二次函数与相似三角形综合题
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二次函数与相似三角形二次函数与相似三角形
例1 如图1，已知抛物线xx
41
y2
+-=的顶点为A，且经过原，与x轴交于点O、B。
（1）若点C在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且以O、C、D、B四点为顶点的四
边形为平行四边形，求D点的坐标；点的坐标；
（2）连接OA、AB，如图2，在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使得△OBP与△OAB
相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。点的坐标；若不存在，说明理由。
分析:1.当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线．．．．．．．
为四边形的边和对角线来考虑问题
以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形要分类讨论:按OB为边和对角线两种情况
2. . 函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径
① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边
．和角
．的特点，进而得出已知三
角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。
②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、三角函数、三角函数、对称、对称、旋转等知
识来推导边的大小。识来推导边的大小。 ③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长
度，之后利用相似来列方程求解。度，之后利用相似来列方程求解。
解:⑴如图1,当OB为边即四边形OCDB是平行四边形时,CD∥
＝
OB,
由1)2x(
4102+--=得4x,0x
21==,
∴B(4,0),OB＝4.
∴D点的横坐标为6
将x＝6代入1)2x(
41
y2
+--=,得y＝－3,
∴D(6,－3);
例1题图题图 图1
OA
By
xOA
Byx
图2
COA
B
Dy
x
图1
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根据抛物线的对称性可知,在对称轴的左侧抛物线上存在点D,使得四边形ODCB是平行四边
形,此时D点的坐标为(－2,－3),
当OB为对角线即四边形OCBD是平行四边形时,D点即为A点,此时D点的坐标为(2,1)
⑵如图2，由抛物线的对称性可知:AO＝AB,∠AOB＝∠ABO.
若△BOP与△AOB相似,必须有∠POB＝∠BOA＝∠BPO
设OP交抛物线的对称轴于A′点,显然A′(2,－1)
∴直线OP的解析式为x
21
y-=
由xx
41
x
212
+-=-,
得6x,0x
21==
.∴P(6,－3)
过P作PE⊥x轴,在Rt△BEP中,BE＝2,PE＝3,
∴PB＝13≠4.
∴PB≠OB,∴∠BOP≠∠BPO,
∴△PBO与△BAO不相似,
同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的P点.
所以在该抛物线上不存在点P,使得△BOP与△AOB相似.
例2 （2013凉山州压轴题）如图，抛物线y=﹣x2
+x+4交x轴于A、B两点，与y轴交于点C，
以OCOC、、OA为边作矩形OADC交抛物线于点G．
（1）抛物线的对称轴l在边OAOA（不包括（不包括O、A两点）上平行移动，分别交x轴于点E，交
CD于点F，交AC于点M，交抛物线于点P，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示PM
的长；的长；
（2）在（）在（11）的条件下，连结PCPC，则在，则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P，使得以
P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似？若存在，求出此时m的值，并直接判断△PCM的形
状；若不存在，请说明理由．状；若不存在，请说明理由．
考点：二次函数综合题．
分析：（1）将A（3，0），C（0，4）代入y=ax2
﹣2ax+c，运用待定系数法即可求出抛物线的
解析式； E
A'OA
B
Py
x
图2
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（2）先根据A、C的坐标，用待定系数法求出直线AC的解析式，进而根据抛物线和直线AC
的解析式分别表示出点P、点M的坐标，即可得到PM的长；
（3）由于∠PFC和∠AEM都是直角，F和E对应，则若以P、C、F为顶点的三角形和△AEM
相似时，分两种情况进行讨论：①△PFC∽△AEM，②△CFP∽△AEM；可分别用含m的代数式
表示出AE、EM、CF、PF的长，根据相似三角形对应边的比相等列出比例式，求出m的值，
再根据相似三角形的性质，直角三角形、等腰三角形的判定判断出△PCM的形状．
解答：解：（1）∵抛物线y=ax2
﹣2ax+c（a≠0）经过点A（3，0），点C（0，4），
∴，解得，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2
+x+4；
（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，
∵A（3，0），点C（0，4），
∴，解得，
∴直线AC的解析式为y=﹣4
3x+4．
∵点M的横坐标为m，点M在AC上，
∴M点的坐标为（m，﹣4
3 m+4），
∵点P的横坐标为m，点P在抛物线y=﹣x2
+x+4上，
∴点P的坐标为（m，﹣ m2
+m+4），
∴PM=PE﹣ME=（﹣m2+m+4）﹣（﹣4
3m+4）=﹣m2+7
3m，
即PM=﹣m2
+7
3m（0＜m＜3）；
（3）在（2）的条件下，连结PC，在CD上方的抛物线部分存在这样的点P，使得以P、C、
F为顶点的三角形和△AEM相似．理由如下：由题意，可得AE=3﹣m，EM=﹣m+4，CF=m，PF=
﹣m2
+m+4﹣4=﹣m2
+m．
若以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似，分两种情况：①若△PFC∽△AEM，则PF：AE=FC：
EM，
即（﹣m2
+m）：（3﹣m）=m：（﹣ m+4），
∵m≠0且m≠3，
∴m=．
∵△PFC∽△AEM，∴∠PCF=∠AME，
∵∠AME=∠CMF，∴∠PCF=∠CMF．
在直角△CMF中，∵∠CMF+∠MCF=90°，
∴∠PCF+∠MCF=90°，即∠PCM=90°，
∴△PCM为直角三角形；
②若△CFP∽△AEM，则CF：AE=PF：EM，
即m：（3﹣m）=（﹣m2
+m）：（﹣m+4），
∵m≠0且m≠3，
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y
xEQP
CB
O
A∴m=1．
∵△CFP∽△AEM，∴∠CPF=∠AME，
∵∠AME=∠CMF，∴∠CPF=∠CMF．
∴CP=CM，
∴△PCM为等腰三角形．
综上所述，存在这样的点P使△PFC与△AEM相似．此时
m的值为或1，△PCM为直角三角形或等腰三角形．
点评：此题是二次函数的综合题，其中涉及到运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析
式，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形、等腰三角形的判定，难度适中．要
注意的是当相似三角形的对应边和对应角不明确时，要分类讨论，以免漏解．
练习 1、已知抛物线2253
33yxx
=-
+经过53
(33)0
2PEæö
ç÷
ç÷
èø，，，
及原点(00)O
，
．
（1）过P
点作平行于x
轴的直线PC
交y
轴于C
点，在抛物线对称轴右侧且位于直线PC
下方的抛物线上，任取一点Q
，过点Q
作直线QA
平行于y
轴交x
轴于A
点，交直线PC
于
B
点，直线QA
与直线PC
及两坐标轴围成矩形OABC
．是否存在点Q
，使得OPC
△
与
PQB
△
相似？若存在，求出Q
点的坐标；若不存在，说明理由．点的坐标；若不存在，说明理由．
（2）如果符合（2）中的Q
点在x
轴的上方，连结OQ
，矩形OABC
内的四个三角形
OPCPQBOQPOQA
，，，△△△△之间存在怎样的关系？为什么？之间存在怎样的关系？为什么？
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（1）存在．）存在．
设Q
点的坐标为()mn
，
，则2253
33nmm
=-+，
要使,BQPB
OCPPBQ
CPOC=△∽△，则有33
33nm
--
=
，即2253
3
3
33
33mm
m+--
=
解之得，
12232mm
==，
．
当
123m
=时，2n
=，即为Q
点，所以得(232)Q
，
要使,BQPB
OCPQBPOCCP
=△∽△
，则有33
33nm
--
=
，即2253
3
3
33
33mm
m+-
-
=
解之得，
12333mm
==
，
，当3m
=时，即为P
点，点，
当
133m
=时，3n
=
-，所以得(333)Q
-，．
故存在两个Q
点使得OCP
△
与PBQ
△
相似．相似． Q
点的坐标为(232)(333)-，，，
．
（2）在RtOCP△
中，因为3
tan
3CP
COP
OCÐ==．所以30COP
Ð=．
当Q
点的坐标为(232)，
时，30BPQCOP
Ð=Ð=．
所以90OPQOCPBQAO
Ð=Ð=Ð=Ð=．
因此，OPCPQBOPQOAQ
，，，△△△△
都是直角三角形．都是直角三角形．
又在RtOAQ
△
中，因为3
tan
3QA
QOA
AOÐ==．所以30QOA
Ð=．
即有30POQQOAQPBCOP
Ð=Ð=Ð=
Ð=．
所以OPCPQBOQPOQA
△∽△∽△∽△
，
又因为QPOPQAOA
，⊥⊥30POQAOQ
Ð=
Ð=，
