《椭圆及其标准方程》教学设计

《椭圆及其标准方程》教学设计

【教学目标】

1．理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程，在化简椭圆方程过程中提高学生的运算能力。

2．经历椭圆概念的产生过程，学习从形象到抽象，从具体到一般的数学方法，掌握数学概念的数学本质，提高学生的归纳概括能力。

3．充分发挥学生在学习中的主体地位，引导学生活动、观察、思考、合作、探究、归纳、交流、反思，促进合作意识的形成；通过对椭圆定义的严密化，培养学生形成扎实严谨的科学作风；通过经历椭圆方程的化简,增强学生战胜困难的意志品质并体会数学的简洁美、对称美。

【重点难点】

重点：椭圆的定义、椭圆的标准方程、坐标法的基本思想

难点：椭圆标准方程的推导与化简

【教法学法】

学生动手实践、自主探究、合作交流的教学方法。按照“创设情境——学生实验——意义建构——形成理论——知识应用——回顾反思——巩固提高”的程序设计教学过程。

【教学过程】

（一） 创设情境

请同学们看大屏幕。这是一辆丰田车，谁能猜测一下这辆车标的含义？

师：用椭圆寓意地球，是设计者的初衷。因为椭圆的产生，和两个定点有关，这体现了汽车开发商与客户心连心。

设计意图：使学生产生学习兴趣和探索欲望

（二）学生实验

1．学生通过动手实践、观察，猜想轨迹为椭圆

2．展示学生成果

3．动态演示动点生成轨迹的全过程，印证猜想

4．展示椭圆实际应用的幻灯片

5．导出新课：看来，大家对椭圆并不陌生，但细想想，我们对椭圆也说不上有多熟悉，除了“她”的名字和容貌，我们对“她”的品性几乎还一无所知．数学是一门严谨的科学，我们不能满足于直观感受，我们希望对椭圆有更深刻的认识，比如：椭圆上所有的点所具有的共同的几何特征是什么；能否用代数方法精确地刻画出这种共同的几何特征？

设计意图：从学生实验中导出新课，明确研究课题

（三）感知定义

椭圆定义的初步生成

学生每3人一组，合作探究，教师巡视指导．

请学生代表本小组交流探究结论：根据椭圆画法，从中归纳椭圆定义——与两个定点的距离之和为定长（绳长）的点的轨迹为椭圆（绳长大于两定点间距离）．

（四）形成理论

1．椭圆定义的完善

提出问题：要想用上面那句话作为椭圆的定义，要保证它足够严密、经得起推敲．那么，

-551042-2-4F2F1A1A2B2B1OM这个常数可以是任意正实数吗？有什么限制条件吗？

引导学生回答：在“定义”中需要加上“常数>12FF”的限制。继续深化问题：若常数=12FF或常数<12FF,情况会发生什么变化？

应用平面几何中的“三角形任意两边之和大于第三边”、“两点之间线段最短”为理论依据，得出结论：当常数=12FF时，与两个定点21,FF的距离之和等于常数的点的轨迹是线段12FF；当常数<12FF时，与两个定点21,FF的距离之和等于常数的点的轨迹不存在．

请学生给出经过修改的椭圆定义，教师用幻灯片给出完善的椭圆定义，并介绍焦点、焦距的定义．

设计意图：使学生经历椭圆概念的生成和完善过程，提高其归纳概括能力，加深对椭圆本质的认识，并逐渐养成严谨的科学作风

2．椭圆的标准方程

(1)回顾用坐标法求动点轨迹方程的一般步骤：建系设点、写出动点满足的几何约束条件、坐标化、化简、证明等价性

(2)建立焦点在x轴上的椭圆的标准方程

①建系设点：观察椭圆的几何特征，如何建系能使方程更简洁？——利用椭圆的对称性特征

以直线12FF为x轴，以线段12FF的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系．设焦距为20cc，则12,0,0FcFc．设,Mxy为椭圆上任意一点，点M与点12FF、的距离之和为222aac．②动点M满足的几何约束条件:

122MFMFa

③坐标化：22222xcyxcya

④化简：化简椭圆方程是本节课的难点，突破难点的方法是引导学生思考如何去根号

预案一：移项后两次平方法

22222222222222222222222222242222222222222222222424221xcyxcyaxcyaxcyxcxcyaxcxcyaxcyaxcyacxaxacxacayaacxcxacxayaacxyaac

分析令222acb得到焦点在x轴上的椭圆的标准方程为222210xyabab

预案二：有理化法：

22222axcyxcyxc（）（），

又22222xcyxcya，

故acxaycx22）（

22222222a2axccxyccxx，

以下同预案一

预案三：

用等差数列法：

设②①）（）（tycxtaycxa2222

2－②①⒉ 得4cx=4at，即t=acx

将t=acx代入①式得

acxaycx22）（ ③

将③式两边平方得出结论。

以下同预案一

设计意图：进一步熟悉用坐标法求动点轨迹方程的方法，掌握化简含根号等式的方法，提高运算能力，养成不怕困难的钻研精神，感受数学的简洁美、对称美

(3)建立焦点在y轴上的椭圆的标准方程

要建立焦点在y轴上的椭圆的标准方程，又不想重复上述繁琐的化简过程，如何去做？此时要借助于化归思想，抓住图(1)与图(2)的联系即可化未知为已知，将已知的焦点在x轴上的椭圆的标准方程转化为焦点在y轴上的椭圆的标准方程．只需将图(1)沿直线yx翻折或将图(1)绕着原点按逆时针方向旋转90即可转化成图(2)，需将x轴、y轴的名称换为y轴、x轴或y轴、x轴．

（1） （2）

焦点在y轴上的椭圆的标准方程为222210yxabab

设计意图：体会数学中的化归思想，化未知为已知，避免重复

(4)辨析焦点分别在x轴、y轴上的椭圆的标准方程的异同点

区别：要判断焦点在哪个轴上，只需比较2x与2y项分母的大小即可．若2x项分母大，则焦点在x轴上；若2y项分母大，则焦点在y轴上．反之亦然．

联系：它们都是二元二次方程，共同形式为2210,0,AxByABAB

两种情况中都有222acb

（五）数学应用——巩固新知

例1：判断分别满足下列条件的动点M的轨迹是否为椭圆

（1）到点12,0F和点22,0F的距离之和为6的点的轨迹；（是）

（2）到点12,0F和点22,0F的距离之和为4的点的轨迹；（不是）

（3）到点10,2F和点20,2F的距离之和为6的点的轨迹；（是）

（4）到点12,0F和点20,2F的距离之和为4的点的轨迹；（不是）

探究一：已知椭圆的方程为： 11003622yx，则a＝____，b＝____，c＝___，

焦点坐标为：___ 、___，焦距等于____。如果曲线上一点P到焦点F1的距离为8，则点P到另一个焦点F2的距离等于______。

设计意图：巩固椭圆定义

例2：已知椭圆的两个焦点的坐标分别是121,01,0FF、，椭圆上一点M到12FF、的距离之和为4，求该椭圆的标准方程．

2222224213143aacbacxy解：椭圆的标准方程为

设计意图：学会用待定系数法求椭圆标准方程

变式一：已知椭圆的两个焦点的坐标分别是120,10,1FF、，椭圆上一点M到12FF、的距离之和为4，求该椭圆的标准方程．

2222224213143aacbacyx解：椭圆的标准方程为

设计意图：提醒学生在解题时先要根据焦点位置判断使用哪种形式的椭圆标准方程

变式二：已知椭圆的两个焦点分别是121,01,0FF、，椭圆经过点31,2M，求该椭圆的标准方程．

222221222335321142132222143aMFMFacbacxy解：椭圆的标准方程为法二：待定系数法设方程。

设计意图：使学生体会椭圆定义在解题中的重要作用

（六）回顾反思

1．一个知识点：椭圆标准方程的求法：定焦定量写方程

2．三种数学方法：平方法、有理化、化等差

3．两种数学思想：数形结合思想、化归思想

（七）课后作业，巩固提高

1．必做题：课本106页习题8．1 1(2)，2，3（1），（2）

2．思考题：

(1)在化简椭圆方程的过程中有2222cxcyaxacxcyaxa　　成立，该式有什么几何含义?你能从函数观点看待等式右端的代数式吗？你能用函数单调性解释椭圆上的点与焦点间距离的变化情况吗？

设计意图：为引入椭圆焦半径公式作适当铺垫，为学习椭圆的几何性质做铺垫，也体现数学知识之间的联系，培养学生养成深入思考的习惯．