含绝对值的一元一次方程解 法

绝对值与一元一次方程作者：***来源：《初中生世界·七年级》2020年第12期绝对值是七年级数学非常重要的概念之一能与数学中许多知识组合出新的问题。

今天我们重点研究绝对值符号中含有未知数的方程，即绝对值方程。

解决这一问题需要从绝对值的性质、几何意义出发，方可成功“拿下”。

在解绝对值方程之前，需要回顾以下知识点。

（1）绝对值的性质：正数的绝对值是它本身;负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0。

（2）绝对值的几何意义：表示数轴上数a与b所对应的点之间的距离。

一、提出问题例1解方程：|x-3|=2。

【错解】解：x-3=2，故x=5。

【解析】方法1：从绝对值的性质出发，将这个方程看成是绝对值等于2的数有哪些？当然是±2，即x-3=±2，所以x=5或1。

方法2：从绝对值的几何意义出发，如图1，方程左边|x-3|表示一个数x到3的距离。

借助数轴，整个方程表示数轴上一个数x到3的距离等于2个单位，这个数分布在3的左侧和右侧，故这个数x为5或1，即x=5或1。

二、变式问题例2求满足方程|x+3|+|2-x|=5的所有整数解。

【解析】解决绝对值方程的关键是去绝对值符号，我们可以根据绝对值的性质对x+3和2-x与0的关系进行分类讨论。

也可绝对值的几何意义出发，如图2，借助数轴，解决这类方程会更为快捷。

先需要将方程改成|x-（-3）|+|x-2|=5，即：此方程看作一个数x到-3的距离与它到2的距离的和等于5，这样的x在数轴上的什么位置？如图2，这个数x只要在-3和2之间都满足条件。

其中满足条件的整数为-3，-2，-1，0，1，2。

例3解方程：|x+3|-2|x-2|=0。

【解析】从几何意义出发，原方程表示x到-3的距离等于它到2的距离的2倍，借助数轴，記-3表示点A，2表示点B，点P记为x，即PA=2PB，又知道AB=5，如图3和图4可知，分两类讨论得到x=7或13。

（作者单位：江苏省宿迁市钟吾国际学校）。

三、解答题1、（2008•乐山）阅读下列材料：我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离；即|x|=|x﹣0|，也就是说，|x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离；这个结论可以推广为|x1﹣x2|表示在数轴上数x1，x2对应点之间的距离；在解题中，我们会常常运用绝对值的几何意义：例1：解方程|x|=2．容易得出，在数轴上与原点距离为2的点对应的数为±2，即该方程的x=±2；例2：解不等式|x﹣1|＞2．如图，在数轴上找出|x﹣1|=2的解，即到1的距离为2的点对应的数为﹣1，3，则|x﹣1|＞2的解为x＜﹣1或x＞3；例3：解方程|x﹣1|+|x+2|=5．由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与1和﹣2的距离之和为5的点对应的x的值．在数轴上，1和﹣2的距离为3，满足方程的x对应点在1的右边或﹣2的左边．若x对应点在1的右边，如图可以看出x=2；同理，若x对应点在﹣2的左边，可得x=﹣3．故原方程的解是x=2或x=﹣3．参考阅读材料，解答下列问题：（1）方程|x+3|=4的解为　1或﹣7　；（2）解不等式|x﹣3|+|x+4|≥9；（3）若|x﹣3|﹣|x+4|≤a对任意的x都成立，求a的取值范围．考点：含绝对值符号的一元一次方程；解一元一次不等式。

专题：阅读型。

分析：仔细阅读材料，根据绝对值的意义，画出图形，来解答．解答：解：（1）根据绝对值得意义，方程|x+3|=4表示求在数轴上与﹣3的距离为4的点对应的x的值为1或﹣7．（3分）（2）∵3和﹣4的距离为7，因此，满足不等式的解对应的点3与﹣4的两侧．当x在3的右边时，如图，易知x≥4．（5分）当x在﹣4的左边时，如图，易知x≤﹣5．（7分）∴原不等式的解为x≥4或x≤﹣5（8分）（3）原问题转化为：a大于或等于|x﹣3|﹣|x+4|最大值．（9分）当x≥﹣1时，|x﹣3|﹣|x+4|应该恒等于7，当﹣4＜x＜﹣1，|x﹣3|﹣|x+4|=﹣2x﹣1随x的增大而减小，当x≤﹣4时，|x﹣3|﹣|x+4|=7，即|x﹣3|﹣|x+4|的最大值为7．（11分）故a≥7．（12分）点评：本题是一道材料分析题，通过阅读材料，同学们应当深刻理解绝对值得几何意义，结合数轴，通过数形结合对材料进行分析来解答题目．由于信息量较大，同学们不要产生畏惧心理．2、解方程：．考点：含绝对值符号的一元一次方程。

三、解答题1、（2008•乐山）阅读下列材料：我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离；即|x|=|x﹣0|，也就是说，|x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离；这个结论可以推广为|x1﹣x2|表示在数轴上数x1，x2对应点之间的距离；在解题中，我们会常常运用绝对值的几何意义：例1：解方程|x|=2．容易得出，在数轴上与原点距离为2的点对应的数为±2，即该方程的x=±2；例2：解不等式|x﹣1|＞2．如图，在数轴上找出|x﹣1|=2的解，即到1的距离为2的点对应的数为﹣1，3，则|x﹣1|＞2的解为x＜﹣1或x＞3；例3：解方程|x﹣1|+|x+2|=5．由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与1和﹣2的距离之和为5的点对应的x的值．在数轴上，1和﹣2的距离为3，满足方程的x对应点在1的右边或﹣2的左边．若x对应点在1的右边，如图可以看出x=2；同理，若x对应点在﹣2的左边，可得x=﹣3．故原方程的解是x=2或x=﹣3．参考阅读材料，解答下列问题：（1）方程|x+3|=4的解为1或﹣7；（2）解不等式|x﹣3|+|x+4|≥9；（3）若|x﹣3|﹣|x+4|≤a对任意的x都成立，求a的取值范围．考点：含绝对值符号的一元一次方程；解一元一次不等式。

专题：阅读型。

分析：仔细阅读材料，根据绝对值的意义，画出图形，来解答．解答：解：（1）根据绝对值得意义，方程|x+3|=4表示求在数轴上与﹣3的距离为4的点对应的x的值为1或﹣7．（3分）（2）∵3和﹣4的距离为7，因此，满足不等式的解对应的点3与﹣4的两侧．当x在3的右边时，如图，易知x≥4．（5分）当x在﹣4的左边时，如图，易知x≤﹣5．（7分）∴原不等式的解为x≥4或x≤﹣5（8分）（3）原问题转化为：a大于或等于|x﹣3|﹣|x+4|最大值．（9分）当x≥﹣1时，|x﹣3|﹣|x+4|应该恒等于7，当﹣4＜x＜﹣1，|x﹣3|﹣|x+4|=﹣2x﹣1随x的增大而减小，当x≤﹣4时，|x﹣3|﹣|x+4|=7，即|x﹣3|﹣|x+4|的最大值为7．（11分）故a≥7．（12分）点评：本题是一道材料分析题，通过阅读材料，同学们应当深刻理解绝对值得几何意义，结合数轴，通过数形结合对材料进行分析来解答题目．由于信息量较大，同学们不要产生畏惧心理．2、解方程：．考点：含绝对值符号的一元一次方程。

含绝对值的一元一次方程解法引言一元一次方程是数学中常见的方程类型。

然而，当方程中含有绝对值时，解题变得更加复杂。

本文将介绍含绝对值的一元一次方程的解法，并提供简单的策略来解决这类问题。

解法步骤解含绝对值的一元一次方程可以按照以下步骤进行：1. 确定绝对值的取值范围：首先，我们需要确定绝对值的取值范围。

绝对值是一个非负数，所以无论绝对值内的表达式是正数还是负数，我们都可以用正数来解方程。

确定绝对值的取值范围：首先，我们需要确定绝对值的取值范围。

绝对值是一个非负数，所以无论绝对值内的表达式是正数还是负数，我们都可以用正数来解方程。

2. 列出两个方程：根据绝对值的定义，我们可以将含绝对值的方程分成两个方程，分别对应绝对值内的表达式为正数和负数的情况。

对于每个方程，我们将绝对值去掉，得到一个等式。

列出两个方程：根据绝对值的定义，我们可以将含绝对值的方程分成两个方程，分别对应绝对值内的表达式为正数和负数的情况。

对于每个方程，我们将绝对值去掉，得到一个等式。

3. 解每个方程：解两个等式，分别得到两个解。

这些解将是含绝对值的方程的解。

解每个方程：解两个等式，分别得到两个解。

这些解将是含绝对值的方程的解。

4. 检查解的有效性：将得到的解代入原方程，检查是否满足原方程的条件。

只有满足条件的解才是方程的真正解。

检查解的有效性：将得到的解代入原方程，检查是否满足原方程的条件。

只有满足条件的解才是方程的真正解。

简单示例让我们通过一个简单的示例来演示含绝对值的一元一次方程的解法。

题目：解方程 $|2x - 3| = 5$。

解方程 $|2x - 3| = 5$。

解法：1. 绝对值的取值范围为非负数，所以我们可以将方程改写为两个等式：- $2x - 3 = 5$，对应于绝对值内的表达式为正数的情况。

- $2x - 3 = -5$，对应于绝对值内的表达式为负数的情况。

2. 解第一个等式：$2x - 3 = 5$。

解得 $x = 4$。

含绝对值的一元一次方程的解法之吉白夕凡创作1．含绝对值的一次方程的解法（1）形如(0)ax b c a +=≠型的绝对值方程的解法：①当0c <时，根据绝对值的非负性，可知此时方程无解；②当0c =时，原方程变成0ax b +=，即0ax b +=，解得b x a=-； ③当0c >时，原方程变成ax b c +=或ax b c +=-，解得c b x a -=或c b x a--=． 解方程：⑴235x +=⑵21302x --=⑶200520052006x x -+-=⑷1121123x x +--+-= （2）形如(0)ax b cx d ac +=+≠型的绝对值方程的解法： ①根据绝对值的非负性可知0cx d +≥，求出x 的取值范围；②根据绝对值的定义将原方程化为两个方程ax b cx d +=+和()ax b cx d +=-+；③分别解方程ax b cx d +=+和()ax b cx d +=-+；④将求得的解代入0cx d +≥检验，舍去分歧条件的解． 解方程⑴4329x x +=+⑵525x x -+=-（3）形如(0)ax b cx d ac +=+≠型的绝对值方程的解法：①根据绝对值的定义将原方程化为两个方程ax b cx d +=+或()ax b cx d +=-+；②分别解方程ax b cx d +=+和()ax b cx d +=-+． 解方程⑴23a a =-⑵2131x x -=+（4）形如()x a x b c a b -+-=<型的绝对值方程的解法：①根据绝对值的几何意义可知x a x b a b -+-≥-；②当c a b <-时，此时方程无解； 当c a b =-时，此时方程的解为a x b ≤≤； 当c a b >-时，分两种情况：①当x a <时，原方程的解为2a b c x +-=； ②当x b >时，原方程的解为2a b cx ++=． 解方程⑴134x x -+-=⑵154x x -+-=⑶216x x -++=（5）形如(0)ax b cx d ex f ac +±+=+≠型的绝对值方程的解法： ①找绝对值零点：令0ax b +=，得1x x =，令0cx d +=得2x x =；②零点分段讨论：无妨设12x x <，将数轴分为三个区段，即①1x x <；②12x x x ≤<；③2x x ≥；③分段求解方程：在每一个区段内去掉绝对值符号，求解方程并检验，舍去不在区段内的解． 解方程⑴2123x x +--=⑵2134x x --+=⑶23143x x x +--=-（6）形如(0)ax b cx d ex f a +++=+≠型的绝对值方程的解法：解法一：由内而外去绝对值符号：依照零点分段讨论的方式，由内而外逐层去掉绝对值符号，解方程并检验，舍去不符合条件的解．解法二：由外而内去绝对值符号：①根据绝对值的非负性可知0ex f +≥，求出x 的取值范围；②根据绝对值的定义将原方程化为两个绝对值方程()ax b ex f cx d +=+-+和 ()()ax b ex f cx d +=-+-+；③解②中的两个绝对值方程．【题01】解方程93352x x x ++-=+35162x x ---=3548x -+= 【题02】解方程：2112x --=2121x x -+=+314x x -+=11110x ----= 【题03】当01x ≤≤时，求方程1110x ---=的解。

七年级数学竞赛题：含绝对值符号的一次方程绝对值符号中含有未知数的一次方程叫含绝对值符号的一次方程，简称绝对值方程．解这类方程的基本思路是：脱去绝对值符号，将原方程转化为一元一次方程求解，其基本类型与解法是：1．形如∣ax＋b∣＝c(c≥0)的最简绝对值方程这类绝对值方程可转化为两个普通一元一次方程：ax＋b＝c或ax＋b＝一C2．含多重或多个绝对值符号的复杂绝对值方程这类绝对值方程可通过分类讨论转化为最简绝对值方程求解．解绝对值方程时，常常要用到绝对值的几何意义、去绝对值符号法则、常用的绝对值基本性质等与绝对值相关的知识、技能与方法．例1 方程∣x一5∣＋2x＝一5的解是_______．(四川省竞赛题) 解题思路设法脱去绝对值符号，将原方程转化为一般的一元一次方程求解．例2 适当∣2a＋7∣＋∣2a－1∣＝８的整数a的值的个数有( )．(A)5 (B)4 (C)3 (D)2解题思路发现常数的内在联系，从绝对值的几何意义入手，本例能获得简解．例3 已知关于x的方程|ｘ|＝ａｘ＋１同时有一个正根和一个负根，求整数a的值．(第12届“希望杯”邀请赛试题) 解题思路去掉绝对值的符号，把x用a的代数式表示，首先确定a的取值范围．例4解下列方程：．(1)|x－|3x＋1∣∣＝4；(天津市竞赛题) (2)|x＋3|－|x－1|＝x＋1(北京市“迎春杯”竞赛题) (3|x－1|＋|x－5|＝4(“祖冲之杯”邀请赛试题) 解题思路多重绝对值解法的基本方法是，根据绝对值定义，从内向外化简原方程；零点分段讨论法是解多个绝对值方程的有效手段．例5讨论关于x的方程|x－2|＋|x－5|＝a的解的情况．(南京市竞赛题)解题思路方程解的情况取决于a的情况，口与方程中常数2，5有一定的依存关系，这种关系决定了方程解的情况．因此，探求这种关系是解本例的关键，借助数轴、利用绝对值的几何意义是探求这种关系的重要工具．A 级1．若x=9是方程|31x －2|=a 的解，则a=_______；又若当a=l 时，则方程|31x －2|=a 的解是_______．2．方程|31y ＋2|－|2y －53|的解是_______，方程3(|x|一1)=5x ＋1的解是_______． 3．已知|3990x ＋1995|=1995，那么x=_______(北京市“迎春杯”竞赛题) 4．已知|x|=x ＋2，那么19x 99+3x ＋27的值为_______．(“希望杯”邀请赛试题)5．方程|||x|－2|－1|=2的解是_______．6．满足(a －b)2＋(b －a)|a －b|=ab(ab ≠0)的有理数a 和b ，一定不满足的关系是( )(A)ab<O (B)ab>O (C)a+b>O (D)a+b<O7．有理数a 、b 满足|a ＋b|<|a －b|，则( )．(A)a ＋b 6≥O (B)a ＋b<0 (C)ab<O (D)ab≥O8．若关于x 的方程|2x －3|＋m=0无解，|3x －4|＋n=0只有一个解，|4x －5|＋k=0有两个解，则m 、n 、k 的大小关系是( )．(A)m>n>k (B)n>k>m (C)k>m>n (D)m>k>n9．方程|x －5|＋x 一5=O 的解的个数为( )．(A)不确定 (B)无数个 (C)2个 (D)3个(“祖冲之杯”邀请赛试题)lO ．若关于x 的方程||x －2|－1|=a 有三个整数解，则a 的值是( )．(A)0 (B)2 (C)1 (D)3． (全国初中数学联赛试题)11．解下列方程：(1)4－2|21x ＋1|=3； (2)|21x －1|=x －3； (3)|x －|2x ＋11||=|x ＋1|；(五城市联赛题) (4) |2x －1|＋|x －2|=|x ＋1|(全国通讯赛试题)12．求关于x 的方程||x －2|－1|－a=0(0<口<1)的所有解的和． ．(陕西省竞赛题)B 级1．关于x 的方程|a|x=|a ＋1|－x 的解是x=0，则a 的值是_______；关于x 的方程|a|x=|a＋1|－x 的解是x=l ，则有理数a 的取值范围是_______．2．若O<x<10，则满足条件|x －3|的整数a 的值共有_______个，它们的和是_______．(第十届“希望杯”邀请赛试题)3．若a>0，b<0，则使|x －a|＋|x －b|=a －b 成立的x 的取值范围是_______．(武汉市选拔赛试题)4．已知|a|＋a=0且a ≠一l ，那么11+-a a =_______．5．若有理数x 满足方程|1－x|=1＋|x|，那么化简|x －1|的结果是( )．(A)1 (B)x (C)x 一1 (D)1一x6．适合关系式|3x －4|＋|3x ＋2|=6的整数x 的值有( )个．(A)0 (B)l (C)2 (D)大于2的自然数7．当a>0，且|x －2|＋|x －5|<以时，则以下结论正确的是( )．(A)0.001<a<3 (B)O<a<0.01 (C)0<a<3 (D)a>38．已知方程|x|=ax+l 有一个负根，而没有正根，那么a 的取值范围是( )．(全国初中数学联赛试题)(A)a=1 (B)a>－1 (C)a ≥1 (D)a<19．设a 、b 为有理解，且|a|>O ，方程||x －a|－b|=3有三个不相等的解，求b 的值．(“华罗庚金杯”赛邀请赛试题)10．当a 满足什么条件时，关于x 的方程|x －2|－|x －5|=a 有一解?有无数多解?无解?(江苏省竞赛题)。

绝对值与一元一次方程知识纵横绝对值是初中数学最活跃的概念之一,•能与数学中许多知识关联而生成新的问题,我们把绝对值符号中含有未知数的方程叫含绝对值符号的方程,简称绝对值方程.解绝对值方程的基本方法有:一是设法去掉绝对值符号,将绝对值方程转化为常见的方程求解;一是数形结合,借助于图形的直观性求解.前者是通法,后者是技巧.解绝对值方程时,常常要用到绝对值的几何意义,去绝对值的符号法则,•非负数的性质、绝对值常用的基本性质等与绝对值相关的知识、技能与方法.例题求解【例1】方程│5x+6│=6x-5的解是_______.(2000年重庆市竞赛题)思路点拨设法去掉绝对值符号,将原方程化为一般的一元一次方程来求解.解:x=11提示:原方程5x+6=±(6x-5)或从5x+6≥0、5x+6<0讨论.【例2】适合│2a+7│+│2a-1│=8的整数a的值的个数有( ).A.5B.4C.3D.2 (第11届“希望杯”邀请赛试题)思路点拨用分类讨论法解过程繁琐,仔细观察数据特征,借助数轴也许能找到简捷的解题途径.解:选B提示:由已知即在数轴上表示2a的点到-7与+1的距离和等于8,•所以2a表示-7到1之间的偶数.【例3】解方程:│x-│3x+1││=4; (天津市竞赛题)思路点拨从内向外,根据绝对值定义性质简化方程.解:x=-54或x=32提示:原方程化为x-│3x+1=4或x-│3x+1│=-4【例4】解下列方程:(1)│x+3│-│x-1│=x+1; (北京市“迎春杯”竞赛题)(2)│x-1│+│x-5│=4. (“祖冲之杯”邀请赛试题)思路点拨解含多个绝对值符号的方程最常用也是最一般的方法是将数轴分段进行讨论,采用前面介绍的“零点分段法”分类讨论;有些特殊的绝对值方程可利用绝对值的几何意义迅速求解.解:(1)提示:当x<-3时,原方程化为x+3+(x-1)=x+1,得x=-5;当-3≤x<1时,原方程化为x+3+x-1=x+1,得x=-1;当x≥1时,原方程化为x+3-(x-1)=x+1,得x=3.综上知原方程的解为x=-5,-1,3.(2)提示:方程的几何意义是,数轴上表示数x的点到表示数1及5的距离和等于4,画出数轴易得满足条件的数为1≤x≤5,此即为原方程的解.【例5】已知关于x的方程│x-2│+│x-3│=a,研究a存在的条件,对这个方程的解进行讨论.思路点拨方程解的情况取决于a的情况,a与方程中常数2、3有依存关系,这种关系决定了方程解的情况,因此,探求这种关系是解本例的关键,•运用分类讨论法或借助数轴是探求这种关系的重要方法与工具,读者可从两个思路去解.解:提示:数轴上表示数x的点到数轴上表示数2,3的点的距离和的最小值为1,由此可得方程解的情况是:(1)当a>1时,原方程解为x=52a;(2)当a=1时,原方程解为2≤x≤3;(3)当a<1时,原方程无解.学力训练一、基础夯实1.方程3(│x│-1)= ||5x+1的解是_______;方程│3x-1│=│2x+1│的解是____.2.已知│3990x+1995│=1995,那么x=______.3.已知│x│=x+2,那么19x99+3x+27的值为________.4.关于x的方程│a│x=│a+1│-x的解是x=0,则a的值是______;关于x的方程│a│x=│a+1│-x的解是x=1,则有理数a的取值范围是________.5.使方程3│x+2│+2=0成立的未知数x的值是( ).A.-2B.0C. 23D.不存在6.方程│x-5│+x-5=0的解的个数为( ).A.不确定B.无数个C.2个D.3个 (“祖冲之杯”邀请赛试题)7.已知关于x的方程mx+2=2(m-x)的解满足│x-12|-1=0,则m的值是( ).A.10或25B.10或-25C.-10或25D.-10或-25(2000年山东省竞赛题)8.若│2000x+2000│=20×2000,则x等于( ).A.20或-21B.-20或21C.-19或21D.19或-21 (2001年重庆市竞赛题)9.解下列方程:(1)││3x-5│+4│=8; (2)│4x-3│-2=3x+4;(3)│x-│2x+1││=3; (4)│2x-1│+│x-2│=│x+1│.10.讨论方程││x+3│-2│=k的解的情况.二、能力拓展11.方程││x-2│-1│=2的解是________.12.若有理数x满足方程│1-x│=1+│x│,则化简│x-1│的结果是_______.13.若a>0,b<0,则使│x-a│+│x-b│=a-b成立的x的取值范围是______.(武汉市选拨赛试题)14.若0<x<10,则满足条件│x-3│=a•的整数a•的值共有_____•个,•它们的和是____.15.若m是方程│2000-x│=2000+│x│的解,则│m-2001│等于( ).A.m-2001B.-m-2001C.m+2001D.-m+200116.若关于x的方程│2x-3│+m=0无解,│3x-4│+n=0只有一个解,│4x-5│+•k=0有两个解,则m、n、k的大小关系是( ).A.m>n>kB.n>k>mC.k>m>nD.m>k>n17.适合关系式│3x-4│+│3x+2│=6的整数x的值有( )个.A.0B.1C.2D.大于2的自然数18.方程│x+5│-│3x-7│=1的解有( ).A.1个B.2个C.3个D.无数个19.设a、b为有理数,且│a│>0,方程││x-a│-b│=3有三个不相等的解,•求b的值.(“华杯赛”邀请赛试题)20.当a满足什么条件时,关于x的方程│x-2│-│x-5│=a有一解?有无数多个解?无解?三、综合创新21.已知│x+2│+│1-x│=9-│y-5│-│1+y│,求x+y的最大值与最小值.(第15届江苏省竞赛题)22.(1)数轴上两点表示的有理数是a、b,求这两点之间的距离;(2)是否存在有理数x,使│x+1│+│x-3│=x?(3)是否存在整数x,使│x-4│+│x-3│+│x+3│+│x+4│=14?如果存在,•求出所有的整数x;如果不存在,说明理由.【学力训练】(答案)1.±107、2或0 2.0或-1 3.54.-1,a≥0 提示:由│a+1│=│a│+1得a×1≥0,即a≥05.D6.B7.A8.D9.(1)x=3或x=13;(2)x=9或x=-37;(3)x=-43或x=2;(4)提示:分x<-1、-1≤x<12、•12≤x≤2、x≥2四种情况分别去掉绝对值符号解方程,当考虑到12≤x≤2时,•原方程化为(2x-1)-(x-2)=x+1,即1=1,这是一个恒等式,说明凡是满足12≤x≤2的x值都是方程的解.10.当k<0时,原方程无解;当k=0时,原方程有两解:x=-1或x=-5;当0<k<2时,原方程化为│x+3│=2±k,此时原方程有四解:x=-3±(2±k);当k=2时,原方程化为│x+•3│=2±2,此时原方程有三解:x=1或x=-7或x=-3;当k>2时,原方程有两解:x+3=±2(•2+k).11.±5 12.1-x 13.b≤x≤a 提示:利用绝对值的几何意义解.14.7、21提示:当0<x<3时,则有│x-3│=3-x=a,a的解是1,2;当3≤x<10时,则有│x-3│=x-3=a,a的解为0,1,2,3,4,5,615.D 提示:m≤0 16.A 17.C 提示:-2≤3x≤4 18.B19.提示:若b+3、b-3都是非负的,而且如果其中一个为零,则得3个解;如果都不是零,则得4个解,故b=3.20.提示:由绝对值几何意义知:当-3<a<3时,方程有一解;当a=±3时,•方程有无穷多个解;当a>3或a<-3时,方程无解.21.提示:已知等式可化为:│x+2│+│x-1│+│y+1│+│y-5│=9,•由绝对值的几何意义知,当-2≤x≤1且-1≤y≤5时,上式成立, 故当x=-2,y=-1时,x+y有最小值为-3;当x=1,y=5时,x+y的最大值为6.22.(1)│a-b│;(2)不存在;(3)x=±3,±2,±1,0.。

类型三、一元一次不等式中绝对值【解惑】 阅读求绝对值不等式子3x <解集的过程：因为3x <，从如图所示的数轴上看：大于3-而小于3的数的绝对值是小于3的，所以3x <的解集是33x -<<，解答下面的问题：(1)不等式()0x a a <>的解集为______；(2)求53x -<的解集实质上是求不等式组______的解集，求53x -<的解集． 方法：1：3x <的解集是33x -<<，∴不等式||(0)x a a <>的解集为：a x a -<<． 2.解：3x <的解集是33x -<<，∴求|5|3x -<的解集是353x -<-<，即可求出，本题以模仿为住。

【融会贯通】 1．已知不等式()()112512222x a x --->-+的解是12x <，则a ＝_______． 2．不等式1x <的解集是______．3．若关于x 的不等式122334455a x x x x x ≥+++++++++有解，则a 的取值范围是__________.【知不足】1.如果｜x ｜＞3，那么x 的范围是___________2．能够使不等式()()10x x x -+<成立的x 的取值范围_______．3.数学实验室：A 、B 在数轴上分别表示有理数a 、b ，A 、B 两点之间的距离表示为AB ，在数轴上A 、B 两点之间的距离||AB a b =-．利用数形结合思想回答下列问题：(1)数轴上表示2和5两点之间的距离是 ；(2)数轴上表示x 和2-的两点之间的距离表示为 ；(3)若x 表示一个有理数，且31x -<<，则13x x -++＝ ；(4)若x 表示一个有理数，且13x x -++＞4，则有理数x 的取值范围是 ． 4．对于两个不相等的有理数a ，b ，我们规定∆a b 表示a ，b 中较大的数，例如，2(1)2∆-=． (1)2334⎛⎫⎛⎫-∆-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭________； (2)若||22∆=a ，则满足条件的所有整数．．a 为_________；(3)求方程31[()]2+∆-=x x x 的解． 【一览众山小】1.若|2a ﹣6|＞6﹣2a ，则实数a 的取值范围是_____．2．不等式x 3x 12--+>的解集是__________．3．解下列不等式：（1）|2|30x +->（2）35572x -+<4．阅读：我们知道，00a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩于是要解不等式|3|4x -≤，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法：解：（1）当30x -≥，即3x ≥时：34x -≤解这个不等式，得：7x ≤由条件3x ≥，有：37x ≤≤（2）当30x -<，即3x <时，(3)4x --≤解这个不等式，得：1x ≥-由条件3x <，有：13x -≤<∴如图，综合（1）、（2）原不等式的解为17x -≤≤根据以上思想，请探究完成下列2个小题：（1）|1|2x +≤；（2）|2|1x -≥．5．解不等式：||4238x x -++>【温故为师】1.我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”；数形结合是解决数学问题的重要思想方法.例如，代数式2x -的几何意义是数轴上x 所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为()+=--x 1x 1，所以1x +的几何意义就是数轴上x 所对应的点与1-所对应的点之间的距离．⑴. 发现问题：代数式12x x ++-的最小值是多少？⑵. 探究问题：如图，点,,A B P 分别表示的是-1,2,x ，3AB =．∵12x x ++-的几何意义是线段PA 与PB 的长度之和∴当点P 在线段AB 上时，+=PA PB 3;当点点P 在点A 的左侧或点B 的右侧时 +>PA PB 3 ∴12x x ++-的最小值是3．⑶.解决问题： ①.-++x 4x 2的最小值是 ；②.利用上述思想方法解不等式：314x x ++->③.当a 为何值时，代数式++-x a x 3的最小值是2．2．解不等式：（1）215x x -++<________；（2）2560x x -+>________．3．阅读下面材料：小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等式（含有不等号的式子）中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式. 求绝对值不等式3x >的解集（满足不等式的所有解）.小明同学的思路如下： 先根据绝对值的定义，求出x 恰好是3时x 的值，并在数轴上表示为点A ，B ，如图所示.观察数轴发现，以点A ，B 为分界点把数轴分为三部分：点A 左边的点表示的数的绝对值大于3；点A ，B 之间的点表示的数的绝对值小于3；点B 右边的点表示的数的绝对值大于3. 因此，小明得出结论，绝对值不等式3x >的解集为：3x <-或3x >.参照小明的思路，解决下列问题：（1）请你直接写出下列绝对值不等式的解集. ①1x >的解集是 ； ② 2.5x <的解集是 .（2）求绝对值不等式359x -+>的解集.（3）直接写出不等式24x >的解集是 ．4．解不等式：|x －1|＋|x －3|＞4.5．阅读下列材料并解答问题： 我们知道x 的几何意义是在数轴上数x 对应的点与原点的距离：0x x =-，也就是说，x 表示在数轴上数x 与数0对应点之间的距离；这个结论可以推广为12x x -表示在数轴上数1x 和数2x 对应的点之间的距离；例1解方程2x =，容易看出，在数轴上与原点距离为2的点对应的数为2±，即该方程的解为2x =±．例2解不等式12x ->，如图，在数轴上找出12x -=的解，即到1的距离为2的点对应的数为1-，3，则12x ->的解集为1x <-或3x >．例3解方程125x x -++=由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与1和2-的距离之和为5的对应的x 的值.在数轴上，1和2-的距离为3，满足方程的x 对应的点在1的右边或2-的左边，若x 对应的点在1的右边，由下图可以看出2x =；同理，若x 对应的点在2-的左边，可得3x =-，故原方程的解是2x =或3x =-．回答问题：（只需直接写出答案）①解方程34x +=②解不等式34x -≥③解方程328x x -++=6．（1）【阅读理解】“||a ”的几何意义是：数在数轴上对应的点到原点的距离，所以“||2a ≥”可理解为：数a 在数轴上对应的点到原点的距离不小于2，则：①“||2a <”可理解为___________；②请列举两个符号不同的整数，使不等式“||2a >”成立，列举的a 的值为___________和___________．我们定义：形如“||x m ≤”“||x m ≥”“||x m <”“||x m >”（m 为非负数）的不等式叫做绝对值不等式，能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为绝对值不等式的解集． （2）【理解应用】根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式．由如图可以得出：绝对值不等式||1x >的解集是1x <-或1x >，绝对值不等式||3x ≤的解集是33x -≤≤．则：①不等式4x ≥的解集是___________．②不等式1||22x <的解集是___________． （3）【拓展应用】解不等式|1||3|4x x ++-≥，并画图说明．7．先阅读，再完成练习．一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．|x |＜3．x 表示到原点距离小于3的数，从如图1所示的数轴上看：大于﹣3而小于3的数，它们到原点距离小于3，所以|x |＜3的解集是﹣3＜x ＜3；|x |＞3x 表示到原点距离大于3的数，从如图2所示的数轴上看：小于﹣3的数和大于3的数，它们到原点距离大于3，所以|x |＞3的解集是x ＜﹣3或x ＞3．解答下面的问题：(1)不等式|x |＜a （a ＞0）的解集为 ．不等式|x |＞a （a ＞0）的解集为 ．(2)解不等式|x ﹣5|＜3．(3)解不等式|x ﹣3|＞5．(4)直接写出不等式|x ﹣1|+|x +2|＜5的解集： ．8．【阅读理解】a 的几何意义是：数a 在数轴上对应的点到原点的距离．所以，2a ≤可理解为： 数a 在数轴上对应的点到原点的距离不大于2． (1)①2a >可理解为___________________；②请列举3个不同的整数a ，使不等式2a <成立．列举的a 的值是______________； 我们定义：形如x m ≤，≥x m ，x m >，x m <（m 为非负数）的不等式称为绝对值不等式．能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为这个绝对值不等式的解集．【理解运用】根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式：由上图可得出：绝对值不等式3x ≤的解集是33x -≤≤；绝对值不等式4x >的解集是<4x -或>4x ．(2)①不等式5x <的解集是______________；②不等式132≥x 的解集是__________________； 【拓展探究】(3)求不等式41-+≤x 的解集．9．阅读下面材料：材料一：数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作||a ，数轴上表示数a 的点与表示数b 的点的距离记作||-a b ，如|2|x +表示数轴上表示数x 的点与表示数2-的点的距离．材料二：绝对值符号中含有未知数的不等式叫做绝对值不等式．求绝对值不等式||2x >的解集．小华同学的思路如下：根据绝对值的定义，当||2x =时，2x =±，把2-和2在数轴上分别表示为点A ，B ，如图所示，观察数轴发现，以点A ，B 为分界点把数轴分为三部分：点A 左边的点表示的数的绝对值大于2；点A ，B 之间的点表示的数的绝对值小于2；点B 右边的点表示的数的绝对值大于2因此，小华得出结论，绝对值不等式||2x >的解集为：<2x -或2x >．参照小华的思路，解决下列问题：(1)请你直接写出下列绝对值不等式的解集．①||1x >的解集是 ；②||2x <的解集是 ；(2)求绝对值不等式31410x -+的整数解；(3)直接写出绝对值不等式235x x ++->的解集是 ．答案与解析【融会贯通】1．已知不等式()()112512222x a x --->-+的解是12x <，则a ＝_______．【答案】11x -<<##11x >>-【详解】解：根据绝对值的几何意义可得：“1x <”可理解为数x 在数轴上对应的点到原点的距离小于1，不等式1x <的解集是11x -<<．3．若关于x 的不等式122334455a x x x x x ≥+++++++++有解，则a 的取值范围是__________.【知不足】1.如果｜x ｜＞3，那么x 的范围是___________【答案】3x >或3x <-【详解】解：由绝对值的意义可得：x =3或x =-3时，|x |=3，∴根据“大于取两边”即可得到｜x ｜＞3的解集为：x >3或 x <−3（如图），()()10x x x -+<【答案】x ＜-1【详解】解：当x ≥0时，|x |-x =x -x =0，于是（|x |-x ）（1+x ）=0，不满足原式，故舍去x ≥0；当x ＜0时，|x |-x =-2x ＞0，x 应当要使（|x |-x ）（1+x ）＜0，满足1+x ＜0，即x ＜-1，所以x 的取值范围是x ＜-1．3.数学实验室：A 、B 在数轴上分别表示有理数a 、b ，A 、B 两点之间的距离表示为AB ，在数轴上A 、B 两点之间的距离||AB a b =-．利用数形结合思想回答下列问题：(1)数轴上表示2和5两点之间的距离是 ；(2)数轴上表示x 和2-的两点之间的距离表示为 ；(3)若x 表示一个有理数，且31x -<<，则13x x -++＝ ；(4)若x 表示一个有理数，且13x x -++＞4，则有理数x 的取值范围是 ．【答案】(1)3(2)|2|x +(3)4(4)3x <-或1x >【详解】（1）解：2和5的两点之间的距离|52|3=-=， ∴数轴上表示2和5的两点之间的距离是3．（2）解：x 和2-的两点之间的距离为：|(2)||2|x x --=+，∴数轴上表示x 和2-的两点之间的距离表示为：|2|x +．（3）解：31x -<<，|1||3|134x x x x ∴-++=-++=．（4）解：当1x >时，原式13224x x x =-++=+>，解得，1x >，当3x <-时，原式13224x x x =-+--=-->，解得，3x <-，当31x -<<时，原式134x x =-+++=，不符合题意，故舍去，∴有理数x 的取值范围是：1x >或3x <-． 4．对于两个不相等的有理数a ，b ，我们规定∆a b 表示a ，b 中较大的数，例如，2(1)2∆-=． (1)2334⎛⎫⎛⎫-∆-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭________； (2)若||22∆=a ，则满足条件的所有整数．．a 为_________；(3)求方程31[()]2+∆-=x x x 的解． 912， ，∴满足条件的所有整，此时-x =1，不符合【一览众山小】1.若|2a ﹣6|＞6﹣2a ，则实数a 的取值范围是_____．【答案】x 0<【详解】解:x ＜-1时，-x+3+x+1＞2，4>2∴x ＜-1，-1≤x≤3时，-x+3-x-1＞2， x<0；x ＞3时，x-3-x-1＞6，不成立.3．解下列不等式：（1）|2|30x +->（2）35572x -+<4．阅读：我们知道，0a a a =⎨-<⎩于是要解不等式|3|4x -≤，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法：解：（1）当30x -≥，即3x ≥时：34x -≤解这个不等式，得：7x ≤由条件3x ≥，有：37x ≤≤（2）当30x -<，即3x <时，(3)4x --≤解这个不等式，得：1x ≥-由条件3x <，有：13x -≤<∴如图，综合（1）、（2）原不等式的解为17x -≤≤根据以上思想，请探究完成下列2个小题：（1）|1|2x +≤；（2）|2|1x -≥．【温故为师】1.我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”；数形结合是解决数学问题的重要思想方法.例如，代数式2x -的几何意义是数轴上x 所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为()+=--x 1x 1，所以1x +的几何意义就是数轴上x 所对应的点与1-所对应的点之间的距离．⑴. 发现问题：代数式12x x ++-的最小值是多少？⑵. 探究问题：如图，点,,A B P 分别表示的是-1,2,x ，3AB =．∵12x x ++-的几何意义是线段PA 与PB 的长度之和∴当点P 在线段AB 上时，+=PA PB 3;当点点P 在点A 的左侧或点B 的右侧时 +>PA PB 3 ∴12x x ++-的最小值是3．⑶.解决问题： ①.-++x 4x 2的最小值是 ；②.利用上述思想方法解不等式：314x x ++->③.当a 为何值时，代数式++-x a x 3的最小值是2．（2）2560x x -+>________．【答案】（1）-2＜x ＜3；（2）x ＜-3或-2＜x ＜2或x ＞3【详解】解：（1）当x －2＜0，x ＋1＜0，即x ＜-1时，()215--+<x x 解得：x ＞-2∴此时-2＜x ＜-1；当x －2＜0，x ＋1≥0，即-1≤x ＜2时，()215-++<x x 3＜5∴在此范围内的x 均满足题意∴-1≤x ＜2；当x －2≥0，x ＋1≥0，即x≥2时，()215-++<x x 解得：x ＜3∴此时2≤x ＜3综上：此不等式的解集为-2＜x ＜3（2）当x≥0时，2560x x -+>()()230-->x x 解得：x ＞3或x ＜2∴此时x ＞3或0≤x ＜2；当x ＜0时，2560x x ++>()()230x x ++>解得：x ＞-2或x ＜-3∴此时x ＜-3或-2＜x ＜0；综上：原不等式的解集为x ＜-3或-2＜x ＜2或x ＞3．3．阅读下面材料：小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等式（含有不等号的式子）中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式. 求绝对值不等式3x >的解集（满足不等式的所有解）.小明同学的思路如下： 先根据绝对值的定义，求出x 恰好是3时x 的值，并在数轴上表示为点A ，B ，如图所示.观察数轴发现，以点A ，B 为分界点把数轴分为三部分：点A 左边的点表示的数的绝对值大于3；点A ，B 之间的点表示的数的绝对值小于3；点B 右边的点表示的数的绝对值大于3. 因此，小明得出结论，绝对值不等式3x >的解集为：3x <-或3x >.参照小明的思路，解决下列问题：（1）请你直接写出下列绝对值不等式的解集. ①1x >的解集是 ； ② 2.5x <的解集是 .（2）求绝对值不等式359x -+>的解集.（3）直接写出不等式24x >的解集是 ． ∴|x|＞1的解集是x ＞1或x ＜-1；②令|x|=2.5，x=2.5或-2.5，如图，数轴上表示如下：∴|x|＜2.5的解集是-2.5＜x ＜2.5；（2）359x -+>，化简得34x ->，当34x -=时，x=-1或7，如图，数轴上表示如下：可知：359x -+>的解集为：x ＞7或x ＜-1；（3）不等式x 2＞4可化为|x|＞2，如图，数轴上表示如下： 可知：不等式x 2＞4的解集是 x ＞2或x ＜-2． 4．解不等式：|x －1|＋|x －3|＞4.【答案】x ＜0或x ＞4【详解】试题分析：此题是一个带绝对值的复合不等式，应分为x≤1，1＜x≤3，x ＞3，三种情况，再根据绝对值的性质化简原式，解不等式即可.试题解析：当x≤1时，原式可变形为1－x ＋3－x ＝4－2x ＞4，解得x ＜0.当1＜x≤3时，原式可变形为x －1＋3－x ＞4，得2＞4，不合题意．当x ＞3时，原式可变形为x －1＋x －3＝2x －4＞4，解得x ＞4.∴x ＜0或x ＞4.5．阅读下列材料并解答问题：我们知道x 的几何意义是在数轴上数x 对应的点与原点的距离：0x x =-，也就是说，x 表示在数轴上数x 与数0对应点之间的距离；这个结论可以推广为12x x -表示在数轴上数1x 和数2x 对应的点之间的距离；例1解方程2x =，容易看出，在数轴上与原点距离为2的点对应的数为2±，即该方程的解为2x =±．例2解不等式12x ->，如图，在数轴上找出12x -=的解，即到1的距离为2的点对应的数为1-，3，则12x ->的解集为1x <-或3x >．例3解方程125x x -++=由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与1和2-的距离之和为5的对应的x 的值.在数轴上，1和2-的距离为3，满足方程的x 对应的点在1的右边或2-的左边，若x 对应的点在1的右边，由下图可以看出2x =；同理，若x 对应的点在2-的左边，可得3x =-，故原方程的解是2x =或3x =-．回答问题：（只需直接写出答案）①解方程34x +=②解不等式34x -≥③解方程328x x -++=③328x x -++=，当<2x -时，7可理解为：数a 在数轴上对应的点到原点的距离不小于2，则：①“||2a <”可理解为___________；②请列举两个符号不同的整数，使不等式“||2a >”成立，列举的a 的值为___________和___________．我们定义：形如“||x m ≤”“||x m ≥”“||x m <”“||x m >”（m 为非负数）的不等式叫做绝对值不等式，能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为绝对值不等式的解集． （2）【理解应用】根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式．由如图可以得出：绝对值不等式||1x >的解集是1x <-或1x >，绝对值不等式||3x ≤的解集是33x -≤≤．则：①不等式4x ≥的解集是___________．②不等式1||22x <的解集是___________． （3）【拓展应用】解不等式|1||3|4x x ++-≥，并画图说明．【答案】（1）①数a 在数轴上对应的点到原点的距离小于2，②3，3-；（2）①4x ≥或4x ≤-，②44x -<<；（3）1x ≤-或3x ≥，见解析【详解】解：（1）①由题意可知||2a <可以理解为：数a 在数轴上对应的点到原点的距离小于2，②使不等式||2a >成立的整数a 有3，3-，7．先阅读，再完成练习．一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．|x|＜3．x表示到原点距离小于3的数，从如图1所示的数轴上看：大于﹣3而小于3的数，它们到原点距离小于3，所以|x|＜3的解集是﹣3＜x＜3；|x|＞3x表示到原点距离大于3的数，从如图2所示的数轴上看：小于﹣3的数和大于3的数，它们到原点距离大于3，所以|x|＞3的解集是x＜﹣3或x＞3．解答下面的问题：(1)不等式|x|＜a（a＞0）的解集为．不等式|x|＞a（a＞0）的解集为．(2)解不等式|x﹣5|＜3．(3)解不等式|x﹣3|＞5．(4)直接写出不等式|x﹣1|+|x+2|＜5的解集：．【答案】(1)﹣a＜x＜a，x＞a或x＜﹣a(2)2＜x＜8(3)x＞8或x＜﹣2(4)﹣3＜x＜2（1）解：不等式|x|＜a（a＞0）的解集为﹣a＜x＜a；不等式|x|＞a（a＞0）的解集为x＞a 或x＜﹣a．（2）解：|x﹣5|＜3，∴﹣3＜x﹣5＜3，∴2＜x＜8；（3）解：|x﹣3|＞5，∴x﹣3＞5或x﹣3＜﹣5，∴x＞8或x＜﹣2；（4）解：在数轴上找出|x﹣1|+|x+2|＝5的解．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和﹣2对应的点的距离之和等于5的点对应的x的值．∵在数轴上1和﹣2对应的点的距离为3，∴满足方程的x对应的点在1的右边或﹣2的左边．若x对应的点在1的右边，可得x＝2；若x对应的点在﹣2的左边，可得x＝﹣3，∴方程|x﹣1|+|x+2|＝5的解是x＝2或x＝﹣3，∴不等式|x﹣1|+|x+2|＜5的解集为﹣3＜x＜2，8．【阅读理解】a 的几何意义是：数a 在数轴上对应的点到原点的距离．所以，2a ≤可理解为： 数a 在数轴上对应的点到原点的距离不大于2． (1)①2a >可理解为___________________；②请列举3个不同的整数a ，使不等式2a <成立．列举的a 的值是______________； 我们定义：形如x m ≤，≥x m ，x m >，x m <（m 为非负数）的不等式称为绝对值不等式．能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为这个绝对值不等式的解集．【理解运用】根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式：由上图可得出：绝对值不等式3x ≤的解集是33x -≤≤；绝对值不等式4x >的解集是<4x -或>4x ．(2)①不等式5x <的解集是______________；②不等式132≥x 的解集是__________________； 【拓展探究】(3)求不等式41-+≤x 的解集． 3x 或12x ≤解：4x -+≤141x -+，解得3⩽x ⩽5．阅读下面材料：材料一：数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作||a ，数轴上表示数a 的点与表示数b 的点的距离记作||-a b ，如|2|x +表示数轴上表示数x 的点与表示数2-的点的距离．材料二：绝对值符号中含有未知数的不等式叫做绝对值不等式．求绝对值不等式||2x >的解集．小华同学的思路如下：根据绝对值的定义，当||2x =时，2x =±，把2-和2在数轴上分别表示为点A ，B ，如图所示，观察数轴发现，以点A ，B 为分界点把数轴分为三部分：点A 左边的点表示的数的绝对值大于2；点A ，B 之间的点表示的数的绝对值小于2；点B 右边的点表示的数的绝对值大于2因此，小华得出结论，绝对值不等式||2x >的解集为：<2x -或2x >．参照小华的思路，解决下列问题：(1)请你直接写出下列绝对值不等式的解集．①||1x >的解集是 ；②||2x <的解集是 ；(2)求绝对值不等式31410x -+的整数解；(3)直接写出绝对值不等式235x x ++->的解集是 ． 410，316x -，|1|2x -，212x ∴--，13x ∴-，∴整数解为(3)解：①当2<-时，不等式为235x x ---+>，移项、合并得<2x -；②当23x -时，不等式为235x x +-+>，移项、合并得3>时，不等式为235x x ++->，移项、合并得26x >，系数化为不等式的解集是<2x -或3，。

一元一次方程的解法（提高）知识讲解【学习目标】1. 熟悉解一元一次方程的一般步骤，理解每步变形的依据；2. 掌握一元一次方程的解法，体会解法中蕴涵的化归思想；3. 进一步熟练掌握在列方程时确定等量关系的方法. 【要点梳理】要点诠释：（1）解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的顺序，有些步骤可以合并简化．(2) 去括号一般按由内向外的顺序进行，也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行. （3）当方程中含有小数或分数形式的分母时，一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去分母，注意去分母的依据是等式的性质，而分母化整的依据是分数的性质，两者不要混淆．要点二、解特殊的一元一次方程1.含绝对值的一元一次方程解此类方程关键要把绝对值化去，使之成为一般的一元一次方程，化去绝对值的依据是绝对值的意义．要点诠释：此类问题一般先把方程化为ax b c +=的形式，再分类讨论：(1)当0c <时，无解；（2）当0c =时，原方程化为：0ax b +=；（3）当0c >时，原方程可化为：ax b c +=或ax b c +=-. 2.含字母的一元一次方程此类方程一般先化为最简形式ax ＝b ，再分三种情况分类讨论： （1）当a ≠0时，b x a=；（2）当a ＝0，b ＝0时，x 为任意有理数；（3）当a ＝0，b ≠0时，方程无解． 【典型例题】类型一、解较简单的一元一次方程1．关于x的方程2x﹣4=3m和x+2=m有相同的解，则m的值是（）A.10 B.-8 C.-10 D.8【答案】B．【解析】解：由2x﹣4=3m得：x=；由x+2=m得：x=m﹣2由题意知=m﹣2解之得：m=﹣8．【总结升华】根据题目给出的条件，列出方程组，便可求出未知数．举一反三：【变式】下列方程的解法对不对?如果不对，错在哪里?应当怎样改正?3x+2＝7x+5解：移项得3x+7x＝2+5，合并得10x＝7．，系数化为1得710x=．【答案】以上的解法是错误的，其错误的原因是在移项时没有变号，也就是说将方程中右边的7x移到方程左边应变为-7x，方程左边的2移到方程右边应变为-2．正确解法：解：移项得3x-7x＝5-2，合并得-4x＝3，系数化为1得34x=-．类型二、去括号解一元一次方程2. 解方程：112 [(1)](1) 223x x x--=-．【答案与解析】解法1：先去小括号得：11122[]22233x x x-+=-．再去中括号得：1112224433x x x-+=-．移项，合并得：5111212x-=-．系数化为1，得：115x=．解法2：两边均乘以2，去中括号得：14(1)(1)23x x x--=-．去小括号，并移项合并得：51166x-=-，解得：115x=．解法3：原方程可化为：112 [(1)1(1)](1) 223x x x-+--=-．去中括号，得1112(1)(1)(1) 2243x x x-+--=-．移项、合并，得51(1)122x--=-．解得115x=．【总结升华】解含有括号的一元一次方程时，一般方法是由内到外或由外到内逐层去括号，但有时根据方程的结构特点，灵活恰当地去括号，以使计算简便．例如本题的方法3：方程左、右两边都含(x-1)，因此将方程左边括号内的一项x变为(x-1)后，把(x-1)视为一个整体运算．3．解方程：111111110 2222x⎧⎫⎡⎤⎛⎫----=⎨⎬⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭．【答案与解析】解法1：(层层去括号)去小括号11111110 2242x⎧⎫⎡⎤----=⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭．去中括号1111110 2842x⎧⎫----=⎨⎬⎩⎭．去大括号111110 16842x----=．移项、合并同类项，得115168x=，系数化为1，得x＝30．解法2：(层层去分母)移项，得11111111 2222x⎧⎫⎡⎤⎛⎫---=⎨⎬⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭．两边都乘2，得1111112 222x⎡⎤⎛⎫---=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．移项，得111113 222x⎡⎤⎛⎫--=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．两边都乘2，得11116 22x⎛⎫--=⎪⎝⎭．移项，得111722x⎛⎫-=⎪⎝⎭，两边都乘2，得11142x-=．移项，得1152x=，系数化为1，得x＝30．【总结升华】此题既可以按去括号的思路做，也可以按去分母的思路做．举一反三：【变式】解方程11111641 2345x⎧⎫⎡⎤⎛⎫--+=⎨⎬⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭．【答案】解：方程两边同乘2，得1111642 345x⎡⎤⎛⎫--+=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．移项、合并同类项，得111162 345x⎡⎤⎛⎫--=-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．两边同乘以3，得11166 45x⎛⎫--=-⎪⎝⎭．移项、合并同类项，得1110 45x⎛⎫-=⎪⎝⎭．两边同乘以4，得110 5x-=．移项，得115x=，系数化为1，得x＝5．类型三、解含分母的一元一次方程4．（2016春•淅川县期中）解方程﹣=．【思路点拨】方程整理后，去分母，去括号，移项合并同类项，把x系数化为1，即可求出解．【答案与解析】解：原方程可化为6x﹣=，两边同乘以6，得36x﹣21x=5x﹣7，移项合并，得10x=-7解得：x=﹣0.7．【总结升华】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解．举一反三：【变式】解方程0.40.90.30.210.50.3y y++-=．【答案】解：原方程可化为49321 53y y++-=．去分母，得3(4y+9)-5(3+2y)＝15．去括号，得12y+27-15-10y＝15．移项、合并同类项，得2y＝3．系数化为1，得32y =． 类型四、解含绝对值的方程5．解方程：3|2x|-2＝0 ．【思路点拨】将绝对值里面的式子看作整体，先求出整体的值，再求x 的值． 【答案与解析】解：原方程可化为：223x = ． 当x ≥0时，得223x =，解得：13x =， 当x ＜0时，得223x -=，解得：13x =-，所以原方程的解是x ＝13或x ＝13-．【总结升华】此类问题一般先把方程化为ax b c +=的形式，再根据（ax b +）的正负分类讨论，注意不要漏解．举一反三：【变式】（2014秋•故城县期末）已知关于x 的方程mx+2=2（m ﹣x ）的解满足方程|x ﹣|=0，则m 的值为（ ）A. B. 2 C.D.3【答案】B解：∵|x﹣|=0，∴x=，把x 代入方程mx+2=2（m ﹣x ）得：m+2=2（m ﹣）， 解之得：m=2.类型五、解含字母系数的方程6. 解关于x 的方程：1mx nx -= 【答案与解析】解：原方程可化为：()1m n x -=当0m n -≠，即m n ≠时，方程有唯一解为：1x m n=-； 当0m n -=，即m n =时，方程无解．【总结升华】解含字母系数的方程时，先化为最简形式ax b =，再根据x 系数a 是否为零进行分类讨论．【高清课堂：一元一次方程的解法388407解含字母系数的方程】 举一反三：【变式】若关于x 的方程(k-4)x =6有正整数解，求自然数k 的值.【答案】解：∵原方程有解，∴40k-≠原方程的解为：64xk=-为正整数，∴4k-应为6的正约数，即4k-可为：1，2，3，6∴k为：5，6，7，10答：自然数k的值为：5，6，7，10.附录资料：方程的意义（基础）知识讲解【学习目标】1．正确理解方程的概念，并掌握方程、等式及算式的区别与联系；2. 正确理解一元一次方程的概念，并会判断方程是否是一元一次方程及一个数是否是方程的解；3. 理解并掌握等式的两个基本性质.【要点梳理】【高清课堂：从算式到方程一、方程的有关概念】要点一、方程的有关概念1．定义：含有未知数的等式叫做方程.要点诠释：判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.是含有未知数．2．方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解.要点诠释：判断一个数（或一组数）是否是某方程的解，只需看两点：①.它（或它们）是方程中未知数的值；②将它（或它们）分别代入方程的左边和右边，若左边等于右边，则它们是方程的解，否则不是．3．解方程：求方程的解的过程叫做解方程.4．方程的两个特征：（1）.方程是等式；（2）.方程中必须含有字母（或未知数）.【高清课堂：从算式到方程二、一元一次方程的有关概念】要点二、一元一次方程的有关概念定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程.要点诠释：“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件：①首先是一个方程;②其次是必须只含有一个未知数;③未知数的指数是1;④分母中不含有未知数．【高清课堂：从算式到方程三、解方程的依据——等式的性质】要点三、等式的性质1．等式的概念：用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等式.2．等式的性质：等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.即：如果，那么 (c为一个数或一个式子) .等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.即：如果，那么；如果，那么.要点诠释：（1）根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形； (2) 等式性质1中，强调的是整式，如果在等式两边同加的不是整式，那么变形后的等式不一定成立，如x＝0中，两边加上得x＋，这个等式不成立;(3) 等式的性质2中等式两边都除以同一个数时，这个除数不能为零．【典型例题】类型一、方程的概念1．下列各式哪些是方程？①3x-2＝7；②4+8＝12；③3x-6；④2m-3n＝0；⑤3x2-2x-1＝0；⑥x+2≠3；⑦251x=+；⑧28553x x-=．【答案与解析】解：②虽是等式，但不含未知数；③不是等式；⑥表示不等关系，故②、③、⑥均不符合方程的概念．①、④、⑤、⑦、⑧符合方程的定义，所以方程有：①、④、⑤、⑦、⑧．【总结升华】方程的判断必须看两点，一个是等式，二是含有未知数．当然未知数的个数可以是一个，也可以是多个．举一反三：【变式】下列四个式子中，是方程的是（）A. 3+2=5B. x=1C. 2x﹣3＜0D. a2+2ab+b2 【答案】B．2．（2015春•孟津县期中）下列方程中，以x=2为解的方程是（）A. 4x﹣1=3x+2B. 4x+8=3（x+1）+1C. 5（x+1）=4（x+2）﹣1D. x+4=3（2x﹣1）【答案】C．【总结升华】检验一个数是不是方程的解，根据方程解的概念，只需将所给字母的值分别代入方程的左右两边，若两边的值相等，则这个数就是此方程的解，否则不是．举一反三：【变式】下列方程中，解是x=3的是( )A．x+1＝4 B．2x+1＝3 C．2x-1＝2 D．217 3x+=类型二、一元一次方程的相关概念3．（2016春•南江县期末）在下列方程中①x 2+2x=1，②﹣3x=9，③x=0，④3﹣=2，⑤=y+是一元一次方程的有（ ）个．A ．1B ．2C ．3D ．4【思路点拨】根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1次的整式方程，可以逐一判断. 【答案】B.【解析】解：①x 2+2x=1，是一元二次方程；②﹣3x=9，是分式方程；③x=0，是一元一次方程；④3﹣=2，是等式，不是方程；⑤=y+是一元一次方程；一元一次方程的有2个，故选：B ． 【总结升华】本题考查了一元一次方程的定义，解决本题的关键是熟记一元一次方程的定义．举一反三：【变式】下列方程中是一元一次方程的是__________（只填序号）． ①2x-1＝4；②x ＝0；③ax ＝b ；④151x-=-． 【答案】①②.类型三、等式的性质4．用适当的数或整式填空，使所得的结果仍为等式，并说明根据等式的哪一条性质，以及怎样变形得到的． (1)如果41153x -=，那么453x =+________； (2)如果ax+by ＝-c ，那么ax ＝-c +________； (3)如果4334t -=，那么t ＝________． 【答案与解析】解： (1). 11；根据等式的性质1，等式两边都加上11； (2).（-by ）； 根据等式的性质1，等式两边都加上-by ； (3).916-； 根据等式的性质2，等式两边都乘以34-． 【总结升华】先从不需填空的一边入手，比较这一边是怎样变形的，再根据等式的性质，对另一边也进行同样的变形．举一反三：【变式】下列说法正确的是( )．A ．在等式ab ＝ac 两边都除以a ，可得b ＝c.B ．在等式a ＝b 两边除以c 2+1，可得2211a bc c =++. C ．在等式b ca a=两边都除以a ，可得b ＝c.D．在等式2x＝2a-b两边都除以2，可得x＝a-b.【答案】B.类型四、设未知数列方程5．根据问题设未知数并列出方程：一次考试共有25道选择题，做对一道得4分，做错或不做一道倒扣1分．若小明想考80分，他要做对多少道题？【答案与解析】解：设小明要做对x道题，则有(25-x)道做错或没做的题，依题意有：4x-(25-x)×1＝80．可以采用列表法探究其解显然，当x＝21时，4x-(25-x)×1＝80．所以小明要做对21道题．【总结升华】根据题意设出合适的未知量，并根据等量关系列出含有未知量的等式．举一反三：【变式】根据下列条件列出方程．(l)x的5倍比x的相反数大10；(2)某数的34比它的倒数小4；(3)甲、乙两人从学校到公园，走这段路甲用20分钟，乙用30分钟，如果乙比甲早5分钟出发，问甲用多少时间追上乙？【答案】(1)5x-(-x)＝10；(2)设某数为x，则1344xx-=；(3)设甲用x分钟追上乙，由题意得11(5)3020x x+=．。

一元一次方程的解法（提高）知识讲解【学习目标】1. 熟悉解一元一次方程的一般步骤，理解每步变形的依据；2. 掌握一元一次方程的解法，体会解法中蕴涵的化归思想；3. 进一步熟练掌握在列方程时确定等量关系的方法.【要点梳理】要点一、解一元一次方程的一般步骤变形名称 具体做法 注意事项去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 (1)不要漏乘不含分母的项 (2)分子是一个整体的，去分母后应加上括号去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 (1)不要漏乘括号里的项 (2)不要弄错符号移项 把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(记住移项要变号)(1)移项要变号 (2)不要丢项 合并同类项把方程化成ax ＝b(a ≠0)的形式 字母及其指数不变 系数化成1 在方程两边都除以未知数的系数a ，得到方程的解b x a=． 不要把分子、分母写颠倒 要点诠释：（1）解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的顺序，有些步骤可以合并简化．(2) 去括号一般按由内向外的顺序进行，也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行.（3）当方程中含有小数或分数形式的分母时，一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去分母，注意去分母的依据是等式的性质，而分母化整的依据是分数的性质，两者不要混淆． 要点二、解特殊的一元一次方程1.含绝对值的一元一次方程解此类方程关键要把绝对值化去，使之成为一般的一元一次方程，化去绝对值的依据是绝对值的意义．要点诠释：此类问题一般先把方程化为ax b c +=的形式，再分类讨论：(1)当0c <时，无解；（2）当0c =时，原方程化为：0ax b +=；（3）当0c >时，原方程可化为：ax b c +=或ax b c +=-.2.含字母的一元一次方程此类方程一般先化为最简形式ax ＝b ，再分三种情况分类讨论：（1）当a ≠0时，b x a=；（2）当a ＝0，b ＝0时，x 为任意有理数；（3）当a ＝0，b ≠0时，方程无解．【典型例题】 类型一、解较简单的一元一次方程1．（2014秋•新洲区期末）关于x的方程2x﹣4=3m和x+2=m有相同的解，则m的值是（）A.10B.-8C.-10D.8【答案】B．【解析】解：由2x﹣4=3m得：x=；由x+2=m得：x=m﹣2由题意知=m﹣2解之得：m=﹣8．【总结升华】根据题目给出的条件，列出方程组，便可求出未知数．举一反三：【变式】下列方程的解法对不对?如果不对，错在哪里?应当怎样改正?3x+2＝7x+5解：移项得3x+7x＝2+5，合并得10x＝7．，系数化为1得710x=．【答案】以上的解法是错误的，其错误的原因是在移项时没有变号，也就是说将方程中右边的7x移到方程左边应变为-7x，方程左边的2移到方程右边应变为-2．正确解法：解：移项得3x-7x＝5-2，合并得-4x＝3，系数化为1得34x=-．类型二、去括号解一元一次方程2. 解方程：112 [(1)](1) 223x x x--=-．【答案与解析】解法1：先去小括号得：11122[]22233x x x-+=-．再去中括号得：1112224433x x x-+=-．移项，合并得：5111212x-=-．系数化为1，得：115x=．解法2：两边均乘以2，去中括号得：14(1)(1)23x x x--=-．去小括号，并移项合并得：51166x-=-，解得：115x=．解法3：原方程可化为：112 [(1)1(1)](1) 223x x x-+--=-．去中括号，得1112(1)(1)(1) 2243x x x-+--=-．移项、合并，得51(1)122x--=-．解得115x=．【总结升华】解含有括号的一元一次方程时，一般方法是由内到外或由外到内逐层去括号，但有时根据方程的结构特点，灵活恰当地去括号，以使计算简便．例如本题的方法3：方程左、右两边都含(x-1)，因此将方程左边括号内的一项x变为(x-1)后，把(x-1)视为一个整体运算．3．解方程：111111110 2222x⎧⎫⎡⎤⎛⎫----=⎨⎬⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭．【答案与解析】解法1：(层层去括号)去小括号11111110 2242x⎧⎫⎡⎤----=⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭．去中括号1111110 2842x⎧⎫----=⎨⎬⎩⎭．去大括号111110 16842x----=．移项、合并同类项，得115168x=，系数化为1，得x＝30．解法2：(层层去分母)移项，得11111111 2222x⎧⎫⎡⎤⎛⎫---=⎨⎬⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭．两边都乘2，得1111112 222x⎡⎤⎛⎫---=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．移项，得111113 222x⎡⎤⎛⎫--=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．两边都乘2，得11116 22x⎛⎫--=⎪⎝⎭．移项，得111722x⎛⎫-=⎪⎝⎭，两边都乘2，得11142x-=．移项，得1152x=，系数化为1，得x＝30．【总结升华】此题既可以按去括号的思路做，也可以按去分母的思路做．举一反三：【变式】解方程11111641 2345x⎧⎫⎡⎤⎛⎫--+=⎨⎬⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭．【答案】解：方程两边同乘2，得1111642 345x⎡⎤⎛⎫--+=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．移项、合并同类项，得111162 345x⎡⎤⎛⎫--=-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．两边同乘以3，得11166 45x⎛⎫--=-⎪⎝⎭．移项、合并同类项，得1110 45x⎛⎫-=⎪⎝⎭．两边同乘以4，得110 5x-=．移项，得115x=，系数化为1，得x＝5．类型三、解含分母的一元一次方程4．（2016春•淅川县期中）解方程﹣=．【思路点拨】方程整理后，去分母，去括号，移项合并同类项，把x系数化为1，即可求出解．【答案与解析】解：原方程可化为6x﹣=，两边同乘以6，得36x﹣21x=5x﹣7，移项合并，得10x=-7解得：x=﹣0.7．【总结升华】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解．举一反三：【变式】解方程0.40.90.30.210.50.3y y++-=．【答案】解：原方程可化为49321 53y y++-=．去分母，得3(4y+9)-5(3+2y)＝15．去括号，得12y+27-15-10y＝15．移项、合并同类项，得2y＝3．系数化为1，得32y =． 类型四、解含绝对值的方程 5．解方程：3|2x|-2＝0 ． 【思路点拨】将绝对值里面的式子看作整体，先求出整体的值，再求x 的值．【答案与解析】 解：原方程可化为：223x =． 当x ≥0时，得223x =，解得：13x =， 当x ＜0时，得223x -=，解得：13x =-， 所以原方程的解是x ＝13或x ＝13-． 【总结升华】此类问题一般先把方程化为ax b c +=的形式，再根据（ax b +）的正负分类讨论，注意不要漏解．举一反三：【变式】（2014秋•故城县期末）已知关于x 的方程mx+2=2（m ﹣x ）的解满足方程|x ﹣|=0，则m 的值为（ ）A. B. 2 C.D.3【答案】B解：∵|x﹣|=0，∴x=，把x 代入方程mx+2=2（m ﹣x ）得：m+2=2（m ﹣），解之得：m=2. 类型五、解含字母系数的方程6. 解关于x 的方程：1mx nx -=【答案与解析】解：原方程可化为：()1m n x -=当0m n -≠，即m n ≠时，方程有唯一解为：1x m n=-； 当0m n -=，即m n =时，方程无解．【总结升华】解含字母系数的方程时，先化为最简形式ax b =，再根据x 系数a 是否为零进行分类讨论．举一反三：【变式】若关于x 的方程(k-4)x =6有正整数解，求自然数k 的值.【答案】解：∵原方程有解，∴40k-≠原方程的解为：64xk=-为正整数，∴4k-应为6的正约数，即4k-可为：1，2，3，6∴k为：5，6，7，10答：自然数k的值为：5，6，7，10.。

绝对值邂逅一次方程模型①c=+b ax 1、解方程：4x -2=333-=+x 2、244-23=x 112-x 72=+ 2122-x 3-=+711-x 2-=+3、已知关于x 的方程有两个解，求a 的取值范围。

a 43-23=+x 模型②dcx +=+b ax 1、2x 1=-x 1x 1-2+=x 2、63x 3-4+=x 5-765x x x =++1x 23=-+x多重绝对值方程怕不怕1.解方程：34-2-x =2.解方程：32-x -2=3.已知满足的x 有2个，求a 的取值范围。

a 1-2-x =多个绝对值方程怕不怕1.____x ,64x 2-x 的取值范围是则已知=++2.____,842-==++x x x 则已知3.____x ,54--3==+则已知x x 4.____x ,74--3的取值范围为则已知-=+x x5.。

____x ,74-232的取值范围是则已知=++x x 6.个。

的整数解共有_____127x 25-x 2=++7.个。

的值的个数有的整数符合_____81-2-72x x x =+含绝对值的方程组1.已知，则x=___，y=_____6y x ,12y x =+=+2.____y x ,12y -y x 10,y x x =+=+=++则3.已知|x|+|y|=7,2|x|-3|y|=-1,则x+y=______。

4.已知|x-1|+|y-2|=6,|x-1|=2y-4,则x+y=________.5.已知x-y=4,|x|+|y|=7,求x,y 的值。

6.已知3a-2|b|=5,4|a|-6a=3b,则a 2+b 2=______数形结合突破绝对值1.已知，求y 的取值范围。

2-x 1-x +=y 2.当a 满足什么条件时，方程分别有2个解？无解？无数解？a 2-x 1-x =+3.已知，求y 的取值范围。

2-x -1-x =y 4.当a 满足什么条件时，方程分别有1个解？无解？无数解？a 2-x -1-x =5.____m m 5-x 4x 3-x 2x 1-x 的最大值为，恒成立，则若≥++++++6.____y x ,4x 3-x 2-1x y 的取值范围是可以取所有实数，则且已知+++=小结：解含绝对值的二元一次方程组时，分类讨论是万能的，但不到万不得已不要轻易用，杀敌一千自损八百。

一元一次方程的解法（基础）知识讲解撰稿：孙景艳 审稿：赵炜【学习目标】1. 熟悉解一元一次方程的一般步骤，理解每步变形的依据；2. 掌握一元一次方程的解法，体会解法中蕴涵的化归思想；3. 进一步熟练掌握在列方程时确定等量关系的方法.【要点梳理】要点一、解一元一次方程的一般步骤变形名称 具体做法 注意事项去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 (1)不要漏乘不含分母的项 (2)分子是一个整体的，去分母后应加上括号去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 (1)不要漏乘括号里的项 (2)不要弄错符号移项 把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(记住移项要变号)(1)移项要变号 (2)不要丢项 合并同类项把方程化成ax ＝b (a ≠0)的形式 字母及其指数不变 系数化成1 在方程两边都除以未知数的系数a ，得到方程的解b x a=． 不要把分子、分母写颠倒 要点诠释：（1）解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的顺序，有些步骤可以合并简化．(2) 去括号一般按由内向外的顺序进行，也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行.（3）当方程中含有小数或分数形式的分母时，一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去分母，注意去分母的依据是等式的性质，而分母化整的依据是分数的性质，两者不要混淆． 要点二、解特殊的一元一次方程1.含绝对值的一元一次方程解此类方程关键要把绝对值化去，使之成为一般的一元一次方程，化去绝对值的依据是绝对值的意义．要点诠释：此类问题一般先把方程化为ax b c +=的形式，再分类讨论：(1)当0c <时，无解；（2）当0c =时，原方程化为：0ax b +=；（3）当0c >时，原方程可化为：ax b c +=或ax b c +=-.2.含字母的一元一次方程此类方程一般先化为一元一次方程的最简形式ax ＝b ，再分三种情况分类讨论：（1）当a ≠0时，b x a=；（2）当a ＝0，b ＝0时，x 为任意有理数；（3）当a ＝0，b ≠0时，方程无解．【典型例题】 类型一、解较简单的一元一次方程1．解下列方程(1)345m m -=- (2)-5x+6+7x ＝1+2x -3+8x 【答案与解析】 解：(1)移项，得345m m -+=-．合并，得245m =-．系数化为1，得m ＝-10． (2)移项，得-5x+7x -2x -8x ＝1-3-6．合并，得-8x ＝-8．系数化为1，得x ＝1．【总结升华】方法规律：解较简单的一元一次方程的一般步骤：(1)移项：即通过移项把含有未知数的项放在等式的左边，把不含未知数的项(常数项)放在等式的右边．(2)合并：即通过合并将方程化为ax ＝b (a ≠0)的形式．(3)系数化为1：即根据等式性质2：方程两边都除以未知数系数a ，即得方程的解b x a =． 举一反三：【变式】下列方程变形正确的是( )．A ．由2x -3＝-x -4，得2x+x ＝-4-3B ．由x+3＝2-4x ，得5x ＝5C ．由2332x -=，得x ＝-1 D ．由3＝x -2，得-x ＝-2-3【答案】D类型二、去括号解一元一次方程【高清课堂：一元一次方程的解法388407去括号解一元一次方程】2．解方程：【思路点拨】方程中含有括号，应先去括号再移项、合并、系数化为1，从而解出方程．【答案与解析】（1）去括号得：42107x x +=+移项合并得：65x -=解得：56x =- （2）去括号得：32226x x --=-移项合并得：47x -=-解得：74x = 【总结升华】去括号时，要注意括号前面的符号，括号前面是“+”号，不变号；括号前面是“-”，各项均变号．举一反三：【变式】（四川乐山）解方程： 5(x -5)+2x ＝-4．【答案】解： 去括号得：5x -25+2x ＝-4．移项合并得： 7x ＝21．()()1221107x x +=+()()()232123x x -+=-解得： x ＝3．类型三、解含分母的一元一次方程3．解方程：4343431623x x x +++++=． 【答案与解析】解法1：去分母，得(4x+3)+3(4x+3)+2(4x+3)＝6．去括号，得4x+3+12x+9+8x+6＝6．移项合并，得24x ＝-12，系数化为1，得12x =-． 解法2：将“4x+3”看作整体，直接合并，得6(4x+3)＝6，即4x+3＝1，移项，得4x ＝-2，系数化为1，得12x =-． 【总结升华】对于解法l ：(1)去分母时，“1”不要漏乘分母的最小公倍数“6”；(2)注意适时添括号3(4x+3)防止出现3×4x+3．对于解法2：先将“4x+3”看作一个整体来解，最后求x ．举一反三：【高清课堂：一元一次方程的解法388407 解含分母的一元一次方程】【变式】22511346x x x -+--=- 【答案】解：去分母得：4(2)3(25)2(1)12x x x --+=--去括号得：486152212x x x ---=--合并同类项，得：49x -=系数化为1，得94x =-． 类型四、解较复杂的一元一次方程 4．解方程：0.170.210.70.03x x --= 【思路点拨】先将方程中的小数化成整数，再去分母，这样可避免小数运算带来的失误． 【答案与解析】原方程可以化成：101720173x x --=． 去分母，得：30x -7(17-20x )＝21．去括号、移项、合并同类项，得：170x ＝140．系数化成1，得：1417x =． 【总结升华】解此题的第一步是利用分数基本性质把分母、分子同时扩大相同的倍数，以使分母化整，与去分母方程两边都乘以分母的最小公倍数要区分开．5. 解方程：112 [(1)](1) 223x x x--=-【答案与解析】解法1：先去小括号得：11122()22233x x x-+=-再去中括号得：1112224433x x x-+=-移项，合并得：5111212x-=-系数化为1，得：115x=解法2：两边均乘以2，去中括号得：14(1)(1)23x x x--=-去小括号，并移项合并得：51166x-=-，解得：115x=解法3：原方程可化为：112 [(1)1(1)](1) 223x x x-+--=-去中括号，得1112 (1)(1)(1) 2243x x x-+--=-移项、合并，得51(1)122x--=-解得115 x=【总结升华】解含有括号的一元一次方程时，一般方法是由里到外或由外到内逐层去括号，但有时根据方程的结构特点，灵活恰当地去括号，以使计算简便．例如本题的方法3：方程左、右两边都含(x-1)，因此将方程左边括号内的一项x变为(x-1)后，把(x-1)视为一个整体运算．举一反三：【变式】32[(1)2]2 234xx---=【答案】解：去中括号得：3(1)22 42xx--⨯-=去小括号，移项合并得：364x-=，解得x＝-8类型五、解含绝对值的方程6．解方程|x|-2＝0【答案与解析】解：原方程可化为：2x=当x≥0时，得x=2，当x＜0时，得-x=2，即，x＝-2．所以原方程的解是x＝2或x＝-2．的形式，再根据ax的正负分类讨论，注意【总结升华】此类问题一般先把方程化为ax b不要漏解．。

解含绝对值的一元一次方程--分类讨论【知识点】
去掉绝对值符号将方程转化为两个一元一次方程去解决
x+=
243
x+=-
x+或243
24
【练习题】
1.先阅读下面的解题过程，再解决问题
解方程：|x＋3|＝2.
解：当x＋3≥0时，原方程可化为x＋3＝2，
解得x＝－1；
当x＋3＜0时，原方程可化为x＋3＝－2，
解得x＝－5.
所以原方程的解是x＝－1或x＝－5
(1)解方程：|3x－1|－5＝0
(2)探究：当b为何值时，方程|x－2|＝b，①无解；①只有一个解；①有两个解
2.若45
x-=，求x的值3.若21
x-=，求x的值4.若31
x-=，求x的值5.若76
x-=，求x的值6.若12
x-=，求x的值7.若235
x+=，求x的值
8. 若33x x +=-，求x 的值
9. 若26x x -=-，求x 的值
10. 若43x x -=-，求x 的值
11. 若15x x +=-，求x 的值
12. 若111542x x +=
-，求x 的值
13. 若()23143x x +=--+，求x 的值
答案
1.2或4
；因为|x－2|≥0，所以：①当b＜0时，方程无解；②当b＝0时，方
3
程只有一个解；③当b＞0时，方程有两个解
2.-1或9
3.1或3
4.4或2
5.1或13
6.3或-1
7.1或﹣4
8.0
9.4
10.7
2
11.2
12.24或16
3
13.24或6
5。

几种类型的一元一次方程的解法 解一元一次方程时，一般按照“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1”等步骤来进行，但是对于某些特殊类型的一元一次方程，需根据实际情况来进行求解.下面分类举例说明.一、含绝对值的方程的解法解含有绝对值符号的一元一次方程的基本思路就是去掉绝对值符号.转化为一般方程来求解.常用的转化方法有以下几种：（一）、对于最简绝对值方程，依据绝对值的定义，去掉绝对值符号，化为两个一元一次方程分别解之，即：若||x a = ，则x a =± .例1.（2001年湖南常德中考题）已知|31|2x -=，则x =（ ）.（A ）1 （B ）－13 （C ）1或－13（D ）无解 解：由绝对值的定义，得312312x x -=-=-或，分别解得113x x ==-或，故选（C ）. 例2.（1996年“希望杯”赛题）若||,x a =则||x a -=（ ）.（A ）0或2a （B ）x a - （C ）a x - （D ）0 解：由绝对值的定义，得x a =±，分别代入||x a -中得： 当x a =时，||0x a -=；当x a =-时，||2x a a -=.故选（A ）. 例 3.（2001年重庆市竞赛题）若|20002000|202000x +=⨯.则x 等于（ ）.（A ）20或－21 （B ）－20或21（C ）－19或21 （D ）19或－21 解：由绝对值的定义，得|20002000|202000x +=±⨯，分别解得1921x x ==-或.故选（D ）.同步练习：1.（1997年四川省初中数学竞赛题）方程|5|25x x -+=-的根是_________.2.（2000年山东省初中数学竞赛题）已知关于x 的方程22()mx m x +=-的解满足1||102x --=，则x 的值是（ ）.（A ）10或25 （B ）10或－25（C ）－10或25 （D ）－10或－253.（2000年重庆市初中数学竞赛题）方程|56|65x x +=-的解是_________.答案：1.x =－10；2.（C ）；3.11x = .（二）、对于含有双重或多重绝对值符号的较复杂的绝对值方程，可用零点分段法分类讨论转化为最简绝对值方程来解.例4.（“迎春杯”竞赛题）解方程|3||1|1x x x +--=+ 分析与解：（1）定零点令x ＋3＝0，x －1＝0.解得x ＝－3，x ＝1.（2）对x 的取值分段讨论以－3，1为界将数轴分为三段，即x ≤－3，－3＜x ≤1，x ＞1.（3）分别在每一段上讨论当x ≤－3时，－x －3＋x －1＝x ＋1，解得x ＝－5.当－3＜x ≤1时，x ＋3＋x －1＝x ＋1，解得x ＝－1.当x ＞1时，x ＋3－x ＋1＝x ＋1，解得x ＝3.同步练习：1.（2000年“希望杯”竞赛题）若0a <，则200011||a a+等于（ ）.（A ）2007a （B ）－2007a （C ）－1989a （D ）1989a2.（“江汉杯”竞赛题）方程|1||99||2|1992x x x +++++=共有（）个解.（A）4 （B）3 （C）2 （D）1答案：1.（D）；2.（C）.（三）、对于某些特殊的绝对值方程，还可借助数轴用绝对值的几何意义求解.例5.（第11届“希望杯”竞赛题）适合|27||21|8++-=a a的整数的值的个数有（）.（A）5 （B）4 （C）3 （D）2解：由已知知，即在数轴上表示2a的点到－7和＋1的点的距离的和等于8，所以2a表示－7到＋1之间的偶数，有－6、－4、－2、0四个.故选（B）.例 6.（1999年武汉市竞赛题）若0,0><则使a b-+-=-成立的的取值范围是_______.x a x b a b||||解：||-表示数x和b的x bx a-表示数x和a的点的距离，||点的距离，a－b表示a、b的点的距离，可知，表示x的点应位于表示a、b的两点之间.故b≤x≤a即为所求的x的取值范围.同步练习：1.（1998年“希望杯”竞赛题）适合关系式|34||32|6-++=x x的整数的值是（）.（A）0 （B）1 （C）2 （D）大于2的自然数2.（“祖冲之杯”竞赛题）解方程x x-+-=：.|1||5|4答案：1.（C）；2.1≤x≤5.二、含字母系数的一元一次方程一个一元一次方程中，除了未知数以外，还有其它字母的方程叫做含有字母系数的方程，那么，这类方程怎样解呢？含字母系数的一元一次方程总可化为ax b=的形式.其方程的解由a b、的取值范围确定或对解方、的取值范围确定，当字母a b程的过程并未产生实质性的影响时，其解法同数字系数的一元一次方程一样；当字母a b、的取值范围围给出时，则需讨论解的情况.例7.解下列关于的方程：()()()(0)cx b c x a b x b a x a c--=---+≠.分析：这个方程中除了字母x外，还有字母a b c、、，由于说明是关于x的方程，应视为x未知数，a b c、、为已知数，故去括号，移项，合并同类项等整理时都要以x为未知数进行.例8.解关于x的方程：.分析：这个方程仍然以x为未知数，看作已知数来解.同步练习：解关于的方程.答案：11 xa =-.。

含绝对值符号的一元一次方程习题附答案1.已知|2-x|=4，则x的值是？解：|2-x|=4，分两种情况讨论：当2-x≥0时，有2-x=4，解得x=-2；当2-x<0时，有-(2-x)=4，解得x=-6.综上所述，x的值为-2或-6，选项C。

2.已知关于x的方程|5x-4|+a=0无解，|4x-3|+b=0有两个解，|3x-2|+c=0只有一个解，则化简|a-c|+|c-b|-|a-b|的结果是？解：首先，|5x-4|+a=0无解，说明|5x-4|≠0，即5x-4≠0，解得x≠4/5；其次，|4x-3|+b=0有两个解，说明|4x-3|=0，即4x-3=0，解得x=3/4；最后，|3x-2|+c=0只有一个解，说明|3x-2|=0，即3x-2=0，解得x=2/3.将x≠4/5，x=3/4，x=2/3代入|a-c|+|c-b|-|a-b|中，得到|a-c|+|c-b|-|a-b|=|a-0|+|0-b|-|a-b|=|a-b|-|a-b|=0，选项D。

3.方程|3x|+|x-2|=4的解的个数是？解：分两种情况讨论：当x≥0时，有3x+x-2=4，解得x=1；当x<0时，有-3x+x-2=4，解得x=-2/4=-1/2.综上所述，方程|3x|+|x-2|=4的解有两个，即x=1或x=-1/2，选项C。

4.已知关于x的方程mx+2=2(m-x)的解满足方程|x-|=0，则m的值为？解：由于|x-|=0，说明x=0，代入方程mx+2=2(m-x)中，得到2m+2=0，解得m=-1，选项A。

5.方程|2x-6|=0的解是？解：|2x-6|=0，说明2x-6=0，解得x=3，选项A。

6.若|x-1|=3，则x=？解：分两种情况讨论：当x-1≥0时，有x-1=3，解得x=4；当x-1<0时，有-(x-1)=3，解得x=-2.综上所述，x的值为4或-2，选项C。

7.方程|2x-1|=4x+5的解是？解：分两种情况讨论：当2x-1≥0时，有2x-1=4x+5，解得x=-3；当2x-1<0时，有-(2x-1)=4x+5，解得x=3/2.综上所述，方程|2x-1|=4x+5的解为x=-3或x=3/2，选项A。

(1)1x | = 7；(2) 5 | x | = 10; (3) | x | = 0; (4) | x | = -3; (5) | 3x | = 9.x -1看成一个字母y ,则原方程变为:含绝对值的一元一次方程解法、绝对值的代数和几何意义。

绝对值的代数意义： 正数的绝对值是它本身； 负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值 是零。

aa 0 用字母表示为a 0 a 0a a 0绝对值的几何意义：表示这个数的点离开原点的距离。

因此任何数的绝对值是非负 数。

1、求下列方程的解:解: 二、根据绝对值的意义，我们可以得到：广当a > 0时 x = ± a| x | = a y 当 a = 0 时 x = 0 当a < 0时 方程无解.(三)例1 ：解方程：(1)19 T x | = 100 -10 | x | (2)2|x| 3 3 |x| 4解: (1) 例2、思考：如何解 | x -1 | = 2 分析：用换元(整体思想)法去解决，把 | y | = 2，这个方程的解为 y = ± 2,即x -1 = ± 2，解得x = 3或x = -1.解:解方程：||2y 1| 6d ）且 (2 )解方程:例 3:解方程：| 2x -1 | -3 = 0解： 三：形如 ax b ex d 的绝对值的一元一次方程可变形为： ax b (ex ex d 0才是原方程的根，否则必须舍去，故解绝对值方程时必须检验。

例1：解方程：5x 6 6x 5练习：(1)解方程：4x 3 2 3x 4四：“零点分段法”解含多个绝对值的代数问题“零点分段法”即令各绝对值代数式为零，得若干个绝对值为零的点，这些点把数轴分成几个区间，再在各区间内化简求值即可。

例1:化简下列各式1、2x 12、x 1 x 3练习：化简：x 1 2x 1 x例2:解下列方程1、x 1 x 5 42、x 3 x 1 x 1练习：1、3x 1 2x 12、2x 1 x 2 2x 1。