是第8章小波变换在图像去噪与图像增强中的应用
本章集中讨论小波在图像去噪与图像增强中的应用，首先研究基于小波的图像去噪方
法。
设原图像（即待恢复的图像）为[]{},:,,,f i j i j I N =,被噪声污杂的图像（即观察
到的图像）为[]{},:,,
,g i j i j I N =，并设
[][][],,,,,,
,g i j f i j i j i j I N ε=+= (0.1)
其中[],i j ε是噪声分量，独立同分布于()2
0,N πσ，且与[],f i j 独立，去噪的目的
是得到[],f i j 的估计[]ˆ,f i j ，使其均方误差（MSE ）最小，其中
[][]()
2
2,,1
1ˆ
,,N i j MSE f i j f i j N ==-∑
(0.2)
在小波域，利用正交小波变换，（8.1）式变换后既得
[][][],,,,,1,
,Y i j X i j V i j i j N =+= (0.3)
其中Y [],i j 是有噪小波系数，X [],i j 是无噪小波系数，为简单记并考虑到实际问 题的需要，本章对噪声的讨论仅限于加性的高斯白噪声，即V [],i j 为互相独立、
与()20,N πσ同分布的噪声分量。
图像去噪在信号处理中是一个经典的问题，传统的去噪方法多采用平均或线性方常用的是Wiener 滤波，但是去噪效果不够好，随着小波理论日趋完善，它以其自身良好的时频特性在图像、信号去噪领域法进行，受到越来越多的关注，开辟了用非线性方法去噪的先河，具体来说，小波去噪的成功主要得益于小波变换有如下特点：低熵性。小波系数的稀疏分布，使图像变换后的熵降低；多分辩率特性，由于采用了多分辩率的方法，所以可以非常好地刻画信号的非平稳特征，如边缘、尖峰、断点等，可在不同分辩率下根据信号和噪声分布的特点去噪；去相关性。因小波变换可对信号去相关，且噪声在变换后有白化趋势，所以小波域比时域更利于去噪；选基灵活性。由于小波变换可以灵活选择基，也可根据信号特点和去噪要求选择多带小波、小波包、平移不变小波等，对不同场合，可以选择不同的小波母函数。
因此，本章重点讨论基于各种小波变换的去噪方法。
8．1信号的奇异性检测与小波模极大值
信号（或函数）的奇异性是指信号（或函数）在某处有间断或某阶导数不连续。显然，
无限次可导的函数是光滑的或者说是没有奇异性，奇异点（即突变点）通常包含
了信号的重要特征。在数学上，某信号的奇异性通常可以通过Lipschitz 指数（或奇异指数）来度量。在小波出现之前，通常用Fourier 变换研究信号在某处有间断、有奇异性的情况，根据信号的Fourier 变换衰减的速度来确定该信号有无奇异性并判断奇异性的大小。由于Fourier 变换对信号的表示缺乏空间局部性，因而Fourier 变换只能确定信号奇异性的整体性质，无法确定奇异点的空间分布。而小波变换具有时频局部化特性，能够有效地分析信号的奇异点的位置与奇异性的大小。
S.Mallat 在1992年将Lipschitz 指数与小波变换后系数模的局部极大值联系起来，通过小波变换后局部极大值在不同尺度上的衰减速度来衡量信号的局部奇异性，基于小波变换的信号奇异性检测可以应用于故障诊断、图像的多尺度边缘提取、信号恢复和去噪、语音基因周期检测等领域。
定义8.1设()()2f x L R ∈，称函数()f x 在0x 处具有Lipschitz 指数a ，是指对
0x Bx ∀∈（0Bx 是0x 的任意开邻域），存在常数K ，使得|()f x -()0f x |0||a K x x -
由定义可知，阶跃信号在突变点处Lipschitz 指数a 为0，脉冲函数在冲击处的Lipschitz 指数为负值，a 越大，函数越光滑，奇异性越小；反之，a 越小表明函数在该点处变换越剧烈，也就是奇异性越大。例如，()f x 在0x 处可导，则a=1. ()f x 在0x 处不可导，但是在其一个邻域内是有界的，则a=0. 下面通过函数在不同尺度上的小波变换系数的绝对值来衡量函数的Lipschitz 指数。
定理8.1若小波()x ψ是实函数且连续可微，并具有n 价消失矩(),n z +∈
()()2f x L R ∈，则函数()f x 在0x 处具有Lipschitz 指数a ，当且仅当存在常数K ，使得
0x Bx ∀∈，其小波变换满足
()2||2j ja W f x K ≤
(0.4)
设0x 是函数()f x 局部突变点（奇异点），则在该点处()f x 的小波变换取模极大值。
上述定理表明，若a>0,随着尺度的减小，小波变换后系数模的极大值也减小；若a<0，则随着尺度的减小，小波变换后系数模的极大值反而增大，它表明信号比不连续（且有界，a=0）更加奇异，这就是噪声对应的情况。
对于白噪声，可以证明它是一个几乎处处奇异的随机分布且具有负的Lipschitz
指数1
,02a εε=--∀>。
设()x π是一个方差为2σ的白噪声，则尺度s 上的小波变换系数Wn(s,x)满足
()()()()()2
,s s wn s x n u n r x u x r dudr ψψ+∞+∞
-∞
-∞
=--⎰
⎰
(0.5)
由于()()()2
E n u n r u r σδ=-⎡⎤⎣⎦
可得
()()()()()2222
(,)s s E wn s x n u n r x u x r dudr s
σψ
ψψ+∞
+∞
-∞
-∞
=--=
⎰
⎰
(0.6)
由上式可知，()2
(,)E wn s x 和尺度s 成反比，因此，随着尺度的减少，如果某些小波变换模极大值点的模急剧递增，则信号在这些模极大值点上具有负的Lipschitz 指数，也就是它们几乎被噪声控制。
另外，小波变换的模极大值点的平均密度为
()()()212212212s d s ψψπψψ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭
(0.7)
其中。()()12
,ψψ分别是小波()x ψ的一阶和二阶导数，由（8.7）式可知，小
波系数模极大值的密度d S 也与s 成反比，所以，取尺度s=2j
,j=1,2,3,…,随着尺度的增大，至少有一半的模极大值点不能传递到较大尺度上，即在某个尺度2j 上是模极大值点，但在较大尺度2j ＋1上不是模极大值点，从而，可以认为那些不能从一个尺度上传递到较大尺度上的模极大值点也是由噪声控制的。因此，（8.6）和（8.7）式成为区分信号和噪声在多尺度空间中模极大值传播行为的重要特征之一，也是小波方法应用于信号去噪的重要理论依据，可以利用多尺度边缘重建算法恢复原始信号，达到去噪的目的。
8.2阈值去噪方法
小波去噪方法中最早被提出的是小波阈值去噪方法，它是一种实现简单而效果较好的去噪方法。最早的阈值去噪方法为Donoho 提出的VisuShrink 方法。阈值去噪的思想很简单，就是在小波分解后的各层系数中，对模大于和小于某阈值T 的系数分别处理，然后对处理完的小波系数再反变换重构出一幅经去噪后的图像。
8.2.1阈值函数的选取
在阈值去噪中，阈值函数体现了对超低和低于阈值的小波系数模的不同处理策略以及不同估计方法，设ψ是原始小波系数，η（ψ）表示阈值化后的小波系数，T 是阈值，
(){
1,0,
X X I x =
是真是假
代表示性函数，常用的阈值函数有： （a ） 硬阈值函数（见图8-1（a ））
()()||T ηωωω=I >
(0.8)
