全称量词消去规则

绪论单元测试1.A:错B:对答案:B2.Boole中的语句不能粘贴到Fitch中。

（）A:对B:错答案:B第一章测试1.要打开Tarski’s World，点击文件Tarski’s World.exe。

A:对B:错答案:A2.在Tarski’s World中，要打开事先保存的世界文件和语句文件，可以点击File菜单中的Open命令。

A:对B:错答案:A3.在Tarski’s World中，要保存一份世界文件，最安全的命令是Save World 。

A:对B:错答案:B4.在棋盘上放置一个模块，点击工具栏中的（）。

A:New按钮B:Play Game按钮C:Verify按钮D:打印按钮答案:A5.要删除一个世界文件的方法之一是（）。

A:在File菜单中，点击Clear命令B:点击Play Game按钮C:Verify按钮D:点击New按钮答案:A6.当你在语句窗口中，输入的是一个合式公式时，靠近语句标号的左边显示（）。

A:FB:+C:*D:T答案:B7.在Tarski’s World中，模块的大小有（）这几种情况。

A:中B:大C:较小D:小答案:ABD8.在Tarski’s World中，模块的形状有（）这几种情况。

A:立方体B:圆C:十二面球体D:锥体答案:ACD9.在Tarski’s World中，一个模块的名字可以有（）。

A:三个B:一个C:四个D:两个答案:ABCD10.Tarski’s World不允许给一个模块命名多个名字。

A:对B:错答案:B第二章测试1.要打开Fitch，点击文件Fitch.exe.A:对B:错答案:A2.在Fitch中，要打开Fitch练习文件夹中的文件，可以使用File菜单中的Open命令。

A:错B:对答案:B3.在Fitch中，要保存一份已完成的证明，用Save As命令。

A:对B:错答案:A4.在Fitch的一个证明过程中，要在一行的前面增加一行，点击Proof菜单中的（）。

《离散数学》符号表∀ 全称量词（任意量词）∃ 存在量词├ 断定符（公式在L 中可证）╞ 满足符（公式在E 上有效，公式在E 上可满足）┐ 命题的“非”运算∧ 命题的“合取”（“与”）运算∨ 命题的“析取”（“或”，“可兼或”）运算→ 命题的“条件”运算↔ 命题的“双条件”运算的B A ⇔ 命题A 与B 等价关系B A ⇒ 命题A 与B 的蕴涵关系*A 公式A 的对偶公式wff 合式公式iff 当且仅当V 命题的“不可兼或”运算（ “异或门” ）↑ 命题的“与非” 运算（ “与非门” ）↓ 命题的“或非”运算（ “或非门” ）□ 模态词“必然”◇ 模态词“可能”φ 空集∈ 属于（∉不属于）A μ（·） 集合A 的特征函数P （A ） 集合A 的幂集A 集合A 的点数nA A A ⨯⨯⨯ （n A ） 集合A 的笛卡儿积R R R =2 )(1R R R n n -= 关系R 的“复合”0ℵ 阿列夫零ℵ 阿列夫⊇ 包含⊃ 真包含∪集合的并运算 ∩集合的交运算 - （～）集合的差运算 ⊕集合的对称差运算 m + m同余加 m ⨯ m同余乘 〡限制 R x ][集合关于关系R 的等价类 A /R集合A 上关于R 的商集 )(A R π集合A 关于关系R 的划分 )(A R π集合A 关于划分π的关系 ][a元素a 产生的循环群 R a ][元素a 形成的R 等价类 r C由相容关系r 产生的最大相容类 I环，理想 )/(n Z模n 的同余类集合 )(mod k b a ≡a 与b 模k 相等 )(R r关系R 的自反闭包 )(R s关系R 的对称闭包+R ，)(R t 关系R 的传递闭包*R ，)(R rt 关系R 的自反、传递闭包.i H 矩阵H 的第i 个行向量j H . 矩阵H 的第j 个列向量CP 命题演绎的定理（CP 规则）EG 存在推广规则（存在量词引入规则）ES 存在量词特指规则（存在量词消去规则）UG 全称推广规则（全称量词引入规则）US 全称特指规则（全称量词消去规则）A I ，0R 恒等关系A 集合A 的补集X X 所有X 到自身的映射X Y 所有从集合X 到集合Y 的函数)(][A A K 集合A 的势（基数）R 关系r 相容关系 R 否关系R 补关系1-R （c R ） 逆关系S R 关系R 与关系S 的复合n nR R R R ,关系R 的n 次幂 r rB B B 222,⨯⨯ 布尔代数2B 的r 次幂 r B 2 含有r 2个元素的布尔代数domf 函数f 的定义域（前域）ranf 函数f 的值域Y X f →： （Y X f −→−） f 是X 到Y 的函数 ),(y x GCD y x ,最大公约数),(y x LCM y x ,的最小公倍数e 幺元θ 零元1-a 元素a 的逆元)(Ha aH H 关于a 的左（右）陪集)(f Ker 同态映射f 的核（或称f 的同态核）A ，B ，C 合式公式⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛k n 二项式系数⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛p n n n n ,,,21 多项式系数[1，n] 1到n 的整数集合)1()1(][+--=k x x x x k)1()1(][-++=k x x x x kk nC 组合数 ),(v u d 点u 与点v 间的距离)(v d 点v 的度数)(v d + 点v 的出度)(v d - 点v 的入度),(E V G = 点集为V ，边集为E 的图G 图G 的补图G G '≅ 图G 与图G '同构*G 平面图G 的对偶图W(G) 图G 的连通分支数)(G κ 图G 的点连通度)(G λ 图G 的边连通度)(G δ图G 的最小点度 )(G ∆图G 的最大点度 A(G)图G 的邻接矩阵 P(G)图G 的可达矩阵 M(G)图G 的关联矩阵 n Kn 阶完全图 m n K ,完全二分图 C复数集 N自然数集（包含0在内） +N正自然数集 P素数集 Q有理数集 +Q正有理数集 -Q负有理数集 R实数集 Z整数集 m Z]}[,,]2[,]1{[m Set集范畴 Top拓扑空间范畴 Ab交换群范畴 Grp群范畴Mon 单元半群范畴Ring 有单位元的（结合）环范畴Rng 环范畴CRng 交换环范畴R-mod 环R的左模范畴mod-R 环R的右模范畴Field 域范畴Poset 偏序集范畴仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。

第5章一阶逻辑等值演算与推理主要内容1. 等值式与基本的等值式①在有限个体域中消去量词等值式②量词否定等值式③量词辖域收缩与扩张等值式④量词分配等值式2. 基本规则①置换规则②换名规则③代替规则3. 前束范式4. 推理理论①推理的形式结构②推理正确③构造证明④新的推理规则全称量词消去规则，记为UI全称量词引入规则，记为UG存在量词消去规则，记为EI存在量词引入规则，记为EG学习要求1. 深刻理解重要的等值式，并能熟练地使用它们。

2. 熟练地使用置换规则、换名规则和代替规则。

3. 准确地求出给定公式的前束范式（形式可不唯一）。

4. 正确地使用UI、UG、EI、EG规则，特别地要注意它们之间的关系。

5. 对于给定的推理，正确地构造出它的证明。

5.1 一阶逻辑等值式与置换规则定义5.1设A，B是一阶逻辑中任意两个公式，若A B是永真式，则称A与B是等值的。

记做A B，称A B是等值式。

谓词逻辑中关于联结词的等值式与命题逻辑中相关等值式类似。

下面主要讨论关于量词的等值式。

一、基本等值式第一组代换实例由于命题逻辑中的重言式的代换实例都是一阶逻辑中的永真式，因而第二章的16组等值式给出的代换实例都是一阶逻辑的等值式的模式。

例如：xF(x)┐┐xF(x)x y(F(x,y)→G(x,y))┐┐x y(F(x,y)→G(x,y))等都是(2.1)式的代换实例。

又如：F(x)→G(y)┐F(x)∨G(y)x(F(x)→G(y))→zH(z)┐x(F(x)→G(y))∨zH(z))等都是(2.1)式的代换实例。

第二组消去量词等值式设个体域为有限域D={a1,a2,…,a n}，则有(1)xA(x)A(a1)∧A(a2)∧…∧A(a n)(2)xA(x)A(a1)∨A(a2)∨…∨A(a n) (5.1)第三组量词否定等值式设A(x)是任意的含有自由出现个体变项x的公式，则(1)┐xA(x)x┐A(x)(2)┐xA(x)x┐A(x) (5.2)(5.2)式的直观解释是容易的。

常用数学符号大全1、几何符号⊥∥∠⌒⊙≡≌△2、代数符号∝∧∨～∫≠≤≥≈∞∶3、运算符号如加号（＋），减号（－），乘号（×或·），除号（÷或／），两个集合的并集（∪），交集（∩），根号（√），对数（log，lg，ln），比（：），微分（dx），积分（∫），曲线积分（∮）等。

4、集合符号∪∩∈5、特殊符号∑π（圆周率）6、推理符号|a| ⊥∽△∠∩∪≠≡±≥≤∈←↑→↓↖↗↘↙∥∧∨&; §①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩ΓΔΘΛΞΟΠΣΦΧΨΩαβγδεζηθικλμνξοπρστυφχψωⅠ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅷ Ⅸ Ⅹ Ⅺ Ⅻⅰ ⅱ ⅲ ⅳ ⅴ ⅵ ⅶ ⅷ ⅸ ⅹ∈∏∑∕√∝∞∟ ∠∣∥∧∨∩∪∫∮∴∵∶∷∽≈≌≒≠≡≤≥≦≧≮≯⊕⊙⊥⊿⌒℃指数0123：o1237、数量符号如：i，2+i，a，x，自然对数底e，圆周率π。

8、关系符号如“＝”是等号，“≈”是近似符号，“≠”是不等号，“＞”是大于符号，“＜”是小于符号，“≥”是大于或等于符号（也可写作“≮”），“≤”是小于或等于符号（也可写作“≯”），。

“→ ”表示变量变化的趋势，“∽”是相似符号，“≌”是全等号，“∥”是平行符号，“⊥”是垂直符号，“∝”是成正比符号，（没有成反比符号，但可以用成正比符号配倒数当作成反比）“∈”是属于符号，“??”是“包含”符号等。

9、结合符号如小括号“（）”中括号“［］”，大括号“｛｝”横线“—”10、性质符号如正号“＋”，负号“－”，绝对值符号“| |”正负号“±”11、省略符号如三角形（△），直角三角形（Rt△），正弦（sin），余弦（cos），x的函数（f(x)），极限（lim），角（∠），∵因为，（一个脚站着的，站不住）∴所以，（两个脚站着的，能站住）总和（∑），连乘（∏），从n个元素中每次取出r个元素所有不同的组合数（C(r)(n) ），幂（A，Ac，Aq，x^n）等。

离散常用数学符号人才源自知识，而知识的获得跟广泛的阅读积累是密不可分的。

古人有书中自有颜如玉之说。

杜甫所提倡的读书破万卷, 下笔如有神等，无不强调了多读书广集益的好处。

这篇离散常用数学符号，希望可以加强你的基础。

离散数学符号├ 断定符(公式在L中可证)╞ 满足符(公式在E上有效，公式在E上可满足)┐ 命题的非运算命题的合取(与)运算命题的析取(或，可兼或)运算命题的条件运算AB 命题A 与B 等价关系A=B 命题 A与 B的蕴涵关系A* 公式A 的对偶公式wff 合式公式iff 当且仅当命题的与非运算( 与非门 )命题的或非运算( 或非门 )□ 模态词必然◇ 模态词可能空集属于(??不属于)P(A) 集合A的幂集|A| 集合A的点数R^2=R○R [R^n=R^(n-1)○R] 关系R的复合(或下面加 ) 真包含集合的并运算集合的交运算- (～) 集合的差运算〡限制[X](右下角R) 集合关于关系R的等价类A/ R 集合A上关于R的商集[a] 元素a 产生的循环群I (i大写) 环，理想Z/(n) 模n的同余类集合r(R) 关系 R的自反闭包s(R) 关系的对称闭包CP 命题演绎的定理(CP 规则)EG 存在推广规则(存在量词引入规则)ES 存在量词特指规则(存在量词消去规则) UG 全称推广规则(全称量词引入规则)US 全称特指规则(全称量词消去规则)R 关系r 相容关系R○S 关系与关系的复合domf 函数的定义域(前域)ranf 函数的值域f:XY f是X到Y的函数GCD(x,y) x,y最大公约数LCM(x,y) x,y最小公倍数aH(Ha) H 关于a的左(右)陪集Ker(f) 同态映射f的核(或称 f同态核) [1，n] 1到n的整数集合d(u,v) 点u与点v间的距离d(v) 点v的度数G=(V,E) 点集为V，边集为E的图W(G) 图G的连通分支数k(G) 图G的点连通度△(G) 图G的最大点度A(G) 图G的邻接矩阵P(G) 图G的可达矩阵M(G) 图G的关联矩阵C 复数集N 自然数集(包含0在内)N* 正自然数集P 素数集Q 有理数集R 实数集Z 整数集Set 集范畴Top 拓扑空间范畴Ab 交换群范畴Grp 群范畴Mon 单元半群范畴Ring 有单位元的(结合)环范畴Rng 环范畴CRng 交换环范畴R-mod 环R的左模范畴mod-R 环R的右模范畴Field 域范畴Poset 偏序集范畴感谢你阅读离散常用数学符号。

离散数学精选笔记一、集合论基础。

1. 集合的定义与表示。

- 集合是由一些确定的、彼此不同的对象组成的整体。

通常用大写字母表示集合，如A、B、C等。

- 集合的表示方法有列举法和描述法。

- 列举法：把集合中的元素一一列举出来，例如A = {1,2,3}。

- 描述法：用谓词来描述集合中元素的性质，例如B={xx是偶数且x < 10}。

2. 集合间的关系。

- 包含关系：如果集合A的所有元素都是集合B的元素，则称A包含于B，记作A⊆ B。

当A⊆ B且A≠ B时，称A是B的真子集，记作A⊂ B。

- 相等关系：如果A⊆ B且B⊆ A，则A = B。

3. 集合的运算。

- 交集：A∩ B={xx∈ A且x∈ B}。

- 并集：A∪ B = {xx∈ A或x∈ B}。

- 补集：设全集为U，A相对于U的补集¯A=U - A={xx∈ U且x∉ A}。

- 集合运算的性质：- 交换律：A∩ B = B∩ A，A∪ B=B∪ A。

- 结合律：(A∩ B)∩ C = A∩(B∩ C)，(A∪ B)∪ C=A∪(B∪ C)。

- 分配律：A∩(B∪ C)=(A∩ B)∪(A∩ C)，A∪(B∩ C)=(A∪ B)∩(A∪ C)。

二、命题逻辑。

1. 命题与命题联结词。

- 命题是能够判断真假的陈述句。

例如“今天是晴天”是一个命题。

- 命题联结词：- 否定¬：若P为命题，则¬ P表示“P不成立”。

- 合取wedge：Pwedge Q表示“P并且Q”，当P和Q都为真时，Pwedge Q为真。

- 析取vee：Pvee Q表示“P或者Q”，当P和Q至少有一个为真时，Pvee Q为真。

- 蕴涵to：Pto Q表示“如果P，那么Q”，当P为真Q为假时，Pto Q为假，其余情况为真。

- 等价↔：P↔ Q表示“P当且仅当Q”，当P和Q同真同假时，P↔ Q为真。

2. 命题公式及其分类。

- 命题公式是由命题变元（通常用P、Q、R等表示）和命题联结词按照一定规则组成的符号串。

消去量词和引入量词规则
消去量词和引入量词规则是指在逻辑学中对于量化符号的使用规则。

在逻辑学中，量词分为两种，一种是全称量词，另一种是存在量词。

全称量词表示某个条件对于所有的个体都成立，而存在量词则表示某个条件至少对于一个个体成立。

在使用量词时，需要遵循以下的规则：
1. 消去量词规则。

当一个量化公式中存在相同的量词时，可以将它们合并成一个量词。

例如，xyP(x,y)可以简化为xP(x,x)，因为x和y都代表着任意的个体。

2. 引入量词规则。

当一个量化公式中不存在某个量词时，可以引入该量词。

例如，假设已知xP(x)，则可以推断出存在量词的公式，即存在xP(x)。

遵循消去量词和引入量词规则可以帮助我们更加准确地分析和推导逻辑命题，从而达到正确地推断结论的目的。

- 1 -。

消去量词和引入量词规则量词在中文语言中是非常重要的一部分，是用来表示数量和程度的词语。

但是，在汉语中使用量词有时候会有一些规则需要遵守和注意，特别是在消去量词和引入量词的时候。

下面是一些关于消去量词和引入量词的规则，希望对大家有所帮助。

一、消去量词消去量词是指在一些情况下，汉语中可以省略量词的使用。

一般来说，当量词已经被上下文明确了，或者所描述的对象的数量已经很清楚了，就可以省略掉量词。

例如：1. 请给我两个苹果。

→请给我苹果。

2. 我买了三条鱼。

→我买了鱼。

3. 他喜欢吃五个橙子。

→他喜欢吃橙子。

消去量词的使用可以让语言更加简洁明了，但是需要注意的是，在有些情况下省略量词可能会产生歧义。

例如：1. 我要买三本书。

→我要买书。

这句话如果没有上下文的限定，可能会让人误解为“我要买全部的书”。

2. 我吃了五碗米饭。

→我吃了饭。

这句话可能会让人误解为“我吃了一整顿饭菜”。

因此，在消去量词的时候，需要根据上下文和语言习惯来判断是否要省略量词。

二、引入量词引入量词是指在一些场合下，汉语中需要使用量词来修饰名词。

一般来说，当名词前没有量词或者要表示一定数量或程度时，就需要使用量词。

例如：1. 我们买了一些水果。

2. 她喝了一杯茶。

3. 他们看了几本书。

在使用量词的时候，需要注意的是，不同的名词可能需要使用不同的量词。

例如，水果一般使用个、份、斤等量词，而茶一般使用杯、口、碗等量词。

此外，还需要注意量词的用法和语法规则，例如量词的读音、量词的前后顺序等。

总之，消去量词和引入量词是汉语中常见的语言现象，需要我们在使用语言的时候注意规则和习惯，以便更加准确地表达自己的意思。

量词的辖域定义:量词的辖域是邻接量词之后的最小子公式，故除非辖域是个原子公式，否则应在该子公式的两端有括号。

例：∀XP(X)→Q(X)∀X的辖域是P(X)∃X(P(X,Y)→Q(X，Y) ) ∨ P(Y,Z)∃X的辖域是P(X，Y)→Q(X，Y)有限个体域上消去量词例15: 个体域D={a,b,c}, 则消去下面公式中的量词∃x∀yF(x,y)⇔∃x (F(x,a)∧F(x,b)∧F(x,c))⇔ (F(a,a)∧F(a,b)∧F(a,c))∨(F(b,a)∧F(b,b)∧F(b,c))∨(F(c,a)∧F(c,b)∧F(c,c)) 例16：设个体域D={a,b}，消去下面各公式中的量词：(1) ∀x∃y(F(x) →G(y)) ⇔∀x(F(x)→∃y G(y))⇔∃xF(x)→∃y G(y) ⇔ (F(a)∨F(b))→(G(a)∨G(b))(2) ∀x∃y(F(x,y) →G(x,y))⇔∀x((F(x,a) →G(x,a))∨(F(x,b)→G(x,b))⇔((F(a,a) →G(a,a))∨(F(a,b)→G(a,b)))∧((F(b,a) →G(b,a))∨(F(b,b)→G(b,b)))注：(1)中量词辖域可以缩小，先缩小量词辖域，再消量词，演算简单；但在(2)中，因为全称量词和存在量词均约束F与G中个体变量，因而它们的辖域不能缩小，消去量词后的公式也不易化的更简单。

例17 将下面命题用两种形式符号化, 并证明两者等值:(1) 没有不犯错误的人解令F(x)：x是人，G(x)：x犯错误.⌝∃x(F(x)∧⌝G(x)) 或∀x(F(x)→G(x⌝∃x(F(x)∧⌝G(x))⇔∀x⌝(F(x)∧⌝G(x)) 量词否定等值式⇔∀x(⌝F(x)∨G(x)) 置换⇔∀x(F(x)→G(x)) 置换(2) 不是所有的人都爱看电影解令F(x)：x是人，G(x)：爱看电影.⌝∀x(F(x)→G(x)) 或∃x(F(x)∧⌝G(x))⌝∀x(F(x)→G(x))⇔∃x⌝(F(x)→G(x)) 量词否定等值式⇔∃x⌝(⌝F(x)∨G(x)) 置换⇔∃x(F(x)∧⌝G(x)) 置换例18 求下列公式的前束范式(1) ⌝∃x(M(x)∧F(x))解⌝∃x(M(x)∧F(x))⇔∀x(⌝M(x)∨⌝F(x)) （量词否定等值式）⇔∀x(M(x)→⌝F(x))后两步结果都是前束范式，说明公式的前束范式不惟一.(2) ∀xF(x)∧⌝∃xG(x)解∀xF(x)∧⌝∃xG(x)⇔∀xF(x)∧∀x⌝G(x) （量词否定等值式）⇔∀x(F(x)∧⌝G(x)) （量词分配等值式）或∀xF(x)∧⌝∃xG(x)⇔∀xF(x)∧∀x⌝G(x) 量词否定等值式⇔∀xF(x)∧∀y⌝G(y) 换名规则⇔∀x∀y(F(x)∧⌝G(y)) 辖域收缩扩张规则(3) ∀xF(x)→∃y(G(x,y)∧⌝H(y))解∀xF(x)→∃y(G(x,y)∧⌝H(y))⇔∀zF(z)→∃y(G(x,y)∧⌝H(y)) 换名规则⇔∃z∃y(F(z)→(G(x,y)∧⌝H(y))) 辖域收缩扩张规则或⇔∀xF(x)→∃y(G(z,y)∧⌝H(y)) 代替规则⇔∃x∃y(F(x)→(G(z,y)∧⌝H(y)))推理定理第一组命题逻辑推理定理的代换实例如, ∀xF(x)∧∃yG(y) ⇒∀xF(x)第二组基本等值式生成的推理定理如, ∀xF(x) ⇒⌝⌝∀xF(x), ⌝⌝∀xF(x) ⇒∀xF(x)⌝∀xF(x)⇒∃x⌝F(x), ∃x⌝F(x) ⇒⌝∀xF(x)第三组其他常用推理定律(1) ∀xA(x)∨∀xB(x) ⇒∀x(A(x)∨B(x))(2) ∃x(A(x)∧B(x))⇒∃xA(x)∧∃xB(x)(3) ∀x(A(x)→B(x)) ⇒∀xA(x)→∀xB(x)(4) ∃x(A(x)→B(x)) ⇒∃xA(x)→∃xB(x)一个公式如果它的所有量词均非否定的出现在公式的最前面，且它们的辖域一直延伸到公式的末尾，此种形式的公式就叫前束范式。

存在量词消除规则
量词消除规则是指删除多余的量词，使表达更加明确合理的语法文法规则。

量词是指
用来表明物体的数量的词，比如“一个”、“两个”、“几个”等，而量词消除规则就是
在句子中省去这些多余的量词，让句子读起来更平滑，表达也更清晰，以防止表达的混淆。

比如，原句是“我有两个朋友”，在消除量词后，句子变成“我有朋友”，形式更为
简明。

相反，在某些情况下，表达准确性尤其重要，比如数量需要准确指定时，量词不能
被省去，比如“我有一张椅子”。

归纳起来，量词消除规则是指在表达重复数量不必要的情况下，删除多余的量词来减
少句子的重复和混乱，句子变得更加简明清楚。

另外，量词消除规则也不能出现在需要准
确指定数量的句子中，一切都要依据具体情况考虑决定。