数学：13.5《复数的平方根和立方根》教案(1)(沪教版高二下)
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13．5复数的平方根和立方根
上海市新中高级中学 陈传军
一、教学内容分析
在学习了复数的加、减、乘、除四则运算和乘方运算的基础上，进一步学习复数的开方.课本从复数的开方是乘方的逆运算引入的复数平方根和立方根的定义.由复数的平方和复数相等从而得到复数的平方根.由于求复数的立方根需要进一步的复数知识，所以课本只给出了立方根的定义和1的立方根的简单的性质.
二、教学目标设计
理解并掌握复数的平方根和立方根的定义及平方根的求法，并能熟练计算复数平方根；理解并掌握1的立方根简单性质并能在实际问题中加以简单应用.
三、教学重点及难点
复数平方根和立方根的定义和平方根的求法；理解和掌握复数立方根的定义和1的立方根基本性质.
四、教学流程设计
五、教学过程设计
一、情景引入
1．复习复数相等的定义;
2．复习复数乘法和乘方的运算法则．
二、学习新课
我们引入虚数的目的之一就是为了解决负数开平方的问题.
问题1：请同学们根据前面所学的知识，回答1,1-的平方根分别是多少？
1.复数的平方根
通过同学们的讨论，知道在实数集R 内开方是乘方的逆运算. 同样在复数集C 内，如果),,,(,R d c b a di c bi a ∈++满足：
复习引入新课 平方根的定义 利用定义解决问题 例题选讲熟练运算 立方根的
定义 1的立方根及应用 例题选讲熟练运算 课堂小结布置作业
di c bi a +=+2)(
则称bi a +是di c +的一个平方根.
例题选讲
例1 求下列复数的平方根
i 247)2(3)1(--
[说明]（1）从运算结果可以看出，一个非零复数的平方根都有相应的两个复数；
（2）复数的平方根一般不要记为z .
例2 求下列复数的平方根
i i 43)2(4)1(-
解：（1）设),(R b a bi a ∈+是i 4的平方根，则
i bi a 4)(2=+,
i abi b a 4222=+-,
由两个复数相等的条件，得:
⎩⎨⎧==-4
2022ab b a , 解得 ⎩⎨⎧==22
b a 或 ⎩⎨⎧-=-=22
b a .
所以，i 4的一个平方根是i 22+，另一个平方根是i 22--.
（2）设),(R b a bi a ∈+是i 43-的平方根，则
i bi a 43)(2-=+,
i abi b a 43222-=+-,
由两个复数相等的条件，得
⎩
⎨⎧-==-42322ab b a , 解得 ⎩⎨⎧-==12b a 或 ⎩⎨⎧=-=1
2b a ,
所以，i 4的一个平方根是i -2，另一个平方根是i +-2.
[说明]设置本例题的目的是加深对平方根求法的理解，也可作为课堂练习用.
2、复数的立方根
类似地，若复数21,z z 满足231z z =，则称1z 是2z 的立方根.求一个复数的立方根或更高次的方根需要进一步的复数知识.下面我们研究1的立方根.
例题选讲
例3 设i 2321+-
=ω，求证： （1）1,,2ωω都是1的立方根；（2）012=++ωω
[说明]任何一个复数的立方根都对应三个复数，其中一个为实数，另二个共轭虚数. 例4 利用1的立方根，求复数64的立方根
解：设z 为64的立方根，则：
643=z
1)4
(3=z ∴ 14
=z 或ω或2ω 4=z 或4ω或42
ω 所以64的立方根分别为4或4ω或42
ω
[说明]本例题是为了配合课本后的练习而设置的，目的是能求比较简单的复数的立方根. 例5 计算下列各式的值 68)31()2()2321()1(i i ---
解：（1）i i i i 2
321)2321()2321()2321(268+-=--⋅--=--； （2）64)2
321()2()]2321(2[)31(6666=+--=+--=-i i i . [说明]本例题是为了配合课本后的练习面设置的，目的是加强对1的立方虚根的认识和简单应用.
三、巩固练习
课本P89 T1，2，3，4
四、课堂小结
（1）复数平方根的定义及计算.
（2）复数的立方根定义及1的立方根简单应用.
五、作业布置
练习册：P54 习题13.5 A组T1，P55 T2，3，4 习题13.5 B组T1，2。
