正切、余切函数的图象和性质

第三节三角函数的图像与性质复习要求：1，理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质2，理解周期函数、最小正周期的概念3，学会用五点法画图知识点：1．正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的图像和性质3．函数B x A y ++=)sin(ϕω），（其中00>>ωA最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ωπ2=T ，频率是πω2=f ，相位是ϕω+x ，初相是ϕ；其图象的对称轴是直线)(2Z k k x ∈+=+ππϕω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心。

4．由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。

利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。

途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将y ＝sin x 的图象向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移｜ϕ｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0)，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象。

途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。

先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0)，再沿x 轴向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移ωϕ||个单位，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象。

5．由y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的图象求其函数式：给出图象确定解析式y =A sin （ωx +ϕ）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－ωϕ，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准．．第一个零点的位置。

6．对称轴与对称中心： sin y x =的对称轴为2x k ππ=+，对称中心为(,0) k k Z π∈； cos y x =的对称轴为x k π=，对称中心为2(,0)k ππ+； 对于sin()y A x ωφ=+和cos()y A x ωφ=+来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。

正余切函数的图像与性质正余切函数在数学中的应用在很多领域中都有体现。

在数学分析中，函数可以分为二种形式：一种是正余切函数。

二种是负余切函数，在函数的二次函数中。

它们可能是二次函数、正余切函数或反余切函数等。

本文对正余切函数图像与性质进行介绍并结合实际问题进行探讨。

一般用来表示函数 f (x)- z的函数。

f (x): f (x)是 x轴上一个周期内(y= h) x上一点一个邻域函数上发生函数 f (x)(x)= f (x)- y z (y)其中 f (x)为正数。

对于(x+ y)为正余切函数，则 f (x)就是一个连续余切函数[1],它可以通过下列方程描述: f (x)+ b (x)/2 f (x)=1/(x+ y)且 f (x)=1/2 n (1+1),其中 n (n)表示第(1)个点在任何一个点上(1+1),因此该函数具有两个切值。

它在一个有限时刻具有任意特征；对于任意时刻 t=1或者是不常数 f (x)为正整数时 t=0;因此f (x)为正余切函数(y=1)。

如果 f (x)是常数时最多最大值为1时称为零切函数(1- better);其中 f (x)表示从0到0的所有空间，如果 f (x)=0被称为余切数，则这个余切函数具有两个正数部分或者一个负数部分都满足；如果其中一个是零切函数，那么另一个正余切函数可以用任意方法表达。

根据不等式，其中是：当 f (x)为正时; q为次常数; e为二次函数; z代表 f (x); p代表第 i个时刻上一次(x+ y)发生函数(x)是因为第二个值是常数且正，所以有一种性质就是(x一、定义余切函数是一个有特殊含义的命题。

它可以用表示任何空间，任何点，或任何非点上变化所形成的特殊值来描述和表示。

其性质与与其他余切公式相比它具有特别突出的优点。

例如，它可以用来表示正、负数的余切结构或者是余切组合。

余切函数可以是正还是负？正余切的定义一般是表示一个或多个点上的某个点和该空间的任何一点的集合上。

三角函数的正切与余切的关系三角函数是数学中一个重要的分支，其中正切和余切是两个常见的三角函数。

正切函数和余切函数之间存在着一定的关系，本文将探讨正切与余切之间的关系以及相关性质。

一、正切和余切的定义1. 正切函数的定义正切函数（tangent function）是指在单位圆上，某一角的正切值等于这个角的对边长度与邻边长度的比值。

设角度为θ，那么正切函数的定义公式可以表示为：tan(θ) = sin(θ) / cos(θ)2. 余切函数的定义余切函数（cotangent function）是指在单位圆上，某一角的余切值等于这个角的邻边长度与对边长度的比值。

设角度为θ，那么余切函数的定义公式可以表示为：cot(θ) = cos(θ) / sin(θ)二、正切与余切的关系1. 互为倒数关系正切函数与余切函数之间存在互为倒数的关系。

可以通过以上定义公式进行证明：tan(θ) = sin(θ) / cos(θ)cot(θ) = cos(θ) / sin(θ)将正切函数的定义公式中的sin(θ) / cos(θ) 乘上cos(θ) / cos(θ)，得到：tan(θ) = sin(θ) / cos(θ) * cos(θ) / cos(θ)= sin(θ) * cos(θ) / (cos^2(θ))根据三角恒等式sin^2(θ) + cos^2(θ) = 1，我们可以将cos^2(θ) 转换成 1 - sin^2(θ)，代入上式：tan(θ) = sin(θ) * (1 - sin^2(θ)) / (1 - sin^2(θ))= sin(θ) * (1 - sin^2(θ)) / cos^2(θ)根据三角恒等式sin^2(θ)+ cos^2(θ) = 1，可以将上式简化为：tan(θ) = sin(θ) / cos^2(θ)= 1 / (cos(θ) / sin(θ))= 1 / cot(θ)所以，正切函数与余切函数之间满足互为倒数的关系。

函数名正弦余弦正切余切正割余割这些函数都是三角函数的一部分，它们在数学和物理中都有广泛的应用。

以下是对这些函数的基本介绍：1.正弦函数（Sine Function）和余弦函数（Cosine Function）：正弦函数和余弦函数都与三角形的边长有关。

在直角三角形中，正弦函数是三角形的对边（opposite）与斜边（hypotenuse）的比值，记为sin(x)；余弦函数是三角形的邻边（adjacent）与斜边的比值，记为cos(x)。

正弦和余弦函数的图像都是周期性的，这意味着它们在一定间隔内重复。

2.正切函数（Tangent Function）和余切函数（Cotangent Function）：正切函数和余切函数是正弦函数和余弦函数的比值。

正切函数是正弦函数除以余弦函数，记为tan(x)；余切函数是余弦函数除以正弦函数，记为cot(x)。

正切函数的图像也是周期性的，但余切函数的图像并非周期性。

3.正割函数（Secant Function）和余割函数（Cosecant Function）：正割函数和余割函数分别是正弦函数和余弦函数的倒数。

正割函数是sec(x) = 1/cos(x)，余割函数是csc(x) = 1/sin(x)。

它们的图形也是周期性的。

这些函数在三角学中有着重要的应用。

例如，它们可以用来描述振动、波动、声音传播等物理现象。

在计算机图形学中，这些函数也常被用来生成旋转、缩放、平移等变换。

此外，这些函数在解决一些数学问题时也非常有用，比如求解极值、最优解、零点等。

除了基本的三角函数，还有许多派生出来的三角函数，如反正弦函数（Inverse Sine Function）、反余弦函数（Inverse Cosine Function）、反正切函数（Inverse Tangent Function）等。

这些函数的定义域是有限的，值域是整个实数集。

它们通常被用于求解一些方程的根，比如求解三角形的角度等。

三角函数基本性质三角函数是数学中常见的函数类型，它们在解决几何、物理和工程问题中起到了重要的作用。

本文将介绍三角函数的基本性质，包括定义域、值域、周期性等。

1. 正弦函数（sin）的基本性质：正弦函数的定义域为实数集R，值域为闭区间[-1, 1]。

其图像为一条连续的曲线，通过坐标原点，关于y轴对称。

正弦函数是一个周期函数，其周期为2π（或360度）。

在定义域内，正弦函数是奇函数，即满足sin(-x) = -sin(x)。

2. 余弦函数（cos）的基本性质：余弦函数的定义域为实数集R，值域为闭区间[-1, 1]。

其图像为一条连续的曲线，通过坐标原点，关于x轴对称。

余弦函数也是一个周期函数，其周期为2π（或360度）。

在定义域内，余弦函数是偶函数，即满足cos(-x) = cos(x)。

3. 正切函数（tan）的基本性质：正切函数的定义域为实数集R，在其定义域内，正切函数有无穷多个极值点。

其图像没有定义域内的极值点，但在周期性为π的点处有无穷多个间断点。

正切函数的值域为实数集R。

4. 余切函数（cot）的基本性质：余切函数的定义域为实数集R，在其定义域内，余切函数有无穷多个极值点。

其图像没有定义域内的极值点，但在周期性为π的点处有无穷多个间断点。

余切函数的值域为实数集R。

5. 正割函数（sec）的基本性质：正割函数的定义域为实数集R，其在定义域内没有极值点。

其图像在周期性为2π的点处有无穷多个间断点。

注意到正割函数与余弦函数的关系，即sec(x) = 1/cos(x)。

6. 余割函数（csc）的基本性质：余割函数的定义域为实数集R，其在定义域内没有极值点。

其图像在周期性为2π的点处有无穷多个间断点。

注意到余割函数与正弦函数的关系，即csc(x) = 1/sin(x)。

三角函数的基本性质对于解决几何、物理和工程问题至关重要。

在解决角度、周期性、波动等问题时，我们可以利用这些性质计算和推导。

三角函数还与复数、级数等数学概念有着广泛的联系，为更深入的数学研究提供了基础。

(2) /(航+如型三角函数的奇偶性（i ） g （x ） = /沏（颜+如（x€ R）(x)为偶函数匕鼠U 力（而+ 出=j4sin （-<at + 炉）（x W 氏）0 sin 曲匚*0=。

（工 W R ）7Tcos 卯=。

=上7T+一1左 e Z ）由此得 2 ,同理，式夫4皿皈+双相的 为奇函数 =顺@=0/3=上网海2)（ii ）飙# =+劭SwR]妖N = .Aa 式题+钠为偶函数见双t")；就= 式以+如为奇函数7T=中=无产+ — (k e Z)3、周期性(1)基本公式(ii) 〃皈+⑺+氏型三角函数的周期竺y =+ G + 5 =加+中出 的周期为何；（一）三角函数的性质1、定义域与值域2、奇偶性(1)基本函数的奇偶性奇函数：y = sinx y= tanx ； 偶函数：y=cosx.(i )基本三角函数的周期的周期为；丁.y=sinx , y=cosx 的周期为 之并 ；y = tanx , y = cotx4-212yy=cotxy=tanx 3-32X 03 27 3,y=cosx-5-4 .7223 2322 5 2“如血的+朗+9=心服如+沟+用的周期为何.（2）认知⑴A =1/W +创型函数的周期y = |月劭（枷+或）| j = A 匚。

5（西+励|（ii ）若函数为,（收斗劭 型两位函数之和，则探求周期适于“最小公倍数法”. （iii ）探求其它“杂”三角函数的周期，基本策略是试验一一猜想一一证明.（3）特殊情形研究JT(i ) y = tanx — cotx 的最小正周期为27T（ii ） y=卜由H+|M 幻的最小正周期为，；7T（iii ） y = sin 4x + cos 4x 的最小正周期为，. _由此领悟“最小公倍数法”的适用类型，以防施错对象 .4、单调性（1）基本三角函数的单调区间（族）依从三角函数图象识证“三部曲”：①选周期：在原点附近选取那个包含全部锐角，单调区间完整，并且最好关于原点对称的 一个周期；②写特解：在所选周期内写出函数的增区问（或减区问）；③获通解：在②中所得特解区间两端加上有关函数的最小正周期的整数倍，即得这一函数 的增区间族（或减区间族）循着上述三部曲，便可得出课本中规范的三角函数的单调区间族 .揭示：上述“三部曲”也适合于寻求简单三角不等式的解集或探求三角函数的定义域（2） y=/（而+初 型三角函数的单调区问的周期为y = （助+切1_r= |达匚祖（姗+阖| 的周期为 7T(ii) > = 1/(耽+如+同3=0)的周期1y 二|金£血（为工卜8］妣+3）+甘¥ = |例如（而+5+上］ J = |总二加侬大+的+. 的周期为祠；,7T的周期为:. 均同它们不加绝对值时的周期相同，即对 数的周期不变.注意这一点与（i ）的区别.y=八加+◎+上的解析式施加绝对值后，该函此类三角函数单调区间的寻求“三部曲”为 ①换元、分解：令u =z 中,将所给函数分解为内、外两层：y = f (u) , u =®x+卯;②套用公式：根据对复合函数单调性的认知，确定出 f (u)的单调性，而后利用(1)中公 式写出关于u 的不等式；③还原、结论：将u =^+W 代入②中u 的不等式，解出x 的取值范围，并用集合或区间 形成结论.正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质:/y sinx y cosxy tanxy cotxy Asin x(A 、 >0)定义域 R R x | x R 且 x k 1 ,k Zx| x R 且x k ,k ZR值域 [1, 1][1, 1]R RA, A周期性 2 22奇偶性奇函数 偶函数奇函数 奇函数当 0,非奇非偶 当0,奇函数单调性[2 2k , —2k ] 2上为增函 数； [2 2k ,3——2k ] 2上为减函 数(k Z )[2k 1 , 2k ]上为增函 数[2k , 2k 1 ]上为减函数(k Z )一k ,一 k 2 2 上为增函数(k Z )k , k 1上为减函数(k Z )2k2(A),2k -2( A)上为增函数；2k 一------ 2— (A), 2k------ 2——(A)上为减函数(k Z )注意：①y sinx 与y sinx 的单调性正好相反；y cosx 与y cosx 的单调性也同样相反.一般 地，若y f(x)在［a,b ］上递增(减)，则y f (x)在［a,b ］上递减(增)y忖n x 与y cosx 的周期是.-(k Z),对称中心(k ,0); y cos( x )的对称轴方); y tan( x )的对称中心(工,0).,02③ y sin( x )或 y cos( x )0)的周期T 2y tan x 的周期为2 2 (T _ T 2，如图，翻折无效)④y sin( x )的对称轴方程是x k 程是x k (k Z ),对称中心(ky cos2x 原点对称 y cos( 2x) cos2x⑤ 当 tan tan 1, k ,(k Z) ; tan tan 1, k ,(k Z).⑥y cosx 与y s in x _ 2k是同一函数，而y ( x )是偶函数，则2 1 、，、y ( x ) sin( x k ) cos( x).2⑦函数y tanx 在R 上为增函数.(耳［只能在某个单调区间单调递增 .若在整个定义域,y tanx 为增函数，同样也是错误的］.⑧定义域关于原点对称是f (x)具有奇偶性的必要不充分条件.(奇偶性的两个条件：一是定义域 关于原点对称(奇偶都要)，二是满足奇偶性条件，偶函数：f( x) f(x),奇函数：f( x) f(x)) 奇偶性的单调性：奇同偶反.例如：y tanx 是奇函数，y tan(x 1)是非奇非偶.(定义域不 3 关于原点对称)奇函数特有性质：若0 x 的定义域，则f(x)一定有f(0) 0. (0 x 的定义域，则无此性质)⑨y sinx 不是周期函数；y sinx 为周期函数(T )； y cosx 是周期函数(如图)；y cosx 为周期函数(T )；y cos2x1的周期为(如图)，并非所有周期函数都有最小正周期,2y f (x) 5 f (x k),k R . ⑩ y a cos bsinVa 2 b 2sin( ) cos b 有 Va 2 b 2 y .、形如y Asin( x )的函数:11、几个物理量：A 一振幅；f 1—频率(周期的倒数)；x 一相包； 一初相；2、函数y Asin( x )表达式的确定：A 由最值确定； 由周期确定； 由图象上的特殊点确定，如 f(x) Asin( x )(A 0,0, | 3.函数 y Asin( x ) B (其中 A 0,0)最大值是A B,最小值是B A,周期是T —,最小正周期T 六频率是f「相位是x,初相是；其图象的对称轴是直线x k 7k Z),凡| "^0的图象如图所小，则f (x)(答：f(x)152sin(-2x -));y=| cos2x+1/2|图象是该图象与直线y B 的交点都是该图象的对称中心4、研究函数y Asin( x )性质的方法：类比于研究y sin x 的性质，只需将y Asin( x ) 中的x 看成y sinx 中的x,但在求y Asin( x )的单调区间时，要特别注意 A 和 的 符号，通过诱导公式先将 化正。

初等函数的图形幂函数的图形指数函数的图形各三角函数值在各象限的符号sinα·cscαcosα·secαtanα·cotα反三角函数的图形设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）= -sinαcos（π＋α）= -cosαtan（π＋α）= tanαcot（π＋α）= cotα公式三任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（-α）= -sinαcos（-α）= cosαtan（-α）= -tanαcot（-α）= -cotα公式四利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π-α）= sinαcos（π-α）= -cosαtan（π-α）= -tanαcot（π-α）= -cotα公式五利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π-α）= -sinαcos（2π-α）= cosαtan（2π-α）= -tanαcot（2π-α）= -cotα三角函数公式证明（全部）公式表达式乘法与因式分解a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) 三角不等式|a+b|≤|a|+|b||a-b|≤|a|+|b||a|≤b<=>-b≤a≤b|a-b|≥|a|-|b|-|a|≤a≤|a|一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a-b-b+√(b2-4ac)/2a根与系数的关系X1+X2=-b/aX1*X2=c/a注：韦达定理判别式b2-4a=0 注：方程有相等的两实根b2-4ac>0 注：方程有一个实根b2-4ac<0 注：方程有共轭复数根三角函数公式两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)倍角公式tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctgacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2)sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2)cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA))ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosBctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB某些数列前n项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/21+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n22+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6 13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/41*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注：其中R 表示三角形的外接圆半径余弦定理b2=a2+c2-2accosB注：角B是边a和边c的夹角正切定理[(a+b)/(a-b)]={[Tan(a+b)/2]/[Tan(a-b)/2]}圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0抛物线标准方程y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py直棱柱侧面积S=c*h斜棱柱侧面积S=c'*h正棱锥侧面积S=1/2c*h'正棱台侧面积S=1/2(c+c')h'圆台侧面积S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l球的表面积S=4pi*r2圆柱侧面积S=c*h=2pi*h圆锥侧面积S=1/2*c*l=pi*r*l弧长公式l=a*ra是圆心角的弧度数r >0扇形面积公式s=1/2*l*r锥体体积公式V=1/3*S*H圆锥体体积公式V=1/3*pi*r2h斜棱柱体积V=S'L注：其中,S'是直截面面积，L是侧棱长柱体体积公式V=s*h圆柱体V=pi*r2h。

高考数学知识点：正切、余切函数的图象与性质_知识点总结
高考数学知识点：正切、余切函数的图象与性质正切函数的图像：余切函数的图像：
正切函数的性质：
（1）定义域：；
（2）值域是R，在上面定义域上无最大值也无最小值；
（3）周期性：是周期函数且周期是π，它与直线y=a的两个相邻交点之间的距离是一个周期π；
（4）奇偶性：是奇函数，对称中心是（k∈Z），无对称轴；
（5）单调性：正切函数在开区间内都是增函数。

但要注意在整个定义域上不具有单调性。

余切函数的性质:
（1）定义域：x
（2）值域：实数集R；
（3）周期性：是周期函数，周期为kπ（k∈Z且k≠0），最小正周期T=π
（4）奇偶性：奇函数，图像关于（，0）（k∈z）对称，实际上所有的零点都是它的对称中心（5）单调性：在每一个开区间（kπ,课前预习，（k+1）π），（k∈Z）上都是减函数，在整个定义域上不具有单调性。

学科教师辅导讲义年 级： 高一 辅导科目： 数学 课时数：课 题 正切函数和余切函数的图像与性质教学目的1、让学生掌握正切函数的图像，性质2、熟练求出正切函数的周期，单调区间等教学内容 【知识梳理】正切函数R x x y ∈=tan ，且()z k k x ∈+≠ππ2的图象，称“正切曲线”余切函数y ＝cotx ，x ∈(k π，k π+π)，k ∈Z 的图象（余切曲线）正切函数的性质：1．定义域：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠z k k x x ,2|ππ， 2．值域：R3．当z k k k x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+∈2,πππ时0>y ，当z k k k x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈πππ,2时0<y 4．周期性：π=T5．奇偶性：()x x tan tan -=-奇函数 6．单调性：在开区间z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++-ππππ2,2内，函数单调递增 余切函数y ＝cotx ，x ∈(k π，k π+π)，k ∈Z 的性质：1．定义域：z k k x R x ∈≠∈,π且2．值域：R ，3．当z k k k x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+∈2,πππ时0>y ，当z k k k x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈πππ,2时0<y 4．周期：π=T5．奇偶性：奇函数6．单调性：在区间()()ππ1,+k k 上函数单调递减【典型例题分析】例1、用图象解不等式3tan ≥x 。

解：利用图象知，所求解为z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++2,3ππππ亦可利用单位圆求解变式练习：tan 1x ≤-。

答案：,24k x k k Z ππππ-<≤-∈。

例2、作出函数()π2,0,tan 1tan 2∈+=x x xy 且23,2ππ≠x 的简图 解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛∈-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛∈==+=23,2,sin 2,232,0,sin cos 1tan tan 1tan 2πππππx x x x x x x x y例3、求下列函数的定义域。

学科教师辅导讲义定义域：z k k x R x ∈≠∈,π且值域：R ，当z k k k x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+∈2,πππ时0>y ，当z k k k x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈πππ,2时0<y 周期：π=T奇偶性：奇函数单调性：在区间()()ππ1,+k k 上函数单调递减【典型例题分析】例1、比较⎪⎭⎫ ⎝⎛-413tan π与⎪⎭⎫ ⎝⎛-517tan π的大小 解：tan 413tan -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-πΘ4π，52tan 517tan ππ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-， 又：⎪⎭⎫ ⎝⎛=<<2,0tan ,5240πππ在x y 内单调递增， ⎪⎭⎫ ⎝⎛->⎪⎭⎫ ⎝⎛-->-∴<∴ππππππ517tan 413tan ,52tan 4tan ,52tan4tan 即 变式练习：不通过求值，比较tan135°与tan138°的大小解：∵90°＜135°＜138°＜270°又∵y ＝tan x 在x ∈(90°，270°)上是增函数∴tan135°＜tan138°例2、求函数tan(3)3y x π=-的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性。

解析：令33t x π=-，则由,2t k ππ≠+得5()318k x k Z ππ≠+∈，4、函数y ＝sin x ＋tan x ，x ∈［－4π，4π］的值域为 5、函数y ＝cot x －tan x 的周期为6、函数y ＝xx 22tan 1tan 1+-的周期为 7、作出函数y ＝｜tan x ｜的图象，并观察函数的最小正周期和单调区间8、试证cot x ＝－tan （2π＋x ），并指出通过怎样的图象变换可由y ＝tan x 的图象得到y ＝cot x 的图象9、作出函数y ＝xx 2tan 1tan 2-的图象，并观察函数的周期参考答案： 1C 2B 3C 4［－122,122+-］ 5 2π 6π 7函数y ＝｜tan x ｜的图象如下图：函数y ＝｜tan x ｜的周期为π单调递增区间为［k π，2π＋k π］，k ∈Z 单调递减区间为(－2π＋k π，k π］，k ∈Z8(略)9函数y ＝xx 2tan 1tan 2-的图象如下图： 周期为π【课堂总结】本节课我们研究了正切函数和余切函数的图象和性质，并能在解题中应用【课后练习】1、正切函数在其定义域上有最值吗?答：没有，因为正切函数的值域为R 且不等于k π＋2π (k ∈Z )．2、在下列函数中，同时满足的是( )①在(0，2π)上递增；②以2π为周期；③是奇函数 A y ＝tan x B y ＝cos xC y ＝tan 21x D y ＝－tan x 答案：C3、函数y ＝tan(2x ＋4π)的图象被平行直线)(82Z ∈+=k k x ππ隔开，与x 轴交点的坐标是))(0,82(Z ∈-k k ππ与y 轴交点的坐标是(0，1)，周期是2π，定义域的集合是},82|{Z R ∈+≠∈k k x x x ππ且，值域的集合是R ，它是非奇非偶函数4、函数y ＝x sin -＋x tan 的定义域是( )A (2k ＋1)π≤x ≤(2k ＋1)π＋2π，k ∈Z B (2k ＋1)π＜x ＜(2k ＋1)π＋2π，k ∈Z C (2k ＋1)π≤x ＜(2k ＋1)π＋2π，k ∈Z D (2k ＋1)π＜x ＜(2k ＋1)π＋2π或x ＝k π，k ∈Z 解：由⎩⎨⎧≥≤0tan 0sin x x ，得(2k ＋1)π≤x ＜(2k ＋1)π＋2π 答案：C5、已知y ＝tan 2x －2tan x ＋3，求它的最小值解：y ＝(tan x －1)2＋2,当tan x ＝1时，y min ＝2。

正切函数1.正切函数的图像(1)根据tan(x+π)=)cos()sin(ππ++x x =x xcos sin --=tanx(其中x ≠k π+2π,k ∈Z)推出正切函数的周期为π.(2)根据tanx=x xcos sin ,要使tanx 有意义，必须cosx ≠0,从而正切函数的定义域为{x ｜x ≠k π+2π,k ∈Z}(3)根据正切函数的定义域和周期，我们取x ∈(-2π,2π).利用单位圆中的正切线，通过平移，作出y=tanx,x ∈(-2π,2π)的图像，而后向左、向右扩展，得y=tanx,x ≠k π+2π(k∈Z)的图像，我们称之为正切曲线，如下图.y=tanx2.余切函数的图像如下：y=cotx3.正切函数、余切函数的性质： 正切函数y=tanx余切函数y=cotx注：正切函数在每一个开区间(k π-2,k π+2)(k ∈Z)是增函数，但不能说成在整个定义域是增函数，类似地，余切函数也是如此.【重点难点解析】∈R,x ≠k π+2π,k ∈Z}，所以它的图像被平行线x=k π+2π(k ∈Z)隔开而在相邻两平行线之间的图像是连续变化的.1.正切函数应注意以下几点：(1)正切函数y=tanx 的定义域是{x ｜x ≠k π+2π,k ∈Z},而不是R ，这点要特别注意：(2)正切函数的图像是连续的，不是连续的，但在区间(k π-2π,k π+2π)(k ∈Z)上是连续的；(3)在每一个区间(k π-2π,k π+2π)(k ∈Z)上都是增函数，但不能说正切函数是增函数.2.解正切不等式一般有以下两种方法：图像法和三角函数线法.图像法即先画出正切函数的图像，找到符合条件的边界角，再写出所有符合条件的角的集合.三角函数线法那么先在单位圆中作出角的边界值时的正切线，得到边界角的终边，在单位圆中划出符合条件的区域(这里特别要注意函数的定义域)，再用不等式正确表示区域.例1 作出函数y=｜tanx ｜的图像，并根据图像求其单调区间.分析：要作出函数y=｜tanx ｜的图像，可先作出y=tanx 的图像，然后将它在x 轴上方的图像保存，而将其在x 轴下方的图像向上翻(即作出关于x 轴对称图像)，就可得到y=｜tanx ｜的图像.解：由于y=｜tanx ｜= tanx,x ∈Z ［k π,k π+2π］-tanx,x ∈(k π-2π,k π)(k ∈Z)所以其图像如下图，单调增区间为［k π,k π+2π)(k ∈Z);单调减区间为(k π-2π,k π］(k ∈Z).说明：根据图像我们还可以发现：函数y=｜tanx ｜的最小正周期为π.一般地，y=A ｜tan(ωx+φ)｜的最小正周期与y=Atan(ωx+φ)的最小正周期一样，均为ωπ.例2 求函数y=lg(tanx-3)+3cos 2+x 的定义域. 解：欲使函数有意义，必须tanx ＞3, 2cosx+3≥0,x ≠k π+2π(k ∈Z)由此不等式组作图∴函数的定义域为(k π+3π,k π+2π).评析：解正切不等式一般有两种方法：图像法和三角函数线法.图像法即先画出函数图像，找出符合条件的边界角，再写出符合条件的角的集合.三角函数线法那么是先在单位圆中作出角的边界值时的正切线，得到边界角的终边，在单位圆中画出符合条件的区域.要特别注意函数的定义域.例3 求函数y=tan(2x-3π)的单调区间.解：y=tanx,x ∈(-2π+k π, 2π+k π)(k ∈Z)是增函数.∴-2π+k π＜2x-3π＜2π+k π,k ∈Z.即-12π+2πk ＜x ＜125π+2πk ，k ∈Z函数y=tan(2x-3π)的单调递增区间是(-12π+2πk ,125π+ 2πk ).(k ∈Z)例4 求函数f(x)=tan(2x+3π)的周期.解：因为tan(2x+3π+π)=tan(2x+3π)即tan ［2(x+2π)+3π］=tan(2x+3π)∴tan(2x+3π)的周期是2π.例5 求函数y=3tan(2x+3π)的对称中心的坐标.分析：y=tanx 是奇函数，它的对称中心有无穷多个，即(2πk ,0)(k ∈Z).函数y=Atan(ωx+φ)的图像可由y=tanx 经过变换图像而得到，它也有无穷多个对称中心，这些对称中心恰好为图像与x 轴交点.解：由2x+3π= 2πk ,(k ∈Z)得 x=4πk -6π(k ∈Z)∴对称中心坐标为(4πk -6π,0)(k ∈Z)注意：函数y=Atan(ωx+φ)(A ＞0,ω＞0)的图像及性质可与函数y=Asin(ωx+φ)(A ＞0,ω＞0)的图像及性质加以比拟研究.【难题巧解点拔】例 判断函数f(x)=tan(x-4π)+tan(x+4π)的奇偶性，并求此函数的周期及单调区间.分析：奇偶性的判断必须考虑①定义域是否关于原点对称.②是否对任意x 有f(-x)=-f(x)，或f(-x)=f(x)成立；关于周期和单调性必须将函数化为一个三角函数的形式方可求.解：此函数的定义域为{x ｜x ∈R 且x ≠k π+4π,k ∈Z}它是关于原点对称.又f(-x) =tan(-x+4π)+tan(-x-4π)=-tan(x-4π)-tan(x+4π)=-f(x)故此函数是奇函数.y=tan(x-4)+tan(x+4)=tan ［(x-4π)+(x+4π)］［1-tan(x-4π)tan(x+4π)］=tan2x ［1+cot(x+4π)tan(x+4π)］=2tan2x∵sin(2π-a)=cosacos(2π-a)=sina∴tan(2π-a)=cotacot(2π-a)=tana故tan ［2π-(x+4π)］=cot(x+4π)即-tan(x-4π)=cot(x+4π)周期为2π当k π-2π＜2x ＜k π+2π 2πk -4x ＜x ＜2πk +4π(k ∈Z)即x ∈(2πk -4π,2πk + 4π)时，原函数是增函数.评析：此题的难点在于通过三角恒等化简，将函数化为一个三角函数.同时要求同学们必须熟悉正切函数的性质.y=Atan(ωx+φ)(A ≠0)的周期为T=ωπ.例2)]6cos(9211lg[π+-x ≤1,求函数y=cot 2x-2cotx+5的值域.分析：从条件的不等式中解出cotx 的围，然后在此条件下求被求函数的值域.解：由条件，可得0≤lg ［211-9cos(x+6π)］≤1.得-21≤cos(x+6π)≤21∴k π+3π≤x+6π≤k π+32π,k ∈Z.∴k π+6≤x ≤k π+2,k ∈Z.∴0≤cotx ≤3 y=cot 2x-2cotx+5=(cotx-1)2+4∴当x=k π+4π,k ∈Z 时，y 取最小值4.当x=k π+2π,k ∈Z 时，y 取最大值5.从而函数y=cot 2x-2cotx+5的值域是［4,5］.【典型热点考题】例1 满足tan α≥cot α的角的一个取值区间是( )A.(0，4π)B.［0，4π］C.［4π，2π］D.(4π，2π)分析：本考察正切函数单调性，应化同名函数，再化角为同一单调区间.解：由选择项，可以考虑α∈(0，2π)的性况.∵tan α≥tan(2π-α),且α, 2π-α∈(0, 2π)∴α≥2π-α,∴4π≤α＜2π.应选C.例2 函数y=x x2tan 12tan 122+-的最小正周期是( )A. 4πB. 2πC.πD.2π解法1：将四个选项分别代入函数式验算，可知B 正确. ∴应选B.解法2：y=x x2tan 12tan 122+-=cos4x∴T=42π=2π∴应选B.例3 函数y=x21log 2++x tan 的定义域是.解：x 应满足2+log 21x ≥0 ①x ＞0 ② tanx ≥0 ③x ≠k π+2π,k ∈Z ④由①②得0＜x ≤4 ⑤由③④并注意到⑤得 0＜x ≤40≤x ＜2π或π≤x ＜23π∴0＜x ＜2π或π≤x ≤4.∴应填(0，2π)∪[π，4]例4 如果α、β∈(2π,π),且tan α＜cot β,那么必有( )A.α＜βB.β＜αC.α+β＜23πD.α+β＞23π解：∵tan α＜cot β＜0，∴tan αtan β＞1.有tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan -+＞0有α+β∈(π，23π)∴α+β＜23π.∴应选C.说明：此题也可采取化为同名函数的方法，或都取特殊值比方取α=β=32π,可排除A 、B 、D.【同步达纲练习】 一、选择题1.以下不等关系中，正确的选项是( )A.cot3＞cot4＞cot5B.cot4＞cot3＞cot5 B.cot4＞cot5＞cot3 D.cot5＞cot4＞cot32.以下不等式中，正确的选项是( )A.tan 74π＞tan 73πB.tan(-413π)＞tan(-512π)C.cot4＜cot3D.cot281°＜cot665°3.观察正切曲线，满足条件｜tanx ｜≤1的x 的取值围是(其中k ∈Z) ( )A.(2k π-4π,2k π+4π)B.(k π,k π+4π)C.(k π-4π,k π+4π)D.(k π+4π,k π+43π)4.函数y=tanx-cotx 的奇偶性是( )A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数，也是偶函数D.非奇非偶函数5.如果4π＜θ＜2π，那么sin θ,cos θ,tan θ的大小关系是( )A.sin θ＜cos θ＜tan θB.cos θ＜sin θ＜tan θC.tan θ＜sin θ＜cos θD.cos θ＜tan θ＜sin θ6.y=tanx+cotx 的最小正周期是( ) A.πB. 2πC. 4πD.以上均不正确7.将函数y=tan2x 的图像向右平移4π个单位后得到的图像的解析式为( )A.y=tan(2x+4π)B.y=tan(2x-4π)C.y=cot2xD.y=-cot2x8.假设tan(2x-3π)≤1,那么x 的取值围是( )A. 2πk -12π≤x ≤2πk +247π(k ∈Z)B. 2πk -12π＜x ≤2πk +247π(k ∈Z)C.k π-12π≤x ＜k π+247π(k ∈Z)D.k π-12π＜x ＜k π+247π(k ∈Z)9.函数f(x)=xx cot cot 1+的定义域为( ) A.(k π,k π+2π),k ∈Z B.(k π-2π,k π),k ∈ZC.(k π,k π+π),k ∈ZD.以上均不正确10.以下命题中正确的选项是( ) A.y=tanx 在第一象限单调递增. B.在y=cotx 中，x 越大，y 反而越小 C.当x ＞0时，tanx ＞0. D.以上均不正确.11.函数y=tan(21x-3π)在一个周期的图像是( )12.函数f(x)=x x xx 2sin 2cos 2sin 2cos -+的最小正周期是( )A.4πB.2πC.πD. 2π二、填空题1.使函数y=tanx 和y=cosx 同时为单调递增函数的区间是.2.满足tan α＜cot α的角α的围是.3.函数y=3tan(21x-4π)的定义域是，值域是.4.函数y=sinx+cotx 的图像关于对称.三、解答题：1.求以下函数的定义域：(1)y=x x sin 21)1lg(tan -- (2)y=)3tan(1cos 2π--x x(3)y=2cot3x-2.求函数y=θθθθtan sec tan sec 22-+的值域.3.求函数y=-2tan(3x+3π)的定义域、值域，并指出它的周期性，奇偶性和单调性.4.f(x)=tan(2x-b π)的图像的一个对称中心为(3π，0)，假设｜b ｜＜31，求b 的值.【素质优化训练】1.解不等式3tan 2(2x-4π)-(3-3)tan(2x-4π)-3≤0.2.函数f(x)=tan(ωx+φ),且对于定义域任何实数x ，都有f(x)=f(x+1)-f(x+2),比拟tan(ωa+φ+3ω)与tan(ωa+φ-3ω)的大小.3.有两个函数f 1(x)=asin(kx+3π),f 2(x)=bsin(kx-3π)(k ＞0)它们的最小正周期之和为2π，且f 1(2π)=f 2(2π),f 1(4π)=-3f 2(4π)+1,求a 、b 、k 之值.4.关于x 的一元二次方程4x 2+5x+k=0的两根分别为sin θ、cos θ,(1)求k.(2)求以tan θ、cot θ为两根的一元二次方程.5.求证：函数y=Atan(ωx+φ)(A ω≠0)为奇函数的充要条件是φ=k π(k ∈Z).答案：【同步达纲练习】一、1.C 2.B 3.C 4.A 5.B 6.A 7.D 8.B 9.A 10.D 11.A 12.D二、1.［2k π-π,2k π-2π)和(2k π-2π,2k π](k ∈Z)2.(k π,k π+4π)∪(k π+2π,k π+43π)(k ∈Z)3.{x ｜x ≠2k π+23π,k ∈Z}4.(k π,0)(k ∈Z)三、1.(1)(2k π-43π,2k π-2π)(k ∈Z)(2){x ｜2k π-3π≤x ＜2k π+3π,且x ≠2k π-6π,k ∈Z }(3){x ｜2k π+3π≤x ＜2k π+2π,k ∈Z }2. 31≤y ≤33.定义域{x ｜x ≠3πk +18π,k ∈Z}值域R ，周期3π，非奇非偶函数在区间(3πk -185π,3πk +18π)(k ∈Z)上是单调减函数..11 / 11 4.b=-31【素质优化训练】1.{k ｜2πk +24π≤x ≤2πk +4π,k ∈Z}2.相等3.a=-3-1,b=3+1,k=24.(1)k=89 (2)x 2-932x+1=05.略。

专题4.7 三角函数的图象与性质-重难点题型精讲1．正弦函数与余弦函数的图象(1)正弦函数的图象①根据三角函数的定义，利用单位圆，我们可以得到函数y=,x∈[0,2π]的图象，如图所示.②五点法观察图，在函数y=,x∈[0,2π]的图象上，以下五个点：,1),( π,0),(-1),(2π,0)在确定图象形状时起关键作用.描出这五个点，函数y=,x∈[0,2π]的图象形状就基本确定了.因此，在精确度要求不高时，常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图.这种作图的方法叫做“五点(画图)法”.(2)余弦函数的图象①图象变换法作余弦函数的图象由诱导公式六，我们知道，而函数x∈R的图象可以通过正弦函数y=,x∈R的图象向左平移个单位长度而得到.所以将正弦函数的图象向左平移个单位长度，就得到余弦函数的图象，如图所示.②五点法作余弦函数的图象类似于正弦函数图象的作法，从余弦函数y=,x∈R的图象可以看出，要作出函数y=在[0,2]上的图象，起关键作用的五个点是：(0,1),(,0),(,-1),(,0),(2,1).先描出这五个点，然后把这五个点用一条光滑的曲线连接起来就得到了函数y=在[0,2]上的简图，再通过左右平移(每次移动2个单位长度)即可得到余弦函数y=,x∈R的图象.(3)正弦曲线、余弦曲线正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.它们是具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线.2．正弦函数与余弦函数的性质(1)周期函数①定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x+T∈D，且f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.②最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.(2)正弦函数与余弦函数的性质正弦函数与余弦函数的图象与性质如下表：3．正弦型函数的性质的性质4．正切函数的性质与图象(1)正切函数的图象及性质(2)三点两线法作正切曲线的简图类比于正、余弦函数图象的五点法，我们可以采用三点两线法作正切函数的简图.“三点”是指点(-,-1),(0,0),(,1);“两线”是指直线x=-和x=.在三点、两线确定的情况下,可以大致画出正切函数在区间(-上的简图.5．余切函数的图象及性质正切函数的图象及性质：的图象先向右平移个单位长度，再以x轴为对称轴上下翻折，可得的图象.余切函数的图象与性质如下表：【题型1 三角函数的定义域和值域（最值）】【方法点拨】求与三角函数有关的函数的值域(最值)的常用方法有：(1)借助三角函数的有界性、单调性求解；(2)转化为关于的二次函数求解.注意求三角函数的最值对应的自变量x的值时，要考虑三角函数的周期性.【例1】（2022·甘肃·高二开学考试）函数f(x)=tan(x+π4)的定义域为（）A．{x|x≠kπ+π4,k∈Z}B．{x|x≠2kπ+π4,k∈Z}C．{x|x≠kπ−π4,k∈Z}D．{x|x≠kπ,k∈Z}【解题思路】根据正切函数的定义域可得结果.【解答过程】因为x+π4≠kπ+π2,k∈Z，所以x≠kπ+π4,k∈Z.故f(x)的定义域为{x|x≠kπ+π4,k∈Z}.故选：A.【变式1-1】（2022·四川省高三阶段练习（理））若x∈[π4,2π3]，则函数f(x)=3sin x cos x+√3sin2x的值域为（ ） A ．[0,3√32]B ．[0,√32] C ．[0,√3]D ．[0,3+√3]【解题思路】利用二倍角公式和辅助角公式化简原式为f (x )=√3sin(2x -π6)+√32，结合正弦函数的图像和性质，求解即可. 【解答过程】由题意，f (x )=3sin x cos x +√3sin 2x =32sin2x +√32(1-cos2x )=√3×(√32sin2x -12cos2x )+√32=√3×(cos π6sin2x -sin π6cos2x )+√32=√3sin(2x -π6)+√32,当x ∈[π4,2π3]时，有2x -π6∈[π3,7π6]，当2x -π6=π2，即x =π3时，f (x )max =f (π3)=√3+√32=3√32； 当2x -π6=7π6，即x =2π3时，f (x )min =f (2π3)=0.即函数f (x )的值域为[0,3√32].故选：A.【变式1-2】（2022·福建省高二阶段练习）函数f (x )=sinx +cos (x +π6)的值域为（ ） A ．[−2,2]B ．[−√3,√3]C ．[−1,1]D ．[−√32,√32] 【解题思路】利用两角和的余弦公式和辅助角公式进行化简，即可得到答案 【解答过程】解：函数f (x )=sinx +cos (x +π6)=sinx +√32cosx −12sinx =√32cosx +12sinx =cos (x −π6)，∵x ∈R ，∴cos (x −π6)∈[−1,1]，∴函数的值域为[−1,1]， 故选：C ．【变式1-3】（2022·全国·高一单元测试）若x ∈[−π3,2π3]，则函数y =cos 2(x +π6)+sin (x +2π3)的最大值与最小值之和为（ ）A ．12B ．1C ．74D ．√2【解题思路】利用诱导公式可化简函数为y =(cos (x +π6)+12)2−14，根据余弦型函数值域的求法可求得cos(x+π6)∈[−√32,1]，结合二次函数最值的求法可求得y的最大值和最小值，加和即可求得结果.【解答过程】y=cos2(x+π6)+sin(x+2π3)=cos2(x+π6)+sin(π2+x+π6)=cos2(x+π6)+cos(x+π6)=(cos(x+π6)+12)2−14，当x∈[−π3,2π3]时，x+π6∈[−π6,5π6]，∴cos(x+π6)∈[−√32,1]，∴当cos(x+π6)=1时，y max=94−14=2；当cos(x+π6)=−12时，y min=−14；∴y max+y min=2−14=74.故选：C.【方法点拨】证明一个函数是否为周期函数或求函数周期的大小常用以下方法：(1)定义法：即对定义域内的每一个x值，看是否存在非零常数T使f(x+T)=f(x)成立，若成立，则函数是周期函数且T是它的一个周期.(2)公式法：利用三角函数的周期公式来求解.(3)图象法：画出函数的图象，通过图象直观判断即可.【例2】（2023·广东·高三学业考试）函数f(x)=sin(x2−π4)的最小正周期是（）A．π2B．πC．2πD．4π【解题思路】利用正弦函数的周期求解．【解答过程】f(x)的最小正周期为T=2π12=4π．故选：D．【变式2-1】（2023·广东·高三学业考试）函数f(x)=cos(12x+π6)的最小正周期为（）A．π2B．πC．2πD．4π【解题思路】利用余弦型函数的周期公式进行求解.【解答过程】∵f(x)=cos(12x+π6)，∴f(x)最小正周期T=2π12=4π．故A，B，C错误.故选：D.【变式2-2】（2022·甘肃临夏·高二期末（理））函数f(x)=cos(ωx+π6)(ω>0)的最小正周期为π，则f(π2)=（）A．−√32B．−12C．12D．√32【解题思路】由周期求出ω，从而可求出f(x)，进而可求出f(π2).【解答过程】因为函数f(x)的最小正周期为π，ω>0，所以ω=2ππ=2，得f(x)=cos(2x+π6)，所以f(π2)=cos(2×π2+π6)=−cosπ6=−√32．故选：A.【变式2-3】（2022·广东佛山·高三阶段练习）在下列函数中，最小正周期为π且在(0,π2)为减函数的是（）A．f(x)=sin|2x|B．f(x)=cos(2x+π6)C．f(x)=|cosx|D．f(x)=tan(2x−π4)【解题思路】根据三角函数的图像性质，逐个选项进行判断即可得出答案.【解答过程】对于A，f(x)=sin|2x|的图像关于y轴对称，在(0,π2)为增函数，不符题意，故A错；对于B，f(x)=cos(2x+π6)的最小正周期为π，x∈(0,π2),2x+π6∈(π6,7π6)，不是减函数，不符题意，故B错；对于C，f(x)=|cosx|的最小正周期为π，在(0,π2)为减函数，符合题意，故C对；对于D，f(x)=tan(2x−π4)的最小正周期为π2，不符题意，故D错；故选：C.【题型3 三角函数的奇偶性】【方法点拨】掌握正弦、余弦、正切函数的奇偶性相关知识，结合具体题目，灵活求解.【例3】（2022·广东·高三学业考试）若函数f(x)=sin(x+φ)是偶函数，则φ可取一个值为（）A．−πB．−π2C．π4D．2π【解题思路】根据偶函数的定义得φ=kπ+π2,k∈Z,结合选项可确定答案.【解答过程】∵函数f(x)=sin(x+φ)是偶函数，∴f(−x)=f(x)，即sin(−x+φ)=sin(x+φ).∴−x+φ=x+φ+2kπ或−x+φ+x+φ=π+2kπ,k∈Z.当−x+φ=x+φ+2kπ时，可得x=−kπ，不满足函数定义.当−x+φ+x+φ=π+2kπ时，φ=kπ+π2,k∈Z,若φ=kπ+π2=−π，解得k=−32∉Z，故A错误;若φ=kπ+π2=−π2，解得k =−1∈Z ，故B 正确; 若φ=kπ+π2=π4，解得k =−14∉Z ，故C 错误;若φ=kπ+π2=2π，解得k =32∉Z ，故D 错误;故选:B.【变式3-1】（2022·全国·高一）下列函数中，在其定义域上是偶函数的是（ ） A ．y =sinxB ．y =|sinx |C ．y =tanxD ．y =cos (x −π2)【解题思路】根据奇偶性定义，结合三角函数的奇偶性可直接得到结果.【解答过程】对于A ，∵y =sinx 定义域为R ，sin (−x )=−sinx ，∴y =sinx 为奇函数，A 错误；对于B ，∵y =|sinx |定义域为R ，|sin (−x )|=|−sinx |=|sinx |，∴y =|sinx |为偶函数，B 正确；对于C ，∵y =tanx 定义域为(kπ−π2,kπ+π2)(k ∈Z )，即定义域关于原点对称，tan (−x )=−tanx ，∴y =tanx 为奇函数，C 错误；对于D ，∵y =cos (x −π2)=sinx 定义域为R ，sin (−x )=−sinx ，∴y =cos (x −π2)为奇函数，D 错误. 故选：B.【变式3-2】（2022·北京高三阶段练习）函数f (x )=cos x +cos2x 是（ ） A ．奇函数，且最大值为2 B ．偶函数，且最小值为-98 C ．奇函数，且最小值为-98D ．偶函数，且最大值为98【解题思路】利用函数奇偶性的定义可判断出函数f (x )的奇偶性，利用二次函数的基本性质可求得函数f (x )的最值.【解答过程】函数f (x )的定义域为R ，f (-x )=cos (-x )+cos (-2x )=cos x +cos2x =f (x )， 故函数f (x )为偶函数，因为-1≤cos x ≤1，则f (x )=2cos 2x +cos x -1=2(cos x +14)2-98， 所以，f (x )min =-98，f (x )max =2+1-1=2.故选：B.【变式3-3】（2022·广西·模拟预测（理））若将函数f (x )=sin2x −√3cos2x 的图象向右平移m (m >0)个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则m 的最小值是（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【解题思路】首先对f (x )化简得到f (x )=2sin (2x −π3)，再写出平移后的解析式y =2sin (2x −2m −π3)，因为其为奇函数，则−2m −π3=k π,k ∈Z ，解出m 即可得到最小值.【解答过程】f (x )=sin2x −√3cos2x =2(12sin2x −√32cos2x)=2sin (2x −π3)，向右平移m(m >0)个单位后得到函数y =2sin [2(x −m )−π3]=2sin (2x −2m −π3)，由于是奇函数，因此，得−2m −π3=k π,k ∈Z ，m =−π6−k π2,k ∈Z.又∵m >0，则当k =−1时，m 的最小值是π3，故选：B.【方法点拨】掌握正弦、余弦、正切函数的对称性相关知识，结合具体题目，灵活求解.【例4】（2022·安徽·高三开学考试）函数f (x )=tan (2x −π3)的图象的一个对称中心为（ ） A ．(π12,0)B ．(7π12,0)C ．(−5π12,0)D ．(−π12,0)【解题思路】根据正切型函数的对称中心为(k π2,0) k ∈Z ，求解即可. 【解答过程】由2x −π3=k π2,k ∈Z ，可得x =k π4+π6,k ∈Z ，当k =0时，x =π6，当k =1时，x =π4+π6=5π12，当k =2时，x =8π12=23π， 当k =−1时，x =−π4+π6=−π12， 当k =−2时，x =−4π12=−13π， 当k =−3时，x =−7π12，所以(−π12,0)为f (x )图象的一个对称中心， 故选：D.【变式4-1】（2022·河南·高三阶段练习（理））已知函数f (x )=2cos (ωx −π6)(ω>0)在[0,2π]内恰有三条对称轴，则ω的取值范围是（ ） A ．[43,116)B ．(43,116]C ．[1312,1912)D ．(1312,1912]【解题思路】根据余弦函数的性质可得2π≤2ωπ−π6<3π，进而即得. 【解答过程】因为0≤x ≤2π， 所以−π6≤ωx −π6≤2ωπ−π6， 所以2π≤2ωπ−π6<3π， 解得1312≤ω<1912．故选：C.【变式4-2】已知函数f(x)=sin (12x −π6)，则结论正确的是（ ）A ．f (x )的图象关于点(5π3,0)中心对称B ．f (x )的图象关于直线x =−π3对称C ．f (x )在区间(−π,π)内有2个零点D ．f (x )在区间[−π2,0]上单调递增【解题思路】A 、B 应用代入法判断对称轴和对称中心；C 、D 根据给定区间求12x −π6的范围，结合正弦型函数的性质求零点和单调性. 【解答过程】A ：f(5π3)=sin (12×5π3−π6)=sin2π3≠0，故(5π3,0)不是对称中心，错误；B ：f(−π3)=sin[12×(−π3)−π6]=−sin π3≠±1，故x =−π3不是对称轴，错误；C ：在x ∈(−π,π)，则12x −π6∈(−2π3,π3)，故f(x)=0，可得12x −π6=0，所以x =π3为f (x )在(−π,π)内的唯一零点，错误；D ：在x ∈[−π2,0]，则12x −π6∈[−5π12,−π6]，故f(x)=sin (12x −π6)递增，正确. 故选：D.【变式4-3】（2022·贵州·高三阶段练习（文））已知函数f (x )=2cos (ωx +φ)（ω>0，0<φ<π）的相邻两条对称轴之间的距离为2π，且为奇函数，将f (x )的图象向右平移π3个单位得到函数g (x )的图象，则函数g (x )的图象（ ） A ．关于点(−5π3,0)对称B ．关于点(π2,0)对称 C ．关于直线x =−π3对称D ．关于直线x =π2对称【解题思路】两个相邻对称轴的为半个周期，奇函数可以确定f (x )为正弦函数，由此条件得出f (x )的解析式，再根据平移得出g (x )的解析式，根据解析式写出对称中心和对称轴的通式即可得出答案.【解答过程】由相邻两条对称轴之间的距离为2π可知T2=2π，即T =4π，ω=2πT ，ω=12, 因为f (x )为奇函数，根据0<φ<π可知φ=π2，f (x )=2sin 12x , g (x )=2sin (12(x −π3))=2sin (12x −π6),对称中心：12x −π6=k π(k ∈Z )，x =2k π+π3(k ∈Z )，故A 正确，B 错误;对称轴：12x −π6=π2+k π(k ∈Z )，x =2k π+4π3(k ∈Z )，故C 、D 错误;故选：A.【方法点拨】三角函数的单调性问题主要有：三角函数的单调区间的求解、比较函数值的大小、根据三角函数的单调性求参数；结合具体条件，根据三角函数的图象与性质进行求解即可.【例5】（2022·江西·高三阶段练习（理））函数y =sin (π6−2x)(x ∈[0,π])为增函数的区间是（ ） A ．[0,π3]B ．[π12,7π12]C ．[π3,5π6]D ．[5π6,π]【解题思路】根据三角函数单调性的求法求得正确答案. 【解答过程】y =sin (π6−2x)=−sin (2x −π6)，2k π+π2≤2x −π6≤2k π+3π2，k π+π3≤x ≤k π+5π6，k ∈Z ， 令k =0可的y =sin (π6−2x)(x ∈[0,π])的递增区间为[π3,5π6]. 故选：C.【变式5-1】（2022·河南信阳·一模（理））已知函数f (x )=2√3cos (x -π2)cos x -2sin 2x ，若f (x )在区间[m ,π4]上单调递减，则实数m 的取值范围（ ）A ．[π6,π4]B ．[π3,π2]C ．[π6,π4)D ．[π6,π3)【解题思路】利用三角恒等变换，化简三角函数，利用正弦型函数的单调性，建立不等式组，可得答案.【解答过程】f (x )=2√3cos (x -π2)cos x -2sin 2x =2√3sin x cos x -2·1-cos2x 2=√3sin2x -1+cos2x=2(√32sin2x +12cos2x)-1 =2sin (2x +π6)-1，由x ∈[m ,π4]，则2x +π6∈[2m +π6,2π3]，由题意，[2m +π6,2π3]⊆[π2,3π2]，则π2≤2m +π6<2π3，解得π6≤m <π4. 故选：C.【变式5-2】（2022·江苏·高三阶段练习）已知a =log 168，b =πln0.8，c =sin2.5，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．c <a <b B ．c <b <a C ．a <b <cD ．a <c <b【解题思路】由对数的运算法则求出a ，又πln0.8，sin2.5分别可看做y =πx ，y =sinx 的函数值，考虑构造指数函数和正弦函数，利用函数的单调性对其值进行估计，又因为ln0.8估值困难，故考虑利用与函数y =lnx 近似的有理函数y =1−1x 对其大小进行估值，最后求得答案.【解答过程】由题意，a =log 168=log 2423=34=0.75， 设f (x )=lnx +1x −1，则f ′(x )=1x −1x 2=x−1x 2，当0<x <1时，f ′(x )<0，函数f (x )在(0,1)上单调递减，当x >1时，f ′(x )>0，函数f (x )在(1,+∞)上单调递增，所以f (0.8)>f (1)，即ln0.8+54−1>0，所以ln0.8>−14，因为函数y =πx 在(−∞,+∞)上单调递增，所以πln0.8>π−14，又(π−14)−4=π，(34)−4=25681≈3.16，所以(34)−4>(π−14)−4，因为y =x−4在(0,+∞)单调递减，所以34<π−14，所以πln0.8>34，故b >a ， 因为3π4<2.5<5π6，函数y =sinx 在(π2,π)上单调递减，所以sin 5π6<sin2.5<sin3π4，所以12<sin2.5<√22，所以sin2.5<34，即c <a ，所以c <a <b ， 故选：A.【变式5-3】（2022·内蒙古·高三阶段练习（文））若函数f(x)=√2cos (ωx +π4)(ω>0)在(0,7π4)上单调递减，则ω的最大值为（ ）A ．37 B ．34C ．14D ．1【解题思路】由题知ωx +π4∈(π4,7π4ω+π4)，再根据函数y =√2cosx 在(0,π)上单调递减可得7π4ω+π4≤π，进而解不等式求解即可.【解答过程】解：因为函数f(x)=√2cos (ωx +π4)(ω>0)在(0,7π4)上单调递减，所以7π4≤12T =πω，解得0<ω≤47，因为x ∈(0,7π4)，所以ωx +π4∈(π4,7π4ω+π4)，因为函数y =√2cosx 在(0,π)上单调递减， 所以，函数f(x)=√2cos (ωx +π4)(ω>0)在(0,7π4)上单调递减，则有7π4ω+π4≤π，解得ω≤37，所以ω的取值范围是ω∈(0,37]，即ω的最大值为37. 故选：A.【方法点拨】解决正(余)弦型函数性质的综合应用问题的思路： (1)熟练掌握函数或的图象，利用基本函数法得到相应的函数性质，然后利用性质解题.(2)直接作出函数图象，利用图象形象直观地分析并解决问题. 【例6】已知函数f (x )=4sinxcos (x +π6)+1.(1)求f (x )的最小正周期及单调区间； (2)求f (x )在区间[−π6,π4]上的最大值与最小值.【解题思路】（1）先利用三角恒等变换化简得到f (x )=2sin (2x +π6)，从而利用T =2π|ω|求出最小正周期，再利用整体法求解函数的单调区间；（2）根据x ∈[−π6,π4]求出2x +π6∈[−π6,2π3]，从而结合函数图象求出最大值为2，最小值为−1.【解答过程】（1）因为f (x )=4sinx (cosxcos π6−sinxsin π6)+1=2√3sinxcosx −2sin 2x +1 =√3sin2x +cos2x =2sin (2x +π6) 所以f (x )的最小正周期T =2π2=π；令−π2+2k π≤2x +π6≤π2+2k π，k ∈Z ，解得：[−π3+k π,π6+k π]，k ∈Z ， 令π2+2k π≤2x +π6≤3π2+2k π，k ∈Z ，解得：[π6+k π,2π3+k π]，k ∈Z ，单调增区间为[−π3+k π,π6+k π]，k ∈Z ，单调减区间为[π6+k π,2π3+k π]，k ∈Z ；（2）已知x ∈[−π6,π4]，所以2x +π6∈[−π6,2π3]，当2x +π6=π2，即x =π6时，f (x )取得最大值，最大值为2， 当2x +π6=−π6，即x =−π6时，f (x )取得最小值，最小值为-1， 所以f (x )在区间[−π6,π4]上的最大值为2，最小值为−1.【变式6-1】（2022·陕西·高三阶段练习（文））已知函数f (x )=4sin (ωx +φ)（ω>0，|φ|<π2）图象的一条对称轴为直线x =−π12，这条对称轴与相邻对称中心之间的距离为π8．(1)求f (x )；(2)求f (x )在[−π24,π4]上的值域．【解题思路】（1）先求出周期，由此求出ω的值，利用对称轴方程求出φ，即可得到函数的解析式；（2）根据自变量的范围求得4x −π6∈[−π3,5π6]，根据正弦函数的取值求得函数的值域【解答过程】（1）因为函数f(x)图象的对称轴与相邻对称中心之间的距离为π8， 所以T =π2，故ω=2πT=4，又f(x)的图象的一条对称轴方程为x =−π12， 则4×(−π12)+φ=π2+k π，k ∈Z ，即φ=5π6+k π，k ∈Z ，又|φ|<π2，所以φ=−π6， 故f(x)=4sin (4x −π6)；（2）因为x ∈[−π24,π4]，所以4x −π6∈[−π3,5π6]，所以sin (4x −π6)∈[−√32,1]，所以4sin (4x −π6)∈[−2√3,4]， 故f (x )在[−π24,π4]上的值域为[−2√3,4].【变式6-2】（2021·天津·高一期末）已知函数f (x )=2√3cos 2(π2+x)-2sin(π+x )cos x -√3 (1)求f (x )的最小正周期及单调递减区间； (2)求f (x )在区间[π4,π2]上的最值；(3)若f (x 0-π6)=1013,x 0∈[3π4,π]，求sin2x 0的值．【解题思路】（1）根据三角恒等变换可得f (x )=2sin (2x -π3)，然后根据三角函数的性质即得；（2）根据正弦函数的性质即得；（3）由题可得sin (2x 0-2π3)=513，然后根据同角关系式及和差角公式即得. 【解答过程】（1）因为f (x )=2sin x cos x +2√3sin 2x -√3 =sin2x -√3cos2x =2sin (2x -π3)． 所以f (x )的最小正周期T =2π2=π，∵π2+2k π≤2x -π3≤3π2+2k π,k ∈Z ，∴5π12+k π≤x ≤11π12+k π，所以f (x )的单调递减区间为[5π12+k π,11π12+k π](k ∈Z)；（2）由（1）知f (x )的单调递减区间为[5π12+k π,11π12+k π](k ∈Z)，∵x ∈[π4,π2]，∴f (x )在[π4,5π12]上单调递增，在[5π12,π2]上单调递减，又f (5π12)=2sin π2=2,f (π4)=2sin π6=1,f (π2)=2sin2π3=√3，故f (x )min =1,f (x )max =2； 另解：∵x ∈[π4,π2]， ∴t =2x -π3∈[π6,2π3]，∵y =sin t 在t ∈[π6,π2]单调递增，在[π2,2π3]上单调递减， ∴当t =π2时，(sin t )max =1,f (x )max =2×1=2， ∴当t =π6时，(sin t )min =12,f (x )min =2×12=1； （3）∵f (x 0-π6)=1013，∴sin (2x 0-2π3)=513， 由x 0∈[3π4,π]，得2x 0-2π3∈[5π6,4π3]，∴cos (2x 0-2π3)=-1213， ∴sin2x 0=sin [(2x 0-2π3)+2π3]=sin (2x 0-2π3)cos2π3+cos (2x 0-2π3)sin 2π3=513×(-12)+(-1213)×√32=-5+12√326． 【变式6-3】（2022·黑龙江·高三阶段练习）已知函数f (x )=[(1+√2)sin x -cos x]⋅[(1-√2)sin x -cos x]. (1)求f (x )的最小正周期T 和单调递减区间；(2)四边形ABCD 内接于⊙O ，BD =2，锐角A 满足f (3A4)=-1，求四边形ABCD 面积S 的取值范围.【解题思路】（1）利用三角函数恒等变换公式对函数化简变形得f (x )=√2cos (2x +π4)，从而可求出最小正周期，再由2kπ≤2x +π4≤2kπ+π(k ∈Z )求出其单调区间，（2）由f (3A4)=-1，求得A =π3，再由圆的性质可得C =2π3，设AB =a ，AD =b ，BC =c ，CD =d ，分别在△ABD 和△CBD 中利用余弦定理结合基本不等式可得0<ab ≤4，0<cd ≤43，从而可求出四边形ABCD 面积S 的取值范围.【解答过程】（1）[(1+√2)sin x -cos x]⋅[(1-√2)sin x -cos x]=[(sin x -cos x )+√2sin x]⋅[(sin x -cos x )-√2sin x]=(sin x -cos x )2-2sin 2x =sin 2x -2sin x cos x +cos 2x -2sin 2x=1-2sin 2x -sin2x =cos2x -sin2x=√2cos (2x +π4)， ∴f (x )=√2cos (2x +π4) ∴T =π.由2kπ≤2x +π4≤2kπ+π(k ∈Z )，得kπ-π8≤x ≤kπ+3π8(k ∈Z )，所以f (x )单调递减区间为[kπ-π8,kπ+3π8](k ∈Z ). （2）由于f (3A4)=-1，根据（1）得√2cos (2×3A 4+π4)=-1，∵0<A <π2，∴A =π3，C =2π3.分别设AB =a ，AD =b ，BC =c ，CD =d .因BD =2，分别在△ABD 和△CBD 中由余弦定理得a 2+b 2-2ab cos π3=4，c 2+d 2-2cd cos2π3=4，∴a 2+b 2=4+ab ，c 2+d 2=4-cd .∵a 2+b 2≥2ab ，c 2+d 2≥2cd ，等号在a =b =2，c =d =2√33时成立，∴4+ab ≥2ab ，4-cd ≥2cd ，解得0<ab ≤4，0<cd ≤43. ∴0<ab +cd ≤163.等号在a =b =2，c =d =2√33时成立，∵S =12ab sin A +12cd sin C =√34(ab +cd )， 所以S 的取值范围是(0,4√33].。