第3课时 用一元二次方程解决几何图形问题

第3课时 用一元二次方程解决几何图形问题

基础题

知识点1 一般图形的问题

1．(衡阳中考)绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米．设绿地的宽为x米，根据题意，可列方程为( )

A．x(x－10)＝900 B．x(x＋10)＝900

C．10(x＋10)＝900 D．2[x＋(x＋10)]＝900

2．(白银中考)用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为( )

A．x(5＋x)＝6 B．x(5－x)＝6

C．x(10－x)＝6 D．x(10－2x)＝6

3．(宿迁中考)一块矩形菜地的面积是120 m2，如果它的长减少2 m，那么菜地就变成正方形，则原菜地的长是________m.

4．一个直角三角形的两条直角边相差5 cm，面积是7 cm2，这两条直角边长分别为________________．

5．(自贡中考)利用一面墙(墙的长度不限)，另三边用58 m长的篱笆围成一个面积为200 m2的矩形场地，求矩形的长和宽．

知识点2 边框与甬道问题

6．如图，在宽为20 m，长为32 m的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540 m2，求道路的宽．如果设小路宽为x m，根据题意，所列方程正确的是( )

A．(20－x)(32－x)＝540

B．(20－x)(32－x)＝100

C．(20＋x)(32－x)＝540

D．(20－x)(32＋x)＝540

7．如图所示，在一块正方形空地上，修建一个正方形休闲广场，其余部分铺设草坪，已知休闲广场的边长是正方形空地边长的一半，草坪的面积为147 m2，则休闲广场的边长是________m.

8．如图所示，某小区计划在一个长为40米，宽为26米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的甬路，使其中两条与AB垂直，另一条与AB平行，其余部分种草，若使每一块草坪的面积都为144平方米，求甬路的宽度．

中档题

9．(宁夏中考)如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行道的宽度为x米，则可以列出关于x的方程是( )

A．x2＋9x－8＝0

B．x2－9x－8＝0

C．x2－9x＋8＝0

D．2x2－9x＋8＝0

10．(襄阳中考)如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12 m的住房墙，另外三边用25 m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1 m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80 m2?

11．在高度为2.8 m的一面墙上，准备开凿一个矩形窗户．现用9.5 m长的铝合金条制成如图所示的窗框．问：窗户的宽和高各是多少时，其透光面积为3 m2(铝合金条的宽度忽略不计)?

12．某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2∶1.在温室内，沿前侧内墙保留3 m宽的空地，其他三侧内墙各保留1 m宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是288 m2?

综合题

13．已知，如图，在△ABC中，∠B＝90°.AB＝5 cm，BC＝7 cm.点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动．

(1)如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4 cm2?

(2)如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5 cm?

(3)在问题(1)中，△PBQ的面积能否等于7 cm2？说明理由．

参考答案

基础题

1.B 2.B 3.12 4.2 cm、7 cm

5.设垂直于墙的－边长为x米，由题意，得x(58－2x)＝200.解得x1＝25，x2＝4.∴另一边长为8米或50米．答：矩形长为25米宽为8米或矩形长为50米宽为4米．

6.A 7.7

8.设甬路的宽度为x米．依题意，得(40－2x)(26－x)＝144×6.解得x1＝2，x2＝44(不合题意，舍去)．答：甬路的宽度为2米．

中档题

9.C

10.设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为x m，则平行于住房墙的一边长为(26－2x)m.依题意，得x(26－2x)＝80.解得x1＝5，x2＝8.当x＝5时，26－2x＝16>12(舍去)；当x＝8时，26－2x＝10<12.答：所建矩形猪舍的长为10 m，宽为8 m．

11.设窗户的高为x m，则窗户的宽为9.5－2x－0.53＝3－23x(m)，则根据题意列方程为：x(3－23x)＝3，解得x1＝1.5，x2＝3(不合题意，舍去)．所以窗户的高为1.5 m，宽为3－23×1.5＝2(m)．

12.设矩形温室的宽为x m，则长为2x m．根据题意，得(x－2)·(2x－4)＝288.解得x1＝－10(不合题意，舍去)，x2＝14.所以x＝14，2x＝2×14＝28.答：当矩形温室的长为28 m，宽为14 m时，蔬菜种植区域的面积是288 m2.

综合题

13．(1)设x秒后，△PBQ的面积等于4 cm2.根据题意，得x(5－x)＝4.解得x1＝1，x2＝4.∵当x＝4时，2x＝8>7，不合题意，舍去．∴x＝1.(2)设x秒后，PQ＝5，则(5－x)2＋(2x)2＝25.解得x1＝0(舍去)，x2＝2.∴x＝2.(3)设x秒后，△PBQ的面积等于7 cm2.根据题意，得x(5－x)＝7.此方程无解．所以不能．

周周练(21.2.3～21.3)

(时间：45分钟 满分：100分)

一、选择题(每小题4分，共32分)

1．小新在学习解一元二次方程时，做了下面几个填空题：

(1)若x2＝9，则x＝3；

(2)方程mx2＋m2x＝0(m≠0)，则x＝－m；

(3)方程2x(x＋1)＝x＋1的解为x＝－1．

其中，答案完全正确的有( )

A．0个 B．1个

C．2个 D．3个

2．已知α，β满足α＋β＝5，αβ＝6，则以α，β为根的一元二次方程是( )

A．x2－5x＋6＝0

B．x2－5x－6＝0

C．x2＋5x＋6＝0

D．x2＋5x－6＝0

3．(衡阳中考)若关于x的方程x2＋3x＋a＝0有一个根为－1，则另一个根为( )

A．－2 B．2

C．4 D．－3

4．解方程3(x－1)2＝6(x－1)，最适当的方法是( )

A．直接求解 B．配方法

C．因式分解法 D．公式法

5．多项式a2＋4a－10的值等于11，则a的值为( ) A．3或7 B．－3或7

C．3或－7 D．－3或－7

6．经计算整式x＋1与x－4的积为x2－3x－4，则一元二次方程x2－3x－4＝0的所有根是( )

A．x1＝－1，x2＝－4

B．x1＝－1，x2＝4

C．x1＝1，x2＝4

D．x1＝1，x2＝－4

7．某厂一月份生产产品50台，计划二、三月份共生产产品120台，设二、三月份平均每月增长率为x，根据题意，可列出方程为( )

A．50(1＋x)2＝60

B．50(1＋x)2＝120

C．50＋50(1＋x)＋50(1＋x)2＝120

D．50(1＋x)＋50(1＋x)2＝120

8．(哈尔滨中考改编)今年我市计划扩大城区绿地面积，现有一块长方形绿地，它的短边长为60 m，若将短边增长到与长边相等(长边不变)，使扩大后的绿地的形状是正方形，则扩大后的绿地面积比原来增加1 600 m2，那么扩大后的正方形绿地边长为( )

A．120 m

B．100 m

C．85 m

D．80 m

二、填空题(每小题4分，共24分)

9．(聊城中考)一元二次方程x2－2x＝0的解是______________．

10．一元二次方程x2＋bx＋c＝0的两根互为倒数，则c＝________． 11．设一元二次方程x2－7x＋3＝0的两个实数根分别为x1和x2，则x1＋x2＝_______，x1x2＝_______．

12．(南昌中考)已知一元二次方程x2－4x－3＝0的两根为m，n，则m2－mn＋n2＝________．

13．已知：如图所示的图形是一无盖长方体的铁盒平面展开图.若铁盒的容积为3 m3，则根据图中的条件，可列出方程：____________．

14．(巴彦淖尔中考)某校要组织一次乒乓球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排2天，每天安排5场比赛．设比赛组织者应邀请___个队参赛．

三、解答题(共44分)

15．(20分)用适当的方法解下列方程：

(1)(徐州中考)x2－2x－3＝0；

(2)(x＋2)2＝2x＋4；

(3)(3x＋1)2－4＝0；

(4)4x2－12x＋5＝0；

(5)4(x－1)2－9(3－2x)2＝0.

16．(6分)当x为何值时，32x2＋14(x－1)和13(x－2)互为相反数？

17．(8分)向阳村2013年的人均收入为12 000元，2015年的人均收入为14 520元．求人均收入的年平均增长率．