简单几何体的表面展开图

第六讲简单几何体的表面积与体积的计算一、四种常见几何体的平面展开图1.正方体沿正方体的某些棱将正方体剪开铺平，就可以得到它的平面展开图，这一展开图是由六个全等的正方形组成的，见图6—1。

图6─l只是正方体平面展开图的一种画法，还有别的画法（从略）。

2.长方体沿长方体的某些棱将长方体剪开铺平，就可以得到它的平面展开图。

这一展开图是六个两两彼此全等的长方形组成的，见图6—2。

图6—2只是长方体平面展开图的一种画法，还有别的画法（从略）。

3.（直）圆柱体沿圆柱的一条母线和侧面与上、下底面的交线将圆柱剪开铺平，就得到圆柱体的平面展开图。

它由一个长方形和两个全等的圆组成，这个长方形的长是圆柱底面圆的周长，宽是圆柱体的高。

这个长方形又叫圆柱的侧面展开图。

图6—3就是圆柱的平面展开图。

4.（直）圆锥体沿圆锥体的一条母线和侧面与下底面圆的交线将圆锥体剪开铺平，就得到圆锥的平面展开图。

它是由一个半径为圆锥体的母线长，弧长等于圆锥体底面圆的周长的扇形和一个圆组成的，这个扇形又叫圆锥的侧面展开图。

具体图形见图6—4。

二、四种常见几何体表面积与体积公式1.长方体长方体的表面积=2×（a×b+b×c+c×a）长方体的体积=a×b×c（这里a、b、c分别表示长方体的长、宽、高）。

2.正方体正方体的表面积=6×a2正方体的体积=a3（这里a为正方体的棱长）。

3.圆柱体圆柱体的侧面积=2πRh圆柱体的全面积=2πRh+2πR2=2πR（h+R）圆柱体的体积=πR2h（这里R表示圆柱体底面圆的半径，h表示圆柱的高）。

4.圆锥体圆锥体的侧面积=πRl圆锥体的全面积=πRl+πR2母线长与高）。

三、例题选讲例1 图6—5中的几何体是一个正方体，图6—6是这个正方体的一个平面展开图，图6—7（a）、（b）、（c）也是这个正方体的平面展开图，但每一展开图上都有四个面上的图案没画出来，请你给补上。

浙教版数学九年级下册《3.4 简单几何体的表面展开图》教案4一. 教材分析《3.4 简单几何体的表面展开图》是浙教版数学九年级下册的教学内容。

这部分内容主要让学生了解和掌握简单几何体的表面展开图的特点和绘制方法。

通过学习，学生能够更好地理解几何体的空间结构，提高空间想象能力。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了基本的几何知识，具备一定的学习能力和探究精神。

但部分学生在空间想象力方面还稍显不足，因此需要在教学过程中给予更多的引导和鼓励。

三. 教学目标1.了解简单几何体的表面展开图的特点和绘制方法。

2.提高学生的空间想象能力和动手操作能力。

3.培养学生的合作意识和创新精神。

四. 教学重难点1.重难点：简单几何体的表面展开图的特点和绘制方法。

2.难点：如何培养学生的空间想象能力和动手操作能力。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究和发现。

2.运用合作学习法，培养学生的团队协作能力。

3.利用动手操作法，提高学生的实践能力。

4.引入案例分析法，帮助学生更好地理解和应用知识。

六. 教学准备1.准备简单几何体的模型，如长方体、正方体、圆柱体等。

2.准备相应的表面展开图，以便进行对比和分析。

3.准备黑板和多媒体设备，用于展示和讲解。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示各种简单几何体的图片，引导学生观察和思考：这些几何体有什么特点？它们在现实生活中的应用有哪些？2.呈现（10分钟）展示简单几何体的模型和表面展开图，让学生直观地感受两者的关系。

引导学生发现和总结几何体的表面展开图的特点。

3.操练（10分钟）学生分组讨论，每组选择一个几何体，尝试绘制其表面展开图。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）挑选几组学生的作品进行展示和点评，让学生互相学习和借鉴。

教师总结几何体表面展开图的绘制方法和注意事项。

5.拓展（10分钟）引导学生思考：如何将一个几何体展开成多个部分？这些部分之间有什么联系？学生分组探讨，教师点评和指导。

九年级数学下册《简单几何体的表面展开图》教学设计一、教材分析本节课的内容是新版浙教版教材变动幅度较大的一个地方,将原教材中的八上的《直棱柱》、九上的《3.6圆锥的侧面积和全面积》与九下的《投影与三视图》进行整合,并且改变了呈现的顺序,最后整合成的九下第三章《三视图与表面展开图》.这样的修订,使教材更加紧凑,逻辑性更强,符合学生的认知规律,也便于教师教学.本节课内容是在学生已经初步具备空间观念（即三视图的相关知识）的前提下,在学生已熟知圆的周长、面积,弧长、扇形的面积；初步积累直棱柱、圆柱的表面展开图的数学活动经验的基础上,通过类比、操作、实验、观察、猜想、归纳、证明等数学活动,将简单几何体（圆锥）转化为平面图形,进一步帮助学生形成三维空间概念,发展空间想象能力；同时,为学习圆台的侧面展开图做好铺垫,也为高中的立体几何学习打好基础.二、教学目标知识与技能目标:1、知识目标：（1）了解圆锥是怎样的一种旋转体.（2）了解圆锥的表面展开图,并会画圆锥的表面展开图；理解圆锥的侧面积公式,全面积公式,侧面展开图的圆心角公式及其推导过程.（3）会计算圆锥的侧面积和全面积,会计算圆锥侧面展开图的圆心角.2、技能目标：（1）通过动手操作、小组合作来探索圆锥的侧面积公式和侧面展开图的圆心角公式,并画出圆锥的侧面展开图,从而培养学生动手操作、合作交流、归纳概括的能力.（2）通过观察圆锥与侧面展开图的关系培养学生观察、分析和转化的能力,形成三维空间概念,发展空间想象能力.（3）通过运用公式的计算和“用一用”的求解,培养学生应用数学知识解决实际问题的能力.旨在培养学生探究、应用数学和创新的能力.过程与方法目标:（1）类比圆柱的学习,经历圆锥形成、相关概念的发生过程.（2）通过观察、猜想、操作、合作等活动,经历自主探究的认识过程,即从观察、比较、分析、归纳中,体会类比、转化、对应的思想方法.旨在培养学生的科学态度和科学精神.情感态度与价值观目标:（1）通过研究圆锥与侧面展开图的关系,类比圆柱研究圆锥并延伸至圆台,体验客观事物是不断运动发展变化,而事物之间总是互相联系、互相制约的辩证唯物主义观点.（2）通过动手操作、合作探究,激发学生对圆锥知识的好奇心及兴趣,逐步形成积极参与数学活动,主动与他人合作交流的意识.（3）体现数学学习的快乐,体会知识源于实践,又运用于生活.旨在让学生体会圆锥在生活中的广泛应用；体验数学学习的乐趣,享受征服困难后获得成功的喜悦感,提高应用数学的意识.三、教学重难点重点：认识圆锥的表面展开图,并会画它们的表面展开图.难点：理解圆锥侧面展开图的形状,以及它与圆锥母线长l,底面圆半径r之间的关系.教学设备或教辅工具：多媒体、希沃授课助手和手机、圆锥模型、圆规、带刻度的直尺、剪刀、胶带、半径为4cm和6cm的圆形纸片.四、教学流程1．类比联想,引入新课教师：上节课我们学习了圆柱的表面展开图,对于圆柱,我们已经有了哪些认识?学生说教师板书：1、形成；2、相关概念；3、表面展开.；4、三视图教师：将矩形绕它的一条边旋转一周,它的其余各边所成的面围成的一个几何体是圆柱,如果把矩形改成直角三角形,将一个直角三角形绕它的一条直角边（AC）旋转一周,它的其余各边所成的面围成的一个几何体是什么?（1）先让学生自己猜想.(2.教师再用几何画板演示.(3.类比圆柱的相关概念,学生很自然地能说出圆锥的相关概念.(4.类比圆柱的学习,学生很自然地能说出圆锥的研究路径和方法.2．合作探究,发现新知等学生通过类比圆柱的学习,联想到圆锥的研究途径和方法后,教师：现在我们就来研究圆锥的侧面展开图,想象一下,会是什么图形?学生猜想是扇形后,教师组织学生进行四人小组合作,剪出圆锥模型的展开图,观察剪出图形的特点,再一起合作完成以下问题串：(1.将一个圆锥模型的侧面沿它的一条母线剪开、铺平.观察所得的平面图形是什么图形?(2.圆锥的母线与侧面展开图有什么关系?(3.圆锥的底面周长与侧面展开图有什么关系?(4.圆锥的侧面积与侧面展开图的面积有什么关系?请一个小组上台展示,并把展开图用磁铁挂在黑板上,并进行讲解,教师再用课件动画演示,实物模型演示.通过这些活动后,“圆锥的母线对应扇形的半径；圆锥的底面周长对应扇形的弧长；圆锥的侧面积对应扇形的面积”已经在学生的脑海中自然流淌.教师板书：对应.教师：类比圆柱的侧面积公式,你觉得圆锥的侧面积和哪些量有关?学生回答后,教师：如果已知圆锥的底面半径r和母线l,你能推导出圆锥的侧面积吗?学生自己思考,推导出圆锥的侧面积.全面积公式.教师：我们观察圆锥的侧面积和哪个公式在形式上很相似?学生回答：借助几何画板的演示,学生体悟这些公式之间的联系,加深对侧面积公式的理解.3．多样应用,内化新知3..我来算一算已知一个圆锥的底面半径为3cm,母线长为6cm,则这个圆锥的侧面积为_________,全面积为__________3..我来判一判学生判断这句话不对,并解释了理由.教师提炼：圆锥的高h,底面半径r和母线l的数量关系式..3..我来想一想圆锥形烟囱帽（如图）的母线长为100cm,高为60cm.变“封闭”为“开放”,让学生进行联想,自己编题.教师：做烟囱帽时,往往先在铁皮上画好扇形,然后裁剪下来围成圆锥的形状.这个圆锥形烟囱帽展开图到底是怎么样的一个扇形呢?带着这个问题我们来完成下面的探究活动.4．合作学习,再探新知4..合作学习请一个小组上台展示,教师板书：当母线l一定时,圆心角越大,则r越大；当圆心角一定时,l越大,则r越大.教师：刚才我们从平面图形到空间图形,直观地感受了这三者之间的关系.数学是一门严谨的学科,如果扇形的圆心角记作θ,那么θ,l,r能用怎样的等式来表示呢?引导学生作简要推理：方法一：利用圆锥底面圆的周长等于展开后扇形的弧长：方法二：利用圆锥的侧面积等于展开后扇形的面积：4..我来画一画圆锥形烟囱帽（如图）的母线长为100cm,高为60cm.以1:50的比例画出这个烟囱帽的展开图.借助希沃授课助手和手机,将学生的作品进行展示,并点评.5．实际应用,深化新知在一个底面半径为1m,母线长为6m的圆锥形屋顶内,一蜘蛛在点A处,点A是底面圆周上一点．（1）如图1,试问：蜘蛛从点A出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点A,最近路线如何爬行?追问：最近路线的长度是多少?（2）如图2,一苍蝇在点D处,D是过母线AB的轴截面上另一母线BC的中点,试问：蜘蛛为捉住B处的苍蝇,最近路线又如何爬行?要求学生先独立思考,再相互交流.通过师生交流,达成共识,将圆锥的侧面展开,将立体图形转化为平面图形.6．总结盘点,凸显四基这节课你学到了什么概念?说说你对概念的理解?你有什么学习体验?【设计意图：让学生观察通过上述图示,从基本知识、基本技能、基本数学思想方法和基本活动经验四个维度进行总结,再次体验观察、实验、思考、归纳、猜想、验证（证明）是获取数学知识的重要途径】7．布置作业,拓展联想将一个直角梯形绕它的一条垂直于底边的腰旋转一周,它的其余各边所成的面围成的一个几何体是什么?你能研究这个立体图形的哪些方面?你打算怎么研究.。

浙教版数学九年级下册《3.4 简单几何体的表面展开图》教案2一. 教材分析《浙教版数学九年级下册》中的《3.4 简单几何体的表面展开图》是学生在学习了立体几何的基础知识后，进一步探究几何体的表面展开图的特点和规律。

这一章节通过具体的几何体模型，让学生了解和掌握球的表面展开图、圆柱的表面展开图、圆锥的表面展开图等几种基本几何体的表面展开图，培养学生空间想象能力和动手操作能力。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了立体几何的基本知识，对于平面图形的变换和组合有一定的理解。

但是，对于几何体的表面展开图的理解还有待提高，需要通过具体的操作和实践活动，来加深对几何体表面展开图的认识。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生了解和掌握球的表面展开图、圆柱的表面展开图、圆锥的表面展开图等几种基本几何体的表面展开图，培养学生空间想象能力和动手操作能力。

2.过程与方法：通过观察、操作、猜想、验证等方法，让学生体验探究的过程，培养学生的合作意识和创新精神。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生积极向上的学习态度，使学生感受到数学与生活的紧密联系。

四. 教学重难点1.重点：球的表面展开图、圆柱的表面展开图、圆锥的表面展开图的特点和规律。

2.难点：如何引导学生自己发现和总结几何体表面展开图的特点和规律。

五. 教学方法采用问题驱动法、实践活动法、合作交流法等方法，引导学生通过观察、操作、猜想、验证等过程，发现和总结几何体表面展开图的特点和规律。

六. 教学准备1.准备各种几何体的模型和图片，如球、圆柱、圆锥等。

2.准备几何体表面展开图的挂图和幻灯片。

3.准备剪刀、胶水等手工操作工具。

七. 教学过程导入（5分钟）教师通过展示各种几何体的模型和图片，引导学生回顾和巩固立体几何的基本知识。

然后提出问题：“你们知道这些几何体的表面展开图是什么样的吗？它们有什么特点和规律呢？”激发学生的学习兴趣和探究欲望。

呈现（10分钟）教师通过挂图和幻灯片，展示球的表面展开图、圆柱的表面展开图、圆锥的表面展开图等几种基本几何体的表面展开图。

三视图与表面展开图—知识讲解责编：康红梅【学习目标】1.了解平行投影和中心投影的基本概念及主要特征，会在简单情况下画出投影示意图；2.了解三视图的概念，会画直棱柱、圆柱、圆锥等简单几何体的三视图，并会根据视图描述简单的几何体；3.了解直棱柱、圆柱和圆锥的表面展开图，会计算直棱柱、圆柱和圆锥的侧面积和全面积，能根据展开图想象和制作实物模型；4.了解直棱柱、圆柱和圆锥的三视图和表面展开图在现实生活中的应用.【要点梳理】要点一、平行投影1.基本概念物体在光线的照射下，在某个平面内形成的影子叫做投影.这时，光线叫做投射线，投影所在的平面叫做投影面.由平行的投射线所形成的投影叫做平行投影. 例如，太阳光线、探照灯的光线都可以看成平行光线，由此我们可得出这样两个结论：(1)等高的物体垂直地面放置时，如图1 所示，在太阳光下，它们的影子一样长.(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2 所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度.2.物高与影长的关系( 1)在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同. 不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西→西北→北→东北→东，影长也是由长变短再变长.(2)在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例.即：. 利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等.注意：利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长. 要点诠释：1．平行投影是物体投影的一种，是在平行光线的照射下产生的. 利用平行投影知识解题要分清不同时刻和同一时刻.2．物体与影子上的对应点的连线是平行的就说明是平行光线.要点二、中心投影由同一点出发的投射线所形成的投影叫做中心投影.这个“点”就是中心，相当于物理上学习的“点光源” . 生活中能形成中心投影的点光源主要有手电筒、路灯、台灯、投影仪的灯光、放映机的灯光等. 相应地，我们会得到两个结论：(1) 等高的物体垂直地面放置时，如图 1 所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短在中心投影的情况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点 在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置 要点诠释：光源和物体所处的位置及方向影响物体的中心投影，光源或物体的方向改变，则该物体的影子的方 向也发生变化，但光源、物体的影子始终分离在物体的两侧 . 要点三、中心投影与平行投影的区别与联系1. 联系：(1)中心投影、平行投影都是研究物体投影的一种，只不过平行投影是在平行光线下所形成的投 影，通常的平行光线有太阳光线、 月光等， 而中心投影是从一点发出的光线所形成的投影， 通常状况下， 灯泡的光线、手电筒的光线等都可看成是从某一点发射出来的光线 .(2)在平行投影中，同一时刻改变物体的方向和位置，其投影也跟着发生变化；在中心投影中， 同一灯光下，改变物体的位置和方向，其投影也跟着发生变化 . 在中心投影中，固定物体的位置和方向， 改变灯光的位置，物体投影的方向和位置也要发生变化 .2. 区别：(1)太阳光线是平行的，故太阳光下的影子长度都与物体高度成比例；灯光是发散的，灯光下的 影子与物体高度不一定成比例 .(2)同一时刻，太阳光下影子的方向总是在同一方向，而灯光下的影子可能在同一方向，也可能 在不同方向 . 要点诠释：在解决有关投影的问题时必须先判断准是平行投影还是中心投影，然后再根据它们的具体特点进一 步解决问题 .要点四、正投影正投影的定义：如图所示，图 (1) 中的投影线集中于一点，形成中心投影；图 (2)(3) 中，投影线互相平行，形成平 行投影；图 (2) 中，投影线斜着照射投影面；图 (3) 中投影线垂直照射投影面 ( 即投影线正对着投影面 )， 我们也称这种情形为投影线垂直于投影面 .像图(3) 这样，如果投射线垂直于投影面，那么这种投影就称为 正投影.(2) 等长的物体平行于地面放置时，如图2 所示 . 般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源(1) 线段的正投影分为三种情况： 如图所示 .(2) 平面图形正投影也分三种情况，如图所示Q 时，它的正投影与这个平面图形的形状、大小完全相同，即正投影与 Q 时，平面图形的正投影与这个平面图形的形状、大小发生变化，即会 Q 时，它的正投影是直线或直线的一部分 .物体的正投影的形状、大小与物体相对于投影面的位置有关，立体图形的正投影与平行于投影面且 过立体图形的最大截面全等 要点诠释：(1) 正投影是特殊的平行投影，它不可能是中心投影 .(2) 由线段、平面图形和立体图形的正投影规律，可以识别或画出物体的正投影 .(3) 由于正投影的投影线垂直于投影面，一个物体的正投影与我们沿投影线方向观察这个物体看到 的图象之间是有联系的 .要点五、简单几何体的三视图1. 三视图的概念(1)视图 从某一角度观察一个物体时，所看到的图象叫做物体的一个视图 .(2)正面、水平面和侧面 用三个互相垂直的平面作为投影面，其中正对我们的面叫做正面，正面下面的面叫做水平面，右边 的面叫做侧面 .(3)三视图物体在正投影面上的正投影叫做 主视图 ；在水平投影面上的正投影叫做 俯视图 ；在侧投影面上的正 投影叫做 左视图 . 产生主视图的投射线方向也叫做主视方向 . 主视图、左视图、俯视图叫做物体的三视 图.2. 三视图之间的关系①线段 AB 平行于投影面②线段 AB 倾斜于投影面P 时，它的正投影是线段 P 时，它的正投影是线段A 1B 1，与线段 AB 的长相等； A 2B 2，长小于线段 AB 的长；③线段 AB 垂直于投影面 P 时，它的正投影是一个点①当平面图形平行于投影面 这个平面图形全等；②当平面图形倾斜于投影面 缩小，是类似图形但不一定相似③当平面图形垂直于投影面(3) 立体图形的正投影 .1)位置关系三视图的位置是有规定的，主视图要在左边，它的下方应是俯视图，左视图在其右边，如图(2)大小关系 三视图之间的大小是相互联系的， 遵循主视图与俯视图的 “长对正”，主视图与左视图的 “高平齐”， 左视图与俯视图的“宽相等”的原则 . 如图 (2) 所示 .要点诠释：物体的三视图的位置是有严格规定的，不能随意乱放 . 三视图把物体的长、宽、高三个方面反映到 各个视图上，具体地说，主视图反映物体的长和高；俯视图反映物体的长和宽，左视图反映物体的高和 宽，抓住这些特征能为画物体的三视图打下坚实的基础 .3. 画几何体的三视图 画一个几何体的三视图时，要从三个方面观察几何体，具体画法如下：(1) 确定主视图的位置，画出主视图；(2) 在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“ 长对正 ”；(3) 在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐 ”，与俯视图“ 宽相等 ” .几何体上被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线应画成虚线 .要点诠释： 画一个几何体的三视图，关键是把从正面、上方、左边三个方向观察时所得的视图画出来，所以， 首先要注意观察时视线与观察面垂直，即观察到的平面图是该图的正投影；其二，要注意正确地用虚线 表示看不到的轮廓线；其三，要充分发挥想象，多实践，多与同学交流探讨，多总结；最后，按三视图 的位置和大小要求从整体上画出几何体的三视图 . 要点六、由三视图描述几何体 由三视图描述几何体，一般先根据各视图想象从各个方向看到的几何体形状，然后综合起来确定几 何体的形状，再根据三个视图“长对正、高平齐、宽相等”的关系，确定轮廓线的位置以及各个方向的 尺寸 .要点诠释：由物体的三视图想象几何体的形状有一定的难度，可以从如下途径进行分析： (1) 根据主视图、俯 视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状以及几何体的长、宽、高；(2) 根据实线和虚线想象几何体看得见和看不见的轮廓线； (3) 熟记一些简单的几何体的三视图会对复杂几何体的想象有帮 助； (4) 利用由三视图画几何体与由几何体画三视图为互逆过程，反复练习，不断总结方法 . 要点七、简单几何体的表面展开图1. 表面展开图将几何体沿着某些棱“剪开” ，并使各个面连在一起，铺平所得到的平面图形称为几何体的表面展 开图 .示.(1) 所2. 圆柱的表面展开图如下左图，圆柱可以看做由一个矩形绕它的一条边（BC）旋转一周，其余各边所成的面围成的几何体.AB、CD旋转所成的面就是圆柱的两个底面，是两个半径相同的圆.AD 旋转所成的面就是圆柱的侧面，AD不论旋转到哪个位置，都是圆柱的母线.如果沿着圆柱的任意一条母线把圆柱的侧面“剪开”，铺平，那么就得到圆柱的侧面展开图. 一般地，一个底面半径为r ，母线长为l 的圆柱的表面展开图如上右图所示.由图可知，圆柱的侧面积公式为：S侧=2 rl . 全面积公式为：S全=2 r2+2 rl .3.圆锥的表面展开图圆锥可以看做将一个直角三角形绕它的一条直角边（AC）旋转一周，它的其余各边所成的面围成的一个几何体.直角边BC旋转所成的面就是圆锥的底面，斜边AB旋转所成的面就是圆锥的侧面.斜边AB 不论旋转到哪一个位置，都叫做圆锥的母线.一般地，一个底面半径为r ，母线长为l 的圆锥的侧面展开图是一个半径为母线长l ，弧长为底面圆周长2π r 的扇形，如图，由此我们可以得到圆锥的侧面积和全面积公式：S侧= rl .2S全= r 2+ rl .l若设圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为，则由0 2 r ，得到圆锥侧面展开图扇形的圆心角1800度数的计算公式：类型一、投影的作图问题1．如何才能使如图所示的两棵树在同一时刻的影长分别与它们的原长相等，试画图说明．答案与解析】(1) 如图所示．可在同一方向上画出与原长相等的影长，此时为平行投影．(2) 如图所示，可在两树外侧不同方向上画出与原长相等的影子，连结影子的顶点与树的顶点．相交于点P．此时为中心投影，P 点即为光源位置．总结升华】连结物体顶点与其影长的顶点，如果得到的是平行线，即为平行投影；如果得到相交直线，则为中心投影，这是判断平行投影与中心投影的方法，也是确定中心投影光源位置的基本做法．但若中心投影光源在两树同侧时，图中的两棵树的影长不可能同时与原长相等，所以点光源可以选在两树之间．特别提醒：易错认为只有平行投影才能使两棵树在同一时刻的影长分别 与它们的原长相等，从而漏掉上图这一情形．举一反三：【 变式】 与一盏路灯相对，有一玻璃幕墙，幕墙前面的地面上有一盆花 CD 和一棵树 AB ．晚上，幕墙反射路灯，灯光形成那盆花的影子 DF ，树影 BE 是路灯灯光直接形成的，如图所示，你能确定此时路灯光源的位置吗 ?思路点拨】1）连结 AC ，过 D 点作 DG ∥AC 交 BC 于 G 点，则 GE 为所求； 2）先证明 Rt △ABC ∽△ RtDEG ，然后利用相似比计算DE 的长．答案与解析】 解：（ 1）影子 EG 如图所示；2）∵DG ∥AC ，∴∠ G=∠C ，∴Rt △ABC ∽△RtDEG ，= ，即 = ，解得 DE=，答案】 作法如下：① 连结 FC 并延长交玻璃幕墙于 O 点； ② 过点 O 作直线 OG 垂直于玻璃幕墙面；③ 在 OC 另一侧作∠ POG ＝∠ FOG 且交 EA 延长线于点 P 点即此时路灯光源位置，如图所示．类型二、投影的应用2015·盐城校级模拟）如图，小明与同学合作利用太阳光线测量旗杆的高度，身高明落在地面上的影长为 BC=2.4m ．1）请你在图中画出旗杆在同一时刻阳光照射下落在地面上的影子 EG ；2）若小明测得此刻旗杆落在地面的影长EG=16m ，请求出旗杆 DE 的高度．P ．类型三、由三视图描述几何体位置小立方体的个数，请画出这个几何体的主视图和左视图．思路点拨】由已知条件可知，主视图有3 列，每列小正方数形数目分别为每列小正方形数目分别为1，3，2．据此可画出图形．如图所示：总结升华】本题考查几何体的三视图画法．由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知主视图的列数与俯视图的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字．左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字．类型四、三视图的有关计算4．（2016春?潮南区月考）如图所示的是某个几何体的三视图．1）说出这个立体图形的名称；2）根据图中的有关数据，求这个几何体的表面积．3．（2015·惠州校级月考）如图是由几个小立方体所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该2，2，3，左视图有3 列，∴旗杆的高度为m．总结升华】本题考查了平行投影，也考查了相似三角形的判定与性质．答案与解析】解：【思路点拨】（1）从三视图的主视图看这是一个矩形，而左视图是一个扁平的矩形，俯视图为一个三角形，故可知道这是一个直三棱柱；（2）根据直三棱柱的表面积公式计算即可．【答案与解析】解：（1）这个立体图形是直三棱柱；（2）表面积为：×3× 4× 2+15× 3+15× 4+15×5=192 ．【总结升华】本题主要考查由三视图确定几何体和求几何体的表面积等相关知识，考查学生的空间想象能力．举一反三：高清课程名称：投影与视图高清ID 号：398414 关联的位置名称（播放点名称）：课题学习】变式】某工厂要加工一批密封罐，设计者给出了密封罐的三视图作每个密封罐所需钢板的面积（单位：mm）．（如图所示），请你按照三视图确定制密封罐的高为50mm，底面正六边形的对角线为100mm，边长为50 mm，如图(2) 所示．由展开图可知，制作一个密封罐所需钢板的面积为1S＝6× 50×50+2×6× ×50×50×sin60 °2＝6× 50°× 1 3≈27990(mm2)．2类型五、简单几何体的表面展开图5．小红为了迎接圣诞节而准备做一顶圣诞帽．如图所示，圆锥的母线长为26cm，高24cm，求它的底面半径及做这样一顶帽子需要的布料面积(接缝忽略不计) ．答案与解析】如图所示，在Rt △ SOA中，r SA2 SO2262 242cm 10cm ．即圆锥底面半径为10cm，做这样的圣诞帽需布料πRr=260 πcm2．点评】本题考查的是圆锥母线R，高h，底面半径r 三者的关系，及利用圆锥侧面积解决实际问题的方法．根据圆锥母线R，高h，底面半径r 的关系，可求r R2 h2，所需布料即为圆锥侧面积π Rr．。

第3章投影与三视图3.4 简单几何体的表面展开图（第2课时）一、选择题1．观察下列图形，其中是正方体的表面展开图的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】由正方体的表面展开图，“1-4-1型”的6种，“2-3-1型”的3种，“2-2-2型”的1种，“3-3型”的1种，可判断,A B，同时正方体的表面展开图中不能出现“田”字型、“凹”字型，可判断D，只有选项C中的图形符合题意，从而可得答案．【详解】解：正方体的表面展开图，共有11种情况，其中“1-4-1型”的6种，“2-3-1型”的3种，“2-2-2型”的1种，“3-3型”的1种，选项错误；,A B同时正方体的表面展开图中不能出现“田”字型、“凹”字型，∴选项错误；D选项C中的图形符合题意，故选C．【点睛】本题考查的是正方体的表面展开图，掌握正方体的表面展开图的形状与特点是解题的关键．2．把一个圆柱体橡皮泥揉成一个与它等底的圆锥体，高将（）A ．扩大3倍B ．缩小3倍C ．扩大6倍D ．缩小6倍【答案】A【分析】 根据等底等高的圆锥形和圆柱形的体积关系解答即可．【详解】 解：∵在捏橡皮泥的过程中，它的总体积不变，再根据等底等高的圆锥形的体积是圆柱形体积的13 ∴，把一团圆柱体橡皮泥揉成与它等底的圆锥体，高将扩大3倍．故答案为A ．【点睛】 本题主要考查了等底等高的圆锥形和圆柱形的体积关系，掌握等底等高的圆锥形的体积是圆柱形体积的13是解答本题的关键．3．已知圆锥的底面半径为1cm ，母线长为3cm ，则其侧面积为（ ）2cmA ．πB ．2πC ．3πD ．4π 【答案】C【分析】直接利用“圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长”解答即可．【详解】解：该圆锥的侧面积为π×1×3=3π．故答案为C ．【点睛】本题考查了求圆锥的侧面积，掌握“圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长”是解答本题的关键． 4．一个圆锥的底面半径为3cm ，母线长为5cm ，这个圆锥的侧面积为（ ）A ．212cm πB ．215cm πC ．2cmD ．220cm π 【答案】B【分析】圆锥的侧面积＝π×底面半径×母线长，把相关数值代入即可．【详解】解：这个圆锥的侧面积＝π×3×5＝15πcm 2，故选：B．【点睛】本题考查了圆锥的面积计算；掌握圆锥的侧面积计算公式是解决本题的关键．5．如图，圆柱的底面周长为16，BC＝12，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S，则移动的最短距离为（）A．10B．12C．14D．20【答案】A【分析】由于圆柱的高为12cm，S为BC的中点，故BS＝6cm，先把圆柱的侧面展开，连接AS，利用勾股定理即可得出AS的长．【详解】解：沿着S所在的母线展开，如图，连接AS，则AB＝12×16＝8，BS＝12BC＝6，在Rt△ABS中，根据勾股定理AB2＋BS2＝AS2，即82＋62＝AS2，解得AS＝10．∵A，S两点之间线段AS最短，∴点A到点S移动的最短距离为AS＝10cm．故选：A．【点睛】本题考查的是平面展开−最短路径问题，根据题意画出圆柱的侧面展开图，利用勾股定理求解是解答此题的关键．6．如图，将长方形ABCD 绕虚线l 旋转一周，则形成的几何体的体积为( )A ．πr 2hB ．2πr 2hC ．3πr 2hD ．4πr 2h【答案】C【分析】 根据柱体的体积V=S •h ，求出形成的几何体的底面积，即可得出体积．【详解】解：∵柱体的体积V=S •h ，其中S 表示柱体的底面面积，h 表示柱体的高，现将矩形ABCD 绕轴l 旋转一周，∴柱体的底面圆环面积为：()22223r r r πππ-=，∴形成的几何体的体积等于：23r h π．故选：C ．【点睛】本题主要考查了圆柱的形成，圆柱体体积公式，根据已知得出柱体的底面面积是解决问题的关键． 7．一位雕塑家利用15个棱长为1米的相同正方体，在公园空地设计了一个如图所示的几何体造型，需要把露出的表面都涂上颜色，则需要涂颜色部分的面积为（ ）A ．46米2B ．37米2C ．28米2D ．25米2【答案】B【分析】由图形可知分四层，每一层再分侧面与上表面两部分求出表面积，然后相加即可得解．【详解】解：最上层，侧面积为4，上表面面积为1，总面积为4+1=5，第二层，侧面积为4，第三层，侧面积2×4=8，上表面面积为4-1=3，总面积为8+3=11，最下层，侧面积为3×4=12，上表面面积为9-4=5，总面积为12+5=17，5+4+11+17=37，所以被他涂上颜色部分的面积为37平方米．故选：B．【点睛】本题考查了几何体的表面积，注意分四层，每一层再分侧面积与上表面两部分求解，注意求解的层次性是关键．8．已知一圆锥的母线长为6，底面半径为3，则该圆锥的侧面积为（）A．27πB．36πC．18πD．9π【答案】C【分析】圆锥的侧面积＝π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解．【详解】解：∵圆锥的母线长为6，底面半径为3，∴该圆锥的侧面积为：π×3×6＝18π．故选：C．【点睛】此题主要考查了圆锥侧面面积的计算，熟练记忆圆锥的侧面积公式是解决问题的关键．二、填空题9．如图，圆锥的底面圆直径AB 为2，母线长SA 为4，若小虫P 从点A 开始绕着圆锥表面爬行一圈到SA 的中点C ，则小虫爬行的最短距离为________．【答案】【分析】将圆锥的侧面展开，是一个扇形，AC 就是小虫爬行的最短路程，利用弧长与圆心角的公式，求展开图的圆心角l 180n R π=，R=4，l=2πr=2π,可求出n 的大小，由于n=90º，利用勾股定理可求AC 的长即可． 【详解】把圆锥的侧面展开，弧长是2πr=2π，母线AS=4， 侧面展开的圆心角4l 2180180n R n πππ===，n=90º即∠ASC=90º， C 为AD 的中点SD=2，线段AC 是小虫爬行的最短距离，在Rt △SAC 中，由勾股定理的故答案为：【点睛】本题考查圆锥侧面的最短路径问题，掌握弧长公式，会利用弧长与圆锥底面圆的关系确定侧面展开图的圆心角，会用勾股定理求出最短路径是解题关键．10．用10个棱长为a cm的正方体摆放成如图的形状，像这样向下逐层累加摆放总共10层，其表面积是________2cm．【答案】330a2【分析】一层是6个面，二层有12个面，第三层有18个面（除去重合的），…，第十层有60个面，相加后乘以一个正方形面积即可．【详解】解：若如此摆放10层，其表面积是6×（1+2+…+10）a2=330a2．故答案为：330a2．【点睛】本题考查了几何体的表面积，图形的变化类的应用，主要考查学生的观察图形的能力，关键是能根据结果得出规律．11．如图，圆锥的母线长OA=6，底面圆的半径为32，一只小虫在圆线底面的点A处绕圆锥侧面一周又回到点A处，则小虫所走的最短路程为___________（结果保留根号）【答案】【分析】利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的弧长可得圆锥侧面展开图的圆心角，求出侧面展开图中两点间的距离即为最短距离．【详解】∵底面圆的半径为32， ∴圆锥的底面周长为2π×32＝3π， 设圆锥的侧面展开图的圆心角为n ． ∴63180n ππ⨯=，解得n ＝90°，如图，AA′的长就是小虫所走的最短路程，∵∠O=90°，OA′=OA=6，∴=．故答案为：．【点睛】本题考查了圆锥的计算，考查圆锥侧面展开图中两点间距离的求法；把立体几何转化为平面几何来求是解决本题的突破点．12．已知圆锥形模具的母线长、半径分别是12cm 、4cm ，求得这个模具的侧面积是______．【答案】248cm π【分析】根据圆锥侧面积公式直接计算即可．【详解】圆锥侧面积=12×底面周长×母线长 4r =，∴底面圆的周长为8π，21812482S cm ππ∴=⨯⨯=， 故答案为：248cm π．【点睛】本题考查了圆锥侧面展开后的面积问题，熟记基本公式是解题关键．13．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径5cm r =，该圆锥的母线长12cm l =，则扇形的圆心角θ度数为_______．【答案】150°【分析】根据扇形的弧长公式解题．【详解】圆锥的底面周长即是侧面展开图扇形的弧长，2180n l r ππ∴=︒ 1225180n ππ⨯∴⨯=︒，解得625=150n =⨯︒ 故答案为：150°．【点睛】本题考查圆锥侧面展开图的圆心角，涉及扇形的弧长公式，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．14．如图所示的平面纸能围成正方体盒子，请把与面A 垂直的面用图中字母表示出来是__．【答案】B、C、E、F【分析】根据正方体展开图的特征，属于正方体展开图的“141”结构，将它折成正方体后，A面与D面相对，其余的面都与A面垂直，从而可得答案．【详解】解：因为正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，面“A”与“D”是相对面，它们互相平行，剩下的面都与A面垂直；所以：围成正方体盒子，与面A垂直的面用图中字母表示出来是：B、C、E、F；故答案为：B、C、E、F．【点睛】本题是考查正方体的展开图，是培养学生的观察能力和空间想象能力．此类题可动手折叠一下，即可解决问题，又锻炼了动手操作能力．三、解答题15．如图，用若干个棱长完全相同的小正方体搭成一个几何体．（1）请画出从正面、左面、上面观察该几何体得到的形状图；（2）若每个小正方体的棱长为2cm，则该几何体的表面积为_____2cm．【答案】（1）见详解；（2）168【分析】（1）分别从正面、左面、上面观察该几何体，从而画出三视图；（2）分别数出（1）中三个方向小正方体的面的个数，再乘以2，然后求得一个面的面积，把它们相乘即可求解．【详解】解：（1）观察几何体，可得：（2）()2258822168cm ++⨯⨯=． 故答案是：168【点睛】本题考查了画三视图、求几何体的表面积，关键是在画图时一定要将几何体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉．16．如图，圆锥的底面半径为1，母线长为3，一只蚂蚁要从底面圆周上一点B 出发，沿圆锥侧面爬到过母线AB 的轴截面上另一母线AC 上，问它爬行的最短路线是多少？【分析】结合题意进行曲面展开，通过在平面扇形图中计算最短路路径问题．【详解】如图，沿过母线AB 的轴截面展开得扇形ABC ，此时弧BC 的长为底面圆周长的一半，故BC π=， 由180A AB BC π∠=︒，3AB =，则60A ∠=︒， 作BD AC ⊥，此时BD 即为蚂蚁爬行的最短路径，∴在Rt ABD △中，BD AB ==．【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，来解决．17．如图是某几何体的三种形状图．（1）说出这个几何体的名称；（2）若从正面看到的形状图的长为15cm，宽为4cm；从左面看到的形状图的宽为3cm，从上面看到的形状图的最长边长为5cm，求这个几何体的所有棱长的和为多少？它的侧面积为多少？它的体积为多少？【答案】（1）直三棱柱；（2）所有棱长的和69cm，侧面积180cm2，体积90cm3【分析】（1）只有棱柱的主视图和左视图才能出现长方形，根据俯视图是三角形，可得到此几何体为三棱柱；（2）这个几何体的所有棱长的和为2个3cm、2个4cm、2个5cm，3个15cm的和；三个长为15cm，宽分别为3cm、4cm、5cm的长方形的面积即是几何体的侧面积；先求出俯视图的面积，再乘高15cm，即为体积．【详解】解：（1）直三棱柱；（2）这个几何体所有棱长的和：153345269cm⨯+++⨯=．它的侧面积：（3+4+5）15⨯=180cm2；它的体积：12×3×4×15=90cm3故这个几何体的所有棱长的和为69cm，它的侧面积为180cm2，它的体积为90cm3．【点睛】此题考查从三视图判断几何体，掌握棱柱的侧面都是长方形，上下底面是几边形就是几棱柱是解决问题的关键．18．用5个棱长为1的正方体组成如图所示的几何体．（1）该几何体的体积是立方单位，表面积是平方单位(包括底面积)；（2）请在方格纸中用实线画出它的三个视图．【答案】（1）5，22；（2）答案见解析．【分析】（1）根据几何体的形状得出立方体的体积和表面积即可；（2）主视图有3列，从左往右每一列小正方形的数量为1，1，2；左视图有2列，小正方形的个数为2，1；俯视图有3列，从左往右小正方形的个数为2，1，1．【详解】（1）几何体的体积：1×1×1×5=5（立方单位），表面积：(4+3+4)×2=22（平方单位）；故答案为：5，22；（2）如图所示：．【点睛】本题主要考查了画几何体的三视图，主视图、左视图、俯视图实际上就是从正面、左面、上面对该几何体正投影所得到的图形．19．由12个完全相同的棱长为1cm的小正方体搭成的几何体，如图所示．（1）请画出这个几何体的三视图．（2）请计算它的表面积．42cm．【答案】（1）画图见解析；（2）2【分析】（1）由已知条件可知，主视图有3列，每列小正方数形数目分别为3，1，2；左视图有3列，每列小正方形数目分别为3，2，2；俯视图有3列，每列小正方数形数目分别为3，3，1．据此可画出图形；（2）利用几何体的形状进而求出其表面积；【详解】（1）S=⨯+++（2）2(677)2=⨯+2202()2=42cm答：它的表面积是42cm2．【点睛】本题考查了三视图的画法以及表面积的求法．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，物体的表面积是指露在外部的所有表面积之和．20．如图是某几何体从正面、左面、上面看到的形状图．（1）这个几何体的名称是．（2）若从正面看到的长方形的宽为4cm，长为9cm，从左面看到的宽为3cm，从上面看到的直角三角形的斜边为5cm，则这个几何体中所有棱长的和是多少？它的表面积是多少？【答案】（1）直三棱柱；（2）51cm；2120cm【分析】（1）直接利用三视图可得出几何体的形状；（2）利用已知各棱长分别得出棱长和与表面积．【详解】（1）这个几何体是直三棱柱；故答案为：直三棱柱（2）由题意可得：它的所有棱长之和为：（3+4+5）×2+9×3=51（cm）；它的表面积为：2×(12×3×4)+（3+4+5）×9=120(cm2)答：所有棱长的和是51cm，它的表面积为120cm2．【点睛】此题主要考查了由三视图判断几何体的形状，正确得出物体的形状是解题关键．。