【习题集含详解】高中数学题库高考专点专练之49正弦函数的图像

正弦函数.余弦函数的图象[进修目的] 1.懂得运用单位圆中的正弦线画正弦曲线的办法.2.控制“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步折衷办法,能用“五点法”作出简略的正弦.余弦曲线.3.懂得正弦曲线与余弦曲线之间的接洽．常识点一 正弦曲线正弦函数y ＝sin x(x∈R)的图象叫正弦曲线．运用几何法作正弦函数y ＝sin x,x∈[0,2π]的图象的进程如下： ①作直角坐标系,并在直角坐标系y 轴的左侧画单位圆,如图所示． ②把单位圆分成12等份(等份越多,画出的图象越准确)．过单位圆上的各分点作x 轴的垂线,可以得到对应于0,π6,π3,π2,…,2π等角的正弦线．③找横坐标：把x 轴上从0到2π(2π≈6.28)这一段分成12等份． ④平移：把角x 的正弦线向右平移,使它的起点与x 轴上的点x 重合．⑤连线：用滑腻的曲线将这些正弦线的终点依次从左到右衔接起来,即得y ＝sin x,x∈[0,2π]的图象．在精度请求不太高时,y ＝sin x,x∈[0,2π]可以经由过程找出(0,0),(π2,1),(π,0),(3π2,－1),(2π,0)五个症结点,再用滑腻曲线将它们衔接起来,就可得正弦函数的简图．思虑 在所给的坐标系中若何画出y ＝sin x,x∈[0,2π]的图象？若何得到y ＝sin x,x∈R 的图象？答案 y ＝sin x,x∈[0,2π]的图象(借助五点法得)如下：只要将函数y ＝sin x,x∈[0,2π)的图象向左.向右平行移动(每次2π个单位长度),就可以得到正弦函数y ＝sin x,x∈R 的图象． 常识点二 余弦曲线余弦函数y ＝cos x(x∈R)的图象叫余弦曲线． 依据引诱公式sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x,x∈R.只需把正弦函数y ＝sinx,x∈R 的图象向左平移π2个单位长度即可得到余弦函数图象(如图)．要画出y ＝cos x,x∈[0,2π]的图象,可以经由过程描出(0,1),⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π20,(π,－1),⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32π0,(2π,1)五个症结点,再用滑腻曲线将它们衔接起来,就可以得到余弦函数y ＝cos x,x∈[0,2π]的图象．思虑 鄙人面所给的坐标系中若何画出y ＝cos x,x∈[0,2π]的图象？ 答案题型一 “五点法”作图的运用例1 运用“五点法”作出函数y ＝1－sin x(0≤x≤2π)的简图． 解 (1)取值列表：(2)描点连线,跟踪练习 1 作函数y ＝sin x,x∈[0,2π]与函数y ＝－1＋sin x,x∈[0,2π]的简图,并研讨它们之间的关系． 解 按五个症结点列表：x 0 π2 π 3π2 2π sin x 0 1 0 －1 0 －1＋sin x－1－1－2－1由图象可以发明,把y ＝sin x,x∈[0,2π]的图象向下平移1个单位长度即可得y ＝－1＋sin x,x∈[0,2π]的图象． 题型二 运用正弦.余弦函数图象求界说域例2 求函数f(x)＝lg sin x ＋16－x2的界说域． 解 由题意得,x知足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧sin x>016－x2≥0即⎩⎪⎨⎪⎧－4≤x≤4sin x>0作出y ＝sin x 的图象,如图所示．联合图象可得界说域：x∈[－4,－π)∪(0,π)．跟踪练习2 求函数f(x)＝lg cos x ＋25－x2的界说域． 解 由题意得,x知足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧cos x>025－x2≥0,即⎩⎪⎨⎪⎧cos x>0－5≤x≤5,作出y ＝cos x 的图象,如图所示．联合图象可得界说域：x∈⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫－5－32π∪⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π2π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤32π5.题型三 运用正弦.余弦函数图象断定零点个数例3 在统一坐标系中,作函数y ＝sin x 和y ＝lg x 的图象,依据图象断定出方程sin x ＝lg x 的解的个数．解 树立坐标系xOy,先用五点法画出函数y ＝sin x,x∈[0,2π]的图象,再依次向左.右持续平移2π个单位,得到y ＝sin x 的图象．描出点(1,0),(10,1)并用滑腻曲线衔接得到y ＝lg x 的图象,如图所示．由图象可知方程sin x ＝lg x 的解有3个． 跟踪练习3 方程x2－cos x ＝0的实数解的个数是． 答案 2解析 作函数y ＝cos x 与y ＝x2的图象,如图所示, 由图象,可知原方程有两个实数解．数形联合思惟在三角函数中的运用例4 函数f(x)＝sin x ＋2|sin x|,x∈[0,2π]的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不合的交点,求k 的取值规模．解f(x)＝sin x ＋2|sin x|＝⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧3sin xx∈[0π]－sin x x∈π2π].图象如图,若使f(x)的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不合的交点,依据图可得k 的取值规模是(1,3)．1．函数y ＝sin x (x∈R)图象的一条对称轴是( ) A ．x 轴 B ．y 轴C ．直线y ＝xD ．直线x ＝π22．用五点法画y ＝sin x,x∈[0,2π]的图象时,下列哪个点不是症结点( ) A ．(π6,12)B ．(π2,1)C ．(π,0)D ．(2π,0)3．函数y ＝sin x,x∈[0,2π]的图象与直线y ＝－12的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),则x1＋x2＝.4．运用“五点法”画出函数y ＝2－sin x,x∈[0,2π]的简图．5．已知0≤x≤2π,试摸索sin x 与cos x 的大小关系．一.选择题1．函数y ＝－sin x,x∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π23π2的简图是()2．在统一平面直角坐标系内,函数y ＝sin x,x∈[0,2π]与y ＝sinx,x∈[2π,4π]的图象( ) A ．重合B ．外形雷同,地位不合C ．关于y 轴对称D ．外形不合,地位不合3．方程sin x ＝x10的根的个数是( )A ．7B ．8C ．9D ．10 4．函数y ＝cos x ＋|cos x|,x∈[0,2π]的大致图象为( ) 5．如图所示,函数y ＝cos x|tan x|(0≤x<3π2且x≠π2)的图象是( )6．若函数y ＝2cos x(0≤x≤2π)的图象和直线y ＝2围成一个关闭的平面图形,则这个关闭图形的面积是( ) A ．4 B ．8 C ．2π D．4π 二.填空题 7．函数y ＝log 12sin x 的界说域是．8．函数y ＝2cos x ＋1的界说域是．9．函数f(x)＝sin x ＋116－x2的界说域为．10．设0≤x≤2π,且|cos x －sin x|＝sin x －cos x,则x 的取值规模为． 三.解答题11．用“五点法”画出函数y ＝12＋sin x,x∈[0,2π]的简图．12．依据y ＝cos x 的图象解不等式： －32≤cos x≤12,x∈[0,2π]．13．分离作出下列函数的图象． (1)y ＝|sin x|,x∈R; (2)y ＝sin|x|,x∈R. 当堂检测答案 1．答案 D 2．答案 A 3．答案 3π 解析 如图所示, x1＋x2＝2×3π2＝3π.4．解 (1)取值列表如下：x 0 π2 π 3π2 2π sin x 0 1 0 －1 0 y ＝2－sin x21232(2)描点连线,5．解 用“五点法”作出y ＝sin x,y ＝cos x(0≤x≤2π)的简图． 由图象可知①当x ＝π4或x ＝5π4时,sin x ＝cos x;②当π4<x<5π4时,sin x>cos x;③当0≤x<π4或5π4<x≤2π时,sin x<cos x.课时精华精辟答案 一.选择题 1．答案 D 2．答案 B解析 依据正弦曲线的作法可知函数y ＝sin x,x∈[0,2π]与y ＝sin x,x∈[2π,4π]的图象只是地位不合,外形雷同． 3．答案 A解析 在统一坐标系内画出y ＝x10和y ＝sin x 的图象如图所示：依据图象可知方程有7个根． 4．答案 D 解析 由题意得y ＝⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧2cos x 0≤x≤π2或32π≤x≤2π0π2<x<32π.显然只有D 适合． 5．答案 C解析 当0≤x<π2时,y ＝cos x·|tan x|＝sin x;当π2<x≤π时,y ＝cos x·|tan x|＝－sin x;当π<x<3π2时,y ＝cos x·|tan x|＝sin x,故其图象为C. 6．答案 D解析 作出函数y ＝2cos x,x∈[0,2π]的图象,函数y ＝2cos x,x∈[0,2π]的图象与直线y ＝2围成的平面图形为如图所示的暗影部分．运用图象的对称性可知该暗影部分的面积等于矩形OABC 的面积,又∵OA＝2,OC ＝2π,∴S 暗影部分＝S 矩形OABC ＝2×2π＝4π. 二.填空题7．答案 {x|2kπ<x<2kπ＋π,k∈Z}解析 由log 12sin x≥0知0<sin x≤1,由正弦函数图象知2kπ<x<2kπ＋π,k∈Z.8．答案⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2kπ－23π2kπ＋23π,k∈Z解析2cos x ＋1≥0,cos x≥－12,联合图象知x∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2kπ－23π2kπ＋23π,k∈Z.9．答案 (－4,－π]∪[0,π] 解析⎩⎪⎨⎪⎧sin x≥016－x2>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧2kπ≤x≤2kπ＋π－4<x<4⇒－4<x≤－π或0≤x≤π.10．答案⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π45π4解析 由题意知sin x －cos x≥0,即cos x≤sin x,在统一坐标系画出y ＝sin x,x∈[0,2π]与y ＝cos x,x∈[0,2π]的图象,如图所示：不雅察图象知x∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π45π4.三.解答题11．解 (1)取值列表如下：x 0 π2 π 32π 2π sin x 0 1 0 －1 0 12＋sin x 123212－1212(2)描点.连线12．解 函数y ＝cos x,x∈[0,2π]的图象如图所示： 依据图象可得不等式的解集为 {x|π3≤x≤5π6或7π6≤x≤5π3}．13．解(1)y ＝|sin x|＝⎩⎪⎨⎪⎧ sin x 2kπ≤x≤2kπ＋π－sin x 2kπ＋π<x≤2kπ＋2π (k∈Z)．其图象如图所示,(2)y ＝sin|x|＝⎩⎪⎨⎪⎧ sin x x≥0－sin x x<0. 其图象如图所示,。

专题3.7 函数的图象1．（2021·全国高三专题练习（文））已知图①中的图象是函数()y f x=的图象，则图②中的图象对应的函数可能是（）A．(||)y f x=B．|()|y f x=C．(||)y f x=-D．(||)y f x=--【答案】C【解析】根据函数图象的翻折变换，结合题中条件，即可直接得出结果.【详解】图②中的图象是在图①的基础上，去掉函数()y f x=的图象在y轴右侧的部分，然后将y轴左侧图象翻折到y轴右侧，y轴左侧图象不变得来的，∴图②中的图象对应的函数可能是(||)y f x=-.故选：C.2．（2021·浙江高三专题练习）函数()lg1y x=-的图象是（）A．B．C．练基础D ．【答案】C【解析】将函数lg y x =的图象进行变换可得出函数()lg 1y x =-的图象，由此可得出合适的选项.【详解】将函数lg y x =的图象先向右平移1个单位长度，可得到函数()lg 1y x =-的图象，再将所得函数图象位于x 轴下方的图象关于x 轴翻折，位于x 轴上方图象不变，可得到函数()lg 1y x =-的图象.故合乎条件的图象为选项C 中的图象.故选：C.3．（2021·全国高三专题练习（理））我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”在数学的学习和研究中，经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来研究函数图象的特征．若函数()y fx =在区间[],a b 上的图象如图，则函数()y f x =在区间[],a b 上的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】先判断出函数是偶函数，根据偶函数的图像特征可得选项．【详解】 函数()y f x =是偶函数，所以它的图象是由()y f x =把0x ≥的图象保留，再关于y 轴对称得到的．结合选项可知选项D 正确，故选：D ．4．（2021·全国高三专题练习（文））函数()5xf x x x e =-⋅的图象大致是（ ）． A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】由()20f >和()20f -<可排除ACD ，从而得到选项.【详解】由()()2223222160f e e =-=->，可排除AD ；由()()2223222160f e e ---=-+=-<，可排除C ；故选：B.5．（2021·陕西高三三模（理））函数x y b a =⋅与()log a y bx =的图像在同一坐标系中可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】根据指数函数和对数函数的单调性，以及特殊点函数值的范围逐一判断可得选项．【详解】令x f x b a ，()()log a g x bx =，对于A 选项：由x f xb a 得>1a ，且()00>1f b a b ==⋅，所以log >0a b ，而()1log 0a g b =<，所以矛盾，故A 不正确；对于B 选项：由x f xb a 得>1a ，且()001f b a b ⋅=<=，所以log 0a b <，而()1log >0a g b =，所以矛盾，故B 不正确；对于C 选项：由x f xb a 得>1a ，且()001f b a b ⋅=<=，所以log 0a b <，又()1log 0a g b =<，故C 正确；对于D 选项：由x f xb a 得>1a ，且()00>1f b a b ==⋅，而()()log a g x bx =中01a <<，所以矛盾，故D 不正确；故选：C ． 6．（2021·宁夏吴忠市·高三其他模拟（文））已知函数()()()ln 2ln 4f x x x =-+-，则（ ）． A ．()f x 的图象关于直线3x =对称B ．()f x 的图象关于点()3,0对称C ．()f x 在()2,4上单调递增D ．()f x 在()2,4上单调递减【答案】A【解析】先求出函数的定义域.A ：根据函数图象关于直线对称的性质进行判断即可；B ：根据函数图象关于点对称的性质进行判断即可；C ：根据对数的运算性质，结合对数型函数的单调性进行判断即可；D ：结合C 的分析进行判断即可.【详解】 ()f x 的定义域为()2,4x ∈，A ：因为()()()()3ln 1ln 13f x x x f x +=++-=-，所以函数()f x 的图象关于3x =对称，因此本选项正确；B ：由A 知()()33f x f x +≠--，所以()f x 的图象不关于点()3,0对称，因此本选项不正确；C ：()()()2ln 2ln 4ln(68)x x x f x x =-+-=-+- 函数2268(3)1y x x x =-+-=--+在()2,3x ∈时，单调递增， 在()3,4x ∈时，单调递减，因此函数()f x 在()2,3x ∈时单调递增，在()3,4x ∈时单调递减，故本选项不正确；D ：由C 的分析可知本选项不正确，故选：A7．（2021·安徽高三二模（理））函数()n xf x x a =，其中1a >，1n >，n 为奇数，其图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】分析()f x 在()0,∞+、(),0-∞上的函数值符号，及该函数在()0,∞+上的单调性，结合排除法可得出合适的选项.【详解】对任意x ∈R ，0x a >，由于1n >，n 为奇数，当0x <时，0n x <，此时()0f x <，当0x >时，0n x >，此时()0f x >，排除AC 选项；当0x >时，任取1x 、()20,x ∈+∞且12x x >，则120x x a a >>，120n n x x >>，所以()()12f x f x >，所以，函数()f x 在()0,∞+上为增函数，排除D 选项.故选：B.8．（2021·浙江高三专题练习）已知函数f (x )＝1331,,log 1x x x x ⎧≤⎪⎨>⎪⎩则函数y ＝f (1－x )的大致图象是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D【解析】由()f x 得到()1f x -的解析式，根据函数的特殊点和正负判断即可.【详解】因为函数()f x 133,1log ,1x x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩， 所以函数()1f x -()1133,0log 1,0x x x x -⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩， 当x ＝0时，y ＝f (1)＝3，即y ＝f (1－x )的图象过点(0，3)，排除A ；当x ＝－2时，y ＝f (3)＝－1，即y ＝f (1－x )的图象过点(－2，－1)，排除B ；当0x <时，()1311,(1)log 10x f x x ->-=-<，排除C ，故选：D ．9.【多选题】（2021·浙江高一期末）如图，某池塘里浮萍的面积y （单位：2m ）与时间t （单位：月）的关系为t y a =．关于下列法正确的是（ ）A ．浮萍每月的增长率为2B ．浮萍每月增加的面积都相等C ．第4个月时，浮萍面积不超过280mD ．若浮萍蔓延到22m 、24m 、28m 所经过的时间分别是1t 、2t 、3t ，则2132t t t =+【答案】AD【解析】根据图象过点求出函数解析式，根据四个选项利用解析式进行计算可得答案.【详解】由图象可知，函数图象过点(1,3)，所以3a =，所以函数解析式为3ty =， 所以浮萍每月的增长率为13323233t t tt t +-⨯==，故选项A 正确； 浮萍第一个月增加的面积为10332-=平方米，第二个月增加的面积为21336-=平方米，故选项B 不正确；第四个月时，浮萍面积为438180=>平方米，故C 不正确；由题意得132t =，234t =，338t =，所以13log 2t =，23log 4t =，33log 8t =，所以2133333332log 2log 8log (28)log 16log 42log 42t t t +=+=⨯====，故D 正确.故选：AD10．（2020·全国高一单元测试）函数()2x f x =和()3g x x =的图象如图所示，设两函数的图象交于点11(,)A x y ，22(,)B x y ，且12x x <．（1）请指出图中曲线1C ，2C 分别对应的函数；（2）结合函数图象，比较(3)f ，(3)g ，(2020)f ，(2020)g 的大小．【答案】（1）1C 对应的函数为()3g x x =，2C 对应的函数为()2x f x =；（2）(2020)(2020)(3)(3)f g g f >>>．【解析】（1）根据指数函数和一次函数的函数性质解题；（2）结合函数的单调性及增长快慢进行比较.【详解】（1）1C 对应的函数为()3g x x =，2C 对应的函数为()2x f x =．（2）(0)1f =，(0)0g =，(0)(0)f g ∴>，又(1)2f =，(1)3g =，(1)(1)f g ∴<，()10,1x ∴∈；(3)8f =，(3)9g =，(3)(3)f g ∴<，又(4)16f =，(4)12g =，(4)(4)f g ∴>，()23,4x ∴∈．当2x x >时，()()f x g x >，(2020)(2020)f g ∴>．(2020)(2020)(3)(3)f g g f ∴>>>．1．（2021·湖南株洲市·高三二模）若函数()2()mx f x e n =-的大致图象如图所示，则（ ）A ．0,01m n ><<B ．0,1m n >>C ．0,01m n <<<D ．0,1m n <>【答案】B【解析】令()0f x =得到1ln x n m =，再根据函数图象与x 轴的交点和函数的单调性判断.【详解】令()0f x =得mx e n =，即ln mx n =，解得1ln x n m =，由图象知1l 0n x m n =>，当0m >时，1n >，当0m <时，01n <<，故排除AD ，当0m <时，易知mx y e =是减函数，当x →+∞时，0y →，()2f x n →，故排除C故选：B2．（2021·甘肃高三二模（理））关于函数()ln |1|ln |1|f x x x =++-有下列结论，正确的是（ ） A ．函数()f x 的图象关于原点对称 B ．函数()f x 的图象关于直线1x =对称 练提升C ．函数()f x 的最小值为0D ．函数()f x 的增区间为(1,0)-，(1,)+∞【答案】D 【解析】A.由函数的奇偶性判断；B.利用特殊值判断；C.利用对数函数的值域求解判断；D.利用复合函数的单调性判断. 【详解】2()ln |1|ln |1|ln |1|f x x x x =++-=-，由1010x x ⎧+>⎪⎨->⎪⎩，解得1x ≠±，所以函数的定义域为{}|1x x ≠±， 因为()ln |1|ln |1|ln |1|ln |1|()f x x x x x f x -=-++--=++-=,所以函数为偶函数，故A 错误. 因为(0)ln |1|0,(3)ln8f f =-==，所以(0)(3)f f ≠，故B 错误；因为 ()2|1|0,x -∈+∞，所以()f x ∈R ，故C 错误；令2|1|t x =-，如图所示：，t 在(),1,[0,1)-∞-上递减，在()(1,0],1,-+∞上递增，又ln y t =在()0,∞+递增，所以函数()f x 的增区间为(1,0)-，(1,)+∞，故D 正确； 故选：D3．（2021·吉林长春市·东北师大附中高三其他模拟（理））函数ln xy x=的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 求出函数ln xy x=的定义域，利用导数分析函数的单调性，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】 对于函数ln xy x =，则有0ln 0x x >⎧⎨≠⎩，解得0x >且1x ≠， 所以，函数ln xy x=的定义域为()()0,11,+∞，排除AB 选项；对函数ln x y x =求导得()2ln 1ln x y x -'=.当01x <<或1x e <<时，0y '<；当x e >时，0y '>. 所以，函数ln xy x=的单调递减区间为()0,1、()1,e ，单调递增区间为(),e +∞， 当01x <<时，0ln xy x =<，当1x >时，0ln x y x=>，排除D 选项. 故选：C.4．（2021·海原县第一中学高三二模（文））函数2xx xy e+=的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】利用导数可求得2xx xy e+=的单调性，由此排除AB ；根据0x >时，0y >可排除C ，由此得到结果. 【详解】 由题意得：()()222211x xxxx e x x e x x y e e +-+-++'==，令0y '=，解得：1x =，2x =，∴当11,,22x ∞∞⎛⎛⎫+∈-⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，0y '<；当11,22x ⎛+∈ ⎝⎭时，0y '>；2x x x y e +∴=在1,2⎛--∞ ⎝⎭，1,2⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在1122⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，可排除AB ； 当0x >时，0y >恒成立，可排除C. 故选：D.5．（2021·天津高三三模）意大利画家列奥纳多·达·芬奇的画作《抱银鼠的女子》（如图所示）中，女士颈部的黑色珍珠项链与她怀中的白貂形成对比.光线和阴影衬托出人物的优雅和柔美.达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”.后人研究得出，悬链线并不是抛物线，而是与解析式为2x x e e y -+=的“双曲余弦函数”相关.下列选项为“双曲余弦函数”图象的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】分析函数2x xe e y -+=的奇偶性与最小值，由此可得出合适的选项.【详解】令()e e 2x x f x -+=，则该函数的定义域为R ，()()2x xe ef x f x -+-==，所以，函数()e e 2x xf x -+=为偶函数，排除B 选项.由基本不等式可得()112f x ≥⨯=，当且仅当0x =时，等号成立，所以，函数()f x 的最小值为()()min 01f x f ==，排除AD 选项. 故选：C.6．（2021·浙江高三月考）函数()3log 01a y x ax a =-<<的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】先求出函数的定义域，判断函数的奇偶性，构造函数，求函数的导数，利用是的导数和极值符号进行判断即可. 【详解】根据题意，()3log a f x x ax =-，必有30x ax -≠，则0x ≠且x ≠即函数的定义域为{|0x x ≠且x ≠，()()()()33log log a a x a x x f f x ax x ---=--==，则函数3log a y x ax =-为偶函数，排除D ，设()3g x x ax =-，其导数()23g x x a '=-，由()0g x '=得x =±，当3x >时，()0g x '>，()g x 为增函数，而()f x 为减函数，排除C ，在区间,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上，()0g x '<，则()g x 在区间,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上为减函数，在区间3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上，()0g x '>，则()g x 在区间3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上为增函数，0g=，则()g x 存在极小值33339g a ⎛⎛⎫=-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，此时()g x ()0,1，此时()0f x >，排除A ， 故选：B.7.（2019·北京高三高考模拟（文））当x∈[0，1]时，下列关于函数y=2(1)mx -的图象与y =的图象交点个数说法正确的是（ ） A ．当[]m 0,1∈时，有两个交点 B ．当(]m 1,2∈时，没有交点 C ．当(]m 2,3∈时，有且只有一个交点 D ．当()m 3,∞∈+时，有两个交点【答案】B 【解析】设f （x ）=2(1)mx -，g （x ） ，其中x∈[0，1]A ．若m=0，则()1f x =与()g x =[0，1]上只有一个交点(1,1)，故A 错误．B ．当m∈（1，2）时，111()(0)1,()(0)1()()2f x f g x g f x g x m<<∴≤=≥=>∴<即当m∈（1，2]时，函数y=2(1)mx -的图象与y =x∈[0，1]无交点，故B 正确，C ．当m∈（2，3]时，2111()(1)(1),()(1)32f x f mg x g m <<∴≤=-≤=2(1)m >-时()()f x g x <，此时无交点，即C 不一定正确．D ．当m∈（3，+∞）时，g （0）1，此时f （1）＞g （1），此时两个函数图象只有一个交点，故D 错误，故选：B．8.（2021·浙江高三专题练习）若关于x的不等式34log2xax-≤在10,2x⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，则实数a的取值范围是（）A．1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭B．10,4⎛⎤⎥⎝⎦C．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭D．30,4⎛⎤⎥⎝⎦【答案】A 【解析】转化为当10,2x⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，函数342xy=-的图象不在log ay x=的图象的上方，根据图象列式可解得结果.【详解】由题意知关于x的不等式34log2xax-≤在10,2x⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，所以当10,2x⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，函数342xy=-的图象不在log ay x=的图象的上方，由图可知0111log 22a a <<⎧⎪⎨≥⎪⎩，解得114a ≤<. 故选：A9.对a 、b ∈R ，记{},max ,,a a b a b b a b⎧=⎨<⎩≥，函数{}2()max ||,24()f x x x x x =--+∈R ．（1）求(0)f ，(4)f -．（2）写出函数()f x 的解析式，并作出图像．（3）若关于x 的方程()f x m =有且仅有3个不等的解，求实数m 的取值范围．（只需写出结论） 【答案】见解析．【解析】解：（1）∵{},max ,,a a b a b b a b⎧=⎨<⎩≥，函数{}2()max ||,24f x x x x =--+，∴{}(0)max 0,44f ==，{}(4)max 4,44f -=-=．（2）（3）5m =或m 10．（2021·全国高一课时练习）函数()2xf x =和()()30g x xx =≥的图象，如图所示．设两函数的图象交于点()11A x y ，，()22B x y ，，且12x x <．（1）请指出示意图中曲线1C ，2C 分别对应哪一个函数；（2）结合函数图象，比较()8f ，()8g ，()2015f ，()2015g 的大小． 【答案】（1）1C 对应的函数为()()30g x xx =≥，2C 对应的函数为()2x f x =；（2）()()()()2015201588f g g f >>>．【解析】（1）根据图象可得结果；（2）通过计算可知1282015x x <<<，再结合题中的图象和()g x 在()0+∞，上的单调性，可比较()8f ，()8g ，()2015f ，()2015g 的大小.【详解】（1）由图可知，1C 的图象过原点，所以1C 对应的函数为()()30g x xx =≥，2C 对应的函数为()2x f x =．（2）因为11g =（），12f =（），28g =（），24f =（），()9729g =，()9512f =，()101000g =，()101024f =，所以11f g >（）（），22f g <（）（），()()99f g <，()()1010f g >．所以112x <<，2910x <<．所以1282015x x <<<．从题中图象上知，当12x x x <<时，()()f x g x <；当2x x >时，()()f x g x >，且()g x 在()0+∞，上是增函数，所以()()()()2015201588f g g f >>>．1. （2020·天津高考真题）函数241xy x =+的图象大致为（ ） 练真题A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】由函数的解析式可得：()()241xf x f x x --==-+，则函数()f x 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD 错误； 当1x =时，42011y ==>+，选项B 错误. 故选：A.2.（2019年高考全国Ⅲ卷理）函数3222x xx y -=+在[]6,6-的图像大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】设32()22x xx y f x -==+，则332()2()()2222x x x x x x f x f x ----==-=-++，所以()f x 是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C ．又34424(4)0,22f -⨯=>+排除选项D ； 36626(6)722f -⨯=≈+，排除选项A ， 故选B ．3.（2020·天津高考真题）已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx xk =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是（ ） A ．1,(22,)2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,(0,22)2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．(,0)(0,22)-∞D ．(,0)(22,)-∞+∞【答案】D 【解析】注意到(0)0g =，所以要使()g x 恰有4个零点，只需方程()|2|||f x kx x -=恰有3个实根 即可， 令()h x =()||f x x ，即|2|y kx =-与()()||f x h x x =的图象有3个不同交点. 因为2,0()()1,0x x f x h x x x ⎧>==⎨<⎩， 当0k =时，此时2y =，如图1，2y =与()()||f x h x x =有2个不同交点，不满足题意； 当k 0<时，如图2，此时|2|y kx =-与()()||f x h x x =恒有3个不同交点，满足题意； 当0k >时，如图3，当2y kx =-与2yx 相切时，联立方程得220x kx -+=，令0∆=得280k -=，解得k =，所以k >综上，k 的取值范围为(,0)(22,)-∞+∞.故选：D.4.（2019年高考全国Ⅱ卷理）设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-．若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】B【解析】∵(1) 2 ()f x f x +=，()2(1)f x f x ∴=-． ∵(0,1]x ∈时，1()(1)[,0]4f x x x =-∈-；∴(1,2]x ∈时，1(0,1]x -∈，1()2(1)2(1)(2),02f x f x x x ⎡⎤=-=--∈-⎢⎥⎣⎦； ∴(2,3]x ∈时，1(1,2]x -∈，()2(1)4(2)(3)[1,0]f x f x x x =-=--∈-，如图：当(2,3]x ∈时，由84(2)(3)9x x --=-解得173x =，283x =，若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则73m ≤.则m 的取值范围是7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.故选B.5.（2017·天津高考真题（文））已知函数f(x)={|x|+2,x <1x +2x ,x ≥1．设a ∈R ，若关于x 的不等式f(x)≥|x 2+a|在R 上恒成立，则a 的取值范围是 A ．[−2,2] B ．[−2√3,2] C ．[−2,2√3] D ．[−2√3,2√3] 【答案】A【解析】满足题意时f (x )的图象恒不在函数y =|x2+a|下方，当a =2√3时，函数图象如图所示，排除C,D 选项；当a =−2√3时，函数图象如图所示，排除B 选项，本题选择A 选项.6.（2018·全国高考真题（文））设函数()2010x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（ ）A ．(]1-∞-，B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞，【答案】D 【解析】分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有()()12f x f x +<成立，一定会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，从而求得结果.详解：将函数()f x 的图像画出来，观察图像可知会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，解得0x <，所以满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是()0-∞，，故选D .。

5．4．1 正弦函数、余弦函数的图象【题型归纳目录】题型一：五点作图法作正弦函数、余弦函数的简图题型二：含绝对值的三角函数题型三：解三角不等式问题题型四：与三角函数有关的零点问题题型五：识图问题【知识点梳理】知识点一：正弦函数图象的画法1、描点法：按照列表、描点、连线三步法作出正弦函数图象的方法．2、几何法利用三角函数线作出正弦函数在[0,2]π内的图象，再通过平移得到sin y x =的图象．3、五点法先描出正弦曲线的波峰、波谷和三个平衡位置这五个点，再利用光滑曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线在一个周期内的图象．在确定正弦函数sin y x =在[0,2]π上的图象形状时，起关键作用的五个点是3(0,0),(,1),(,0),(,1),(2,0)22ππππ- 知识点诠释：（1）熟记正弦函数图象起关键作用的五点．（2）若x R ∈，可先作出正弦函数在[0,2]π上的图象，然后通过左、右平移可得到sin y x =的图象． 知识点二：正弦曲线（1）定义：正弦函数sin ()y x x R =∈的图象叫做正弦曲线．（2）图象知识点诠释：（1）由正弦曲线可以研究正弦函数的性质．（2）运用数形结合的思想研究与正弦函数有关的问题，如[]0,2x π∈，方程lg sin x x =根的个数． 知识点三：用三角函数图象解三角不等式的方法1、作出相应正弦函数或余弦函数在[]0,2π上的图象；2、写出适合不等式在区间[]0,2π上的解集；3、根据公式一写出不等式的解集．【典型例题】题型一：五点作图法作正弦函数、余弦函数的简图例1．画出下列函数在区间[]0,2π上的图象：(1)2sin y x =+；(2)sin 2y x =-；(3)3sin y x =．例2．已知函数()ππ2sin 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，用“五点作图法”在给定坐标系中画出函数()f x 在[]0,6上的图像. 例3．已知函数()π2sin 24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，x ∈R ．在用“五点法”作函数()f x 的图象时，列表如下：完成上述表格，并在坐标系中画出函数()y f x =在区间[]0,π上的图象；变式1．用“五点法”画出下列函数的简图：(1)1sin y x =+，[]0,2πx ∈；(2)2cos y x =，[]0,2x π∈．变式2．已知函数()2cos 3f x x =-+．完成下面表格，并用“五点法”作函数()f x 在[0]2π，上的简图：变式3．已知函数2cos 1f x x =-.（1）完成下列表格，并用五点法在下面直角坐标系中画出()f x 在[]0,2π上的简图；.【方法技巧与总结】1、五点作图法：作正弦曲线、余弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图．“五点”即sin y x =或cos y x =的图象在[]0,2π内的最高点、最低点和与x 轴的交点．2、图象变换：平移变换、对称变换、翻折变换．题型二：含绝对值的三角函数例4．当[]2π,2πx ∈-时，作出下列函数的图象，把这些图象与sin y x =的图象进行比较，你能发现图象变换的什么规律？ (1)sin y x =； (2)sin y x =.例5．画出函数11sin sin 22y x x =+的简图． 例6．作出函数2sin sin y x x =+，[],x ππ∈-的大致图像．变式4．作函数3sin 2y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象. 【方法技巧与总结】分类讨论解决绝对值问题题型三：解三角不等式问题例7．不等式1sin ,2x <-[0,2]x π的解集是（ ） A ．711,66ππ（） B ．45,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．57,66ππ（） D ．25,33ππ（） 例8．不等式12cos 0x +>的解集为（ ）A ．(2,2)()33k k k Z ππππ-++∈ B ．22(2,2)()33k k k Z ππππ-++∈ C ．(2,2)()66k k k Z ππππ-++∈ D ．2(2,2)()63k k k Z ππππ++∈ 【方法技巧与总结】用三角函数的图象解sin x a >（或cos x a >）的方法（1）作出直线y a =，作出sin y x =（或cos y x =）的图象．（2）确定sin x a =（或cos x a =）的x 值．（3）确定sin x a >（或cos x a >）的解集．题型四：与三角函数有关的零点问题例9．函数()sin f x x =，()cos g x x =的图象在区间[]2π,π-的交点个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6例10．函数sin 2|sin |,[0,2π]y x x x =+∈的图象与直线12y =的交点共有 个. 例11．若函数()4sin 2,[0,]6f x x x ππ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭的图象与直线y m =恰有两个不同交点，则m 的取值范围是 .变式5．已知函数[]cos 2cos ,0,2y x x x π=+∈与函数y k =的图象有四个交点，则k ∈ .变式6．已知函数()12sin f x x =-.(1)用“五点法”做出函数()f x 在[]0,2x π∈上的简图；(2)若方程()f x a =在25,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上有两个实根，求a 的取值范围. 变式7．方程sin 32m x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭在[0,]π上有两实根,求实数m 的取值范围及两个实根之和. 变式8．方程1cos 2a x -=在,3x π⎡⎤∈-π⎢⎥⎣⎦上有两个不同的实数根，求实数a 的取值范围． 【方法技巧与总结】方程的根（或函数零点）问题：三角函数的图象是研究函数的重要工具，通过图象可较简便的解决问题，这正是数形结合思想方法的应用．题型五：识图问题例12．函数()()sin e e x x f x -=+的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．例13．如图为函数()f x 的大致图象，其解析式可能为（ ）A ．()()11cos f x x x x =++-B ．()()11sin f x x x x =-++-C ．()()11cos 2f x x x x =++--D ．()()()11e e x x f x x x -=++-- 例14．函数()1sin e x x xf x -=的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．变式9．函数()e e 3πsin 232x x f x x -+⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭在4，4⎡⎤-⎣⎦上的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．变式10．我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数性质，也常用函数解析式来琢磨函数的图象特征，函数cos ()2sin ||x x f x x =+的部分图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．变式11．函数π()412sin 2x x f x x -⎛⎫=-⋅⋅+ ⎪⎝⎭的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．变式12．函数()33cos 22x xf x x --=⋅的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【方法技巧与总结】利用排除法，从定义域、奇偶性、代数三个方面进行排除．【过关测试】一、单选题1．用“五点法”作y ＝2sin x 的图象时，首先描出的五个点的横坐标是（ ）A ．π30,,π,π,2π22B ．ππ30,,,π,π424C ．0,π,2π,3π,4πD ．πππ3π0,,,,63222．如图所示，函数cos tan y x x =（3π02x <≤且π2x ≠）的图像是（ ）. A ． B ．C ．D ．3．方程sin x x =的实数解的个数为（ ）A ．1B ．3C ．5D ．74．方程sin lg x x =，[]2π,2πx ∈-实根的个数为（ ）A ．6B ．5C ．4D ．35．华罗庚说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”所以研究函数时往往要作图，那么函数()sin cos2f x x x =+的部分图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．6 ）A ．sin10cos10︒+︒B ．sin10cos10︒-︒C ．cos10sin10︒-︒D ．sin10cos10-︒-︒7．已知函数π()2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于任意的)a ⎡∈⎣，方程()()0f x a x m =<≤恰有一个实数根，则m 的取值范围为（ ）.A ．7π3π,124⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．π5π,26⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．π5π,26⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．7π3π,124⎡⎫⎪⎢⎣⎭8．函数11y x =-的图像与函数()2sin π24y x x =-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于（ ） A ．8 B ．10 C ．12 D ．14二、多选题9．（多选）函数]sin 1,[0,2πy x x -∈=与y a =有一个交点，则a 的值为（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．2- 10．若函数()14sin f x x t =+-在区间π,2π6⎛⎫ ⎪⎝⎭上有2个零点，则t 的可能取值为（ ） A ．2- B ．0 C ．3 D ．411．函数cos y x =，π4π,33x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的图像与直线y t =（t 为常数，R t ∈）的交点可能有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 12．（多选）若函数()2cos f x x =，[]0,2x π∈的图象和直线y ＝2围成一个封闭的平面图形，则（ ）A ．当3,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x < B ．()01f = C ．302f π⎛⎫= ⎪⎝⎭ D ．所围图形的面积为2π三、填空题13．若函数πsin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像在[0,]m 上恰好有一个点的纵坐标为1，则实数m 的值可以是 ． 14．函数22cos sin y x x =+的最小值是 ．15．如果方程sin x a =在π,π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个不同的解，则实数a 的取值范围是 . 16．若()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间()0,m 上有且只有一个零点，则实数m 的取值范围是 ； 四、解答题17．函数()sin 2sin f x x x =+，用五点作图法画出函数()f x 在[]0,2π上的图象；（先列表，再画图）18．用“五点法”在给定的坐标系中，画出函数()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0,π上的大致图像. 19．已知函数()2sin 33f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. (1)请用五点作图法画出函数()f x 在20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象；（先列表，后画图）(2)设()()23,0,3m F x f x x π⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦，当0m >时，试讨论函数()F x 零点情况. 20．在同一平面直角坐标系内画出正弦函数sin y x =和余弦函数cos y x =在区间[]0,2π上的图象，并回答下列问题．(1)写出满足sin cos x x =的x 的值；(2)写出满足sin cos x x >的x 的取值范围；(3)写出满足sin cos x x <的x 的取值范围；(4)当x ∈R 时，分别写出满足sin cos x x =，sin cos x x >，sin cos x x <的x 值的集合．214x k π⎛⎫+= ⎪⎝⎭在0x π≤≤上有两个实数根12,x x ，求实数k 的取值范围，并求12x x +的值． 22．已知函数()[]1πsin 2,0,π26f x x x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭(1)填写下表，并用“五点法”画出()f x 的图象.(2)若函数()f x 满足不等式()34f x ≤，求x 的范围.。

5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象一、正弦函数、余弦函数图象的画法1．描点法：按照列表、描点、连线三步法作出正弦函数、余弦函数图象的方法． 2．几何法：利用三角函数线作出正弦函数和余弦函数在]2,0[π内的图象，再通过平移得到x y sin =和cos y x =的图象．3．五点法：先描出正弦曲线和余弦曲线的波峰、波谷和三个平衡位置这五个点，再利用光滑曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象．在确定正弦函数x y sin =在]2,0[π上的图象时，关键的五点是：)0,2(),1,23(),0,(),1,2(),0,0(ππππ-【注意】（1）若x R ∈，可先作出正弦函数、余弦函数在]2,0[π上的图象，然后通过左、右平移可得到x y sin =和cos y x =的图象．（2）由诱导公式cos sin()2y x x π==+，故cos y x =的图象也可以将x y sin =的图象上所有点向左平移2π个单位长度得到． 二、正（余）弦函数的图象 函数y ＝sin xy ＝cos x图象图象画法五点法五点法关键五点 (0,0),π(,1)2,(,0)π,3π(,1)2-,(2,0)π (0,1),π(,0)2,(,1)π-,3π(,0)2,(2,1)π正（余）弦曲线正（余）弦函数的图象叫做正（余）弦曲线三、用三角函数图象解三角不等式的方法1、作出相应正弦函数或余弦函数在[0,2π]上的图象；2、写出适合不等式在区间[0,2π]上的解集；3、根据公式一写出不等式的解集．题型一 五点法作三角函数的图象【例1】用“五点法”作y ＝2sin2x 的图象，首先描出的五个点的横坐标是（ ） A ．30,,,,222ππππ B ． 30,,,,424ππππ C ．0,,2,3,4ππππD ．20,,,,6323ππππ【答案】B【解析】由“五点法”作图知：令2x ＝0，2π，π，32π，2π，解得x ＝0，4π，2π，34π，π，即为五个关键点的横坐标，故选：B.【变式1-1】用“五点法”作函数cos 1y x =-，[]0,2x π∈的大致图像，所取的五点是______．【答案】(0,0)，,12π⎛⎫- ⎪⎝⎭，(,2)π-，3,12π⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2,0)π【解析】由“五点法”作函数cos 1y x =-，[0x ∈，2]π的图象时的五个点分别是(0,0)，,12π⎛⎫- ⎪⎝⎭，(,2)π-，3,12π⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2,0)π．【变式1-2】用“五点法”画出下列函数的简图：（1）cos 1y x =-，[],x ππ∈-； （2）sin y x =，3,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦； （3）sin y x =-，[]0,2x π∈．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【解析】（1）按五个关键点列表xπ-2π-2ππcos x1-0 11cos 1x -2- 1- 01- 2-（2）按五个关键点列表x2π-0 2ππ32πsin x1- 011-描点并将它们用光滑的曲线连接起来如下图（3）按五个关键点列表x0 2ππ32π2πsin x11-sin x -0 1-0 1 0【变式1-3】用“五点法”作下列函数的简图. （1）2sin ([0,2])y x x π=∈；（2）5sin()([,])222y x x πππ=-∈. （3）2sin(2)3y x π=-(x ∈R ).【答案】（1）图象答案见解析；（2）图象答案见解析；（3）图象答案见解析. 【解析】（1）列表如下：x2ππ 32π2π 2sin x 02 0 -2 0描点连线如图：（2）列表如下：x2ππ 32π2π 52πsin()2x π-0 1 0 -1 0（3）函数π2sin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在长为一个周期π的区间上的图象，列表如下：x6π512π23π1112π76π23x π-0 2ππ32π2πy 02 0 -2 0再向左右两边扩展，其图象如下：题型二 含绝对值的三角函数【例2】函数y ＝|cos x |的一个单调增区间是（ ）A ．,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[0，π]C ．3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,2π2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】将y ＝cos x 的图像位于x 轴下方的图像关于x 轴对称翻折到x 轴上方，x 轴上方(或x 轴上)的图像不变，即得y ＝|cos x |的图像根据各选项判断只有D 选项正确. 故选：D.【变式2-1】作出函数2sin sin y x x =+，[],x ππ∈-的大致图像． 【答案】图见解析【解析】函数[][]3sin ,0,2sin sin sin ,,0x x y x x x x ππ⎧∈⎪=+=⎨-∈-⎪⎩， 其图如下所示：【变式2-2】作出函数sin ||,[2,2]=∈-y x x ππ的大致图像. 【答案】图象见解析 【解析】列表x0 2ππ32π2πsin ||y x =1 0 -1 0作图：先作出(]0,2π的图像，又原函数是偶函数,图像关于y 轴对称， 即可作出[)2,0π-的图像.【变式2-3】作函数3sin 2y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象.【答案】图象见解析.【解析】3sin cos 2y x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭ cos 22,Z 223cos 22,Z 22x k x k k x k x k k ππππππππ⎧⎛⎫-+≤≤+∈ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+<<+∈ ⎪⎪⎝⎭⎩故|cos |y x =的图象是cos y x =的图象在x 轴下方的部分翻折到x 轴上方后得到的图象，如图题型三 三角函数识图问题【例3】函数1sin =+y x x的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】函数1sin =+y x x是定义域(,0)(0,)-∞+∞上的奇函数∴其图象关于原点对称，排除选项D ；当(0,)x π∈时，sin 0x >，此时1sin 0x x+>，∴当(0,)x π∈时，()f x 的图象在x 轴上方，排除选项B ； 当32x π=时，322sin 10233πππ+=-+<，()f x 的图象在x 轴下方，排除选项C ；综上所述，函数1sin =+y x x的大致图象为选项A .故选：A .【变式3-1】函数2sin 2xy x =-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】令0x =，则02sin 01y =-=，排除C 、D ；令1x =-，则()112sin 2sin 202y -=--=+>，排除B.故选：A【变式3-2】已知函数()y f x =的图象如图所示，则此函数可能是（ ）A ．()sin ln ||f x x x =⋅B ．()sin ln ||f x x x =-⋅C ．()sin ln f x x x =⋅D ．()|sin ln |f x x x =⋅ 【答案】A【解析】图象关于原点对称，为奇函数，CD 中定义域是0x >，不合，排除，AB 都是奇函数，当(0,1)x ∈时，A 中函数值为负，B 中函数值为正，排除B ．故选：A ．【变式3-3】已知函数()f x 的部分图象如图所示，则()f x 的解析式可能为（ ）A ．()sin πf x x x =B ．()(1)sin πf x x x =-C ．[]()cos π(1)f x x x =+D ．()(1)cos πf x x x =- 【答案】B【解析】对于A ，()()sin πsin π()f x x x x x f x -=--==，所以函数()sin πf x x x =为偶函数，故排除A ； 对于D ，()010f =-≠，故排除D ；对于C ，[]()cos π(1)cos πf x x x x x =+=-，则()()cos πf x x x f x -==-， 所以函数[]()cos π(1)f x x x =+为奇函数，故排除C.故选：B.题型四 利用图象解三角不等式【例4】不等式2sin ,(0,2)2xx π∈的解集为（ ） A ．,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．423,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】2sin ,(0,2)2xx π∈ sin y x =函数图象如下所示：∴344ππ≤≤x ，∴不等式的解集为：3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故选：B ．【变式4-1】在()0,2x π∈上，满足cos sin x x >的x 的取值范围（ ）A ．5,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．50,,244πππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．5,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【解析】作出sin y x =和cos y x =在()0,2x π∈的函数图象，根据函数图象可得满足cos sin x x >的x 的取值范围为50,,244πππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：C.【变式4-2】在[]0,2π内，不等式3sin x < ） A ．(0，π) B ．3,34ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．45,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．5,23ππ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【解析】画出y ＝sin x ，[]0,2x π∈的草图如下．[]0,2x π∈内，令3sin x =43x π=或53x π=，结合图象可知不等式3sin x <的解集为45,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭．故选：C ．【变式4-3】若函数()2sin13f x x π=- ）A ．56,622k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） B ．156,622k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）C ．56,644k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） D ．156,644k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） 【答案】B【解析】要使函数有意义，则2sin103x π-≥，即1sin32x π≥， 即522636k x k πππππ+≤≤+，k ∈Z ，得156622k x k +≤≤+，k ∈Z ， 即函数的定义域为156,622k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）.故选：B【变式4-4】已知()f x 的定义域是3⎡-⎢⎣⎦，则(sin 2)f x 的定义域为（ ） A ．2,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ B ．,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈C ．22,236k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ D ．2,263k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈【答案】A 【解析】()f x 的定义域是3⎡-⎢⎣⎦，故由31sin 2x -≤≤解得()422233k x k k Z ππππ-+≤≤+∈， ()236k x k k Z ππππ∴-+≤≤+∈ 因此，函数(sin 2)f x 的定义域为()22,236k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.故选：A.【变式4-5】函数y 12log sin x________． 【答案】{}22,x k x k k Z πππ<<+∈ 【解析】由1122log sin 0log 1x ≥=知，0sin 1x <≤，由正弦函数图象特征知，22,k x k k Z πππ<<+∈． 故定义域为{}22,x k x k k Z πππ<<+∈. 故答案为：{}22,x k x k k Z πππ<<+∈.题型五 与正余弦函数有关的零点【例5】函数sin y x =，[]0,2πx ∈的图像与直线23y =-的交点的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】C【解析】在同一平面直角坐标系内，先画函数sin y x =，[]0,2πx ∈的图像，再画直线23y =-，可知所求交点的个数为2．故选：C ．【变式5-1】已知函数f (x )=12x⎛⎫⎪⎝⎭-sin x ，则f (x )在区间[0，2π]上的零点个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B【解析】令sin 01()2xf x x ⎛⎫-=⎪⎝⎭= ，则1()sin 2x x =， 在同一坐标系中，作出1(),sin 2xy y x ==，如下图所示：由图知，f (x )在区间[0，2π]上的零点个数为2个.故选：B.【变式5-2】()f x 是定义在R 上的偶函数，且()()11f x f x -=+，[]1,0x ∈-时，()sin 2f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则函数()()e x g x f x -=-在区间[]2021,2022-上零点的个数为（ ）A ．2021B ．4043C ．2020D ．4044 【答案】B 【解析】(1)(1)f x f x -=+，()(2)f x f x ∴=+，即函数()f x 的周期为2，当[]1,0x ∈-时，()sin()sin()22f x x x πππ=+=-，则当[]0,1x ∈时，()()sin()sin()22f x f x x x ππ=-=--=， 由此可作出函数()f x 与函数e -=xy 的大致图象如下，由图象可知，每个周期内有两个交点， 所以函数((e))xg x f x -=-在区间[]2021,2022-上零点的个数为2021214043⨯+=个．故选：B ．【变式5-3】函数()sin 3|sin |,[0,2]f x x x x π=+∈的图象与直线y k =有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是（ ）A ．[2,2]-B ．(1,0)(0,3)-C ．(2,4)D ．(1,4) 【答案】C【解析】当[0,]x π∈时，()sin 3sin 4sin f x x x x =+=，当(],2x ππ∈时，()sin 3sin 2sin f x x x x =+=-， 所以函数()f x 的图像如图所示，所以函数()f x 的图象与直线y k =有且仅有两个不同的交点时，(2,4)k ∈.故选：C【变式5-4】已知函数()1sin ,0,21cos ,0,2x x f x x x ⎧+<⎪⎪=⎨⎪+≥⎪⎩若()f x 在区间3,2a π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上至少有5个零点，()f x 在区间[],a π-上至多有5个零点，则正数a 的取值范围是（ ）A ．138,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．1310,63ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．1910,63ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．819,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】因为方程1sin 2x =-在[),0π-上的解为56π-，6π-， 所以当()f x 在区间[],a π-上至多有5个零点时，100.3a π<<因为方程1cos 2x =-在30,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的解为23π，43π， 所以当()f x 在区间3,2a π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上至少有5个零点时，136a π-≤-，即136a π≥综上，正数a 的取值范围是1310,63ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故选：B。

正弦函数的性质与图像、余弦函数的图像与性质和正切函数题⽬与答案））））））））正弦函数的性质与图像、余弦函数的图像与性质和正切函数正弦函数的性质与图像【要点链接】1．正弦函数的图像(1)掌握正弦函数的图像的画法；(2)会熟练运⽤五点法画有关正弦函数的简图．y?sinx要掌握：2．对于正弦函数R；定义域为(1)(2)值域[-1，1]；2；(3)最⼩正周期3]2[2k[2kk??,2k??,],k?Z；单调增区间(4)，单调减区间2222(5)是奇函数，图像关于原点对称.同时要求会求有关正弦函数的⼀些简单组合的函数的定义域、值域与最值、单调性、周期与判断奇偶性问题.【随堂练习】3y]?sinxx?[0,2y的交点个数为（的图像与，1．）2C．2 D．3A．0B．1,0][f((x)x)f可以为（上为减函数，则为奇函数，且在2．）2f(x)x??sinxf(x)?sin．．BA f(x)?1?sinxf(x)?1?sinx．C D．1?x?siny的值域是（3）．函数226261]][[0,[0,],][0, B ．C ．．．AD 222224．下列不等式正确的是（）954sinsinsinsin()．A B．77775?sin?sin()?sin(?))?sin(?．D．C73761?x,xy?1?sinx的．函数5 ，当取得这个最⼤值时⾃变量R的最⼤值为2取值的集合是．1sin2?0?，则满⾜6．已知的．的范围为__________ 23][0,)f(x2，最⼩值为，在．上是减函数的奇函数__ 7．构造⼀个周期为22 1xsiny?? 8在长度为⼀个周期的闭区间的简图．．利⽤“五点法”画出函数2??2,?]xsinsinx?x?1,?[?y?的值域．．求函数9 44）））））））））．））））））））答案3y]x?[0,2y?sinx的图像，的图像与在同⼀坐标系内画出，1．C 2可以看出交点个数为2．,0][上为增函数；对于A，在C、D都既不是奇函数，也不是偶函数．2．B 2211113y?][0,??sinxsin?x??0??，则，⼜在根号下，则知．．3D222222?932524)sin(?sin??sin?sin(sin??sin)?sin，，4．B777777725???sin(?)??sinsin(?)?0sin(?)??sin?sin，，776637则B正确．33,kZxx2k}{yxsin1取最⼤值当5．，时，取到最⼩值222??,k?2kZ?}{xx?．此时2?15[),2[0,y]?)?[0,2?sinxxy画出在上的图像，看图可得．与6．26633x?xsin?sin?)(xf可以判断满⾜要求．7．22解：列表：8．3x2022xsiny00011111113?x?y?sin222222y作图：3 212?32x22O 1?2??22?x?,][sin],?x?[，得解：．由．922445122?)??(sinx?xy??sinx?sin?1，42?51?x?xsin y，即取最⼤值，为；时，当426?212??sinx??x?y时，，即．当取最⼩值，为224）））））））））．））））））））1?25,[]．所以函数的值域为24备选题4y??1?．函数1的最⼤值是（）xsin2?55D．5．B C．3 A．231443y4?3?1?2?sinx，则C．，选1．C ，则3sin32?x?5?]?y?sinx,x[,1?y．已知函数的图像与直线围成⼀个封闭的平⾯图形，则该222封闭图形的⾯积为（）2 D4 C．．A．2 B．S?SS?S，，．C 如图，由对称性知2y4123?2则封闭图形的⾯积与长为，宽为1的矩形的⾯积相等，则封闭图形的⾯积1?2为．SS41?5x OS?S2232余弦函数的图像与性质【要点链接】．余弦函数的图像1 掌握余弦函数的图像的画法；(1) 会熟练运⽤五点法画有关余弦函数的简图．(2)x?cosy．对于余弦函数要掌握：2R；(1)定义域为；1]值域[-1，(2)?2最⼩正周期；(3)]1)?,()?12,2kk],[2k[(2k Z?k；(4)单调增区间单调减区间y.是偶函数，图像关于轴对称(5)周期与单调性、同时要求会求有关余弦函数的⼀些简单组合的函数的定义域、值域与最值、. 判断奇偶性问题【随堂练习】x2cos1?y?1．）的值域为（3,1][?1]3,?[[?1,3][1,3]?．．A D．B．C?)sin(x?y??x）．函数2 R）（（2,0]?[],[?．是偶函数，且在上是减函数上是增函数B．是奇函数，且在A22,][?][0,上是减函数．是奇函数，且在C．是偶函数，且在上是减函数D22x?y?cos）3．函数的图像的⼀条对称轴⽅程是（）））））））））．））））））））x??x??x?x．．B．D．C A428xy?cos xsiny??的图像，这个平移可以为（．把函数的图像经过平移可以得到）4??个单位B．向右平移A．向左平移个单位22??个单位DC．向左平移．向右平移个单位1?y 5．函数___________________．的定义域为1x?2cos1?y 6．函数_______________．的值域为xcos2?x??cosy?sinx ____________________．函数7．的定义域是．判断下列函数的奇偶性：81?xxxcosf(x)?x?lg?(x)?sinxcosxf．）（1 （）2 ；1?x?y?cosx]?[0,2y?2?cosxx，9．⽤五点法作出函数，的图像，并说明它和函数?]?[0,2x的图像的关系．答案cosx?[?1,1]?2cosx?[?2,2]1?2cosx?[?1,3]．，则因为，则A 1．xcos)y?sin(x][0,上是减函数．2．，则它是偶函数，且在 C 2??x y??cosx的图像的⼀条对称轴．是画出图像可知直线3．Dxcos)?ysin(x?xsiny个单位∵，则把函数的图像向右平移4．B 22x?cosy的图像．可以得到23??cosx??0?x?12cos}Z,kx?2k??{x，那么，5．知24 23cosx?x),[?，则定义域为值为内的在⼀个周期⽽243??,k??Z}{xx?2k．411[,1][,1]3??cosxcosx?11?2?1?．，知值域为因为，则6．33])k??1,(2[2k k?Zsinx?0cosx?0，由正弦线与余弦线知，，，7．可得2?3kx2k??2?k2k??x2k??Z，那么两者的交集，其中且22]?1),(2k[2k?Z?k．，即为定义域，为2)x?f(??xxcosx?)x)?(f?x)(?x?(?)cos(?x? 1），（．8解：)(xf是奇函数．所以1,1)(?（2．）知函数的定义域为）））））））））．））））））））1?(?x)1?x??sinxcosx?lgf(?x)?sin(?x)cos(?x)?lgx?1?(?x)1x?1?x11?)sinxcosx?lg()?sinxcosx?lg?f(x??，x1?x1?)xf(是偶函数．所以xcosy?xcos2?y?的图像．9．解：在同⼀坐标系中作出与⾸先列表为3x20 22xcos 1 1 0 0 -1 xcos-1 0 0 1 -1x?2cos12231y画图为3x2?cosy? 21xy?cos2x O3 122xcosyxcosy x][0,2x，轴对称可以得到可以看出，将函数的图像关于xcosxcosyy][0,2x?[0,2x]?函数的图像，再将函数，，?][0,2?cosxx?y?2，的图像向上平移2个单位即可得到函数的图像．备选题?7??[0,)?]?f(?x)xf(x)?cosxf(且______．时，则的奇函数，若函数，是周期为1．321771?os)??c?)?f()?f?f?(?f)?(2(．1．2332333??C)f(x?y[0,1]ABC中，，若函数2．在△在上为单调递减函数，则下列命题2）正确的是（)(sinBf)(sinA)?ff(cosA)?f(cosB．A．B)B)?f(cosf)f(sinA)?f(cosB(sinA C．． DB?B0?A?C?A，则，，则2．C2222?1cosB??sin(?B)?0?sinA)(cosB(sinfA)?f．，则则2正切函数【要点链接】sinZ?,k?R,?tank. 1．正切函数的定义：（）?2cos.2．正切函数的图像：掌握正切函数的图像的画法x?tany 3．对于正切函数要掌握：}Z?xk,k,?{xR定义域为(1)；2）））））））））．））））））））R；(2)值域??)0k?k?Zk,(；(3)周期是，最⼩正周期)k?k?(?,(k?Z)k?Z；(4)在每⼀个开区间是增加的22(5)是奇函数，图像关于原点对称.同时要求会求有关余弦函数的⼀些简单组合的函数的定义域、值域与最值、单调性、周期与判断奇偶性问题.4．正切函数的诱导公式，可结合正弦函数与余弦函数的诱导公式的记忆⽅法去记忆．【随堂练习】tan2)?(1,P等于（．已知⾓的终边经过点），那么111??2B．C．D．A ．2 22),sin?P(tansin的终边必在在第三象限，则⾓( )2．若点A．第⼀象限B．第⼆象限C．第三象限D．第四象限13)tan()tan(???．已知，则）3等于（2211?2?DA．2 B．．C．22xtany?图像的⼀个对称中⼼为（4．）,0)(,0)()(0, (1,0) D．．A．C．B4200?)300?cot(?405tan．5．17131713)tan(?)tan(?tan()??)tan(与6．⽐较的⼤⼩为．5445 1?y的定义域为．．函数7 x1?tanx)tan(y的定义域和单调区间．．求函数832??25?tanx?xy?tan?2aa),x?[为常数)．求函数9其中．在时的值域(42答案y?2??tan?2??可得1．B ．1x0?0tansin?sinsin??0tan?为第四象限⾓．，且知．2D ，则，则?311cottan()??tan(atn?()?tan????)? 3．A ，则，则222212．?tanyxtanxaytn,0)(的图像的⼀个对称中⼼．的图像可看出，．4A 是2）））））））））．））））））））0000001??3)045?ot3(60?6?0)36tan30?c?ot(t4?05)can?0(．5000013?60?cot45??tan(?60)?cot(?45)??tan?．217213??0??tan(?)tan(??)?tan(??)?)?tan(??．，⼜，，64544552??2?)?)?tan(?,0)x?(?tan(xtany?⽽内递增，则在，即可得．542}?Zxk,?k?x?k?{xtany?0x?1?tan，观察7．可得的图像，42}Z,kk??x?k??{x xtany?注意．的周期为，则定义域为42x??kx??k2z?zkk?，即，可得8．解：，，3223??},kx{x2kz．所以函数的定义域是3x??k??k?zk?，，由2223??5k??2k2?x?z?k解得，，33??5??Z,?2k?)(??2kk则知函数的单调区间为，且在其上为增函数．332225?x?a)?a? tanx?2a?tanx?5?(tany，9．解：??)[,x?)?[1,??tanx，∴，2422)a,a?5[5?y?a??tanx1a??，则值域为；，此时时，∴当)6,??[2a?6a?y?21x??1?tana，此时．时，当，则值域为备选题? 1．设）是第⼆象限⾓，则（cos??cos?1tansin?1sintan D．B．．C．A 2222222?k?k2kk?????Z?k．，，是第⼆象限⾓，则则1．A22241a?n?2n?t?2n k?2nnk?2n,?Z?1,n?Z当，则；当时，2224??351??2n?n2tan??时，．，则2224)xytan(的定义域是2．函数．433??,k?Zkxkx{x??Z?,?x?k}?,kZ?k?．知．2，则4244）））））））））．））））））））同步测试题A组⼀、选择题y?sinx的图像的⼀条对称轴⽅程是（1．函数）5??xx?x??x?CA．．D．B．4248sin1cos1tan1的⼤⼩关系为、( )2．、tan1?sin1?cos1sin1?tan1?cos1A．B．sin1?cos1?tan1tan1?cos1?sin1 C．D．??x?sin?x)f(?x)x)?tan(g(，则（）3．已知函数，2f(x)g(x)f(x)g(x)都是偶函数与与B．都是奇函数A．f(x)g(x)f(x)g(x)是奇函数是偶函数，是奇函数，D．．是偶函数C4．下列各式中为正值的是（）7773tan1)cot(tansin?BA．．858800230sin105cos6cos6tan．D．C1725)?)cos(?cos(sin(??)?sin(?)；；②．对于下列四个命题：①541841000004040sin?tan143?tantan138．其中正确命题的序号是（③；④）A．①③B．①④C．②③D．②④2coscos,sin2,,sintan,中能确定为正值的有（6．若是第⼀象限⾓，则）222 2个以上C．2个D．个A．0 B．1个⼆、填空题x?tany x ________轴的直线与．的图像的相邻两个交点之间的距离为7．平⾏于xtansinx|cosx|?y??．的值域是________8．函数|cosx|tanx|sinx|AB?C)?cosA,B,Ccos(ABC?4个关系式：①是．设9；的三个内⾓，有下列CBA?sinsin?C?tantan(CA?B)Asin(?B)?sin；③．；④②22．其中不正确的是______________三、解答题?2??tan．已知．10??cos2sin?）求（1；2cos?sin2212cossin．）求（211．判断以下两个命题是否正确？并加以说明．sincos??cossin；、都是第⼀象限⾓，若1 （），则tantan? sin?sin，则、都是第四象限⾓，若．）（ 25?]?[0,xbx)x?asin?(f．3，．已知12，最⼩值为1，它的最⼤值为6）））））））））．））））））））)f(x（1）求的表达式；x2)?f(x成⽴的（2）求使的值；x)(xf取最⼤值时的值．（3）求组B ⼀、选择题??0),??xcosx,(??3??)(xf)xf(R2，最⼩正周期为是定义域为1．设的函数，若?2??).?sinx,(0?x??15)(?f则）等于（422?01D CA. ．B．.22x?cosy?cosx．）的值域是（22,0]?[?1,1][[0,1]?1,0][．C． D A．B．xcosy?tanx．函数）的部分图像是（3D．C．A．B．1414)?asin(?tan(?)（4．已知，那么）15151aa|a|??D．AC．．B ．2222a1?a1?a11?a?⼆、填空题00)cos(720??x)sin(540x1?)f(x?)f(x x _____，写出满⾜的⼀个5．已知．值为00)tan(?x?270sin(?x?360)2?x)(0,2xcossinx?取值范围为成⽴的_________________．内，使6．在三、解答题3)?cos(2??)?tan(sin(??)2???)f(为第三象限⾓，且．已知7．)?sin(cot?13??cos(?)))((ff的值．；（2）若（1）化简，求5221)a?2x?acosx?(2?y2cosx)af(．设关于8的函数的最⼩值为．)f(a的表达式；（1）写出1a?f(a)y 的最⼤值．的）试确定能使2（值，并求出此时函数2）））））））））．））））））））答案A组y?sinx的图像可以看出．．C 观察1cossin??cos1?1sin1?tan1?tan1costan1?sin1?，⼜2．A ．，则444??x?sox?sin?cf(x))(x)??tanx(gx)?tan(f?x3．D 是，易判断，2)(xg是奇函数．偶函数，72373?1)cot??cot?0(tantan?tan?1cot，则为正值．，4．A 588455)?sin(???)??sin(，，则则①正确；B 5．10181018220?40?的正弦线和正切线，知④正确．画出tan2 6是第⼀象限⾓，则在⼀或三象限，则的终边在．C ⼀定为正；22?x2sin⼀定为正．轴的上⽅，则??xy?tan的图像的最⼩正周期相邻两个交点之间的距离就是7．．xx1,3}?{的终边不会落在坐标轴上，分⾓知⾓的终边在第⼀、⼆、三、四象限内，8．y1,3}{?．1、－1 ，则值域是的值分别为3、－1、－A?B?CA?B?C?A?BC，则9．①③④知，．C)?B?sincos(B?C)??cosAsin(A，，可得CA?BC)?tan?tan(A?Bcos?sin，．则①③④不正确．2232sincos??2tan1?12?(?2)．（1）．10解：4?2?2sin?2cos?tan222?1?y?x),yP(x，）设⾓的终边与单位圆的交点为，则（2221?sincos?x?cosysin?．，，那么则22??cos?2sin2222cos?2cos1??sin2sin?22??cos?sin2?72tan?1??．2?5?1tan0060?30?sinsin?cos?cos，．11．解：（1）错误，可举例，但，满⾜（2）正确，证明如下：2k???2n,0)?(??,0)?(Zn?k?Z．，设，；，，122122sinsin?,0)(?x?xsiny?sinsin?上为增函数，，∴，⽽在∵xtany???0???,0)(?x在，⼜上为增函数，则1222tantan?tantan?则，212则．21[0,1]sinx?0?a 12．，由已知可以得）知．1解：（b?)(fxa)(fx?b?0a?，当时，，minmax）））））））））．））））））））a?2,b?1f(x)?2sinx?11??3ba?b．，，，那么则f(x)?a?bf(x)?b0?a，，当时，maxmin a??2,b?3f(x)??2sinx?33?a?b?1b．，，则，那么551x]xxsinx[0,2f(x)．（2）若，则有，则，，或2666??x1x?f(x)?2sin31?2sinx?；，则）当时，由（3232sinx?(x)??f03x?2sinx?3??时，由当，则．B组??23515313f(?)s?i(??3)?fn(?)?f? B 1．．2442440,0,cosx??2,0][??y画出图像，则它值域为可得．2．D ?0.cosx?2cosx,?2?y?x?x，C．，排除D 当，知选A⽆意义，则、B排除，当3．C 24214??)aP(?1,?0a?是第三象限的⾓，则，可设其终边上⼀点为知，4．A 15a142?)sin(a1rOP则，则．152a1?0cos?(x)sin(1?8x0)xcoxssin10?x)xf(sin30??sinx?，5．，由0tcoin0?x)x)in?(xtans(?9xs2030?x值为知满⾜它的⼀个． ??5?)(,xy?cos)(0,2?sinxy在内的图像，和6．在同⼀坐标系内画出44??5),(x xsinx?cos观察图像知使取值范围为成⽴的．44cotsin??cos(??cos)f）解：（1．7．)?cotsin?(?1313sincos(?sincos()?)?cos(?)，则（2），52522222?5y??1)?()y(?1,0y?的终边上⼀点为，⼜，则可设，得6262cos?)f(6?y?2，则，则则．552aa22?cosy?1?2a?2cosx?2ax?(2a?1)?)x?2(cos1,1]??cosx[ 1）（，，8．解：222aa?y?2a?1?1?1??2?2??a时，，即当；min22aa?41y?1?1?cos2x?a 时，，即当时，；min2a1y?1??1?axcos2时，时，．当，即min2）））））））））．））））））））1,a??2,??1?2f(a)??a?2a?1,?2?a?2,则?2?2.?,a1?4a??1?)(af1a??）由（2，，得2112?)x?y?2(cos y1x?cos．有最⼤值为时，，当5 此时22备选题）1．下列函数是奇函数的是（xtan?xy)x?sin(tancos(sinx)yy?sinxtanxy?B．D．．．AC)(x)??f?tanx)??sin(tanxf(?x)?sin[tan(?x)]?sin(对于D中函数，，1．D)sin(tanxy?是奇函数．其定义域关于原点对称，则2＋a)＝(sinx－1y a??1sinxsinx．若函数2时取最⼤值，在时取得最⼩值，在a则实数）满⾜（1a1?1?a?0a0?a?1 D．A．C．B．2＋－a)y1＝(sinx1,1]?sinx?[ax?sin，函数注意，的对称轴为2．B0a??1?．由题意观察图像，则xtanx?y??cos．．函数的定义域为__________________3}Z,kx?2{x2kk0?tanxcosx?0 3可得．，则函数的图像可得，2}?kZ,2kk?2?2k?x?x?2k??Zk,?}{x{x，且，求交集222x?tany?cosx?}?Z,?k?x?2{x2kk．可得函数的定义域为2sintantan??sin? :4．求证．sintantan?sin?22?y??rOP?x),yP(x，则．4证明：设⾓，的终边上⼀点为22yy22tan?sin)(tan??sinsin)(tan??则22rx22222xry1y?y122222??sin?tan(y?)?y?y．sin?tansintan??．∴22222222rxxrrxrxsintan?sintan?）））））））））．。

(完整版)正弦函数的图像及性质练习题正弦函数是数学中重要的三角函数之一。

它的图像呈现周期性变化的波形，具有一些特殊的性质。

以下是一些关于正弦函数图像及性质的练题，帮助加深对该函数的理解。

练题1画出正弦函数$f(x) = \sin(x)$在$x$轴上的一个完整周期的图像。

标明原点$(0,0)$和与$x$轴交点$(2\pi,0)$。

练题2正弦函数的图像在何种情况下与$x$轴相切？给出一个具体的例子。

练题3在一个完整周期内，正弦函数的最大值是多少？最小值是多少？它们出现在图像的什么位置？练题4对于正弦函数$f(x) = \sin(ax)$，$a$的取值会如何影响函数图像的周期和振幅？给出两个具体的例子。

练题5将正弦函数$f(x) = \sin(x)$的图像上所有点的横坐标的值增加$\pi/2$，得到新的函数图像$g(x)$。

$g(x)$与$f(x)$有什么关系？画出$g(x)$的图像。

练题6正弦函数的图像具有的对称性是什么？说明是关于哪个点对称，并给出一个具体的例子。

练题7对于一般的正弦函数$f(x) = a\sin(bx+c)+d$，$a$、$b$、$c$和$d$的取值会如何影响函数图像的振幅、周期、平移和垂直方向的偏移？给出一个具体的例子。

练题8正弦函数有无界范围吗？是否可以取到任意实数值？解释你的答案。

练题9正弦函数在实际问题中的应用有哪些？举出一个具体的例子，并分析为什么正弦函数适用于该问题。

以上是一些关于正弦函数图像及性质的练题，希望能够帮助你巩固对该函数的理解。

通过解答这些题目，你可以更好地掌握正弦函数的特点和应用。

请注意，这些题目只涉及正弦函数的基本性质和应用，更深入的研究还需要进一步的研究和探索。

正弦函数、余弦函数的图像(附答案)海黄和紫檀哪个更有价值怕上当受骗，我们教你如何鉴别小叶紫檀的真伪！点击访问：木缘鸿官网北京十里河古玩市场，美不胜收的各类手串让记者美不胜收。

“黄花梨和紫檀是数一数二的好料，市场认可度又高，所以我们这里专注做这两种木料的手串。

”端木轩的尚女士向记者引见说。

海黄紫檀领风骚手串是源于串珠与手镯的串饰品，今天曾经演化为集装饰、把玩、鉴赏于一体的特征珍藏品。

怕上当受骗，我们教你如何鉴别小叶紫檀的真伪！点击访问：木缘鸿官网“目前珍藏、把玩木质手串的人越来越多，特别是海黄和印度小叶檀最受藏家追捧，有人把黄花梨材质的手串叫做腕中黄金。

”纵观海南黄花梨近十年的价钱行情，不难置信尚女士所言非虚。

一位从事黄花梨买卖多年的店主夏先生通知记者，在他的记忆中，2000年左右黄花梨上等老料的价钱仅为60元/公斤，2002年大量收购时，价格也仅为2万元/吨左右，而往常，普通价钱坚持在7000-8000元/公斤，好点的1公斤料就能过万。

“你看这10年间海南黄花梨价钱涨了百余倍，都说水涨船高，这海黄手串的价钱自然也是一路飙升。

”“这串最低卖8000元，能够说是我们这里海黄、小叶檀里的一级品了，普通这种带鬼脸的海黄就是这个价位。

”檀梨总汇的李女士说着取出手串让记者感受一下，托盘里一串直径2.5mm的海南黄花梨手串熠熠生辉，亦真亦幻的自然纹路令人入迷。

当问到这里最贵的海黄手串的价钱时，李女士和记者打起了“太极”，几经追问才通知记者，“有10万左右的，普通不拿出来”。

同海南黄花梨并排摆放的是印度小叶檀手串，价位从一串三四百元到几千元不等。

李女士引见说，目前市场上印度小叶檀原料售价在1700元/公斤左右，带金星的老料售价更高，固然印度小叶檀手串的整体售价不如海黄手串高，但近年来有的也翻了数十倍，随着老料越来越少，未来印度小叶檀的升值空间很大。

“和海黄手串比起来，印度小叶檀的价钱相对低一些，普通买家能消费得起。

正弦函数的性质与图像练习题含答案1. 求出sin x≥的解集（）A. B.C. D.2. 已知函数f(x)＝cos(2x−π6)(x∈R)，下列命题正确的是（）A.若f(x1)＝f(x2)＝0，则x1−x2＝kπ(k∈Z)B.f(x)的图象关于点(π12, 0)对称C.f(x)的图象关于直线x=π3对称D.f(x)在区间(−π3, π12)上是增函数3. 已知函数f(x)的周期为4π，且，则f （）的值与下列哪个函数值相等（）A. B. C.f(π) D.4. f(x)是R 上的奇函数，对任意实数x 都有f(x)=−f(x −32)，当x ∈(12, 32)时，f(x)=log 2(2x −1)，则(2018)+f(2019)=( ) A.0 B.1 C.−1 D.25. 函数y ＝1−sin x 的最大值为（ ） A.1 B.0 C.2 D.−16. 已知四个命题：p 1：∃x 0∈R ，sin x 0−cos x 0≥√2；p 2:∀x ∈R ，tan x =sin x cos x；p 3：∃x 0∈R,x 02+x 0+1≤0；p 4:∀x >0，x +1x ≥2．以下命题中假命题是（ ） A.p 1∨p 4 B.p 2∨p 4 C.p 1∨p 3 D.p 2∨p 37. 已知函数f(x)＝sin (ωx +φ)(ω>0, 0<φ<π2)在(π8, 5π8)上单调，且f(−π8)＝f(3π8)＝0，则f(π2)的值为（ ） A.√22B.1C.−1D.−√228. 已知函数f(x)＝ax 3+bx ，a ，b ∈R ，若f(−2)＝−1，则f(2)＝（ ） A.−2 B.1 C.3 D.−39. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(x −4)=−f(x)，在[0, 2]上f(x)是增函数，则下列结论：①若0<x 1<x 2<4，且x 1+x 2=4，则f(x 1)+f(x 2)>0；②若0<x 1<x 2<4，且x 1+x 2=5，则f(x 1)>f(x 2)；③若方程f(x)=m 在[−8, 8]内恰有四个不同的解x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1+x 2+x 3+x 4=±8，其中正确的有（ ） A.0个 B.1个 C.2个 D.3个10. 已知f(x)=cos 2x +2sin x,x ∈[π4,π]，则f(x)的值域是（ ） A.[1, 2] B.[1,12+√2]C.[−∞, 2]D.[−2, 2]11. 若函数f(x)＝sin (2x +θ)的图象关于直线x =−π6对称，则|θ|的最小值是________．12. 在[0, 2π]内，使sin x≥−成立的x的取值范围是________．13. 函数f(x)=√3sin x cos x+cos2x的最大值为________．14. 已知[x]表示不超过x的最大整数，如[−1.2]＝−2，[1.5]＝1，[3]＝3．若f(x)＝2x，)=________，函数g(x)的值域为________．g(x)＝f(x−[x])，则g(3215. 求函数的对称轴和对称中心．．16. 已知函数f(x)=sin x⋅cos x−√3cos2x+√32（1）化简函数f(x)，并用“五点法”画出函数f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图（先在所给的表格中填上所需的数值，再画图）；]时，求函数f(x)的最大值和最小值及相应的x的值．（2）当x∈[0, π2参考答案与试题解析正弦函数的性质与图像练习题含答案一、选择题（本题共计 10 小题，每题 5 分，共计50分）1.【答案】C【考点】三角函数线正弦函数的图象三角不等式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】D【考点】正弦函数的奇偶性和对称性【解析】利用余弦函数的对称性质可知，2x−π6=kπ可得对称轴，2x−π6=kπ+π2，可得其对称中心，根据2kπ−π≤2x−π6≤2kπ单调递减，可得增区间．【解答】函数f(x)＝cos(2x−π6)(x∈R)，其周期T=2π2=π，一个周期有两个零点，即f(x1)＝f(x2)＝0，则x1−x2=12kπ(k∈Z)故A不对．余弦函数的性质可知：由2x−π6=kπ+π2，可得其对称中心为(π3+12kπ, 0)，经考察，故B不对．由2x−π6=kπ可得其对称中轴x=12kπ+π12，(k∈Z)，经考察，故C不对．由2kπ−π≤2x−π6≤2kπ可得增区间为[kπ−5π12, kπ+π12]，∴f(x)在区间(−π3, π12)上是增函数．3.【答案】C【考点】三角函数的周期性【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】A【考点】正弦函数的奇偶性和对称性【解析】主要考查函数的周期性和奇偶性,考查转化与化归能力、运算求解能力【解答】解：∵f(x)是R上的奇函数，且f(x)=−f(x−32)，∴f(x+32)=−f(x)，∴f(x+32+32)=−f(x+32)=f(x)，即f(x+3)=f(x).∴函数f(x)的最小正周期为3，∴f(2018)+f(2019)=f(672×3+2)+f(673×3+0) =f(2)+f(0)=f(−1+3)+f(0) =f(−1)+f(0)=−f(1)=0.故选A.5.【答案】C【考点】正弦函数的定义域和值域正弦函数的图象三角函数的最值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】D【考点】命题的真假判断与应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】D【考点】正弦函数的图象【解析】由已知可得函数f(x)的最小正周期为T=2πω，解得0<ω≤1，结合已知列关于ω，φ的方程组，求解可得ω，φ得到函数解析式，进一步求得f(π2)的值．【解答】由题意得，函数f(x)的最小正周期为T=2πω，∵f(x)在(π8, 5π8)上单调，∴T2=πω≥π2，得0<ω≤2．且f(−π8)＝f(3π8)＝0，所以T2=3π8−(−π8)=π2，解得ω＝2．由于f(−π8)＝0，所以sin[2×(−π8)+φ]＝0，整理得φ=π4．所以f(x)＝sin(2x+π4)，则f(π2)=sin(π+π4)=−√22．8.【答案】B【考点】函数奇偶性的性质与判断【解析】根据题意，分析可得f(x)为奇函数，进而由奇函数的性质分析可得答案．【解答】根据题意，函数f(x)＝ax3+bx，其定义域为R，有f(−x)＝a(−x)3+b(−x)＝−(ax3+bx)＝−f(x)，即函数f(x)为奇函数，又由f(−2)＝−1，则f(2)＝−f(−2)＝1；9.【答案】D【考点】奇函数【解析】由条件“f(x−4)=−f(x)”得f(x+8)=f(x)，说明此函数是周期函数，又是奇函数，且在[0, 2]上为增函数，由这些画出示意图，由图可解决问题．【解答】解：此函数是周期函数，又是奇函数，且在[0, 2]上为增函数，综合条件得函数的示意图，由图看出，①若0<x1<x2<4，且x1+x2=4，f(x)在[0, 2]上是增函数，则f(x1)>f(x1−4)=f(−x2)=−f(x2)；则f(x1)+f(x2)>0；故①正确；②若0<x1<x2<4，且x1+x2=5，f(x)在[0, 2]上是增函数，由图可知：f(x1)>f(x2)；故②正确；③当m>0时，四个交点中两个交点的横坐标之和为2×(−6)，另两个交点的横坐标之和为2×2，所以x1+x2+x3+x4=−8．当m<0时，四个交点中两个交点的横坐标之和为2×(−2)，另两个交点的横坐标之和为2×6，所以x1+x2+x3+x4=8．故③正确；故选D．10.【答案】A【考点】三角函数的最值【解析】将f(x)化简转化为关于sin x的二次函数形式，然后根据sin x的范围求出f(x)的值域即可．【解答】f(x)＝cos2x+2sin x＝−sin2x+2sin x+1＝−(sin x−1)2+2∵x∈[π, π]，∴sin x∈[0, 1]，4∴当sin x＝0时，f(x)min＝1；当sin x＝1时，f(x)max＝2，∴f(x)的值域为：[1, 2]．二、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）11.【答案】π6【考点】正弦函数的奇偶性和对称性【解析】结合正弦函数的对称轴处取得函数的最值即可求解．【解答】依题意可知2×(−π6)+θ=kπ+π2(k∈Z)，得θ=kπ+5π6(k∈Z)，所以|θ|=|kπ+5π6|，故当k＝−1时，|θ|取得最小值π6．12.【答案】【考点】三角函数线正弦函数的图象【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答13.【答案】32【考点】三角函数的最值【解析】运用二倍角的正弦公式和余弦公式、以及辅助角公式，结合正弦函数的值域，即可得到所求最大值．【解答】解：函数f(x)=√3sin x cos x+cos2x=√32sin2x+12cos2x+12=sin(2x+π6)+12，当2x+π6=2kπ+π2，k∈Z，即x=kπ+π6，k∈Z，函数取得最大值1+12=32.故答案为：32.14.【答案】√2,[1, 2)【考点】函数的值域及其求法【解析】代入自变量x ，利用取值求出，代入即可，求出[x]∈(x −1, x]，故x −[x]∈[0, 1)，代入即可． 【解答】由f(x)＝2x ，g(x)＝f(x −[x])，g(32)＝f （32−[32]）＝f(32−1)＝f(12)＝212=√2，由g(x)＝2x−[x]， [x]∈(x −1, x]， 故x −[x]∈[0, 1)， 所以g(x)∈[1, 2)，三、 解答题 （本题共计 2 小题 ，每题 5 分 ，共计10分 ） 15. 【答案】由，得，所以对称轴为．由，得，所以对称中心为．【考点】正弦函数的图象正弦函数的奇偶性和对称性 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 16. 【答案】解：（1）f(x)=sin x⋅cos x −√3cos 2x +√32=12sin 2x −√32cos 2x =sin (2x −π3)，令X =2x −π3，则x =12(X −π3)．填表：…（2）因为x∈[0, π2]，所以2x∈[0, π]，2x−π3∈[−π3, 2π3]…所以当x=0时，即2x−π3=−π3，y=sin(2x−π3)取得最小值−√32；当x=5π12时，即2x−π3=π2，y=sin(2x−π3)取得最大值1…【考点】五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象正弦函数的图象【解析】（1）先化简函数f(x)，然后利用“五点法”进行作图．（2）根据三角函数的最值性质进行求解．【解答】解：（1）f(x)=sin x⋅cos x−√3cos2x+√32=12sin2x−√32cos2x=sin(2x−π3)，令X=2x−π3，则x=12(X−π3)．填表：y010−10…（2）因为x∈[0, π2]，所以2x∈[0, π]，2x−π3∈[−π3, 2π3]…所以当x=0时，即2x−π3=−π3，y=sin(2x−π3)取得最小值−√32；当x=5π12时，即2x−π3=π2，y=sin(2x−π3)取得最大值1…试卷第11页，总11页。

正弦函数、余弦函数的图象知识点正弦函数、余弦函数的图象五点法五点法思考为什么把正弦、余弦曲线向左、右平移2π的整数倍个单位长度后图象形状不变？答案由诱导公式一知sin(x＋2kπ)＝sin x，cos(x＋2kπ)＝cos x，k∈Z可得．【基础演练】【基础演练】1．函数y＝sin(－x)，x∈[0,2π]的简图是()解析y＝sin(－x)＝－sin x，y＝－sin x与y＝sin x的图象关于x轴对称，故选B.2．用“五点法”画函数y＝1＋12sin x的图象时，首先应描出五点的横坐标是() A．0，π4，π2，3π4，π B．0，π2，π，3π2，2πC．0，π，2π，3π，4π D．0，π6，π3，π2，2π3解析 所描出的五点的横坐标与函数y ＝sin x 的五点的横坐标相同，即0，π2，π，3π2，2π，故选B.3．在同一平面直角坐标系内，函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与y ＝sin x ，x ∈[2π，4π]的图象( ) A ．重合 B ．形状相同，位置不同 C ．关于y 轴对称 D ．形状不同，位置不同答案 B解析 根据正弦曲线的作法可知函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与y ＝sin x ，x ∈[2π，4π]的图象只是位置不同，形状相同． 4．在[0,2π]内，不等式sin x <－32的解集是( ) A ．(0，π) B.⎝⎛⎭⎫π3，4π3 C.⎝⎛⎭⎫4π3，5π3 D.⎝⎛⎭⎫5π3，2π 解析 画出y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的草图如下．当sin x ＝－32时，x ＝4π3或x ＝5π3， 可知不等式sin x <－32在[0,2π]上的解集是⎝⎛⎭⎫4π3，5π3.故选C. 5．函数y ＝cos x ＋4，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝4的交点的坐标为________．解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝cos x ＋4，y ＝4得cos x ＝0，当x ∈[0,2π]时，x ＝π2或3π2，∴交点坐标为⎝⎛⎭⎫π2，4，⎝⎛⎭⎫3π2，4.【典型例题】考点一：正弦函数、余弦函数图象的初步认识 例1 (1)下列叙述正确的个数为( )①y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象关于点P (π，0)成中心对称； ②y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象关于直线x ＝π成轴对称；③正弦、余弦函数的图象不超过直线y ＝1和y ＝－1所夹的范围． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析 分别画出函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]和y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，由图象(略)观察可知①②③均正确．答案 D(2)函数y ＝sin |x |的图象是( )答案 B解析 y ＝sin |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ≥0，－sin x ，x <0，结合选项可知选B.反思感悟 解决正弦、余弦函数图象的注意点对于正弦、余弦函数的图象问题，要画出正确的正弦曲线、余弦曲线，掌握两者的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到．跟踪训练1 下列关于正弦函数、余弦函数的图象的描述，不正确的是( ) A ．都可由[0,2π]内的图象向上、向下无限延展得到 B ．都是对称图形 C ．都与x 轴有无数个交点D ．y ＝sin(－x )的图象与y ＝sin x 的图象关于x 轴对称 答案 A解析 由正弦、余弦函数图象知，B ，C ，D 正确．考点二：用“五点法”作三角函数的图象 例2 用“五点法”作出下列函数的简图： (1)y ＝sin x －1，x ∈[0,2π]； (2)y ＝－2cos x ＋3，x ∈[0,2π]． 解 (1)列表：描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图．(2)列表：描点、连线得出函数y＝－2cos x＋3，x∈[0,2π]的图象．反思感悟作形如y＝a sin x＋b(或y＝a cos x＋b)，x∈[0,2π]的图象的三个步骤跟踪训练2利用“五点法”作出函数y＝2＋cos x(0≤x≤2π)的简图．解列表：描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图．考点三：正弦函数、余弦函数图象的应用 例3 不等式2sin x －1≥0，x ∈[0,2π]解集为( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π6 B.⎣⎡⎦⎤0，π4 C.⎣⎡⎦⎤π6，π D.⎣⎡⎦⎤π6，5π6答案 D解析 因为2sin x －1≥0，所以sin x ≥12.在同一直角坐标系下，作函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]以及直线y ＝12的图象．由函数的图象知，sin π6＝sin 5π6＝12.所以根据图象可知，sin x ≥12的解集为⎣⎡⎦⎤π6，5π6. 延伸探究1．在本例中把“x ∈[0,2π]”改为“x ∈R ”，求不等式2sin x －1≥0的解集． 解 在x ∈[0,2π]上的解集为⎣⎡⎦⎤π6，5π6.所以x ∈R 时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪π6＋2k π≤x ≤5π6＋2k π，k ∈Z . 2．试求关于x 的不等式12<sin x ≤32.解 作出正弦函数y ＝sin x 在[0,2π]上的图象，作出直线y ＝12和y ＝32，如图所示．由图可知，在[0,2π]上当π6<x ≤π3或2π3≤x <5π6时，不等式12<sin x ≤32成立，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪π6＋2k π<x ≤π3＋2k π或2π3＋2k π≤x <5π6＋2k π，k ∈Z . 反思感悟 利用三角函数图象解三角不等式sin x >a (cos x >a )的步骤 (1)作出相应的正弦函数或余弦函数在[0,2π]上的图象． (2)确定在[0,2π]上sin x ＝a (cos x ＝a )的x 值． (3)写出不等式在区间[0,2π]上的解集． (4)根据公式一写出定义域内的解集．跟踪训练3 求函数y ＝1－2cos x 的定义域． 解 依题意有1－2cos x ≥0，即cos x ≤12.作出余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]以及直线y ＝12的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪π3＋2k π≤x ≤5π3＋2k π，k ∈Z .根据函数图象求范围典例 函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是________． 答案 (1,3)解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3sin x ，0≤x ≤π，－sin x ，π<x ≤2π.图象如图所示．结合图象可知1<k <3.[素养提升] 关于方程根的个数问题，往往运用数形结合的方法构造函数，转化为函数图象交点的个数问题来解决，体现了直观想象的核心素养．1．(多选)用五点法画y ＝3sin x ，x ∈[0,2π]的图象时，下列哪个点不是关键点( ) A.⎝⎛⎭⎫π6，32 B.⎝⎛⎭⎫π2，3 C ．(π，0) D ．(2π，3) 答案 AD解析 五个关键点的横坐标依次是0，π2，π，3π2，2π.代入计算得B ，C 是关键点．2．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π2，则f (x )的图象( ) A ．与g (x )的图象相同 B ．与g (x )的图象关于y 轴对称C ．向左平移π2个单位长度，得g (x )的图象D ．向右平移π2个单位长度，得g (x )的图象答案 D解析 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝sin x ， f (x )的图象向右平移π2个单位长度得到g (x )的图象．3．在[0,2π]上，函数y ＝2sin x －2的定义域是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π4 B.⎣⎡⎦⎤π4，3π4 C.⎣⎡⎦⎤π4，π2D.⎣⎡⎦⎤3π4，π解析 依题意得2sin x －2≥0，即sin x ≥22.作出y ＝sin x 在[0,2π]上的图象及直线y ＝22，如图所示．由图象可知，满足sin x ≥22的x 的取值范围是⎣⎡⎦⎤π4，3π4，故选B. 4．函数y ＝1＋sin x ，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝12交点的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 C解析 由函数y ＝1＋sin x ，x ∈[0,2π]的图象(如图所示)，可知其与直线y ＝12有2个交点．5．函数f (x )＝sin x －1，x ∈[0,2π]的零点为________． 答案 π2解析 令f (x )＝0，∴sin x ＝1，∴又x ∈[0,2π]，∴x ＝π2.6．已知函数f (x )＝2cos x ＋1，若f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π2，m ，则m ＝________；若f (x )<0，则x 的取值集合为________．答案 1 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2π3＋2k π<x <4π3＋2k π，k ∈Z 解析 当x ＝π2时，f (x )＝2cos π2＋1＝1，∴m ＝1.f (x )<0，即cos x <－12，作出y ＝cos x 在x ∈[0,2π]上的图象，如图所示．由图知x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2π3＋2k π<x <4π3＋2k π，k ∈Z . 7．根据y ＝cos x 的图象解不等式：－32≤cos x ≤12，x ∈[0，2π]． 解 函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象如图所示：根据图象可得不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪π3≤x ≤5π6或7π6≤x ≤5π3.8．(多选)函数y ＝sin x －1，x ∈[0,2π]与y ＝a 有一个交点，则a 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．－2 答案 BD解析 画出y ＝sin x －1的图象．如图．依题意a ＝0或a ＝－2.9．函数y ＝cos x ＋|cos x |，x ∈[0,2π]的大致图象为( )答案 D解析 由题意得y ＝⎩⎨⎧2cos x ，0≤x ≤π2或3π2≤x ≤2π，0，π2<x <3π2.10．函数f (x )＝lg cos x ＋25－x 2的定义域为________________． 答案 ⎣⎡⎭⎫－5，－3π2∪⎝⎛⎭⎫－π2，π2∪⎝⎛⎦⎤3π2，5 解析 由题意，得x 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ cos x >0，25－x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧cos x >0，－5≤x ≤5，作出y ＝cos x 的图象，如图所示．结合图象可得x ∈⎣⎡⎭⎫－5，－3π2∪⎝⎛⎭⎫－π2，π2∪⎝⎛⎦⎤3π2，5.11．函数y ＝2cos x ，x ∈[0,2π]的图象和直线y ＝2围成的一个封闭的平面图形的面积是________． 答案 4π解析 如图所示，将余弦函数的图象在x 轴下方的部分补到x 轴的上方，可得一个矩形，其面积为2π×2＝4π.12．若方程sin x ＝1－a 2在x ∈⎣⎡⎦⎤π3，π上有两个实数根，求a 的取值范围． 解 在同一直角坐标系中作出y ＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π3，π的图象，y ＝1－a2的图象，由图象可知，当32≤1－a2<1，即当－1<a ≤1－3时，y ＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π3，π的图象与y ＝1－a 2的图象有两个交点，即方程sin x ＝1－a 2在x ∈⎣⎡⎦⎤π3，π上有两个实数根．。

5.4.1 正弦函数、余弦函数的图像（基础知识+基本题型）知识点一 正弦函数的图象 1.正弦曲线的几何作法正弦函数sin ,y x x R 的图象如图，我们把正弦函数的图象叫做正弦曲线.如图，在直角坐标系的x 轴上取一点1O ，以1O 为圆心，单位长为半径作圆，从圆1O 与x 轴的交点A 起，把圆1O 分成12等份（份数越多，画出的图象越精确）.过圆1O 上各分点作x 轴的垂线，得到对应于0,,,,,2632等角的正弦线，相应地，再把x 轴上从0到2这一段分成12等份，把角x 的正弦线向右平移，使它的起点与x 轴上的点x 重合，再把这些正弦线的终点用光滑曲线连接起来，即得sin ,[0,2]y x x 的图象.2.用“五点法”作sin ,[0,2]y x x 的简图在函数sin ,[0,2]y x x 的图象上，起关键作用的点有五个：(0,0)，(,1)2，(,0)，3(,1)2，(2,0). 一般地，在精确度要求不高时，我们常常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，就得到正弦函数在[0,2]上的简图.这种方法叫“五点法”.【提示】（1）“五点法”作三角函数图象的实质是分别找到函数图象的最高点、最低点及三个平衡点，这五个点大致确定了函数图象的位置与形状.（2）用“五点法”作sin ,[0,2]y x x 的图象后，将其向左右平移(每次2个单位长度)，可得出sin ,y x x R 的图象.知识点二 余弦函数的图象 1.利用图象变换作余弦函数的图象 由诱导公式六，有cos sin()2y x x .因此，将正弦函数sin ,y x x R 的图象向右平移2个单位长度，就得到函数sin()cos ,2y x x x R 的图象. 我们把余弦函数cos ,y x x R 的图象叫做余弦曲线，如图所示.2.用“五点法”作cos ,[0,2]y x x 的简图在函数cos ,[0,2]y x x 的图象上，起关键作用的点是它与x 轴的交点、函数图象的最高点和最低点，它们的坐标依次为：(0,1)，(,0)2，(,1)，3(,0)2，(2,1).用光滑的曲线将它们连接起来，就得到余弦函数在[0,2]上的简图.【提示】（1）作余弦函数图象时，可通过正弦函数的图象平移得到，但要注意平移的单位长度. （2）作x R 的余弦函数图象，可由cos ,[0,2]y x x 的图象左右平移得到，也可由 sin ,y x x R 的图象向左平移2个单位长度得到.考点一 通过图象变换作函数的图象 【例1】作函数32sin y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象. 解：3sin |cos |2y x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭cos 22,Z 22,3cos 22,Z .22x k x k k x k x k k ππππππππ⎧⎛⎫-+≤≤+∈ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+<<+∈ ⎪⎪⎝⎭⎩故|cos |y x =的图象实际就是cos y x =的图象在x 轴下方的部分翻折到x 轴上方后得到的图象，如图由于余弦函数的图象是利用诱导公式依据图象变换画出的，故掌握利用诱导公式化简三角函数式也是画三角函数图象的切入点。