学案2：3.2 立体几何中的向量方法 ——利用向量方法求角
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3.2 立体几何中的向量方法
—— 利用向量方法求角
【对点讲练】
知识点一 求异面直线所成的角
已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的所有棱长都是1，且∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，E、F分别为A1B1与BB1的中点，求异面直线BE与CF所成角的余弦值．
正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是A1D1、A1C1的中点．求：异面直线AE与CF所成角的余弦值．
知识点二 求线面角
正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为2a，求AC1与侧面ABB1A1所成的角．
如图所示，已知直角梯形ABCD，其中AB＝BC＝2AD，AS⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，且AS＝AB.求直线SC与底面ABCD的夹角θ的余弦．
知识点三 求二面角
如图，四棱锥P－ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥PD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝AD＝PB＝3.点E在棱PA上，且PE＝2EA.求二面角A－BE－D的余弦值．
若PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC＝2，求二面角A—PB—C的余弦值．
课堂小结：
1．两条异面直线所成角的求法
(1)向量求法：设直线a、b的方向向量为a、b，其夹角为φ，则有cosθ＝|cosφ|＝|a·b||a|·|b|.
(2)两异面直线所成的角可以通过这两条直线的方向向量的夹角来求得，但二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角．
2．直线与平面所成角的求法
设直线l的方向向量为a，平面的法向量为u，直线与平面所成的角为θ，a与u的夹角为φ，则有sinθ＝|cosφ|＝|a·u||a||u|或cosθ＝sinφ.
3．二面角的求法
AB与CD→的夹角(如图①所示)．
(2)设n1、n2是二面角α—l—β的两个面α、β的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)就是二面角的平面角的大小(如图②所示)．
【课时作业】
一、选择题
1．若直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角是150°，则l1与l2这两条异面直线所成的角等于( )
A．30° B．150° C．30°或150° D．以上均错
2．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于150°，则直线l与平面α所成的角等于( )
A．30° B．60°
C．150° D．以上均错
3．直角三角形ABC的斜边AB在平面α内，直角顶点C在α内的射影是C′，则△ABC′是( )
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．锐角三角形 D．各种情况都有可能
4．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N，P分别是棱CC1，BC，A1B1上的点，若∠B1MN＝90°，则∠PMN的大小是( )
A．等于90° B．小于90°
C．大于90° D．不确定
5．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为( )
A.12 B.23 C.33 D.22
二、填空题
6．若两个平面α，β的法向量分别是n＝(1,0,1)，ν＝(－1,1,0)．则这两个平面所成的锐二面角的度数是________．
7．正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N分别是DD1，B1C1的中点，P是棱AB上的动点，则A1M与PN所成的角是________．
三、解答题
8．已知正四棱锥S—ABCD的侧棱长为2，底面的边长为3，E是SA的中点，求异面直线BE和SC所成的角．
9．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，已知AB＝4，AD＝3，AA1＝2，E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB＝FB＝1，
(1)求二面角C—DE—C1的正切值；
(2)求直线EC1与FD1所成角的余弦值．
10．正三棱锥O—ABC的三条侧棱OA、OB、OC两两垂直，且长度均为2.E、F分别是AB、AC的中点，H是EF的中点，过EF的一个平面与侧棱OA、OB、OC或其延长线分别相交于A1、B1、C1，已知OA1＝32.
(1)求证：B1C1⊥平面OAH；
(2)求二面角O—A1B1—C1的余弦值．
参考答案
【对点讲练】
例1【答案】 解 如图所示，
设AB = a，AD = b，1AA = c.
则| a | = | b | = | c | =1，
〈 a,b〉=〈b,c〉=〈a,c〉= 60°,
∴a·b = b·c = a·c =
12，
而BE =1BB +1BE =12a + c.
CF=CB+BF=b + 12c,
∴|BE|
＝14|a|2＋|c|2－a·c ＝ 32，|CF|＝32.
∴BE·CF＝－12a＋c·－b＋12c
＝12a·b－14a·c－b·c＋12c2＝18，
cos〈BE，CF〉＝BECFBECF••= 16 ,
∴异面直线BE与CF夹角的余弦值是16.
【反思感悟】 在解决立体几何中两异面直线所成角的问题时，首选向量法，利用向量求解．若能构建空间直角坐标系，求解则更为简捷方便.
变式迁移1【答案】 解 不妨设正方体棱长为2，分别取DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，则A(2,0,0)、C(0,2,0)、
E(1,0,2)、F(1,1,2)，由AE＝(－1,0,2)，
CF＝(1，－1,2)，得|AE| ＝5，|CF|
＝6.
∴ AE·CF＝－1＋0＋4＝3.
又AE·CF= |AE|·|CF|·cos〈AE,CF〉
=30 cos〈AE,CF〉,
∴cos〈AE,CF〉=3010,
∴异面直线AE与CF所成角的余弦值为3010
例2【答案】解 方法一
建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(0，a,0)，
A1(0,0，2a)，C1－32a，a2，2a，取A1B1中点M，则M0，a2，2a，连结AM、MC1，有1MC＝－32a，0，0，AB＝(0，a,0)，1AA＝(0,0，2a)，
由于1MC·AB = 0，1MC·1AA = 0，
∴MC1⊥面ABB1A1.
∴∠C1AM是AC1与侧面A1B所成的角θ.
∵1AC = －32a，a2，2a , AM＝0，a2，2a，
∴1AC·AM＝0＋a24＋2a2＝9a24. 而|1AC| ＝3a24＋a24＋2a2＝3a，
|AM|＝a24＋2a2＝32a，
∴cos〈1AC
, AM〉＝9a243a×3a2＝32.
∴〈1AC ，AM 〉＝30°，
即AC1与侧面AB1所成的角为30°.
方法二
(法向量法)(接方法一)
1,AA＝(0,0，2a)，AB＝(0，a,0)，
设侧面A1B的法向量n＝(λ，x，y)．
∴n·AB＝0且n·AA1→＝0
∴ax＝0，且2ay＝0.
∴x＝y＝0，故n＝(λ，0,0)．
∵ 1AC＝－32a，a2，2a，
∴cos〈1AC, n〉＝113223anACnACa••••.
设所求线面角为θ，则sinθ＝|cos〈.1AC，n〉|＝12，θ＝30°.
【反思感悟】 充分利用图形的几何特征建立适当的空间直角坐标系，再用向量有关知识求解线面角．方法二给出了一般的方法，先求平面法向量与斜线夹角，再进行换算．
变式迁移2 【答案】 解 由题设条件知，可建立以AD为x轴，AB为y轴，AS为z轴的空间直角坐标系(如图所示)．设AB＝1，则A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(1,1,0)，D12，0，0，S(0,0,1)．
∴AS＝(0,0,1)， CS→＝(－1，－1,1)．
AS是底面的法向量，它与已知向量CS→是底面的法向量，
它与已知向量CS→的夹角β＝90°－θ，故有sinθ＝cosβ＝AS→·CS→|AS→||CS→|＝11×3＝33，
于是cosθ＝1－sin2θ＝63.
例3【答案】解 以B为原点，以BC、BA、BP分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
设平面EBD的一个法向量为n1＝(x，y,1)，
因为BE＝(0,2,1)，BD→＝(3,3,0)，
由110,0,nBEnBD•• 得 2y＋1＝03x＋3y＝0，
所以 x＝12y＝－12，
于是n1＝(12，－12，1)．
又因为平面ABE的一个法向量为
n2＝(1,0,0)，
所以，cos〈n1，n2〉＝16＝66.
所以，二面角A－BE－D的余弦值为66.
【反思感悟】 几何法求二面角，往往需要作出平面角，这是几何中一大难点，而用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角，只需求出平面的法向量，经过简单运算即可，从而体现了空间向量的巨大作用．
变式迁移3【答案】 解
