人教版高中数学必修第二册7.3复数的三角形式同步精练【考点梳理】考点一、复数的三角形式的概念1.复数的辐角(1)定义：以x 轴的非负半轴为始边、向量所在的射线(起点是原点O)为终边的角θ叫作复数z=a+bi 的辐角。
(2)辐角主值[0，2)内的辐角θ的值叫作复数z=a+bi 的辐角主值，记作arg z，即0≤arg z<2。
非零复数与它的模和辐角主值一一对应。
(3)常用的有关辐角主值的结论当a R +时arg a=0，arg(-a)=,arg(ai)=，arg(-ai)=，arg0可以是[0，2π)中的任一角。
2.复数相等两个非零的复数相等，当且仅当它们的模与辐角主值分别相等。
3.复数的三角形式复数z=a+bi 可以用复数的模r 和辐角θ来表示：z=r(cosθ+isinθ)，其中22b a r +=，r a =θcos ，r b=θsin 。
r(cosθ+isinθ)叫作复数z 的三角形式，而a+bi 叫作复数z 的代数形式。
考点二、复数的三角形式的乘除法1.复数的乘法与乘方把复数，分别写成三角形式(cosθ2+isin。
则。
这就是说，两个复数相乘，其积的模等于这两个复数的模的积，其积的辐角等于这两个复数的辐角的和.上面的结果可以推广到n 个复数相乘：=。
因此，如果就有[。
这就是说，复数的次幂的模等于这个复数的模的n 次幂，它的辐角等于这个复数的辐角的n 倍。
2.复数的除法设则z ₁除以z ₂的商：)]。
这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差。
【题型归纳】题型一：复数的三角表示1．（2021·全国·高一课时练习）下列各式中已表示成三角形式的复数是（）.A ．2cos isi 66πn π⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．2cos isi 66πn π⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．2sin i co 66πs π⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．2cos i sin 66ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭2．（2021·全国·高一课时练习）复数[)()1cos i sin 0,2πθθθ--∈的三角形式是（）A ．ππ2sincos i sin 222θθθ++⎛⎫+ ⎪⎝⎭B ．ππ2sincos isin 222θθθ--⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．ππ2sin cos i sin 222θθθ--⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．ππ2cos cos i sin 222θθθ--⎛⎫+ ⎪⎝⎭3．（2021·上海市延安中学高一期末）13i --的三角形式是（）A ．ππ2cos i sin 33⎛⎫-+ ⎪⎝⎭B ．2π2π2cos isin 33⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦C ．7π7π2sin i cos 66⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．7π7π2cos i sin 66⎛⎫+ ⎪⎝⎭题型二：复数的辅角4．（2021·全国·高二课时练习）复数sin 40i cos 40︒-︒的辐角主值是（）A ．－40°B ．310°C ．50°D ．130°5．（2022·上海·复旦附中高二期末）已知复数1z ､2z 满足123,1==z z ，若1z 和2z 的幅角之差为π3，则1212-=+z z z z ___________.6．（2021·全国·高二单元测试）当实数k 取什么值时，复数()()2223232i k k k k --++-的辐角主值是54π？题型三：复数的乘、除运算的三角表示及及其几何意义7．（2021·重庆巴蜀中学高三阶段练习）复数都可以表示(cos sin )z z i θθ=+(02π)θ≤<，其中z 为z 的模，θ称为z 的辐角．已知复数z 满足2(1)1i i z -=+，则z 的辐角为（）A ．π4B ．3π4C ．5π4D ．7π48．（2022·全国·高三专题练习）设1z ，2z ，3z 复平面上对应的点分别为A ，B ，C ，()313i 2z =+．若11z =，21z z z =，32z z z =，则四边形OABC 的面积为______．9．（2021·全国·高一课时练习）计算：(1)ππππ3cos isin 2cos i sin 6666⎛⎫⎛⎫+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)ππππ6cos isin3cos isin 3366⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+÷- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦(3)13ππi cos isin 2266⎛⎫⎛⎫-+⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(4)()ππ1i cos isin 66⎛⎫-÷+ ⎪⎝⎭【双基达标】一、单选题10．（2022·吉林吉林·高三期末（理））若复数()cos s i in z r θθ=+（0r >，R θ∈），则把这种形式叫做复数z 的三角形式，其中r 为复数z 的模，θ为复数z 的辐角，则复数31i 22z =+的三角形式正确的是（）A ．cos 66isin ππ+B ．sin cos 66i ππ+C ．cos33isinππ+D ．sin33icosππ+11．（2021·全国·高一课时练习）已知()i ,a b a b +∈R 的三角形式为()cos isin r θθ+，则i a b -+的三角形式是（）.A ．()cos isin r θθ+B ．()()()cos isin r πθπθ-+-C ．()()()cos isin r πθπθ+++D ．()()()cos 2isin 2r ππθ-∞+-12．（2021·全国·高三阶段练习）欧拉公式是指以欧拉命名的诸多公式，有拓扑学中的欧拉多面体公式、初等数论中的欧拉数论公式等其中最著名的是复变函数中的欧拉幅角公式——把复数、指数函数与三角函数联系起来（i cos isin e θθθ=+，自然对数的底数 2.71828e ≈，虚数单位i ）．若复数z 满足i 202142i z e π=-，则z 的虚部为（）A ．()21i-B ．21-C ．()21i--D ．12-13．（2021·福建安溪·高三期中）任意复数i z a b =+（a 、b R ∈，i 为虚数单位）都可以写成()cos s i in z r θθ=+的形式，其中()2202r a b θπ=+≤<该形式为复数的三角形式，其中θ称为复数的辐角主值.若复数31i 22z =+，则z 的辐角主值为（）A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π【高分突破】一：单选题14．（2021·广东惠州·高一期中）已知()ππ13i cos i sin 66z ⎛⎫=-⨯-+ ⎪⎝⎭，则arg z =（）A ．π3B ．π2C ．2π3D ．5π615．（2021·吉林·长春十一高高一阶段练习）任何一个复数i z a b =+(其中,i ∈a b R,为虚数单位)都可以表示成：(cos si )i n z r θθ=+的形式，通常称之为复数z 的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：()[(cos isin )](cos isin )n n n z r r n n n Nθθθθ+=+=+∈，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法中正确的个数是（）（1）22||z z =（2）当1,3r πθ==时，31z =（3）当1,3r πθ==时，13i22z =-（4）当1,4r πθ==时，若n 为偶数，则复数n z 为纯虚数A ．1B ．2C ．3D ．416．（2022·全国·高三专题练习（文））设sin15i sin 75z =+(其中i 为虚数单位)，则2z 的共轭复数是（）A ．13i22-B ．13i22+C ．31i 22--D ．31i 22-+17．（2021·广东惠州·高一期末）棣莫弗公式()()()cos i sin cos i sin nx x nx nx +⋅=+⋅（其中i 为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667﹣1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数4ππcos i sin 33⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭在复平面内所对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限18．（2021·全国·高一课时练习）已知复数i z a b =+可以写成()cos isin z z θθ=+，这种形式称为复数的三角式，其中θ叫复数z 的辐角，[)0,2θπ∈．若复数13=+z i ，其共扼复数为z ，则下列说法①复数z 的虚部为3i ；②222z z z ==；③z 与z 在复平面上对应点关于实轴对称；④复数z 的辐角为3π；其中正确的命题个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个19．（2020·河北正中实验中学高三阶段练习）棣莫弗定理：若两个复数111cos isin z θθ=+，222cos isin z θθ=+，则()()121212cos i sin z z θθθθ⋅=+++，已知31i 22a =+，2021b a =，则a b +的值为（）A ．i -B ．iC ．3-D ．320．（2021·全国·高三专题练习（理））大数学家欧拉发现了一个公式：e cos sin ix x i x =+，i 是虚数单位，e 为自然对数的底数.此公式被誉为“数学中的天桥”.根据此公式，2022ππcos sin 44i ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）（注：底数是正实数的实数指数幂的运算律适用于复数指数幂的运算）A ．1B ．1-C ．iD ．i-21．（2021·全国·高一课时练习）复数sin 30cos30i --的三角形式为（）A ．sin 30sin 30i +B ．cos 240sin 240i +C ．cos30sin 30i +D ．sin 240cos 240i +22．（2020·江苏省郑梁梅高级中学高三期中）欧拉是瑞士著名数学家，他首先发现：i e cos isin θθθ=+（e 为自然对数的底数，i 为虚数单位），此结论被称为“欧拉公式”，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系．根据欧拉公式可知，i e π=（）A ．1B ．0C ．1-D ．1i+23．（2021·上海·高一课时练习）复数3cos sin 55z i ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的三角形式为（）A ．3cos sin 55i ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦B ．3cos sin 55i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．443cos sin 55i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．663cos sin 55i ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭24．（2021·上海·高一课时练习）如果非零复数有一个辐角为74π-，那么该复数的（）A ．辐角唯一B ．辐角主值唯一C ．辐角主值为74π-D ．辐角主值为74π25．（2020·河北冀州中学高三阶段练习）任意复数z a bi =+（,a b ∈R ，i 为虚数单位）都可以()cos sin z r i θθ=+的形式，其中()220r a b θπ=+≤<该形式为复数的三角形式，其中θ称为复数的辐角主值.若复数213iz i=-，则z 的辐角主值为（）A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π26．（2022·山西·临县第一中学高三期末）已知复数123,,z z z ，1z 是1z 的共轭复数，则下列结论正确的是（）A ．若120z z +=，则12=z zB ．若21z z =，则12=z z C ．若312z z z =，则312z z z =D ．若1211z z +=+，则12=z z 27．（2021·全国·高一课时练习）i cos i sin x x x e =+是著名的欧拉公式，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系.若1(,1)z θ=，2(,sin )z m α=，()121,4z z ⋅∈-恒成立且()224222cos 21sin 1sin sin 12sin 2cos sin 222cos cos 1cos 2m αααααααααα+=-+++++-++⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则i 3e πθ表示的复数不可能位于复平面中的（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限28．（2021·江苏·南京市第二十九中学高一期末）欧拉公式i cos isin e θθθ=+（其中i 是虚数单位，R θ∈）是由瑞典著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天骄，依据欧拉公式，下列选项正确的是（）A ．复数3ie 对应的点位于第一象限B ．复数i 1i x e +的模长等于22C ．i e π为纯虚数D ．42i i 3310e e ππ++=29．（2021·湖南·高二期末）著名的欧拉公式为：iπe 10+=，其中2i 1=-，e 为自然对数的底数，它使用了几个基本的数学常数描述了实数集和复数集的联系．其广义一般式是()i e cos isin 02πθθθθ=+≤<，该复数在复平面内对应的向量坐标为()cos ,sin θθ，则下列说法正确的是（）A ．13πln i i 223⎛⎫+= ⎪⎝⎭B ．若复数z 满足13i 22z =+，则2021z z =C ．若复数i e α与复数i e β在复平面内表示的向量相互垂直，则π2αβ-=D ．复数i e α与复数i ie α在复平面内表示的向量相互垂直30．（2021·全国·高一课时练习）欧拉公式cos sin xi e x i x =+(其中i 为虚数单位，x ∈R )，是由瑞士著名数学家欧拉创立的，公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数的数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天骄，依据欧拉公式，下列选项能确的是（）A ．复数2i e 对应的点位于第三象限B ．2ie π为纯虚数C ．3i e π的共轭复数为1322i -；D ．复数3xi e i+的模长等于1231．（2021·全国·高一课时练习）复数13i 22+的三角形式是______．32．（2021·全国·高一单元测试）设12cos isin 33z ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，22sin icos 266z ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则12z z ⋅的三角形式为___________.33．（2021·全国·高二课时练习）若复数1z +的辐角为π6，1z -的辐角为2π3，则z =______．34．（2021·湖南·高一阶段练习）欧拉公式i cos i sin x x x e =+（其中i 为虚数单位）是由著名数学家欧拉发现的，即当π3x =时，πi 3πcos isin 3π3e ⋅=+，根据欧拉公式，若将2021πi e ⋅所表示的复数记为z ，则将复数1i z +表示成三角形式为________．四、解答题35．（2021·全国·高一课时练习）已知11cos isin z αα=++，21cos sin z i ββ=-+，其中02απβπ<<<<，且1213arg arg 6z z π+=，1231z z =-，求()tan αβ+的值．36．（2021·全国·高一课时练习）（1）计算：101032i213i 1i 22132i ⎛⎫⎛⎫-++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭；（2）若复数z 满足112z z -=，1arg 3z z π-⎛⎫= ⎪⎝⎭，求复数3(2||)32z z z --+的三角形式.（3）利用复数证明余弦定理.37．（2021·全国·高一课时练习）计算：(1)ππππ3cos i sin 2cos i sin 3366⎛⎫⎛⎫+⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)5π5πππ6cos isin 3cos isin 4444⎛⎫⎛⎫+⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(3)2π2πππ10cos isin 2cos isin 3333⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+÷+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦(4)7π7πππ10cos isin 2cos isin 101055⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+÷+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦38．（2021·全国·高一课时练习）已知()cos sin 2i cos sin z θθθθ=-+++（1）当θ为何值时，z 取得最大值，并求此最大值；（2）若(),2θ∈ππ，求arg z （用θ表示）.注：arg z 是辐角主值.【答案详解】1．B 【解析】【分析】复数的三角表示为()cos isin z r αα=+，对比选项得到答案.【详解】复数的三角表示为：()cos isin z r αα=+，其中0r ≥，B 选项满足.故选：B.2．C 【解析】【分析】根据余弦的二倍角公式以及诱导公式将复数的代数系数转化为三角形式即可求解.【详解】21cos i sin 2sin 2i sincos222θθθθθ--=-2sin sin i cos 222θθθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ππ2sin cos i sin 222θθθ--⎛⎫=- ⎪⎝⎭ππ2sin cosisin 222θθθ⎡--⎤⎛⎫=+-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ππ2sincos i sin 222θθθ--⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故选：C.3．B 【解析】【分析】提取复数的模，结合三角函数的值即可化代数形式为三角形式．【详解】解：132213i 2i 2cos isin 2233ππ⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫--=--=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭．故选：B ．4．B 【解析】【分析】将复数写成cos isin θθ+（0360θ≤<）即可求出所求复数的辐角.【详解】复数sin 40i cos 40cos310i sin 310︒-︒=+，所以该复数的辐角主值是310.故选：B 5．9113【解析】【分析】分别设()1113cos isin z θθ=+，222cos isin z θθ=+，可得()()1121223cos isin z z θθθθ=-+-⎡⎤⎣⎦，由题意可得12π3θθ-=或12π3θθ-=-，即可得12z z ，再代入1121221121221111z z z z z z z z z z z z ---==+++计算即可求解.【详解】因为123,1==z z ，设()1113cos isin z θθ=+，222cos isin z θθ=+，所以()()()()()111122122222223cos isin 3cos isin cos isin cos isin cos isin cos isin z z θθθθθθθθθθθθ++-==++-()1212121222223cos cos sin sin i sin cos cos sin cos sin θθθθθθθθθθ++-⎡⎤⎣⎦=+()()12123cos isin θθθθ=-+-⎡⎤⎣⎦1122112211z z z z z z z z --=++由题意可知12π3θθ-=或12π3θθ-=-，当12π3θθ-=时，12ππ3333cos isin i 3322z z ⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，11221122133i 22533i 2212717914413132527144z z z z z z z z -+-=====+++++，当12π3θθ-=-时，12ππ3333cos isin i 3322z z ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-=-⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，11221122133i 22533i 2212717914413132527144z z z z z z z z -+-=====+-+-+，综上所述：12129113z z z z -=+，故答案为：9113.6．0k =【解析】【分析】根据复数的三角形式和辐角主值的概念即可求解.【详解】因为()()2223232i k k k k --++-的辐角主值是54π，所以22222320*********k k k k k k k k ⎧⎪--<⎪⎪+-<⎨⎪+-⎪=⎪--⎩，所以12221304k k k k ⎧-<<⎪⎪⎪-<<⎨⎪==-⎪⎪⎩或.所以当0k =时，所给复数的辐角主值是54π.7．C 【解析】【分析】根据题意，先求出复数z ，再结合(cos sin )z z i θθ=+(02π)θ≤<，即可求出θ.【详解】由2(1i)1i z -=+，得()212111i i z i i i--===--++，故22551i 2i 2cos πisin π2244z ⎛⎫⎛⎫=--=--=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以5π4θ=.故选C ．8．1532【解析】【分析】根据题意，将复数z 改写成三角形式，结合已知条件分别算出OB 、AOB ∠、OC 、和BOC ∠，即可求解.【详解】由11z =，得1OA =，由()313i 2z =+，得3cos isin 33z ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因21z z z =，所以213cos isin 33z z ππ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭，即3OB =，且3AOB π∠=，又因32z z z =，所以323cos isin 33z z ππ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭，即9OC =，且3BOC π∠=,因此11153sin sin 23232OABC AOB BOCS S SOA OB OB OC ππ=+=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=.故答案为：1532.9．(1)6(2)2i (3)i (4)3131i 22-+-【解析】【分析】（1）直接利用复数的三角形式的运算法则计算得到答案.（2）直接利用复数的三角形式的运算法则计算得到答案.（3）直接利用复数的三角形式的运算法则计算得到答案.（4）直接利用复数的三角形式的运算法则计算得到答案.(1)ππππππππ3cos isin 2cos isin 6cos isin cos +isin 66666666⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯-=+⨯-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ππππ6cos isin 66666⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)ππππ6cos isin 3cos isin 3366⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+÷- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ππππππ2cos isincos isin 2cos isin 2i 336262⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+÷-+-=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.(3)13ππ2π2πππi cos isin cos isin cos +isin 22663366⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+⨯-=+⨯-- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ππcosi sin i 22=+=(4)()ππππππ1i cosisin 2cos sin cos isin 664466⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷+=-+-÷+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ππππ2cos sin 4646⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2321232131312i i 2222222222⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+=⨯-⨯-⨯+⨯=-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.10．A 【解析】【分析】根据复数的三角形式的定义直接判断.【详解】复数31i 22z =+的模为1，辐角为6π，所以复数31i 22z =+的三角形式为cos 66isin ππ+.故选：A 11．B 【解析】【分析】根据三角形式的表达式知，i a b -+的三角形式是()cos isin r θθ-+，根据诱导公式判断选项符合的即可.【详解】由题知，i a b -+的三角形式是()cos isin r θθ-+，结合诱导公式知，()()cos cos ,sin sin πθθπθθ-=--=，故选：B 12．D 【解析】【分析】根据欧拉公式求得i 4e π，再根据复数的乘方求得2021i ，即可得复数z ，再根据共轭复数的定义和复数虚部的定义即可得出答案.【详解】解：∵i cos isin e θθθ=+，∴i 422cosisin i 4422eπππ=+=+．又∵2021i i =，∴复数()221i z =+-，∴()221i z =--，则z 的虚部为12-.故选：D ．13．A 【解析】【分析】将复数写成三角形式，可得结果.【详解】复数31i cos i sin 2266z ππ=+=+，因此，复数31i 22z =+的辐角主值为6π.故选：A.14．B 【解析】【分析】先对()ππ13i cos i sin 66z ⎛⎫=-⨯-+ ⎪⎝⎭，然后再化为复数的三角形式可得答案【详解】()()2ππ13i cos isin 663113i i 223133i 3i i 22222i=2cos isin 22z ππ⎛⎫=-⨯-+ ⎪⎝⎭⎛⎫=-⨯-+ ⎪ ⎪⎝⎭=-++⨯-=⎛⎫+ ⎪⎝⎭所以arg z =π2，故选：B 15．B 【解析】【分析】直接利用棣莫弗定理结合三角函数值的求法逐个分析判断即可【详解】解：对于（1），因为(cos si )i n z r θθ=+，所以22(cos 2isin 2)z r θθ=+，所以2222,z r z r ==，所以22||z z =，所以（1）正确，对于（2），当1,3r πθ==时，cos sin 33z i ππ=+，则3cos i sin 1z ππ=+=-，所以（2）错误，对于（3），当1,3r πθ==时，13cos isin i 3322z ππ=+=+，则13i 22z =-，所以（3）正确，对于（4），当1,4r πθ==时，cosi sin44z ππ=+，则当4n =时，4cos i sin 1z ππ=+=-，所以（4）错误，所以正确的有2个，故选：B 16．C 【解析】【分析】首先利用诱导公式将复数z 化简，再根据复数代数形式的乘法运算，以及二倍角公式化简复数2z ，即可求出其共轭复数；【详解】解：因为sin15i sin 75sin15i cos15z =+=+所以()22222sin15i cos15sin 15i cos 152sin15cos15iz =+=++22sin 15cos 152sin15cos15i =-+cos30sin 30i =-+31i 22=-+所以2z 的共轭复数是31i 22--，故选：C 17．C 【解析】【分析】由棣莫弗公式对复数化简可得答案【详解】由己知得4ππ4π4π13cos i sin cos i sin i 333322⎛⎫+⋅=+⋅=-- ⎪⎝⎭，∴复数4ππcos i sin 33⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭在复平面内所对应的点的坐标为13,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，位于第三象限．故选：C ．18．B 【解析】【分析】对于①，13=+z i 的实部为1，虚部为3；对于②，直接计算判断即可；对于③，由点的对称关系判断即可；对于④，由辐角的定义求解即可【详解】解：对于①，复数13=+z i 的虚部为3，所以①错误；对于②，因为13=+z i ，所以13i z =-，所以222z z ==，222(13i)123i (3i)223i z =+=++=-+，所以222z z z =≠，所以②错误；对于③，13=+z i 和13i z =-在复平面对应的点分别为(1,3),(1,3)-，两点关于实轴对称，所以③正确；对于④，13=+z i 132(i)22=+2(cos i sin )33ππ=+，所以复数z 的辐角为3π，所以④正确，故选：B 19．B 【解析】【分析】推导出()111cos isin nz n n n Nθθ*=+∈，求出b 的值，即可得出a b +的值.【详解】由已知条件可得2111cos 2isin 2z θθ=+，()()32111111111cos 2i sin 2cos 3i sin 3z z z θθθθθθ==+++=+，L ，以此类推可知，对任意的n *∈N ，111cos isin nz n n θθ=+，31i cos isin 2266a ππ=+=+Q ，所以，202120212021cosisin cos 337isin 3376666b a ππππππ⎛⎫⎛⎫==+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭31cosisin i 6622ππ=-+=-+，因此，i a b +=.故选：B.20．D 【解析】【分析】先根据公式将原式变为20224i e π⎛⎫ ⎪⎝⎭，再根据注释将原式变为10111011cossin 22i ππ+，结合三角函数的诱导公式即可计算出结果.【详解】因为20222022101142ππ10111011cos sin cossin 4422i i i e ei ππππ⎛⎫⎛⎫+===+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以20223333cos 504sin 504cos sin 2ππcos sin 42224i i i i ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+=- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭，故选：D.21．B 【解析】【分析】利用诱导公式可得结果.【详解】由诱导公式可知()()sin 30sin 9060cos 60cos 18060cos 240-=--=-=+=，()()cos 30cos 9060sin 60sin 18060sin 240-=--=-=+=，因此，sin 30cos30cos 240sin 240i i --=+.故选：B.22．C 【解析】【分析】根据欧拉公式直接求出i e π.【详解】根据i e cos isin θθθ=+，可知i e cos =1isin πππ=+-.故选：C 23．C 【解析】【分析】结合复数的三角形式的概念可以直接求解.【详解】因为3z =，辐角主值为45π，所以443cos sin 3cos sin 5555z i i ππππ⎛⎫⎛⎫=--=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：C.24．B 【解析】【分析】由给出的非0复数有一个辐角为74π-，结合辐角主值的概念得答案．【详解】解：辐角主值的范围是[0，2)π，任何一个复数都有唯一的辐角主值，∴非0复数有一个辐角为74π-，则该复数有唯一的一个辐角主值4π．故选：B ．25．D 【解析】【分析】把复数代为代数形式再化为三角形式后可得辐角主值．【详解】22(13)2323155cos sin 4226613(13)(13)i i i i z i i ii i ππ+-+====-+=+--+，所以辐角主值为56π．故选：D ．26．ABC 【解析】【分析】若i z a b =+，则i z a b =-，22z z a b ==+，利用复数代数运算，可以判断AB ；利用复数的三角运算，可以判断C ；利用数形结合，可以判断D.【详解】对于A ：若120z z +=，则12z z =-，故122z z z =-=，所以A 正确；对于B ：若21z z =，则12=z z ，所以B 正确；对于C ：设11(cos i sin )z r αα=+，22(cos i sin )z r ββ=+则()()31212cos()i sin z z z r r αβαβ==+++，故312z z z =，所以C 正确；对于D ：如下图所示，若11OA z =+，21OB z =+，则1OC z =，2OD z =，故12z z ≠，所以D 错误.故选：ABC 27．BCD 【解析】【分析】利用平方关系及二倍角的余弦公式可求得2m =，再根据复数的乘法运算及()121,4z z ⋅∈-，可求得θ的范围，再根据欧拉公式及复数的几何意义即可得出答案.【详解】解：()224222cos 21sin 1sin sin 12sin 2cos sin 222cos cos 1cos 2m αααααααααα+=-+++++-++⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭()224222cos 21sin 1sin sin 2sin 2cos 2sin cos cos 1cos cos 1ααααααααααα+-+++++-++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()()2222222sin 12cos 2cos sin sin 2sin 2cos sin cos ααααααααα-++⎡⎤⎢⎥=++++⎢⎥⎣⎦()222sin 12cos 2cos sin sin 2ααααα-++⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()()2sin 12cos sin 1ααα-++=+2=，由1(,1)z θ=，2(,sin )z m α=，则1i z θ=+，2i sin 2i sin z m αα=+=+，所以()122sin 2sin i z z θαθα⋅=-++，又因为()121,4z z ⋅∈-恒成立，所以()2sin 02sin 1,4θαθα+=⎧⎪⎨-∈-⎪⎩，所以30,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，根据i cos i sin x x x e =+，则i3cosisin33e πθπθπθ=+，因为30,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则0,32πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos 0,sin 033πθπθ>>，所以i 3e πθ表示的复数位于复平面中的第一象限.故选：BCD.28．BD 【解析】【分析】根据欧拉公式的定义，有3i cos3isin 3e =+、i cos isin 1i 2(cos isin )44x e x xππ+=++、i cos isin e πππ=+、42i i 3344221cosisin cos isin 13333eeππππππ++=++++，结合对应三角函数值及复数三角形式的除法运算即可知各选项的正误.【详解】A ：3i cos3isin 3e =+，而32ππ<<，则cos 30<、sin 30>，故3i e 位于第二象限，错误；B ：i cos isin 2[cos()isin()]1i 2442(cos isin )44x e x x x x ππππ+==-+-++，则其模长为22，正确；C ：i cos isin 1e πππ=+=-，则i e π为实数，错误；D ：42i i 334422111cosisin cos isin 110333322eeππππππ++=++++=--+=，正确；故选：BD 29．ABD 【解析】【分析】对于A ：根据已知得πi 313i e 22+=，再由对数运算可判断；对于B ：由已知计算得2021πi 2021313ei 22zz ==-=，由此可判断；对于C ：由已知得i e α对应的向量坐标为()cos ,sin αα，i e β对应的向量坐标为()cos ,sin ββ，根据垂直的坐标表示可判断；对于D:根据向量垂直的坐标表示可判断．【详解】∵πi 313ππi cos isin e 2233+=+=，∴πi 313πln i ln e i 223⎛⎫+==⎪⎝⎭，故A 正确；∵πi 313ππi cos isin e 2233+=+=，∴2021πi 202132021π2021π13e cosisin i 3322z z ==+=-=．故B 正确；∵i e α对应的向量坐标为()cos ,sin αα，i e β对应的向量坐标为()cos ,sin ββ，∴cos cos sin sin 0αββα+=，即()cos 0αβ-=，又0α≤，2πβ<，∴π2αβ-=，或3π2．故C 不正确；∵i e cos isin ααα=+，复数i ie sin i i cos ααα=-+，两者对应向量坐标为()cos ,sin αα、()sin ,cos αα-，∴两向量垂直．故D 正确，故选：ABD.30．BCD 【解析】【分析】对于A ，2cos 2sin 2i e i =+，根据2(2π∈，)π，即可判断出；对于BCD ，根据欧拉公式cos sin xi e x i x =+逐项计算，然后判断正误即可．【详解】解：对于A ，由于2cos 2sin 2i e i =+，2(2π∈，)π，cos 2(1,0)∴∈-，sin 2(0,1)∈，2i e ∴表示的复数在复平面中位于第二象限，故A 错误；对于B ，2cossin 22i ei i πππ=+=，可得2i e π为纯虚数，故B 正确；对于C ，313cossin 3322πππ=+=+i e i i ，3i e π∴的共轭复数为1322i -，故C 正确．对于D ，cos sin (cos sin )(3)3cos sin 3sin cos 4433(3)(3)xi e x i x x i x i x x x xi i i i i ++-+-===++++-，可得其模的长为223cos sin 3sin cos ()()44x x x x +-+22223cos 23sin cos sin 3sin 23sin cos cos 116162x x x x x x x x ++-+=+=，故D 正确；故选：BCD ．31．cosi 33πsin π+【解析】【分析】直接利用辅助角公式计算得到答案.【详解】13i cos i sin 2233ππ+=+.故答案为：cosi 33πsin π+.32．222cos isin 33ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【解析】【分析】先将12,z z 化简，然后计算12z z ⋅，再转化为三角形式即可【详解】因为12cos isin 13i 33z ππ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，2221326sin i cos i i 26622244z ππ⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1226(13i)i 44z z ⎛⎫⋅=++ ⎪ ⎪⎝⎭226632i i i 4444=+++26i 22=-+132i 22⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭222cos isin 33ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故答案为：222cos isin 33ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭33．13i22+【解析】【分析】设i z a b =+，可得()11i z a b +=++，()11i z a b -=-+，由已知条件可得π3tan 613b a ==+，2πtan331b a ==--，解得a 和b 的值即可求解.【详解】设i z a b =+，(),R a b ∈，则()11i z a b +=++，()11i z a b -=-+，因为复数1z +的辐角为π6，所以π3tan 613b a ==+，①因为复数1z -的辐角为2π3，所以2πtan331ba ==--，②由①②可得：12a =，32b =，所以13i 22z =+，故答案为：13i 22+.34．23π3πcos sin 244i ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据欧拉公式i cos i sin x x x e =+，先求出2021πi e ⋅，再进行复数的除法运算，最后再表示为三角形式.【详解】因为2021πi e cos 2021πsin 2021π1i =+=-，所以123π3πcos sin 1+1244z i i i -⎛⎫==+ ⎪+⎝⎭.故答案为：23π3πcos sin 244i ⎛⎫+ ⎪⎝⎭35．3【解析】【分析】结合复数的三角形式以及辐角与模的概念，结合三角恒等变换即可求出结果.【详解】因为211cos isin 2cos2isincos2coscos isin 222222z αααααααα⎛⎫=++=+=+ ⎪⎝⎭，221cos isin 2sin 2isincos 2sincos isin 22222222z ββββπβπβββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，又02απβπ<<<<，则022απ<<，22πβπ<<，得0222ππβ-<-<，所以1arg 2z α=，25arg 22z πβ=-．由1213arg arg 6z z π+=，1231z z =-，得223βαπ-=，31cos sin 224αβ-=．又1cossinsin sin 22222αβαβαβ+-⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以1sin 22αβ+=-．又由02απβπ<<<<，得2232αβππ+<<，所以726αβπ+=．所以()7tana 33t n αβπ+==36．（1）13i 22+；（2）336cos i sin 44ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）由2(1i)cos i sin 244ππ+=+，13i cos isin 2266ππ⎛⎫⎛⎫-+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合复数的三角形式的乘方运算即可求值；（2）由题意得11(cos i sin )233z z ππ-=+，进而得到z 、z 代入目标式化简后转化为三角形式即可.（3）在复平面内建立直角坐标系，利用坐标法证明.【详解】解：（1）因为2(1i)cos i sin 244ππ+=+，13i cos isin 2266ππ⎛⎫⎛⎫-+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1010101032i213213i i (1i)i 1i 22222132i ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++-+=-+++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()10101010213i 1i i i cos isin cos isin 2224466ππππ⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++-+=-+++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭⎝⎭555513i cos i sin cos i sin i 223322ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++-+-=+⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦；（2）由题意知：11(cos i sin )233z z ππ-=+，所以31i 3z =+，31i 3z =-，∴()333233i 36cos i sin 244z z z ππ⎛⎫--+=-=+ ⎪⎝⎭（3）如图，已知ABC 是复平面内的任意三角形，角,,A B C 对应的边分别为,,a b c .证明：2222cos a b c bc A =+-.证明：如图，以A 点为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立复平面内的直角坐标系，则点,,A B C 对应的复数分别为120,,z z ，则复数1z 的模1z c =，复数2z 的模2z b =，幅角为A ，因为21z z BC a -==，()12,cos isin z c z b A A ==+，所以()21cos isin cos i sin z z b A A c b A c b A -=+-=-+，所以()()2222222221cos sin cos 2cos sin z z b A c b A b A c bc A b A -=-+=+-+()2222cos sin 2cos b A A c bc A =++-2222cos b c bc A a =+-=，所以2222cos a b c bc A =+-，证毕.37．(1)6i (2)32i -(3)553+i 22(4)5i 【解析】【分析】利用复数三角形式的乘除法法则运算即可.(1)原式32cos isin 9cos isin 6i363622ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦(2)原式553363cos()i sin()32(cosi sin )32i 444422ππππππ⎡⎤=⨯⨯+++=+=-⎢⎥⎣⎦(3)原式102213553cos i sin 5cos i sin 5+i +i 23333332222ππππππ⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+-=⨯+=⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭(4)原式1077cos isin -5cos isin 5i105105222ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+=⨯+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦38．（1）()24k k Z πθπ=-∈时，z 取最大值22；（2）当7,4πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，9arg 28z θπ=+；当7,24πθπ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，7arg 28z θπ=-.【解析】【分析】（1）求出21cos 4z πθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，即得解；（2）设arg z α=，tan tan 28θπα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再对θ分7,4πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭和7,24πθπ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭两种情况讨论得解.【详解】（1）()()()22cos sin 2cos sin 422cos sin 21cos 4z πθθθθθθθ⎛⎫=-+++=+-=++ ⎪⎝⎭所以，当cos 14πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，即()24k k Z πθπ=-∈时，z 取最大值22.（2）要求arg z ，可以把z 写成三角形式，但较为困难，故可先求出arg z 的正切值.设arg z α=，则由于()z cos sin 2i cos sin 21sinisin 44ππθθθθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+++=+-+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以2sin sin 44tan tan 281cos 21sin 44ππθθθπαππθθ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭===+ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭+++-+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.因为(),2θ∈ππ，所以z 的实部21sin 04πθ⎡⎤⎛⎫=+-+> ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，z 的虚部2sin 4πθ⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.当7,4πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2sin 04πθ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，z 所对应的点位于第四象限.由于5828πθππ<+<，所以9arg 2828z θπθπαπ⎛⎫==++=+ ⎪⎝⎭.当7,24πθπ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，2sin 04πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥，z 所对应的点位于第一象限（或x 轴正半轴）.由于9288θπππ<+<，所以7arg 2828z θπθπαπ⎛⎫==+-=- ⎪⎝⎭.。
