第六章：多元函数积分学(中)

分析：由于Ω由平面22x y z ++=，0,0,0x y z ===围成，不难看出Ω所有边界曲面的方程中含有变量z 的方程恰好有两个，故可将Ω向xo y 平面投影，得一平面区域D ；Ω的边界曲面的全部方程中只含变量,x y 的方程及两个含变量z 的方程消去z 得到的一个关于变量x 、y 的方程便是平面区域D 的边界曲线的方程；Ω的边界曲面的全部方程中含变量z 的方程0z =，11122z x y =--为先积的定积分的积分限．解：将Ω向xo y 平面投影，得一平面区域D ，D 由0,0x y ==，2x y +=围成，见图111220x yDI xdxdydz dxdy xdz --Ω==⎰⎰⎰⎰⎰⎰2201111(1)(1)2222x D x x y dxdy dx x x y dy -=--=--⎰⎰⎰⎰2220111()243xx y xy y dx -=--=⎰．（2）“先二后一” 即将三重积分化为：()()()(,,)(,,)(,,)(,,)dc D z baD x nm D y dz f x y z dxdy f x y z dv dx f x y z dydz dy f x y z dxdz Ω⎧⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰命题1：如果积分区域Ω是绕z 轴旋转而成的旋转体时 ① 将Ω向z 轴投影得投影区间[,]c d ；② (,)z c d ∀∈，过点(0,0,)z 作z 轴的垂直平面，该平面截Ω得平面区域()D z 则 ()(,,)(,,)d cD z I f x y z dv dzf x y z dxdy Ω==⎰⎰⎰⎰⎰⎰其余两个命题类似．[例2.3] 计算22()I x y dv Ω=+⎰⎰⎰，其中Ω是曲线202x y z =⎧⎨=⎩绕z 轴旋转一周而成的曲面与两平面2,8z z ==围成的立体．分析：由于Ω是旋转体，故采用“先二后一”计算，而Ω是绕z 轴旋转而成的旋转体，需将Ω向z 轴投影．解：将Ω向z 轴投影得投影区间[2,8]，由于Ω由2,8z z ==及曲面222x y z +=围成，所以()D z 为222x y z +≤ 于是822222()()()D z I x y dv dzx y dxdy Ω=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰2828222424z d z d r r d y d zπθπ=⋅=⎰⎰⎰⎰336π=．3．利用柱坐标计算⑴ 柱坐标系下的体积元素dv rdrd dz θ=， ⑵ 柱坐标系下的三次积分的先后次序一般为 (c o s,s i n ,)I d r d r f r r zd z θθθ=⎰⎰⎰[例2.4] 计算I zdv Ω=⎰⎰⎰，其中Ω是由22222()h x y zR+=及(0)z h h =>围成的闭区域．分析：Ω是圆锥体，被积函数(,,)f x y z z =形如22(,)f x y z +，故选用柱坐标计算．解：I zdv Ω=⎰⎰⎰22222()R hR h rR h d dr rzdz r h r dr Rπθπ==-⎰⎰⎰⎰2214R h π=．4．利用球坐标计算⑴ 球坐标与直角坐标的关系：sin cos x r ϕθ=⋅，sin sin y r ϕθ=⋅，cos z r ϕ=， ⑵ 球坐标系下的体积元素2sin dv r drd d ϕθϕ=， ⑶ 球坐标系下三次积分的先后次序一般为 2(s i n c o s ,s i n s i n ,c o s)s i nI d d f r r r r d r θϕϕθϕθϕϕ=⋅⋅⋅⎰⎰⎰[例2.5] 222()I x y z dv Ω=++⎰⎰⎰，其中Ω是由球面2221x y z ++=所围成的闭区域． 分析：由于Ω是球体，被积函数222x y z ++形如222()f x y z ++，故选用球坐标计算． 解：2122222()sin I x y z dv d d r r dr ππθϕϕΩ=++=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰12242sin 5d r r dr ππϕϕπ=⋅=⎰⎰．三、三重积分的应用设有一物体，在空间占有区域Ω，其上每一点的体密度为(,,)x y z ρ，且(,,)x y z ρ在Ω上连续，在空间点0000(,,)M x y z 处有一质量为m 的质点，则 1．该物体的质心坐标(,,)x y z 为：(,,)(,,)x x y z d vx x y z d vρρΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰， (,,)(,,)y x y z dvy x y z dvρρΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰， (,,)(,,)z x y z d vz x y z d vρρΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰2．该物体绕轴的转动惯量 绕x 轴的转动惯量： 22()(,,)x I y z x y z dv ρΩ=+⎰⎰⎰绕y 轴的转动惯量： 22()(,,)y I xz x y z dv ρΩ=+⎰⎰⎰绕z 轴的转动惯量： 22()(,,)z I y x x y z dv ρΩ=+⎰⎰⎰绕直线00:x x y y z z l mn p ---==的转动惯量： 2000222(,,)l i j k x x y y z zmnpI x y z d vm n pρ---=++⎰⎰⎰3．该物体对质点的引力{},,x y z F F F F =为： 02223/2000(,,)()[()()()]x G m x y z xx F d v x x y y z z ρΩ-=-+-+-⎰⎰⎰，2223/2000(,,)()[()()()]y G m x y z yy F d vx x y y z z ρΩ-=-+-+-⎰⎰⎰ 02223/2000(,,)()[()()()]z G m x y z zz F d v x x y y z z ρΩ-=-+-+-⎰⎰⎰●● 常考题型及其解法与技巧一、概念、性质的理解[例6.2.1] 设(,,)f x y z 是连续函数，2222()(,,)x y z rI r f x y z dv ++≤=⎰⎰⎰，则0r +→时，下面说法正确的是（A ）()I r 是r 的一阶无穷小 （B ）()I r 是r 的二阶无穷小 （C ）()I r 是r 的三阶无穷小 （D ）()I r 至少是r 的三阶无穷 解：由积分中值定理得34()(,,)3I r f r ξηςπ=⨯，其中2222r ξης++≤，当0r +→时，(,,)(0,0,0)ξης→，于是3()4lim(0,0,0)3r I r f rπ+→=，因此选（D ）．[例6.2.2] 设222:,0x y R z H Ω+≤≤≤，则323[tan()3]_____zex y dv Ω+=⎰⎰⎰．解：因为323tan()z e x y 是y 的奇函数，且Ω关于xoz 平面对称，故323[tan()]0zex y dv Ω=⎰⎰⎰，所以3232[tan()3]33zex y dv dv RH πΩΩ+===⎰⎰⎰⎰⎰⎰．二、三重积分的计算Ⅰ 利用“先二后一”计算若被积函数是一元函数，积分域是球体、半球体、椭球体、半椭球体，一定选择利用“先二后一”完成；若积分域是旋转体时一般选择利用“先二后一”完成．解题的一般思路：①将积分域Ω向相应坐标轴投影，得投影区间；②确定先积的二重积分的积分域；③将三重积分化为“先二后一”计算 ． [例6.2.3] 计算下列三重积分 （1）2I ydy Ω=⎰⎰⎰，其中222222:1,0,(0,0,0)x y z y a b c abcΩ++≤≥>>>；（2）zI e dxdydz Ω=⎰⎰⎰，其中Ω为2221x y z ++≤ 解：（1）将Ω投影到y 轴，得投影区间[0,]b ，此时可得222222():1x z y D y acb+≤-，则22()b D y I ydy dyy dxdz Ω==⎰⎰⎰⎰⎰⎰22322[(1)]15b y y ac dy ab c bππ=⋅-=⎰．（2）将Ω投影到z 轴，得投影区间[1,1]-，此时可得222():1D z x y z +≤-，则11()zzD z I e dxdydz dze dxdy -Ω==⎰⎰⎰⎰⎰⎰112210[(1)]2(1)z ze z dz z e dz ππ-=⋅-=-⎰⎰2102[(22)]z z e z z e π=--+2π=．[例6.2.4] 计算下列三重积分（1）22()I x y z dv Ω=++⎰⎰⎰，其中Ω是由曲线⎪⎩⎪⎨⎧==022x z y 绕z 轴旋转一周所得曲面与平面4z =围成的立体；（2）计算22x yI zedxdydz +Ω=⎰⎰⎰其中Ω是由z =及(0)z h h =>围成的闭区域．解：（1）Ω由旋转抛物面222y x z +=与平面4z =围成．将Ω投影到z 轴，得投影区间[0,4]，此时可得22():2D z x y z +≤，则422()()D z I dzx y z dxdy =++⎰⎰⎰422d d )d z r z r r πθ=+⎰⎰422564dz 3z ππ==⎰；（2）将Ω投影到z 轴，得投影区间[0,]h ，此时可得222():D z x y z +≤，则22()h x yD z I zdzedxd +=⎰⎰⎰2200hzrzdz d e rdr πθ=⎰⎰⎰212(1)2h zz edz π=-⎰222211()(1)zhhe z eh ππ=-=--．[例6.2.5] 计算I zdz Ω=⎰⎰⎰，其中Ω为由0,0,0x y z ===及1x y z ++=围成的四面体．解：将Ω投影到z 轴，得投影区间[0,1]，此时可得()D z 由0,0x y ==1x y z +=-围成，则10()D z I dzzdxdy =⎰⎰⎰210(1)11211()2223424z zdz -==-+=⎰． Ⅱ 利用“先一后二”计算此法特别适合无法画出积分域Ω的图形，或者域Ω的图形非常复杂的三重积分的计算．解题思路：①写出积分区域Ω的全部边界曲面的方程；②根据Ω的全部边界曲面的方程的特点将Ω向相应坐标面投影，得平面区域D ；③确定先积的定积分的上下限；④将三重积分化为“先一后二”计算． [例6.2.6] 计算23I xyz dv Ω=⎰⎰⎰，其中Ω由曲面z xy =及平面,1,0y x x z ===围成．解法一：Ω由曲面z xy =及平面,1,0y x x z ===围成，从而Ω的所有边界曲面中含有变量z 的方程刚好有两个，因此将Ω投影到xo y 平面上得 投影区域为D ．D 由,1y x x ==及0y =围成．其图形如右下图所示所以2323xy D I xy z dv dxdy xy z dz Ω==⎰⎰⎰⎰⎰⎰1245611()44xDxy xy dxdy dx x y dy ==⎰⎰⎰⎰1121128364x dx ==⎰．解法二：Ω由曲面z xy =及平面,1,0y x x z ===围成，从而Ω的所有边界曲面中含有变量y 的方程刚好有两个，因此将Ω投影到xoz 平面上得投影区域为D ． D 由0,1z x ==及2z x =围成．其图形如右下图所示所以2323xz xDI xy z dv dxdz xy z dy Ω==⎰⎰⎰⎰⎰⎰233133333311()()33x Dz z xz x dxdz dx xz x dz xx=-=-⎰⎰⎰⎰1121128364x dx ==⎰．[例6.2.7] 计算cos()I y x z dxdydz Ω=+⎰⎰⎰，其中Ω由抛物柱面y =平面0y =，0z =， 2x z π+=所围成的区域．解：由于Ω由抛物柱面y =平面0y =，0z =，2x z π+=所围成，从而Ω的所有边界曲面中含有变量z 的方程刚好有两个，因此将Ω投影到xo y 平面上得投影区域为D ．D由曲线y =0,2y x π==围成．其图形如右下图所示所以20cos()xoyxD I ydxdy x z dz π-=+⎰⎰⎰200(1sin )dx y x dy π=-⎰=222011(1sin )((sin )22x ydx x x x dx ππ-=-⎰⎰22218[(sin cos )]2216xx x x ππ-=--=．Ⅲ 利用柱坐标计算若积分域Ω的形状是柱体、锥体或由柱面、锥面、旋转曲面与其它曲面所围成的立体时，一般适宜用柱坐标计算． [例6.2.8] 计算下列三重积分 （1）I Ω=⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面222,1x y z z +==所围的区域．（2） I zdv Ω=⎰⎰⎰，Ω是由球面2224xy z ++=与抛物面223x y z +=所围的区域．解：（1）由于Ω在xo y 平面上的投影域D 是圆域，故采用柱坐标．曲面222x y z +=与1z =的交线为 222221:11x y z x y z z ⎧⎧+=+=Γ⇔⎨⎨==⎩⎩，所以22:1D x y +≤故I Ω==⎰⎰⎰1rDr d d r r d zθ⎰⎰⎰212(1)6d r r dr ππθ=-=⎰⎰．（2）由于Ω在xo y 平面上的投影域D 是圆域，故采用柱坐标．球面2224x y z ++=与抛物面223x y z +=交线为222222214:33z x y z x y x y z =⎧++=⎧⎪Γ⇔⎨⎨+=+=⎪⎩⎩所以22:3D x y +≤．故23rDI zdv rd dr θΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰2241113(4)d r r dr πθπ=⋅--=⎰．Ⅳ 利用球坐标计算[例6.2.9] 计算下列三重积分（1）I Ω=⎰⎰⎰，其中Ω是由2221x y z ++≤及z ≥（2）222()()x y z I x z edv -++Ω=+⎰⎰⎰，其中Ω为：22214,0,0,0x y z x y z ≤++≤≥≥≥解：（1）利用球坐标计算，而球面与锥面相交所成的曲线为222:14z x y ⎧=⎪⎪Γ⎨⎪+=⎪⎩，所以 21260cos sin I d d r r r dr ππθϕϕϕ=⋅⋅⎰⎰⎰20π=；（2）利用球坐标计算，则22222001(sin cos cos )sin rI d d r er dr ππθϕϕθϕϕ-=+⎰⎰⎰22222001(sin cos cos )sin rd d rer dr ππθϕθϕϕϕ-=+⎰⎰⎰2222220011(sin cos cos )sin 2rd d er dr ππθϕθϕϕϕ-=+⎰⎰⎰4220011(sin cos cos )sin 2td de tdt ππθϕθϕϕϕ-=+⎰⎰⎰1422025(sin cos cos )sin 2ee d d ππθϕθϕϕϕ---=+⎰⎰1420251(cos )242ee d ππθθ---=+⎰14254ee π---=．Ⅴ 分段函数的三重积分分段函数三重积分解题思路：①用积分域Ω内的分段面将Ω划分，将三重积分写成几个分段域上的三重积分的和；② 计算各个分段域上的三重积分． [例6.2.10] 计算(,,)I f x y z dxdydz Ω=⎰⎰⎰，其中Ω为2221x y z ++≤，被积函数0,(,,)00z f x y z z z ⎧≥=≤≤≤分析：由于被积函数是分段函数因此须首先将积分域分成几个相应的子域，然后再计算，由被积函数的表达式及积分域的特点选球坐标系计算方便． 解：分段面0z =和z =将Ω分成三部分．令1Ω为Ω在锥面z =2Ω为Ω在平面0z =下方部分、3Ω为Ω去掉1Ω、2Ω剩余部分．于是123(,,)(,,)(,,)I f x y z dxdydz f x y z dxdydz f x y z dxdydz ΩΩΩ=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰1320dxdydz ΩΩΩ=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22122224sin sin d d r dr d d r r dr ππππππθϕϕθϕϕ=+⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰251816ππ=+．三、计算三次积分计算三次积分时经常遇到交换积分次序的问题，而三次积分交换积分次序一般应将相邻的两个积分看作二次积分（将另外的一个变量看作常数），用二次积分交换次序的方法来实现．[例6.2.10]计算111xyI dx dy =⎰⎰⎰．分析：先对z 无法积分，故应交换积分次序．解：交换二次积分11xy dy ⎰⎰的次序（将x 视为常数）可得111zxyxxdy dz =⎰⎰⎰⎰所以2211102zxxxz x I dx dz dx dz -==⎰⎰⎰⎰⎰再交换二次积分22102xz xdx dz-⎰⎰的次序可得221300012122318z z xI dz dz z dz-===⎰⎰⎰．四、三重积分表示函数的讨论[例6.2.11] 已知()f x连续，222()[()]F t z f x y dvΩ=++⎰⎰⎰，其中Ω：2220,z h x y t≤≤+≤，求()F t'和2()limtF tt+→．解：222222000()[()][()]t hF t z f x y dv d rdr z f r dzπθΩ=++=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰3212[()]3tr h f r h drπ=+⎰所以321()2[()]3F t t h hf tπ'=+，3200()()1lim lim[(0)]23t tF t F th hft tπ++→→'==+．[例6.2.12] 设()f x连续且恒大于零，222()22()()()()tD tf x y z dvF tf x y dσΩ++=+⎰⎰⎰⎰⎰，其中2222():t x y z tΩ++≤，222():D t x y t+≤则()F t（A）在1t=时取极小值，（B）在1t=时取极大值（C）在区间(0,)+∞单调增加，（D）在区间(0,)+∞单调减少．解：22222220000022220000()sin4()2() ()()2()()t t tt t td d f r r dr f r r dr f r r drF td f r rdr f r rdr f r rdrπππθϕϕπθπ⋅⋅⋅===⋅⋅⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰则22222200222[()()()()]()(())t ttt f t f r rdr tf t f r r drF tf r rdr⋅⋅-⋅⋅'=⋅⎰⎰⎰22222()()()(())tttf t f r r t r drf r rdr⋅⋅-=>⋅⎰⎰所以在区间(0,)+∞内()F t 单调增加，故应选（C ）．五、三重积分的应用Ⅰ 几何上的应用[例6.2.13] 求下列区域的体积（1）Ω是球体2224x y z az ++≤中曲面2224x y az a ++=的下方部分； （2）Ω是22,1z x y x y z =+++=所围区域．解：（1）两曲面的交线2222222245404x y az a z az a z a x y z az⎧++=⎪Γ⇒-+=⇒=⎨++=⎪⎩或4z a =所以两曲面的交线为2223z ax y a=⎧⎨+=⎩和交点(0,0,4)a ，因此Ω在xo y 平面上的投影区域为222:3xoy D x y a +≤．所以Ω的体积为2221[(4)(2xoy D V a x y a dxdy a=----⎰⎰2221[(4)(2d a r a rdr aπθ=---⎰3224222332111372[(2)((4)]436a r r a r a ra a ππ=--+-=．（2）两曲面的交线为222211z x y x x y y x y z ⎧=+Γ⇒+++=⎨++=⎩ 所以Ω在xo y 平面上的投影域为22113:()()222xoy D x y +++≤故Ω的体积为221]xoyD V x y x y dxdy =----⎰⎰222222323113[()()][]2222xoyD v u x y dxdy u v dvdu +≤=-+-+=--⎰⎰⎰⎰2299199244448d rdr ππθπππ=-=-⨯⨯=⎰．Ⅱ 物理应用[例6.2.14] 设有半径为R 的球体，0P 是此球表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到0P 距离的平方成正比（比例常数0)k >，求球体质心位置．解：取球体Ω的球心为坐标原点，点0P 位于x 轴正向上，从而0P 点的坐标为(,0,0)R ，球体上任一点(,,)P x y z 的密度为222[()]k x R y z ρ=-++．设质心坐标为(,,)x y z ，则222222[()][()]k x R y z xdxdydzx k x R y z dxdydzΩΩ-++=-++⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 222222[()][()]k x R y z ydxdydzy k x R y z dxdydzΩΩ-++=-++⎰⎰⎰⎰⎰⎰222222[()][()]k x R y z zdxdydzz k x R y z dxdydzΩΩ-++=-++⎰⎰⎰⎰⎰⎰由Ω关于三个坐标面都是对称的，所以利用三重积分的对称性知0y z == 而2222222[()][]2x R y z dxdydz xy z dxdydz R xdxdydz Rdv ΩΩΩΩ-++=++-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰222sin Rd d r r dr ππθϕϕ=⋅⎰⎰⎰543R π+53215R π=2222[()]2x R y z xdxdydz R x dxdydz ΩΩ-++=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰22222682sin cos sin 15RR d d r r dr R ππθϕϕθϕπ=-⋅=-⎰⎰⎰所以4R x =-．因此球体Ω的质心坐标为(,0,0)4R -，即在通过0P 的直径上，且在球内与0P 相距54R 的地方．[例6.2.16] 设球体2222,0x y z az a ++≤>的各点密度与坐标原点到该点的距离成反比．求球体的质量M 及球体绕z 轴旋转的转动惯量I ． 解：由已知球内任一点(,,)x y z的密度为(,,)x y z ρ=(0)k >．则(,,)M x y z dxdydz ρΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰22cos 222220001sin 2sin 4cos 2a k d d r dr k a d rπππϕθϕϕπϕϕϕ==⨯⎰⎰⎰⎰243ka π=．22()(,,)I xy x y z dv ρΩ=+⎰⎰⎰22Ω=⎰⎰⎰2222cos 2344220sin 1sin 2sin 16cos 4a kr d d r dr k a d rπππϕϕθϕϕπϕϕϕ==⨯⎰⎰⎰⎰41635ka π=．§6.3 曲线积分本节重点是两类曲线积分的计算、平面曲线积分与路径无关的条件的使用、求原函数及解曲线积分应用题．● 常考知识点精讲一、对弧长的曲线积分（第一类曲线积分）1．对弧长曲线积分的概念 ⑴ 对弧长曲线积分的定义定义：设L 为xo y 平面内的一条以,A B 为端点的光滑（或逐段光滑）曲线弧，函数(,)f x y 在L 上有界，在L 内任意插入1n -个点121,,,n M M M - 把L 分成n 个小弧段 01M M ， 12M M ， ， 1i i M M -， ， 1n nM M -（0,n M A M B ==） 记i s 表示弧段 1i i M M -的长度，在 1i iM M -上任取一点(,)i i ξη，作乘积(,)i i i f s ξη⋅ ，并作和1(,)ni i i i f s ξη=⋅∑ ，如果当各弧段的长度的最大值0λ→时，该和的极限总存在（与弧段 1i iM M -的分法及点(,)i i ξη的取法无关），则称此极限值为函数(,)f x y 在曲线弧L 上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分，记作(,)L f x y ds ⎰，即1(,)lim (,)ni i i Li f x y ds f s λξη→==⋅∑⎰ ．此定义可以推广到积分弧段为空间曲线弧的情形，即函数(,,)f x y z 在空间曲线弧Γ上对弧长的曲线积分(,,)f x y z ds Γ⎰．⑵ 对弧长曲线积分的存在性定理：当(,)f x y 在曲线弧L 上连续时，(,)f x y 在L 上对弧长的曲线积分存在．⑶ 对弧长曲线积分的基本性质① 第一类曲线积分与积分路径的方向无关，即 (,)(,)LLf x y ds f x y ds -=⎰⎰（其中L -表示与L 方向相反的弧段）② 若12n L L L L =+++ ，则 12(,)(,)(,)(,)nLL L L f x y ds f x y ds f x y ds f x y ds =+++⎰⎰⎰⎰③(,)(,)LLkf x y ds k f x y ds =⎰⎰，（其中k 为常数）④ [(,)(,)](,)(,)L LLf x yg x y ds f x y ds g x y ds ±=±⎰⎰⎰2．对弧长的曲线积分的计算 ⑴ 利用化简计算第一类曲线积分的化简方法有两种 ① 利用对称性化简，有如下两个命题 命题1：如果积分曲线L 关于x 轴对称，则10(,)(,)(,)2(,)(,)(,)LL f x y f x y f x y ds f x y ds f x y f x y -=-⎧⎪=⎨-=⎪⎩⎰⎰，当时，当时 其中1L 是L 被x 轴分出来的一部分 命题2：如果积分曲线L 关于y 轴对称，则10(,)(,)(,)2(,)(,)(,)LL f x y f x y f x y ds f x y ds f x y f x y -=-⎧⎪=⎨-=⎪⎩⎰⎰，当时，当时 其中1L 是L 被y 轴分出来的一部分 ② 将积分曲线的方程代入被积函数化简 ⑵ 利用定积分计算命题：设(,)f x y 在曲线L 上连续．若曲线L 的参数方程为：()()x x t t y y t αβ=⎧≤≤⎨=⎩，则(,)[(),(Lf x y ds f x t y t βα=⎰⎰其中(),()x t y t 在区间[,]αβ上有连续导数且22()()0x t y t ''+≠．[例3.1] 设L 是圆周222x y R +=，计算23()LI x y ds =+⎰．解：由于积分曲线L 关于x 轴对称，被积函数3(,)f x y y =是关于y 的奇函数，所以30Ly d s =⎰又因为L 是圆周222x y R +=，所以L 具有轮换对称性，从而 22222311()22LLLLx ds y ds x y ds Rds R π==+==⎰⎰⎰⎰所以233()LI x y ds R π=+=⎰．[例3.2] 设L 是由圆周222x y a +=，直线y x =及x 轴在第一象限中所围成图形的边界，计算LI =⎰．解：如图，积分曲线L ，由线段O A ，圆弧 AB 和线段OB 组成 于是LOAABOBI ==++⎰⎰⎰⎰而在O A 上，:,(0)0x x O A x a y =⎧≤≤⎨=⎩，ds dx =在 AB 上， cos :,0sin 4x a t A B t y a tπ=⎧≤≤⎨=⎩，ds adt = 在OB上，:,02x x O B x a y x=⎧≤≤⎨=⎩，ds =故402(1)4a xaaaI e dx e adt e ae ππ=+⋅+=-+⎰⎰．3．物理应用设曲线形物体在xo y 平面上占有弧段L ，其上点(,)x y 处的线密度为(,)x y ρ，假定(,)x y ρ在L 上连续，则 ⑴ 该物体的质心坐标(,)x y 为：(,)(,)L Lx x y d s x x y d sρρ=⎰⎰，(,)(,)L Ly x y d s y x y d sρρ==⎰⎰ ⑵ 该物体绕轴的转动惯量 绕x 轴的转动惯量： 2(,)x LI y x y d s ρ=⎰绕y 轴的转动惯量： 2(,)y LI x x y d sρ=⎰绕直线:0l ax by c ++=的转动惯量： 222()(,)l Lax by c I x y ds a bρ++=+⎰二、对坐标的曲线积分（第二类曲线积分）1．对坐标的曲线积分的概念 ⑴ 对坐标曲线积分的定义定义：设L 为xo y 平面内的一条以,A B 为端点的有向光滑（或逐段光滑）曲线弧，函数(,),(,)P x y Q x y 在L 上有界，在L 内任意插入1n -个点111111(,),,(,)n n n M x y M x y --- 把L 分成n 个有向小弧段01M M ， 12M M ， ， 1i i M M -， ， 1n nM M -（0,n M A M B ==） 记11,i i i i i i x x x y y y --=-=- ，在 1i iM M -上任取一点(,)i i ξη．如果当各弧段的长度的最大值0λ→时，1(,)ni i i i P x ξη=⋅∑ 的极限总存在（与弧段 1i iM M -的分法及点(,)i i ξη的取法无关），则称此极限值为函数(,)P x y 在有向曲线弧L 上对坐标x 的曲线积分，记作(,)LP x y d x ⎰．类似地，如果极限1(,)ni i i i Q y ξη=⋅∑ 的极限总存在（与弧段 1i iM M -的分法及点(,)i i ξη的取法无关），则称此极限值为函数(,)Q x y 在有向曲线弧L 上对坐标y 的曲线积分，记作(,)LQ x y dy ⎰，即1(,)lim (,)ni i i Li P x y dx P x λξη→==⋅∑⎰1(,)lim (,)ni i i Li Q x y dy Q y λξη→==⋅∑⎰一般地(,)(,)(,)(,)LLLP x y dx Q x y dy P x y dx Q x y dy +=+⎰⎰⎰．上述定义可以类似地推广到积分弧段为空间有向曲线弧Γ的情况：(,,)(,,)(,,)P x y z dx Q x y z dy R x y z dz Γ++⎰1lim[(,,)(,,)(,,)]niiii i i i i i i i i i P x Q y R z λξηζξηζξηζ→==⋅+⋅+⋅∑ ．⑵ 对坐标的曲线积分的存在性定理：若(,),(,)P x y Q x y 在有向曲线弧L 上连续，则(,),(,)P x y Q x y 在有向曲线弧L 上对坐标的曲线积分存在．⑶ 对坐标的曲线积分的基本性质第二类曲线积分与积分路径的方向有关，(,)(,)(,)(,)LLP x y dx Q x y dy P x y dx Q x y dy -+=-+⎰⎰其它性质类似于对弧长的曲线积分． 2．对坐标的曲线积分的计算 ⑴ 利用定积分计算命题：若有向曲线弧L 的参数方程为：()()x x t y y t =⎧⎨=⎩，而且t α=对应于有向曲线弧L 起点，t β=对应于有向曲线弧L 终点（β不一定大于α）．那么 (,)(,)LP x y dx Q x y dy +⎰={}[(),()]()[(),()]()P x t y t x t Q x t y t y t dt βα''+⎰其中(),()x t y t 在区间[,]αβ（或[,]βα）上有连续导数且22()()0x t y t ''+≠．一般来说封闭曲线上的第二类曲线积分或通过观察用定积分计算很困难的第二类曲线积分需借助于格林公式用二重积分计算． [例3.3] 计算22(2)(2)LI x xy dx y xy dy =-+-⎰，其中L 是抛物线2y x =上从点(1,1)-到点(1,1)的一段弧．解：2:x xL y x=⎧⎨=⎩，当1x =-时，对应L 的起点；当1x =时对应L 的终点． 于是 22(2)(2)LI x xy dx y xy dy =-+-⎰123431[(2)(2)2]xxx xx d x-=-+-⋅⎰124142(4)15x x dx =-=-⎰．3．格林公式及其应用 ⑴ 格林公式定理：设D 是一平面有界闭区域，L 是D 的边界曲线，方向为规定的正向，(,),(,)P x y Q x y 在D 及其边界L 上有一阶连续偏导数，则有(,)(,)()LDQ PP x y dx Q x y dy dxdy x y∂∂+=-∂∂⎰⎰⎰⑵ 平面上曲线积分与路径无关的条件定理：设(,),(,)P x y Q x y 在单连通区域D 内有连续一阶偏导数，则曲线积分(,)(,)LP x y dx Q x y dy +⎰在D 内与路径无关（或沿D 内任意简单闭曲线的曲线积分值为零）的充要条件是,(,)Q P x y D xy∂∂≡∈∂∂．⑶ 原函数的求法定义：若有(,)(,)(,)P x y dx Q x y dy du x y +=，则称(,)(,)P x y dx Q x y dy +为函数(,)u x y 的全微分，而函数(,)u x y 叫(,)(,)P x y dx Q x y dy +的一个原函数．定理：设(,),(,)P x y Q x y 在单连通区域D 内有连续一阶偏导数，则(,)(,)P x y dx Q x y dy+为函数(,)u x y 的全微分的充分必要条件为在D 内恒有Q P xy∂∂≡∂∂．且函数(,)u x y 可以表示为：00(,)(,)(,)x yx y u x y P x y dx Q x y dy =+⎰⎰或00(,)(,)(,)x yx y u x y P x y dx Q x y dy =+⎰⎰其中00(,)x y 为区域D 内一点． [例3.4] 计算232()(2)LI x xy dx y xy dy =-+-⎰．其中L 为四个顶点分别为(0,0)、(2,0)、(2,2)和(0,2)的正方形区域的正向边界．分析：由于L 是封闭曲线，且其正向为它所围区域D 边界规定的正向，且23(,)P x y x xy =-与2(,)2Q x y y xy =-都有连续偏导数，故格林定理的条件满足，用格林定理来计算．解：由格林公式可得 232()(2)LI x x y d x y x y d y=-+-⎰2()(23)DDQ P dxdy y xy dxdy xy∂∂=-=-+∂∂⎰⎰⎰⎰222(23)8dx y xy dy =-+=⎰⎰．[例3.5] 证明曲线积分2322(6)(63)Lxy y dx x y xy dy -+-⎰在整个平面上与路径无关，并计算积分(3,4)2322(1,2)(6)(63)xy y dx x y xy dy -+-⎰的值．解：整个平面域是单连通区域，记23(,)6P x y xy y =-，22(,)63Q x y x y xy =- 则(,),(,)P x y Q x y 在整个平面域上有一阶连续偏导数，且2123P Q xy y yx∂∂=-=∂∂所以曲线积分2322(6)(63)Lxy y dx x y xy dy -+-⎰在整个平面上与路径无关于是(3,4)342322(1,2)12(6)(63)(,2)(3,)xy y dx x y xy dy P x dx Q y dy -+-=+⎰⎰⎰34212(248)(549)236x dx y y dy =-+-=⎰⎰．[例3.6] 验证dy y y x dx xy x )23()23(2232+++是全微分式，并求其全部原函数． 解：因为 3223),(xy x y x P += ，y y x y x Q 23),(22+=在整个平面内都有连续一阶偏导数，且26xy yP xQ =∂∂=∂∂，所以是全微分式．全部原函数为3232(,0)(,)xyP x dx Q x y dy c x x y y c ++=+++⎰⎰（c 是任意常数）． 4．对坐标曲线积分的应用设质点在力{}(,),(,)F P x y Q x y =作用下沿有向曲线弧从A 点运动到B 点，这一过程中力F做的功为(,)(,)A BA BW F d s P x y d x Q x y d y=⋅=+⎰⎰三、两类曲线积分间的关系设(,)M x y 是有向曲线弧L 上任一点，0τ是L 在M 点且与L 方向一致的单位切向量，则{}{}0,cos ,cos dx dy ds dsdsταβ===●● 常考题型及其解法与技巧一、对弧长曲线积分的计算Ⅰ 利用化简计算 [例6.3.1] 填空题 （1）设L 为椭圆22143xy+=，其周长记为a ，则22(234)____Lxy x y ds ++=⎰ ；（2）设2222:0x y z a x y z ⎧++=Γ⎨++=⎩，则2____x ds Γ=⎰．解：（1）L 关于x 轴对称，而函数2xy 是变量y 的奇函数，所以由对称性可知20Lxyds =⎰从而222222(234)3412()43LLLxyxy x y ds x y ds ds ++=+=+⎰⎰⎰又因为L 上的点都满足22143xy+=，所以2212()121243LLxyds ds a +==⎰⎰故22(234)12Lxy x y ds a ++=⎰ ．（2）因为2222:0x y z a x y z ⎧++=Γ⎨++=⎩，所以具有轮换对称性．由轮换对称性可得：222x ds y ds z ds ΓΓΓ==⎰⎰⎰所以22221()3x ds x y z ds ΓΓ=++⎰⎰，又因为Γ上的点都满足2222x y z a ++=，从而 22223()2x y z ds ads a πΓΓ++==⎰⎰故 2323x ds a πΓ=⎰．Ⅱ 利用定积分计算[例6.3.2] 计算()Lx y ds +⎰，其中L 是以(0,0),(1,0),(0,1)O A B 为顶点的三角形围成．解：利用积分性质得： ()()()()LOAOBBAx y ds x y ds x y ds x y ds +=+++++⎰⎰⎰⎰线段O A 参数方程为,010x x x y =⎧≤≤⎨=⎩，ds dx =，故101()2O Ax y ds xdx +==⎰⎰；线段OB 参数方程为0,01x y y y =⎧≤≤⎨=⎩，ds dy =，故 101()2O Bx y ds ydy +==⎰⎰；线段BA 参数方程为,011x x x y x=⎧≤≤⎨=-⎩，ds =，故1()1BA x y ds +==⎰⎰．从而11()122Lx y ds +=++=+⎰[例6.3.3]计算L⎰，其中L 为圆周22x y ax +=．解：L 的参数方程为(1cos ),sin (02)22a a x t y t t π=+=≤≤，2a ds dt =所以202La dt π=⎰⎰222244aaππ==⎰⎰222coscos 22at dt au du ππ==⎰⎰2222(cos cos )2a udu udu a πππ=+-=⎰⎰．[例6.3.4] 计算2,Lx ds ⎰其中2222:0x y z a L x y ⎧++=⎨-=⎩，0a >．解：由于22222222::0x y z a x z a L L x y x y ⎧⎧++=+=⇔⎨⎨-==⎩⎩，所以L 参数方程表示为o s :c o s ,02s i n a x t a L y t t z a t π⎧=⎪⎪⎪=≤≤⎨⎪⎪=⎪⎩，ds adt ==故2Lx ds ⎰2322cos 22aat ads ππ=⋅=⎰．Ⅲ 利用二重积分计算封闭曲线上，被积函数没有具体表达式的第一类曲线积分一般用二重积分计算，具体步骤：①利用两类曲线积分的关系，把第一类曲线积分化为第二类；②利用格林公式把第二类曲线积分转化为二重积分；③计算二重积分．[例6.3.5] 设(,)u x y 在区域22:1D x y +≤内有连续二阶偏导数，且2222()22x y u u exy-+∂∂+=∂∂L 是区域D 的边界曲线，方向为规定的正向，n是L 的单位外法向量．计算L u ds n∂∂⎰ ． 解：由于Lu ds n ∂∂⎰=,L u u nds x y ⎧⎫∂∂⋅⎨⎬∂∂⎩⎭⎰ ，两类曲线积分之间的关系为ds ds τ=，其中τ 是与曲线方向一致的单位切向量．设{}{}cos ,cos ,cos ,cos n ταβαβ==，则,βααπβ==- ． 所以{}{}cos ,cos cos ,cos ταββα==- 因此,LL uu u ds nds nx y ⎧⎫∂∂∂=⋅⎨⎬∂∂∂⎩⎭⎰⎰ c o s c o s c o s (c o s )LL Luuu ud s d s d s d s x yxyαββα∂∂∂∂=+=+-∂∂∂∂⎰⎰⎰()LLuudy dx xy∂∂=+-∂∂⎰⎰利用格林公式可得Luds n∂∂⎰2222()122[](1)x y DDu u dxdy edxdy e xyπ-+-∂∂=+==-∂∂⎰⎰⎰⎰．二、平面对坐标的曲线积分的计算Ⅰ 积分路径为闭曲线此类积分常用的计算方法有：法一：利用定积分计算，前提是，易找到L 的参数式方程，并且所化成的定积分容易计算； 法二：借助格林公式用二重积分计算．在使用格林公式时一定要检验格林公式的条件是否满足．[例6.3.6] 计算22Ly dx x dy +⎰ ，其中L 为正向椭圆22221x y ab+=．解：将椭圆的方程化为参数方程c o s x a t =，sin y b t =(02)t π≤≤ 其中当0t =时，对应曲线的起点；当2t π=时，对应曲线的终点． 从而2222323(s i nc o s)Ly d x x d y a b ta b t d tπ+=-+⎰⎰3323(s i n c o s )2c o s 0a b b t a t d ta bt d t πππ-=-+==⎰⎰．[例6.3.7] 计算22Lxy dy x ydx -⎰，其中L 是以(1,0),(0,1),(1,0)A B C -为顶点的正向三角形（逆时针方向为正）．解：不难检验该曲线积分满足格林公式的条件，由格林公式可得2222()LDxy dy x ydx yx dxdy -=+⎰⎰⎰其中D 为以(1,0),(0,1),(1,0)A B C -为顶点的三角形域，如图所示而1122221()2()3x Dy x dxdy dx x y dy -+=+=⎰⎰⎰⎰，所以2213Lxy dy x ydx -=⎰．[例 6.3.8] 计算Ly d x x d y x y-++⎰，其中L A B C D A =是以(1,0)A 、(0,1)B 、(1,0)C -、(0,1)D -为顶点的正方形围线（如图）分析：在L 所围成的区域D 内的点(0,0)，格林公式的条件不满足．但注意到L 上任何点都满足1x y +=，所以可以将积分曲线的方程代入被积函数来化简（计算曲线（面）积分时，都可以利用曲线（面）方程化简算式）． 解：由于L 的方程为1x y +=，所以24LLDydx xdy ydx xdy dxdy x y-+=-+==+⎰⎰⎰⎰ ．[例6.3.9] 计算曲线积分224Lxdy ydxI x y-=+⎰，其中L 是以点(1,0)为中心，R 为半径的圆周(1)R >，取逆时针方向．分析：在L 所围成的区域D 内的点(0,0)，格林公式的条件不满足．此时可以做一条简单封闭曲线C 将该点“挖掉”，关键是C 取什么样的曲线？（应由被积函数的形状决定）． 解：令2222(,),(,)44y x P x y Q x y x yx y -==++，则22224,(,)(0,0)(4)Q P y xx y xyx y ∂∂-==≠∂∂+令222:4C x y ε+=，取逆时针方向，则222244L CCxdy ydxxdy ydxI x yx y--+--=-++⎰⎰22[]4CDQ P xdy ydxdxdy xyx y∂∂-=-+∂∂+⎰⎰⎰22112cCD ydx xdy dxdy πεε=-+==⎰⎰⎰ ．Ⅱ 积分路径为非闭曲线此类积分常用的计算方法有：法一：利用定积分计算，前提是，易找到L 的参数式方程，并且所化成的定积分容易计算； 法二：添加曲线段使非闭积分曲线变成闭积分曲线，再利用格林公式化为二重积分计算；[例6.3.10] 计算2222()()LI x y dx x y dy =++-⎰，其中L 为曲线11y x =--上从点(0,0)O 经过点(1,1)A 到点(2,0)B 的有向折线段．解：积分路径如图所示：L OA AB =+所以OAABI =+⎰⎰线段O A 参数方程为,x xy x=⎧⎨=⎩当0x =对应起点，当1x =对应终点；线段AB参数方程为,2x x y x=⎧⎨=-⎩当1x =对应起点，当2x =对应终点； 故12221422(2)3I x dx x dx =+-=⎰⎰．[例 6.3.11] 求[sin ()](cos )xxLI e y b x y dx e y ax dy =-++-⎰，其中,a b 为正常数，L 为从点(2,0)A a 沿曲线y =(0,0)O 的弧．分析：此题用第一种方法太麻烦，所以应选第二种方法．解：记(,)sin ()xP x y e y b x y =-+，(,)cos xQ x y e y ax =-．则Q P b a xy∂∂-=-∂∂添加直线段O A ，则L OA +为闭曲线（如图所示），于是20()a L OAOADI b a dxdy bxdx +=-=---⎰⎰⎰⎰⎰22()22a b a ba π=-+。