高考数学二轮复习 19 分类讨论思想课件 文

=
1 2
������矩形������������
������1
������1
=
12×2×3=3.
又 BB1∥平面 ACC1A1,点 M 到平面 ACC1A1 的距离等于点 B 到
平面 ACC1A1 的距离,易知正三角形 ABC 底边 AC 上的高为 3,因 此,������������-������������������1 = 13×3× 3 = 3.
-5-
方法一 方法二 方法三 方法四 方法五 方法六
例 1(1)已知点 A,B,C 在圆 x2+y2=1 上运动,且 AB⊥BC.若点 P 的
坐标为(2,0),则|������������ + ������������ + ������������|的最大值为( )
A.6
B.7
C.8
D.9
(2)已知 M(x0,y0)是双曲线 C:���2���2-y2=1 上的一点,F1,F2 是 C 的两个
第一部分 方法、思想解读
第1讲 选择题、填空题的解法
-3-
高考选择题、填空题绝大部分属于低中档题目,一般按由易到难 的顺序排列,注重多个知识点的小型综合,渗透各种数学思想和方 法,能充分考查灵活应用基础知识解决数学问题的能力.
(1)解题策略:选择题、填空题属于“小灵通”题,其解题过程“不讲 道理”,所以解题的基本策略是充分利用题干所提供的信息作出判 断,先定性后定量,先特殊后一般,先间接后直接,另外对选择题可以 先排除后求解.
D.1
(2)在平面直角坐标系中,设 A,B,C 是曲线 y=������1-1上三个不同的点,
且 D,E,F 分别为 BC,CA,AB 的中点,则过 D,E,F 三点的圆一定经过定

专题七 │ 考情分析预测
备考策略 二轮复习时，要有效地掌握以下几个方面： 数学思想与方法是通过数学知识体现的，在复习中，要养成利用数 学思想分析问题、思考问题、解答问题的习惯意识． (1)对于函数与方程思想，在解题中要善于挖掘题目中的隐含条件， 构造出函数解析式和妙用函数与方程的相互转化的关系是应用函数与方 程思想解题的关键． (2)数形结合的实质是把抽象的数学语言和直观的图象语言结合起 来，即将代数问题几何化，几何问题代数化．在运用数形结合思想分析 问题时，要注意三点：①理解一些概念与运算法则的几何意义以及曲线 的代数特征，对题目中的条件和结论既分析其几何意义，又分析其代数 意义；②恰当设参、合理用参，建立关系，由形思数，以数想形，做好 数形转化；③确定参数的取值范围，参数的范围决定图形的范围．
第19讲 │ 要点热点探究
(1)4
23 (2) 3
【解析】 (1)设{an}的公差为 d，由已知条件，aa11＋ ＋d4＝ d＝1， －5，
解得 a1＝3，d＝－2. 又 Sn＝na1＋nn2－1d＝－n2＋4n＝4－(n－2)2，所以 n＝2 时，Sn 取到最大
值 4.(2)建立平面直角坐标系，设向量O→A＝(2,0)，O→B＝(1， 3)，O→C＝(2cosα，
第19讲 │ 要点热点探究
要点热点探究
► 探究点一 列方程(组)解题
例 1 (1)公差不为零的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn， 若 a4 是 a3 与 a7 的等比中项，S8＝32，则 S10 等于( )
A．18 B．24 C．60 D．90 (2)过抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点 F 作倾斜角为 45°的 直线交抛物线于 A，B 两点，若线段 AB 的长为 8，则 p ＝________.

1 综上所述： ＝ 时 不能构成等差数列； ＝－ 综上所述：当q＝1时，Sk＋1，Sk＋3，Sk＋2不能构成等差数列；当q＝－2时， Sk＋1，Sk＋3，Sk＋2能构成等差数列． 能构成等差数列．
拓展提升——开阔思路 拓展提升 开阔思路 提炼方法 分类讨论的许多问题是由运算的需要引发的，比如： 分类讨论的许多问题是由运算的需要引发的，比如：除法运算中 分母是否为0；解方程、不等式中的恒等变形； 分母是否为 ；解方程、不等式中的恒等变形；用导数求函数单调性 时导数正负的讨论；对数运算中底数是否大于 ； 时导数正负的讨论；对数运算中底数是否大于1；数列运算中对公 公比限制条件的讨论等，如果运算需要对不同情况作出解释， 差、公比限制条件的讨论等，如果运算需要对不同情况作出解释，就 要进行分类讨论． 要进行分类讨论．
题型二 运算需要分类讨论
项和， 【例2】 已知在等比数列 n}中，a1＝1，Sn是其前 项和，且ak＋1， 】 已知在等比数列{a 中 ， 是其前n项和 ak＋3，ak＋2(k∈N)成等差数列． ∈ 成等差数列． 成等差数列 (1)求数列 n}的公比； 求数列{a 的公比 的公比； 求数列 (2)试判断 k＋1，Sk＋3，Sk＋2(k∈N)是否也构成等差数列，并说明理由． 试判断S 是否也构成等差数列， 试判断 ∈ 是否也构成等差数列 并说明理由． 解：(1)设等比数列 n}的公比为 ≠0)，则ak＋1＝qk，ak＋3＝qk 2，ak＋2＝qk 1， 设等比数列{a 的公比为 的公比为q(q≠ ， 设等比数列 1 ＋ ＋ 依题意得2q 由于q 依题意得 k 2＝qk＋qk 1，由于 k≠0，所以 2－q－1＝0，解得 ＝1或q＝－2. ，所以2q － ＝ ，解得q＝ 或 ＝－ (2)当q＝1时，Sk＋1＝(k＋1)a1＝k＋1，Sk＋3＝k＋3，Sk＋2＝k＋2，显然 k＋1＋Sk＋2＝ 当 ＝ 时 ＋ ＋ ， ＋ ， ＋ ，显然S k＋1＋k＋2＝2k＋3≠2Sk＋3，故Sk＋1，Sk＋3，Sk＋2不能构成等差数列； ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ≠ 不能构成等差数列；

由图形或图象引发的分类讨论
[试题调研] x＋y－2≥0， (2014· 北京高考)若x，y满足kx－y＋2≥0， y≥0， )
[例2]
且z＝y－x的最小值为－4，则k的值为( A．2 B．－2 1 C.2
1 D．－2
[思路方法]
线性约束条件中含有参数，k的取值会对可行
域产生影响，因此解题时要注意对k的分类讨论．可将k分为 k>0，k<－1，k＝－1与－1<k<0等情况讨论求解．
或0<x≤4，即不等式f(x)≥－2的解集为
1 －∞，－ ∪(0,4]，故选率、指数 函数、对数函数等．与这样的数学概念有关的问题往往需要根 据数学概念进行分类，从而全面完整地解决问题． (1)分段函数在自变量不同取值范围内，对应关系不同，必 须进行讨论．由数学定义引发的分类讨论一般由概念内涵所决 定，解决这类问题要求熟练掌握并理解概念的内涵与外延．
[回访名题] (1)(2013· 辽宁高考)已知点O(0,0)，A(0，b)，B(a，a3)．若△ OAB为直角三角形，则必有( A．b＝a3 1 B．b＝a ＋a
两式相减，得 (q－1)Sn＝nqn－1－q1－q2－„－qn－1
n n＋1 n q － 1 nq － n ＋ 1 q ＋1 n ＝nq － ＝ . q－1 q－1
nqn＋1－n＋1qn＋1 于是，Sn＝ . q－12 nn＋1 若q＝1，则Sn＝1＋2＋3＋„＋n＝ 2 . nn＋1 q＝1， 2 所以Sn＝ n＋1 n nq －n＋1q ＋1 q≠1. 2 q － 1
(3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数 的单调性、基本不等式等． (4)由图形的不确定性而引起的分类讨论：如二次函数图 象、指数函数图象、对数函数图象等． (5)由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问 题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由于对 不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等.

高考新课程数学二轮课件 分类与整合思想
汇报人：XX 20XX-01-27
目录
• 引言 • 高考数学二轮课件分类 • 高考数学二轮课件整合 • 分类与整合思想在高考数学中的应用案例 • 分类与整合思想在高考数学中的解题策略 • 总结与展望
01
引言
高考数学二轮复习的目的与意义
梳理知识网络
通过二轮复习，将高中数学知识进行系统化 的梳理和归纳，形成完整的知识网络，便于 学生更好地理解和记忆。
强化解题能力
在二轮复习中，通过大量的练习和模拟考试 ，提高学生的解题速度和准确性，培养学生 的数学思维和解题能力。
提升应试技巧
针对高考数学的特点和要求，二轮复习将重 点训练学生的应试技巧，如时间管理、答题 规范等，帮助学生更好地应对高考。
分类与整合思想在高考数学中的应用
1
分类讨论
在解决数学问题时，根据问题的不同情 况和特点，进行分类讨论，使问题更加 清晰、易于解决。分类讨论思想在高考 数学中广泛应用，如函数性质、不等式 求解等问题。
代数与几何的整合
将代数与几何的知识进行有机结 合，例如通过解析几何的方法解 决代数问题，或者利用代数的手
段简化几何问题的求解过程。
概率与统计的整合
将概率与统计的知识进行融合， 例如通过概率的方法分析统计数 据的分布规律，或者利用统计的 手段对概率模型进行参数估计和
假设检验。
函数与导数的整合
将函数与导数的知识进行整合， 例如通过导数研究函数的单调性 、极值和最值等问题，或者利用 函数的性质分析导数的变化规律
针对不同题型的分类解题策略
选择题解题策略
运用分类讨论思想，将问题分解为若 干个子问题，逐个击破，提高解题效 率。
填空题解题策略

y2 y1 kMA+kMB= + . x1 2 x2 2
由y1=kx1-k,y2=kx2-k得
2kx1 x2 3k ( x1 x2 ) 4k kMA+kMB= . ( x1 2)( x2 2) x2 2 将y=k(x-1)代入 +y =1得 2
(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0,
①若a=0,则f(x)=e2x,在(-∞,+∞)上单调递增. ②若a>0,则由f '(x)=0得x=ln a. 当x∈(-∞,ln a)时, f '(x)<0; 当x∈(ln a,+∞)时, f '(x)>0. 故f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,在(ln a,+∞)上单调递增.
a . ③若a<0,则由f '(x)=0得x=ln 2
∵0<B<π,0<C<π,∴C= -B或C= +B. 2 2 ①当C= -B时,由A=2B且A+B+C=π,得A= ,B=C= ,这与“b 2 2 4 ≠c”矛盾,∴A≠ ; 2 5 ②当C= +B时,由A=2B且A+B+C=π,得A= ,B= ,C= ,∴A= . 8 2 4 4 8
.
答案 解析
4
若a>1,则a2=4,a-1=m,此时a=2,m= ,此时g(x)=- x 在[0,+∞)
1 2
1
上为减函数,不合题意.
若0<a<1,有a-1=4,a2=m,
故a= ,m= ,此时g(x)= x 在[0,+∞)上为增函数,符合题意. 综上可知,a= .

f(－α)＝sin2α＋sin2(α－β)，f(－β)＝sin2β＋sin2(α－β)．
2 2 2 2 sin α ＋ sin β ＝ 1 ＋ cos α ＋ cos β， 所以有 2 2 2 2 sin α ＋ sin α － β ＝ sin β ＋ sin α－β，
类型四
由字母参数引起的分类讨论
【例4】 已知函数f(x)＝x3＋x2－ax(a∈R)． (1)当a＝0时，求与直线x－y－10＝0平行，且与曲线y＝f(x)相 切的直线方程； fx (2)求函数g(x)＝ x －aln x(x＞1)的单调递增区间．
2 2 解 (1)设切点为T(x0，x3 ＋ x ) ， f ′ ( x ) ＝ 3 x ＋2x. 0 0
1 2 由题意得3x0＋2x0＝1，解得x0＝－1或 . 3 ∴切线的方程为x－y＋1＝0或27x－27y－5＝0. a (2)g(x)＝x ＋x－a－aln x(x＞1)，由g′(x)＝2x＋1－x ＞0得
2
2x2＋x－a＞0.令φ(x)＝2x2＋x－a(x＞1)， 由于φ(x)在(1，＋∞)上是增函数．∴φ(x)＞φ(1)＝3－a.
解 (1)设数列{an}的公差为d，由已知，得
3a1＋3d＝6， 8a1＋28d＝－4， a1＝3， 解得 d＝－1.
故an＝3－(n－1)＝4－n. (2)由(1)可得bn＝n· qn 1，于是
－
Sn＝1· q0＋2· q1＋3· q2＋…＋n· qn－1. 若q≠1，将上式两边同乘q，得 qSn＝1· q1＋2· q2＋…＋(n－1)· qn 1＋n· qn.
[类型讲解] 类型一 【例1】 数学概念与运算引起的分类讨论
2 sinπx ，－1＜x＜0， 函数f(x)＝ x－1 e ，x≥0.

思想方法
高频考点
核心归纳
-6-
命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四
利用函数思想解决与方程有关的问题
【思考】 如何处理含参数的方程在给定区间上有解的参数的范
围问题?
例1已知关于x的方程cos2x-sin x+a=0在
π 0, 2
上有解,求a的取值
范围.
解法一 设 f(x)=-cos2x+sin x ������∈
即11-���-���������������������+������ 1 -2=0,故
xn=12
+
1 2
������������������ +1 .
思想方法
高频考点
核心归纳
-18-
命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四
(2)解：由假设,gn(x)=(������
+1)(1+������ 2
整理得
1-
1 ������ 2
+
4������2
x2-2x-3≥0.
因为 x2>0,所以 1-������12+4m2≥2������������+2 3.
设 g(x)=2������������+2 3,x∈
3 2
,
+
∞
.
于是题目化为 1-������12+4m2≥g(x)对任意
x∈
3,+ ∞
2
恒成立的问题.
-2=
1 ������+1 2
1-12
-2=-21������<0,
所以 Fn(x)在区间
1 2
,1

综上,a≥-12.
-6-
思想方法诠释 思想分类应用 应用方法归纳
应用二 由数学运算、性质、定理、公式引起的分类讨论
例2设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S3+S6=2S9,则数列的公比q 是( )
A.-323
B.323
C.-324
D.324
答案 C
解析 若q=1,则有S3=3a1,S6=6a1,S9=9a1,但a1≠0,
3
则 g'(a)=2a(2-ln a)-a=a(3-2ln a)=0,得极大值点 a=e2. 而 g(e32)=12e3.因此 ab 的最大值是12e3,故选 A.
-11-
思想方法诠释 思想分类应用 应用方法归纳
思维升华含有参数的分类讨论问题主要包括:(1)含有参数的不等 式的求解;(2)含有参数的方程的求解;(3)函数解析式中含参数的最 值与单调性问题;(4)二元二次方程表示曲线类型的判定等.
-2-
思想方法诠释 思想分类应用 应用方法归纳
1.分类讨论思想的含义 分类讨论思想就是当问题所给的对象不能进行统一研究时,首先 需要把研究对象按某个标准分类,然后对每一类分别研究,得出每 一类的结论,最后综合各类结果得到整个问题的解答. 2.分类讨论的原则 (1)不重不漏;(2)标准要统一,层次要分明;(3)能不分类的要尽量避 免,决不无原则地讨论. 3.分类讨论的常见类型 (1)由数学概念而引起的分类讨论;(2)由数学运算要求而引起的 分类讨论;(3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论;(4)由 图形的不确定性而引起的分类讨论;(5)由参数的变化而引起的分 类讨论;(6)由实际意义引起的讨论.
思维升华由数学概念引起的分类讨论有:绝对值的定义、二次函 数的定义、分段函数的定义、异面直线所成角的定义、直线的斜 率、指数、对数函数等.

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第19讲 函数与方程思想、数形结合思想
[答案] (1)10 (2)D
[解析] (1)由题意，可行域如图 8－19－6 所示，当 z＝ 2x－y＋m 过(2，2)时，zmax＝12，故 m＝10.
命 题 考 向 探 究
图 8－19－6
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第19讲 函数与方程思想、数形结合思想
(2)函数 y＝|f(x)|＝xln2（－x2＋x，1）x≤，0，x>0，在同一坐标系中 画出 y＝|f(x)|，y＝ax 的图像如图 8－19－7 所示，问题等
为________．
25 [答案] 5
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第19讲 函数与方程思想、数形结合思想
核
心
[解析] 在平面直角坐标系中画出可行域，如图 8－19－2
知 所示．根据可行域可知，区域 D 内的点到点(1，0)的距离的
识 聚 焦
最小值为点(1，0)到直线 2x－y＝0 的距离，即 d＝|2－50|＝
2 5 5.
核 心 知
[解析] 曲线 y＝ex 与 y＝12x2＋x＋1 公共点的个数等价于
识 聚 焦
函数 φ(x)＝ex－12x2－x－1 零点的个数．∵φ(0)＝1－1＝0，
∴φ(x)存在零点 x＝0.又 φ′(x)＝ex－x－1，令 h(x)＝φ′(x)
＝ex－x－1，则 h′(x)＝ex－1.当 x<0 时，h′(x)<0，则 φ′(x)
图 8－19－2
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第19讲 函数与方程思想、数形结合思想
核 心
体验高考
知
识
6．[2013·辽宁卷改编] 若 x∈[0，1]，则 x与sin x⑥ 的关系
聚 焦
为________．

显当命题然k热<根此点-1一据时时图z,=命z形=题y位y-热x-x点置无二取或最唯���形小���命一≥状值题值热0变;点2三动; 分命类题讨热点论四 当 k【=-思1 考时】,z=y由-x图取形得的最位小置值或-2形,均状不变符动合引题发意的. 讨论有哪些?
当围( -成例1<的3k)若<三0x角,时y满形,如足区图域���������②���������,���当+���≥-所������直���0���示+-,2线,2此≥z≥时=0y0,可-,x且行经z=域过y为-点x的点A最A-小���2���-,值���20��� ,0为时,-,B4有(,则2最,0k小)的,C值值(0,,为即2)所
∵函数 g(x)的定义域为(0,+∞), ∴当 a≤0 时,2ax-1<0 在区间(0,+∞)内恒成立,
由 g'(x)>0,得 0<x<1;由 g'(x)<0,得 x>1,
即函数 g(x)在区间(0,1)内单调递增,在区间(1,+∞)内单调递
减.
当 a>0 时,令 g'(x)=0,得 x=1 或 x=21������.
1
+
1 3
…
1
+
1 ������
>
1 1
−
1 12
+
1 2
−
1 22
+
1 3
−
1 32
+…+1������
−
���1���2.
即
������
ln(1+n)> ∑
������=1
ii-21.

1 2 2 1 所以 a ＝2k＋2(k∈Z)，k 只能取 0，此时 a ＝2.因为－1<a<0，所以 a＝－ 2 .
2
2 故 a＝1 或－ 2 .
命题方向2 由图形位置或形状引起的分类与整合
x≥0， y≥0， (1)在约束条件 y＋x≤s， y＋2x≤4 值的变化范围是( A．[6,15] C．[6,8]
• 『规律总结』 • 图形位置或形状的变化中常见的分类 • 圆锥曲线形状不确定时，常按椭圆、双曲 线来分类讨论，求圆锥曲线的方程时，常 按焦点的位置不同来分类讨论；相关计算 中，涉及图形问题时，也常按图形的位置 不同、大小差异等来分类讨论．
x2 y2 (2017· 郑州三模)设 F1，F2 为椭圆 9 ＋ 4 ＝1 的两个焦点，P 为椭圆上一点．已知 7 或2 |PF1| 2 P，F1，F2 是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|>|PF2|，则|PF |的值为________.
D
下，当 3≤s≤5 时，z＝3x＋2y 的最大
) B．[7,15] D．[7,8]
[解析] C′(0,4)．
x＋y＝s， (1)由 y＋2x＝4
x＝4－s， ⇒ y＝2s－4，
取点 A(2,0)，B(4－s,2s－4)，C(0，s)，
①当 3≤s<4 时，可行域是四边形 OABC，如图 1 所示．此时，7≤z<8.
• 2．由性质、定理、公式的限制引起的分类
与整合：有的数学定理、公式、性质是分
类给出的，在不同的条件下结论不一致，
如等比数列的前n项和公式、函数的单调性
等．
• 3．由数学运算要求引起的分类与整合：如 除法运算中除数不为零，偶次方根被开方 数为非负，对数真数与底数的要求，指数

[解析] 因为 x∈[2,16]，所以 f(x)＝log2x∈[1,4]，即 m∈[1,4]．不等式 x2＋mx ＋4>2m＋4x 恒成立，即为 m(x－2)＋(x－2)2>0 恒成立． 设 g(m)＝(x－2)m＋(x－2)2， 则此函数在区间[1,4]上恒大于 0，
g1>0， 所以 g4>0，
fx f0 得 g′(x)<0 恒成立，所以函数 g(x)＝ ex 在 R 上单调递减．又因为 g(0)＝ e0 ＝1， fx 所以 ex <1. 即 g(x)<1，所以 x>0，所以不等式的解集为(0，＋∞)．
1 2．若不等式 x ＋ax＋1≥0 对一切 x∈(0，2]恒成立，则 4 x － 2 ＋ x － 2 >0，
解得 x<－2 或 x>2.
(2)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数 a 1 3 (2，2) － 满足 f(2|a 1|)>f(－ 2)，则 a 的取值范围是_____________.
[解析] 由 fx是偶函数且 fx在－∞，0上单调递增可知，f(x)在0，＋∞上单 调递减．
a－ 1 又因为 f 2 >f－ 2，f－ 2＝f 2，





所以 2

当 a>1 时，要使方程 f(x)－loga(x＋2)＝0 恰有 3 个不同的实数根， 则等价于函数 f(x)与 g(x)＝loga(x＋2)有 3 个不同的交点，
g2<f2， 则满足 g6>f6， loga4<3， 即 loga8>3，
解得 4<a<2，故 a 的取值范围是( 4，2)．