数字信号处理 第04章 正交变换

DCT 变换矩阵、DST 变换矩阵的 行向量。
给定：
x(n), n = 1, 2, , N
DST
定义： X s (k) =
∑ 2 N
nkπ
x(n) sin( )
N +1 n=1
N +1
k = 1, 2, , N
反变换： x(n) =
∑ 2
N +1
N k =1
X
s
(k
)
sin(
nkπ )
N +1
n = 1, 2, , N
y = Ax 3. 反变换： x = A−1 y = AT y
不需要求逆，特别有利于硬件实现
性质2：展开系数是信号在基向量上的
准确投影 ϕ2
α2
α3
ϕ3
x
α1
ϕ1
非正交基的情况下，“基向量”称为“标架 （Frame)”, 这时，展开系数不是准确投影。
性质3：正交变换保证变换前后信号的能量不变，
此性质又称为“保范(数)变换”。
2N
DCT 反变换
一阶马尔可夫过程（Markov-1):语音和图象处 理中常用的数学模型。一个随机信号 ，若其 pdf满足如下关系
p[ X (tn+1) ≤ xn+1 X (tn ) = xn , X ( tn−1) = xn−1, , X ( t0 ) = x0 ]
= p[ X (tn+1) ≤ xn+1 X (tn ) = xn ], X (tn ) X (n)
即为正交变换，或保范（数）变换
AN×N 实际上是正交矩阵， AT = A−1
(二)、正交变换的性质：
性质1：正交变换的基向量即是其对偶基
向量，因此： 1. 若正变换存在，那么反变换一定存 在，且变换是唯一的；
2. 正交变换在计算上最为简单。如果 是离散信号，且 N 是有限值，那么 变换只是简单的矩阵与向量运算：
N
∑ x = αnϕn n =1
α 1 , α 2 ,......, α N 是分解系数
信号的离散表示
如何 求出 分解 系数
如何求分解系数 ？
Step1: 设想另有一组向量 ϕ 1 , ϕ 2 ,......, ϕ N
满足：< ϕi ,ϕ j
>=
1 0
i= j i≠ j
ϕˆ1
ϕˆ2
双正交关系( biorthogonality)
从而达到数据压缩的目的。
K—L 变换：
¾ 去除相关性最彻底，因此，在此意义上是最佳 的正交变换；
¾变换的正交矩阵 A 是由要变换的信号的协方差
矩阵 Cx 的特征向量所组成，因此，该变换严重 地依赖于待变换的信号。信号发生变化时，要重 新求变换矩阵。特征值和特征向量的计算是相当 费时的，因此，K—L变换没有快速算法。这就 限制了K—L变换的实际应用。
讲座2 ： 关于图象压缩及国际标准 4.6 Hilbert 变换 4.7 关于窄带信号
讲座3： 关于调制与解调
4.1 正交变换
一、信号的分解
概概念念：：
设空间 X 是由N维空间一组向量 ϕ1,ϕ2 ,......,ϕ N 所张成，即
X = span{ϕ1,ϕ2 ,......,ϕ N }
任一 x ∈ X ，都可作如下分解：
则称 X (t) 为一阶马尔可夫过程。该式的含意 是: 已知过程在现在时刻的状态，那么，下一 个时刻的状态只和现在的状态有关，而和过 去的状态无关。
令 ρ 是Markov-1 随机序列相邻两元素之间的相
关系数，则该序列的协方差矩阵有如下关系：
[Rx ]i, j = ρ i− j , i, j = 0,1, , N −1, ρ < 1
∑ || x ||2= x(n)x*(n) =< x, x > n ∑ = |αn |2 =||α ||2 n
此性质实际上是 Parseval’s 定理， 即信号变换前后能量保持不变。 注意，只有正交变换才有此性质。
性质4：信号正交分解具有最小平方近似性质。
N
∑ x = αnϕ∗n =<αn,ϕn > n=1
sin(8π / 9) sin(16π / 9)
sin(8π / 9) sin(16π / 9)

sin(64π / 9)
可以证明，DST在一定条件下也是对K—L
Sk,n =
2 sin( nkπ )
N +1 N +1
n, k = 1, 2, , N
变换 矩阵
si , s j
=
1 0
i= i≠
j j
DST也是 正交变换
Xs = SN x, x = ST N Xs
sin(π / 9) sin(2π / 9)
S8 =
2 sin(2π / 9)
9
sin(4π / 9)
的“对偶基”。如果：ϕi =ϕˆi 则称
ϕ1,ϕ 2, ,ϕ N
为一组正交基。
二、信号的正交变换
（一）正交变换的定义： 给定数据向量：
x = [x(0), x(1), , x(N −1)]T
A 及算子 N×N ,作变换 y = Ax ，若：
〈 Ax, Ax〉 = 〈 x, x〉 = 〈 y, y〉
N −1
ε = ∑ λi
最小
i = m +1
注意：对正交变换 y = Ax
y 不是时域序列，而是 x 的变换系数，
如 DFT 的 X (k) 。正交变换后，信号的能 量一般集中在少数的变换系数上，所以可以 舍去绝大部分系数，这并不明显损失信号的
能量。由剩下的少量系数，如 y ，通过反
变换 xˆ = A−1 y 可以很好的恢复出原信号。
{ } 协方差阵：Cx = E ( x − µx )( x − µx )T
体现了信 号各元素 之间的相 互关系
c00 c01

=
c10
c11

cN −10 cN −11
c0 N −1


c1N −1



cN −1 N −1

Cx (i, j) = Cx ( j, i)
K—L 变换的思路：
L变换的正交矩阵正是DCT变换的变换矩阵， 也即：此时的DCT近似K—L变换。因为DCT 有快速算法，另外， Markov-1过程可作为一 大类信号（语音、图象）的数学模型，因此 DCT在图象、语音压缩中起到了关键性的作用， 成为国际上许多标准（如 JPEG, MPEG）的重 要工具。
下图： N = 8, ρ = 0.95 时 K—L变换矩阵、
[ A]i, j
=
N
2
+ λj
1/ 2
sin
ω

j
(i +1) −
(N +1) 2

+
(
j
+1) π
2

i, j = 0,1, , N −1
λj,ω j
λj
=
1−
2ρ
1− ρ2 cos(ω j )
+
ρ2
是 Rx 的 特征值
ω j 是方程
tan(
Nω
性质5：正交变换的系数具有去除相关和集
中能量的性质。
给定一个实对称矩阵 C ，一定可
以找到一个正交阵 A ，使得：
λ0

ACA−1
=
ACAT
=

λ1





λN
−1

数据压缩的理论基础。后面即将讨论。
正交变换的实例：
¾ FS，FT, DTFT, DFS, DFT ¾ DCT，DST, DHT
)
=
−
(1
cos(ω)
− −
ρ 2 ) sin(ω) 2ρ + ρ 2 cos(ω
)
ρ →1
ρ →1
tan(Nω) → 0
的根
有： ω j = jπ / N , j = 0,1, , N −1
由： 必有：
λ j = (1− ρ 2 ) (1− 2ρ cos(ω j ) + ρ 2 )
λ j = 0, j = 1, N −1,
1

ρ
Rx
=

ρ
2


ρ
N
−1
ρ
ρ2
1
ρ
ρ
1
ρ N−2
ρ N −3
ρ N −1
ρ
N
−2

ρ
N
−3 源自 1 A 按值及K—特L征变向换量的，思以路形，成现变需换要的求正交R矩x 阵的特征。
但对Markov-1 过程，协方差阵 的特征R向x 量可以解析的给出，因此正交变换的矩阵也 可解析的得到：
4.3 离散余弦变换（DCT）
给定： x(n), n = 0,1, , N −1
∑ 定义：
X c (0) =
1
N −1
x(n)
N n=0
Xc (k) =
∑ 2 N −1
(2n +1)kπ
x(n) cos
N n=0
2N
k = 1, 2, , N −1
Ck,n =
2
(2n +1)kπ
N gk cos 2N
n, k = 0,1, , N −1
g0 = 1 2; gk = 1 for k ≠ 0
DCT的 定义
DCT的 核函数
1
1
1

2[cos π
C8 =
1
8

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