第1课 数列的概念及其通项公式(教、学案)

2．1 数列的概念与简单表示法第1课时数列的概念与通项公式【课标要求】1．了解数列、通项公式的概念；了解数列是自变量为正整数的一类函数．2．能根据通项公式确定数列的某一项．3．能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式．【核心扫描】1．数列通项公式的应用．(重点)2．求数列的通项公式．(难点)自学导引1．数列的概念(1)数列：按照一定顺序排列的一列数称为数列；数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，a n，…，简记为{a n}．(2)项：数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)，排在第n位的数称为这个数列的第n项．：数列与数集有什么不同？提示：数列中的数是有序的，而数集中的数是无序的，数列中的数可以相同而数集中的数是互异的．2．数列的分类(1)根据数列的项数可以将数列分为两类：①有穷数列——项数有限的数列．②无穷数列——项数无限的数列．(2)按照数列的每一项随序号变化的情况分类：①递增数列——从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列；②递减数列——从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列；③常数列——各项相等的数列；④摆动数列——从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列．：1,2,3,4和1,2,3,4，…是相同的数列吗？提示：不是．数列1,2,3,4表示有穷数列，而1,2,3,4，…表示无穷数列．3．数列的通项公式如果数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．另外，数列还可以用列表法、图象法、递推公式法等表示．名师点睛1．数列概念的理解(1)有序性：如1,2,3与3,2,1是不同的数列．(2)可重复：如2,2,2是一个数列．(3){a n }与a n 是两个不同的概念：{a n }表示数列a 1，a 2，…，a n ，…，而a n 只表示数列{a n }的第n 项．(4)数列与数集是两个不同的概念，它们主要区别在于：集合中的元素具有无序性和互异性，数列中的项是有序的且可以相同，即如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列，另一方面，同一个数在数列中可以重复出现．2．数列的通项公式(1)如所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式．如2的近似值，精确到1,0.1,0.01，…所构成的数列1,1.4,1.41，…就没有通项公式．(2)有通项公式的数列，其通项公式在形式上不一定是唯一的．如数列－1,1，－1,1，…，它可以写成a n ＝(－1)n ，也可以写成a n ＝(－1)n ＋2等．(3)熟记一些基本数列的通项公式，如：①数列－1,1，－1,1，…的通项公式是a n ＝(－1)n ；②数列1,2,3,4，…的通项公式是a n ＝n ；③数列1,3,5,7，…的通项公式是a n ＝2n －1；④数列2,4,6,8，…的通项公式是a n ＝2n ；⑤数列1,2,4,8，…的通项公式是a n ＝2n －1；⑥数列1,4,9,16，…的通项公式是a n ＝n 2.题型一 数列的有关概念【例1】 下列说法哪些是正确的？哪些是错误的？并说明理由．(1){0,1,2,3,4}是有穷数列；(2)所有自然数能构成数列；(3)－3，－1,1，x,5,7，y,11是一个项数为8的数列；(4)数列1,3,5,7，…，2n ＋1，…的通项公式是a n ＝2n ＋1.[思路探索] 紧扣数列的有关概念完成判断．解 (1)错误．{0,1,2,3,4}是集合，不是数列．(2)正确．如将所有自然数按从小到大的顺序排列．(3)错误．当x ，y 代表数时为项数为8的数列；当x ，y 中有一个不代表数时，便不是数列，这是因为数列必须是由一列数按一定的次序排列所组成．(4)错误．数列1,3,5,7，…，2n ＋1，…的第n 项为2n －1，故通项公式为a n ＝2n －1.(1)数列的项与项数数列的项与项数是两个不同的概念，数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，它是一个函数值，即f (n )；而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是函数值f (n )对应的自变量的值，即n .(2)数列表示法的理解数列{a n }表示数列a 1，a 2，a 3，…，a n ，…，不是表示一个集合，只是借用了集合的表示形式，与集合表示有本质的区别．【变式1】 已知下列数列：(1)2 000,2 004,2 008,2 012；(2)0，12，23，…，n －1n，…； (3)1，12，14，…，12n －1，…； (4)1，－23，35，…，(－1)n －1·n 2n －1，…； (5)1,0，－1，…，sin n π2，…. 其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，摆动数列是________，周期数列是________(将合理的序号填在横线上)．解析 (1)是有穷递增数列；(2)是无穷递增数列(因为n －1n ＝1－1n)； (3)是无穷递减数列；(4)是摆动数列，也是无穷数列；(5)是摆动数列，是无穷数列，也是周期数列，最小正周期为4.答案 (1) (2)(3)(4)(5) (1)(2) (3) (4)(5) (5)题型二 根据数列的前几项写出通项公式【例2】 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式．(1)－1,7，－13,19，…；(2)12，2，92，8，252，…； (3)0.8,0.88,0.888，…；(4)12，14，－58，1316，－2932，6164，…； (5)32，1，710，917，…. [思路探索] 应多角度、全方位地观察，寻找各项之间以及它们与序号n 之间的内在联系．解 (1)符号问题可通过(－1)n 或(－1)n ＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为a n ＝(－1)n (6n －5)．(2)类似(1)统一分母为2，则有12，42，92，162，252，…，因而有a n ＝n 22. (3)将数列变形为89(1－0.1)，89(1－0.01)，89(1－0.001)，…，∴a n ＝89⎝⎛⎭⎫1－110n . (4)各项的分母分别为21,22,23,24，…，易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为－2－32，至此原数列已化为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…， ∴a n ＝(－1)n ·2n －32n . (5)将数列统一为32，55，710，917，…，对于分子3,5,7,9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为b n ＝2n ＋1，对于分母2,5,10,17，…，联想到数列1,4,9,16，…，即数列{n 2}，可得分母的通项公式为c n ＝n 2＋1，∴可得原数列的一个通项公式为a n ＝2n ＋1n 2＋1.此类问题虽无固定模式，但也有规律可循，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．具体方法为：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同．对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系．【变式2】 写出下列数列的一个通项公式：(1)3,5,9,17,33，…；(2)12，34，78，1516，3132，…； (3)23，－1，107，－179，2611，－3713，…； (4)9,99,999,9 999，….解 (1)中3可看做21＋1,5可看做22＋1,9可看做23＋1,17可看做24＋1,33可看做25＋1，….所以a n ＝2n ＋1.(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列为21,22,23,24，…，所以a n ＝2n －12n . (3)偶数项为负而奇数项为正，故通项公式必含因式(－1)n ＋1，观察各项绝对值组成的数列，从第3项到第6项可见，分母分别由奇数7,9,11,13组成，而分子则是32＋1,42＋1,52＋1,62＋1，按照这样的规律第1,2两项可分别改写为12＋12＋1，－22＋12×2＋1，所以a n ＝(－1)n ＋1n 2＋12n ＋1. (4)注意到各项分别加1后，变为10,100,1 000,10 000，…，∴a n ＝10n －1.题型三 数列通项公式的应用【例3】 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n 2－28n .(1)写出数列的第4项和第6项；(2)问－49和68是该数列的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由．【解题流程】[规范解答] (1)根据a n ＝3n 2－28n ，a 4＝3×42－28×4＝－64，a 6＝3×62－28×6＝－60.(6分)(2)令3n 2－28n ＝－49，即3n 2－28n ＋49＝0，∴n ＝7或n ＝73(舍)． ∴－49是该数列的第7项，即a 7＝－49.(10分)令3n 2－28n ＝68，即3n 2－28n －68＝0，∴n ＝－2或n ＝343. ∵－2∉N *，343∉N *， ∴68不是该数列的项．(12分)【题后反思】 (1)数列的通项公式给出了第n 项a n 与它的位置序号n 之间的关系，只要用序号代替公式中的n ，就可以求出数列的相应项．(2)判断某数值是否为该数列的项，先假设是数列的项，列出方程，若方程的解为正整数(项数)，则是该数列的项；若方程无解或解不是正整数，则不是数列的项．【变式3】 已知数列{a n }满足下列条件，写出它的前5项，并归纳出数列的一个通项公式．(1)a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋(2n －1)；(2)a 1＝1，a n ＋1＝2a n a n ＋2. 解 (1)∵a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋(2n －1)，∴a 2＝a 1＋(2×1－1)＝0＋1＝1；a 3＝a 2＋(2×2－1)＝1＋3＝4；a 4＝a 3＋(2×3－1)＝4＋5＝9；a 5＝a 4＋(2×4－1)＝9＋7＝16.故该数列的一个通项公式是a n ＝(n －1)2.(2)∵a 1＝1，a n ＋1＝2a n 2＋a n， ∴a 2＝2a 12＋a 1＝23，a 3＝2a 22＋a 2＝12， a 4＝2a 32＋a 3＝25，a 5＝2a 42＋a 4＝13， ∴它的前5项依次是1，23，12，25，13. 它的前5项又可写成21＋1，22＋1，23＋1，24＋1，25＋1， 故它的一个通项公式为a n ＝2n ＋1.误区警示 忽略数列中n 的取值范围而致误【示例】 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝－2n 2＋29n ＋3，求数列{a n }的最大项．[错解] 由已知，得a n ＝－2n 2＋29n ＋3＝－2⎝⎛⎭⎫n －2942＋10818， ∴数列{a n }中的最大值为10818.可以将数列的通项公式看作函数，因为n 为项的序号，所以定义域为正整数集，解题时往往忽略这一点，误认为定义域为R 而导致出错．[正解] 由已知，得a n ＝－2n 2＋29n ＋3＝－2⎝⎛⎭⎫n －2942＋10818， 由于n ∈N *，故当n 取距离294最近的正整数7时，a n 取得最大值108. ∴数列{a n }中的最大值为a 7＝108.数列是一个特殊的函数，在用函数的有关知识求解数列问题时，要注意它的 定义域是N *(或它的有限子集{1,2，…，n })这一约束条件.。

《数列的概念》导学案一、学习目标1、理解数列的概念，了解数列的分类。

2、掌握数列的通项公式，能根据通项公式写出数列的项。

3、能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式。

二、学习重难点1、重点（1）数列的概念及通项公式。

（2）由数列的前几项写出数列的通项公式。

2、难点（1）根据数列的前几项准确地写出数列的通项公式。

（2）理解数列是一种特殊的函数。

三、知识链接1、函数的概念：设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数。

2、函数的表示方法：解析式法、列表法、图象法。

四、自主学习（一）数列的概念1、观察下列例子中的数，它们有什么共同特点？（1）一个工厂把所生产的钢管按内径尺寸从小到大排成一列：250mm，251mm，252mm，253mm，…（2）无穷多个 1 排成一列数：1，1，1，1，…（3）正整数 1，2，3，4，5，…的倒数排成一列数：1，1/2，1/3，1/4，1/5，…2、数列的定义：按照一定顺序排列着的一列数称为数列。

3、数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项。

各项依次叫做这个数列的第 1 项（或首项），第 2 项，…，第 n 项，…。

4、数列的一般形式可以写成：a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}。

（二）数列的分类1、按项数的多少，数列可以分为：（1）有穷数列：项数有限的数列。

（2）无穷数列：项数无限的数列。

2、按项的大小变化，数列可以分为：（1）递增数列：从第 2 项起，每一项都大于它的前一项的数列。

（2）递减数列：从第 2 项起，每一项都小于它的前一项的数列。

（3）常数列：各项都相等的数列。

（4）摆动数列：从第 2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列。

（三）数列与函数的关系1、数列可以看作是一个定义域为正整数集N（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。

§4.1第1课时数列的概念及通项公式【自主预习】数列的有关概念1.①一般形式：a1，a2，a3，…，a n，…；②字母表示：上面数列通常记为{a n}．[思考]数列1，2，3，4，5和数列5，4，3，2，1是同一个数列吗？3．数列的分类4.数列的通项公式如果数列{a n}的第n项a n与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．5．数列与函数的关系从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，它们的关系如下表：[思考]数列的通项公式a n＝f(n)与函数解析式y＝f(x)有什么异同？【基础小测】1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).(1)1，1，1，1是一个数列．()(2)数列1，3，5，7，…的第10项是21.()(3)每一个数列都有通项公式．()(4)如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列．()(5)600是数列1×2，2×3，3×4，4×5，…的第24项．()2．已知数列{a n}的通项公式是a n＝n2＋1，则122是该数列的()A．第9项B．第10项C．第11项D．第12项3．数列3，4，5，6，…的一个通项公式为( )A.a n ＝nB ．a n ＝n ＋1C ．a n ＝n ＋2D ．a n ＝2n 4．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n ，n ∈N ＋，则它的第8项是________，第9项是________．【合作学习】类型一 数列的概念与分类(数学抽象)【典例】1．下列说法中不正确的是( )A.数列a ，a ，a ，…是无穷数列B.1，－3，45，－7，－8，10不是一个数列 C.数列0，－1，－2，－4，…不一定是递减数列D.已知数列{a n }，则{a n ＋1－a n }也是一个数列2．已知下列数列：①2 011，2 012，2 013，2 014，2 015，2 016；②1，12 ，14 ，…，12n －1 ，…； ③1，－23 ，35 ，…，（－1）n －1·n 2n －1，…； ④1，0，－1，…，sin n π2 ，…； ⑤2，4，8，16，32，…；⑥－1，－1，－1，－1.其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________，摆动数列是________(填序号).[解题策略]数列及其分类的判定方法(1)判断所给的对象是否为数列，关键看它们是不是按一定次序排列的数；(2)判断所给的数列是递增、递减、摆动还是常数列，要从项的变化趋势来分析，而有穷还是无穷数列，则看项的个数有限还是无限．【跟踪训练】给出下列数列：①2013～2020年某市普通高中生人数(单位：万人)构成数列82，93，105，118，132，147，163，180； ②无穷多个 3 构成数列 3 ， 3 ， 3 ， 3 ，…；③－2的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…构成数列－2，4，－8，16，－32，….其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，常数列是________，摆动数列是________．类型二 由数列的前几项求通项公式(逻辑推理)【典例】写出数列的一个通项公式，使它的前4项是下列各数：(1)－1，12 ，－13 ，14； (2) 3 ，3，15 ，21 ；(3)0.9，0.99，0.999，0.999 9；(4)3，5，3，5.[解题策略]根据数列的前几项求其通项公式的方法据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后的特征；(4)各项符号特征等，并对此进行归纳、联想．【跟踪训练】写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：(1)－11×2 ，12×3 ，－13×4 ，14×5； (2)22－12 ，32－13 ，42－14 ，52－15； (3)7，77，777，7 777.类型三数列通项公式的应用(数学运算)角度1计算指定项【典例】已知数列{a n}的通项公式为a n＝3n2－28n.(1)写出此数列的第4项和第6项；(2)问－49是否是该数列的一项？如果是，应是哪一项？68是否是该数列的一项呢？【变式探究】若本例中的条件不变，(1)试写出该数列的第3项和第8项；(2)问20是不是该数列的一项？若是，应是哪一项？角度2确定数列单调性及最值【典例】在数列{a n}中，a n＝n(n－8)－20，n∈N*，请回答下列问题：(1)这个数列共有几项为负？(2)这个数列从第几项开始递增？(3)这个数列中有无最小值？若有，求出最小值；若无，请说明理由．[解题策略]通项公式的应用方法1．由通项公式写出数列的指定项，主要是对n 进行取值，然后代入通项公式，相当于函数中，已知函数解析式和自变量的值求函数值．2．判断一个数是否为该数列中的项，其方法是可由通项公式等于这个数求方程的根，根据方程有无正整数根便可确定这个数是否为数列中的项．3．在用函数的有关知识解决数列问题时，要注意它的定义域是N *(或它的有限子集{1，2，3，…，n })这一约束条件．【跟踪训练】1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1n （n ＋2）(n ∈N *)，那么1120 是这个数列的第______项． 2．已知数列{a n }中，a n ＝－n 2＋25n (n ∈N *)，则数列{a n }的最大项是第________项．3．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n 2－10n ＋4.问当n 为何值时，a n 取得最小值？并求出最小值．【课堂达标】1．在数列1，1，2，3，5，8，x ，21，34，55中，x 等于( )A ．11B ．12C ．13D ．142．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝－2n 2＋21n ，则该数列中的数值最大的项是( )A.第5项B ．第6项 C.第4项或第5项D ．第5项或第6项 3．若数列a n ＝1n ＋1 ＋1n ＋2＋…＋12n ，则a 5－a 4＝( ) A.110 B ．－110 C ．190 D ．19904．已知数列2，10 ，4，…，2（3n －1） ，…，则8是该数列的第________项．【参考答案】【自主预习】2.数列的表示[思考]提示：数列1，2，3，4，5和数列5，4，3，2，1不是同一个数列，因为二者的项的排列次序不同．5．数列与函数的关系[思考]提示：数列可以看成以正整数集N＋(或它的有限子集{1，2，3，…，n})为定义域的函数a n＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．不同之处是定义域：数列中的n必须是从1开始且连续的正整数，函数的定义域可以是任意非空数集．【基础小测】1．提示：(1) √ 1，1，1，1显然符合数列的概念．(2) × 数列1，3，5，7，…的通项公式是a n＝2n－1，所以第10项是19.(3) × 某些数列的第n项a n和n之间可以建立一个函数关系式，这个数列就有通项公式，若不能建立一个函数关系式，这个数列就没有通项公式．(4) × 数列除递增、递减数列外，还有不增也不减的常数列以及摆动数列．(5) √ a n＝n(n＋1)＝600＝24×25，所以n＝24.2．【解析】由n2＋1＝122得n2＝121，所以n＝11.【答案】C3．【解析】经验证可知，它的一个通项公式为a n＝n＋2.【答案】C4．【解析】当n＝8时，a8＝(－1)8＝1；当n＝9时，a9＝(－1)9＝－1.【答案】1－1【合作学习】类型一数列的概念与分类(数学抽象)【典例】1．【解析】选项A，D显然正确；对于选项B，是按照一定的顺序排列的一列数，是数列，所以B不正确；对于选项C，数列只给出前四项，后面的项不确定，所以不一定是递减数列．【答案】B2．【解析】①为有穷数列且为递增数列；②为无穷、递减数列；③为无穷、摆动数列；④是摆动数列，是无穷数列，也是周期为4的周期数列；⑤为递增数列，也是无穷数列；⑥为有穷数列，也是常数列．【答案】①⑥ ②③④⑤ ①⑤ ② ⑥ ③④【跟踪训练】【解析】①为有穷数列；②③是无穷数列，同时①也是递增数列；②为常数列；③为摆动数列．【答案】① ②③ ① ② ③类型二 由数列的前几项求通项公式(逻辑推理)【典例】【解】(1)任何一个整数都可以看成一个分数，所以此数列可以看成是自然数列的倒数，正负相间用(－1)的多少次幂进行调整，其中一个通项公式为a n ＝(－1)n ·1n. (2)数列可化为 3 ，9 ，15 ，21 ，即3×1 ，3×3 ，3×5 ，3×7 ，…， 每个根号里面可分解成两数之积，前一个因数为常数3，后一个因数为2n －1，故原数列的一个通项公式为a n ＝3（2n －1） ＝6n －3 .(3)原数列可变形为⎝⎛⎭⎫1－110 ，⎝⎛⎭⎫1－1102 ，⎝⎛⎭⎫1－1103 ，⎝⎛⎭⎫1－1104 ，…， 故数列的一个通项公式为a n ＝1－110n . (4)数列给出前4项，其中奇数项为3，偶数项为5，所以通项公式的一种表示方法为a n ＝3,5.⎧⎨⎩（为奇数）（为偶数）n n 此数列还可以这样考虑，3与5的算术平均数为3＋52＝4，4＋1＝5，4－1＝3， 因此数列的一个通项公式又可以写为a n ＝4＋(－1)n .【跟踪训练】【解】(1)这个数列前4项的分母都是序号数乘以比序号数大1的数，并且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为a n ＝（－1）nn ×（n ＋1），n ∈N *. (2)这个数列的前4项的分母都是比序号大1的数，分子都是比序号大1的数的平方减1，所以它的一个通项公式为a n ＝（n ＋1）2－1n ＋1，n ∈N *. (3)这个数列的前4项可以变为79 ×9，79 ×99，79 ×999，79×9 999， 即79 ×(10－1)，79 ×(100－1)，79 ×(1 000－1)，79×(10 000－1)， 即79 ×(10－1)，79 ×(102－1)，79 ×(103－1)，79×(104－1)， 所以它的一个通项公式为a n ＝79×(10n －1)，n ∈N *. 类型三 数列通项公式的应用(数学运算)角度1 计算指定项【典例】【解】(1)a 4＝3×42－28×4＝－64，a 6＝3×62－28×6＝－60.(2)由3n 2－28n ＝－49，解得n ＝7或n ＝73(舍去)，所以－49是该数列的第7项； 由3n 2－28n ＝68，解得n ＝－2或n ＝343，均不合题意，所以68不是该数列的项． 【变式探究】【解】(1)因为a n ＝3n 2－28n ，所以a 3＝3×32－28×3＝－57，a 8＝3×82－28×8＝－32.(2)令3n 2－28n ＝20，解得n ＝10或n ＝－23(舍去)， 所以20是该数列的第10项．角度2 确定数列单调性及最值【典例】【解】(1)因为a n ＝n (n －8)－20＝(n ＋2)(n －10)，所以当0<n <10，n ∈N *时，a n <0，所以数列{a n }共有9项为负．(2)因为a n ＋1－a n ＝2n －7，所以当a n ＋1－a n >0时，n >72， 故数列{a n }从第4项开始递增．(3)a n ＝n (n －8)－20＝(n －4)2－36，根据二次函数的性质知，当n ＝4时，a n 取得最小值－36，即这个数列有最小值，最小值为－36.【跟踪训练】1．【解析】因为1n （n ＋2） ＝1120，所以n (n ＋2)＝10×12，所以n ＝10. 【答案】102．【解析】因为a n ＝－⎝⎛⎭⎫n －252 2 ＋⎝⎛⎭⎫252 2 是关于n 的二次函数， 又n ∈N *，所以当n ＝12或n ＝13时，a n 最大．【答案】12或133．【解】因为a n ＝2n 2－10n ＋4＝2⎝⎛⎭⎫n －52 2－172 ， 所以当n ＝2或3时，a n 取得最小值，其最小值为a 2＝a 3＝－8.【课堂达标】1．【解析】观察可知该数列从第3项开始每一项都等于它前面相邻两项的和， 故x ＝5＋8＝13.【答案】C2．【解析】a n ＝－2⎝⎛⎭⎫n －214 2＋4418， 因为n ∈N *，5<214<6，且a 5＝55，a 6＝54， 所以数值最大的项为第5项．【答案】A3．【解析】依题意知，a 5－a 4＝⎝⎛⎭⎫15＋1＋15＋2＋…＋12×5 －⎝⎛⎭⎫14＋1＋14＋2＋…＋12×4 ＝19 ＋110 －15 ＝190. 【答案】C4．【解析】令2（3n －1） ＝8，解得n ＝11.【答案】11。

数列概念学案学习目标：了解数列的概念和数列几种常见表示方法（列表、图像、通项公式）并能根据一定条件求数列的通项公式。

学习重点：数列概念学习难点：根据条件求数列的通项公式 学习过程：一、课前准备：阅读P 3—4 二、新课导入：①什么是数列数： ②数列项是： ③按项分类数列分为： 和 ④数列通项公式： 自主测评1、判断下列是否有通项公式若有，写出其通项公式。

①3，3，3，3…… ②2，4，6，8，10…… ③1，3，5，7，9…… ④0，1，0，1，0，1…… ⑤0，1，-2，4，-7，6，10，5，9……2、数列n a 中，22(3)2n a log n ,写出数列前五项，32log 是这个数列的第几项探究：（1）是不是所有数列都有通项公式，能否举例说明（2）若数列有通项公式，通项公式是不是唯一的，若不是能否举例说明三、巩固应用例1. P 5 试一试：P 6 T 1-2 例2. P 5 试一试：P 6 T 3 1、写出下列数列的一个通项公式 ①-2，-2，-2，-2…… ②7，77，777，7777…… ③0.7，0.77，0.777，0.7777…… ④3，5，9，17，33……⑤0，-1，0，1，0，-1，0，1…… ⑥1112,,,6323……四、总结提升 1、探究新知：2、数列通项公式n a 与函数有何联系 五、知识拓展 数列前几项和123n n S a a a a a n-1…+且11(1)()nnn a n a s s n -=⎧=⎨-⎩≥2六、能力拓展 1、数列2102102101,1,1,1223(1)gg g n n …………××中首次出现负值的项是第几项 ≥≤2、已知数例n a 的通项公式254na n n（1）数列n a 中有多少项是负项？（2）当n 为何值时，n a 有最小值，最小值是多少？3、已知数列n a 的前n 项和221n s n n ，求数列n a 的通项公式？自我评价：这节课你学到了什么，你认为做自己的好的地方在哪里？作业：P 9 A ：T 4 T 6 B ：T 1。

数列球通项公式教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解数列的通项公式的概念；（2）掌握数列的通项公式的求法；（3）能够运用数列的通项公式解决实际问题。

2. 过程与方法：（1）通过实例分析，引导学生发现数列的通项公式；（2）培养学生运用数学知识解决实际问题的能力；（3）提高学生的逻辑思维能力和运算能力。

3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学的兴趣和好奇心；（2）培养学生勇于探索、积极思考的科学精神；二、教学内容1. 数列的概念：数列是按照一定的顺序排列的一列数。

2. 数列的通项公式：数列的第n项与序号n之间的关系式。

3. 数列的通项公式的求法：（1）等差数列的通项公式：an = a1 + (n-1)d；（2）等比数列的通项公式：an = a1 q^(n-1)；（3）其他数列的通项公式：根据数列的特点进行求解。

三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）数列的通项公式的概念；（2）数列的通项公式的求法。

3. 教学难点：（1）数列的通项公式的求法；（2）运用数列的通项公式解决实际问题。

四、教学过程1. 导入：通过实例分析，引导学生发现数列的通项公式。

2. 新课讲解：讲解数列的通项公式的概念和求法。

3. 课堂练习：布置一些数列的通项公式的练习题，巩固所学知识。

4. 实际问题解决：运用数列的通项公式解决实际问题。

五、课后作业1. 完成课后练习题；3. 思考如何运用数列的通项公式解决实际问题。

六、教学评价1. 评价目标：检查学生对数列通项公式的理解程度和运用能力。

2. 评价方法：（1）课堂问答：通过提问，了解学生对数列通项公式的理解程度；（2）课后作业：检查学生完成数列通项公式的练习题的情况；（3）实际问题解决：评估学生运用数列通项公式解决实际问题的能力。

七、教学策略2. 互动教学：鼓励学生积极参与课堂讨论，提问和解答问题，增强学生的理解能力和自信心；3. 逐步引导：由浅入深，逐步引导学生掌握数列通项公式的求法和应用。

数学教案数列与数列的通项公式教案：数列与数列的通项公式引言：数列是数学中的重要概念，它能够描述一系列有规律的数值排列。

数列通常通过递推公式或递归关系来定义。

本教案将重点介绍数列的概念、性质以及如何求解数列的通项公式。

一、数列的概念与分类（长度：约400字）数列是一组有序的数按照一定规律排列所得的结果。

可以通过数列的通项公式来表示，也可以通过递推关系或直接列举数值的方式来表示。

根据数列的特点，可以将数列分为等差数列、等比数列和等差减数列三种类型。

- 等差数列：数列中相邻两项之间的差是固定的，常用通项公式表示为an = a1 + (n-1)d。

- 等比数列：数列中相邻两项之间的比是固定的，常用通项公式表示为an = a1 * r^(n-1)。

- 等差减数列：数列中相邻两项之间的差在递减的趋势，常用通项公式表示为an = a1 - (n-1)d。

二、等差数列的求和公式（长度：约400字）等差数列求和是数列的重要应用之一，可以通过求和公式快速计算等差数列的前n项和。

等差数列的求和公式为Sn = n/2 * (a1 + an)，其中Sn表示前n项和，a1表示首项，an表示末项。

在等差数列的求和公式中，n/2表示项数的一半，(a1 + an)表示首末两项之和。

通过该公式，我们能够高效地求解等差数列的前n项和，节省时间与精力。

三、等比数列的求和公式（长度：约400字）等比数列也有相应的求和公式，可以通过公式求解等比数列的前n 项和。

等比数列的求和公式为Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)，其中Sn表示前n项和，a1表示首项，r表示公比。

在等比数列的求和公式中，(1 - r^n) / (1 - r)表示一个与公比和项数有关的系数，通过该系数我们能够计算得到等比数列的前n项和。

四、等差减数列的通项公式（长度：约400字）等差减数列是数列的一种特殊类型，可以通过通项公式来表示。

等差减数列的通项公式为an = a1 - (n-1)d，其中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。

数列、数列的通项公式教案（精选5篇）第一篇：数列、数列的通项公式教案目的：要求学生理解数列的概念及其几何表示，理解什么叫数列的通项公式，给出一些数列能够写出其通项公式，已知通项公式能够求数列的项。

重点：1数列的概念。

按一定次序排列的一列数叫做数列。

数列中的每一个数叫做数列的项，数列的第n项an叫做数列的通项（或一般项）。

由数列定义知：数列中的数是有序的，数列中的数可以重复出现，这与数集中的数的无序性、互异性是不同的。

2．数列的通项公式，如果数列{an}的通项an可以用一个关于n 的公式来表示，这个公式就叫做数列的通项公式。

从映射、函数的观点看，数列可以看成是定义域为正整数集N*（或宽的有限子集）的函数。

当自变量顺次从小到大依次取值时对自学成才的一列函数值，而数列的通项公式则是相应的解析式。

由于数列的项是函数值，序号是自变量，所以以序号为横坐标，相应的项为纵坐标画出的图像是一些孤立的点。

难点：根据数列前几项的特点，以现规律后写出数列的通项公式。

给出数列的前若干项求数列的通项公式，一般比较困难，且有的数列不一定有通项公式，如果有通项公式也不一定唯一。

给出数列的前若干项要确定其一个通项公式，解决这个问题的关键是找出已知的每一项与其序号之间的对应关系，然后抽象成一般形式。

过程：一、从实例引入（P110）1．堆放的钢管 4,5,6,7,8,9,102．正整数的倒数 3． 4．-1的正整数次幂：-1,1,-1,1,…5．无穷多个数排成一列数：1,1,1,1,…二、提出课题：数列1．数列的定义：按一定次序排列的一列数（数列的有序性）2．名称：项，序号，一般公式，表示法3．通项公式：与之间的函数关系式如数列1：数列2：数列4：4．分类：递增数列、递减数列；常数列；摆动数列；有穷数列、无穷数列。

5．实质：从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，通项公式即相应的函数解析式。

《数列的概念与简单表示法》教案第一章：数列的概念1.1 数列的定义引导学生理解数列是由按照一定顺序排列的一列数。

强调数列的有序性，即数列中每个数的位置是固定的。

1.2 数列的项解释数列中的每一个数称为数列的项。

举例说明数列的项与数列的关系。

1.3 数列的表示方法介绍数列的表示方法，包括顺序列举法和通项公式法。

举例说明如何用通项公式表示数列。

第二章：数列的通项公式2.1 通项公式的定义引导学生理解通项公式是用来表示数列中任意一项的公式。

强调通项公式中变量的含义和作用。

2.2 常见数列的通项公式举例讲解等差数列和等比数列的通项公式。

引导学生通过观察数列的特点来确定通项公式。

2.3 通项公式的应用解释如何利用通项公式来求解数列中的特定项。

举例说明通项公式在解决数列问题中的应用。

第三章：数列的性质3.1 数列的项数解释数列的项数是指数列中项的个数。

引导学生理解项数与数列的定义和表示方法的关系。

3.2 数列的单调性讲解数列的单调性，包括递增和递减。

举例说明如何判断数列的单调性。

3.3 数列的周期性解释数列的周期性是指数列中存在重复的项的模式。

举例说明如何判断数列的周期性。

第四章：数列的求和4.1 数列的求和公式引导学生理解数列的求和是指将数列中所有项相加得到的结果。

讲解数列的求和公式，包括等差数列和等比数列的求和公式。

4.2 数列的求和应用解释如何利用数列的求和公式来求解数列的和。

举例说明数列的求和公式在解决数列问题中的应用。

4.3 数列的求和性质讲解数列的求和性质，包括数列的错位相减法和分组求和法。

举例说明如何利用数列的求和性质来简化计算。

第五章：数列的综合应用5.1 数列的极限引导学生理解数列的极限是指数列项趋近于某个值的过程。

讲解数列的极限的定义和性质。

5.2 数列的极限应用解释如何利用数列的极限来解决数列问题。

举例说明数列的极限在数学分析中的应用。

5.3 数列的实际应用讲解数列在实际问题中的应用，包括数列在物理学和经济学中的例子。

第1课时数列概念与通项公式一、数列的概念及分类1．数列及其有关概念(1)□01按照一定顺序排列的一列数称为数列．(2)项：□02数列中的每一个数叫做这个数列的项，第1项通常也叫做□03首项，若是有穷数列，最后一项也叫做□04末项．(3)数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，a n，…，简记为□05{a n}，这里n是□06正整数．2．数列的分类(1)按项的个数分类类别含义有穷数列□07项数有限的数列无穷数列□08项数无限的数列(2)二、数列的通项公式1．数列的通项公式□01如果数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．2．数列与函数的关系对任意数列{a n}，其每一项与序号都有对应关系，见下表：序号1234…n…项a1a2a3a4…a n…因此，数列也可以看成是定义域为□02正整数集N*(或它的□03有限子集{1,2,3，…，n})的函数□04a n＝f(n)，当自变量n从小到大依次取值时，该函数对应的一列函数值就是该数列．反过来，对于函数y＝f(x)，如果f(i)(i＝1,2,3，…)有意义，那么就可以得到一个数列f(1)，f(2)，f(3)，…，f(n)，….1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)同一数列的任意两项均不可能相同．()(2)数列－1,0,1与数列1,0，－1是同一个数列．()(3)数列中的每一项都与它的序号有关．()答案(1)×(2)×(3)√2．做一做(1)(教材改编P29例1)若数列的前4项分别是12，－13，14，－15，则该数列的一个通项公式为()A.(－1)n＋1n＋1B.(－1)nn＋1C.(－1)nn D.(－1)n－1n(2)已知数列{a n}的通项公式为a n＝(－1)n，n∈N*，则它的第8项是________，第9项是________．(3)已知数列{a n}的通项公式为a n＝2n＋1，则a k＋1＝________.答案(1)A(2)1－1(3)2k＋3探究1数列的概念例1已知下列数列：①2,22,222,2222；②0，12，23，…，n－1n，…；③1，13，19，…，13n－1，…；④－1,0，－1,0，…，(－1)n－12，…；⑤a，a，a，a，….其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列为________．(将正确的序号填在横线上)答案①②③④⑤①②③⑤解析①是有穷递增数列，②是无穷递增数列，③是无穷递减数列，④是无穷数列，也是摆动数列，⑤是无穷数列，也是常数列．拓展提升理解数列的概念应注意的几个方面(1)判断一个数列是有穷或无穷数列的关键是判断数列的项数是有限的或是无限的．(2)判断一个数列的单调性一般是根据数列中的a n＋1与a n的大小来判断，即①若数列{a n}满足a n<a n＋1，则是递增数列．②若数列{a n}满足a n>a n＋1，则是递减数列．③若数列{a n}满足a n＝a n＋1，则是常数列．④若a n与a n＋1的大小不确定时，则是摆动数列．(3)有穷数列表示为a1，a2，a3，…，a n或a n＝f(n)(定义域为正整数集的有限子集：{1,2,3，…，n})；无穷数列一般表示为a1，a2，a3，…，a n，…或a n＝f(n)(n ＝1,2,3，…)，即对于有穷数列要把末项(即有穷数列的最后一项)写出；对于无穷数列，无法写出末项，要用“…”结尾．【跟踪训练1】下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增、递减数列？哪些是摆动数列？哪些是常数列？(1)1，12，13，…，1n，…；(2)1,2,22， (263)(3)1，－0.1,0.12，…，(－0.1)n－1，…；(4)0,10,20， (1000)(5)－1,1，－1,1，…；(6)6,6,6，…；(7)0，－1,0，…，cos nπ2，….解(1)是无穷递减数列．(2)是有穷递增数列．(3)是无穷数列，也是摆动数列．(4)是有穷递增数列．(5)是无穷数列，也是摆动数列．(6)是无穷数列，也是常数列．(7)是无穷数列，也是摆动数列．探究2 利用观察法求数列的通项公式例2 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)3,5,7,9，…； (2)12，34，78，1516，…； (3)11×2，－12×3，13×4，－14×5，…； (4)3，3，15，21，33，…； (5)0.9,0.99,0.999,0.9999，…； (6)32，1，710，917，…； (7)12，2，92，8，….解 (1)∵各项减去1后为正偶数，∴a n ＝2n ＋1.(2)∵每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，…，∴a n ＝2n －12n . (3)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式是：a n ＝(－1)n ＋11n (n ＋1).(4)原数列可化为3，9，15，21，27，…，即3×1，3×3，3×5，3×7，3×9，…，每个根号里面可分解成两数之积，前一个因式为常数3，后一个因式为2n －1，故原数列的通项公式为a n ＝3(2n －1).(5)将原数列变形为1－0.1,1－0.01,1－0.001,1－0.0001，…，故原数列的通项公式为a n＝1－10－n ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫110n . (6)将原数列变形为32，55，710，917，….对于分子3,5,7,9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为b n ＝2n ＋1；对于分母2,5,10,17，…，联想到数列1,4,9,16，…，即数列{n 2}，可得分母的通项公式为c n ＝n 2＋1.故原数列的通项公式为a n ＝2n ＋1n 2＋1.(7)将数列变形为：12，42，92，162，…，可知分子为n 2，分母为2.∴a n ＝n 22.[变式探究] 把本例(5)改为“0.6,0.66,0.666,0.6666，…”又如何求通项公式呢？解 数列0.6,0.66,0.666,0.6666，…的通项公式为a n ＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫110n .拓展提升用观察法求数列通项公式的一般规律此类问题虽无固定模式，但有规律可循，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．具体方法为：(1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等；(2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式；(3)对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再以(－1)n 或(－1)n ＋1处理符号；(4)对于周期出现的数列，可考虑拆成几个简单数列和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等．【跟踪训练2】 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： (1)45，12，411，27，…；(2)12，14，－58，1316，－2932，6164，…； (3)7,77,777，…； (4)0,3,8,15,24，…； (5)－1,7，－13,19，…； (6)3,5,3,5,3,5，….解 (1)注意前四项中有两项的分子为4，不妨把分子统一为4，即为45，48，411，414，…，于是它们的分母相差3，因而有a n ＝43n ＋2. (2)分母为2n ，易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3，因此第1项为－2－32，因此原数列可以化为－2－32，22－322，－23－323，24－324，…，所以它的一个通项公式为a n ＝(－1)n ·2n －32n .(3)把各项除以7，得1,11,111，…，再乘以9，得9,99,999，…，所以a n ＝79(10n －1)．(4)观察数列递增速度较快，有点像成平方的递增，不妨用平方数列对照看一看，即1,22,32,42,52，…，很快发现a n ＝n 2－1.(5)应解决两个问题：一是符号问题，可考虑用(－1)n 或(－1)n ＋1表示，二是各项绝对值的排列规律，不难发现后面的数的绝对值总比它前面的数的绝对值大6.故通项公式a n ＝(－1)n (6n －5)．(6)此数列为摆动数列，奇数项为3，偶数项为5，故通项公式可写作a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3(n 为奇数)，5(n 为偶数).此数列两项3与5的平均数为3＋52＝4，奇数项为4－1，偶数项为4＋1，故通项公式还可写作a n ＝4＋(－1)n .探究3 数列通项公式的简单应用例3 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n 2－28n . (1)写出数列的第4项和第6项；(2)－49和68是该数列的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由． 解 (1)∵a n ＝3n 2－28n ，∴a 4＝3×42－28×4＝－64，a 6＝3×62－28×6＝－60. (2)令3n 2－28n ＝－49，即3n 2－28n ＋49＝0，解得n ＝7或n ＝73(舍)． ∴－49是该数列的第7项， 即a 7＝－49.令3n 2－28n ＝68，即3n 2－28n －68＝0， 解得n ＝－2或n ＝343.∵－2∉N *，343∉N *，∴68不是该数列的项． 拓展提升判断某数是否为数列的项的步骤(1)将所给某数代入通项公式中； (2)解关于n 的方程；(3)若n 为正整数，说明某数是该数列的项；若n 不是正整数，说明某数不是该数列的项.【跟踪训练3】 已知数列的通项公式为a n ＝4n 2＋3n .(1)写出数列的第4项和第6项；(2)试问110和1627是不是它的项，如果是，是第几项？ 解 (1)由题意易得：a 4＝442＋3×4＝17，a 6＝462＋3×6＝227.(2)令4n 2＋3n＝110，则n 2＋3n －40＝0， 解得n ＝5或n ＝－8， 由n ∈N *，故n ＝－8舍去． 所以110是数列的第5项． 令4n 2＋3n＝1627，则4n 2＋12n －27＝0， 解得n ＝32或n ＝－92，由n ∈N *，所以1627不是此数列中的项．[规律小结]1.{a n }与a n 是不同的两种表示，{a n }表示数列a 1，a 2，…，a n ，…，是数列的一种简记形式．而a n 只表示数列{a n }的第n 项，a n 与{a n }是“个体”与“整体”的从属关系．2.由数列的前几项归纳其通项公式的关键是观察、归纳各项与对应的项数之间的联系．同时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后的特征；(4)各项的符号特征和绝对值特征，并对此进行联想、转化、归纳．3.有的数列的通项公式，在形式上不一定是唯一的．例如：数列－1,1，－1,1，－1,1，…的通项公式可以写成a n ＝(－1)n ，也可以写成a n ＝⎩⎨⎧－1，n 为奇数，1，n 为偶数.这些通项公式，形式上虽然不同，但都表示同一个数列． [走出误区]易错点⊳忽略数列中n 的取值范围致误[典例] 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝－2n 2＋29n ＋3，求数列{a n }的最大项．[错解档案] 由已知，得a n ＝－2n 2＋29n ＋3＝－2⎝⎛⎭⎪⎫n －2942＋10818， ∴数列{a n }中的最大值为10818.[误区警示] 可以将数列的通项公式看作函数，因为n 为项的序号，所以定义域为正整数集，解题时往往忽略这一点，误认为定义域为R 而导致出错．[规范解答] 由已知，得a n ＝－2n 2＋29n ＋3＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2942＋10818，由于n ∈N *，故当n 取距离294最近的正整数7时，a n 取得最大值108. ∴数列{a n }中的最大值为a 7＝108.[名师点津] 数列是一个特殊的函数，在用函数的有关知识求解数列问题时，要注意它的定义域是N *(或它的有限子集{1,2，…，n })这一约束条件．1．下面有四个结论，其中叙述正确的有( ) ①数列的通项公式是唯一的；②数列可以看做是一个定义在正整数集或其子集上的函数； ③数列若用图象表示，它是一群孤立的点； ④每个数列都有通项公式． A ．①② B ．②③ C ．③④D ．①④答案 B解析 数列的通项公式不唯一，有的数列没有通项公式，所以①④不正确． 2．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是( ) A ．1，12，13，14，… B ．－1，－2，－3，－4，… C ．－1，－12，－14，－18，… D ．1，2，3，…，n 答案 C解析 对于A ，a n ＝1n ，n ∈N *，它是无穷递减数列；对于B ，a n ＝－n ，n ∈N *，它也是无穷递减数列；D 是有穷数列；对于C ，a n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，它是无穷递增数列．3．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－n －50，则－8是该数列的( ) A ．第5项 B ．第6项 C ．第7项 D ．非任何一项答案 C解析 由n 2－n －50＝－8，得n ＝7或n ＝－6(舍去)．4．如图所示是某一系列有机物的结构简图，图中的小黑点表示原子，两黑点间的短线表示化学键，按图中结构第n 个图有化学键________个．答案 5n ＋1解析 各图中短线的个数依次为6,6＋5,6＋5＋5，…，将6视为5＋1，则上述数列为1＋5,1＋5＋5,1＋5＋5＋5，1＋5＋5＋5＋5，…于是第n 个图有化学键5n ＋1个．5．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－5n ＋4. (1)数列中有多少项是负数？(2)n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值． 解 (1)由n 2－5n ＋4<0，解得1<n <4.∵n ∈N *，∴n ＝2或3.∴数列有两项是负数．(2)∵a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522－94，可知对称轴方程为n ＝52＝2.5.又∵n ∈N *，故n ＝2或3时，a n 有最小值，其最小值为22－5×2＋4＝－2.A 级：基础巩固练一、选择题1．下列有关数列的说法正确的是( ) ①数列1,2,3与数列3,2,1是同一数列； ②数列{a n }与{a 2n －1}表达同一数列； ③数列－1,1，－1,1，…的通项公式不唯一；④数列－1,1,3,5,8，…的通项公式为a n ＝2n －3，n ∈N *. A ．①④ B ．②③ C ．③ D ．①②答案 C解析 ①是错误的，数列各项顺序不同，即表示不同的数列；②是错误的，数列{a n }表达数列a 1，a 2，a 3，a 4，…，a n ，…，而数列{a 2n －1}表达数列a 1，a 3，a 5，…，a 2n －1，…，不是同一数列；③是正确的，数列－1,1，－1,1，…的通项公式可以是a n ＝(－1)n ，a n ＝cos n π等；④是错误的，显然当n ＝5时，a 5＝7，不是数列中的项．故选C.2．已知数列{a n }的前四项为1,0,1,0，则下列可作为数列{a n }的通项公式的有( )①a n ＝12[1＋(－1)n ＋1]；②a n ＝12[1＋(－1)n ＋1]＋(n －1)(n －2)； ③a n ＝sin 2n π2； ④a n ＝1－cos n π2；⑤a n ＝⎩⎨⎧1(n 为偶数)，0(n 为奇数).A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析 当n ＝1,2,3,4分别代入①②③④⑤的通项公式中，可知①③④符合，对于②当n ＝3时不符合，对于⑤显然n ＝1时就不符合，故可作为{a n }通项公式的有3个．故选C.3．若数列的前4项分别为2,0,2,0，则这个数列的通项公式不可能是( ) A ．a n ＝1＋(－1)n ＋1 B ．a n ＝1－cos n π C ．a n ＝2sin 2n π2D ．a n ＝1＋(－1)n －1＋(n －1)(n －2) 答案 D解析 当n ＝1时，D 不满足，故选D. 4．已知下列命题：①已知数列{a n }，a n ＝1n (n ＋2)，(n ∈N *)，那么1120是这个数列的第10项，且最大项为第1项；②数列2，－5，22，－11，…，的一个通项公式是a n ＝(－1)n ＋13n －1； ③已知数列{a n }，a n ＝kn －5，且a 8＝11，则a 17＝29； ④已知a n ＋1＝a n ＋3，则数列{a n }为递增数列． 其中命题正确的个数为( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1答案 A解析 ①a n ＝1n (n ＋2)＝1120⇒n ＝10.易知最大项为第1项，故①正确；对于②，联想数列2，5，8，11，…，则a n ＝(－1)n ＋1·3n －1，故②正确；对于③，a n ＝kn －5，且a 8＝11⇒k ＝2⇒a n ＝2n －5⇒a 17＝29，故③正确； 对于④，由a n ＋1－a n ＝3>0，易知④正确． 二、填空题5．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n 2＋n，那么110是它的第________项．解析令2n2＋n＝110，解得n＝4(n＝－5舍去)，所以110是第4项．6．已知在数列{a n}中，a1＝4，a n＋1＝f(a n)，n∈N*，函数y＝f(x)的对应关系如下表，则a2017＝________.答案4解析由已知条件得a1＝4，a2＝f(a1)＝f(4)＝2，a3＝f(a2)＝f(2)＝4.∴数列{a n}是周期数列，a n＋2＝a n，∴a2017＝a1＋1008×2＝a1＝4.7．已知数列{a n}的通项公式为，则a n＝10n－1，那么数列{b n}的通项公式可化为b n＝_________.答案89(10n－1)解析三、解答题8．根据数列的前几项，写出下面各数列的一个通项公式：(1)1，－2,3，－4,5，…；(2)5,55,555,5555，…；(3)1，23，12，25，…；(4)1,3,6,10,15，…；(5)12，45，910，1617，…；(6)1，－13，17，－115，131，….解(1)这个数列的前4项1，－2,3，－4的绝对值都是序号且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式是a n＝(－1)n＋1·n.(2)因为数列9,99,999,9999，…的第n项为10n－1，数列1,11,111,1111，…的第n项应为19(10n－1)，从而数列5,55,555,5555，…的通项公式是a n＝59(10n－1)．(3)各项的分母依次为1,3,2,5，似乎没有规律，我们可以大胆设想，分母如果是2,3,4,5就好了，又注意到奇数项的分子为1，故将奇数项的分子、分母同乘以2，于是得到a n＝2n＋1.(4)注意到6＝2×3,10＝2×5,15＝3×5，规律还不明显，再把各项分子、分母同乘以2，即1×22，2×32，3×42，4×52，5×62，…，∴数列的通项公式为a n＝n·(n＋1)2.(5)注意各项的分子分别是12,22,32,42，…，分母比分子大1，∴数列的通项公式为a n＝n2n2＋1.(6)∵奇数项为正，偶数项为负，各项分母可看作21－1＝1,22－1＝3,23－1＝7,24－1＝15,25－1＝31，…，各项分子均为1，∴数列的通项公式为a n＝(－1)n＋1·12n－1.9．已知函数f(x)＝log2x－log x2(0<x<1)，数列{a n}满足f(2 a n)＝2n.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)证明：数列{a n}是递增数列．解(1)由已知，得即a n－1a n＝2n，所以a2n－2na n－1＝0，解得a n＝n±n2＋1，因为0<x<1，即0<2 a n <1，所以a n＝n－n2＋1.(2)证明：因为a n ＋1a n＝(n ＋1)－(n ＋1)2＋1n －n 2＋1＝n ＋n 2＋1(n ＋1)＋(n ＋1)2＋1<1，而a n <0(n ＝1,2,3，…)，所以a n ＋1>a n ， 所以数列{a n }是递增数列．10．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝1n 2＋5n ＋4.(1)你能判断该数列是递增的，还是递减的吗？ (2)该数列中有负数项吗？ 解 (1)对任意n ∈N *，∵a n ＋1－a n ＝1(n ＋1)2＋5(n ＋1)＋4－1n 2＋5n ＋4 ＝－2(n ＋3)[(n ＋1)2＋5(n ＋1)＋4]·(n 2＋5n ＋4)<0，∴数列{a n }是递减数列．(2)因为n ∈N *，所以n 2＋5n ＋4>0，则a n ＝1n 2＋5n ＋4>0，故数列{a n }没有负数项．B 级：能力提升练1．数列a ，b ，a ，b ，…的一个通项公式是________． 答案 a n ＝a ＋b 2＋(－1)n ＋1⎝⎛⎭⎪⎫a －b 2 解析 a ＝a ＋b 2＋a －b 2，b ＝a ＋b 2－a －b2，故a n ＝a ＋b 2＋(－1)n ＋1⎝⎛⎭⎪⎫a －b 2. 2．传说古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras ，约公元前570年～公元前500年)学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数．比如，他们将石子摆成如图所示的三角形状，就将其所对应石子个数称为三角形数，则第10个三角形数是________．答案55解析三角形数依次为：1,3,6,10,15，…，第10个三角形数为：1＋2＋3＋4＋…＋10＝55.。

《数列的概念第一课时教学设计》一、教学目标1. 知识与技能目标-理解数列的概念，了解数列的分类。

-掌握数列的通项公式，能根据数列的前几项写出数列的通项公式。

2. 过程与方法目标-通过实例引入数列的概念，培养学生的观察、分析和归纳能力。

-通过对数列通项公式的探究，培养学生的逻辑思维能力和创新能力。

3. 情感态度与价值观目标-让学生体会数列在实际生活中的应用，感受数学的魅力。

-培养学生的合作精神和探究精神。

二、教学重难点1. 教学重点-数列的概念和通项公式。

-根据数列的前几项写出数列的通项公式。

2. 教学难点-从实际问题中抽象出数列的概念。

-归纳数列的通项公式。

三、教学方法讲授法、讨论法、探究法。

四、教学过程1. 导入新课-通过展示一些生活中的数列实例，如银行存款利息的计算、细胞分裂的数量等，引出数列的概念。

-提问学生：在生活中还能找到哪些数列的例子？2. 讲解新课-数列的概念-定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列。

-举例说明数列的定义，如：1，2，3，4，5；2，4，6，8，10 等都是数列。

-强调数列中的数是有顺序的，改变顺序就变成了不同的数列。

-数列的项-数列中的每一个数都叫做这个数列的项。

-排在第一位的数称为数列的第1 项（或首项），排在第二位的数称为数列的第2 项，以此类推。

-数列的分类-按项数的多少可分为有穷数列和无穷数列。

-有穷数列：项数有限的数列。

例如：1，2，3，4，5 是有穷数列。

-无穷数列：项数无限的数列。

例如：1，2，3，4，…是无穷数列。

-按项的变化趋势可分为递增数列、递减数列、常数列和摆动数列。

-递增数列：从第2 项起，每一项都大于它的前一项的数列。

例如：1，2，3，4，5 是递增数列。

-递减数列：从第2 项起，每一项都小于它的前一项的数列。

例如：5，4，3，2，1 是递减数列。

-常数列：各项都相等的数列。

例如：2，2，2，2，2 是常数列。

-摆动数列：从第2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列。

高中数学教学备课教案数列与数列的通项公式高中数学教学备课教案数列与数列的通项公式导言：数列是数学中常见而重要的概念，它具有广泛的应用和重要意义。

数列的通项公式是数列中每一项与项号之间的关系式，它能够帮助我们更方便地求解数列中的各项数值。

本节课我们将学习数列的基本概念，了解数列的分类以及数列通项公式的推导与应用。

一、数列的基本概念在开始学习数列之前，首先要明确数列的概念和特点。

1.1 数列的定义数列是由一列有序的数按照一定规律排列而成的序列。

数列用大写字母表示，如A、B、C等。

数列中的每一项称为数列的项，用小写字母和下标表示，如a1、a2、a3等。

1.2 数列的分类根据数列的规律和特点，数列可以分为等差数列和等比数列。

1.2.1 等差数列等差数列是指数列中任意两项之间的差都相等的数列。

等差数列的通项公式可以通过以下方式推导得到：设等差数列的首项为a1，公差为d，则第n项的通项公式为an=a1+(n-1)d。

1.2.2 等比数列等比数列是指数列中任意两项之间的比值都相等的数列。

等比数列的通项公式可以通过以下方式推导得到：设等比数列的首项为a1，公比为q，则第n项的通项公式为an=a1*q^(n-1)。

二、数列的通项公式的推导与应用数列的通项公式是数列中每一项与项号之间的关系式，它能够帮助我们更方便地求解数列中的各项数值，下面我们以等差数列和等比数列为例进行推导。

2.1 等差数列通项公式的推导考虑一个等差数列a1，a2，a3，...，an，...，根据等差数列的定义可得：a2-a1 = a3-a2 = ... = an-an-1 = ... = d设等差数列的首项为a1，公差为d，n为项号，我们来推导等差数列的通项公式。

根据题设，可得：a2 = a1 + da3 = a2 + d = a1 + d + d = a1 + 2d...an = a1 + (n-1)d由此可得，等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d。

数列的通项公式的教案教案标题：探索数列的通项公式一、教学目标：1. 理解数列的概念及数列的通项公式的意义；2. 能够根据已知数列的前几项推导出数列的通项公式；3. 能够应用数列的通项公式解决实际问题。

二、教学准备：1. 教师准备：黑板、白板、彩色粉笔、教学PPT等；2. 学生准备：课本、笔、纸。

三、教学过程：1. 导入（5分钟）- 引入数列的概念，通过例子向学生展示数列的特点和规律；- 引发学生对数列通项公式的思考，提问：如何根据已知数列的前几项推导出通项公式？2. 理解数列的通项公式（10分钟）- 讲解数列的通项公式的定义和意义，强调通项公式可以用来计算数列中任意一项的值；- 通过多个例子，向学生展示如何根据已知数列的前几项推导出通项公式； - 强调数列的通项公式的重要性和应用价值。

3. 探索数列的通项公式（15分钟）- 提供一个数列的前几项，引导学生思考数列的规律；- 让学生根据已知数列的前几项，尝试推导出数列的通项公式；- 引导学生讨论推导的过程，帮助他们理解如何使用递推关系和数学归纳法来推导通项公式。

4. 讲解数列的通项公式的应用（10分钟）- 通过实际问题，向学生展示数列的通项公式在解决实际问题中的应用；- 强调数列的通项公式可以帮助我们快速计算数列中任意一项的值；- 提供一些练习题，让学生应用通项公式解决问题。

5. 拓展与巩固（10分钟）- 提供一些更复杂的数列问题，让学生运用所学知识解决；- 鼓励学生互相交流和讨论解题思路，加深对数列通项公式的理解。

6. 总结与反思（5分钟）- 总结数列的通项公式的定义、推导方法和应用；- 让学生回顾本节课所学内容，思考是否达到了教学目标；- 鼓励学生提问和解答疑惑。

四、课堂作业：1. 完成课堂上未完成的练习题；2. 自主选择一个数列，根据已知数列的前几项，推导出它的通项公式。

五、教学反思：通过本节课的教学，学生能够理解数列的概念和通项公式的意义，掌握根据已知数列的前几项推导出通项公式的方法，并能够应用通项公式解决实际问题。