高等数学第八章二重积分试题及答案

习题8-11. 设有一平面薄片，在xOy 平面上形成闭区域D ，它在点(x ,y )处的面密度为μ(x ,y )，且μ(x ,y )在D 连续，试用二重积分表示该薄片的质量. 解：(,)Dm x y d μσ=⎰⎰.2. 试比较下列二重积分的大小：(1) 2()Dx y d σ+⎰⎰与3()Dx y d σ+⎰⎰，其中D 由x 轴、y 轴及直线x +y =1围成；(2)ln()Dx y d σ+⎰⎰与2ln()Dx y d σ+⎡⎤⎣⎦⎰⎰，其中D 是以A (1,0)，B (1,1)，C (2，0）为顶点的三角形闭区域.解：(1)在D 内，()()2301x y x y x y ≤+≤+≥+，故，23()()DDx y d x y d σσ+≥+⎰⎰⎰⎰.(2) 在D 内，212ln()1,ln()ln ()x y x y x y x y ≤+≤≤+≤+≥+，故0从而, 2ln()[ln()]DDx y d x y d σσ+≥+⎰⎰⎰⎰习题8-21. 画出积分区域，并计算下列二重积分：(1) ()Dx y d σ+⎰⎰，其中D 为矩形闭区域：1,1x y ≤≤；(2) (32)Dx y d σ+⎰⎰，其中D 是由两坐标轴及直线x +y =2所围成的闭区域；(3) 22()D xy x d σ+-⎰⎰,其中D 是由直线y =2,y =x ,y =2x 所围成的闭区域；(4) 2Dx y d σ⎰⎰,其中D 是半圆形闭区域:x 2+y 2≤4,x ≥0；(5) ln Dx y d σ⎰⎰,其中D 为:0≤x ≤4,1≤y ≤e ；(6)22Dx d σy ⎰⎰其中D 是由曲线11,,2xy x y x ===所围成的闭区域. 解：(1) 111111()()20.Dx y d dx x y dy xdx σ---+=+==⎰⎰⎰⎰⎰ (2) 222200(32)(32)[3(2)(2)]x Dx y d dx x y dy x x x dx σ-+=+=-+-⎰⎰⎰⎰⎰223202220[224]4.330x x dx x x x =-++=-++=⎰(3) 32222222002193()()()248yy Dy x y x d dy x y x dx y dy σ+-=+-=-⎰⎰⎰⎰⎰43219113.96860y y -= (4) 因为被积函数是关于y 的奇函数，且D 关于x 轴对称，所以20.Dx yd σ=⎰⎰(5) 44201041ln ln (ln ln )2(1)2110e De e e x yd dx x ydy x y y y dx x e σ-==-==-⎰⎰⎰⎰⎰.(6) 122224111311122222119()()124642x x Dx x x x x x d dx dy dx x x dx y y y x σ==-=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.2. 将二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰化为二次积分（两种次序）其中积分区域D 分别如下：(1) 以点(0,0),(2,0),(1,1)为顶点的三角形；(2) 由直线y =x 及抛物线y 2=4x 所围成的闭区域；(3) 由直线y =x ,x =2及双曲线1y x=所围成的闭区域；(4) 由曲线y =x 2及y =1所围成的闭区域. 解：(1) 1221201(,)(,)(,).xx y ydx f x y dy dx f x y dy dy f x y dx --+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(2) 2441004(,)(,).y x y dx f x y dy dy f x y dx =⎰⎰⎰⎰(3) 12222111112(,)(,)(,).xyyxdy f x y dx dy f x y dx dx f x y dy +=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(4) 21111(,)(,).xdx f x y dy dy f x y dx -=⎰⎰⎰3. 交换下列二次积分的积分次序：(1) 10(,)ydy f x y dx ⎰⎰； （2）2220(,)yydy f x y dx ⎰⎰；(3) ln 10(,)e xdx f x y dy ⎰⎰； (4) 123301(,)(,)y ydy f x y dx dy f x y dx -+⎰⎰⎰⎰.解：(1) 111(,)(,)yxdy f x y dx dx f x y dy =⎰⎰⎰⎰.(2) 222402(,)(,).y x ydy f x y dx dx f x y dy =⎰⎰⎰⎰(3) ln 11(,)(,)y e xeedx f x y dy dy f x y dx =⎰⎰⎰⎰(4) 123323012(,)(,)(,)yyxxdy f x y dx dy f x y dx dx f x y dy --+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.4. 求由平面x =0,y =0,x =1,y =1所围成的柱体被平面z =0及2x +3y +z =6截得的立体体积.解：11100037(623)(62).22V dx x y dy x dx =--=--=⎰⎰⎰5. 求由平面x =0,y =0,x +y =1所围成的柱体被平面z =0及曲面x 2+y 2=6－z 截得的立体体积.解：3111222000(1)34(6)[6(1)(1)).312x x V dx x y dy x x x dx --=--=----=⎰⎰⎰习题8-31. 画出积分区域，把二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰化为极坐标系下的二次积分,其中积分区域D是：(1) x 2+y 2≤a 2 (a >0)； (2) x 2+y 2≤2x ；(3) 1≤x 2+y 2≤4； (4) 0≤y ≤1－x ,0≤x ≤1. 解：(1) 20(,)(cos ,sin ).aDf x y d d f r r rdr πσθθθ=⎰⎰⎰⎰(2) 2cos 202(,)(cos ,sin ).Df x y d d f r r rdr πθπσθθθ-=⎰⎰⎰⎰(3) 221(,)(cos ,sin ).D f x y d d f r r rdr πσθθθ=⎰⎰⎰⎰(4)12cos sin 0(,)(cos ,sin ).Df x y d d f r r rdr πθθσθθθ+=⎰⎰⎰⎰2. 把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值：(1)22220()aa y dy x y dx -+⎰⎰；(2)21220;xxdx x y dx +⎰⎰解：(1)224422320()248aa y aa a dy x y dx d r dr πππθ-+==⋅=⎰⎰⎰⎰. (2) 22sin 3122244cos 600001sin 3cos x x dx x y dx d r dr d πθπθθθθθ+==⎰⎰⎰⎰⎰244466400011cos 111(cos )[(cos )(cos )]33cos cos cos d d d πππθθθθθθθ-=-=--⎰⎰⎰ 532(21)1cos cos 4().3530πθθ--+=--+= 3. 在极坐标系下计算下列二重积分：(1)22x y De d σ+⎰⎰,其中D 是圆形闭区域: x 2+y 2≤1；(2) 22ln(1)Dxy d σ++⎰⎰,其中D 是由圆周x 2+y 2=1及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域；(3)arctanDyd σx⎰⎰，其中D 是由圆周x 2+y 2=1,x 2+y 2=4及直线y =0,y =x 所围成的在第一象限内的闭区域；(4)222DR x y d σ--其中D 由圆周x 2+y 2=Rx (R >0)所围成.解：(1) 22222100112(1).20xy r r De d d e rdr e e πσθππ+==⋅=-⎰⎰⎰⎰(2)23112222221ln(1)ln(1)[ln(1)]221Dr r xy d d r rdr r dr rππσθ++=+=+-+⎰⎰⎰⎰⎰ 212(1)[ln 22](2ln 21)441r r r dr rππ+-=-=-+⎰. (3) 222244010133arctan arctan(tan ).32264Dy d d rdr d rdr x ππππσθθθθ=⋅==⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(4)222DR x y d σ--3cos 2222222022cos 12()230R R d R r rdr R r d ππθππθθθ--=-=--⎰⎰⎰3333221(sin )33R R R d πππθθ-=--=⎰.4. 求由曲面z =x 2+y 2与22z x y =+所围成的立体体积.解：两条曲线的交线为x 2+y 2=1，因此，所围成的立体体积为：21222220[()]().6DV x y x y d d r r rdr ππσθ=++=-=⎰⎰⎰⎰习题8-41. 计算反常二重积分()x y De dx dy -+⎰⎰，其中D ：x ≥0,y ≥x .2. 计算反常二重积分222()Ddx dyx y +⎰⎰，其中D ：x 2+y 2≥1. 解：1.22201()2a aaax yx x aaa xe dx edy eedx e e ---------=-=-+-⎰⎰⎰所以2()211lim ().22a x y a a a De edxdy e e --+--→+∞-=-+-=⎰⎰2. 由232011112()22R d dr r R πθπ=-⎰⎰，得222211lim 2().2()2R Ddxdy x y R ππ→+∞=-=+⎰⎰复习题8（A ）1. 将二重积分d d (,)Df x y x y ⎰⎰化为二次积分(两种次序都要)，其中积分区域D 是：(1) ︱x ︱≤1,︱y ︱≤2;(2) 由直线y =x 及抛物线y 2=4x 所围成. 解：(1) 12211221(,)(,).dx f x y dy dy f x y dx ----=⎰⎰⎰⎰(2) 2424004(,)(,).xyy xdx f x y dy dy f x y dx =⎰⎰⎰⎰2. 交换下列两次积分的次序： (1)d d 10(,)yyy f x y x ⎰⎰;(2)d d 2220(,)a ax x x f x y y -⎰⎰;(3)d d +d d 12201(,)(,)xxx f x y y x f x y y -⎰⎰⎰⎰．解：(1) 211d (,)d d (,)d y x yxy f x y x x f x y y =⎰⎰⎰⎰.(2) 222222200d (,)d d (,)d aax x aa a y a a y x f x y y y f x y x -+---=⎰⎰⎰⎰.(3)1221201d (,)d +d (,)d d (,)d xxy yx f x y y x f x y y y f x y x --=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.3. 计算下列二重积分：(1) e d x y Dσ+⎰⎰， D : ︱x ︱≤1,︱y ︱≤1;(2) d d 2D xy x y ⎰⎰,D 由直线y =1,x =2及y =x 围成；(3) d d (1)Dx x y -⎰⎰,D 由y =x 和y =x３围成；(4) d d 22()Dx y x y +⎰⎰，D :︱x ︱+︱y ︱≤1; (5) d 1sin Dy σy ⎰⎰，D 由22y x π=与y =x 围成； (6)d (4)Dx y σ--⎰⎰，D 是圆域x 2＋y 2≤R 2；解: (1) 1111111211111e d ()()()1x y x y x x x x Ddx e dy e e dx e e e e σ+++-+----==-=-=--⎰⎰⎰⎰⎰.(2)5322224211121129d d ()()2253151xDx x xy x y dx x ydy x x dx ==-=-=⎰⎰⎰⎰⎰.(3) 3112430011117(1)d d (1)()325460x x Dx x y dx x dy x x x x dx -=-=--+=--+=-⎰⎰⎰⎰⎰.(4)1122220()d d 4()xDx y x y dx x y dy -+=+⎰⎰⎰⎰33241201412124(2)4()33323330x x x x x x dx x =--+=--+=⎰. (5) 222200sin 12sin d (sin sin )y y Dy y dy dx y y y dy y y πππσπ==-⎰⎰⎰⎰⎰222222sin (cos )1(cos sin )10ydy yd y y y y ππππππ=+=+-=-⎰⎰. (6)322200(4)d (4cos sin )[2(cos sin )]3RDR x y d r r rdr R d ππσθθθθθθ--=--=-+⎰⎰⎰⎰⎰3222[2(sin cos )]430R R R πθθθπ=--=.4. 已知反常二重积分e d 2y Dx σ-⎰⎰收敛，求其值．其中D 是由曲线y =4x 2与y =9x 2在第一象限所围成的区域．解：设2249(0)a D y x y x y a a ===>是由曲线、和在第一象限所围成.则22222200015555ed ()236144144144aaa a y y y y a D x dy dx ye dy e d y e σ-----==⋅=--=-⎰⎰⎰⎰⎰. 所以225e d lime d 144ay ya DD x x σσ--→+∞==⎰⎰⎰⎰. 5. 计算e d 2x x +∞--∞⎰．解：由第四节例2以及2y =e x -是偶函数，可知2e d x x +∞--∞=⎰.6. 求由曲面z =0及z =4-x 2-y 2所围空间立体的体积．解：曲面z =0和z =4-x 2-y 2的交线为x 2+y 2 =4.因此，所围空间立体的体积为：222220016(4)d d (4)2(8)84D x y x y d r rdr πθππ--=-=-=⎰⎰⎰⎰.7. 已知曲线y =ln x 及过此曲线上点(e ，1）的切线ey x 1=．(1) 求由曲线y =ln x ，直线ey x 1=和y =0所围成的平面图形D 的面积；(2) 求以平面图形D 为底，以曲面z =e y 为顶的曲顶柱体的体积．解：(1) 1ln (ln )12221e e e ee S xdx x x x =-=--=-⎰.(2) 221120013()()2220y y e yyyy y ye e V dy e dx e ye dy ye e ==-=-+=-⎰⎰⎰.（B ）1. 交换积分次序：(1) 311(,)xxdx f x y dy -⎰⎰； （2）0112(,)y dy f x y dx --⎰⎰；(3) 224(,)x x f x y dy -⎰；(4) 110(,)dx f x y dy ⎰.解：(1) 3111(,)(,)x xydx f x y dy dy f x y dx -=⎰⎰⎰.(2) 01101221(,)(,)yxdy f x y dx dx f x y dy ---=⎰⎰⎰⎰.(3) 2242402(,)(,)(,)x x f x y dy dy f x y dx dy f x y dx -=+⎰⎰⎰.(4) 211121(,)(,)(,)y dx f x y dy dy f x y dx dy f x y dx =+⎰⎰⎰⎰.2. 计算积分2122x xxdx dy x y +⎰⎰.解：222sin sin 144cos cos 2220000cos cos xxx r dx dy d rdr d dr x y r πθπθθθθθθθ==+⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 40sin ln 24(ln cos )cos 2d ππθθθθ==-=⎰. 3. 计算积分112201yy dy dx x y ++⎰⎰.解：111114cos 4cos cos 2222000sin sin [sin ]111yy r dy dx d rdr d dr dr x y r r ππθθθθθθθθ==-++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 44001ln 21(tan sin arctan )arctan (cos )cos 2cos d d ππθθθθθθ=-⋅=+⎰⎰令cos t θ=,则原式211ln 21ln 21ln 211(arctan ln(12222dt dt t t t t t =+=+=+++ln 213ln 213ln ln 22242224ππ=+--=-. 4. 设函数f (x )在区间0,1⎡⎤⎣⎦上连续，且1()f x dx A =⎰，求11()()xdx f x f y dy ⎰⎰. 解：设1'()()()(1)(0)F x f x f x dx F F A ==-=⎰，则.11111()()()[(1)()](1)()()(())xdx f x f y dy f x F F x dx F f x dx F x d F x =-=-⎰⎰⎰⎰⎰21()111(1)(1)[(1)(0)][(1)(0)](1)(1)(0)22220F x F A F A F F F F F A AF AF =-=--+=--21[(1)(0)]22A A F F =-=. 5. 计算2Dx y d σ⎰⎰，其中D 是由直线y =0,y =1及双曲线x 2－y 2=1所围成的闭区域.解：11222022(13Dx yd dy ydx y y σ==+⎰⎰⎰⎰35122222011122(1)(1)(1)1)335150y d y y =++=⋅+=⎰. 6. 计算222y xdx e dy ⎰⎰.解：2222222240000211(1)220y y y y y x dx e dy dy e dx ye dy e e ====-⎰⎰⎰⎰⎰.7. 证明211()()d ()()d 1b x bn n a a adx x y f y y b y f y y n ---=--⎰⎰⎰，其中n 为大于1的正整数. 证：22()()d ()()b x b bn n aaaydx x y f y y dy x y f y dx ---=-⎰⎰⎰⎰11()()1bn b yax y f y dy n -=--⎰11()()d 1bn ab y f y y n -=--⎰。

高等数学作业题（一）第一章 函数1、填空题（1）函数1142-+-=x x y 的定义域是 2、选择题(1)下列函数是初等函数的是（ ）。

A.3sin -=x y B.1sin -=x y C.⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=1,01,112x x x x yD. ⎩⎨⎧≥<+=0,0,1x x x x y (2)xy 1sin =在定义域内是（ ）。

A. 单调函数 B. 周期函数 C. 无界函数 D. 有界函数3、求函数2)1ln(++-=x x y 的定义域4、设,1)(2+-=x x x f 计算xf x f ∆-∆+)2()2(5、要做一个容积为250立方米的无盖圆柱体蓄水池，已知池底单位造价为池壁单位造价的两倍，设池底单位造价为a 元，试将总造价表示为底半径的函数。

6、把一个圆形铁片，自中心处剪去中心角为α的一扇形后，围成一个无底圆锥，试将此圆锥体积表达成α的函数。

第二章 极限与连续1、填空题（1）32+=x y 的间断点是 （2）0=x 是函数x x y +=1的第 类间断点。

（3）若极限a x f x =∞→)(lim 存在，则称直线a y =为曲线=y ()x f 的 渐近线。

（4）有界函数与无穷小的乘积是（5）当0→x ，函数x 3sin 与x 是 无穷小。

（6）xx x 1)21(lim 0+→= （7）若一个数列{}n x ，当n 时，无限接近于某一个常数a ，则称a 为数列{}n x 的极限。

（8）若存在实数0>M ，使得对于任何的R x ∈，都有()M x f <，且()0lim 0=→x g x ， 则()()=→x g x f x 0lim （9）设x y 3sin =，则=''y(10) x x x)211(lim -∞→=2、选择题（1）xx x sin lim 0→的值为（ ）。

A.1 B.∞ C.不存在 D.0 （2）当x →0时，与3100x x +等价的无穷小量是( )。

二重积分习题答案 Revised by BLUE on the afternoon of December 12,2020.第八章二重积分习题答案练习题1.设D：0y ≤0x a ≤≤，由二重积分的几何意义计算d Dx y解：d Dx y=200d πθ⎰⎰=222001()2r d a r πθ=--⎰⎰2. 设二重积分的积分区域为2214x y ≤+≤，则2dxdy =⎰⎰ 解：2dxdy =⎰⎰22126d rdr πθπ=⎰⎰练习题1.2d Dx σ⎰⎰其中D 是两个圆,y x 122=+与,y x 422=+围成的环型区域.解：2d Dx σ⎰⎰=22222301001515cos [cos2]84d r dr d d πππθθθθθπ=+=⎰⎰⎰⎰ 2计算二重积分σd yx D)341(--⎰⎰，其中D 是由直线2,,2=-=x x ；1,1=-=y y 围成的矩形。

解：σd y x D)341(--⎰⎰= 221211212(1)[(1)]4346x y x y dx dy y dx ------=--⎰⎰⎰=222(1)84xdx --=⎰3. 应用二重积分，求在xy 平面上由曲线224x x y x y -==与所围成的区域D 的面积.解：22242202320(42)28(2)|33x x xDA dxdy dx dy x x x x -===-=-=⎰⎰⎰⎰⎰4. 求旋转抛物面224z x y =--与xy 平面所围成的立体体积 解： 2222220(4)(4)48DV x y d d r rdr d ππσθθπ=--=-==⎰⎰⎰⎰⎰习 题 八一．判断题1.d Dσ⎰⎰等于平面区域D 的面积.（√）2.二重积分 100f(x,y)d ydy x ⎰⎰交换积分次序后为11f(x,y)d xdx x ⎰⎰ （×）二．填空题1.二重积分的积分区域为2214x y ≤+≤，则4dxdy =⎰⎰12π12π.2.二重积分d d Dxy x y ⎰⎰的值为112，其中2:0D y x ≤≤，01x ≤≤.1123.二重积分10(,)ydy f x y dx ⎰⎰交换积分次序后为11(,)xdx f x y dy⎰⎰. 11(,)xdx f x y dy ⎰⎰4.设区域D 为1x ≤，1y ≤，则⎰⎰（sin x x -）d d x y =0.05.交换积分次序1d (,)y f x y dx ⎰=211(,)(,)x dx f x y dy f x y dy+⎰⎰.211(,)(,)x dx f x y dy f x y dy +⎰⎰6.设D 是由221x y +≤所确定的区域。

第八章 二重积分习题解答（A ）1. 将二重积分(),Df x y dxdy ⎰⎰按两种次序化为累次积分，积分区域D 是由下列曲线或直线围成的：（1）(){},1,1D x y x y =≤≤；（2）D 是由y 轴，1y =，y x =围成的区域； （3）D 是由x 轴，ln y x =，x e =围成的区域； （4）D 是由3y x =，1y =，1x =-围成的区域；（5）()22,149x y D x y ⎧⎫⎪⎪=+≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭； （6）D 是由2y x =，24y x =-围成的区域；（7）D 是由x 轴，圆2220x y x +-=在第一象限的部分及直线2x y +=围成的区域；（8）D 是由x 轴，圆2240x y y +-=在第一象限的部分及抛物线24y x =-在第二象限的部分围成的区域.解（1）积分区域D 的图形如图8-1所示.由图8-1可知()()()11111111,,,Df x y dxdy dx f x y dy dy f x y dx ----==⎰⎰⎰⎰⎰⎰（2）积分区域D 的图形如图8-2所示.由图8-2可知()()()1110,,,yxDf x y dxdy dx f x y dy dy f x y dx ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰图8－1 图8－2（3）积分区域D 的图形如图8-3所示.由图8-3可知()()()ln 11,,,y e xeeDf x y dxdy dx f x y dy dy f x y dx ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰（4）积分区域D 的图形如图8-4所示.由图8-4可知()()()33111111,,,yxDf x y dxdy dx f x y dy dy f x y dx ---==⎰⎰⎰⎰⎰⎰图8－3 图8－4（5）积分区域D 的图形如图8-5所示.由图8-5可知()()()22223224392332234923,,,x y x y Df x y dxdy dx f x y dy dy f x y dx -------==⎰⎰⎰⎰（6）积分区域D 的图形如图8-1所示.由图8-1可知()()22242,,x xDf x y dxdy f x y dy -=⎰⎰⎰()()244024,,yyyydy f x y dx dy f x y dx ----=+⎰⎰⎰⎰图8－5 图8－6 （7）积分区域D 的图形如图8－7所示.由图8－7可知()()()2122201,,,x x xDf x y dxdy dx f x y dy dx f x y dy --=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰()212011,yy dy f x y dx ---=⎰⎰（8）积分区域D 的图形如图8－8所示.由图8－8可知()()()2224224224,,,x x x Df x y dxdy dx f x y dy dx f x y dy -+----=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰()24404,y y ydy f x y dx ---=⎰⎰图8－7 图8－8 2.交换下列累次积分的积分顺序： （1）()10,ydy f x y dx ⎰⎰；（2）()10,yydy f x y dx ⎰⎰； （3）()21100,x dx f x y dy -⎰⎰；（4）()21,xx dx f x y dx ⎰⎰；（5）()221111,x x dx f x y dy ----⎰⎰；（6）()220,xxdx f x y dy ⎰⎰； （7）()()2111011ln ,,ex xdx f x y dy dx f x y dy -+⎰⎰⎰⎰； （8）()()312201,,yydy f x y dx dy f x y dx -+⎰⎰⎰⎰；解（1）积分区域D 的图形如图8－9所示.由图8－9可知原式()11,xdx f x y dy =⎰⎰（2）积分区域D 的图形如图8－10所示.由图8－10可知原式()21,xxdx f x y dy =⎰⎰图8－9 图8－10（3）积分区域D 的图形如图8－11所示.由图8－11可知原式()2110,y dy f x y dx -=⎰（4）积分区域D 的图形如图8－12所示.由图8－12可知原式()21,yydy f x y dx =⎰⎰图8－11 图8－12（5）积分区域D 的图形如图8－13所示.由图8－13可知原式()()221111101,,y yy ydy f x y dx dy f x y dx -------=+⎰⎰⎰⎰（6）积分区域D 的图形如图8－14所示.由图8－14可知原式()()242222,,yy y dy f x y dx dy f x y dx =+⎰⎰⎰⎰图8－13 图8－14（7）积分区域D 的图形如图8-15所示.由图8-15可知原式()101,y e ydy f x y dx -=⎰⎰（8）积分区域D 的图形如图8-16所示.由图8-16可知原式()3120,xx dx f x y dy -=⎰⎰图8－15 图8－163.计算下列二重积分：（1）()22D xy dxdy +⎰⎰，其中(){},01,12D x y x y =≤≤≤≤；（2）Dxydxdy ⎰⎰，其中D 是由直线,3,1,2y x y x x x ====围成的；（3）()23334D xx y dxdy +⎰⎰，其中D 是由曲线32,y x y x ==围成的；（4）xy Dye dxdy ⎰⎰，其中D 是由直线ln 2,ln3,2,4y y x x ====围成的；（5）()24sin Dy xy dxdy ⎰⎰，其中D 是由直线,,02y y x x π===围成的；（6）()32221Dydxdy xy++⎰⎰，其中(){},01,01D x y x y =≤≤≤≤；（7）()6Dx y dxdy +⎰⎰，其中D 是由直线,5,1y x y x x ===围成的；（8）()22Dxy dxdy +⎰⎰，其中D 是由直线,,,y x y x a y a ==+=()30y a a =>围成的；（9）221Dy x y dxdy +-⎰⎰，其中D 是由直线,1,1y x x y ==-=围成的； （10）Dxydxdy ⎰⎰，其中D 是由直线2y x =及直线2y x =-围成的； 解（1）区域D 如图8－17所示原式()21221dy x y dx =+⎰⎰()12321022231113118333x xy dy y dy y y ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭⎰⎰（2）原式()2322223111115324xxxdx ydy x x x dx x dx ==-==⎰⎰⎰⎰图8－17 图8－18（3）区域D 如图8－18所示原式)31233034xxdx x x y dy =+⎰(312340176162036111557316336x x x y x y dyx x x =+⎛⎫=--=⎪⎝⎭⎰（4）原式ln34ln 22xy dy ye dx =⎰⎰()ln342ln2xye dy=⎰()ln3ln34242ln 2ln 21155424y y y y e e dy e e ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰ （5）原式()2204sin yy xy dx π=⎰()(20221cos 22sin 2y y dyy yπ=-=-=-（6）原式()11302221ydx dy x y =++⎰⎰()()()()((221130222111222001100110111212ln ln lnd x y dx x y x y dx x x -++=++⎡⎤=⎢⋅-⋅++⎥⎢⎥⎣⎦==+-+=⎰⎰⎰⎰⎰（7）区域D 如图8－19所示原式()1506xxdx x y dy =+⎰⎰12076763x dx ==⎰ （8）区域D 如图8－20所示原式()322aya y ady xy dx -=+⎰⎰33213yaay ax xy dy -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰3223123a a ay a y a dy ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎰ 33223421114323aaay a y a y a ⎡⎤=-+=⎢⎥⎣⎦图8－19 图8－20（9）原式()()1112222211112xdx x y d x y -=-+-+-⎰⎰()()13122211311212312133x x y dxx dx --⎧⎫⎪⎪=-+-⎨⎬⎪⎪⎩⎭=--=⎰⎰ （10）区域D 如图8－21所示原式2221y ydy xydx +-=⎰⎰()2222125321121454428y y x y dy y y y y dy +--⎧⎫⎪⎪⎛⎫=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭=-+++=⎰⎰图8－214.计算下列二重积分（1）2D y dxdy x ⎛⎫⎪⎝⎭⎰⎰，其中D是由曲线y =,0y x y ==所围成的第一象限部分；（2）Dyarctandxdy x⎰⎰，其中(){22,14,D x y xy =≤+≤0,x ≥}0y ≥；（3）()4Dx y dxdy --⎰⎰，其中(){}22,2D x y x y y =+≤； （4）D，其中D 是圆域222x y ax +≤的上半部分；（5）()22ln 1Dx y dxdy ++⎰⎰，其中D 是圆域221x y +≤的第一象限部分； （6）D，其中(){}2222,D x y ax y b =≤+≤；（7）Dxdxdy ⎰⎰，其中D是由曲线x =y x =所围成的区域； （8）Dydxdy ⎰⎰，其中D是由曲线x =0,y =2,2y x ==-所围成的区域；解（1）如图8－22所示原式1240tan d rdr πθθ=⋅⎰⎰()()1224024040tan 21sec 1211tan 228r d d πππθθθθπθθ⎛⎫= ⎪⎝⎭=-=-=-⎰⎰（2）原式()2222011134122216d rdr ππθθπ⎛⎫=⋅=⋅-= ⎪⎝⎭⎰⎰图8－22 图8－23（3）如图8－23所示原式()2cos 04cos sin d r r rdr πθθθθ=--⋅⎰⎰2cos 332002cos sin 33r rr d θπθθθ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭⎰2430888cos cos cos sin 33d πθθθθθ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭⎰ ()()23040002841cos 21cos 2cos sin 331sin 4sin 22244sin 2cos 2323214333d ππππθθθθθθθθθθθθππππ⎡⎤=+-+-⎢⎥⎣⎦⎛⎫+ ⎪⎛⎫=+-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭=--=⎰（4）如图8－24所示原式2cos 22204a d a r rdr πθθ=-⎰⎰()()()2cos 22202cos 22222002cos 322220033320414421242314481sin 333a a a d a r rdrd a r d a r a r d a d a πθπθθππθθθθθπ=-⋅=---⎧⎫⎪⎪=-⋅-⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （5）如图8－25所示原式()12200ln 1d r rdr πθ=+⋅⎰⎰()()()()()()()1220112222001ln 11221ln 11141ln 414r d r r r r dr r πππ=⋅++⎡⎤⎢⎥=+⋅+-+⋅+⎢⎥⎣⎦=-⎰⎰图8－24 图8－25（6）如图8－26所示原式()3233202233bbaar d r dr b a πθππ===-⎰⎰ （7）如图8－27所示原式2sin 240cos d r dr πθθθ=⎰⎰2sin 3400cos 3r d θπθθ⎛⎫ ⎪= ⎪⎝⎭⎰()3408sin sin 3d πθθ=⎰4440818121sin 343426πθ⎛⎫=⋅=⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭图8－26 图8－27（8）如图8－28所示原式22202y y dy ydx --=⎰⎰()22022y y y dy =--⎰()22202222411ydy y y dyy dy=--=---⎰⎰⎰设1sin ,y t -=有cos dy tdt =.当0y =时，2t π=-；当2y =时，2t π=.()()222202111sin cos y y dy t tdt ππ---=+⋅⎰⎰2222222cos cos sin 1cos 22022tdt t tdtt dt ππππππ--=++=+=⎰⎰⎰所以42Dydxdy π=-⎰⎰图8－285.计算下列累次积分 （1）2312y xxdx e dy ⎰； （2）1xxydx dy y⎰； （3）5511ln ydy dx y x⎰⎰； （4）32211sin x dx y dy -⎰⎰；（5）221150y xx dx e dy -⎰⎰；解（1）积分区域D 的图形如图8-29所示.由图8-29可知原式2312y yye dy dx =⎰⎰()222222221320113220211222001121222200022232y y y y y y y y ey y dye ydy e y dyy e d y de y e y e e d e =-=-=-⎡⎤⎢⎥=--=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰图8－29 图8－30（2）积分区域D 的图形如图8－30所示.由图8－30可知原式2111000sin sin sin 1sin1y y ydy dx ydy y ydy y ==-=-⎰⎰⎰⎰ （3）积分区域D 的图形如图8－31所示.由图8－31可知原式55111114ln x dx dy dx x y===⎰⎰⎰图8－31 图8－32（4）积分区域D 的图形如图8－32所示.由图8－32可知原式21201sin y y dy dx +=⎰⎰222220111sin sin cos 4222y y dy y dy ===-⎰⎰ （5）积分区域D 的图形如图8－33所示.由图8－33可知原式2150yy e dy x dx -=⎰⎰()22222115300011122200016111621211126yy y y y y e dy x dx e y dy y de y e e d y e-----==⋅⎛⎫⎡⎤=-=-+- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭=-⎰⎰⎰⎰⎰图8－336.计算下列曲面所围成的体积（1）1,0,0,0,1z x y z x y x y =++===+=； （2）222,0,,1z x y z y x y =+===； （3）231,0,0,0x y z x y z ++====； （4）221,3,0x y x y z z +=++==； （5）222,,0,12y x x y z z y x ====+-. 解（1） 各曲面围成的立体是以曲面1z x y =++为顶，以区域(){},0,0,1D x y x y x y =≥≥+≤为底，母线平行于oz 轴的曲顶柱体，故所求体积()1DV x y dxdy =++⎰⎰()1111200001122300112313115222266xxdx x y dy y xy y dx x x dx x x x --⎛⎫=++=++⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=--=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰（2） 各曲面围成的立体是以曲面22z x y =+为顶，以区域(){}2,,1D x y y x y =≥≤为底，母线平行于oz 轴的曲顶柱体，故所求体积 ()22DV x y dxdy =+⎰⎰()()()2111222222022xDD x y dxdy x y dxdy dx x y dy =+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰2111236420011122333x x y y dx x x x dx ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=--++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎰⎰17530111188221533105x x x x ⎛⎫=--++= ⎪⎝⎭（3） 各曲面围成的立体是以曲面231x y z ++=，为顶，以区域(){},0,0,21D x y x y x y =≥≥+≤为底，母线平行于oz 轴的曲顶柱体，故所求体积123Dx yV dxdy --=⎰⎰()()()()1111222000021130********1111113412336xxdx x y dy x y y dx x dx x --⎡⎤=--=--⎣⎦-==-⋅-=⎰⎰⎰⎰（4） 各曲面围成的立体是以曲面3z x y =--为顶，以区域(){}22,1D x y xy =+=为底，母线平行于oz 轴的曲顶柱体，故所求体积()3D V x y dxdy =--⎰⎰()()()()21122300102203cos sin 31cos sin 2331cos sin 2331sin cos 323d r r rdrr r d d ππππθθθθθθθθθθθθπ=--⋅⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦=--=⎰⎰⎰⎰（5） 各曲面围成的立体是以曲面212z y x =+-为顶，以区域(){}22,,D x y y x x y =≥≥为底，母线平行于oz 轴的曲顶柱体，故所求体积()212DV y x dxdy =+-⎰⎰)212012xdx y x dy =+-⎰1512222011121222x x x x x dx ⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭⎰ 13732522011298444107140x x x x x ⎛⎫=-++-= ⎪⎝⎭7.计算下列二重积分：（1）()x y Dedxdy -+⎰⎰，其中(){},0,0D x y y x y =≤<+∞≤≤；（2）222212x y De dxdy π⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰，其中(){,0,D x y y =≤<+∞}0x ≤<+∞；（3）11221x y De dxdy x y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰⎰，其中(){},1,1D x y y x =≤<+∞≤<+∞；（4）()2221Ddxdy xy+⎰⎰，其中(){}22,1D x y xy =+≥；解（1）原式()limlimy ayayxyxa a e dy e dx ee dy ----→+∞→+∞==-⎰⎰⎰()20021lim 1lim 2111lim 1222aay y y y a a a a a e e dy e e e e ----→+∞→+∞--→+∞⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭⎛⎫=--+= ⎪⎝⎭⎰（2）原式2221lim2r R R d erdr πθπ-→+∞=⋅⎰⎰2222202201lim 222111lim lim 1444r R R Rr R R R r e d e e ππ-→+∞--→+∞→+∞⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰（3）原式11221111limaa y xa e dx e dy xy →+∞=⎰⎰()111121211limlim 1aa y xa aa e d e d x y e e e →+∞→+∞⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭⎰⎰（4）原式2213300011limRR d dr d dr r rππθθ→+∞=-⎰⎰⎰⎰ 211lim 221220R R ππππ-→+∞⎛⎫⎛⎫=-⋅⋅--⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=8.计算下列二重积分：（1）设(),2,02,,2,02x y x y x f x y xy y x y +≤≤≤≤⎧=⎨≤≤≤≤⎩，计算(),Df x y dxdy ⎰⎰；（2）D，其中(){},11,02D x y x y =-≤≤≤≤；（3）221D x y dxdy +-⎰⎰，其中(){},01,01D x y x y =≤≤≤≤；（4）{}22max ,x y De dxdy ⎰⎰，其中(){},01,01D x y x y =≤≤≤≤；解 （1）()()()2220,xxDf x y dxdy dx x y dy dx xy dy =++⎰⎰⎰⎰⎰⎰2222200022230011223122622xx xy y dx xy dx x x dx x dx ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫=+-+= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰ （2）如图8－34所示22222,,DDDy x dxdy y x y x dxdy x ydxdy y x⎧-≥⎪⎪-=⎨-<⎪⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰如图所示，由对称性可知221212220002xxDy x dxdy dx y x dy dx x ydy ⎡⎤-=-+-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰()31123200222233x dx x dx ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦⎰⎰其中，()31220223x dx -⎰利用第二换元法可知()31234200222222cos 2cos 3343x dx t tdt ππ-=⋅=+⎰⎰ 故，原式523π=+图8－34（3）如图8－35所示()()22222222221,111,1D DDx y dxdy x y x y dxdy x y dxdy x y ⎧+-+≥⎪+-=⎨-++<⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰221Dx y dxdy +-⎰⎰()()()()()2211122220111241230103122203124220011112243221833121211cos 83383343x x d r rdr dx xy dyr r x y y dxx x dx x dx tdt ππθπππππ--=-++-⎛⎫⎡⎤=⋅-+-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎡⎤=+-+-⎢⎥⎣⎦=-+-=-+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰图8－35 图8－36 （4）如图8－36所示{}2222max ,,,y x y Dx D De dxdy x y e dxdy e dxdy x y⎧≤⎪⎪=⎨>⎪⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰ {}222211max ,0xyx y x y Dedxdy dx e dy dy e dx =+⎰⎰⎰⎰⎰⎰22111x y e xdx e ydy e =⋅+⋅=-⎰⎰（B ）1. 计算Dydxdy ⎰⎰，其中D ()10,0,x ya b a b+=>> 0,0x y ==围成的.解22000122ba b x aaDbydxdy dx ydy b x dxa+-⎛==+-⎝⎰⎰⎰⎰⎰22222221244230a b b b b xb x x b x dxa a a a aab⎛⎫⎫=++-++⎪⎪⎪⎭⎝⎭=⎰2.计算()()2222sinx yDe x y dxdyπ-+-+⎰⎰，(){}22,D x y x yπ=+≤. 解()()()222222200sin sinx y rDe x y dxdy d r rdrπππθ-+---+=⋅⋅⎰⎰⎰()222sinr r rdrππ--=⋅⋅事实上，()22sinr r rdrπ--⋅⋅()221cos2r d rπ--=-()()()()()()()()()2222222222221cos22111sin22111sin sin22211sin2r rrr rre r r e rdre d re e r r rdre r rdrπππππππππ------------⎡⎤⎛=-+⋅⎢⎥⎝⎢⎥⎣⎦=+-⎡⎤⎛=+-⋅+⋅⋅⎢⎥⎝⎢⎥⎣⎦=+-⋅⋅故()()221sin14r r rdr eππ--⋅⋅=+，()22sinr r rdrπ--⋅⋅()()121142e eππππ=⋅+=+3. 计算()22Dx y y dxdy ++⎰⎰，其中D 是由224,x y +=和()2211x y ++=围成的.解 如图8－37所示()22Dx y y dxdy ++⎰⎰()()2222D D x y y dxdy x y y dxdy =++-++⎰⎰⎰⎰大圆小圆其中，()2222D D D x y y dxdy x y dxdy ydxdy ++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰大圆大圆大圆22201603d r dr πθπ=+=⎰⎰ ()2222D D D x y y dxdy x y dxdy ydxdy ++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰小圆小圆小圆（根据对称性）32cos 2223209rd r dr ππθ-=+=⎰⎰所以，原式()16329π=-.图8－37 图8－38 4. 计算22224Dx y x y +--⎰⎰，其中D 是由211,y x y x =--=-围成的.解 如图8－38所示202sin 04Dd θπθ--=⎰⎰令2sin ,2cos ;0,0;2sin ,r t dr tdt r t r t θθ=====-=-原式2044sin 2cos 2cos td tdt tθπθ--=⎰⎰()00421cos 2d t dt θπθ--=-⎰⎰()042sin 2t t d θπθ--=-⎰22411cos 22162ππθθ-⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭5. 计算D，其中D 是由221x y +=的上半圆和222x y y +=的下半圆围成的.解 如图8－39所示12DD D =+2sin 620062d rdr d rdr ππθπθθ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰()()()()112sin 122226220001124444223d r d r r d r πθπθ⎡⎤=----⋅--⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ ()()2sin 133226220001222442363r d r θππθ⎡⎤=⎢-⋅--⋅-⎥⎢⎥⎣⎦⎰ ()3601828cos 839d πθθπ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦⎰()260418281sin sin 939d ππθθπ⎡⎤=---+⎢⎥⎣⎦⎰366001238812sin sin 9333312341823222933939ππππθθπππ⎡⎤=--+⋅⎢⎥⎣⎦⎡⎤-=--+=-⎢⎥⎣⎦图8－39 6. 计算()1100,xyf x y dxdy ''⎰⎰，其中(),f x y 具有二阶连续偏导数. 解()()11110000,,xy xf x y dxdy f x y dx '''=⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰ ()()()()()()()()101100,1,0,1,01,10,00,11,0xx f x f x dx f x f x f f f f ''=-⎡⎤⎣⎦=-=+--⎰7. 设函数()f x 在[]0,a 上连续，求证()()()2002a a ax f x dx f y dy f x dx ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰. 证明()()()()0aa a yxf x dx f y dy f y dy f x dx =⎰⎰⎰⎰()()0a xf x dx f y dy =⎰⎰()()02a a x f x dx f y dy ⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰ ()()()()0a a a xxf x dx f y dy f x dx f y dy =+⎰⎰⎰⎰()()()()0020aa xx af x dx f y dy f y dy f x dx ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰8.计算2222yRy x y x dy edx dy dx ----+⎰.解222200yRy x y x dy edx dy dx ----+⎰()()222222200441211248RR r r R r R d e rdr d e d r ee ππππθθππ----==--=-⋅⋅=-⎰⎰⎰⎰9. 求证：()()()222a aDf x y dxdy a t f t dt -+=-⎰⎰⎰，其中(){},,D x y x a y a =≤≤.证明()()aaaaDf x y dxdy dx f x y dy --+=+⎰⎰⎰⎰令x y t +=，y t x =-，因为a y a -≤≤，故x a t x a -≤≤+()()aa a x aaaax adx f x y dy dx f t dt +----+=⎰⎰⎰⎰交换累次积分次序得()()()0220t aaaaat aDf x y dxdy f t dt dx f t dt dx +---+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰()()()()()()022022222aa aat a f t dt a t f t dta t f t dt--=++-=-⎰⎰⎰10. 计算广义二重积分()22x y x y edxdy +∞+∞-+-∞-∞-⎰⎰.解 如图8－40所示()()()()()222222,,x y x y x y x y e dxdy x yx y e dxdy y x e dxdy y x +∞+∞-++∞+∞-+-∞-∞+∞+∞-∞-∞-+-∞-∞⎧-≥⎪-=⎨⎪-≥⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰()()()()()2222225224430044544300444304lim cos sin sin cos 11lim cos sin sin cos 2211lim sin cos 22R R r r R R R r r R R r r R d e r dr d e r dr d rde d rde r e e ππππππππππθθθθθθθθθθθθθθ--→+∞---→+∞---→+∞-⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--+--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦=+⋅-⋅+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()2205400411sin cos 224242R R R r r dr r e e dr ππθθππ--⎡⎛⎫⎢ ⎪⎝⎭⎣⎤⎛⎫-+⋅-⋅+⎥ ⎪⎝⎭⎦=⨯=⎰⎰图8－40四、自测题及答案1. 累次积分()cos 20cos ,sin d f r r rdr πθθθθ⎰⎰可以写成（ ）（A ）()1,dx f x y dy ⎰ （B ）()10,dx f x y dy ⎰ （C ）()1,dy f x y dx ⎰ （D ）()10,dy f x y dx ⎰2. 设()()010a y x f x g x ≤-≤⎧==⎨⎩其他 ()0a >，区域D 表示全平面，则()()Df xg y x dxdy -=⎰⎰（ ）.（A ）22a （B ）2a （C ）21a - （D ）21a +3. 设. 区域D 是xy 平面上以()()()1,1,1,1,1,1A B C ---为顶点的三角形区域，1D 是D 在第一象限的部分，则()cos sin Dxy x y dxdy +=⎰⎰（ ）（A ）0（B ）12D xydxdy ⎰⎰（C ）12cos sin D x ydxdy ⎰⎰ （D ）()14cos sin D xy x y dxdy +⎰⎰4. 计算()2331216Dxx y dxdy +⎰⎰，其中D 是由1x =、3y x =、y =.5. 交换累次积分次序()2,ydy f x y dx ⎰.6.交换累次积分次序22202d (,)d (,)d x I x f x y y x f x y y =+⎰⎰⎰7. 交换累次积分次序()()228812,,x xxdx f x y dy dx f x y dy +⎰⎰⎰⎰.8. 计算cos Dy x dxdy -⎰⎰，其中(),,0122D x y x y ππ⎧⎫=-≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭；9. 利用二重积分计算由曲线sin ,cos ,0y x y x x ===所围成区域的面积1. （A ）2. （B ）3. （C ）4.421845. ()222,xx dx f x y dy ⎰⎰6.2(,)d dy f x y x ⎰7.()()48142,,y ydy f x y dx dy f x y dx +⎰⎰⎰8.2π- 1。

习 题 8-11．设有一个面薄板（不计其厚度），占有xOy 面上的闭区域D ，薄板上分布有面密度为(,)x y μμ=的电荷，且(,)x y μ在D 上连续，试用二重积分表达该板上的全部电荷Q ．解 用一组曲线将D 分成n 个小闭区域i σ∆，其面积也记为(1,2,,)i i n σ∆= .任取一点(,)i i i ξησ∈∆,则i σ∆上分布的电量(,)i i i Q μξησ∆≈∆.通过求和、取极限，便得到该板上的全部电荷为1lim (,)(,)d ,ni i i i DQ x y λμξησμσ→==∆=∑⎰⎰其中1max{i i nλσ≤≤=∆的直径}．2. 设12231()d D I x y σ=+⎰⎰其中1{(,)11,22}D x y x y =-≤≤-≤≤；又22232()d D I x y σ=+⎰⎰其中2{(,)01,02}D x y x y =≤≤≤≤．试利用二重积分的几何意义说明1I 与2I 之间的关系．解 由二重积分的几何意义知，1I 表示底为1D 、顶为曲面223()z x y =+的曲顶柱体1Ω的体积；2I 表示底为2D 、顶为曲面223()z x y =+的曲顶柱体2Ω的体积．由于位于1D 上方的曲面223()z x y =+关于yOz 面和zOx 面均对称，故yOz 面和zOx 面将1Ω分成四个等积的部分，其中位于第一卦限的部分即为2Ω．由此可知124I I =．3. 利用二重积分定义证明： (1) d ()DD σσσ=⎰⎰其中为的面积；(2) (,)d (,)d ()DDkf x y k f x y k σσ=⎰⎰⎰⎰其中为常数；(3)12(,)d (,)d (,)d ,DD D f x y f x y f x y σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中12D D D= ，1D 、2D 为两个无公共内点的闭区域.证 (1) 由于被积函数(,)1f x y ≡，故由二重积分定义得11d lim (,)lim lim .nniiii i i Df λλλσξησσσσ→→→===∆=∆==∑∑⎰⎰(2) 011(,)d lim (,)lim (,)(,)d .nni i i i i i i i DDkf x y kf k f k f x y λλσξησξησσ→→===∆=∆=∑∑⎰⎰⎰⎰(3) 因为函数(,)f x y 在闭区域D 上可积，故不论把D 怎样分割，积分和的极限总是不变的，因此在分割D 时，可以使1D 和2D 的公共边界永远是一条分割线。

二重积分习题答案精编W O R D版IBM system office room 【A0816H-A0912AAAHH-GX8Q8-GNTHHJ8】第八章二重积分习题答案练习题8.11.设D ：0y ≤，0x a ≤≤，由二重积分的几何意义计算d Dx y解：d Dx y =20d πθ⎰⎰=22201()2r d a r πθ=--⎰⎰2. 设二重积分的积分区域为2214x y ≤+≤，则2dxdy =⎰⎰ 解：2dxdy =⎰⎰22126d rdr πθπ=⎰⎰练习题8.21.2d Dx σ⎰⎰其中D 是两个圆,y x 122=+与,y x 422=+围成的环型区域.解：2d Dx σ⎰⎰=22222301001515cos [cos2]84d r dr d d πππθθθθθπ=+=⎰⎰⎰⎰ 2计算二重积分σd yx D)341(--⎰⎰，其中D 是由直线2,,2=-=x x ；1,1=-=y y 围成的矩形。

解：σd yx D)341(--⎰⎰= 221211212(1)[(1)]4346x y x y dx dy y dx ------=--⎰⎰⎰=222(1)84xdx --=⎰3. 应用二重积分，求在xy 平面上由曲线224x x y x y -==与所围成的区域D 的面积.解：22242202320(42)28(2)|33x x xDA dxdy dx dy x x x x -===-=-=⎰⎰⎰⎰⎰4. 求旋转抛物面224z x y =--与xy 平面所围成的立体体积解： 222222(4)(4)48DV x y d d r rdr d ππσθθπ=--=-==⎰⎰⎰⎰⎰习 题 八一．判断题1.d Dσ⎰⎰等于平面区域D 的面积.（√）2.二重积分 100f(x,y)d ydy x ⎰⎰交换积分次序后为11f(x,y)d xdx x ⎰⎰ （×）二．填空题1.二重积分的积分区域为2214x y ≤+≤，则4dxdy =⎰⎰12π12π.2.二重积分d d Dxy x y ⎰⎰的值为112，其中2:0D y x ≤≤，01x ≤≤.1123.二重积分10(,)ydy f x y dx ⎰⎰交换积分次序后为11(,)xdx f x y dy⎰⎰. 11(,)xdx f x y dy ⎰⎰4.设区域D 为1x ≤，1y ≤，则⎰⎰（sin x x -）d d x y =0.05.交换积分次序1d (,)y f x y dx ⎰=211(,)(,)x dx f x y dy f x y dy+⎰⎰⎰⎰.211(,)(,)x dx f x y dy f x y dy +⎰⎰6.设D 是由221x y +≤所确定的区域。

二重积分习题解答(一) 选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选出正确的选项） 1．12200I dy x y dx =⎰，则交换积分次序后得 C 。

（A）1220I dy x y dy =⎰； （B）12203I x y dy =⎰；（C ）2112203x I dx x y dx -=⎰⎰； （D ）2112203x I dx x y dy +=⎰⎰。

2．设积分域为{(,)|11,11}D x y x y =-≤≤-≤≤，则x yDedxdy +=⎰⎰ D. .(A)2)1(-e , (B)21)(2--e e , (C) 42)1(-e , (D) 21)(--e e ;3. 设积分域D 由直线,2,2y x x y x =+==围成，则(,)D f x y dxdy =⎰⎰ C(A)120(,)xx dx f x y dy -⎰⎰, (B) 21(,)yydyf x y dx -⎰⎰, (C) 212(,)xxdx f x y dy -⎰⎰, (D) 1(,)xdx f x y dy ⎰⎰.;4．22x y DI e dxdy --=⎰⎰，D :221x y +≤,化为极坐标形式是 D 。

（A ）221[]r I e dr d πθ-=⎰⎰；（B ）2124[]r I e dr d πθ-=⎰⎰；（C ）21202[]r I e rdr d πθ-=⎰⎰；（D ）221[]r I e rdr d πθ-=⎰⎰。

5. 2DI xy d σ=⎰⎰, 其中22:1D x y +≤的第一象限部分,则 C 。

（A）120I dy dy =⎰； （B ）1120I dx xy dy =⎰⎰；（C）12I dx dy =⎰；（D ）1232cos sin I d r dr πθθθ=⎰⎰。

填空题1.交换二次积分次序，1(,)xI f x y dy =⎰＝ 。

故211(,)(,)yxy I dx f x y dy dy f x y dx ==⎰⎰⎰2．设积分域D 由11,22,x y -≤≤-≤≤围成，则3(2)Dx y dxdy +=⎰⎰ 0 3．设积分域为22{(,)|14,}D x y x y y x =≤+≤≥，则积分22()Df xy dxdy +=⎰⎰在极坐标下的二次积分为 。