含绝对值号的一元一次方程

含有绝对值符号的一元一次方程
一元一次方程是数学中最简单的一类方程，它只有一个未知数。

而含有绝对值符号的一元一次方程则是一种更加复杂的方程，其中包含绝对值符号。

绝对值符号可以表示一个数的绝对值，即不考虑其正负号，只考虑它的绝对数值大小。

比如，|x-2|=3，表示x-2的绝对值等于3，不管x是正数还是负数，只要x-2的绝对值等于3，就可以满足这个等式。

含有绝对值符号的一元一次方程可以描述一种特殊的关系，比如|x+2|=3，表示x+2的绝对值等于3，即x=-1或x=5。

解决含有绝对值符号的一元一次方程时，我们需要将等式两边分别拆分成两个部分，比如
|x+2|=3，就可以拆分为x+2=3或x+2=-3，然后分别求解，得到x=-1或x=5。

含有绝对值符号的一元一次方程是一种比普通的一元一次方程更加复杂的方程，解决它的关键在于将等式两边拆分成两个部分，然后分别求解。

第08讲一元一次方程的概念与解法（8大考点）一、方程和一元一次方程的概念 1）方程：含有未知数的等式。

如何判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.是含有未知数．例：3x=5y+2；100x=200；3x 2+2y=3等2）一元一次方程：只含有一个未知数（元，隐含未知数系数不为0），未知数的次数是1（次），等号两边都是整式（整式：未知数的积，而非商）的方程。

如何判断一元一次方程：①整式方程；②只含一个未知数，且未知数的系数不为0；③未知数的次数为1. 例：3112=+x ；3112=+x ；3m-2n=5；3m=5；6x 2-12=0 二、方程的解与解方程1)方程的解：使方程两边相等的未知数的值 解方程：求方程的解的过程 三、等式的性质1）等式两边同加或同减一个数（或式子），等式仍然成立。

即：c b c a ±=±=，则若b a （注：此处字母可表示一个数字，也可表示一个式子）2）等式两边同乘一个数（或式子），或同除一个不为零的数（式子），等式仍然成立。

即：⎩⎨⎧≠÷=÷⨯=⨯=0c c b c a cb c a b a ，，则若（此处字母可表示数字，也可表示式子）例：3x+7=2-2x 3x+7+2x=2-2x+2x 3x+7+2x-7=2-2x+2x-7 5x=-5 5x ÷5=-5÷5 x=-13）其他性质：①对称性：若a=b ，则b=a ；②传递性：若a=b ，b=c ，则a=c 。

四、合并同类项解一元一次方程（1）合并同类项：将同类项合并在一起的过程 方法：1）合并同类项；2）系数化为1 五、移项解一元一次方程 （1）移项 例：2x-3=4x-72x-3+3=4x-7+3（利用等式的性质） （左边的﹣3变到右边变成了+3） 2x=4x-4考点考向2x-4x=4x-4-4x （利用等式的性质） （右边的4x 变到左边变成了－4x ） -2x=-4 x=24−− x=2①我们发现，利用等式两边同加或同减一个数（式子），等式不变的性质，可以将方程化为同类项在同一边的情形（即未知数在一边，数值在另一边）。

怎么解绝对值方程1. 什么是绝对值方程绝对值方程是一个包含绝对值符号的方程，形如：|x| = a，其中a为一个实数。

绝对值符号表示取绝对值，即将其内部的数去掉符号变成正数。

因此，绝对值方程|x| = a 的解就是使得|x|等于a的x的取值。

2. 解一元一次绝对值方程2.1 绝对值的定义首先我们需要了解绝对值的定义。

一个数x的绝对值（记作|x|）定义如下：•如果x大于等于0，则|x| = x•如果x小于0，则|x| = -x所以，当我们遇到一个带有绝对值符号的表达式时，我们需要根据其内部的数是正数还是负数来分情况讨论。

2.2 解法步骤下面介绍解一元一次绝对值方程的步骤：1.将方程拆分为两个不同情况下的等式，并去掉绝对值符号。

–如果 x 大于等于 0，则 |x| = x–如果 x 小于 0，则 |x| = -x2.对每个情况下得到的等式进行求解。

3.得到的解即为原方程的解。

2.3 示例假设我们需要解方程 |x - 2| = 3。

按照上述步骤，我们可以进行如下计算：情况1：x - 2 大于等于 0根据绝对值的定义，得到 |x - 2| = x - 2。

将其代入原方程，得到：x - 2 = 3解这个一元一次方程，可以通过移项和合并同类项的方法得到结果：x = 5情况2：x - 2 小于 0根据绝对值的定义，得到 |x - 2| = -(x - 2)。

将其代入原方程，得到：-(x - 2) = 3同样地，解这个一元一次方程，可以通过移项和合并同类项的方法得到结果：•x + 2 = 3•x = 1所以，绝对值方程 |x - 2| = 3 的解为 x = 5 和 x =1。

解多元一次绝对值方程当绝对值符号出现在多元一次方程中时，我们也可以通过分情况讨论来求解。

解法步骤下面介绍解多元一次绝对值方程的步骤：1.将每个含有绝对值符号的表达式拆分为两个不同情况下的等式，并去掉绝对值符号。

2.对每个情况下得到的等式进行求解。

绝对值与一元一次方程每日一练1．方程8﹣|x+3|＝﹣2的解是（）A．x＝10B．x＝7C．x＝﹣13D．x＝7或x＝﹣132．方程|2x+1|＝7的解是（）A．x＝3B．x＝3或x＝﹣3C．x＝3或x＝﹣4D．x＝﹣43．解方程：（1）|3x﹣2|＝x（2）||x|﹣4|＝54．解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．例如：解关于x的方程2（x2﹣1）﹣5（x2﹣1）+9＝0，设x2﹣1＝m，原方程可转化为2m﹣5m+9＝0，解得m＝3，所以x2﹣1＝3，方程的解为x＝2或﹣2．请选择适当方法解决下列问题：（1）解方程：|3x|﹣1＝﹣|3x|+2；（2）定义一种新运算：a*b＝3a﹣b，解方程：2*（﹣1*y）＝﹣1*y．5．方程||+||＝0的解是（）A．1B．无数个C．0D．无解6．满足|x+3|+|x﹣1|＝4的整数x的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．5个7．适合关系式|x+|+|x﹣|＝2的整数解x的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个8．方程|x﹣3|+|x+3|＝6的解的个数是（）A．2B．3C．4D．无数个9．若关于x的方程|x|＝2x+1的解为负数，则x的值为（）A．B．C．D．﹣110．先阅读下列解题过程，然后解答后面两个问题．解方程：|x﹣3|＝2．解：当x﹣3≥0时，原方程可化为x﹣3＝2，解得x＝5；当x﹣3＜0时，原方程可化为x﹣3＝﹣2，解得x＝1．所以原方程的解是x＝5或x＝1．（1）解方程：|3x﹣2|﹣4＝0．（2）解关于x的方程：|x﹣2|＝b+111．关于x的方程2|x|＝ax+5有整数解，则整数a的所有可能取值的乘积为（）A．9B．﹣3C．1D．312．我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即|x|＝|x﹣0|，也就是说|x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离；这个结论可以推广为：|x﹣y|表示在数轴上数x、y对应点之间的距离；在解题中，我们常常运用绝对值的几何意义．①解方程|x|＝2，容易看出，在数轴上与原点距离为2的点对应的数为±2，即该方程的解为x＝±2．②在方程|x﹣1|＝2中，x的值就是数轴上到1的距离为2的点对应的数，显然x＝3或x＝﹣1．③在方程|x﹣1|+|x+2|＝5中，显然该方程表示数轴上与1和﹣2的距离之和为5 的点对应的x值，在数轴上1和﹣2的距离为3，满足方程的x的对应点在1的右边或﹣2的左边．若x的对应点在1的右边，由图示可知，x＝2；同理，若x的对应点在﹣2的左边，可得x＝﹣3，所以原方程的解是x＝2或x＝﹣3．根据上面的阅读材料，解答下列问题：（1）方程|x|＝5的解是．（2）方程|x﹣2|＝3的解是．（3）画出图示，解方程|x﹣3|+|x+2|＝9．13．方程|x+1|﹣2|x﹣2|＝1的解为．绝对值与一元一次方程每日一练1．方程8﹣|x+3|＝﹣2的解是（）A．x＝10B．x＝7C．x＝﹣13D．x＝7或x＝﹣13【分析】将方程变形为：|x+3|＝10，根据绝对值的意义有两个值，解出即可．【解答】解：8﹣|x+3|＝﹣2，10＝|x+3|，x+3＝10或﹣10，∴x＝7或﹣13，故选：D．【点评】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，理解绝对值的意义是关键．2．方程|2x+1|＝7的解是（）A．x＝3B．x＝3或x＝﹣3C．x＝3或x＝﹣4D．x＝﹣4【分析】根据绝对值的性质，可化简方程，再根据解一元一次方程的步骤解答，可得答案．【解答】解：当x≥﹣时，方程化简为2x+1＝7，解得x＝3；当x＜﹣时，方程化简为﹣2x﹣1＝7，解得x＝﹣4；故选：C．【点评】本题考查了解含绝对值符号的一元一次方程，利用绝对值的性质化简方程是解题关键．3．解方程：（1）|3x﹣2|＝x（2）||x|﹣4|＝5【分析】（1）去掉绝对值符号得到3x﹣2＝x或3x﹣2＝﹣x，求解一元一次方程即可；（2）去掉绝对值符号得到|x|＝9或|x|＝﹣1（舍去），根据|x|＝9求解x．【解答】解：（1）|3x﹣2|＝x，∴3x﹣2＝x或3x﹣2＝﹣x，∴x＝1或x＝；（2）||x|﹣4|＝5，∴|x|﹣4＝5或|x|﹣4＝﹣5，∴|x|＝9或|x|＝﹣1（舍去），∴x＝9或x＝﹣9；【点评】本题考查绝对值方程的解法；根据绝对值的性质，去掉绝对值符号，转化为一元一次方程求解是解题关键．4．解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．例如：解关于x的方程2（x2﹣1）﹣5（x2﹣1）+9＝0，设x2﹣1＝m，原方程可转化为2m﹣5m+9＝0，解得m＝3，所以x2﹣1＝3，方程的解为x＝2或﹣2．请选择适当方法解决下列问题：（1）解方程：|3x|﹣1＝﹣|3x|+2；（2）定义一种新运算：a*b＝3a﹣b，解方程：2*（﹣1*y）＝﹣1*y．【分析】（1）把3x看作一个整体，按照一元一次方程的解法解方程即可；（2）根据新定义转换成一元一次方程，解方程即可．【解答】解：（1）|3x|﹣1＝﹣|3x|+2，|3x|＝3，∴|3x|＝2，∴3x＝±2，∴x＝±；（2）2*（﹣1*y）＝3×2﹣（﹣3﹣y）＝﹣3﹣y，绝对：y＝﹣6．【点评】此题主要考查了解一元一次方程，有理数的混合运算，新定义的理解和应用，理解新定义是解本题的关键．5．方程||+||＝0的解是（）A．1B．无数个C．0D．无解【分析】分类讨论：x＜1，x≥1，根据绝对值的性质，可化简绝对值，根据解一元一次方程的一般步骤，可得答案．【解答】解：①当x＜1时，原方程化简得+＝0，去分母，得3（1﹣x）+2（1﹣x）＝0，去括号，得3﹣3x+2﹣2x＝0，移项，得﹣3x﹣2x＝﹣3﹣2，合并同类项，得﹣5x＝﹣5，系数化为1，得x＝1（不符合题意的解要舍去）；②当x≥1时，原方程化简得+＝0，去分母，得3（x﹣1）+2（x﹣1）＝0，去括号，得3x﹣3+2x﹣2＝0，移项，得3x+2x＝3+2，合并同类项，得5x＝5，系数化为1，得x＝1，综上所述：x＝1是方程的解．故选：A．【点评】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，利用绝对值的性质化简方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．6．满足|x+3|+|x﹣1|＝4的整数x的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．5个【分析】根据|x+3|+|x﹣1|＝4可得出﹣1≤x≤3，再根据x为整数即可得出x的值，查出个数即可得出结论．【解答】解：∵|x+3|+|x﹣1|＝4，∴﹣3≤x≤1，∵x为整数，∴x的值为：﹣3、﹣2、﹣1、0、1．故选：D．【点评】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，根据|x+3|+|x﹣1|＝4得出﹣3≤x≤1是解题的关键．7．适合关系式|x+|+|x﹣|＝2的整数解x的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】分类讨论：①x＞，②x＜﹣，③﹣，根据分类讨论，可去掉绝对值，根据解方程，可得答案．【解答】解：当x＞时，原式可化为：x++x﹣＝2，解得：x＝，不适合题意舍去；当x＜﹣时，原式可化为：﹣x﹣﹣x+＝2，解得：x＝﹣，不适合题意舍去；当﹣时，原式可化为：x+﹣x+＝2，解得：2＝2．说明当﹣时，关系式|x+|+|x ﹣|＝2恒成立，所以满足条件的整数解x有：0和1．故选：C．【点评】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，分类讨论是解题关键，注意解要在分类的范围内．8．方程|x﹣3|+|x+3|＝6的解的个数是（）A．2B．3C．4D．无数个【分析】根据x的取值范围取绝对值，所以需要分类讨论：①当x≥3时；②当﹣3≤x＜3时；③当x ＜﹣3时；根据x的三种取值范围来解原方程即可．【解答】解：当x≥3时，原方程可变形为：x﹣3+x+3＝6，解得：x＝3，当﹣3≤x＜3时，原方程可变形为：﹣x+3+x+3＝6，得出原方程有无数个解；当x＜﹣3时，原方程可变形为：﹣x+3﹣x﹣3＝6，解得：x＝﹣3，则方程|x﹣3|+|x+3|＝6的解的个数是无数个；故选：D．【点评】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程．解这类题目时，一定要分类讨论，以防漏解．9．若关于x的方程|x|＝2x+1的解为负数，则x的值为（）A．B．C．D．﹣1【分析】分两种情况去解方程即可①x≥0；②x＜0．【解答】解：∵x＜0时，去绝对值得，﹣x＝2x+1，得x＝﹣．故选：B．【点评】本题考查了一元一次方程的去绝对值的解法．要分类讨论．10．先阅读下列解题过程，然后解答后面两个问题．解方程：|x﹣3|＝2．解：当x﹣3≥0时，原方程可化为x﹣3＝2，解得x＝5；当x﹣3＜0时，原方程可化为x﹣3＝﹣2，解得x＝1．所以原方程的解是x＝5或x＝1．（1）解方程：|3x﹣2|﹣4＝0．（2）解关于x的方程：|x﹣2|＝b+1【分析】（1）首先要认真审题，解此题时要理解绝对值的意义，要会去绝对值，然后化为一元一次方程即可求得．（2）根据绝对值的性质分类讨论进行解答．【解答】解：（1）当3x﹣2≥0时，原方程可化为3x﹣2﹣4＝0，解得x＝2；当3x﹣2＜0时，原方程可化为﹣（3x﹣2）﹣4＝0，解得x＝﹣．所以原方程的解是x＝2或x＝﹣．（2）①当b+1＜0，即b＜﹣1时，原方程无解，②当b+1＝0，即b＝﹣1时：原方程可化为：x﹣2＝0，解得x＝2；③当b+1＞0，即b＞﹣1时：当x﹣2≥0时，原方程可化为x﹣2＝b+1，解得x＝b+3；当x﹣2＜0时，原方程可化为x﹣2＝﹣（b+1），解得x＝﹣b+1．【点评】本题主要考查含绝对值符号的一元一次方程，解题的关键是根据绝对值的性质将绝对值符号去掉，从而化为一般的一元一次方程求解．11．关于x的方程2|x|＝ax+5有整数解，则整数a的所有可能取值的乘积为（）A．9B．﹣3C．1D．3【分析】这里有绝对值符号，解方程第一步主要要考虑去掉绝对值符号，因此要分x≥0和x＜0两种情况．再把方程的解表示出来，根据x和a都是整数讨论取值情况．【解答】解：当x≥0时，原方程可化为2x＝ax+5∴（2﹣a）x＝5∵原方程有解∴a≠2∴x＝∵原方程有整数解x，a为整数，x≥0∴2﹣a＝1或5∴a＝1或﹣3当x＜0时，原方程可化为﹣2x＝ax+5∴﹣（2+a）x＝5∵原方程有解∴a≠﹣2∴x＝﹣∵原方程有整数解x，a为整数，x＜0∴2+a＝1或5∴a＝﹣1或3综上所述，a的取值为±1、±3整数a的所有可能取值的乘积为9故选：A．【点评】本题考查了绝对值的性质、分式求整数值、解一元一次方程．这里注意，含绝对值的化简只要要看清绝对值符号内式子值得正负，这往往是分类讨论的信号．分式求整数值，一般都把分式化成整式加分子是常数的分式两部分考虑．12．我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即|x|＝|x﹣0|，也就是说|x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离；这个结论可以推广为：|x﹣y|表示在数轴上数x、y对应点之间的距离；在解题中，我们常常运用绝对值的几何意义．①解方程|x|＝2，容易看出，在数轴上与原点距离为2的点对应的数为±2，即该方程的解为x＝±2．②在方程|x﹣1|＝2中，x的值就是数轴上到1的距离为2的点对应的数，显然x＝3或x＝﹣1．③在方程|x﹣1|+|x+2|＝5中，显然该方程表示数轴上与1和﹣2的距离之和为5 的点对应的x值，在数轴上1和﹣2的距离为3，满足方程的x的对应点在1的右边或﹣2的左边．若x的对应点在1的右边，由图示可知，x＝2；同理，若x的对应点在﹣2的左边，可得x＝﹣3，所以原方程的解是x＝2或x＝﹣3．根据上面的阅读材料，解答下列问题：（1）方程|x|＝5的解是x＝±5．（2）方程|x﹣2|＝3的解是x＝5或﹣1．（3）画出图示，解方程|x﹣3|+|x+2|＝9．【分析】（1）由于|x|＝5表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离，所以x＝±5；（2）由于|x﹣2|＝3中，x的值就是数轴上到2的距离为3的点对应的数，显然x＝5或﹣1；（3）方程|x﹣3|+|x+2|＝9表示数轴上与3和﹣2的距离之和为9的点对应的x值，在数轴上3和﹣2的距离为5，满足方程的x的对应点在3的右边或﹣2的左边，画图即可解答．【解答】解：（1）∵在数轴上与原点距离为5的点对应的数为±5，∴方程|x|＝5的解为x＝±5；（2）∵在方程|x﹣2|＝3中，x的值是数轴上到2的距离为3的点对应的数，∴方程|x﹣2|＝3的解是x＝5或﹣1；（3）∵在数轴上3和﹣2的距离为5，5＜9，∴满足方程|x﹣3|+|x+2|＝9的x的对应点在3的右边或﹣2的左边．若x的对应点在3的右边，由图示可知，x＝5；若x的对应点在﹣2的左边，由图示可知，x＝﹣4，所以原方程的解是x＝5或x＝﹣4．故答案为：x＝±5；x＝5或﹣1．【点评】本题考查了绝对值的定义，解答此类问题时要用分类讨论及数形结合的思想，同时考查了学生的阅读理解能力．13．方程|x+1|﹣2|x﹣2|＝1的解为x＝或x＝4．【分析】分类讨论：x＜﹣1，﹣1≤x＜2，x≥2，根据绝对值的意义，可化简方程，根据解方程，可得答案．【解答】解：当x＜﹣1时，原方程等价于x﹣5＝1，解得x＝4（不符合题意要舍去）；当﹣1≤x＜2时，原方程等价于3x﹣3＝1，解得x＝；当x≥2时，原方程等价于﹣x+5＝1，解得x＝4；综上所述：x＝或x＝4．故答案为：x＝或x＝4．【点评】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，分类讨论是解题关键．。

三、解答题1、（2008•乐山）阅读下列材料：我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离；即|x|=|x﹣0|，也就是说，|x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离；这个结论可以推广为|x1﹣x2|表示在数轴上数x1，x2对应点之间的距离；在解题中，我们会常常运用绝对值的几何意义：例1：解方程|x|=2．容易得出，在数轴上与原点距离为2的点对应的数为±2，即该方程的x=±2；例2：解不等式|x﹣1|＞2．如图，在数轴上找出|x﹣1|=2的解，即到1的距离为2的点对应的数为﹣1，3，则|x﹣1|＞2的解为x＜﹣1或x＞3；例3：解方程|x﹣1|+|x+2|=5．由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与1和﹣2的距离之和为5的点对应的x的值．在数轴上，1和﹣2的距离为3，满足方程的x对应点在1的右边或﹣2的左边．若x对应点在1的右边，如图可以看出x=2；同理，若x对应点在﹣2的左边，可得x=﹣3．故原方程的解是x=2或x=﹣3．参考阅读材料，解答下列问题：（1）方程|x+3|=4的解为1或﹣7；（2）解不等式|x﹣3|+|x+4|≥9；（3）若|x﹣3|﹣|x+4|≤a对任意的x都成立，求a的取值范围．考点：含绝对值符号的一元一次方程；解一元一次不等式。

专题：阅读型。

分析：仔细阅读材料，根据绝对值的意义，画出图形，来解答．解答：解：（1）根据绝对值得意义，方程|x+3|=4表示求在数轴上与﹣3的距离为4的点对应的x的值为1或﹣7．（3分）（2）∵3和﹣4的距离为7，因此，满足不等式的解对应的点3与﹣4的两侧．当x在3的右边时，如图，易知x≥4．（5分）当x在﹣4的左边时，如图，易知x≤﹣5．（7分）∴原不等式的解为x≥4或x≤﹣5（8分）（3）原问题转化为：a大于或等于|x﹣3|﹣|x+4|最大值．（9分）当x≥﹣1时，|x﹣3|﹣|x+4|应该恒等于7，当﹣4＜x＜﹣1，|x﹣3|﹣|x+4|=﹣2x﹣1随x的增大而减小，当x≤﹣4时，|x﹣3|﹣|x+4|=7，即|x﹣3|﹣|x+4|的最大值为7．（11分）故a≥7．（12分）点评：本题是一道材料分析题，通过阅读材料，同学们应当深刻理解绝对值得几何意义，结合数轴，通过数形结合对材料进行分析来解答题目．由于信息量较大，同学们不要产生畏惧心理．2、解方程：．考点：含绝对值符号的一元一次方程。

七年级数学竞赛题：含绝对值符号的一次方程绝对值符号中含有未知数的一次方程叫含绝对值符号的一次方程，简称绝对值方程．解这类方程的基本思路是：脱去绝对值符号，将原方程转化为一元一次方程求解，其基本类型与解法是：1．形如∣ax＋b∣＝c(c≥0)的最简绝对值方程这类绝对值方程可转化为两个普通一元一次方程：ax＋b＝c或ax＋b＝一C2．含多重或多个绝对值符号的复杂绝对值方程这类绝对值方程可通过分类讨论转化为最简绝对值方程求解．解绝对值方程时，常常要用到绝对值的几何意义、去绝对值符号法则、常用的绝对值基本性质等与绝对值相关的知识、技能与方法．例1 方程∣x一5∣＋2x＝一5的解是_______．(四川省竞赛题) 解题思路设法脱去绝对值符号，将原方程转化为一般的一元一次方程求解．例2 适当∣2a＋7∣＋∣2a－1∣＝８的整数a的值的个数有( )．(A)5 (B)4 (C)3 (D)2解题思路发现常数的内在联系，从绝对值的几何意义入手，本例能获得简解．例3 已知关于x的方程|ｘ|＝ａｘ＋１同时有一个正根和一个负根，求整数a的值．(第12届“希望杯”邀请赛试题) 解题思路去掉绝对值的符号，把x用a的代数式表示，首先确定a的取值范围．例4解下列方程：．(1)|x－|3x＋1∣∣＝4；(天津市竞赛题) (2)|x＋3|－|x－1|＝x＋1(北京市“迎春杯”竞赛题) (3|x－1|＋|x－5|＝4(“祖冲之杯”邀请赛试题) 解题思路多重绝对值解法的基本方法是，根据绝对值定义，从内向外化简原方程；零点分段讨论法是解多个绝对值方程的有效手段．例5讨论关于x的方程|x－2|＋|x－5|＝a的解的情况．(南京市竞赛题)解题思路方程解的情况取决于a的情况，口与方程中常数2，5有一定的依存关系，这种关系决定了方程解的情况．因此，探求这种关系是解本例的关键，借助数轴、利用绝对值的几何意义是探求这种关系的重要工具．A 级1．若x=9是方程|31x －2|=a 的解，则a=_______；又若当a=l 时，则方程|31x －2|=a 的解是_______．2．方程|31y ＋2|－|2y －53|的解是_______，方程3(|x|一1)=5x ＋1的解是_______． 3．已知|3990x ＋1995|=1995，那么x=_______(北京市“迎春杯”竞赛题) 4．已知|x|=x ＋2，那么19x 99+3x ＋27的值为_______．(“希望杯”邀请赛试题)5．方程|||x|－2|－1|=2的解是_______．6．满足(a －b)2＋(b －a)|a －b|=ab(ab ≠0)的有理数a 和b ，一定不满足的关系是( )(A)ab<O (B)ab>O (C)a+b>O (D)a+b<O7．有理数a 、b 满足|a ＋b|<|a －b|，则( )．(A)a ＋b 6≥O (B)a ＋b<0 (C)ab<O (D)ab≥O8．若关于x 的方程|2x －3|＋m=0无解，|3x －4|＋n=0只有一个解，|4x －5|＋k=0有两个解，则m 、n 、k 的大小关系是( )．(A)m>n>k (B)n>k>m (C)k>m>n (D)m>k>n9．方程|x －5|＋x 一5=O 的解的个数为( )．(A)不确定 (B)无数个 (C)2个 (D)3个(“祖冲之杯”邀请赛试题)lO ．若关于x 的方程||x －2|－1|=a 有三个整数解，则a 的值是( )．(A)0 (B)2 (C)1 (D)3． (全国初中数学联赛试题)11．解下列方程：(1)4－2|21x ＋1|=3； (2)|21x －1|=x －3； (3)|x －|2x ＋11||=|x ＋1|；(五城市联赛题) (4) |2x －1|＋|x －2|=|x ＋1|(全国通讯赛试题)12．求关于x 的方程||x －2|－1|－a=0(0<口<1)的所有解的和． ．(陕西省竞赛题)B 级1．关于x 的方程|a|x=|a ＋1|－x 的解是x=0，则a 的值是_______；关于x 的方程|a|x=|a＋1|－x 的解是x=l ，则有理数a 的取值范围是_______．2．若O<x<10，则满足条件|x －3|的整数a 的值共有_______个，它们的和是_______．(第十届“希望杯”邀请赛试题)3．若a>0，b<0，则使|x －a|＋|x －b|=a －b 成立的x 的取值范围是_______．(武汉市选拔赛试题)4．已知|a|＋a=0且a ≠一l ，那么11+-a a =_______．5．若有理数x 满足方程|1－x|=1＋|x|，那么化简|x －1|的结果是( )．(A)1 (B)x (C)x 一1 (D)1一x6．适合关系式|3x －4|＋|3x ＋2|=6的整数x 的值有( )个．(A)0 (B)l (C)2 (D)大于2的自然数7．当a>0，且|x －2|＋|x －5|<以时，则以下结论正确的是( )．(A)0.001<a<3 (B)O<a<0.01 (C)0<a<3 (D)a>38．已知方程|x|=ax+l 有一个负根，而没有正根，那么a 的取值范围是( )．(全国初中数学联赛试题)(A)a=1 (B)a>－1 (C)a ≥1 (D)a<19．设a 、b 为有理解，且|a|>O ，方程||x －a|－b|=3有三个不相等的解，求b 的值．(“华罗庚金杯”赛邀请赛试题)10．当a 满足什么条件时，关于x 的方程|x －2|－|x －5|=a 有一解?有无数多解?无解?(江苏省竞赛题)。

绝对值与一元一次方程知识纵横绝对值是初中数学最活跃的概念之一,•能与数学中许多知识关联而生成新的问题,我们把绝对值符号中含有未知数的方程叫含绝对值符号的方程,简称绝对值方程.解绝对值方程的基本方法有:一是设法去掉绝对值符号,将绝对值方程转化为常见的方程求解;一是数形结合,借助于图形的直观性求解.前者是通法,后者是技巧.解绝对值方程时,常常要用到绝对值的几何意义,去绝对值的符号法则,•非负数的性质、绝对值常用的基本性质等与绝对值相关的知识、技能与方法.例题求解【例1】方程│5x+6│=6x-5的解是_______.(2000年重庆市竞赛题)思路点拨设法去掉绝对值符号,将原方程化为一般的一元一次方程来求解.解:x=11提示:原方程5x+6=±(6x-5)或从5x+6≥0、5x+6<0讨论.【例2】适合│2a+7│+│2a-1│=8的整数a的值的个数有( ).A.5B.4C.3D.2 (第11届“希望杯”邀请赛试题)思路点拨用分类讨论法解过程繁琐,仔细观察数据特征,借助数轴也许能找到简捷的解题途径.解:选B提示:由已知即在数轴上表示2a的点到-7与+1的距离和等于8,•所以2a表示-7到1之间的偶数.【例3】解方程:│x-│3x+1││=4; (天津市竞赛题)思路点拨从内向外,根据绝对值定义性质简化方程.解:x=-54或x=32提示:原方程化为x-│3x+1=4或x-│3x+1│=-4【例4】解下列方程:(1)│x+3│-│x-1│=x+1; (北京市“迎春杯”竞赛题)(2)│x-1│+│x-5│=4. (“祖冲之杯”邀请赛试题)思路点拨解含多个绝对值符号的方程最常用也是最一般的方法是将数轴分段进行讨论,采用前面介绍的“零点分段法”分类讨论;有些特殊的绝对值方程可利用绝对值的几何意义迅速求解.解:(1)提示:当x<-3时,原方程化为x+3+(x-1)=x+1,得x=-5;当-3≤x<1时,原方程化为x+3+x-1=x+1,得x=-1;当x≥1时,原方程化为x+3-(x-1)=x+1,得x=3.综上知原方程的解为x=-5,-1,3.(2)提示:方程的几何意义是,数轴上表示数x的点到表示数1及5的距离和等于4,画出数轴易得满足条件的数为1≤x≤5,此即为原方程的解.【例5】已知关于x的方程│x-2│+│x-3│=a,研究a存在的条件,对这个方程的解进行讨论.思路点拨方程解的情况取决于a的情况,a与方程中常数2、3有依存关系,这种关系决定了方程解的情况,因此,探求这种关系是解本例的关键,•运用分类讨论法或借助数轴是探求这种关系的重要方法与工具,读者可从两个思路去解.解:提示:数轴上表示数x的点到数轴上表示数2,3的点的距离和的最小值为1,由此可得方程解的情况是:(1)当a>1时,原方程解为x=52a;(2)当a=1时,原方程解为2≤x≤3;(3)当a<1时,原方程无解.学力训练一、基础夯实1.方程3(│x│-1)= ||5x+1的解是_______;方程│3x-1│=│2x+1│的解是____.2.已知│3990x+1995│=1995,那么x=______.3.已知│x│=x+2,那么19x99+3x+27的值为________.4.关于x的方程│a│x=│a+1│-x的解是x=0,则a的值是______;关于x的方程│a│x=│a+1│-x的解是x=1,则有理数a的取值范围是________.5.使方程3│x+2│+2=0成立的未知数x的值是( ).A.-2B.0C. 23D.不存在6.方程│x-5│+x-5=0的解的个数为( ).A.不确定B.无数个C.2个D.3个 (“祖冲之杯”邀请赛试题)7.已知关于x的方程mx+2=2(m-x)的解满足│x-12|-1=0,则m的值是( ).A.10或25B.10或-25C.-10或25D.-10或-25(2000年山东省竞赛题)8.若│2000x+2000│=20×2000,则x等于( ).A.20或-21B.-20或21C.-19或21D.19或-21 (2001年重庆市竞赛题)9.解下列方程:(1)││3x-5│+4│=8; (2)│4x-3│-2=3x+4;(3)│x-│2x+1││=3; (4)│2x-1│+│x-2│=│x+1│.10.讨论方程││x+3│-2│=k的解的情况.二、能力拓展11.方程││x-2│-1│=2的解是________.12.若有理数x满足方程│1-x│=1+│x│,则化简│x-1│的结果是_______.13.若a>0,b<0,则使│x-a│+│x-b│=a-b成立的x的取值范围是______.(武汉市选拨赛试题)14.若0<x<10,则满足条件│x-3│=a•的整数a•的值共有_____•个,•它们的和是____.15.若m是方程│2000-x│=2000+│x│的解,则│m-2001│等于( ).A.m-2001B.-m-2001C.m+2001D.-m+200116.若关于x的方程│2x-3│+m=0无解,│3x-4│+n=0只有一个解,│4x-5│+•k=0有两个解,则m、n、k的大小关系是( ).A.m>n>kB.n>k>mC.k>m>nD.m>k>n17.适合关系式│3x-4│+│3x+2│=6的整数x的值有( )个.A.0B.1C.2D.大于2的自然数18.方程│x+5│-│3x-7│=1的解有( ).A.1个B.2个C.3个D.无数个19.设a、b为有理数,且│a│>0,方程││x-a│-b│=3有三个不相等的解,•求b的值.(“华杯赛”邀请赛试题)20.当a满足什么条件时,关于x的方程│x-2│-│x-5│=a有一解?有无数多个解?无解?三、综合创新21.已知│x+2│+│1-x│=9-│y-5│-│1+y│,求x+y的最大值与最小值.(第15届江苏省竞赛题)22.(1)数轴上两点表示的有理数是a、b,求这两点之间的距离;(2)是否存在有理数x,使│x+1│+│x-3│=x?(3)是否存在整数x,使│x-4│+│x-3│+│x+3│+│x+4│=14?如果存在,•求出所有的整数x;如果不存在,说明理由.【学力训练】(答案)1.±107、2或0 2.0或-1 3.54.-1,a≥0 提示:由│a+1│=│a│+1得a×1≥0,即a≥05.D6.B7.A8.D9.(1)x=3或x=13;(2)x=9或x=-37;(3)x=-43或x=2;(4)提示:分x<-1、-1≤x<12、•12≤x≤2、x≥2四种情况分别去掉绝对值符号解方程,当考虑到12≤x≤2时,•原方程化为(2x-1)-(x-2)=x+1,即1=1,这是一个恒等式,说明凡是满足12≤x≤2的x值都是方程的解.10.当k<0时,原方程无解;当k=0时,原方程有两解:x=-1或x=-5;当0<k<2时,原方程化为│x+3│=2±k,此时原方程有四解:x=-3±(2±k);当k=2时,原方程化为│x+•3│=2±2,此时原方程有三解:x=1或x=-7或x=-3;当k>2时,原方程有两解:x+3=±2(•2+k).11.±5 12.1-x 13.b≤x≤a 提示:利用绝对值的几何意义解.14.7、21提示:当0<x<3时,则有│x-3│=3-x=a,a的解是1,2;当3≤x<10时,则有│x-3│=x-3=a,a的解为0,1,2,3,4,5,615.D 提示:m≤0 16.A 17.C 提示:-2≤3x≤4 18.B19.提示:若b+3、b-3都是非负的,而且如果其中一个为零,则得3个解;如果都不是零,则得4个解,故b=3.20.提示:由绝对值几何意义知:当-3<a<3时,方程有一解;当a=±3时,•方程有无穷多个解;当a>3或a<-3时,方程无解.21.提示:已知等式可化为:│x+2│+│x-1│+│y+1│+│y-5│=9,•由绝对值的几何意义知,当-2≤x≤1且-1≤y≤5时,上式成立, 故当x=-2,y=-1时,x+y有最小值为-3;当x=1,y=5时,x+y的最大值为6.22.(1)│a-b│;(2)不存在;(3)x=±3,±2,±1,0.。

绝对值【2 】与一元一次方程一.形如| x +a | = b 办法：去绝对值符号例1：| 2x – 1 | = 3 例2：4+2|x| = 3 |x|+2二.绝对值的嵌套办法：由外向内逐层去绝对值符号|3x – 4|+1| = 2 例2：|||x|– 2|-1| =3例1：| 12三.形如：| ax + b | = cx+d绝对值方程办法：变形为ax + b =±（cx+d）且 cx+d≧0才是原方程的根,不然必须舍去,故解绝对值方程时必须磨练.例1: | 5x + 6 | = 6x+5 例2: | x - 5 |+2x =-5应用“零点分段“法化简办法：求零点,分区间,定正负,去符号例1：化简：| x + 5 |+| 2x - 3 | 例2：|| x -1 |-2|+ |x +1|演习化简：1.| x + 5 |+| x - 7 | +| x+ 10 | 2.||x|−2x||x−3|−|x|四.“零点分段法”解方程“零点分段法”即令各绝对值代数式为零,得若干个绝对值为零的点,这些点把数轴分成几个区间,再在各区间内化简求值即可.例1：| x + 1 |+| x - 5 | =4 例2：| 2x - 1 |+| x - 2 | =2| x +1 |演习：解方程1.3| 2x – 1 | = |-6|2.││3x-5│+4│=83.│4x-3│-2=3x+44.│2x-1│+│x-2│=│x+1│进步题：1.若关于X的方程││x-2│-1│=a有三个解,求a的值和方程的解2.设a.b为有理数,且│a│>0,方程││x-a│-b│=3有三个不相等的解,•求b 的值. (“华杯赛”邀请赛试题)3.评论辩论方程││x+3│-2│=k的解的情形.绝对值的几何意义解题一.求代数式的最小值1、求│x-1│+│x+2│的最小值2、求│x-3│+│x-4│+│x-5│的最小值3、求│x-1│+│x-2│+│x-3│+……+│x-1997│的最小值4、求│x-2│+│x-4│+│x-6│+……+│x-2000│的最小值二.解绝对值方程1.│x+1│+│x-3│=22.│x+1│+│x-2│-3=02.是否消失有理数x,使│x+1│+│x-3│=x？。

含参数的一元一次方程、含绝对值的一元一次方程一． 含有参数的一元一次方程 1. 整数解问题2. 两个一元一次方程同解问题3. 已知方程解的情况求参数4. 一元一次方程解的情况(分类讨论）二： 解含有绝对值的一元一次方程 一. 含有参数的一元一次方程 1. 整数解问题（常数分离法）例题1:⑴ 【中】 已知关于x 的方程9314x kx +=+有整数解，求整数_____k = 答案：(9)11k x -= 119x k=- ∵,x k 均为整数 ∴91,11k -=±± ∴2,8,10,20k =-⑵ 【中】 关于x 的方程()2(1)130n x m x -+--=是一元一次方程(1)则,m n 应满足的条件为：___m ,____n ； (2)若此方程的根为整数,求整数=____m答案：(1)1,1≠=;(2）由(1）可知方程为(1)3m x -=, 则31x m =- ∵此方程的根为整数.∴31m -为整数又∵m 为整数,则13,1,1,3m -=-- ∴2,0,2,4m =-测一测1: 【中】 关于x 的方程143+=+x ax 的解为正整数，则整数a 的值为( )A.2B.3C.1或2D.2或3 答案：D方程143+=+x ax 可化简为:()24-=-x a 解得42--=a x 解为正整数，()214--=-或a 32或=a测一测2： 【中】 关于x 的方程917x kx -=的解为正整数，则k 的值为___________答案：917x kx -=可以转化为(9)17k x -= 即：179x k=-，x 为正整数,则88k =或- 测一测3: 【中】m 为整数，关于x 的方程 6x mx =- 的解为正整数，求_____m = 答案： 由原方程得：61x m =+ ，x 是正整数，所以1m + 只能为6的正约数， 11,2,3,6m += 所以0,1,2,5m =2. 两个一元一次方程同解问题例题2：⑴ 【易】若方程29ax x -=与方程215x -=的解相同，则a 的值为_________【答案】第二个方程的解为3x =,将3x =代入到第一个方程中，得到369a -= 解得 5a =⑵ 【中】若关于x 的方程：k(x+3)(2)10354k x x --=-与方程1252(1)3x x --+=的解相同，求___k = 【答案】由方程k(x+3)(2)10354k x x --=-解得x=2, 代入方程1252(1)3xx --+=中解得k=4测一测1：【易】方程213x +=与202a x--=的解相同，则a 的值是（ ) A 、7 B 、0 C 、3 D 、5 【答案】D第一个方程的解为1x =，将1x =代入到第二个方程中得:12=02a --，解得5a = 例题3： 【中】 若关于x 的方程231x -=和32x kk x -=-解互为相反数，则k 的值为(） A. 143- B 。

特殊形式的一元一次方程及特法方程是初中代数的主线之一，现在所学一元一次方程是以后所学方程的基础，我们在学习中会遇到一些特殊形式的一元一次方程，利用转化思想化成一般形式，再解一元一次方程。

特殊的形式有以下八种，列出以供同学们参考。

形式一：两个非负数的和为0或两个非负数互为相反数。

两个非负数互为相反数可以转化为其和为0，有仅有均为0时才成立。

例1、 已知（a+3）2与1-b 互为相反数，且关于x 的方程4x a +-3y=21x+b 的解为x=-1,求2y 2-3的值。

解析：由已知有（a+3）2+1-b =0 ∴（a+3）2=0，1-b =0，则a=-3,b=1；把a=-3,b=1，x=-1代入到方程中有 413---3y=21×（-1）+1，解得y=-21 2y 2-3=2×（-21）2-3=21-3= -221 形式二：连等转化成几个方程，再分别解方程例2、 已知a+2=b-2=2c =2008，且a+b+c=2008k,求k 的值。

解析：已知条件可转化为三个方程①a+2=2008；②b-2=2008；③2c =2008；分别解得a=2006；b=2010；c=4016。

代入到后一个等式中，2006+2010+4016=2008k解得：k=4 形式三：分母是小数利用分数的基本性质，分别把每个式子分子、分母扩大适当的倍数。

例3、 解方程2.188.1x --03.002.003.0x +=25-x 解析：第一个式子分子、分母同时乘以10，第二个式子分子、分母同时乘以100，原方程可变形为：128018x --323x +=25-x 两边同乘以12，得：18-80x-4（3+2x ）=6（x-5）去括号、移项合并得：-94x=-36解得：x=4718 形式四：两个方程同解同解即解相同，其中一个方程可以解出来，再代入到另一个方程中。

例4、 关于x 的方程3x-（2a-1）=5x-a+1与方程212+x +34-x =8有相同的解，求（8a ）2009+a 2-21的值。