人教版九年级数学上典中点第二十四章解码专训一(含答案)

24.1.2 垂直于弦的直径课后作业：方案（B）一、教材题目：P83 T2 P89 -P90 T8-T12 T15 T161．如图，在⊙O中，AB，AC为互相垂直相等的两条弦，OD⊥AB,OE⊥AC,垂足分别为D,E.求证：四边形ADOE是正方形.2．如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分.如果M 是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，并且CD=4 m,EM=6 m.求⊙O的半径.3．如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦AB交小圆于C,D两点.求证：AC=BD.4.⊙O的半径为13cm,AB,CD是⊙O的两条弦，AB∥CD,AB=24 cm,CD=10 cm.求AB和CD之间的距离.5.如图，AB,CD是⊙O的两条平行弦，MN是AB的垂直平分线.求证：MN垂直平分CD.6.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（AB），点O是这段弧所在圆的圆心.AB= 300 m,C是AB上一点，OC⊥AB，垂足为D，CD=45 m.求这段弯路的半径.7. 如图，AB和CD分别是⊙O上的两条弦，圆心O到它们的距离分别是OM和ON,如果AB＞CD，OM和ON的大小有什么关系？为什么？8.如图，铁路MN和公路PQ在点O处交会，∠QON=30°，在点A处有一栋居民楼，AO=200 m.如果火车行驶时，周围200 m以内会受到噪声的影响，那么火车在铁路MN上沿ON方向行驶时，居民楼是否会受到噪声的影响？如果火车行驶的速度为72 km／h,居民楼受噪声影响的时间约为多少？（结果保留小数点后一位）二.补充: 部分题目来源于《点拨》9．下列命题中，错误的是()A．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形B．平分弦的直径垂直于这条弦C．平分弧的直径垂直平分弧所对的弦D．垂直于弦的直径平分这条弦，且平分弦所对的两条弧10.〈浙江湖州有改动〉已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D(如图)．(1)求证：AC＝BD；(2)若大圆的半径OA＝10，小圆的半径OC＝8，且圆心O到直线AB的距离OE为6，求AC的长．11.如图，半径为6的⊙E在平面直角坐标系中与x轴交于A，B两点，与y轴交于C ，D 两点，已知C (0，3)，D (0，－7)，求圆心E 的坐标．答案一、 教材1.证明：⎭⎪⎪⎬⎪⎪⎫⎭⎪⎬⎪⎫OE ⊥AC ⇒AE ＝12ACOD ⊥AB ⇒AD ＝12ABAB ＝AC ⇒AE ＝AD⎭⎪⎬⎪⎫OE ⊥AC OD ⊥AB AB ⊥AC ⇒四边形ADOE 是矩形⇒矩形ADOE 是正方形．点拨：垂直于弦的直径平分弦，邻边相等的矩形是正方形．2. 解：连接OC ， 因为M 是CD 的中点， CD ＝4 m ，所以CM ＝12CD ＝12×4＝2(m)．因为EM 经过圆心O ，M 是CD 的中点，所以EM ⊥CD .设⊙O 的半 径为x m ，则OE ＝OC ＝x m ，OM ＝(6－x)m.在Rt △COM 中，OC 2＝CM 2＋OM 2，即x 2＝22＋(6－x )2，解得x ＝103，即⊙O 的半径为103m.3.证明：过O 作OE ⊥AB ，垂足为E (如图所示)．⎭⎪⎬⎪⎫在小⊙O 中：OE ⊥CD ⇒CE ＝DE 在大⊙O 中：OE ⊥AB ⇒AE ＝BE ⇒AE －CE ＝BE －DE ⇒AC ＝BD .4.解：AB 与CD 在⊙O 中的位置有两种不同的情况，如图所示．过点O 作ON ⊥CD ，垂足为N ，ON 或其反向延长线交AB 于点M ，连接OA ，OD .因为 AB ∥CD ，所以OM ⊥AB .在Rt △AOM 中，OA ＝13cm ，AM ＝12AB ＝12×24＝12(cm)，所以OM ＝132－122＝25＝5(cm)．在Rt △OND 中，OD ＝ 13cm ，DN ＝12CD ＝12×10＝5(cm)，所以ON ＝132－52＝144＝12(cm)．在图(1)中，MN ＝ON －OM ＝12－5＝7(cm)，在图(2)中，MN ＝OM ＋ON ＝5＋12＝17(cm)．故AB 和CD 之间的距离是7cm 或17cm.(1) (2) 点拨：本题要分两种情况讨论，注意分类讨论思想的运用．5．证明：因为MN 是AB 的垂直平分线，所以MN 为直径，又因为AB ∥CD ， 所以MN ⊥CD .所以MN 垂直平分CD .6. 解：设这段弯路的半径为R m ，则OD ＝(R －45)m .因为OC ⊥AB ，所以 AD ＝12AB ＝12×300＝150(m )．在Rt △AOD 中，OA2＝OD 2＋AD 2，即R 2＝(R －45)2＋1502.解得R ＝272.5，所以这段弯路的半径为272.5 m . 点拨：处理好图中各线段与半径之间的关系是解题的关键．7．解：OM ＜ON .连接OA ，OC (如图所示)．⎭⎪⎪⎬⎪⎪⎫⎭⎪⎬⎪⎫ OM ⊥AB ⇒AM ＝12ABON ⊥CD ⇒CN ＝12CDAB ＞CD ⇒AM ＞CNOM2＝OA2－AM2ON2＝OC2－CN2OA ＝OC⇒ OM ＜ON.点拨：在同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等；较长的弦的弦心距反 而短．8．解：以A 为圆心，以AO 为半径作⊙A ，交MN 于点C ，作AB ⊥MN 于点 B (如图所示)．因为∠QON ＝30°，OA ＝200 m ，所以AB ＝12OA ＝12×200＝100(m )＜200 m ，所以居民楼会受到噪声的影响．OB ＝OA2－AB2＝2002－1002＝1003(m )，又因为AB ⊥OC ，所以BC＝OB ＝100 3 m ，所以CO ＝200 3 m ．又因为72 km /h ＝20 m /s ， 所以200320＝103≈17.3(s )．答：居民楼会受到噪声的影响，受影响的时间约为17.3 s . 二、点拨9. B10.(1)证明：易知AE ＝BE ，CE ＝DE ，∴AE －CE ＝BE －DE ，即AC ＝BD ； (2)解：∵OE ⊥AB ，OC ＝8，OA ＝10，OE ＝6，∴CE ＝OC 2－OE 2＝82－62＝27，AE ＝OA 2－OE 2＝102－62 ＝8，∴AC ＝AE －CE ＝8－27.11.导引：要求圆心E 的坐标，需作EN ⊥x 轴于点N ，EM ⊥y 轴于点M .题目 已知半径，所以可以连接ED ，利用垂径定理和勾股定理求出EM ， EN 的长．解：如图，作EN ⊥x 轴于点N ，EM ⊥y 轴于点M ，连接ED . ∵C (0，3)，D (0，－7)，∴CD ＝3－(－7)＝10. 又∵EM ⊥y 轴，∴MD ＝12CD ＝5，∴EM ＝ED 2－MD 2＝62－52＝11.易知四边形ENOM 为矩形，且EN ＝OM ＝OD －MD ＝7－5＝2， ∴圆心E 的坐标为(11，－2)．,。

人教版数学九年级上册第二十四章测试卷(45分钟100分)一、选择题(每小题4分,共28分)1.已知☉O的半径为6,A为线段PO的中点,当OP=10时,点A与☉O的位置关系为( )A.在圆上B.在圆外C.在圆内D.不确定【解析】选C.∵点A为OP的中点,∴OA=OP÷2=5<6,∴点A在☉O内部.2.圆最长弦为12cm,如果直线与圆相交,且直线与圆心的距离为d,那么( )A.d<6cmB.6cm<d<12cmC.d≥6cmD.d>12cm【解析】选A.由题意知圆的直径为12cm,那么圆的半径为6cm.则当直线与圆相交时,直线与圆心的距离d<6cm.3.(2013·巴中中考)如图,已知☉O是△ABD的外接圆,AB是☉O的直径,CD是☉O 的弦,∠ABD=58°,则∠BCD等于( )A.16°B.32°C.58°D.64°【解析】选B.∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°.∵∠ABD=58°,∴∠A=90°-∠ABD=32°,∴∠BCD=∠A=32°.4.(2013·河池中考)如图, AB为☉O的直径,C为☉O外一点,过C作☉O的切线,切点为B,连接AC交☉O于D,∠C=38°.点E在AB右侧的半圆周上运动(不与A,B 重合),则∠AED的大小是( )A.19°B.38°C.52°D.76°【解析】选B.如图,连接BE,则直径AB所对的圆周角∠AEB=90°,由切线BC可得直角△ABC中,∠BAC=90°-∠C=90°-38°=52°,因为∠BAC=∠BED=52°,所以∠AED=∠AEB-∠BED=90°-52°=38°.5.为增加绿化面积,某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖,更换后,图中阴影部分为植草区域,设正八边形与其内部小正方形的边长都为a,则阴影部分的面积为( )A.2a2B.3a2C.4a2D.5a2【解析】选A.由正方形和正八边形的性质知四个三角形为全等的等腰直角三角形,正好拼接成一个边长为a的正方形,又根据正方形的面积等于边长的平方,所以阴影部分的面积是2a2.6.(2013·德州中考)如图,扇形AOB的半径为1,∠AOB=90°,以AB为直径画半圆,则图中的阴影部分的面积为( )A.πB.π-C. D.π+【解析】选C.因为扇形AOB的半径为1,∠AOB=90°,所以AB=,△AOB的面积为,扇形AOB的面积为=,所以弓形的面积为-,又因为半圆的面积为,所以阴影部分的面积为:-=.【变式训练】(2013·东营中考)如图,正方形ABCD中,分别以B,D为圆心,以正方形的边长a 为半径画弧,形成树叶形(阴影部分)图案,则树叶形图案的周长为( )A.πaB.2πaC.πaD.3a【解析】选A.方法一:∵四边形ABCD是正方形,∴∠B=∠D=90°.则扇形ABC的弧长为l==aπ,同理可求扇形ADC的弧长为aπ,所以树叶形图案的周长为aπ×2=πa;方法二:由题意知树叶形图案的周长为以a为半径的圆周长的一半,所以树叶形图案的周长为:×2πa=πa.7.如图,四边形ABCD内接于☉O,如果它的一个外角∠DCE=64°,那么∠BOD=( )A.128°B.100°C.64°D.32°【解析】选A.∵∠DCE=64°,∴∠BCD=116°,∵四边形ABCD内接于☉O,∴∠A+∠DCB=180°,∴∠A=64°,∴∠BOD=2∠A= 128°.二、填空题(每小题5分,共25分)8.如图,已知AB,CD是☉O的直径,=,∠AOE=32°,那么∠COE的度数为度.【解析】∵=,∴∠AOE=∠COA;又∠AOE=32°,∴∠COA=32°,∴∠COE=∠AOE+∠COA=64°.答案:649.(2013·衡阳中考)如图,要制作一个母线长为8cm,底面圆周长为12πcm的圆锥形小漏斗,若不计损耗,则所需纸板的面积是cm2.【解析】所需纸板的面积=×12π×8=48π(cm2).答案:48π10.如图,AB,AC,BD是☉O的切线,P,C,D为切点,如果AB=5,AC=3,则BD的长为.【解析】∵AC,AP为☉O的切线,∴AC=AP,∵BP,BD为☉O的切线,∴BP=BD,∴BD=PB=AB-AP=5-3=2.答案:211.(2013·哈尔滨中考)如图,直线AB与☉O相切于点A,AC,CD是☉O的两条弦,且CD∥AB,若☉O的半径为,CD=4,则弦AC的长为.【解析】连接AO并延长交CD于点E,连接OC,∵AB是圆O的切线,∴OA⊥AB,∵CD∥AB,∴∠AEC=90°,∴CE=CD=2,在Rt△OCE 中,由勾股定理得OE===,∴AE=4,在Rt△ACE中,由勾股定理得AC===2.答案:212.直角三角形的两边长分别为16和12,则此三角形的外接圆半径是. 【解析】当已知长度分别为16和12的两边为直角边时,可知斜边长为20,此时直角三角形的外接圆半径是10.当斜边长为16时,此时直角三角形的外接圆半径是8.所以三角形的外接圆半径是10或8.答案:10或8三、解答题(共47分)13.(10分)如图,☉O的半径OC=10cm,直线l⊥CO,垂足为H,交☉O于A,B两点,AB=16cm,直线l平移多少厘米时能与☉O相切?【解析】如图,连接OA,延长CO交☉O于D,∵l⊥OC,∴OC平分AB.∴AH=8.在Rt△AHO中,OH===6,∴CH=4cm,DH=16cm.答:直线l向左平移4cm,或向右平移16cm时与圆相切.【一题多解】设直线l平移x cm时能与圆相切,(10-x)2+82=102,x1=16,x2=4,所以CH=4cm,DH=16cm.答:直线l向左平移4cm,或向右平移16cm时与圆相切.【易错提醒】直线l可能向左移动,也可能向右移动,不要只考虑一种情况.14.(12分)如图,AB是☉O的直径,=,∠COD=60°.(1)△AOC是等边三角形吗?请说明理由.(2)求证:OC∥BD.【解析】(1)△AOC是等边三角形.∵=,∴∠AOC=∠COD=60°.∵OA=OC,∴△AOC是等边三角形.(2)∵=,∴OC⊥AD,又∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°,即BD⊥AD,∴OC∥BD.15.(12分)(2013·德州中考)如图,已知☉O的半径为1,DE是☉O的直径,过D作☉O的切线,C是AD的中点,AE交☉O于B点,四边形BCOE是平行四边形.(1)求AD的长.(2)BC是☉O的切线吗?若是,给出证明;若不是,说明理由.【解题指南】(1)连接BD,由ED为☉O的直径,利用直径所对的圆周角为直角得到∠DBE为直角,由四边形BCOE为平行四边形,得到BC与OE平行,且BC=OE=1,在直角三角形ABD中,C为AD的中点,利用斜边上的中线等于斜边的一半求出AD 的长即可.(2)连接OB,由BC与OD平行,BC=OD,得到四边形BCDO为平行四边形,由AD为圆的切线,利用切线的性质得到OD垂直于AD,可得出四边形BCDO为矩形,利用矩形的性质得到OB垂直于BC,即可得出BC为圆O的切线.【解析】(1)连接BD,则∠DBE=90°.∵四边形BCOE是平行四边形,∴BC∥OE,BC=OE=1.在Rt△ABD中,C为AD的中点,∴BC=AD=1.∴AD=2.(2)连接OB,由(1)得BC∥OD,且BC=OD.∴四边形BCDO是平行四边形.又∵AD是☉O的切线,∴OD⊥AD.∴四边形BCDO是矩形.∴OB⊥BC,∴BC是☉O的切线.16.(13分)(2013·莆田中考)如图,▱ABCD中,AB=2,以点A为圆心,AB为半径的圆交边BC于点E,连接DE,AC,AE.(1)求证:△AED≌△DCA.(2)若DE平分∠ADC且与☉A相切于点E,求图中阴影部分(扇形)的面积.【解析】(1)∵AB=AE,∴∠ABE=∠AEB;在▱ABCD中,AB=CD,AD∥BC,∠ABE=∠ADC,∴DC=AE,∠DAE=∠AEB=∠ADC;在△ADE与△DAC中,DC=AE,∠DAE =∠ADC,AD=DA,∴△AED≌△DCA.(2)∵DE平分∠ADC且与☉A相切于点E,AE是☉A的半径,∴∠AED=90°,∠ADE=∠EDC,∵AD∥BC,∴∠ADE=∠DEC=∠CDE,∴CD=CE.由(1)中结论,可知∠AED=∠DCA=90°,DC=AE=CE, ∴∠ACE=∠EAC.∵∠CAE+∠BAE=90°,∠ACE+∠ABE=90°,∴∠BAE=∠ABE,∴BE=AE=AB,∴△ABE是等边三角形,∴∠BAE=60°.∴阴影部分的面积为:=π.。

第二十四章圆一、选择题1. 已知⊙O的半径为3 cm，OP=4 cm，则点P与⊙O的位置关系是( )A．点P在圆内B．点P在圆上C．点P在圆外D．无法确定2. 已知圆锥的底面半径为3 cm，母线长为4 cm，则圆锥的全面积是( )A．15π cm2B．21π cm2C．20π cm2D．24π cm23. 下列说法：①平分弦的直径垂直于弦；②三点确定一个圆；③相等的圆心角所对的弧相等；④垂直于半径的直线是圆的切线；⑤三角形的内心到三条边的距离相等．其中不正确的有( )个．A．1B．2C．3D．44. 如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ADC=35∘，则∠CAB的度数为( )A．35∘B．45∘C．55∘D．65∘5. 如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，连接AD，若∠C=22∘，则∠CDA的大小为( )A．112∘B．124∘C．129∘D．136∘6. 如图，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC=32∘，则∠OBA的度数是( )A．64∘B．58∘C．32∘D．26∘7. 在截面为半圆形的水槽内装有一些水，如图，水面宽AB为6分米，如果再注入一些水后，水面上升1分米，此时水面宽变为8分米，则该水槽面半径为( )A．3分米B．4分米C．5分米D．10分米8. 设P为⊙O外一点，若点P到⊙O的最短距离为3，最长距离为7，则⊙O的半径为( )A．3B．2C．4或10D．2或59. 如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连接DP，交AC于点Q．若的值为( )QP=QO，则QCQAA．23−1B．23C．3+2D．3+210. 如图，在Rt△AOB中，OA=OB=4，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则线段PQ长度的最小值为( )A．5B．7C．23D．32二、填空题11. 如图，AB是⊙O的直径，C，D，E都是⊙O上的点，则∠1+∠2=．12. 如图：四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，若∠A=n∘，则∠DCE=．13. 如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，若AB=6，CE:ED=1:9，则⊙O的半径是．14. 如图，菱形OABC的边长为2，且点A，B，C在⊙O上，则劣弧BC的长度为．15. 如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切于点A，CE∥AB交⊙O于点D，E，CD=2，AB=8．则AD=．16. 如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=2，以B为圆心，BC为半径画弧，交AD于点E，则图中阴影部分的面积是．17. 如图所示，边长为2的正方形ABCD的顶点A，B在一个半径为2的圆上，顶点C，D在该圆内，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点D第一次落在圆上时，点C运动的路线长为．18. 在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB=8 cm，AC=CD=BD，M是AB上一动点，CM+DM的最小值是cm．三、解答题19. 如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(2,4)，B(1,1)，C(4,3)．(1) 请画出△ABC绕点O逆时针旋转90∘后的△A1B1C1；并写出A1，B1，C1三点的坐标．(2) 求出（1）中C点旋转到C1点所经过的路径长（结果保留π）．20. 已知AB是半圆O的直径，OD⊥弦AC于D，过点O作OE∥AC交半圆O于点E，过点E作EF⊥AB于F，若AC=2，求OF的长．21. 如图，点O为Rt△ABC斜边AB上一点，以OA为半径的⊙O与BC切于点D，与AC交于点E，连接AD．(1) 求证：AD平分∠BAC．(2) 若∠BAC=60∘，OA=2，求阴影部分的面积（结果保留π）．22. 如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连接BC．(1) 求证：AE=ED；(2) 若AB=10，∠CBD=36∘，求AC的长．23. 如图，半圆O的直径DE=12 cm，△ABC中，∠ACB=90∘，∠ABC=30∘，BC=12 cm，半圆O以2 cm/s的速度从左向右运动，在运动的过程中，点D，E始终在直线BC上，设运动时间为t(s)，当t=0 s时，半圆O在△ABC的左侧，OC=8 cm．(1) 当t=8(s)时，试判断点A与半圆O的位置关系；(2) 当t为何值时，直线AB与半圆O所在的圆相切．24. 如图，点A是半径为12cm的⊙O上的一点，动点P从点A出发，以2πcm/s的速度沿圆周逆时针运动，当点P回到A点立即停止运动．(1) 在点P运动过程中，当∠POA=90∘时，求点P的运动时间．(2) 如图，点B是OA延长线上一点，AB=OA，当点P运动的时间为2s时，试判断直线BP与⊙O的位置关系，并说明理由．25. 已知四边形ABCD内接于⊙O，BC=CD，连接AC，BD．(1) 如图①，若∠CBD=36∘，求∠BAD的大小．(2) 如图②，若点E在对角线AC上，且EC=BC，∠EBD=24∘，求∠ABE的大小．答案一、选择题1. C2. B3. D4. C5. B6. D7. C8. B9. D10. B二、填空题11. 90∘12. n13. 514. 23π15. 416. 22−1−π217. 2π318. 8三、解答题19.(1) 如图，△A1B1C1为所作，A1，B1，C1三点的坐标分别为(−4,2)，(−1,1)，(−3,4)；(2) OC=32+42=5，所以C点旋转到C1点所经过的路径长=90×π×5180=52π．20. ∵OD⊥AC，AC=2，∴AD=CD=1，∵OD⊥AC，EF⊥AB，∴∠ADO=∠OFE=90∘，∵OE∥AC，∴∠DOE=∠ADO=90∘，∴∠DAO+∠DOA=90∘，∠DOA+∠EOF=90∘，∴∠DAO=∠EOF，在△ADO和△OFE中，{∠DAO=∠EFO,∠DAO=∠FOE,OA=OE,∴△ADO≌△OFE(AAS)，∴OF=AD=1．21.(1) ∵⊙O切BC于D，∴OD⊥BC，∵AC⊥BC，∴AC∥OD，∴∠CAD=∠ADO，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ADO，∴∠OAD=∠CAD，即AD平分∠CAB．(2) 设EO与AD交于点M，连接ED．∵∠BAC=60∘，OA=OE，∴△AEO是等边三角形，∴AE=OA，∠AOE=60∘，∴AE=AO=OD，又由（1）知，AC∥OD，即AE∥OD，∴四边形AEDO是菱形，则△AEM≌△DMO，∠EOD=60∘，∴S△AEM=S△DMO，∴S阴影=S扇形EOD=60π×22360=2π3．22.(1) ∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90∘，∵OC∥BD，∴∠AEO=∠ADB=90∘，即OC⊥AD，∴AE=ED．(2) ∵OC⊥AD，∴AC=CD，∴∠ABC=∠CBD=36∘，∴∠AOC=2∠ABC=2×36∘=72∘，∴AC=72π×5180=2π．23.(1) ∵△ABC中，∠ACB=90∘，∠ABC=30∘，BC=12 cm，∴AC=tan30∘BC=43，当t=8时，如图，此时OC=8，在Rt△ACO中，AC=43，∴AO=AC2+OC2=47，∵半圆O的直径DE=12 cm，47>6，∴点A在半圆外；(2) ①如图1，过C点作CF⊥AB，交AB于F点；∵∠ABC=30∘，BC=12 cm，∴FO=6 cm；当半圆O与△ABC的边AB相切时，又∵圆心O到AB的距离等于6 cm，且圆心O又在直线BC上，∴O与C重合，即当O点运动到C点时，半圆O与△ABC的边AB相切；此时点O运动了8 cm，所求运动时间为t=82=4(s)，②当点O运动到B点的右侧，且OB=12 cm时，如图2，过点O作OQ⊥直线AB，垂足为Q．在Rt△QOB中，∠OBQ=30，则OQ=6 cm，即OQ与半圆O所在的圆相切．此时点O运动了32 cm．所求运动时间为：t=32÷2=16 s，综上可知当t=4 s或16 s时，AB与半圆O所在的圆相切．24.(1) 当∠POA=90∘时，根据弧长公式可知点P运动的路程为⊙O周长的14或34，设点P运动的时间为t s，当点P运动的路程为⊙O周长的14时，2π⋅t=14⋅2π⋅12，解得t=3，当点P运动的路程为⊙O周长的34时，2π⋅t=34⋅2π⋅12，解得t=9，∴当∠POA=90∘时，点P运动的时间为3s或9s．(2) 如图，当点P运动的时间为2s时，直线BP与⊙O相切．理由如下：当点P运动的时间为2s时，点P运动的路程为4πcm，连接OP，PA，∵半径AO=12cm，∴⊙O的周长为24πcm，∴AP的长为⊙O周长的16，∴∠POA=60∘，∵OP=OA，∴△OAP是等边三角形，∴OP=OA=AP，∠OAP=60∘，∵AB=OA，∴AP=AB，∵∠OAP=∠APB+∠B，∴∠APB=∠B=30∘，∴∠OPB=∠OPA+∠APB=90∘，∴OP⊥BP，∴直线BP与⊙O相切．25.(1) ∵BC=CD，∴∠BDC=∠CBD=36∘，∴∠BAC=∠BDC=36∘，∵BC=CD，∴BC=CD，∴∠CAD=∠CBD=36∘，∠BAD=∠BAC+∠CAD=36∘+36∘=72∘．(2) ∠CEB=∠EAB+∠ABE（外角的应用），∵CE=CB，∴∠CEB=∠CBE=∠CBD+∠EBD，∴∠EAB+∠ABE=∠CBD+∠EBD，∵BC=CD，∴BC=CD，∴∠EAB=∠CBD，∴∠ABE=∠EBD=24∘．。

人教版九年级上册数学第二十四章测试卷一、单选题1．下列说法：(1)长度相等的弧是等弧，(2)相等的圆心角所对的弧相等，(3)劣弧一定比优弧短，(4)直径是圆中最长的弦．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．如图，CD 为圆O 的直径，弦AB ⊥CD ，垂足为E ，CE=1，半径为25，则弦AB 的长为A ．24B ．14C ．10D ．73．如图，,AB CD 是O 的直径，AE BD ，若32AOE ︒∠=，则COE ∠的度数是（ ）A ．32°B ．60°C ．68°D ．64°4．如图，圆的两条弦,AB CD 相交于点E ，且弧AD =弧CB ，40A ∠=︒，则CEB ∠的度数为A ．50︒B ．80︒C ．70︒D ．90︒5．如图，以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 是小圆的切线，点P 为切点．若大圆半径为2，小圆半径为1，则AB 的长为（ ）A ．B ．CD ．26．已知正六边形的边长是2，则该正六边形的边心距是（ ）A．1 B C．2 D7．如图，A、B．C是半径为4的⊙O上的三点．如果∠ACB=45°，那么弧AB的长为（）A．πB．2πC．3πD．4π8．如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AD＝2，BC ＝5，则△ABC的周长为()A．16 B．14 C．12 D．109．如图，AB是⊙O的直径，C，D为⊙O上的点，AD CD，如果∠CAB＝40°，那么∠CAD 的度数为（）A．25°B．50°C．40°D．80°10．如图，已知AB是⊙O直径，∠AOC＝130°，则∠D等于（）A．65°B．25°C．15°D．35°二、填空题11．如图，在⊙O中，弧AB=弧CD，∠AOB与∠COD的关系是_____．12．如图，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上一点，DC切⊙O于C，连接AC，若∠CAB ＝30°，则∠D＝_____度．13．如图，⊙O的内接正六边形的半径是4，则这个正六边形的边长为_____．14．如图，将三角形AOC绕点O顺时针旋转120°得三角形BOD，已知OA=4，OC=1，那么图中阴影部分的面积为_____．（结果保留π）15．王江泾是著名的水乡，如图，圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为9m，水面宽AB为6m，则桥拱半径OC为_____m．16．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，C是优弧AB上的一个动点，若∠P＝40°，则∠ACB＝_____°．17．如图，边长为6的正六边形ABCDEF的中心与坐标原点O重合，AF∥x轴．将正六边形绕原点逆时针旋转n次，每次旋转60°，当n=2019时，顶点A的坐标为_____．18．如图，在△ABC中，D为BC的中点，以D为圆心，BD长为半径画一弧交AC于E点，若∠A＝60°，∠B＝100°，BC＝2，则扇形BDE的面积为______．三、解答题19．已知，如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为弧AC上一点，AE、DC的延长线相交于点F，求证：∠AED=∠CEF20．如图，AB为⊙O的直径，过点C的切线DE交AB的延长线于点D，AE⊥DC，垂足为E．求证：AC平分∠BAE．21．如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为弧AD中点，连接BM，CM．（1）求证：BM=CM；（2）当⊙O的半径为2时，求∠BOM的度数．22．如图，点C在以AB为直径的半圆⊙O上，AC=BC．以B为圆心，以BC的长为半径画圆弧交AB于点D．（1）求∠ABC的度数；（2）若AB=2，求阴影部分的面积．23．如图，D、E分别是⊙O两条半径OA、OB的中点，AC=CB．（1）求证：CD=CE．（2）若∠AOB=120°，OA=x，四边形ODCE的面积为y，求y与x的函数关系式．24．如图，已知P是⊙O外一点，PO交圆O于点C，OC=CP=2，弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，连接PB．（1）求BC的长；（2）求证：PB是⊙O的切线．25．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90°，AD、BC的延长线交于点F，点E在CF 上，且∠DEC=∠BAC．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）当AB=AC时，若CE=2，EF=3，求⊙O的半径．参考答案1．A【解析】根据等弧、等圆、弦的定义即可一一判断．【详解】(1)长度相等的弧是等弧，错误；(2)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，错误；(3)在同圆或等圆中，劣弧一定比优弧短，错误；(4)直径是圆中最长的弦，正确；故选A.【点睛】考查圆周角定理以及圆心角、弧、弦的关系，解答此类问题注意前提条件是在同圆或等圆中. 2．B【分析】连接OA，根据垂径定理得到AE=EB，根据勾股定理求出AE，得到答案．【详解】连接OA，∵CD为圆O的直径，弦AB⊥CD，∴AE=EB，由题意得，OE=OC-CE=24，在Rt△AOE中，，∴AB=2AE=14，故选B．【点睛】本题考查的是垂径定理和勾股定理的应用，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．3．D【分析】根据已知条件和圆心角、弧、弦的关系，可知32∠=∠=，然后根据对顶角相等BOD AOE︒即可求解．【详解】=，AE BD∴∠=∠=．32BOD AOE︒BOD AOC∠=∠，∴∠=︒，32AOCCOE︒︒︒∴∠=+=，323264故选：D．【点睛】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系、对顶角相等，较简单，掌握基本概念是解题关键．4．B【分析】根据圆周角定理得到∠A=∠C=40°，由三角形外角的性质即可得到结论．【详解】∵弧AD=弧CB，∴∠A=∠C．∵∠A=40°，∴∠CEB=∠A+∠C=80°．故选B．【点睛】本题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．5．A【分析】连接OA、OB、OP，OP即为小圆半径，易证△OAP≌△OBP，通过构建直角三角形，可解答．【详解】解：连接OA、OB、OP，OP即为小圆半径，∵OA=OB，∠OAB=∠OBA，∠OPA=∠OPB=90°，∴△OAP≌△OBP，∴在直角△OPA中，OA=2，OP=1，∴∴故选A．【点睛】本题主要考查了切线、勾股定理的应用，本题综合性较强；掌握其定理、性质，才能熟练解答．6．B【分析】正六边形的边长与外接圆的半径相等，构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出．【详解】如图，连接OA，作OM⊥AB．∵正六边形ABCDEF的边长为2，∴∠AOM=30°，AM12=AB12=⨯2=1，∴正六边形的边心距是OM tanAMAOM∠===故选B．【点睛】本题考查了正多边形的计算，正多边形的计算常用的方法是转化为直角三角形的计算．7．B【解析】【分析】根据圆周角定理可得出∠AOB=90°，再根据弧长公式计算即可．【详解】如图，连接OA、OB．∵∠ACB=45°，∴∠AOB=90°．∵OA=4，∴弧AB的长=90π4180⨯=2π．故选B．【点睛】本题考查了弧长的计算以及圆周角定理，解题的关键是掌握弧长公式lπ180n r ．8．B【分析】根据切线长定理进行求解即可.【详解】∵△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，∴AF＝AD＝2，BD＝BE，CE＝CF，∵BE+CE＝BC＝5，∴BD+CF＝BC＝5，∴△ABC的周长＝2+2+5+5＝14，故选B．【点睛】本题考查了三角形的内切圆以及切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键.9．A【分析】先求出∠ABC=50°，进而判断出∠ABD=∠CBD=25°，最后用同弧所对的圆周角相等即可得出结论．【详解】如图，连接BC，BD．∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°．∵∠CAB=40°，∴∠ABC=50°．∵弧AD=弧CD，∴∠ABD=∠CBD12∠ABC=25°，∴∠CAD=∠CBD=25°．故选A．【点睛】本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，直角三角形的性质，解答本题的关键是作出辅助线．10．B【分析】根据邻补角的定义求出∠BOC的度数，然后根据同弦所对的圆周角等于对应圆心角的一半即可解答．【详解】解：∵∠AOC＝130°，∴∠BOC＝50°，∴∠D＝12∠BOC＝25°，故选：B．【点睛】本题考查的是圆周角定理，掌握同弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答本题的关键．11．∠AOB=∠COD【解析】【分析】直接利用圆心角、弧、弦的关系求解．【详解】∵弧AB=弧CD，∴∠AOB=∠COD．故答案为：∠AOB=∠COD．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．12．30【分析】连接OC，如图，根据切线的性质得∠OCD=90°，再根据等腰三角形的性质和三角形外角性质得到∠COD=60°，然后利用互余计算∠D的度数．【详解】连接OC，如图，∵DC切⊙O于C，∴OC⊥CD，∴∠OCD=90°．∵OA=OC，∴∠ACO=∠CAB=30°，∴∠COD=∠ACO+∠CAB=60°，∴∠D=90°﹣∠COD=90°﹣60°=30°．故答案为30．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了等腰三角形的性质．13．4【分析】连接OA，OB，证出△BOA是等边三角形，【详解】解：如图所示，连接OA、OB∵多边形ABCDEF是正六边形，∴∠AOB=60°，∵OA=OB，∴△AOB是等边三角形，∴AB=OA=OB=4故答案为4【点睛】本题考查正六边形和圆，等边三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握正六边形的性质．14．5π【分析】根据旋转的性质可以得到阴影部分的面积=扇形OAB 的面积﹣扇形OCD 的面积，利用扇形的面积公式计算即可求解．【详解】∵△AOC ≌△BOD ，∴阴影部分的面积=扇形OAB 的面积﹣扇形OCD 的面积2212041201360360ππ⨯⨯⨯⨯=-=5π． 故答案为5π．【点睛】本题考查了旋转的性质以及扇形的面积公式，正确理解：阴影部分的面积=扇形OAB 的面积﹣扇形OCD 的面积是解题的关键．15．5【分析】连接OA ，根据垂径定理求出AD ．在Rt △AOD 中，根据勾股定理列式计算即可．【详解】连接OA ．∵OD ⊥AB ，∴AD 12=AB =3．在Rt △AOD 中，OA 2=OD 2+AD 2，即OC 2=（9﹣OC ）2+32，解得：OC =5．故答案为5．【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，掌握垂直于弦的直径平分弦是解题的关键． 16．70【分析】连接OA 、OB ，如图，根据切线的性质得∠OAP =∠OBP =90°，再利用四边形的内角和计算出∠AOB 的度数，然后根据圆周角定理计算∠ACB 的度数．【详解】连接OA 、OB ，如图，∵P A ，PB 分别与⊙O 相切于A ，B 两点，∴OA ⊥P A ，OB ⊥PB ，∴∠OAP=∠OBP=90°，∴∠AOB=180°﹣∠P=180°﹣40°=140°，∴∠ACB12=∠AOB12=⨯140°=70°．故答案为70．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．17．（3，-【分析】将正六边形ABCDEF绕原点O逆时针旋转2019次时，点A所在的位置就是原D点所在的位置．【详解】2019×60°÷360°=336…3，即与正六边形ABCDEF绕原点O逆时针旋转3次时点A的坐标是一样的．当点A按逆时针旋转180°时，与原D点重合．连接OD，过点D作DH⊥x轴，垂足为H；由已知ED=6，∠DOE=60°（正六边形的性质），∴△OED是等边三角形，∴OD=DE=OE=6．∵DH⊥OE，∴∠ODH=30°，OH=HE=3，HD=∵D在第四象限，∴D（3，﹣，即旋转2019后点A的坐标是（3，﹣．故答案为（3，﹣．【点睛】本题考查了正多边形和圆、旋转变换的性质，掌握正多边形的性质、旋转变换的性质是解题的关键．18．9π ． 【分析】解答时根据扇形面积公式带入数值进行计算即可得到答案【详解】扇形面积：S=2360ar π在△ABC 中，D 为BC 的中点∴BD=DCBD 长为半径画一弧交AC 于E 点∴BD=DE∠A ＝60°，∠B ＝100°∴∠C ＝20°=∠DEC∴∠BDE=∠C+∠DEC=40°=aBC ＝2 r=1∴S=24013603609ar πππ=⨯︒⨯= 故答案为9π 【点睛】此题重点考察学生对扇形面积公式的理解，正确选择面积公式是解题的关键19．见解析【分析】连结AD ，如图，根据垂径定理由CD ⊥AB 得到弧AC=弧AD ，再根据圆周角定理得∠ADC=∠AED ，然后根据圆内接四边形的性质得∠CEF=∠ADC ，于是利用等量代换即可得到结论．【详解】证明：连结AD ，如图，∵CD⊥AB，∴弧AC=弧AD，∴∠ADC=∠AED，∵∠CEF=∠ADC，∴∠AED=∠CEF．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和圆内接四边形的性质．20．证明见解析【分析】连接OC，根据切线的性质得到OC⊥CD，根据平行线的性质、等腰三角形的性质得到∠EAC=∠CAO，即AC平分∠BAE．【详解】如图：连接OC．∵DE切⊙O于点C，∴OC⊥DE．又∵AE⊥DC，∴OC∥AE，∴∠ACO=∠EAC．∵OA=OC，∴∠ACO=∠OAC，∴∠EAC=∠OAC，∴AC平分∠BAE．【点睛】本题考查了切线的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．21．（1）答案见解析；（2）135°．【分析】（1）根据正方形的性质得到AB =CD ，根据圆心角、弧、弦的关系得到AB CD =，得到BM CM =，即可得到结论；（2）连接OA 、OB 、OM ，根据正方形的性质求出∠AOB 和∠AOM ，计算即可．【详解】（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AB =CD ，∴AB CD =．∵M 为AD 的中点，∴AM DM =，∴BM CM =，∴BM =CM ；（2）连接OA 、OB 、OM ．∵四边形ABCD 是正方形，∴∠AOB =90°．∵M 为弧AD 的中点，∴∠AOM =45°，∴∠BOM =∠AOB +∠AOM =135°．【点睛】本题考查了正多边形的性质、圆心角、弧、弦的关系定理，掌握正方形的性质、圆心角、弧、弦的关系定理是解题的关键．22．（1）45°；（2）14π-． 【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ACB =90°，根据等腰三角形的性质即可得到结论；（2）根据阴影部分的面积=S △ABC －S 扇形DBC 即可得到结论．【详解】（1）∵AB 为半圆⊙O 的直径，∴∠ACB =90°．∵AC =BC ，∴∠ABC =45°；（2）∵AC =BC ，∴∠ABC =45°，∴△ABC 是等腰直角三角形．∵AB=2，∴BC，∴阴影部分的面积=S△ABC－S扇形DBC=1214π=-．【点睛】本题考查了不规则图形面积的计算，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．23．（1）证明见解析；（2）2．【分析】（1）连接OC，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠COA=∠COB，证明△COD≌△COE，根据全等三角形的性质证明；（2）连接AC，根据全等三角形的判定定理得到△AOC为等边三角形，根据正切的定义求出CD，根据三角形的面积公式计算即可．【详解】（1）证明：连接OC，∵AC=CB，∴∠COA=∠COB，∵D、E分别是⊙O两条半径OA、OB的中点，∴OD=OE，在△COD和△COE中，OD OECOD COEOC OC⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△COD≌△COE（SAS）∴CD=CE；（2）连接AC，∵∠AOB=120°，∴∠AOC=60°，又OA=OC，∴△AOC为等边三角形，∵点D是OA的中点，∴CD⊥OA，OD=12OA=12x，在Rt△COD中，CD=OD•tan∠∴四边形ODCE的面积为y=12×OD×CD×2．【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，掌握圆心角、弧、弦的关系定理，全等三角形的判定定理和性质定理是同角的关键．24．（1）2（2）见解析【详解】解：（1）连接OB，∵弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，∴弧BC与弧AC的度数为：60°．∴∠BOC=60°．∵OB=OC，∴△OBC是等边三角形．∵OC =2，∴BC=OC=2．（2）证明：∵OC=CP，BC=OC，∴BC=CP．∴∠CBP=∠CPB．∵△OBC是等边三角形，∴∠OBC=∠OCB=60°．∴∠CBP=30°．∴∠OBP=∠CBP+∠OBC=90°．∴OB⊥BP．∵点B在⊙O上，∴PB是⊙O的切线．（1）连接OB，由弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，易证得△OBC是等边三角形，则可求得BC的长．（2）由OC=CP=2，△OBC 是等边三角形，可求得BC=CP ，即可得∠P=∠CBP ，又由等边三角形的性质，∠OBC=60°，∠CBP=30°，则可证得OB ⊥BP ，从而证得PB 是⊙O 的切线．25．（1）证明见解析；（2 【解析】【分析】（1）先判断出BD 是圆O 的直径，再判断出BD ⊥DE ，即可得出结论；（2）根据余角的性质和等腰三角形的性质得到∠F =∠EDF ，根据等腰三角形的判定得到DE =EF =3，根据勾股定理得到CD△CDE ∽△DBE ，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】（1）如图，连接BD ．∵∠BAD =90°，∴点O 必在BD 上，即：BD 是直径，∴∠BCD =90°，∴∠DEC +∠CDE =90°． ∵∠DEC =∠BAC ，∴∠BAC +∠CDE =90°．∵∠BAC =∠BDC ，∴∠BDC +∠CDE =90°，∴∠BDE =90°，即：BD ⊥DE ．∵点D 在⊙O 上，∴DE 是⊙O 的切线；（2）∵∠BAF =∠BDE =90°，∴∠F +∠ABC =∠FDE +∠ADB =90°．∵AB =AC ，∴∠ABC =∠ACB ．∵∠ADB =∠ACB ，∴∠F =∠FDE ，∴DE =EF =3．∵CE =2，∠BCD =90°，∴∠DCE =90°，∴CD∵∠BDE =90°，CD ⊥BE ，∴∠DCE =∠BDE =90°．∵∠DEC =∠BED ，∴△CDE ∽△DBE ，∴CD BD CE DE =，∴BD ==∴⊙O 的半径=【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定，勾股定理，求出DE=EF是解答本题的关键．21。