《椭圆及其标准方程》教学设计

《椭圆及其标准方程》教学设计

教材分析

椭圆及其标准方程是学习圆锥曲线的基础，它的学习方法对后续要学习的双曲线、抛物线具有导向和引领作用。同时，本节课的学习也是求曲线方程的深化和巩固。本节课通过创设情景、动手操作、总结归纳，应用提升等探究性活动，学习椭圆定义和椭圆标准方程，使学生掌握坐标法的应用规律和学习圆锥曲线的基本思想方法，培养学生的数学创新精神和实践能力。本节课在教学中有两条线，明线是椭圆的定义，椭圆的标准方程及其简单应用，暗线是通过椭圆定义的发生教学，也就是从椭圆的形成过程中探究发现其内在的数学本质特征和联系，使学生学会从几何形式研究其数学本质的思想方法，形成探究发现的意识和能力。

教学目标

1.知识与技能：掌握椭圆的定义和椭圆标准方程；

2.过程与方法：

（1）经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，感受数学来源于生活，又应用于生活；能通过动手操作，归纳、概括椭圆的定义；

（2）通过椭圆标准方程的推导，使学生进一步掌握求曲线方程的一般方法，并渗透数形结合的思想方法，提高运用坐标法解决几何问题的能力；

3.情感、态度和价值观：

(1)通过动手操作和探究,激发学生的求知欲，培养学生浓厚的学习兴趣。

(2)进行数学美育（简洁美、对称美）的渗透教育。

教学重点

掌握椭圆的定义及标准方程，理解坐标法的基本思想．(学生动手操作，直观认识椭圆，对比分析掌握椭圆标准方程.)

教学难点

椭圆标准方程的推导与化简．(类比圆的标准方程的推导过程，设置问题，分散突破难点)

课型结构：

新授课

教学方法

启发、引导，讨论，动手相结合

教具准备

多媒体课件、直尺、图钉、细绳．

教学过程

一、创设情境，认识椭圆．

活动1：对椭圆的感性认识.

通过演示课前准备的生活中有关椭圆的实物和图片，让学生从感性上认识椭圆.

活动2：“嫦娥二号”模拟轨道图．

2010年10月1日，我国第二颗探月卫星“嫦娥二号”发射成功,这标志着我国航天事业又上了一个新台阶，这是中国人的骄傲．你知道“嫦娥二号”绕地球飞行的运行轨道是什么吗？（课件演示轨道图）

引入课题：椭圆及其标准方程．

（设计意图：利用多媒体，展示学生常见的椭圆形状的物品，让学生从感性上认识椭圆；通过“嫦娥二号”的轨道录像，让学生感受生活中的椭圆模型，激发学生的学习兴趣.）

二、动手实验，直观感知．

活动3、学生动手画椭圆．(教师利用几何画板演示)

(1)取一条细绳；

（2）把细绳的两端合在一起用图钉固定在板上；

(3)用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在板上慢慢移动观察画出的图形是什么？

（4）若把细绳的两个端点分开，用图钉固定在板上的F1、F2两点；再用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在板上慢慢移动，观察画出的图形是什么？

活动4、分析实验，得出规律．

(1)在画出一个椭圆的过程中，细绳的两端的位置是固定的还是运动的？

(2)在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？

(3)在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？

(4)改变绳子长度与两定点距离的大小，轨迹又是什么？

学生总结规律：1212||||||MFMFFF 轨迹为椭圆；

1212||||||MFMFFF轨迹为线段 ；

1212||||||MFMFFF轨迹不存在．

（设计意图：通过动手实验，让学生体会椭圆上点的运动规律，为归纳椭圆定义做铺垫．同时，学生因为圆与椭圆的联系，可以类比圆来学习椭圆.）

三、总结归纳，形成概念．

定义：平面内，到两个定点1F、2F的距离之和等于常数（大于12FF）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.

思考2：如何利用集合语言表示椭圆定义？ )22(221caaMFMF.

四、合理建系，推导方程．

问题1.复习求曲线的方程的基本步骤：

（1）建系；（2）设点；（3）列式；（4）化简；（5）证明（可省略）

问题2.如何选取坐标系？

【学情预设】学生可能会建系如下几种情况：

方案一：把F1、F2建在x轴上，以F1F2的中点为原点；

方案二：把F1、F2建在x轴上，以F1为原点；

方案三：把F1、F2建在x轴上，以F1F2与x轴的左交点为原点；

方案四：把F1、F2建在y轴上，以F1F2的中点为原点；

通过讨论、分析，选择方案一，建立平面直角坐标系.

活动5、推导椭圆的标准方程．

选取建系方案,让学生动手，尝试推导.

按方案一：以过1F、2F的直线为x轴，线段12FF的垂直平分或线为y轴，建立平面直角坐标系．（如图1）

设)0(221ccFF，点),(yxM为椭圆上任意一点，

则aMFMFMP221（称此式为几何条件）， x y

1F 2F

M

O

图1 ∴ 得aycxycx22222

（想一想：下面怎样化简？）

问题3、我们怎么化简带根式的式子？对于本式是直接平方好还是整理后再平方好呢？化简，得 )()(22222222caayaxca．

探究：b的引入

由椭圆的定义可知，ca22,∴220ac．让点M运动到y轴正半轴上（如图2），由学生观察图形

直观获得a，c的几何意义，进而自然引进b，

此时设222cab，于是得222222bayaxb，

两边同时除以22ba，得到方程：222210xyabab（称为椭圆的标准方程）．

思考3、你能类比焦点在x轴上的椭圆标准方程的建立过程，建立焦点在y轴上的椭圆的标准方程吗？

活动6、归纳、概括椭圆标准方程的形式特征

（1）椭圆标准方程形式：它们都是二元二次方程，左边是两个分式的平方和，右边是1；

（2）椭圆标准方程中三个参数a,b,c的关系：222cab)0(ba；

（3）椭圆焦点的位置由标准方程中分母的大小确定.

五、尝试应用

例1、指出下列椭圆标准方程中a、b的值，写出焦点坐标． F1xy0MF2图2bca

例2、已知椭圆的两个焦点的坐标分别是40，、40，，椭圆上一点到两焦点距离的和等于10.求椭圆的标准方程.

变式1：将上题焦点改为(0,4)、(0,4)，结果如何？

变式2：将上题改为两个焦点的距离为8，椭圆上一点P到两焦点的距离和等于10，结果如何？

练习、已知椭圆的两个焦点坐标分别是（-2，0）、（2，0），并且经过点P)23,25(，求它的标准方程.

六、回顾反思，归纳提炼.

1.椭圆定义；

2.椭圆标准方程；

3.解题思想方法．

七、课后作业

1、习题2.2 A组1，2

2、椭圆2214xym的焦距是2，则实数m的值是（ ）

（A）5 （B）8 (C)3或5 (D) 3

3、已知1F、2F是椭圆2212549xy的两个焦点，过1F的直线与椭圆交于A、B两点，则2ABF的周长为（ ）

（A）86 （B）20 (C)24 (D) 28

4、如果方程221xky表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（ ）

（A）0, （B）0,2 (C) 1, (D) 0,1 149)1(22yx41625)2(22yx5、选做题：方程221AxBy什么时候表示椭圆？什么时候表示焦点在x轴上的椭圆？什么时候表示焦点在y轴上的椭圆？

6、课堂延伸，再激兴趣：

①.一条动直线上有三个点，其中两个点沿一个固定的直角的两个边滑动，求第三个点的轨迹。（鲍克勒斯（B.Proclus,410-485）轨迹）. （以三角板为模型试试）

②.卡丹（Cardano,1510-1576）旋伦:一个圆盘沿另一大圆盘的內沿滚动，大圆盘半径是小圆盘半径的2倍。那么小圆盘上任标定的一点的轨迹是什么？

③.折纸活动：在一张圆形纸片内部设置一个不同于圆心的点，折叠纸片，使圆的周界上有一点落于设置点，折叠数次，形成一系列折痕，它们便整体的勾画出一条曲线的轮廓.请你动手试试，折出的是什么曲线呢？

八、板书设计：

九、教学反思

本节课的设计以“教师为主导,学生为主体”的现代教学思想，遵循从直观

认识到抽象概括的教学原则,通过引导学生亲自动手尝试画图、发现椭圆的形成过程进而归纳出椭圆的定义,培养学生观察、辨析、归纳问题的能力;让椭圆生动灵活地呈现在学生面前,更有助于学生理解椭圆的内涵和外延.在椭圆标准方程推导过程中,精心设置问题,让学生先从目的、再从方法上考虑,引导学生对比、分析,师生共同完成.通过经历椭圆方程的化简,增强了学生战胜困难的意志品质并体会数学的简洁美、对称美.

课后作业的设置,帮助学生巩固所学知识，习题的不同层次更为学有余力的学生留有进一步探索、发展的空间.课堂延伸部分不仅能拓宽学生的知识面，更能使学生进一步认识椭圆，感受数学来源于生活，又应用于生活.

不足之处是，本节课课容量大，教师需要借助多媒体辅助教学，精心设置问题，组织语言，才能突出重点，突破难点，更好的完成教学任务.