做高斯函数或数论函数，自变量x 的取值范围是一切实数。

一、专题知识1.R ∈x ,[]x 表示不超过x 的最大整数，则函数[]x y =称为高斯函数。

记{}[]x x x -=称为x 的小数部分，{}10≤≤x 。

2.设R ∈y x ，，高斯函数[]x y =有如下性质：（1）[][]1+≤≤x x x .（2）若y x ≤，则[][]y x ≤.（3）[][]x n x n +≤+.（4）[][][]⎩⎨⎧∉--∈-=-)Z (1)Z (x x x x x （5）[][][]y x y x +≤+.（6）[][][]y x y x -≤-或[]1+-y x .（7）[][][][][]y y x x y x +++≥+22.二、例题分析例题1若[]a 表示实数a 的整数部分，求⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-76161的值。

【解】27379176161+=-=-，而372<<，从而327325<+<，从而276161=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-例题2[]x ，[]y ，[]z 分别不大于z y x ，，的最大整数。

若[]5=x ，[]3-=y ，[]1-=z ，求[]z y x --的值。

【解】由已知条件知65<≤x ，23-<≤-y ，01<≤-z ，32≤-<y ，10≤-<z ，107<--<z y x []z y x --的值为7，8，9。

例题3已知n 为正整数，证明：[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡n x n x 。

【证明】由于[][][]1+⎦⎤⎢⎣⎡≤≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡n x n x n x ，变形得[][][]⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡≤≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡1n x n x n x n 对于任意实数x ，有[][]1-<≤x x x 或[]x x x ≤<-1，由于[]⎪⎭⎫⎝⎛n x n 和[]⎪⎭⎫⎝⎛+1n x n 都是整数，且[][]1-<≤x x x ，所以[][]⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡<≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡1n x n x n x n ，故[][][]1+<≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡n x n x n x ，所以[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎦⎤⎢⎣⎡n x n x 例题4解方程4)12(3534+=⎦⎤⎢⎣⎡+x x .【解】设m x =+4)12(3，则634-=m x ，则原方程化为m m =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-⋅536344，化简得m m =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+1538因为[]10<-≤x x ，所以115380<-+≤m m ，解得73712≤<-m ，由于Z ∈m ，所以0=m 或1-=m ，代入634-=m x 得，21-=x 或67-=x 原方程的解为21-=x 或67-=x三、专题训练1.已知n 为正整数，222131211nS n ++++= ，求[]n S 的值。

七年级数学竞赛第6讲：高斯函数一、内容提要1．设x 是实数，不大于x 的最大整数叫做x 的整数部分，记作[]x ，{}[]x x x =-称为x 的小数部分；例如：[]3.23=，{}3.20.2=，[]1.32-=-，{}1.30.7-=，1=，1=。

2．[]x 与{}x 具有如下基本性质：（1）对于任何实数x ，有[]{}x x x =+，其中{}01x ≤<。

（2）当{}0x =时，x 为整数；当x 为整数时，{}0x =。

（3）当01x ≤<时，[]0x =；反之，当[]0x =时，01x ≤<。

（4）对于任何实数x ，有[][]1x x x ≤<+，[]1x x x -<≤。

3．基本思路是寻求不等关系“1n x n ≤<+，某个整数n ”，确定[]x ，进而顺利解决问题。

二、例题精讲：【例1】（五羊杯竞赛题）若222211112341523415s +++⋅⋅⋅+=，则[]s = 。

1．（2012年上海新知杯竞赛）把所有除以4余2或者3的正整数从小到大排成一行，S （n ）为前n 个之和．求[][][][]2013321S S S S ++++【例2】（重庆市竞赛题）[]x 、[]y 、[]z 分别表示不超过x 、y 、z 的最大整数，若[]5x =，[]3y =-，[]2z =-，则[]x y z -+可以取值的个数是（ ）A 、1B 、2C 、3D 、41．[]x 、[]y 、[]z 分别表示不超过x 、y 、z 的最大整数，若[]5x =，[]3y =-，[]1z =-， 求[]x y z --的值。

2．（第33届美国数学竞赛题）设[]x 表示不超过x 的最大整数，又设,x y 满足方程组[][]23325y x y x ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩，如果x 不是整数，那么x y +是（ ） A 、一个整数 B 、在4与5之间 C 、在-4与4之间 D 、在15与16之间 E 、16.53．（山东省竞赛题）设,x y 满足方程组[][]223216x y x y ⎧-=-⎪⎨-+=⎪⎩，求[]x y +的值。

高斯函数(1)[知识点金]1. 有关概念对于任意实数x ,[]x 为不超过x 的最大整数,,[]y x =称为取整函数或叫高斯函数,并将{}[]y x x x ==-称为小数部分函数,表示x 的小数部分.2. 重要性质(1) []y x =的定义域是R ,值域为Z ;(2) 如果,x R n Z ∈∈,则有[][]n x n x +=+;(3) 对任意x R ∈,有[][][]1,1x x x x x x ≤<+-<≤;(4) 当x y ≤时,有[][]x y ≤,即[]y x =是不减函数;(5) 对于,x y R ∈,有[][][][][]1x y x y x y +≤+≤++;(6) 如果,n N x R +∈∈,则[][]nx n x ≥;(7) 如果,n N x R +∈∈,则[]x x n n ⎡⎤⎡⎤≥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 3. 常用方法(1) 定义法 (2) 讨论 (3) 分组法 (4) 去整法 (5) 构造法[例题精析]例1 求方程21310380x x +⎡⎤-⨯+=-⎣⎦的解的个数.例2 解方程 [][]83523x x -=.例3 求方程[]2lg lg 20x x --=的实数根的个数.例4 求函数15()1(0100)15x f x x x -⎡⎤⎡⎤=+<<⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦的值域.例5 求证:方程[][][][][][]248163212345x x x x x x +++++= 无实数解.例6 (1) ,x R n N ++∈∈,且1至x 之间的整数中,有x n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦个是n 的倍数. (2) 在!n 中,质数P 的最高方次数是23(!)n n n P n p p p ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ . (3) x 为实数,n 为正整数,求证: [][]121.n x x x x nx n n n -⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦例7 若实数x 满足192091546100100100x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ,求[]100x 的值.例8 求100123101n n =⎡⎤⎢⎥⎣⎦∑的值.例9 求2000010010103⎡⎤⎢⎥+⎣⎦的个位数字.例10 设[]x 表示不超过实数x 的最大整数,求集合2,12004,2005k n n k k N ⎧⎫⎡⎤⎪⎪=≤≤∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭的元素个数.[同步检测1]1.求232007232007⎡⎡⎡++++++⎢⎢⎢⎣⎦⎣⎦⎣⎦的值. 2. 已知,x y 满足[][]23325y x y x ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩,求x y +的取值范围. 3. 求方程[]2tan 2cos x x =的解集. 4. 解方程 []2440510x x -+=. 5. 求方程[]2870x x -+=的所有解. 6. 解方程[]33x x -=. 7. 求函数1122(),(0,90)1122x f x x x ⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥=⋅∈⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦的值域. 8. 求实数933110103⎡⎤⎢⎥+⎣⎦的末两位数字.9. 对任意的n N +∈,计算和1022k k k n S ∞+=⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦∑.10. 计算和式5020305503n n S =⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∑的值.11. 设M 为一正整数,问方程[]{}222x x x -=在[]1,M 中有多少个解?12. 对自然数n 及一切自然数x ,求证: [][]121n x x x x nx n n n -⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ .13. 在区域{}(,),0,1x y x y x y >=中,求函数[][][][](,)1x yf x y x y x y +=⋅+++的值域,其中[]a 表示a 的整数部分.14. 设n 是给定的大于1的正整数,求证: 存在唯一的正整数2A n <,使得21n n A ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦.高斯函数(2)前述部分重要性质的证明:性质5: []{}[]{}[][][]{}{},,x x x y y y x y x y x y ⎡⎤=-=-+=+++⎣⎦[][]0x y =++或1性质6: []{}[][]{}[]{}[],x x x nx n x n x n x n x n x ⎡⎤=+=+=+≥⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 性质7: []1x x x x x x x n x n n n x n n n n n n n n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤≤<+⇒≤<+⇒≤<+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ [][]1x x x x x n n n n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⇒≤<+⇒=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 例11.从992到1992的整数中,有多少个数是7的倍数?如果79929931992k⋅⋅ ,求最大的正整数k .例12. 求1992!末尾的0 的个数.例13.在整数列22221231980,,,,1980198019801980⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 中,包含着多少个互不相等的整数?例14.求数列1,2,2,3,3,3,,,,,k k k k个的通项公式.[同步检测2]1.[][]x y =是1x y -<的 条件.A. 充分不必要 B 必要不充分 C. 充分必要 D.既不充分也不必要2.在1000!的十进制展开中,末尾有 个零.3.方程[]292x x -=的实数解为 .4.求和++++ .5.求证:对于任意实数,x y 都有[][][][][]22x y x x y y +≥+++6.对于n 为大于2 的正整数,求证:(1)1424n n n n ++⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦.7.求和[]102421log N N =∑。