2020年同济大学线性代数第六版第三章《矩阵的初等变换与线性方程组》同步练习与解析

第3章　矩阵的初等变换与线性方程组本章先引进矩阵的初等变换，建立矩阵的秩的概念，并利用初等变换讨论矩阵的秩的性质；然后利用矩阵的秩讨论线性方程组无解、有惟一解或有无限多解的充分必要条件，并介绍用初等变换解线性方程组的方法.§1矩阵的初等变换矩阵的初等变换是矩阵的一种十分重要的运算，它在解线性方程组、求逆矩阵及矩阵理论的探讨中都可起重要的作用.为引进矩阵的初等变换，先来分析用消元法解线性方程组的例子.引例　求解线性方程组解这里，　（1）→（B1）是为消x1作准备. （B1）→（B2）是保留①中的x1，消去②、③、④中的x1.（B2）→（B3）是保留②中的x2并把它的系数变为1，然后消去③、④中的x2，在此同时恰好把x3也消去了.　（B3）→（B4）是消去x4，在此同时恰好把常数也消去了，得到恒等式0=0（若常数项不能消去，就将得到矛盾方程0= 1，则说明方程组无解）.至此消元完毕.（B4）是4个未知数3个有效方程的方程组，应有一个自由未知数，由于方程组（B4）呈阶梯形，可把每个台阶的第一个未知数（即x1，x2，x4）选为非自由未知数，剩下的x3选为自由未知数.这样，就只需用“回代”的方法便能求出解：由③得x4=-3；将x4=-3代入②，得x2 = x3 +3；以x4=-3， x2 =x3+3代入①，得x1=x3+4.于是解得其中x3可任意取值.或令x3=c，方程组的解可记作即其中c为任意常数.在上述消元过程中，始终把方程组看作一个整体，即不是着眼于某一个方程的变形，而是着眼于整个方程组变成另一个方程组.其中用到三种变换，即：　（i）交换方程次序（ⓘ与ⓙ相互替换）；　（i i）以不等于0的数乘某个方程（以ⓘ×k替换ⓘ）；　（i i i）一个方程加上另一个方程的k倍（以ⓘ+kⓙ替换ⓘ）.由于这三种变换都是可逆的，即因此变换前的方程组与变换后的方程组是同解的，这三种变换都是方程组的同解变换，所以最后求得的解（2）是方程组（1）的全部解.在上述变换过程中，实际上只对方程组的系数和常数进行运算，未知数并未参与运算.因此，如果记方程组（1）的增广矩阵为那么上述对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B的变换.把方程组的上述三种同解变换移植到矩阵上，就得到矩阵的三种初等变换.定义1下面三种变换称为矩阵的初等行变换：（i）对换两行（对换i，j两行，记作r i↔r j）；（i i）以数k≠0乘某一行中的所有元（第i行乘k，记作r i×k）；（i i i）把某一行所有元的k倍加到另一行对应的元上去（第j行的k倍加到第i行上，记作r i+k r j）.把定义中的“行”换成“列”，即得矩阵的初等列变换的定义（所用记号是把“r”换成“c”）.矩阵的初等行变换与初等列变换，统称初等变换.显然，三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的初等变换；变换r i↔r j的逆变换就是其本身；变换r i×k的逆变换为变换r i+kr j的逆变换为r i+（-k）r j（或记作r i-k r j）.如果矩阵A经有限次初等行变换变成矩阵B，就称矩阵A与B行等价，记作；如果矩阵A经有限次初等列变换变成矩阵B，就称矩阵A与B列等价，记作；如果矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B，就称矩阵A与B等价，记作A～B.矩阵之间的等价关系具有下列性质：（i）反身性A～A；（i i）对称性　若A～B，则B～A；（i i i）传递性　若A～B，B～C，则A～C.下面用矩阵的初等行变换来解方程组（1），其过程可与方程组（1）的消元过程一一对照：由方程组（B4）得到解（2）的回代过程，也可用矩阵的初等行变换来完成，即B5对应方程组取x3为自由未知数，并令x3=c，即得其中c为任意常数.矩阵B4和B5的特点是：都可画出一条从第一行某元左方的竖线开始到最后一列某元下方的横线结束的阶梯线，它的左下方的元全为0；每段竖线的高度为一行，竖线的右方的第一个元为非零元，称为该非零行的首非零元.具有这样特点的矩阵称为行阶梯形矩阵.为明确起见给出如下定义：定义2 （1）非零矩阵若满足（i）非零行在零行的上面；　（i i）非零行的首非零元所在列在上一行（如果存在的话）的首非零元所在列的右面，则称此矩阵为行阶梯形矩阵；（2）进一步，若A是行阶梯形矩阵，并且还满足：　（i）非零行的首非零元为1；（i i）首非零元所在的列的其他元均为0，则称A为行最简形矩阵.于是B4和B5都是行阶梯形矩阵，且B5还是行最简形矩阵.用归纳法不难证明（这里不证）：对于任何非零矩阵A m×n，总可经有限次初等行变换把它变为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵.利用初等行变换，把一个矩阵化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵，是一种很重要的运算.由引例可知，要解线性方程组只需把增广矩阵化为行最简形矩阵.由行最简形矩阵B5，即可写出方程组的解（2）；反之，由方程组的解（2）也可写出矩阵B5.由此可猜想到一个矩阵的行最简形矩阵是惟一确定的（行阶梯形矩阵中非零行的行数也是惟一确定的）.对行最简形矩阵再施以初等列变换，可变成一种形状更简单的矩阵，称为标准形.例如矩阵F称为矩阵B的标准形，其特点是：F的左上角是一个单位矩阵，其余元全为0.对于m×n矩阵A，总可经过初等变换（行变换和列变换）把它化为标准形此标准形由m，n，r三个数完全确定，其中r就是行阶梯形矩阵中非零行的行数.所有与A等价的矩阵组成一个集合，标准形F是这个集合中形状最简单的矩阵.矩阵的初等变换是矩阵的一种最基本的运算，为探讨它的应用，需要研究它的性质，下面介绍它的一个最基本的性质.定理1设A与B为m×n矩阵，那么（i）的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵P，使PA =B；（i i） A～B的充分必要条件是存在n阶可逆矩阵Q，使A Q=B；（i i i）A～B的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q，使PA Q=B.为证明定理1，我们引进初等矩阵的知识.定义3由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵.三种初等变换对应有三种初等矩阵.（i）把单位矩阵中第i，j两行对换（或第i，j两列对换），得初等矩阵用m阶初等矩阵E m（i，j）左乘矩阵A=（a i j）m×n，得其结果相当于对矩阵A施行第一种初等行变换：把A的第i行与第j行对换（r i↔r j）.类似地，以民阶初等矩阵E n（i，j）右乘矩阵A，其结果相当于对矩阵A施行第一种初等列变换：把A的第i列与第j列对换（　c i↔c j）.（i i）以数k≠0乘单位矩阵的第i行（或第i列），得初等矩阵可以验知：以E m（i（k））左乘矩阵A，其结果相当于以数k乘A的第i行（r i×k）；以E n（i（k））右乘矩阵A，其结果相当于以数k乘A的第i列（c i×k）.（i i i）以k乘单位矩阵的第j行加到第i行上或以k乘单位矩阵的第i列加到第j列上，得初等矩阵可以验知：以E m（i j（k））左乘矩阵A，其结果相当于把A的第j行乘k加到第i行上（r i+kr j）；以E n（i j（k））右乘矩阵A，其结果相当于把A的第i列乘k加到第j 列上（c j+kc i）.归纳上面的讨论，可得性质1设A是一个m×n矩阵，对A施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘相应的n阶初等矩阵.显然初等矩阵都是可逆的，且其逆矩阵是同一类型的初等矩阵：性质2方阵A可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵P1，P2，…，P l，使A =P1P2…P l.证　先证充分性.设A=P1P2…P l，因初等矩阵可逆，有限个可逆矩阵的乘积仍可逆.故A可逆.再证必要性.设n阶方阵A可逆，它经有限次初等行变换成为行最简形矩阵B.由性质1，知有初等矩阵Q1，…，Q l使Q l…Q1A=B.因A，Q1，…，Q l均可逆，故B也可逆，从而B的非零行数为n，即B有n个首非零元1，但B总共只有n个列，故B=E.于是这里为初等矩阵，即A是若干个初等矩阵的乘积. 证毕下面应用初等矩阵的知识来证明定理1.定理1的证明：（i）依据A～B的定义和初等矩阵的性质，有A～B ⇔A经有限次初等行变换变成B⇔存在有限个m阶初等矩阵P1，P2，…， P l，使P l… P2P1A=B⇔存在m阶可逆矩阵P，使PA=B.类似可证明（i i）和（i i i）.证毕定理1把矩阵的初等变换与矩阵的乘法联系了起来，从而可以依据矩阵乘法的运算规律得到初等变换的运算规律，也可以利用矩阵的初等变换去研究矩阵的乘法.下面先给出定理1的一个推论，然后介绍一种利用初等变换求逆阵的方法.推论　方阵A可逆的充分必要条件是证A可逆⇔存在可逆矩阵P，使PA=E定理1表明，如果，即A经一系列初等行变换变为B，则有可逆矩阵P，使PA=B.那么，如何去求出这个可逆矩阵P？由于因此，如果对矩阵（A，E）作初等行变换，那么，当把A变为B时，E就变为P.于是就得到所求的可逆矩阵P.例1设的行最简形矩阵为F，求F，并求一个可逆矩阵P，使PA=F.解　把A用初等行变换化成行最简形矩阵，即为F.但需求出P，故按上段所述，对（A，E）作初等行变换把A化成行最简形矩阵，便同时得到F和P.运算如下：故为A的行最简形矩阵，而使PA=F的可逆矩阵注　上述解中所得（F，P），可继续作初等行变换r3×k，r1+kr3，r2+kr3，则F不变而P变.由此可知本例中使PA=F的可逆矩阵P不是惟一的.例2设证明A可逆，并求A-1.解　如同例1，初等行变换把（A，E）化成（F，P），其中F为A的行最简形矩阵.如果F=E，由定理1之推论知A可逆，并由PA=E，知P=A-1.运算如下：例3求解矩阵方程A X=B，其中解　设可逆矩阵P使PA =F为行最简形矩阵，则P（A，B）=（F，P B），因此对矩阵（A，B）作初等行变换把A变为F，同时把B变为PB.若F=E，则A 可逆，且P=A-1，这时所给方程有惟一解X=PB=A-1B.由可见因此A可逆，且即为所给方程的惟一解.例2和例3是一种用初等行变换求A-1或A-1B的方法，当A为3阶或更高阶的矩阵时，求A-1或A-1B通常都用此方法.这是当A为可逆矩阵时，求解方程A X=B的方法（求A-1也就是求方程A X=E的解）.这方法就是把方程A X=B 的增广矩阵（A，B）化为行最简形矩阵，从而求得方程的解.特别地，求解线性方程组Ax=b （A为可逆矩阵）时把增广矩阵（A，b）化为行最简形矩阵，其最后一列就是解向量，从而得到了一个求解线性方程组的新途径.例4求解线性方程组解　记此方程组为Ax=b，则增广矩阵因故　A可逆，于是方程组有解，且解为此方程组我们已在第2章例16中分别用克拉默法则和逆矩阵求解过.比较这三种方法，显然这里介绍的方法最为方便和快捷.§2矩阵的秩为了更好地理解矩阵的秩的概念，重新讨论上节引例中增广矩阵B及其行阶梯形矩阵B4和B5：我们发现B4和B5都恰好有3个非零行.自然要问：每一个与B行等价的行阶梯形矩阵是否都恰好有3个非零行？回答是肯定的.为阐明这一问题先引入矩阵子式的概念.定义4在m×n矩阵A中，任取k行与k列（k≤m，k≤n），位于这些行列交叉处的k2个元素，不改变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式.m×n矩阵A的k阶子式共有个.现在来观察行阶梯形矩阵B4的子式.取B4的第1、第2、第3行和第1、第2、第4列，得到三阶非零子式而它的任一四阶子式都将因含有零行而成为0.换言之，B4中非零子式的最高阶数是3.同样B5中非零子式的最高阶数也是3.非零子式在矩阵的初等行变换中的意义可以表述成如下的引理.引理　设，则A与B中非零子式的最高阶数相等.证　先证B是A经过一次初等行变换而得的情形.设D是A中的r阶非零子式.当或对，在B中总能找到与D相对应的r阶子式D1，由于D1=D或D1=-D或D1=kD，因此D1≠0.当时，因为对于作变换r i↔　r j时结论成立，所以只需考虑这一特殊情形.分两种情形讨论：　（①　D不包含A的第1行，这时D也是B的r阶非零子式；②　D包含A 的第1行，这时把B中与D对应的r阶子式D1记作若p=2，则D1=D≠0；若p≠2，则D2也是B的r阶子式，由D1-kD2=D≠0，知D1与D2不同时为0.总之，B中存在r阶非零子式D1或D2.记A和B中非零子式的最高阶数分别为s和t，那么上述表明s≤　t.因A经一次初等行变换成为B，B也就可经一次初等行变换成为A，故又有t≤　s，于是s=t.经一次初等行变换结论成立，即可知经有限次初等行变换结论也成立. 证毕现在可以回答本节一开始提出的问题了.设C是任一与B行等价的行阶梯形矩阵，由引理，C中非零子式的最高阶数应与B4中非零子式的最高阶数相同，即C有且仅有3个非零行.值得注意的是上面的讨论中，关心的并不是非零子式（作为行列式）本身，而是它的阶数，尤其是非零子式的最高阶数.由此给出矩阵的秩的定义：定义5设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D，且所有r+1阶子式（如果存在的话）全等于0，那么D称为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩，记作R（A）.并规定零矩阵的秩等于0.由行列式的性质可知，在A中当所有r+1阶子式全等于0时，所有高于r+1阶的子式也全等于0，因此把r阶非零子式称为最高阶非零子式，而A的秩R（A）就是A的非零子式的最高阶数.由于R（A）是A的非零子式的最高阶数，因此，若矩阵A中有某个s阶子式不为0，则R（A）≥s；若A中所有t阶子式全为0，则R（A）＜t.显然，若A为m×n矩阵，则0≤R（A）≤mi n｛m，n｝.由于行列式与其转置行列式相等，因此A T的子式与A的子式对应相等，从而R（A T）=R（A）.对于n阶矩阵A，由于A的n阶子式只有一个︳A ︳，故当︳A ︳≠0时R（A）= n，当︳A ︳=0时R（A）＜n.可见可逆矩阵的秩等于矩阵的阶数，不可逆矩阵的秩小于矩阵的阶数.因此，可逆矩阵又称满秩矩.阵，不可逆矩阵（奇异矩阵）又称降秩矩阵.矩阵的初等变换作为一种运算，其深刻意义在于它不改变矩阵的秩，即有定理2若A～B，则R（A）=R（B）.证　由引理，只须证明A经初等列变换变成B的情形，这时A T经初等行变换变为B T，由引理知R（A T）=R（B T），又R（A）=R（A T），R（B）=R（B T），因此R（A）= R（B）.总之，若A经有限次初等变换变为B（即A～B），则R（A）=R（B）. 证毕由于A～B的充分必要条件是有可逆矩阵P、Q，使PA Q=B，因此可得推论　若可逆矩阵P、Q使PA Q=B，则R（A）=R（B）.对于一般的矩阵，当行数与列数较高时，按定义求秩是很麻烦的.然而对于行阶梯形矩阵，如前所示，它的秩就等于非零行的行数，一看便知毋须计算.因此依据定理2把矩阵化为行阶梯形矩阵来求秩是方便而有效的方法.例5求矩阵A和B的秩，其中解　在A中，容易看出一个2阶子式A的3阶子式只有一个经计算可知因此R（A）= 2.对B作初等行变换变成行阶梯形矩阵因为行阶梯形矩阵有3个非零行，所以R（B）= 3.例6设求矩阵A及矩阵B=（A，b）的秩.解　对B作初等行变换变为行阶梯形矩阵，设B的行阶梯形矩阵为，则就是A的行阶梯形矩阵，故从中可同时看出R（A）及R（B）.因此R（A）=2，R（B）= 3.从矩阵B的行阶梯形矩阵可知，本例中的A与b所对应的线性方程组Ax=b是无解的，这是因为行阶梯形矩阵的第3行表示矛盾方程0=1.例7设已知R（A）=2，求λ与μ的值.解因R（A）=2，故下面讨论矩阵的秩的性质.前面我们已经提出了矩阵秩的一些最基本的性质，归纳起来有①0≤R（A m×n）≤　min｛ m，n｝.②R（A T）=R（A）.③若A～B，则R（A）= R（B）.④若P、Q可逆，则R（PA Q）=R（A）.下面再介绍几个常用的矩阵秩的性质：⑤ma x｛R（A），R（B）｝≤R（A，B）≤R（A）+R（B），特别地，当B=b为非零列向量量时，有R（A）≤R（A，b）≤R（A）+1.证　因为A的最高阶非零子式总是（A，B）的非零子式，所以R（A）≤R（A，B）.同理有R（B）≤R（A，B）.两式合起来，即为max｛R（A），R（B）｝≤R（A，B）.设R（A）=r，R（B）=t.把A T和B T分别作初等行变换化为行阶梯形矩阵和.因由性质2，R（A T）=r，R（B T）=t，故和中分别含r个和t个非零行，从而中只含r+t个非零行，并且.于是证毕例如令则⑥　R（A+B）≤R（A）+R（B）.证　无妨设A，B为m×n矩阵.对矩阵作初等行变换ri-r n+i（i=1，2，…，n）即得于是证毕后面我们还要介绍两条常用的性质，现先罗列于下：⑦　R（A B）≤mi n｛R（A），R（B）｝（见下节定理7）.⑧若A m×n B n×l=O，则R（A）+R（B）≤　n（见下章例13）例8设A为n阶矩阵，证明R（A+E）+R（A-E）≥　n.证　因（A+E）+（E-A）=2E，由性质⑥，有R（A+E）+R（E-A）≥R（2E）= n，而R（E-A）= R（A-E），所以R（A+E）+R（A-E）≥≥n.例9证明：若A m×n B n×l=C，且R（A）= n，则R（B）=R（C）.证　因R（A）=n，知A的行最简形矩阵为，并有m阶可逆矩阵P，使于是由矩阵秩的性质④，知R（C）=R（PC），而故R（C）=R（B）.本例中的矩阵A的秩等于它的列数，这样的矩阵称为列满秩矩阵.当A为方阵时，列满秩矩阵就成为满秩矩阵，也就是可逆矩阵.因此，本例的结论当A 为方阵这一特殊情形时就是矩阵秩的性质④.本例另一种重要的特殊情形是C=O，这时结论为设A B=O，若A为列满秩矩阵，则B=O.这是因为，按本例的结论，这时有R（B）=0，故B=O.这一结论通常称为矩阵乘法的消去律.§3线性方程组的解设有n个未知数m个方程的线性方程组（3）式可以写成以向量x为未知元的向量方程A x=b，（4）第二章中已经说明，线性方程组（3）与向量方程（4）将混同使用而不加区分，解与解向量的名称亦不加区别.线性方程组（3）如果有解，就称它是相容的；如果无解，就称它不相容.利用系数矩阵A和增广矩阵B=（A，b）的秩，可以方便地讨论线性方程组是否有解（即是否相容）以及有解时解是否惟一等问题，其结论是定理3 n元线性方程组Ax=b（i）无解的充分必要条件是R（A）＜R（A，b）；（i i）有惟一解的充分必要条件是R（A）=R（A，b）=n；（i i i）有无限多解的充分必要条件是R（A）=R（A，b）＜n.证　只需证明条件的充分性，因为（i），（i i），（i i i）中条件的必要性依次是（i i）（i i i），（i）（i i i），（i）（i i）中条件的充分性的逆否命题.设R（A）=r.为叙述方便，无妨设B=（A，b）的行最简形矩阵为（i）若R（A）＜R（B），则中的d r+1=1，于是的第r+1行对应矛盾方程0= 1，故方程（4）无解.（i i）若R（A）=R（B），则进一步把B化成行最简形矩阵，而对于齐次线性方程组，则把系数矩阵A化成行最简形矩阵.（i i i）设R（A）=R（B）=r，把行最简形中r个非零行的首非零元所对应的未知数取作非自由未知数，其余n-r个未知数取作自由未知数，并令自由未知数分别等于c1，c2，…，c n-r，由B（或A）是行最简形矩阵，即可写出含n-r个参数的通解.例10求解齐次线性方程组解　对系数矩阵A施行初等行变换变为行最简形矩阵即得与原方程组同解的方程组由此即得令x3 =c1，x4=c2，把它写成通常的参数形式其中c1，c2为任意实数，或写成向量形式例11求解非齐次线性方程组解　对增广矩阵B施行初等行变换可见R（A）=2，R（B）=3，故方程组无解.例12求解非齐次线性方程组解　对增广矩阵B施行初等行变换即得亦即例13 设有线性方程组问λ取何值时，此方程组（1）有惟一解；　（2）无解；　（3）有无限多解？并在有无限多解时求其通解.解法1对增广矩阵B=（A，b）作初等行变换把它变为行阶梯形矩阵，有（1）当λ≠0且λ≠-3时，R（A）= R（B）=3，方程组有惟一解；（2）当λ=0时，R（A）=1，R（B）= 2，方程组无解；（3）当λ=-3时，R（A）=R（B）= 2，方程组有无限多个解，这时由此便得通解即解法2因系数矩阵A为3阶方阵，故有R（A）≤　R（A，b）3×4≤　3.于是由定理3，知方程有惟一解的充分必要条件是A的秩R（A）=3，即︳A ︳≠0.而因此，当λ≠0且λ≠-3时，方程组有惟一解.当λ=0时知R（A）=1，R（B）=2，故方程组无解.当λ=-3时知R（A）=R（B）=2，故方程组有无限多个解，且通解为比较解法1与解法2，显见解法2较简单.但解法2的方法只适用于系数矩阵为方阵的情形.对含参数的矩阵作初等变换时，例如在本例中对矩阵B作初等变换时，由于λ+1，λ+3等因式可以等于0，故不宜作诸如这样的变换.如果作了这种变换，则需对λ+1=0（或λ+3=0）的情形另作讨论.因此，对含参数的矩阵作初等变换较不方便.由定理3容易得出线性方程组理论中两个最基本的定理，这就是定理4 n元齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是R（A）＜n.定理5线性方程组A x=b有解的充分必要条件是R（A）=R（A，b）.显然，定理4是定理3（i i i）的特殊情形，而定理5就是定理3（i）.为了下一章论述的需要，下面把定理5推广到矩阵方程.定理6矩阵方程A X=B有解的充分必要条件是R（A）= R（A，B）.证　设A为m×n矩阵，B为m×l矩阵，则X为n×l矩阵.把X和B按列分块，记为X=（x1，x2，…，x l）， B=（b1，b2，…，b l），则矩阵方程A X=B等价于l个向量方程A x i=b i（i=1，2，…，l）.又，设R（A）=r，且A的行最简形矩阵为，则有r个非零行，且的后m-r行全为零行.再设从而由上述讨论并依据定理5，可得A X=B有解⇔Ax i=b i有解（i=1，2，…，l）⇔R（A，b i）=R（A） （i=1，2，…，l）⇔b i的后m-r个元全为零（i=1，2，…，l）⇔（b1，b2，…，b l）的后m-r行全为零行⇔R（A，B）=r=R（A）. 证毕利用定理6，容易得出矩阵的秩的性质7，即定理7设A B=C，则R（C）≤min｛ R（A），R（B）｝.证　因A B=C，知矩阵方程A X=C有解X=B，于是据定理6有R（A）= R（A，C）.而R（C）≤R（A，C），因此R（C）≤R（A）.又B T A T=C T，由上段证明知有R（C T）≤R（B T），即R（C）≤　R（B）.综合便得R（C）≤min｛R（A），R（B）｝.证毕定理6和定理7的应用，我们在下一章中讨论.习　题　三1.用初等行变换把下列矩阵化为行最简形矩阵：2.设求一个可逆矩阵P，使PA为行最简形矩阵.3.设（1）求可逆矩阵P，使PA为行最简形矩阵；（2）求一个可逆矩阵Q，使QA T为行最简形矩阵.4.试利用矩阵的初等变换，求下列方阵的逆矩阵：5.试利用矩阵的初等行变换，求解第2章习题二第15题之（2）.6. （1）设求X使A X=B；（2）设　求X使XA=B；（3）设A A X=2X+A，求X.7.在秩是r的矩阵中，有没有等于0的r-1阶子式？有没有等于0的r阶子式？8.从矩阵A中划去一行得到矩阵B，问A，B的秩的关系怎样？9.求作一个秩是4的方阵，它的两个行向量是（1，0，1，0，0），（1，-1，0，0，0）.10.求下列矩阵的秩：11.设A、B都是m×n矩阵，证明A～B的充分必要条件是R（A）=R（B）.12.设，问k为何值，可使（1）R（A）= 1；（2）R（A）=2；（3）R（A）=3.13.求解下列齐次线性方程组：14.求解下列非齐次线性方程组：15.写出一个以为通解的齐次线性方程组.16.设有线性方程组问λ为何值时（1）有惟一解；（2）无解；　（3）有无限多解？并在有无限多解时求其通解.17.λ取何值时，非齐次线性方程组（1）有惟一解；　（2）无解；　（3）有无限多个解？并在有无限多解时求其通解.18.非齐次线性方程组当λ取何值时有解？并求出它的通解.19.设问λ为何值时，此方程组有惟一解、无解或有无限多解？并在有无限多解时求其通解.20.证明R（A）=1的充分必要条件是存在非零列向量　a及非零行向量　b T，使A=ab T.21.设A为列满秩矩阵，A B=C，证明线性方程Bx=0与Cx=0同解.22.设A为m×n矩阵，证明方程A X=E m有解的充分必要条件是R（A）=m.。

目　录第1章　行列式1.1　复习笔记1.2　课后习题详解1.3　考研真题详解第2章　矩阵及其运算2.1　复习笔记2.2　课后习题详解2.3　考研真题详解第3章　矩阵的初等变换与线性方程组3.1　复习笔记3.2　课后习题详解3.3　考研真题详解第4章　向量组的线性相关性4.1　复习笔记4.2　课后习题详解4.3　考研真题详解第5章　相似矩阵及二次型5.1　复习笔记5.2　课后习题详解5.3　考研真题详解第6章　线性空间与线性变换6.1　复习笔记6.2　课后习题详解6.3　考研真题详解第1章　行列式1.1　复习笔记一、二阶与三阶行列式1二阶行列式定义　将四个数，，，按一定位置，排成二行二列的数表：则表达式就是数表的二阶行列式，并记作2三阶行列式定义　设有9个数排成3行3列的数表记该式称为数表所确定的三阶行列式．二、全排列和对换1全排列把n个不同的元素排成一列，称为这n个元素的全排列．n个不同元素的所有排列的种数，通常用P n表示．（1）逆序数定义对于n个不同的元素，先规定各元素之间有一个标准次序（例如，个不同的自然数，可规定由小到大为标准次序），于是在这n个元素的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说构成1个逆序．一个排列中所有逆序的总数称为这个排列的逆序数．（2）分类逆序数是奇数的排列称为奇排列，逆序数是偶数的排列称为偶排列．（3）逆序数的计算设n个元素为1至n这n个自然数，并规定由小到大为标准次序．设为这n个自然数的一个排列，考虑元素，如果比p i大的且排在p i前面的元素有t i个，则称p i这个元素的逆序数为t i．全体元素的逆序数的总和即是这个排列的逆序数．2对换（1）定义对换是在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动．将相邻两个元素对换称为相邻对换．（2）性质①排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性．②奇排列对换成标准排列的对换次数为奇数，偶排列对换成标准排列的对换次数为偶数．三、n阶行列式1定义称为n阶行列式，简记作，其中数a ij为行列式D的第（i，j）元素．2两类典型的n阶行列式（1）下三角形行列式（2）对角行列式3行列式的性质（1）行列式与它的转置行列式相等．（2）对换行列式的两行（列），行列式变号．（3）如果行列式有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零．（4）行列式的某一行（列）中所有的元素都乘同一数k，等于用数k乘此行列式．（5）若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则可以将该行列式拆分成两个行列式之和．（6）把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变．四、行列式按行（列）展开1余子式与代数余子式在n阶行列式中，把（i，j）元a ij所在的第i行和第j列划去后，留下来的n －1阶行列式称为（i，j）元a ij的余子式，记作M ij，记A ij称为（i，j）元a ij的代数余子式．2定理行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即或 3范德蒙德行列式4代数余子式的推论行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零．即或5代数余子式的重要性质或．1.2　课后习题详解1利用对角线法则计算下列三阶行列式：2按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：（1）1　2　3　4；（2）4　1　3　2；（3）3　4　2　1；（4）2　4　1　3；（5）13…（2n－1）24…（2n）；（6）13…（2n－1）（2n）（2n－2）…2．解：（1）此排列为标准排列，其逆序数为0；（2）此排列的首位元素4的逆序数为0，第2位元素1的逆序数为1，第3位元素3的逆序数为1，末位元素2的逆序数为2，故它的逆序数为0＋1＋1＋2＝4；（3）此排列的前两位元素的逆序数均为0，第3位元素2的逆序数为2；末位元素1的逆序数为3，故它的逆序数为0＋0＋2＋3＝5；（4）此排列的从首位元素到末位元素的逆序数依次为0，0，2，1，因此它的逆序数为0＋0＋2＋1＝3；（5）此排列中前n位元素的逆序数均为0．第n＋1位元素2与它前面的n －1个数构成逆序对，所以它的逆序数为n－1；同理可知，第n＋2位元素4的逆序数为n－2……末位元素2n的逆序数为0．因此该排列的逆序数为（6）此排列的前n＋1位元素的逆序数均为0；第n＋2位元素（2n－2）的逆序数为2；第n＋3位元素2n－4与它前面的2n－3，2n－1，2n，2n－2构成逆序对，所以它的逆序为4,……,末位元素2的逆序数为2（n－1），因此该排列的逆序数为3写出四阶行列式中含有因子的项．解：根据行列式定义可知，此项必定还含有分别位于第3行和第4行的某两元素，而它们又分别位于第2列和第4列，即a32和a44或a34和a42．又因排列1324与1342的逆序数分别为1与2，所以此行列式中含有的项为与4计算下列各行列式：解：（1）（2）；（3）（4）（5）（6）5求解下列方程：其中a，b，c互不相等．因此方程的解为．（2）根据题意，方程左式为4阶范德蒙德行列式，则有因a，b，c互不相等，因此方程的解为6证明：（2）将左式按第1列拆开可以得到因此有其中于是因此，（5）方法一　按第1列展开得方法二　按最后一行展开得7设n阶行列式，把D上下翻转、或逆时针旋转、或依副对角线翻转，依次得证明证：（1）通过对换行将D1变换成D，从而可找出D1与D的关系：D1的最后一行是D的第1行，把它依次与前面的行交换，直至换到第1行，共进行n－1次交换；这时最后一行是D的第2行，把它依次与前面的行交换，直至换到第2行，共进行n－2次交换……直至最后一行是D 的第n－1行，再通过一次交换将它换到第n－1行，这样就把D1变换成D，共进行次交换，故．（2）计算D2：观察可知，D2的第1，2，…，n行恰好依次是D的第n，n－1，…，1列，因此若把D2上下翻转得，则的第1，2，…，n行依次是D的第1，2，…，n列，即．于是由（1）有（3）计算D3：观察可知，若把D3逆时针旋转90°得，则的第1，2，…n列恰好是D的第n，n－1，…，1列，于是再把左右翻转就得到D．由（1）、（2）有8计算下列各行列式（D k为k阶行列式）：，其中对角线上元素都是a，未写出的元素都是0；；；提示：利用范德蒙德行列式的结果．，其中未写出的元素都是0；；，其中a ij＝|i－j|；，其中解：（1）方法一　化D n为上三角形行列式上式中最后那个行列式为上三角形行列式；方法二　把D n按第二行展开，由于D n的第二行除对角线元素外全为零，因此有，即于是有 （2）利用各列的元素之和相同，把从第二行起的各行全部加到第一行，再提取公因式．（3）把所给行列式上下翻转，即为范德蒙德行列式，若再将它左右翻转，由于上下翻转与左右翻转所用交换次数相等，因此行列式经上下翻转再左右翻转，即相当于转180°，其值不变．于是按范德蒙德行列式的结果可得（4）可用递推法即有递推公式另外，归纳基础为，利用这些结果可递推得（5）把第一行除外的所有行都加到第一行，并提取第一行的公因子，得（6）（7）可将原行列式化为上三角形行列式，需从第2行起，各行均减去第1行，得行列式其中.于是9设，D的（i，j）元的代数余子式记作A ij，求.解：求，则等于用1，3，－2，2替换D的第3行对应元素所得行列式，即1.3　考研真题详解一、选择题行列式等于（ ）．[数一、数二、数三 2014研]A． B．C． D．【答案】B【解析】二、填空题1阶行列式 [数一 2015研]【答案】【解析】将阶行列式按第一行展开2设是三阶非零矩阵，为A的行列式，A ij为a ij的代数余子式,若，则｜A｜＝______．[数一、数二、数三 2013研]【答案】－1【解析】由可知，故3设A，B为3阶矩阵，且．[数二、数三2010研]【答案】3【解析】因为所以第2章　矩阵及其运算2.1　复习笔记一、线性方程组和矩阵1线性方程组（1）n元非齐次线性方程组设有n个未知数m个方程组的线性方程组当常数项不全为零时，该方程组称为n元非齐次线性方程组．（2）n元齐次线性方程组含有n个未知数m个方程组的线性方程组称为n元齐次线性方程组．2矩阵（1）定义由m×n个数a ij（i＝1，2，…，m；j＝1，2,…，n）排成的m行n列的数表称为m行n列矩阵，简称m×n矩阵．记为（2）分类①实矩阵　矩阵元素都为实数的矩阵．②复矩阵　矩阵元素为复数的矩阵．③行矩阵/列矩阵　又称行向量/列向量，只有一行（列）的矩阵．④n阶方阵　行数与列数都等于n的矩阵称为n阶方阵．⑤零矩阵　元素都是零的矩阵．⑥对角矩阵　对角线以外的元素都是0的方阵．⑦单位矩阵　对角线上元素都为1的对角矩阵．二、矩阵的运算1矩阵的加法（1）定义设有两个m×n矩阵A＝（a ij）和B＝（b ij），则矩阵A与B的和记作A＋B，规定为注意：只有当两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才能进行加法运算．（2）运算规律设A，B，C都是m×n矩阵，则①A＋B＝B＋A；②（A＋B）＋C＝A＋（B＋C）；③设矩阵A＝（a ij），记：－A＝（－a ij），－A称为矩阵A的负矩阵，显然有A＋（－A）＝0，由此规定矩阵的减法为：A－B＝A＋（－B）．2数与矩阵相乘（1）定义数λ与矩阵A的乘积记作λA或Aλ，规定为（2）运算规律设A、B为m×n矩阵，λ、μ为数，则①（λμ）A＝λ（μA）；②（λ＋μ）A＝λA＋μA；③λ（A＋B）＝λA＋λB．3矩阵与矩阵相乘（1）定义设A＝（a ij）是一个m×s矩阵，B＝（b ij）是一个s×n矩阵，则规定矩阵A 与矩阵B的乘积是一个m×n矩阵C＝（c ij），其中并把此乘积记为C＝AB．（2）运算规律①（AB）C＝A（BC）；②（AB）＝（A）B＝A（B）（其中λ为数）；③A（B＋C）＝AB＋AC，（B＋C）A＝BA＋CA；④EA＝AE＝A；⑤．（3）注意①只有当第一个矩阵(左矩阵)的列数等于第二个矩阵(右矩阵)的行数时，两个矩阵才能相乘．②矩阵的乘法一般不满足交换律，即在一般情形下，AB≠BA．③对于两个n阶方阵A，B，若AB＝BA，则称方阵A与B是可交换的．④若有两个矩阵A，B，满足AB＝0,不能得出A＝0或B＝0的结论；若A≠0，而A（X－Y）＝0也不能得出X＝Y的结论．三、矩阵的转置1定义把矩阵A的行换成同序数的列得到一个新矩阵，称为A的转置矩阵，记作A T．2转置运算（1）（A T）T＝A；（2）（A＋B）T＝A T＋B T；（3）（λA）T＝λA T；（4）（AB）T＝B T A T．3对称矩阵设A为n阶方阵，如果满足A T＝A，即a ij＝a ji（i，j＝1,2…,n）,则称A为对称矩阵．四、方阵的行列式1定义由n阶方阵A的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称为方阵A 的行列式，记作detA或|A|．2由A确定|A|的运算规律假设A、B为n阶方阵，λ为数：（1）|A T|＝|A|；（2）|λA|＝λn|A|；（3）|AB|＝|A||B|．3伴随矩阵行列式|A|的各个元素的代数余子式A ij所构成的如下的矩阵称为矩阵A的伴随矩阵，简称伴随阵．一般地，五、逆矩阵1定义对于n阶矩阵A，如果有一个n阶矩阵B，使AB＝BA＝E，则称矩阵A是可逆的，并把矩阵B称为A的逆矩阵，A又称B的逆矩阵，简称逆阵．2性质（1）若矩阵A是可逆的，则A的逆矩阵是唯一的．（2）若矩阵A可逆，则|A|≠0．（3）若|A|≠0，又称A为非奇异矩阵，则矩阵A可逆，且，其中A*为矩阵A的伴随矩阵．若|A|＝0，称A为奇异矩阵，A不可逆．（4）A为可逆矩阵的充要条件是|A|≠0．3逆矩阵运算规律：（1）若A可逆，则A－1也可逆，且；（2）若A可逆，数λ≠0，则λA可逆，且（3）若A、B为同阶矩阵且均可逆，则AB也可逆，且；（4）若AB＝E（或BA＝E），则B＝A－1．六、克拉默法则含有n个未知数x1，x2，…，x n的n个线性方程的方程组　（2-1-1）它的解可以用n阶行列式表示，即有克拉默法则：如果线性方程组（2-1-1）的系数矩阵A的行列式不等于零，即则方程组（2-1-1）有唯一解其中A j（j＝1，2，…，n）是把系数矩阵A中第j列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n阶矩阵，即七、矩阵分块法1定义将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为A的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵．2矩阵分块法（1）设矩阵A与B的行数相同、列数相同，采用相同的分块法，有其中A ij与B ij的行数相同、列数相同，则（2）设，λ为数，则．（3）设A为m×l矩阵，B为l×n矩阵，分块成其中A i1，A i2，…，A it的列数分别等于B1j，B2j，…，B tj的行数，则其中（4）设，则（5）设A为n阶方阵，若A的分块矩阵只有在对角线上有非零子块，其余子块都为零矩阵，且在对角线上的子块都是方阵，即其中A i（i＝1，2，…，s）都是方阵，则称A为分块对角矩阵．分块对角矩阵的行列式具有下述性质由此性质可知，若，则，并有2.2　课后习题详解1计算下列乘积：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）2设，求3AB－2A及A T B．解：则有因A T＝A，即A为对称阵，所以3已知两个线性变换求从z1，z2，z3到x1，x2，x3的线性变换．解：依次将两个线性变换写成矩阵形式其中分别为对应的系数矩阵；在这些记号下，从z1，z2，z3到x1，x2，x3的线性变换的矩阵形式为，此处矩阵即有4假设，问：（1）AB＝BA吗?（2）（A＋B）2＝A2＋2AB＋B2吗?（3）（A＋B）（A－B）＝A2－B2吗?5举反例说明下列命题是错误的：（1）若，则；（2）若A2＝A，则或A＝E；（3）若AX＝AY，且A≠0，则X＝Y．6（1）设，求A2，A3，…，A k；（2）设，求A4．解：（1）根据矩阵乘法直接计算得一般可得　（2-2-1）则当k＝1时，式（2-2-1）成立．假设当k＝n时，式（2-2-1）成立，则当k＝n＋1时根据数学归纳法可知式（2-2-1）成立；7（1）设，求A50和A51；（2）设，A＝ab T，求A100．解：（1），则可得（2）由于b T a＝－8，所以根据上式可知8（1）设A，B为n阶矩阵，且A为对称阵，证明B T AB也是对称阵；（2）设A，B都是n阶对称阵，证明AB是对称阵的充要条件是AB＝BA．证：（1）由矩阵乘积的转置规则有所以由定义知B T AB为对称阵；（2）因为A T＝A，B T＝B，所以9求下列矩阵的逆矩阵：（1）；（2）；（3）；（4）.解：（1）根据二阶方阵的求逆公式可得（2）（3）因为，所以A可逆，并且于是（4）因为a1a2…a n≠0，所以a i≠0，i＝1，2，…，n．则矩阵是有意义的，并且因为所以A可逆，而且.10已知线性变换求从变量x1，x2，x3到变量y1，y2，y3的线性变换．解：记则线性变换的矩阵形式为x＝Ay，其中A是它的系数矩阵．因为所以A是可逆矩阵，则从变量x1，x2，x3到变量y1，y2，y3的线性变换的矩阵形式可写成又由于 于是即11设J是元素全为1的n（≥2）阶方阵．证明E－J是可逆矩阵，且这里E是与J同阶的单位矩阵．证：因为于是所以，是可逆矩阵，并且12设（k为正整数），证明可逆，并且其逆矩阵证：因为所以可逆，并且其逆矩阵．13设方阵A满足A2－A－2E＝O （2-2-2）证明A及A＋2E都可逆，并求解：（1）可先证A可逆．由式（2-2-2）得即 所以A是可逆的，且；（2）再证A＋2E可逆．由，即同理，可知可逆，且.14解下列矩阵方程：（1）；（2）；（3）；（4）AXB＝C，其中.解：（1）因为矩阵的行列式等于1，不为零，所以它可逆，从而用它的逆矩阵左乘方程两边，得（2）记矩阵方程为，因所以A可逆，用右乘方程的两边可得又由于所以（3）记，则矩阵方程可写为因为，所以A，B均可逆．依次用和左乘和右乘方程两边得（4）因为，所以A，B均是可逆矩阵，且分别用和左乘和右乘方程两边得15分别应用克拉默法则和逆矩阵解下列线性方程组：（1）（2）解：（1）①可用克拉默法则：因为系数矩阵的行列式，由克拉默法则，方程组有唯一解，并且②用逆矩阵方法：因为｜A｜≠0，所以A可逆，于是则有（2）①用克拉默法则：因为系数矩阵的行列式，由克拉默法则方程组有唯一解，并且②用逆矩阵方法因为｜A｜＝2≠0，所以A可逆，于是，易求得代入可得16设A为三阶矩阵，，求．解：因为，所以A可逆．于是由及，得对公式两端取行列式得17设，AB＝A＋2B，求B．解：由因，它的行列式det（A－2E）＝2≠0，所以它是可逆矩阵．用左乘上式两边得18设．且AB＋E＝A2＋B，求B．解：由方程，合并含有未知矩阵B的项，得又因为，其行列式，所以A－E可逆，用左乘上式两边，即可得到解：由于所给矩阵方程中含有A及其伴随阵A*，可用公式求解：用A左乘所给方程两边，得又由于，所以A是可逆矩阵，用右乘上式两边，可以得到观察可得是可逆矩阵，并且于是 20已知A的伴随阵A*＝diag（1，1，1，8），且，求B．解：（1）先化简所给矩阵方程假设能求得A并且为可逆矩阵，则可解得　（2-2-3）（2）再计算A根据题意可知A是可逆矩阵，由，两边取行列式得即，所以，于是因为，所以是可逆矩阵，并且将上述结果代入式（2-2-3）可得21设，其中，求A11．解：由于，则．所以22设AP＝PΛ，其中求φ（A）＝A8（5E－6A＋A2）．解：由于，所以P是可逆矩阵．根据AP＝PΛ可得，并且记多项式，则有由于是三阶对角阵，所以于是 23设矩阵A可逆，证明其伴随阵A*也可逆，且．证：因为，根据定理2的推论可以知A*可逆，且另因．用A左乘此式两边得通过比较上面两式可知结论成立．24设n阶矩阵A的伴随阵为A*，证明：（1）若｜A｜＝0，则｜A*｜＝0；（2）．证：（1）因为　（2-2-4）当时，上式成为可用反证法求证。

第三章矩阵的初等变换与线性方程组第一节矩阵的初等变换一. 初等变换1.交换矩阵的两行或两列2.以一个非零数k乘矩阵的某一行所有元素（第i行乘以k记为ri×k）3.把矩阵的某一行所有元素乘以一个数k后加到另一行对应的元素(第j行乘以k加到第i行记为ri+krj)。

二. 等价1.若矩阵A经过有限次的初等变换变为矩阵B，则矩阵A与矩阵B等价。

2..等价关系具有的性质：(i)反身性A~A;(ii) 对称性若A~B,则B~A;(iii) 传递性若A~B,B~C,则A~C;第二节矩阵的秩一. 数学概念定义2.1在矩阵A中，任取k行与k列(k≤m,k≤n)，位于这些行列交叉处的k2个元素，不改变它们在矩阵中所处的位置次序而得的k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式。

定义2.1设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D，且所有r+1阶子式(如果存在的话)全等于0，那末D称为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩，记作R(A)。

1. 零矩阵的秩为0；2.；3. 可逆矩阵称为满秩矩阵；4. 不可逆矩阵称为降秩矩阵。

二. 原理公式和法则定理2.1若A~B，则R(A)= R(B)。

根据这一定理，为求矩阵的秩，只要把矩阵用初等行变换成行阶梯形矩阵，易见该矩阵最高阶非零子式的阶数。

显然行阶梯形矩阵中非零行的行数即是该矩阵的秩。

这就给出求矩阵秩的方法。

第三节线性方程组的解一.数学概念根据矩阵的乘法，可以将线性方程组写成矩阵形式。

1.n元齐次线性方程组；2.n元非齐次线性方程组；3. 称A为方程组的系数矩阵，B=(A，b)为非齐次线性方程组的增广矩阵。

二．原理、公式和法则定理3.1n元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件的系数矩阵A的秩R(A)<n。

定理3.2n元非齐次线性方程组有解的充分必要条件的系数矩阵A的秩等于增广矩阵B=(A，b)的秩。

显然定理3.1是判断齐次线性方程组有什么样解的问题，而定理3.2是用来判断非齐次线性方程组有没有解的问题。

第三章 矩阵的初等变换练习题参考答案一、判断题（ √ ）1．设A 是n 阶可逆方阵，则齐次线性方程组0Ax =只有零解。

（ √ ）2．若n 阶矩阵A 可逆，则()R A n =。

（ × ）3．n 元非齐次线性方程组Ax b =有解的充分必要条件()R A n =。

（ √ ）4. 两个n 阶矩阵A ，B 行等价的充要条件是存在n 阶可逆矩阵P 使得B PA =。

（ × ）5. 任何矩阵都可以经过有限次初等行变换化为行阶梯形矩阵，并且化为的行阶梯形矩阵是唯一确定的。

（ × ）6. 若n 阶矩阵A 的秩为1n -，则A 的所有1n -阶子式均不为零。

（ √ ）7. 可逆矩阵A 总可以只经过有限次初等行变换化为单位矩阵E 。

（ √ ）8. 设矩阵A 的秩为r ，则A 中所有1+r 阶子式必为零。

（ × ）9.设A 为)n m (n m <⨯矩阵，则Ax b =有无穷多解。

（ × ）10. 只有行等价的矩阵才具有相同的秩，列等价的矩阵不具有相同的秩.二、填空题1. 矩阵102120313043-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭的行最简形矩阵为100000100001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭。

2. 设A 是5阶方阵，且满足2A A E +=， 则()R A E += 5 。

3．非齐次线性方程组的增广矩阵为B =21011101400000122000(1)1k k k kk --⎛⎫⎪⎪⎪-- ⎪--⎝⎭，则当k =0时方程组无解；当k =1时方程组有无穷解。

4．设线性方程组的增广矩阵为132331234102420210400130000a a a a a a a a a +⎛⎫⎪-⎪ ⎪- ⎪⎪+--⎝⎭，则该方程组有解的充要条件是12340a a a a +--=。

5. 设矩阵A 经初等行变换可化为行阶梯形矩阵B 。

若A 的秩为3，则B 中非零行的行数为 3 。