七年级数学培优资料下册

第一章 整式的乘除

知识要点

一、概念

1、代数式：由数和表示数的字母经过加、减、乘、除、乘方和开方等运算所得的式子称为代数式。

2、单项式:由数字与字母的乘积的代数式叫做单项式。单项式不含加减运算，分母中不含字母。

3、多项式:几个单项式的和叫做多项式。多项式含加减运算。

4、整式:单项式和多项式统称为整式。（与整式相对应的是分式，分母中含有字母的代数式）

二、公式、法则：

（1）同底数幂的乘法：am﹒an=am+n（同底幂数相乘，底数不变，指数相加。） 逆用： am+n =am﹒an（指加，幂乘，同底）

（2）同底数幂的除法：am÷an=am-n（a≠0）。（同底数幂相除，底数不变，指数相减）逆用：am-n = am÷an（a≠0）（指减，幂除，同底）

（3）幂的乘方：（am）n =amn（幂的乘方，底数不变，指数相乘）

逆用：amn =（am）n

（4）积的乘方：（ab）n=anbn （积的乘方等于积中各因式乘方的积）

逆用： anbn =（ab）n（当ab=1或-1时常逆用）

（5）零指数幂：a0=1（注意考底数范围a≠0）。

（6）负指数幂：11()(0)pppaaaa(底倒，指反)

（7）单项式与多项式相乘：m(a+b+c)=ma+mb+mc。

（8）多项式与多项式相乘：(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb。

（9）平方差公式：（a+b）(a-b)=a2-b2

公式特点：（有一项完全相同，另一项只有符号不同，结果=22()相同）（不同 推广（项数变化），连用变化。

（10）完全平方公式：222222()2,()2,abaabbabaabb

逆用：2222222(),2().aabbabaabbab

完全平方公式变形（知二求一）：

222()2ababab

222()2ababab

222212[()()]ababab22222212()2()2[()()]ababababababab22()()4ababab

2214[()()]ababab

例如：229x+mxy+4y是一个完全平方和公式，则m= ；是一个完全平方差公式，则m= ；

（11）多项式除以单项式的法则:().abcmambmcm

（12）常用变形：221((nnxyxy2n2n+1）=(y-x), ）=-(y-x)

巩固提高练习

2229.4,10xyxyxy已求①知：的值

222222xxyxyy②的值

第二章《平行线与相交线》

一、知识结构图

余角

余角 补角

补角

角 两线相交 对顶角

同位角

三线八角 内错角

同旁内角

平行线的判定

平行线

平行线的性质

尺规作图

二、基本知识提炼整理

（一）余角与补角

1、如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角，简称为互余，称其中一个角是另一个角的余角。

2、如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角，简称为互补，称其中一个角是另一个角的补角。

3、互余和互补是指两角和为直角或两角和为平角，它们只与角的度数有关，与角的位置无关。

4、余角和补角的性质：同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等。

5、余角和补角的性质用数学语言可表示为：

（1）如果00001290(180),1390(180),则23(同角的余角或补角相等)。

（2）如果00001290(180),3490(180),且14,则23(等角的相交线与平行线

余角（或补角）相等)。

6、余角和补角的性质是证明两角相等的一个重要方法。

（二）对顶角

1、两条直线相交成四个角，其中不相邻的两个角是对顶角。

2、一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。

3、对顶角的性质：对顶角相等。

4、对顶角的性质在今后的推理说明中应用非常广泛，它是证明两个角相等的依据及重要桥梁。

5、对顶角是从位置上定义的，对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角。

（三）同位角、内错角、同旁内角

1、两条直线被第三条直线所截，形成了8个角。

2、同位角：两个角都在两条直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对角叫做同位角。

3、内错角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，这样的一对角叫做内错角。

4、同旁内角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对角叫同旁内角。

5、这三种角只与位置有关，与大小无关，通常情况下，它们之间不存在固定的大小关系。

（四）六类角

1、补角、余角、对顶角、同位角、内错角、同旁内角六类角都是对两角来说的。

2、余角、补角只有数量上的关系，与其位置无关。

3、同位角、内错角、同旁内角只有位置上的关系，与其数量无关。

4、对顶角既有数量关系，又有位置关系。

（五）平行线的判定与性质

平行线的判定 平行线的性质

1、同位角相等，两直线平行

2、内错角相等，两直线平行

3、同旁内角互补，两直线平行

4、平行于同一条直线的两直线平行

5、垂直于同一条直线的两直线平行 1、两直线平行，同位角相等

2、两直线平行，内错角相等

3、两直线平行，同旁内角互补

4、经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行

（六）尺规作线段和角

1、在几何里，只用没有刻度的直尺和圆规作图称为尺规作图。

2、尺规作图是最基本、最常见的作图方法，通常叫基本作图。

3、尺规作图中直尺的功能是：

（1）在两点间连接一条线段；

（2）将线段向两方延长。

4、尺规作图中圆规的功能是：

（1）以任意一点为圆心，任意长为半径作一个圆；

（2）以任意一点为圆心，任意长为半径画一段弧；

5、熟练掌握以下作图语言：

（1）作射线××；

（2）在射线上截取××=××；

（3）在射线××上依次截取××=××=××；

（4）以点×为圆心，××为半径画弧，交××于点×；

（5）分别以点×、点×为圆心，以××、××为半径作弧，两弧相交于点×；

（6）过点×和点×画直线××（或画射线××）；

（7）在∠×××的外部（或内部）画∠×××=∠×××；

6、在作较复杂图形时，涉及基本作图的地方，不必重复作图的详细过程，只用一句话概括叙述就可以了。

（1）画线段××=××； （2）画∠×××=∠×××；

巩固提高训练一

一、判断题

1．两直线相交，有公共顶点的角是对顶角． （ ）

2．同一平面内不相交的两条线段必平行． （ ）

3．一个钝角的补角比它的余角大90º． （ ）

4．平面内两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，则同位角也相等． （ ）

5．如果一个角等于它的补角，那么这个角一定是直角． （ ）

6．如果m∥L，n∥L，那么根据等量代换，有m∥n． （ ）

7．如图1，∠1与∠2是同位角． （ ）

8．如果两条直线平行，那么同旁内角的平分线互相垂直． （ ）

9．如图2，直线a、b、c交于一点，则图中有三对对顶角． （ ）

10．如图3，如果直线AB∥DE，则∠B＋∠C＋∠D＝180º． （ ）

二、填空题

11．一个角的补角与这个角的余角的度数比是3:1，则这个角是

度．

12．如图4，点O是直线AB上一点，∠AOD＝120º，∠AOC＝90º，OE平分∠BOD，则图中互为补角的角有 对．

13．如图5，将一张长方形纸片的一角斜折过去，顶点A落在A′处，BC为折痕，再将BE翻折过去与BA′重合，BD为折痕，那么两条折痕的夹角∠CBD＝ 度．

14．如图6，与∠1成同位角的角有 ；与∠1成内错角的是 ；与∠1成同旁内角的角是 ．

15．如图7，∠1＝∠2，∠DAB＝85º，则∠B＝ 度．

16．如图8，已知∠1＋∠2＝180º，则图中与∠1相等的角有 个.

17．如图9，直线a、b都与直线c相交，给出下列条件：

①∠1＝∠2 ②∠3＝∠6 ③∠1＝∠8 ④∠5＋∠8＝180º

其中能判断a∥b的条件是： .