二次函数与相似三角形之间的综合题

二次函数与相似三角形之间的综合题型教学设计

田敏

教材分析：

1、二次函数是初中数学新人教版二十二章的内容，是一种常见的函数，应用非常广泛，它是客观地反映现实世界中变量之间的数量关系和变化规律的一种非常重要的数学模型。也是中考的必考内容之一，中考分值已超过了10%。所以在初中数学中占着重要的地位。

学情分析：

2、二次函数与几何图形的综合也是这几年中考的热点题型。 应用信息技术解决重点难点的地方：本节课主要体现二次函数的与相似三角形的综合性试题。重在思考线路。

3、学习二次函数，对学生进入高中后进一步学习函数的一般性质起着承上启下的作用。同时也是学习物理等其他学科的重要工具。 （一）二次函数综合——二次函数与相似三角形存在问题

适用学科 数学 适用年级 初三

适用区域 人教版 课时时长（分钟） 40

知识点 .二次函数综合与三角形相似的综合

教学目标 1. 熟练运用所学知识解决二次函数综合问题

2．灵活运用数形结合思想

教学重点 巧妙运用数形结合思想解决综合问题

教学难点 灵活运用技巧及方法解决综合问题 教学过程

一、复习预习

1.二次函数的基础知识

2.勾股定理

3.相似三角形的性质

二、知识梳理

考点1 二次函数的基础知识

1.一般地，如果y=ax2+bx+c（a，b，c是常数且a≠0），那么y叫做x的二次函数，它是关于自变量的二次式，二次项系数必须是非零实数时才是二次函数，这也是判断函数是不是二次函数的重要依据．当b=c=0时，二次函数y=ax2是最简单的二次函数．

2.二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的三种表达形式分别为：一般式：y=ax2+bx+c，通常要知道图像上的三个点的坐标才能得出此解析式；顶点式：y=a（x－h）2+k，通常要知道顶点坐标或对称轴才能求出此解析式；交点式：y=a（x－x1）（x－x2），通常要知道图像与x轴的两个交点坐标x1，x2才能求出此解析式；对于y=ax2+bx+c而言，其顶点坐标为（－2ba，244acba）．对于y=a（x－h）2+k而言其顶点坐标为（h，k），•由于二次函数的图像为抛物线，因此关键要抓住抛物线的三要素：开口方向，对称轴，顶点．

考点2 勾股定理及逆定理

1.定理：直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方。（即：a2+b2=c2） 2.勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用有：（1）已知直角三角形的两边求第三边

（2）已知直角三角形的一边和另两边的关系，求直角三角形的另两边

（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题

3.逆定理：如果三角形的三边长：a，b，c，则有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。

4.用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形应注意：

（1）首先确定最大边，不妨设最长边为c。

（2）验证c2和a2+b2是否具有相等的关系，若a2+b2=c2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形。

考点3 相似三角形的性质

1.相似三角形对应角相等，对应边成正比例。

2.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。

3.相似三角形周长的比等于相似比。

4.相似三角形面积的比等于相似比的平方。

5.相似三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相似比相同，内切圆、外接圆面积比是相似比的平方

6.若a/b =b/c，即b²=ac，b叫做a,c的比例中项

7.c/d=a/b 等同于ad=bc.

8.相似三角形的性质

（1）相似三角形对应角相等，对应边成比例. （2）相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.

（3）相似三角形周长的比等于相似比

三．例题讲解

例1.如图，Rt△AOB的两直角边OA、OB的长分别是1和3，将△AOB绕O点按逆时针方向旋转90°，至△DOC的位置．

(1)求过C、B、A三点的二次函数的解析式；

(2)若(1)中抛物线的顶点是M，判定△MDC的形状，并说明理由．

解：（1）由题意知，C、B、A三点的坐标分别为：C（-3，0）、B（0，3）、A（1，0）；

设二次函数的解析式为y=a（x-1）（x+3），依题意，有：a（0-1）（0+3）=3，解得：a=-1（此方法为交点式法）

故过C、B、A三点的二次函数的解析式为y=-x2-2x+3．

（2）△MDC是等腰直角三角形，理由如下：

由（1）知，抛物线的解析式：y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，则M（-1，4）；

易知：C（-3，0）、D（0，1），则：

MC2=（-1+3）2+（4-0）2=20，

MD2=（-1-0）2+（4-1）2=10， CD2=（-3-0）2+（0-1）2=10 （根据已知和题中所给的条件确定定值即MC、 MD、 CD长度）

则MC2=MD2+CD2，且MD=CD，（依据题目要求，按照事物的性质即勾股定理逆定理来完成题目所求）

因此△MDC为等腰直角三角形．

解析:（1）△OCD是由△OBA旋转所得，因此OB=OC、OA=OD，所以由OA、OB的长，即可得出A、B、C、D四点的坐标，利用待定系数法即可求出过C、B、A三点的二次函数的解析式．即用一般式法也可以完成

（2）由（1）的二次函数解析式不难求出顶点M的坐标，在已知M、C、D三点坐标的情况下，由坐标系两点间的距离公式可求出MD、CD、MC三边的长，再由三边长来判断△MCD的形状．

例2.直线113yx分别交x轴、y轴于A、B两点，△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°后得到△COD，且A与C对应B与D对应，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A、C、D三点．

(1) 写出点A、B、C、D的坐标；

(2) 求经过A、C、D三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G的坐标；

(3) 在直线BG上是否存在点Q，使得以点A、B、Q为顶点的三角形与△COD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】

（1）A(3，0)，B(0，1)，C(0，3)，D(－1，0)．

（2）因为抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(3，0)、C(0，3)、D(－1，0) 三点，所以930,3,0.abccabc 解得1,2,3.abc

所以抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，顶点G的坐标为(1，4)．（这里也可以用交点式法求解析式,因为（1）中已经得到了与x轴的两个交点坐标，A(3,0) D(-1,0)再代入 C(0,3)，得y=-(x-3)(x+1).最后可以将其化成一般式）

（3）如图2，直线BG的解析式为y＝3x＋1，直线CD的解析式为：

y＝3x＋3，因此CD//BG．

因为图形在旋转过程中，对应线段的夹角等于旋转角，所以AB⊥CD．因此AB⊥BG，即∠ABQ＝90°．（按题目要求找出定量、定性）

因为点Q在直线BG上，设点Q的坐标为(x，3x＋1)，那么22(3)10BQxxx．（设未知数代出题中需要的关系）

Rt△COD的两条直角边的比为1∶3，如果Rt△ABQ与Rt△COD相似，存在两种情况：（按照题目要求列出满足要求的关系式）

①当3BQBA时，10310x．解得3x．所以1(3,10)Q，2(3,8)Q．

②当13BQBA时，101310x．解得13x．所以31(,2)3Q，41(,0)3Q．

【解析】

1．图形在旋转过程中，对应线段相等，对应角相等，对应线段的夹角等于旋转角．

2．用待定系数法求抛物线的解析式，用配方法求顶点坐标．

3．第（3）题判断∠ABQ＝90°是解题的前提．

4．△ABQ与△COD相似，按照直角边的比分两种情况，每种情况又按照点Q与点B的位置关系分上下两种情形，点Q共有4个．

四，课堂练习

1. 如图，直线y=-x+3与x轴、y轴分别相交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一交点为A，顶点为P．

①求该抛物线的解析式和A点的坐标；

②连接AC，BP，求证：△BCP∽△OCA；

③在x轴上找一点Q，使得以点P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似，请求出点Q的坐标．

2.如图，抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C（0，－2）三点．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）P是抛物线上的一个动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的 点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标． ,

课程小结

本节课主要研究了二次函数和相似三角形的点存在性问题，考查了学生是否能够灵活运用二次函数的图象与性质、待定系数法、解一元二次方程、勾股定理、相似三角形的性质、等知识点解决实际问题，注重数形结合思想及分类思想的运用。

作业设计

作业设计目的是要有层次性，由易到难逐层深入。先必须克服学生对二次函数的恐惧心里，接着完成一些简单计算，再深入中档题型，最后达到举一反三。

1、如图，直线y=－x+3与x轴、y轴分别相交于B、C，经过B、C两点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴另一交点为A，顶点为P，且对称轴是直线x=2，

（1）求抛物线解析式；

（2）连结AC，请问在x轴上是否存在点Q，使得以点P、B、Q为顶点的三角形与△ACB相似，若存在，请求出Q点坐标；若不存在，说明理由.

（3）D点为第四象限的抛物线上一点，过点D作DE⊥x轴，交CB于E，垂足于H，过D作DF⊥CB，垂足为F，交x轴于G，试问是否存在这样的点D，使得△DEF的周长恰好被x轴平分？若能，请求出D点坐标；若不能，请说明理由

2 如图，在平面直角坐标系xoy中，抛物线y=x2向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线y=(x-h)2+k，所得抛物线与x轴交于A、B两点(点AC

B O A X Y