(最新整理)二次函数与几何综合

二次函数与几何综合

初三秋季•二次函数与几何综合•学生版

1二次函数与几何综合

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2

讲次标题课程内容

知识

章节等级难度

星级

模块一：等腰三角形的存在性

模块二：直角三角形的存在性

模块三：平行四边形的存在性

模块四：特殊平行四边形的存

在性

模块五：全等三角形的存在性

模块六：相似三角形的存在性

模块七：二次函数与线段

模块八：二次函数与角

模块九：二次函数与圆初三秋季代几综合

模块十：二次函数与面积初中3级★★★★☆

模块一 等腰三角形的存在性二次函数与几何综合二次函数与几何综合

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3 解等腰三角形的存在性问题时，若没有明确指出等腰三角形的底或腰，就需要分类讨论，

做题的画法是：两圆一线。

等腰三角形的另一个顶点在线段AB的垂直平分线上，或在以A，B为圆心，AB长为半径的

圆上（不与AB共线）.

解题策略：

（1）几何法：先分类讨论,再画出等腰三角形，后计算。(利用锐角三角形函数、相似三角

形等知识解决)

（2）代数法：先罗列三边长，再分类讨论列方程，然后解方程并检验。

【例题1】在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCO的顶点A、C分别在y轴、x轴正半轴上，点P

在AB上,PA=1，AO=2．经过原点的抛物线y=mx2﹣x+n的对称轴是直线x=2．

（1）求出该抛物线的解析式．

(2)如图1，将一块两直角边足够长的三角板的直角顶点放在P点处，两直角边恰好分别经过点O

和C．现在利用图2进行如下探究：

①将三角板从图1中的位置开始，绕点P顺时针旋转，两直角边分别交OA、OC于点E、F,当点E

和点A

重合时停止旋转．请你观察、猜想，在这个过程中，的值是否发生变化?若发生变化,

说明理由；若不发生变化，求出的值．二次函数与几何综合

初三秋季•二次函数与几何综合•学生版4②设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为D，顶点为M,在①的旋转过程中,是否存在点F，

使△DMF为等腰三角形？若不存在,请说明理由．

【例题2】已知，如图,在平面直角坐标系中，点A坐标为（﹣2，0）,点B坐标为（0，2），

点E为线段AB上的动点（点E不与点A，B重合）,以E为顶点作∠OET=45°，射线ET交线段0B

于点F，C为y轴正半轴上一点，且OC=AB，抛物线y=﹣x2+mx+n的图象经过A，C两点．二次函数与几何综合

初三秋季•二次函数与几何综合•学生版5（1）求此抛物线的函数表达式；

(2）求证：∠BEF=∠AOE；

(3）当△EOF为等腰三角形时，求此时点E的坐标;

（4）在（3）的条件下，当直线EF交x轴于点D，P为（1)中抛物线上一动点，直线PE交x

轴于点G，在直线EF上方的抛物线上是否存在一点P，使得△EPF的面积是△EDG面积的（2+1）

倍？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在,请说明理由．二次函数与几何综合

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6解直角三角形的存在性问题时，若没有明确指出直角三角形的直角，就需要进行分类讨论.

以线段AB为边的直角三角形构造方法如图：

A B模块二 直角三角形的存在性二次函数与几何综合

初三秋季•二次函数与几何综合•学生版7解题策略：

（1)几何法：先分类讨论直角,再画出直角三角形,后计算。

（2)

代数法：先罗列三边长，再分类讨论直角，根据勾股定理列出方程，然后解方程并检验。二次函数与几何综合

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8【例题】在平面直角坐标系中，现将一块含30°的直角三角板ABC放在第二象限，30°角所对

的直角边AC斜靠在两坐标轴上,且点A（0，3），点C（﹣，0）,如图所示，抛物线y=ax2+3

ax﹣3a(a≠0)经过点B．

(1）写出点B的坐标与抛物线的解析式；

（2）在抛物线上是否还存在点P(点B除外）,使△ACP仍然是以AC为直角边的含30°角的直

角三角形？若存在，求所有点P的坐标；

（3）设过点B的直线与交x轴的负半轴于点D，交y轴的正半轴于点E，求△DOE面积的最小值．二次函数与几何综合

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9模块三 平行四边形的存在性二次函数与几何综合

初三秋季•二次函数与几何综合•学生版10解平行四边形的存在性问题，一般有两个类型：

(1）“三个定点，一个动点”

① 作平行线:以已知三个定点为三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两

相交,

产生3个交点．

② 倍长中线

③ 中点坐标公式

（2）“两个定点,两个动点"

① 作平行线：把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况

② 中点坐标公式

【例题】已知抛物线y=﹣mx2+4x+2m与x轴交于点A(α，0），B

（β,0），且=﹣2，

（1）求抛物线的解析式．

(2）抛物线的对称轴为l，与y轴的交点为C,顶点为D，点C关于l的对称点为E，是否存在x

轴上的点M，y轴上的点N,使四边形DNME的周长最小？若存在,请画出图形（保留作图痕迹），

并求出周长的最小值;若不存在，请说明理由．

（3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上,当以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，

求点P的坐标．二次函数与几何综合

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11在三角形或者平行四边形的基础上增加一些条件则可以得到特殊平行四边形：

① 矩形的存在性：转化为直角三角形的存在性;

② 菱形、正方形的存在性:转化为等腰三角形、平行四边形的存在性.

【例题1】如图，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A(﹣1，0),B（3，0)两点，且与y轴交于点C，点D

是抛物线的顶点,抛物线的对称轴DE交x轴于点E,连接BD．

（1）求经过A，B,C三点的抛物线的函数表达式;

(2）点P是线段BD上一点，当PE=PC时，求点P的坐标；

（3）在（2)的条件下，过点P作PF⊥x轴于点F，G为抛物线上一动点，M为x轴上一动点，N

为直线PF上一动点，当以F、M、N、G为顶点的四边形是正方形时，请求出点M的坐标．模块四 特殊平行四边形的存在性二次函数与几何综合

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12【例题2】如图，在矩形OABC中，OA=5,AB=4，点D为边AB上一点,将△BCD沿直线CD折叠，

使点B恰好落在边OA上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系．

(1)求OE的长及经过O，D，C三点抛物线的解析式；

（2）一动点P从点C出发，沿CB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时动点Q从E点

出发，沿EC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P到达点B时，两点同时停止运动，

设运动时间为t秒，当t为何值时，DP=DQ；

(3）若点N在(1）中抛物线的对称轴上,点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使M，N，C，E

为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点坐标;若不存在，请说明理由．二次函数与几何综合

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13二次函数与几何综合

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14 全等三角形的存在性问题的解题策略：

（1）当有一个三角形固定时（三角形中所有边角为定值）,另一个三角形会与这个固定的三角

形有一个元素相等；再根据全等三角形的判定,利用三角函数的知识(画图）或列方程来求解.

（2）当两个三角形都不固定时(三角形中有角或边为变量）,若条件中有一条边对应相等时，就

要使夹这条边的两个角对应相等，或其余两条边对应相等;若条件中有一个角对应相等时，就

要使夹这个角的两边对应相等,或再找一角和一条边对应相等。

【例题1】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+4与x轴的一个交点为A（﹣2，0),与y

轴的交点为C，对称轴是x=3，对称轴与x轴交于点B．

（1)求抛物线的函数表达式；

(2)若点D在x轴上，在抛物线上是否存在点P，使得△PBD≌△PBC？若存在，直接写出点P的

坐标;若不存在，请说明理由．模块五 全等三角形的存在性二次函数与几何综合

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15【例题2】如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣，0）、B（3，0）、C（0,3）三点，线段BC

与抛物线的对称轴相交于D．该抛物线的顶点为P,连接PA、AD、DP，线段AD与y轴相交于点E．

（1）求该抛物线的解析式;

(2）在平面直角坐标系中是否存在点Q，使以Q、C、D为顶点的三角形与△ADP全等？若存在，

求出点Q的坐标;若不存在，说明理由;

(3)将∠CED绕点E顺时针旋转，边EC旋转后与线段BC相交于点M，边ED旋转后与对称轴相

交于点N，连接PM、DN，若PM=2DN，求点N的坐标（直接写出结果）．二次函数与几何综合

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16模块六 相似三角形的存在性二次函数与几何综合

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17相似的基本模型

1、A字型 2、反A字型 3、“8”字型 4、反“8”字型 5、双垂直 6、一线三等角

【例题1】如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1,0），B（4,0），C（0，2)三点．

(1）求这条抛物线的解析式；

(2)E为抛物线上一动点，是否存在点E,使以A、B、E为顶点的三角形与△COB相似？若存在，

试求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若将直线BC平移，使其经过点A，且与抛物线相交于点D,连接BD，试求出∠BDA的度数．