线性代数2_6初等变换与逆矩阵的初等变换求法 - 副本

前言矩阵理论在《线性代数》课程中有着重要的地位,矩阵和数相仿可以运算,特别是乘法和数一样有逆运算,其定义为:对于 n 阶方阵 A,如果存在 n 个阶段 B 使得 AB=BA=E,则 n 个阶方阵 A 为可逆的,B 为 A 的逆矩阵。

掌握好求逆矩阵的方法对线性方程组、二次型、线性变换等问题的解决有很大帮助。

关于矩阵求逆问题,不同的《线性代数》教材介绍了不同的方法。

下面对求逆矩阵方法进行全面论述,并做一步探讨。

1矩阵求逆常见的几种方法 1.1 用伴随矩阵法求逆矩定理1.1.1：n 阶矩阵)(ij a A =可逆的充要条件0≠A ，而且当)2(≥n 阶矩阵A 有逆矩阵，*-=A AA 11，其中*A 伴随矩阵。

例1 矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=412112013A 是否可逆？若可逆，求1-A 解：A A ∴≠=05可逆又511=A ，421=A ，3131=A ，1012=A ，1222=A ，332-=A ，013=A ，123=A ，133=A∴*-=A AA 11 例 2 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=543022001A ，*A 是A 的伴随矩阵，求()1-*A 解：1-*=A A A ，又()kB kB 11--=， 所以()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡====---*5430220011011011111A A A AA A且有规律可循。

对于三阶以上方阵用该方法逆矩阵,不仅计算量大且易出错,一般不用此种方法。

对求出逆矩阵正确与否,一般用E AA A A ==--11来检验是否正确。

1.2 用初等变换法求逆矩阵定理 1.2.1 如果n 阶方阵A 可逆，则存在有限个初等矩阵，l P P P 21,使得l P P P A 21=。

如果A 可逆，则1-A 也可逆，由上述定理， 存在初等矩阵l Q Q Q ,,,21 使得l Q Q Q A 211=-那么A A AA E 11--== 即A Q Q Q E l 21= E Q Q Q A l 211=-于是我们得到一个求逆矩阵的方法如下：如果n 阶方阵A 可逆，作一个n n 2⨯的矩阵E A ，然后对此矩阵施以初等行换，使A 化为单位矩阵E 同时化为1-A ，即：E A 1-−−−→−A E 初等行变换例1 用初等行变换求矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=521310132A 的逆矩阵解：=E A →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001010100132310521100010001521310132 →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--201010100910310521211010100600310521⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→316161100123210103461361001316161100010310100521 故⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=-3161611232134613611A 同理，如果n 阶矩阵A 可逆，作一个n n ⨯2的矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡E A ，然后此矩阵施以初等变换，使矩阵A 化为单位阵E ，则同时E 化为1-A ，即⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−→−⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1A E E A 初等列变换。

逆矩阵计算方法范文逆矩阵是线性代数中的重要概念之一，它在很多领域如工程、物理、计算机科学等都有广泛的应用。

一个矩阵的逆矩阵是指能与原矩阵相乘得到单位矩阵的矩阵，它可以看作是原矩阵的倒数。

在计算逆矩阵时，我们需要确定矩阵是否可逆。

矩阵可逆的充要条件是它的行列式不为零。

只有当矩阵是方阵且行列式不为零时，才存在逆矩阵。

计算逆矩阵的方法有多种，下面介绍一些常用的计算逆矩阵的方法。

1.初等行变换法：初等行变换法是一种直接计算逆矩阵的方法。

我们可以将原矩阵与单位矩阵拼接在一起，通过一系列的初等行变换将原矩阵变为单位矩阵，同时对单位矩阵进行相同的初等行变换，最终得到的矩阵即为原矩阵的逆矩阵。

步骤如下：a)将原矩阵A与n阶单位矩阵I拼接起来，得到增广矩阵[A，I]。

b)通过一系列的初等行变换，将增广矩阵[A，I]转化成[A'，B']，其中A'为单位矩阵。

c)则B'即为原矩阵A的逆矩阵。

2.矩阵的伴随法：矩阵的伴随法是一种基于代数余子式的方法。

通过计算原矩阵的伴随矩阵，再除以原矩阵的行列式，就得到了原矩阵的逆矩阵。

步骤如下：a) 计算出原矩阵A的伴随矩阵Adj(A)，其中每个元素的值为原矩阵A对应位置的代数余子式。

b) 计算原矩阵A的行列式det(A)。

c) 则原矩阵A的逆矩阵为A^{-1} = (1/det(A)) * Adj(A)。

3.克拉默法则：克拉默法则是一种解线性方程组的方法，利用克拉默法则也可以计算矩阵的逆矩阵。

克拉默法则是通过比例关系计算未知数的值的方法。

步骤如下：a) 对于一个n阶矩阵A，计算出它的行列式det(A)。

b)对于每个未知数x_i，构造一个新的矩阵B_i，将矩阵A的第i列替换成方程的右侧值。

c) 计算B_i的行列式det(B_i)。

d) 则原矩阵A的第i个未知数x_i的值为x_i = det(B_i) /det(A)。

e)通过计算所有x_i的值，得到原矩阵A的逆矩阵。

学习指南《线性代数》是理工科及经济管理各学科专业的一门重要数学基础课程。

它的课程目标是通过各个教学环节，充分利用数学软件工具，运用各种教学手段和方法，系统地向学生阐述矩阵、向量、线性方程组的基本理论与基本方法，使学生掌握线性代数的基本概念、基本原理与基本计算方法，理解具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辨证关系，培养学生逻辑思维能力、抽象思维能力、分析问题与解决问题的能力、运用计算机解决与线性代数相关的实际问题的能力，为学习后继课程的学习，从事工程技术、经济管理工作，科学研究以及开拓新技术领域打下坚实的基础 。

第一章 矩阵矩阵是研究线性方程组和其他相关问题的有力工具，也是线性代数的主要研究对象之一。

矩阵作为一种抽象数学结构的具体表现，其理论与方法在自然科学、工程技术、经济管理、社会领域都具有广泛的应用。

本章从实际问题出发，引出矩阵的概念，讨论矩阵的运算及其性质，逆矩阵及其求法，矩阵的分块，矩阵的初等变换与初等矩阵的概念与性质。

重点是矩阵的运算，特别是矩阵的乘法运算，逆矩阵及其性质，初等变换、初等矩阵的概念与性质，用初等变换化矩阵为阶梯形与最简形，用初等变换和定义法求逆矩阵的方法。

1. 矩阵是初学线性代数认识的第一个概念。

矩阵不仅是线性代数主要讨论的对象之一，而且是非常重要的数学工具,它的理论和方法贯穿于本课程始终。

本章的重点之一是矩阵的各种运算，其中又以矩阵的乘法最为重要，它也是难点之一。

两个矩阵的乘积是有条件的，不是任何两个矩阵都能相乘的。

AB 有意义，必须是A 的列数等于B 的行数，而积矩阵AB 的行数等于A 的行数，列数等于B 的列数。

积矩阵AB 的第i 行第j 列元素等于左矩阵A 的第i 行与右矩阵B 的第j 列对应元素乘积之和。

读者务必掌握矩阵乘法的实质。

矩阵的乘法与数的乘法不同。

尤其要注意以下三点：（1）矩阵乘法不满足交换律。

当乘积AB 有意义时，BA 不一定有意义，即使BA 有意义，也不一定有AB BA =。

E-A) 1= E + A + 2 K1 + … +A(E- A )(E+A + A 2+…+ AK 1)= E-A K(E-A) (E+A+A 2 + …+A K 1)=E，逆矩阵的几种求法与解析矩阵是线性代数的主要内容 ,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷 .逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容 , 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一 .本文将给出几种求逆矩阵的方法 .1. 利用定义求逆矩阵定义：设A、B都是n阶方阵,如果存在n阶方阵B使得AB= BA = E,则称A为可逆矩阵，而称B为A的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用.例1 求证：如果方阵A满足A k= 0,那么EA是可逆矩阵,且证明因为E与A可以交换，所以因A K= 0 ,于是得同理可得( E + A + A 2 + … +A K 1 )(E-A)=E ，因此E-A是可逆矩阵，且(E-A) 1 = E + A + A 2 +…+A K 1同理可以证明 (E+ A) 也可逆,且E-A 的逆矩阵.(E+ A) 1 = E -A + A 2+…+ (-1 ) K1A K1.由此可知，只要满足A K=0，就可以利用此题求出一类矩阵E A 的逆矩阵.例2 设 A =00 20 00 03,求0003 0000分析 由于A 中有许多元素为零，考虑A K是否为零矩阵，若为零矩阵，则可以 采用例2的方法求E-A 的逆矩阵.解 容易验证00 2 00 0 0 6200 0 630 0 0 04A 2=■A 3=， A 4 =000 0 00 00 0000 00 0 0 0而 (E-A)(E+A+ A2+ A 3 )=E , 所以1 12 61230 12 6 (E-A)E+A+ A2+ A.0 0 1 30 00 12. 初等变换法求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法 •如果A 可逆，则A 可通过 初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵R,P 2 , P S 使（1） p 1 p 2 p s A=I ，用 A 1右乘上式两端，得：（2） p 1 p 2 p s I= A 1比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单 位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A 1.用矩阵表示（ A I ）为（ I A 1 ），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较简单的一种方法 .需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初 等变换 .同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵 .2 3 1例1 求矩阵A的逆矩阵•已知A= 0 1 31 2 52 3 1 1 0 0 1 2 5 0 0 1解[A I] 0 1 3 0 1 0 0 1 3 0 1 01 2 5 0 0 1 2 3 1 1 0 01 2 5 0 0 1 1 0 0 1/6 13/6 4/30 1 3 0 1 0 0 1 0 1/2 3/2 10 0 1 1/6 1/6 1/3 0 0 1 1/6 1/6 1/31/6 13/6 4/3故 A 1 = 1/2 3/2 11/6 1/6 1/3在事先不知道n阶矩阵是否可逆的情况下，也可以直接用此方法•如果在初等变换过程中发现左边的矩阵有一行元素全为 0，则意味着A不可逆，因为此时表明A =0，则A 1不存在.1 2 3例 2 求 A= 4 5 6.7 8 91 2 3 1 0 0 1 2 3 1 0 0解[A E]= 4 5 6 0 1 0 0 3 6 4 1 07 8 9 0 0 1 0 6 12 7 0 11 2 3 1 0 00 3 6 4 1 0 .0 0 0 1 2 1由于左端矩阵中有一行元素全为0，于是它不可逆，因此A不可逆.3. 伴随阵法定理 n阶矩阵A=[a j ]为可逆的充分必要条件是A非奇异.且A n1A n2矩阵A 21.A n1A 22...A 12称为矩阵A 的伴随矩阵，记作A 3，于是有A 1=-A A 3'' ''' )A 2n.A nnB=A n A 2n 由此可知，若A 可逆，则AA 3.其中A j 是A 中元素a j 的代数余子式.证明 必要性：设A 可逆，由A A 1=I ，有AA 1 = l |，则A A 1 =|l |，所以A 0 , 即A 为非奇异.充分性： 设A 为非奇异，存在矩其中a11 a12 ...a 1nA 11 A21...A n1 a 21a22...a2 n1 A 12A22A n2 AB=... ... ...A・・・an1an2...a nnA 1nA2n...A nnA 0...0 1 0=丄oA ...0 =010 = -1=A ... ... A ...1T0 0...A0 01同理可证BA=I.用此方法求逆矩阵，对于小型矩阵，特别是二阶方阵求逆既方便、快阵，又有A|2nAiA2 A inAI2A 22A nn证明 因为A =A ii0 0A22其中X A ii A 11A ii0 A 22=A 1i | |A22An 0 0A 22 i0,所以A 可逆.YW ，于是有X Y A ii ZWA22I n 00 I m n， 丫 A22 =0， ZA ii =0，W A 22 I m .又因为A ii 、A 22都可逆，用22 i 分别右乘上面左右两组等式得:规律可循.因为二阶可逆矩阵的伴随矩阵，只需要将主对角线元素的位置互换，次对 角线的元素变号即可•若可逆矩阵是三阶或三阶以上矩阵，在求逆矩阵的过程中，需要求9个或9个以上代数余子式，还要计算一个三阶或三阶以上行列式，工作量大且中途难免 出现符号及计算的差错.对于求出的逆矩阵是否正确，一般要通过 AA 1=I 来检验.一 旦发现错误，必须对每一计算逐一排查.4 .分块矩阵求逆法4.1.准对角形矩阵的求逆命题 设A il 、A 22都是非奇异矩阵，且A il 为n 阶方阵，A 22为m 阶方阵iiX= A ii ，Y=0，Z=0，W= A 22A 2i =Aii0 A 22 i把上述结论推广到每一个子块都是非奇异矩阵的准对角形状矩阵中去，即:iA i iA2 A2i42准三角形矩阵求逆命题设A11、A 22都是非奇异矩阵，则有A11 1 1A12 A111A11 A12 A22 10 A22 0 A22 1证明因为A11 A12 I 1A11 A12 =An 0 0 A22 0 I 0 A22两边求逆得I A11 1 1A12 A1 1 A12 1= A11 100 I 0 A22 0 A22 所以A11A12 1 _ I A11 A12 A1 100 A22 0 I 0 A22 1=A11 11 1 A11 A12 A220 A22 1 同理可证A1110 A11 10A21 A221 1A11 A21 A22 A22 1此方法适用于大型且能化成对角子块阵或三角块阵的矩阵•是特殊方阵求逆的一种方法，并且在求逆矩阵之前，首先要将已给定矩阵进行合理分块后方能使用•5.恒等变形法恒等变形法求逆矩阵的理论依据为逆矩阵的定义，此方法也常用与矩阵的理论推导上.就是通过恒等变形把要求的值化简出来，题目中的逆矩阵可以不求，利用 AA 1=E，把题目中的逆矩阵化简掉。

. .. . .. ..逆矩阵的几种求法与解析矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法.1.利用定义求逆矩阵定义: 设A、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E, 则称A为可逆矩阵, 而称B为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用.例1求证: 如果方阵A 满足A K= 0, 那么E-A是可逆矩阵, 且（E-A）1-= E + A + A2+…+A1-K证明因为E 与A 可以交换, 所以(E- A )(E+A + A2+…+ A1-K)= E-A K,因A K= 0 ,于是得(E-A)（E+A+A2+…+A1-K）=E，同理可得（E + A + A2+…+A1-K）(E-A)=E，因此E-A是可逆矩阵,且(E-A)1-= E + A + A2+…+A1-K.同理可以证明(E+ A)也可逆,且(E+ A)1-= E -A + A2+…+（-1）1-K A1-K.由此可知, 只要满足A K=0，就可以利用此题求出一类矩阵E±A的逆矩阵.例2 设 A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000300000200010,求 E-A 的逆矩阵.分析由于A 中有许多元素为零, 考虑A K 是否为零矩阵, 若为零矩阵, 则可以采用例2 的方法求E-A 的逆矩阵.解容易验证A 2=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000060000200， A 3=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000000006000， A 4=0而 (E-A)(E+A+ A 2+ A 3)=E,所以(E-A)1-= E+A+ A 2+ A 3=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1000310062106211.2.初等变换法求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法.如果A 可逆，则A 可通过初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵S P P P ,,21 使（1）s p p p 21A=I ，用A 1-右乘上式两端，得：（2） s p p p 21I= A 1-比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A 1-.用矩阵表示（A I ）−−−→−初等行变换为（I A 1-），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵.例1 求矩阵A 的逆矩阵.已知A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡521310132.解 [A I]→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100521010310001132→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001132010310100521→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--3/16/16/1100010310100521→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----3/16/16/110012/32/10103/46/136/1001 故 A 1-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----3/16/16/112/32/13/46/136/1. 在事先不知道n 阶矩阵是否可逆的情况下，也可以直接用此方法.如果在初等变换过程中发现左边的矩阵有一行元素全为0，则意味着A 不可逆，因为此时表明A =0，则A 1-不存在.例2 求A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡987654321.解 [A E]=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100987010654001321→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------1071260014630001321→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----121000014630001321. 由于左端矩阵中有一行元素全为0，于是它不可逆，因此A 不可逆.3.伴随阵法定理 n 阶矩阵A=[a ij ]为可逆的充分必要条件是A 非奇异.且A 1-=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A .....................212221212111 其中A ij 是A 中元素a ij 的代数余子式.矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nn n n A A A A A AA A A (2122212)12111称为矩阵A 的伴随矩阵，记作A *，于是有A 1-=A 1 A *.证明 必要性：设A 可逆，由A A 1-=I ，有1-AA =I ，则A 1-A =I ，所以A ≠0，即A 为非奇异.充分性： 设A 为非奇异，存在矩阵B=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A .....................212221212111， 其中AB=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a (2)12222111211⨯A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A ............... (2122212)12111=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡A A A A ............0...00...0=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1 (00)...1......0...100...01=I同理可证BA=I.由此可知，若A 可逆，则A 1-=A1 A *. 用此方法求逆矩阵，对于小型矩阵，特别是二阶方阵求逆既方便、快阵，又有规律可循.因为二阶可逆矩阵的伴随矩阵，只需要将主对角线元素的位置互换，次对角线的元素变号即可.若可逆矩阵是三阶或三阶以上矩阵，在求逆矩阵的过程中，需要求9个或9个以上代数余子式，还要计算一个三阶或三阶以上行列式，工作量大且中途难免 出现符号及计算的差错.对于求出的逆矩阵是否正确，一般要通过AA 1-=I 来检验.一旦发现错误，必须对每一计算逐一排查.4．分块矩阵求逆法4.1.准对角形矩阵的求逆命题 设A 11、A 22都是非奇异矩阵，且A 11为n 阶方阵，A 22为m 阶方阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 证明 因为A =221100A A =11A 22A ≠0, 所以A 可逆.设A 1-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡WZY X，于是有⎥⎦⎤⎢⎣⎡W Z Y X ⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡m nI I 00, 其中 X A 11=I n ， Y A 22=0，Z A 11=0，W A 22=I m .又因为A 11、A 22都可逆，用A 111-、A 122-分别右乘上面左右两组等式得：X= A 111-，Y=0，Z=0，W= A 122-故 A 21= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 把上述结论推广到每一个子块都是非奇异矩阵的准对角形状矩阵中去，即：121...-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡k A A A =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---11211...k A A A4.2.准三角形矩阵求逆命题 设A 11、A 22都是非奇异矩阵，则有12212110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122121111110A A A A A证明 因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2212110A A A⎥⎦⎤⎢⎣⎡--I A A I 012111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A 两边求逆得1121110--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-I A A I 1221211-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 所以 1221211-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--I A A I 012111⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122121111110A A A A A同理可证12221110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122211111110A A A A A 此方法适用于大型且能化成对角子块阵或三角块阵的矩阵. 是特殊方阵求逆的一种方法，并且在求逆矩阵之前，首先要将已给定矩阵进行合理分块后方能使用.5.恒等变形法恒等变形法求逆矩阵的理论依据为逆矩阵的定义，此方法也常用与矩阵的理论推导上.就是通过恒等变形把要求的值化简出来，题目中的逆矩阵可以不求，利用AA 1-=E ，把题目中的逆矩阵化简掉。