第2课时 图形面积问题和利润问题
教学目标
1．会列一元二次方程解决与面积、镶嵌、动点、区域规划等有关的几何类应用题．
2．能够在复杂的销售活动过程中，找出等量关系并列一元二次方程求解．
教学重点
实际问题中等量关系的确定．
教学难点
通过分析图形面积之间的等量关系以及商品销售过程中的数量关系建立一元二次方程的数学模型．
教学设计一师一优课 一课一名师 (设计者： )
教学过程设计
一、创设情景 明确目标
要设计一本书的封面，封面长27 cm，宽21 cm，正中央是一个矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下、左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？
学生思考回答：
归纳导入：根据题意可列方程(27－2x)(21－2x)＝1,4×27×21；一元二次方程也可以解决几何图形的面积问题，本节我们将探究如何利用几何图形的面积公式构建一元二次方程分析解决实际问题．
二、自主学习 指向目标
1．自学教材第20至21页．
2．学习至此：请完成学生用书“课前预习”部分．
三、合作探究 达成目标
探究点一 与图形面积有关的问题
活动一：出示教材第20页探究3，相互交流思考下面的问题：
(1)题目中有什么数量关系？怎样设未知数？根据什么列方程？
(2)为什么说上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是9∶7?
(3)对于方程(27－18x)(21－14x)＝3,4×27×21，如何求解较为简单？
(4)问题中隐含着怎样的不等关系？
【展示点评】中央的长方形所占面积是封面面积的四分之三为题中存在的等量关系；封面、中央长方形的长宽比均为9∶7，根据比例性质上、下边衬与左、右边衬的宽度之比也是9∶7；方程(27－18x)(21－14x)＝3,4×27×21用公式法解较为简单；问题中隐含不等关系x＜3.
【小组讨论】除了教材中的解法还有其他解法吗？
【反思小结】教材运用的是面积较好表达的中央长方形的面积占封面面积的3,4列方程求解的，体现了转化的思想，值得同学们注意．另外，直接由中央长方形的长宽比也为9∶7列方程求解，如果设中央长方形的长、宽分别为9x cm、7x cm，列方程显得更为简单．
1 一元二次方程应用题的一般解题步骤
解决问题有三个重要环节：
1、完整地系统审清题意；
2、把握住问题中的等量关系；
3、正确地求解方程并检验解的合理性。
一、 一元二次方程应用题问题的一般解题步骤
1、 审题：认真读题，明确哪些是已知数，它们之间的关系是怎样的。
2、 设未知数：用字母表示未知数，这个未知数可能是一个直接未知数，也可能是一个间接未知数。
3、列方程：先确定一个等量关系，再用含所设未知数的字母代数式表示这个等量关系，得到一元二次方程。
3、 解方程：选用合适的方法解这个一元二次方程。
4、 检验：检验所求出的一元二次方程的根是否符合题意。
5、 答：用总结性的语言写出题目最终答案。
常见类型
1、传播问题
1、有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
2、某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？
3、某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，请用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染多少台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？
2、循环问题
2 1、在一次象棋比赛中，实行单循环赛制（即每个选手都与其他选手比赛一局），每局赢者记2分，输者记0分，如果平局，两个人各记1分，今有4个同学统计了比赛中全部选手得分总和，结果分别是2005、2004、2070、2008，经核实确定只有一位同学统计无误，试计算这次比赛中共有多少名选手参赛。
2、参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有多少个队参加比赛？
3、 参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛90场比赛，共有多少个队参加比赛？
4.生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，这个小组共有多少名同学？
第2课时 利用一元二次方程解决面积问题
一、学习目标：
1、在已有的一元二次方程的学习基础上，能够对生活中的实际问题进行数学建模解决问题，从而进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型。
2、积极主动参与课堂自主探究和合作交流，并在其中体验发现问题、提出问题及解决问题的全过程，提高自己的数学应用能力。
3、感受数学的严谨性，形成实事求是的态度及进行质疑和激发思考的习惯。
二、知识准备
解方程2708250xx，并叙述解一元二次方程的解法。
三、学习内容
（一）情景问题
小明把一张边长为10cm的正方形硬纸板的四周剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方形盒子。
（1）如果要求长方体的底面面积为81cm2，那么剪去的小正方形边长为多少？
（2）如果按下表列出的长方体底面面积的数据要求，那么剪去的正方形边长会发生什么样的变化？折合成的长方体的体积又会发生什么样的变化？
（二）、尝试解决问题
1、长方形的底面、正方形的边长与正方形硬纸板中的什么量有关系？
（长方形的底面正方形的边长与正方形硬纸板的边长有关系）
2、长方形的底面正方形的边长与正方形硬纸板的边长存在什么关系？
（长方形的底面正方形的边长等于正方形硬纸板的边长减去剪去的小正方形边长的2倍）
3、你能否用数量关系表示出这种关系呢？并求出剪去的小正方形的边长。
解：设剪去的正方形边长为xcm，依题意得：
2(10)81x，109x，11x，29x，
因为正方形硬纸板的边长为10cm，所以剪去的正方形边长为1cm。
4、请问长方体的高与正方形硬纸板中的什么量有关系？求出此时长方体的体积。
（长方体的高与正方形硬纸板式剪去的小正方形的边长一样；体积为381181cm） 5、完成表格，与你的同伴一起交流，并讨论剪去的正方形边长发生什么样的变化？折合成的长方体的体积又会发生什么样的变化？
利用一元二次方程解决面积问题教案
1．能够建立一元二次方程模型解决有关面积的问题；(重点、难点)
2．能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性．(难点)
一、情景导入
如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上，修筑同样宽的两条平行且与另一条相互垂直的道路，余下的六个相同的部分作为耕地，要使得耕地的面积为5000m2，道路的宽为多少？
二、合作探究
探究点：利用一元二次方程解决面积问题
如图所示，某幼儿园有一道长为16m的墙，计划用32m长的围栏靠墙围成一个面积为120m2的矩形草坪ABCD，求该矩形草坪BC边的长．
解析：若设BC长为xm，则宽AB可表示为32－x2m，由矩形的面积公式“面积＝长×宽”可列方程求解．
解：设矩形草坪BC边的长为xm，则宽AB为32－x2m.
根据题意，得x·32－x2＝120.
解得x1＝12，x2＝20.
又由题意知BC≤16，∴x＝20不符合题意，应该舍去．
∴该矩形草坪BC边的长为12m.
方法总结：(1)结合图形分析数量关系是解决面积等几何问题时的关键；(2)注意检验一元二次方程的根是否符合题意．
将一条长20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形． (1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？
(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．
解析：做成的是两个正方形，且已知两个正方形的面积之和，只需设出正方形的边长或用未知数表示出边长，列方程解答即可．
解：设一个正方形的周长为xcm，则另一个正方形的周长为(20－x)cm.
(1)由题意可列方程(x4)2＋(20－x4)2＝17.解此方程，得x1＝16，x2＝4.
所以两段铁丝的长度分别为16cm和4cm；
(2)由题意可列方程(x4)2＋(20－x4)2＝12，
此方程化为一般形式为x2－20x＋104＝0.
