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小波变换在图像增强中的应用方法探究图像增强是数字图像处理领域的一个重要研究方向，它旨在提高图像的质量、清晰度和对比度，使图像更加美观和易于理解。
而小波变换作为一种有效的信号处理工具，被广泛应用于图像增强领域。
本文将探究小波变换在图像增强中的应用方法。
一、小波变换简介小波变换是一种数学变换方法，它将信号分解成不同尺度和频率的子信号，并且能够提供时间和频率的局部信息。
与傅里叶变换相比，小波变换具有更好的时频局部性和多分辨率特性，因此在图像增强中具有独特的优势。
二、小波变换在图像去噪中的应用图像中的噪声会降低图像的质量和清晰度，因此去噪是图像增强的重要步骤之一。
小波变换可以将图像分解成不同频率的子图像，通过对子图像进行滤波处理，可以有效地去除图像中的噪声。
常用的小波去噪方法有基于阈值的去噪和基于小波域滤波的去噪。
基于阈值的去噪方法通过设置合适的阈值，将小波系数中的噪声滤除，从而实现图像的去噪。
而基于小波域滤波的去噪方法则通过对小波系数进行滤波处理，去除噪声信号。
这些小波去噪方法能够有效地去除图像中的噪声，提高图像的质量和清晰度。
三、小波变换在图像增强中的边缘检测边缘是图像中物体之间的分界线，边缘检测是图像处理中的一个重要任务。
小波变换具有良好的时频局部性，可以提供图像的局部信息，因此在边缘检测中具有一定的优势。
小波变换可以将图像分解成不同尺度的子图像，通过对子图像进行边缘检测，可以提取出图像中的边缘信息。
常用的小波边缘检测方法有基于梯度的边缘检测和基于小波变换的边缘检测。
基于梯度的边缘检测方法通过计算图像的梯度信息，提取图像的边缘。
而基于小波变换的边缘检测方法则通过对小波系数进行处理，提取图像的边缘信息。
这些小波边缘检测方法能够有效地提取图像中的边缘信息，改善图像的视觉效果。
四、小波变换在图像增强中的对比度增强对比度是图像中不同区域亮度差异的度量，对比度增强是图像增强的一个重要目标。
小波变换可以将图像分解成不同尺度和频率的子图像，通过对子图像进行增强处理，可以提高图像的对比度。
小波变换在图像增强中的应用图像增强是数字图像处理中的一项重要技术，它旨在改善图像的质量和清晰度。
在图像增强的过程中，小波变换作为一种有效的工具被广泛应用。
小波变换是一种时频分析方法，它能够将信号分解成不同频率的成分，并且能够捕捉到信号的局部特征。
在图像处理中，小波变换可以将图像分解成不同尺度和方向的子图像，从而提取出图像的细节信息。
首先，小波变换可以用于图像的去噪。
图像在采集和传输过程中常常会受到噪声的干扰，使得图像质量下降。
通过小波变换，我们可以将图像分解成不同频率的子图像，然后对每个子图像进行去噪处理，最后再将子图像合成为去噪后的图像。
这样的处理方式能够更好地保留图像的细节信息，同时去除噪声，提高图像的质量。
其次，小波变换可以用于图像的锐化。
在图像处理中，锐化操作可以增强图像的边缘和细节，使得图像更加清晰。
通过小波变换，我们可以将图像分解成不同尺度的子图像，然后对每个子图像进行增强处理，最后再将子图像合成为增强后的图像。
这样的处理方式能够更好地突出图像的细节和纹理，使得图像更加锐利。
此外，小波变换还可以用于图像的对比度增强。
对比度是指图像中不同区域之间的亮度差异程度，对图像的清晰度和可视性起着重要作用。
通过小波变换，我们可以将图像分解成不同频率的子图像，然后对每个子图像进行对比度增强处理，最后再将子图像合成为对比度增强后的图像。
这样的处理方式能够更好地增加图像的动态范围，使得图像的细节更加清晰可见。
最后，小波变换还可以用于图像的边缘检测。
边缘是图像中灰度值变化较大的区域，对于图像的分割和识别具有重要意义。
通过小波变换，我们可以将图像分解成不同尺度和方向的子图像，然后对每个子图像进行边缘检测处理，最后再将子图像合成为边缘检测后的图像。
这样的处理方式能够更好地提取出图像的边缘信息，使得图像的轮廓更加清晰可见。
综上所述，小波变换作为一种有效的工具，在图像增强中具有广泛的应用。
它可以用于图像的去噪、锐化、对比度增强和边缘检测等方面，能够提高图像的质量和清晰度。
第8章小波变换在图像去噪与图像增强中的应用本章集中讨论小波在图像去噪与图像增强中的应用，首先研究基于小波的图像去噪方法。
设原图像（即待恢复的图像）为[]{},:,,,f i j i j I N =,被噪声污杂的图像（即观察到的图像）为[]{},:,,,g i j i j I N =，并设[][][],,,,,,,g i j f i j i j i j I N ε=+=其中[],i j ε是噪声分量，独立同分布于()20,N πσ，且与[],f i j 独立，去噪的目的是得到[],f i j 的估计[]ˆ,fi j ，使其均方误差（MSE ）最小，其中 [][]()22,,11ˆ,,N i j MSE f i j f i j N ==-∑在小波域，利用正交小波变换，（8.1）式变换后既得[][][],,,,,1,,Y i j X i j V i j i j N =+=其中Y [],i j 是有噪小波系数，X [],i j 是无噪小波系数，为简单记并考虑到实际问 题的需要，本章对噪声的讨论仅限于加性的高斯白噪声，即V [],i j 为互相独立、与()20,N πσ同分布的噪声分量。
图像去噪在信号处理中是一个经典的问题，传统的去噪方法多采用平均或线性方常用的是Wiener 滤波，但是去噪效果不够好，随着小波理论日趋完善，它以其自身良好的时频特性在图像、信号去噪领域法进行，受到越来越多的关注，开辟了用非线性方法去噪的先河，具体来说，小波去噪的成功主要得益于小波变换有如下特点：低熵性。
小波系数的稀疏分布，使图像变换后的熵降低；多分辩率特性，由于采用了多分辩率的方法，所以可以非常好地刻画信号的非平稳特征，如边缘、尖峰、断点等，可在不同分辩率下根据信号和噪声分布的特点去噪；去相关性。
因小波变换可对信号去相关，且噪声在变换后有白化趋势，所以小波域比时域更利于去噪；选基灵活性。
由于小波变换可以灵活选择基，也可根据信号特点和去噪要求选择多带小波、小波包、平移不变小波等，对不同场合，可以选择不同的小波母函数。
小波变换在图像增强中的实用技巧与方法图像增强是数字图像处理领域中的重要任务之一，它旨在改善图像的质量、增强图像的细节，并使图像更适合于特定的应用。
小波变换作为一种常用的图像处理技术，具有在图像增强中应用的潜力。
本文将介绍小波变换在图像增强中的实用技巧与方法，并探讨其应用的优势和限制。
一、小波变换的基本原理小波变换是一种时频分析方法，它将信号分解成不同尺度和频率的分量。
与傅里叶变换相比，小波变换具有更好的时域和频域局部性，能够更好地反映信号的时频特性。
小波变换通过将信号与一组基函数进行内积运算，得到信号在不同尺度和频率上的分解系数。
二、小波变换在图像增强中的应用1. 去噪增强小波变换可以通过分析图像的高频分量和低频分量，实现图像的去噪增强。
通过选择适当的小波基函数和阈值，可以将图像中的噪声分量滤除，保留图像的细节信息。
常用的小波去噪方法包括基于硬阈值和软阈值的小波去噪算法。
2. 边缘增强小波变换可以通过分析图像的高频分量，突出图像中的边缘信息，从而实现图像的边缘增强。
边缘是图像中物体和背景之间的边界，是图像中最重要的特征之一。
小波变换可以通过选择适当的小波基函数和阈值，增强图像的边缘信息，使图像更加清晰和鲜明。
3. 对比度增强小波变换可以通过调整图像的亮度和对比度，实现图像的对比度增强。
对比度是图像中不同灰度级之间的差异程度，是图像中细节信息的重要指标。
小波变换可以通过调整小波基函数的尺度和频率，改变图像的亮度和对比度，使图像更加鲜明和清晰。
三、小波变换在图像增强中的优势1. 时频局部性小波变换具有更好的时频局部性，能够更好地反映图像的时频特性。
这使得小波变换在图像增强中能够更精确地分析和处理图像的细节信息，提高图像增强的效果。
2. 多尺度分析小波变换能够将信号分解成不同尺度的分量，这使得小波变换在图像增强中能够更好地处理不同尺度的细节信息。
通过选择适当的小波基函数和尺度，可以实现对图像不同尺度上的细节信息的增强。
小波变换在图像增强中的应用技巧图像增强是数字图像处理中的一个重要领域，它旨在改善图像的视觉效果，使得图像更加清晰、鲜明和易于理解。
小波变换作为一种有效的信号处理工具，已经被广泛应用于图像增强中。
本文将介绍小波变换在图像增强中的应用技巧，包括去噪、边缘增强和细节增强等方面。
一、小波变换在图像去噪中的应用图像中常常存在噪声，这些噪声会降低图像的质量和清晰度。
小波变换可以通过分析图像的频域特征，将噪声和信号分离开来，从而实现图像的去噪。
在图像去噪中，离散小波变换（DWT）是一种常用的方法。
DWT将图像分解为不同尺度的频域子带，其中低频子带包含了图像的主要信息，高频子带则包含了噪声。
通过对高频子带进行阈值处理，可以将噪声去除，然后再通过逆变换将图像恢复到空域中。
这种方法能够有效地去除图像中的噪声，同时保留图像的细节信息。
二、小波变换在图像边缘增强中的应用图像的边缘是图像中重要的特征之一，它能够提供图像中物体的形状和轮廓信息。
小波变换可以通过分析图像的局部特征，增强图像的边缘。
在图像边缘增强中，小波变换可以通过高频子带的信息来提取图像中的边缘。
通过对高频子带进行增强处理，可以使得边缘更加清晰和明显。
同时，小波变换还可以对边缘进行检测和定位，从而实现更精确的边缘增强。
三、小波变换在图像细节增强中的应用图像的细节信息对于图像的质量和清晰度至关重要。
小波变换可以通过分析图像的局部特征，增强图像的细节。
在图像细节增强中，小波变换可以通过低频子带的信息来提取图像中的细节。
通过对低频子带进行增强处理，可以使得图像的细节更加清晰和丰富。
同时，小波变换还可以对细节进行增强和增强，从而实现更好的细节增强效果。
总结小波变换作为一种强大的信号处理工具，在图像增强中发挥着重要的作用。
通过小波变换，可以实现图像的去噪、边缘增强和细节增强等效果。
在实际应用中，还可以根据具体的需求和图像特点，选择不同的小波基函数和变换参数，以达到更好的图像增强效果。
小波变换在图像噪声去除中的应用图像噪声是指在图像采集、传输或存储过程中产生的不希望的信号干扰，它会降低图像的质量和清晰度。
因此，图像噪声去除一直是图像处理领域的一个重要研究方向。
而小波变换作为一种强大的信号处理工具，被广泛应用于图像噪声去除中。
小波变换是一种时频分析方法，它可以将信号分解成不同频率的子信号，并能够捕捉到信号的瞬时特征。
因此，小波变换非常适合用于图像噪声去除。
在图像处理中，我们可以将图像看作是一个二维信号，通过对图像进行小波变换，可以将图像分解成不同频率的子图像，从而实现对图像噪声的去除。
小波变换的核心思想是将信号分解成不同频率的子信号，然后对每个子信号进行分析和处理。
在图像噪声去除中，我们可以通过小波变换将图像分解成低频子图像和高频子图像。
低频子图像包含图像的大部分能量信息，而高频子图像则包含图像的细节信息和噪声。
通过对高频子图像进行滤波处理，我们可以去除图像中的噪声，然后再将处理后的子图像进行逆变换，得到去噪后的图像。
在实际应用中，选择合适的小波基函数对图像进行变换非常重要。
常用的小波基函数有Haar小波、Daubechies小波、Symlet小波等。
不同的小波基函数具有不同的频率特性和时域特性，因此对于不同类型的图像噪声，选择合适的小波基函数可以提高去噪效果。
此外，小波变换还可以通过调整阈值来控制去噪的程度，从而平衡去噪效果和图像细节的保留。
除了基于小波变换的去噪方法，还有一些基于小波域的去噪算法。
这些算法通过对小波系数进行阈值处理来实现去噪。
通过选择合适的阈值函数和阈值参数，可以在保留图像细节的同时去除噪声。
常见的小波域去噪算法有硬阈值法、软阈值法、BayesShrink算法等。
这些算法在去噪效果和计算复杂度之间进行了平衡，可以根据实际需求选择合适的算法。
除了图像噪声去除，小波变换还可以应用于其他图像处理任务，如图像压缩、图像增强等。
在图像压缩中，小波变换可以将图像的能量集中在少数重要的小波系数上，从而实现对图像的高效压缩。
小波变换在图像处理中的应用及其实例引言：随着数字图像处理技术的不断发展，小波变换作为一种重要的数学工具，被广泛应用于图像处理领域。
小波变换具有多尺度分析的特点，能够提取图像的局部特征，对图像进行有效的压缩和去噪处理。
本文将探讨小波变换在图像处理中的应用，并通过实例加以说明。
一、小波变换的基本原理小波变换是将信号或图像分解成一组基函数，这些基函数是由母小波函数进行平移和伸缩得到的。
小波变换的基本原理是将信号或图像在不同尺度上进行分解，得到不同频率的小波系数，从而实现信号或图像的分析和处理。
二、小波变换在图像压缩中的应用图像压缩是图像处理中的重要应用之一。
小波变换通过分解图像，将图像的高频和低频信息分离出来，从而实现图像的有损或无损压缩。
小波变换在图像压缩中的应用主要有以下两个方面：1. 小波变换在JPEG2000中的应用JPEG2000是一种新一代的图像压缩标准，它采用小波变换作为核心算法。
JPEG2000通过小波变换将图像分解成多个子带，然后对每个子带进行独立的压缩，从而实现对图像的高效压缩。
相比于传统的JPEG压缩算法，JPEG2000在保持图像质量的同时，能够更好地处理图像的细节和边缘信息。
2. 小波变换在图像去噪中的应用图像去噪是图像处理中的常见问题，而小波变换能够有效地去除图像中的噪声。
小波变换通过将图像分解成多个尺度的小波系数，对每个尺度的小波系数进行阈值处理，将较小的小波系数置零，从而抑制图像中的噪声。
经过小波变换去噪后的图像能够更清晰地显示图像的细节和边缘。
三、小波变换在图像增强中的应用图像增强是改善图像质量的一种方法，而小波变换能够提取图像的局部特征，从而实现图像的增强。
小波变换在图像增强中的应用主要有以下两个方面：1. 小波变换在图像锐化中的应用图像锐化是增强图像边缘和细节的一种方法，而小波变换能够提取图像的边缘信息。
通过对图像进行小波变换，可以得到图像的高频小波系数，然后对高频小波系数进行增强处理，从而增强图像的边缘和细节。
小波变换在图像处理中的应用小波变换是一种非常有用的数学工具，可以将信号从时间域转换到频率域，从而能够更方便地对信号进行处理和分析。
在图像处理中，小波变换同样具有非常重要的应用。
本文将介绍小波变换在图像处理中的一些应用。
一、小波变换的基本原理小波变换是一种多尺度分析方法，可以将一个信号分解成多个尺度的成分。
因此，它比傅里叶变换更加灵活，可以适应不同频率的信号。
小波变换的基本原理是从父小波函数出发，通过不同的平移和缩放得到一组不同的子小波函数。
这些子小波函数可以用来分解和重构原始信号。
二、小波变换在图像压缩中的应用图像压缩是图像处理中的一个重要应用领域。
小波变换可以被用来进行图像压缩。
通过将图像分解成多个频率子带，可以将高频子带进行压缩，从而对图像进行有效的压缩。
同时，小波变换还可以被用来进行图像的无损压缩，对于一些对图像质量和细节要求较高的应用领域，如医学影像、遥感图像等，无损压缩是十分重要的。
三、小波变换在图像去噪中的应用在图像处理中，图像噪声是常见的问题之一。
可以使用小波变换进行图像去噪，通过对图像进行小波分解，可以将图像分解成多个频率子带，从而可以选择合适的子带进行滤波。
在小波域中，由于高频子带中噪声的能量相对较高，因此可以通过滤掉高频子带来对图像进行去噪，从而提高图像的质量和清晰度。
四、小波变换在图像增强中的应用图像增强是图像处理中另一个非常重要的应用领域。
在小波域中，可以对图像进行分解和重构，通过调整不同子带的系数，可以对图像进行增强。
例如，可以通过增强高频子带来增强图像的细节和纹理等特征。
五、小波变换在图像分割中的应用图像分割是对图像进行处理的过程，将图像分割成不同的对象或区域。
在小波域中，小波分解可以将图像分解成不同的频率子带和空间维度上的子带。
可以根据不同子带的特征进行分割，例如，高频子带对应细节和边缘信息，可以使用高频子带进行边缘检测和分割，从而得到更准确更清晰的分割结果。
总结小波变换是图像处理中一个非常有用的工具，可以被用来进行图像压缩、去噪、增强和分割等应用。
小波变换在高分辨率图像处理中的图像增强应用近年来，随着数字图像技术的不断发展和应用领域的不断拓展，高分辨率图像处理成为一个热门的研究方向。
在高分辨率图像处理中，图像增强是一个重要的环节，它可以提高图像的质量和细节，使图像更加清晰和真实。
而小波变换作为一种重要的信号处理工具，被广泛应用于高分辨率图像处理中的图像增强。
小波变换是一种多尺度分析方法，它可以将信号分解成不同尺度的频率成分，并且能够捕捉到信号的局部特征。
在高分辨率图像处理中，小波变换可以将图像分解成不同频率的子图像，从而实现对图像的局部增强。
具体而言，小波变换通过对图像进行一系列的低通和高通滤波操作，得到图像的低频和高频部分。
低频部分包含图像的整体信息，而高频部分则包含图像的细节信息。
通过调整滤波器的参数，可以实现对图像不同频率成分的增强。
在图像增强的过程中，小波变换可以应用于多个方面。
首先，小波变换可以用于图像的去噪处理。
由于图像采集和传输过程中可能会引入噪声，这些噪声会降低图像的质量。
通过对图像进行小波变换，并对高频部分进行阈值处理，可以将噪声滤除，从而提高图像的清晰度和细节。
其次，小波变换还可以用于图像的边缘增强。
边缘是图像中的重要特征，它可以提供图像的轮廓和结构信息。
通过对图像进行小波变换，并对高频部分进行增强，可以使图像的边缘更加清晰和明显。
此外，小波变换还可以用于图像的亮度和对比度调整。
通过对图像进行小波变换，并对低频部分进行增强，可以改变图像的亮度和对比度，使图像更加鲜明和生动。
然而，小波变换在高分辨率图像处理中也存在一些挑战和限制。
首先，小波变换需要选择合适的小波基函数和尺度，这对于不同的图像和应用场景来说是一个挑战。
不同的小波基函数和尺度会对图像的增强效果产生影响，需要根据具体情况进行选择。
其次，小波变换在处理过程中会引入一定的失真和伪影。
由于小波变换是一种局部分析方法，它可能会导致图像的细节部分出现伪影，从而影响图像的质量。
是第8章小波变换在图像去噪与图像增强中的应用本章集中讨论小波在图像去噪与图像增强中的应用，首先研究基于小波的图像去噪方法。
设原图像（即待恢复的图像）为[]{},:,,,f i j i j I N =,被噪声污杂的图像（即观察到的图像）为[]{},:,,,g i j i j I N =，并设[][][],,,,,,,g i j f i j i j i j I N ε=+= (0.1)其中[],i j ε是噪声分量，独立同分布于()20,N πσ，且与[],f i j 独立，去噪的目的是得到[],f i j 的估计[]ˆ,f i j ，使其均方误差（MSE ）最小，其中[][]()22,,11ˆ,,N i j MSE f i j f i j N ==-∑(0.2)在小波域，利用正交小波变换，（8.1）式变换后既得[][][],,,,,1,,Y i j X i j V i j i j N =+= (0.3)其中Y [],i j 是有噪小波系数，X [],i j 是无噪小波系数，为简单记并考虑到实际问 题的需要，本章对噪声的讨论仅限于加性的高斯白噪声，即V [],i j 为互相独立、与()20,N πσ同分布的噪声分量。
图像去噪在信号处理中是一个经典的问题，传统的去噪方法多采用平均或线性方常用的是Wiener 滤波，但是去噪效果不够好，随着小波理论日趋完善，它以其自身良好的时频特性在图像、信号去噪领域法进行，受到越来越多的关注，开辟了用非线性方法去噪的先河，具体来说，小波去噪的成功主要得益于小波变换有如下特点：低熵性。
小波系数的稀疏分布，使图像变换后的熵降低；多分辩率特性，由于采用了多分辩率的方法，所以可以非常好地刻画信号的非平稳特征，如边缘、尖峰、断点等，可在不同分辩率下根据信号和噪声分布的特点去噪；去相关性。
因小波变换可对信号去相关，且噪声在变换后有白化趋势，所以小波域比时域更利于去噪；选基灵活性。
由于小波变换可以灵活选择基，也可根据信号特点和去噪要求选择多带小波、小波包、平移不变小波等，对不同场合，可以选择不同的小波母函数。
因此，本章重点讨论基于各种小波变换的去噪方法。
8．1信号的奇异性检测与小波模极大值信号（或函数）的奇异性是指信号（或函数）在某处有间断或某阶导数不连续。
显然，无限次可导的函数是光滑的或者说是没有奇异性，奇异点（即突变点）通常包含了信号的重要特征。
在数学上，某信号的奇异性通常可以通过Lipschitz 指数（或奇异指数）来度量。
在小波出现之前，通常用Fourier 变换研究信号在某处有间断、有奇异性的情况，根据信号的Fourier 变换衰减的速度来确定该信号有无奇异性并判断奇异性的大小。
由于Fourier 变换对信号的表示缺乏空间局部性，因而Fourier 变换只能确定信号奇异性的整体性质，无法确定奇异点的空间分布。
而小波变换具有时频局部化特性，能够有效地分析信号的奇异点的位置与奇异性的大小。
S.Mallat 在1992年将Lipschitz 指数与小波变换后系数模的局部极大值联系起来，通过小波变换后局部极大值在不同尺度上的衰减速度来衡量信号的局部奇异性，基于小波变换的信号奇异性检测可以应用于故障诊断、图像的多尺度边缘提取、信号恢复和去噪、语音基因周期检测等领域。
定义8.1设()()2f x L R ∈，称函数()f x 在0x 处具有Lipschitz 指数a ，是指对0x Bx ∀∈（0Bx 是0x 的任意开邻域），存在常数K ，使得|()f x -()0f x |0||a K x x -由定义可知，阶跃信号在突变点处Lipschitz 指数a 为0，脉冲函数在冲击处的Lipschitz 指数为负值，a 越大，函数越光滑，奇异性越小；反之，a 越小表明函数在该点处变换越剧烈，也就是奇异性越大。
例如，()f x 在0x 处可导，则a=1. ()f x 在0x 处不可导，但是在其一个邻域内是有界的，则a=0. 下面通过函数在不同尺度上的小波变换系数的绝对值来衡量函数的Lipschitz 指数。
定理8.1若小波()x ψ是实函数且连续可微，并具有n 价消失矩(),n z +∈()()2f x L R ∈，则函数()f x 在0x 处具有Lipschitz 指数a ，当且仅当存在常数K ，使得0x Bx ∀∈，其小波变换满足()2||2j ja W f x K ≤(0.4)设0x 是函数()f x 局部突变点（奇异点），则在该点处()f x 的小波变换取模极大值。
上述定理表明，若a>0,随着尺度的减小，小波变换后系数模的极大值也减小；若a<0，则随着尺度的减小，小波变换后系数模的极大值反而增大，它表明信号比不连续（且有界，a=0）更加奇异，这就是噪声对应的情况。
对于白噪声，可以证明它是一个几乎处处奇异的随机分布且具有负的Lipschitz指数1,02a εε=--∀>。
设()x π是一个方差为2σ的白噪声，则尺度s 上的小波变换系数Wn(s,x)满足()()()()()2,s s wn s x n u n r x u x r dudr ψψ+∞+∞-∞-∞=--⎰⎰(0.5)由于()()()2E n u n r u r σδ=-⎡⎤⎣⎦可得()()()()()2222(,)s s E wn s x n u n r x u x r dudr sσψψψ+∞+∞-∞-∞=--=⎰⎰(0.6)由上式可知，()2(,)E wn s x 和尺度s 成反比，因此，随着尺度的减少，如果某些小波变换模极大值点的模急剧递增，则信号在这些模极大值点上具有负的Lipschitz 指数，也就是它们几乎被噪声控制。
另外，小波变换的模极大值点的平均密度为()()()212212212s d s ψψπψψ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭(0.7)其中。
()()12,ψψ分别是小波()x ψ的一阶和二阶导数，由（8.7）式可知，小波系数模极大值的密度d S 也与s 成反比，所以，取尺度s=2j,j=1,2,3,…,随着尺度的增大，至少有一半的模极大值点不能传递到较大尺度上，即在某个尺度2j 上是模极大值点，但在较大尺度2j ＋1上不是模极大值点，从而，可以认为那些不能从一个尺度上传递到较大尺度上的模极大值点也是由噪声控制的。
因此，（8.6）和（8.7）式成为区分信号和噪声在多尺度空间中模极大值传播行为的重要特征之一，也是小波方法应用于信号去噪的重要理论依据，可以利用多尺度边缘重建算法恢复原始信号，达到去噪的目的。
8.2阈值去噪方法小波去噪方法中最早被提出的是小波阈值去噪方法，它是一种实现简单而效果较好的去噪方法。
最早的阈值去噪方法为Donoho 提出的VisuShrink 方法。
阈值去噪的思想很简单，就是在小波分解后的各层系数中，对模大于和小于某阈值T 的系数分别处理，然后对处理完的小波系数再反变换重构出一幅经去噪后的图像。
8.2.1阈值函数的选取在阈值去噪中，阈值函数体现了对超低和低于阈值的小波系数模的不同处理策略以及不同估计方法，设ψ是原始小波系数，η（ψ）表示阈值化后的小波系数，T 是阈值，(){1,0,X X I x =是真是假代表示性函数，常用的阈值函数有： （a ） 硬阈值函数（见图8-1（a ））()()||T ηωωω=I >(0.8)（b ） 软阈值函数（见图8-1（b ））()()()sgn T)||T ηωωωω=-I >（(0.9)在图8.1中，横坐标表示信号（或图像）的原始小波系数，纵座标表示阈值化后的小波系数。
A.G.Bruce 分析了软、硬阈值萎缩方法在高斯噪声条件下的偏差、方差及L 2风险公式，并得出以下结论○1给定阈值T ，软阈值总比硬阈值萎缩造成的方差小； ○2当系数充分大时，软阈值比硬阈值方差造成的偏差大； ○3当系数在T 附近时，硬阈值方法有较大的方差、L 2风险及偏差；两种方法在系数较小时，L 2风险都很小。
因此，硬阈值方法可以很好地保留图像边缘等局部特征，但图像会出现振铃、伪吉布斯效应等视觉失真，而软阈值处理相对要平滑，但可能会造成边缘模糊等失真现象，为了克服硬阈值方法的上述缺陷，Gao 等提出了一种半软阈值函数（见图8-1（c ）），可以兼顾软阈值和硬阈值方法的优点，其表达式如下：()()()()2112221T ||T sgn I(T ||T )||T T T ωηωωωωω-=<<+I >-(0.10)其中120T T <<虽然半软阈值方法能表现出较好的去噪效果，但是它将要估计两个阈值，实现起来较困难，因此这个缺点限制了它的应用。
另外，Zhang 在软阈值的基础上，对其改进使其具有更高价（见图8-1（d ））：()()2k 12kTT ,T 2k 11,||T 2k 1T TT ,T 2k 1ωωηωωωωω+⎧+-<-⎪+⎪⎪=≤⎨+⎪⎪-+>⎪⎩+ (0.11)可以看出它在噪声（小波系数）与有用信号（小波系数）之间存在一个平滑过渡区，更符合自然图像的连续特性。
目前，关于阈值函数的研究不多，现在小波阈值去噪法中最常用的是软阈值函数。
8.2.2阈值的估计小波阈值去噪方法除了阈值函数的选取，另一个关键因素是对阈值的具体估计，如果阈值太小，去噪后的信号仍然有噪声的存在；相反，阈值太大，重要图像特征又将被过滤掉，引起偏差，从直观上看，对于给定的小波系数，噪声越大，阈值就越大，以下介绍几种经典的阈值估计方法。
（1） Visushrink 阈值最早的小波阈值去噪方法是Donoho 在1994年提出的VisuShrink 方法（或称统一阈值去噪方法）。
它是针对多维独立正态变量联合分布，在维数趋向无穷时得出的结论，是基于最小最大估计得出的最优阈值。
阈值T 的选择满足T σ=其中πσ是噪声标准方差，N 是信号的长度。
Donoho 证明了这种估计在信号属于Besov 集时，在大量风险函数下获得近似理想的去噪风险，而现实生活的大 部分信号、图像都近似可由Besov 集建模。
然而由于这种阈值与信号的长度N 相关，当N 较大时，阈值趋向于将所有的小波系数值零，这就往往产生“过扼杀”系数的现象，虽然该方法有很好的理论支撑，但实际应用效果并不好，有人分析其根本原因在于这一准则是用渐近分析的手段推出来的，但对于实际问题而言，图像复杂性相对于尺寸是很重要的。
（2） SUREShrink 阈值SUREShrink 阈值估计方法是在SURE （Stein ’s Unbiased Risk Estimation ）准则下得到的阈值，该准则是均方差准则的无偏估计，它是专门针对软阈值函数得出的结论，且SURE 阈值趋近于理想阈值。
