人教版中职数学基础模块下册《数列的概念》教案 (一)

数列公式数学学科导学案教师寄语：做对国家有用的人课题：数列的概念和通项公式班级 17级姓名陈兆侠组别二年级一、学习目标：1.知识与能力：（1）理解数列及其有关概念；（2）理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；（3）对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式．2.过程与方法：理解数列的定义，表示法，分类，初步学会求数列通项公式的方法。

3.情感态度价值观：提高观察，分析能力，理解从特殊到一般，从一般到特殊思想。

二、学习重、难点：重点：了解数列的概念及其表示方法，会写出简单数列的通项公式难点：数列与函数关系的理解，用归纳法写数列的通项三、学习过程【导、探、议、练】导知识点一：数列及其有关概念思考1：数列1,2,3与数列3,2,1是同一个数列吗？思考2：数列的记法和集合有些相似，那么数列与集合的区别是什么？梳理:(1)按照________排列的________称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的_____.数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的__________(通常也叫做______)，排在第二位的数称为这个数列的……排在第n位的数称为这个数列的__________.(2) 数列的一般形式可以写成，简记为_________.知识点二：通项公式思考1:数列1,2,3,4，…的第100项是多少？你是如何猜的？思考2 数列的通项公式an＝f(n)与函数解析式y＝f(x)有什么异同？知识点三:数列的分类思考:对数列进行分类，可以用什么样的分类标准？梳理:(1)按项数分类，项数有限的数列叫做__________数列，项数无限的数列叫做__________数列．(2)按项的大小变化分类，从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做___________；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做；各项相等的数列叫做；从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做_____________.探、议（一）自主探究类型一:由数列的前几项写出数列的一个通项公式例1 写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)5,10,15,20,…(2)12，14，116，8,… (3)-1,1,-1,1,…跟踪训练1写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：(1)11×2，1112×3，3×4，4×5, (2222)(2)2－12，3－13，4－14，5－15,…(3) 13572,4,6,8,…类型二:数列的通项公式的应用例2 已知数列{an}的通项公式an＝12N， n∈N*.(1)写出它的第5项；(2)判断164是不是该数列中的项，是，是第几项？例3 判断16和45是否为数列?3n?1?中的项，如果是，请指出是第几项？跟踪训练2已知数列{a1n}的通项公式为an＝n(n＋2)(n∈N*)，那么1120是这个数列的第______项．练课时作业A1．下列叙述正确的是( )A．数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列B．数列0,1,2,3，…可以表示为{n}C．数列0,1,0,1，…是常数列D．数列{nn＋1}是递增数列2．数列2,3,4,5，…的一个通项公式为( )A．an＝n，n∈N*B．an＝n＋1，n∈N*C．an＝n＋2，n∈N*D．an＝2n，n∈N* ．3.已知数列{a(－1)n－13?nn}的通项公式an＝2n－1，n∈N*，则a1＝________；an＋1＝________.4．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式．(1)－1,1，3,5，…； (2)2,2,2,2，…； (3) -113，6，－19，112，…；B1．已知数列{a2n}的通项公式为an＝n－n－50，n∈N*，则－8是该数列的( ) A．第5项B．第6项 C．第7项 D．非任何一项2．数列1,3,6,10，…的一个通项公式是( )A．a2n＝n－n＋1 B．a(n－1)n＝n2 C．an(n＋1)n＝2 D．an＝n2＋13．数列23，45，67，89，…的第10项是( )A.1617B.182019C.21D.22234．数列4,9,16,25，…的一个通项公式是________．5．已知数列???9n2－9n＋2?????9n2－1??，n∈N*.(1)求这个数列的第10项；(2)98101是不是该数列中的项，为什么？【课后反思】学完本节课，你在知识、方法等方面有什么收获与感受？请写下来。

数列的概念教案职业教案标题：数列的概念教案指导教案目标：1. 了解数列的概念和基本特征。

2. 掌握数列的表示方法和常见数列的特征。

3. 能够应用数列的概念解决实际问题。

教学准备：1. 教师准备：白板、黑板笔、教学PPT等。

2. 学生准备：课本、笔记本、铅笔等。

教学过程：引入：1. 引入数列的概念：通过展示一组有规律的数字，引导学生思考其中的规律，并引出数列的概念。

2. 引导学生回顾之前学过的有关数字的知识，如数的顺序、数的大小等，为后续学习数列的概念做铺垫。

探究：1. 讲解数列的定义：通过简单明了的语言解释数列的定义，引导学生理解数列是按照一定规律排列的一组数。

2. 示范数列的表示方法：介绍数列的表示方法，包括通项公式、递推公式和集合表示法，并通过具体的例子进行说明。

3. 引导学生观察数列的特征：通过给出一些数列，让学生观察其中的规律和特点，如等差数列的公差、等比数列的公比等。

拓展：1. 引导学生发现常见数列的特征：介绍常见的数列，如等差数列、等比数列、斐波那契数列等，并让学生发现它们的特征和规律。

2. 练习数列的表示和求解：提供一些练习题，让学生运用所学的数列概念和方法求解数列中的某些项或未知的参数。

应用：1. 引导学生将数列概念应用到实际问题中：给出一些实际问题，让学生思考如何将其转化为数列，并运用数列的概念解决问题。

2. 提供一些拓展问题：鼓励学生思考更复杂的数列问题，如数列的和、数列的推广等，培养学生的数学思维和解决问题的能力。

总结：1. 对数列的概念进行总结：复习数列的定义和表示方法，并强调数列的特征和应用。

2. 激发学生对数列的兴趣：分享一些有趣的数列问题或数列在实际生活中的应用，激发学生对数学的兴趣和学习的动力。

教学反思：教师可以针对学生的学习情况进行及时的反馈和调整，根据学生的理解程度和掌握情况，适当调整教学进度和内容，确保教学效果的提高。

同时，鼓励学生积极参与课堂讨论和练习，提高他们对数列概念的理解和应用能力。

数列（第一课时）的说课稿今天我将要为大家讲的课题是“数列（第一课时）”一、教材结构与内容简析本节内容在全书及章节的地位：《数列（第一课时）》是中等职业学校数学教材第二册第一章第一节。

数列是高中数学的重要内容之一，它的地位作用可以从三个方面来看：（1）数列有着广泛的实际应用。

如堆放物品总数的计算要用到数列前n项和公式；又如产品规格设计的某些问题要用到等比数列的原理；再如储蓄、分期付款的有关计算也要用到数列的一些知识。

（2）数列起着承前启后的作用。

一方面，初中数学的许多内容在解决数列的某些问题中得到了充分运用，数列与前面学习的函数等知识有密切的联系；数列是刻画离散现象的函数，是一种重要的数学模型，人们往往通过离散现象认识连续现象.另一方面，学习数列又为进一步学习数列的极限等内容作好了准备。

因此就有必要研究数列。

（3）数列是培养学生数学能力的良好题材。

学习数列，要经常观察、分析、归纳、猜想，还要综合运用前面的知识解决数列中的一些问题，这些都有助于学生数学能力的提高。

所以说数列是高中数学重要内容之一二、教学目标根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征，我制定如下教学目标：1、基础知识目标：形成并掌握数列的概念，理解数列的通项公式。

并通过数列与函数的比较加深对数列的认识。

2、能力训练目标：培养学生观察、归纳、类比、联想等发现规律的一般方法。

3、情感目标：让学生在民主、和谐的共同活动中感受学习的乐趣。

三、教学重点、难点、关键本着课程标准，在吃透教材基础上，我觉得本节课是本章内容的第一节课，是学生学习本章的基础，为了本章后面知识的学习，首先必须掌握数列的概念，其次数列的通项公式是研究后面等差数列、等比数列的灵魂，所以我认为数列的概念及其通项公式是教学的重点。

由特殊到一般，由现象到本质，要学生从一个数列的前几项或相邻的几项来观察、归纳、类比、联想出数列的通项公式，学生必须通过自己的努力寻找出数列的通项an与项数n之间的关系来，对学生的能力要求比较高，所以我认为建立数列的通项公式是教学的难点。

第 课时教学内容：数列的定义教学目的：理解数列的定义、通项公式、Sn 的含义，掌握通项公式的求法及其应用，了解递推的含义．教学重点：数列的基本概念．教学难点：求通项公式、递推公式的应用 教学过程：一、数列的定义： 按一定顺序排列成的一列数叫做数列． 记为：{a n }．即{a n }: a 1, a 2, … , a n ．二、通项公式：用项数n 来表示该数列相应项的公式,叫做数列的通项公式。

1、本质：数列是定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数． 2、通项公式: a n =f(n)是a n 关于n 的函数关系． 三、前n 项之和：S n = a 1+a 2+…+a n 注 求数列通项公式的一个重要方法： 对于数列}{n a ,有： ⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n s s n s a n nn例1、已知数列{100-3n}，（1）求a 2、a 3；（2）67是该数列的第几项；（3）此数列从第几项起开始为负项． 解：例2 求下列数列的通项公式：（1）1，3，5，7， ……（2）-211⨯，321⨯，-431⨯，541⨯.…… （3）9,99,999,9999,……解：（1）12-=n a n ；（2）)1(1)1(+-=n n a nn ；（3）110-=nn a练习：定写出数列3，5，9，17，33，……的通项公式： 答案：a n =2n +1 。

例3 已知数列{}n a 的第1项是1，以后的各项由公式111-+=n n a a 给出，写出这个数列的前5项．解 据题意可知：3211,211,123121=+==+==a a a a a ，58,3511534==+=a a a 例4 已知数列{}n a 的前n 项和，求数列的通项公式： （1） n S =n 2+2n ； （2） n S =n 2-2n-1.解：（1）①当n ≥2时，n a =n S -1-n S =(n 2+2n)-[(n-1)2+2(n-1)]=2n+1；②当n=1时，1a =1S =12+2×1=3；③经检验，当n=1时，2n+1=2×1+1=3，∴n a =2n+1为所求. （2）①当n ≥2时，n a =n S -1-n S =(n 2-2n-1)-[(n-1)2+2(n-1)-1]=2n-3； ②当n=1时，1a =1S =12-2×1-1=-2；③经检验，当n=1时，2n-3=2×1-3=-1≠-2，∴n a =⎩⎨⎧≥-=-)2(32)1(2n n n 为所求．注：数列前n 项的和n S 和通项n a 是数列中两个重要的量，在运用它们的关系式1n n n a S S -=-时，一定要注意条件2n ≥ ，求通项时一定要验证1a 是否适合四、提高：例5 当数列{100-2n}前n 项之和最大时，求n 的值．分析：前n 项之和最大转化为10n n a a +≥⎧⎨≤⎩．五、同步练习：1．已知：2n a n n =+，那么 （C ） （A ）0是数列中的一项 （B ）21是数列中的一项 （C ）702是数列中的一项 （C ）30不是数列中的一项2、在数列2，5，9，14，20，x ，…中，x 的值应当是 （D ） （A ）24 （B ）25 （C ）26 （D ）273、已知数列11,7,3，…,79,…且a n =179，则n 为 （C ） （A ）21 （B ）41 （C ）45 （D ）494、数列{a n }通项公式a n =log n+1(n+2)，则它的前30项之积是 （B ）（A ）51（B ）5 （C ）6 （D ）231log 3log 3215+ 5、已知数列1,-1,1,-1，…，则下列各式中，不是它的通项公式的为 （D ） （A ）1)1(--=n n a （B ）2)12(sinπ-=n a n （C ） 1 ()1()n n a n ⎧=⎨-⎩为奇数为偶数（D ）n n a )1(-=6、数列 ,541,431,321,211⋅⋅-⋅⋅-的一个通项公式是 （A ）（A ）)1(1)1(+-=n n a n n （B ）)1(1)1(1+-=+n n a n n（C ）nn a nn)1(1)1(-⋅-=（D ）)2()1(+-=n n a nn7、数列通项是nn a n ++=11，当其前n 项和为9时，项数n 是 （B ）（A ）9 （B ）99 （C ）10（D ）100 8．数列112，223，334，445，…的一个通项公式是 （B ）（A ）21n n a n =+ （B ）221n n n a n +=+ （C ）211n n n a n ++=+ （D ）221n n n a n +=+ 92,5,22,11,,则25 （B ） （A ）第六项 （B ）第七项 （C ）第八项 （D ）第九项 10．已知数列{a n }满足a 1=1,且121(2)n n a a n -=+≥，求数列的第五项a 5= 31 11、已知数列{a n }的前n 项和S n 满足log 2 (S n + 1) = n + 1，求a n .（答案： 3 n=12 n 2n n a ⎧=⎨≥⎩）12、已知数列{100-4n}，（1）求a 10；（2）求此数列前10项之和； （3）当此数列前n 项之和最大时，求n 的值． 答案（1）60（2）780（3）24or2513、设数列{a n }中，S n =－n 2＋24n ，（1）求通项公式； (2)求a 10＋a 11＋a 12＋…＋a 20的值； (3)求S n 最大时a n 的值.答案：（1）an=25-2n （2）-55（3）1 补充：1、已知数列{a n }满足a 1=b(b ≠1),且)(211N n a a nn ∈-=+, （1）求a 1, a 2, a 3; （2）求此数列的通项公式．2、已知数列{a n }前n 项之和S n =1nn +，求a n .3、一数列的通项公式为a n = 30 + n －n 2. ①问－60是否为这个数列中的一项. ②当n 分别为何值时，a n = 0, a n >0, a n <0第 课时教学内容：等差数列（1）教学目的：通过复习，巩固等差数列的定义、通项公式、求和公式 教学重点：等差数列 教学过程：（一）主要知识 1．等差数列的定义:如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示．即：)()(1•+∈=-N n d a a n n 常数2．通项：d n a a n )1(1-+=，推广：d m n a a m n )(-+=． 3．求和：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=．（关于n 的没有常数项的二次函数）． 4．中项：若a 、b 、c 等差数列，则b 为a 与c 的等差中项:2b=a+c （二）主要方法： 1．等差数列的判定方法(1)定义法: )()(1•+∈=-N n d a a n n 常数 (2)中项法:212+++=n n n a a a (3)通项法:d n a a n )1(1-+= (4)前n 项和法:Bn An S n +=2 2．知三求二(n n S a n d a ,,,,1),要求选用公式要恰当.3．设元技巧: 三数:d a a d a +-,, 四数d a d a d a d a 3,,,3-+-- （二）基础题型： 讲练题：1．求等差数列8，5，2…的第20项。

职高数学基础模块下（人教版）教案：数列一、基础知识定义1 数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，…，n ，…. 数列分有穷数列和无穷数列两种，数列{a n }的一般形式通常记作a 1, a 2, a 3,…，a n 或a 1, a 2, a 3,…，a n …。

其中a 1叫做数列的首项，a n 是关于n 的具体表达式，称为数列的通项。

定理1 若S n 表示{a n }的前n 项和，则S 1=a 1, 当n >1时，a n =S n -S n -1. 定义2 等差数列，如果对任意的正整数n ，都有a n +1-a n =d （常数），则{a n }称为等差数列，d 叫做公差。

若三个数a , b , c 成等差数列，即2b =a +c ，则称b 为a 和c 的等差中项，若公差为d, 则a =b -d, c =b +d.定理2 等差数列的性质：1）通项公式a n =a 1+(n -1)d ；2）前n 项和公式：S n =d n n na a a n n 2)1(2)(11-+=+；3）a n -a m =(n -m)d ，其中n , m 为正整数；4）若n +m=p +q ，则a n +a m =a p +a q ；5）对任意正整数p , q ，恒有a p -a q =(p -q )(a 2-a 1)；6）若A ，B 至少有一个不为零，则{a n }是等差数列的充要条件是S n =An 2+Bn .定义3 等比数列，若对任意的正整数n ，都有q a ann =+1，则{a n }称为等比数列，q 叫做公比。

定理3 等比数列的性质：1）a n =a 1q n -1；2）前n 项和S n ，当q ≠1时，S n =qq a n --1)1(1；当q =1时，S n =na 1；3）如果a , b , c 成等比数列，即b 2=ac (b ≠0)，则b 叫做a , c 的等比中项；4）若m+n =p +q ，则a m a n =a p a q 。

7.1数列的概念一、学习目标：理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项，理解n a 与n S 的关系，培养观察能力和化归能力．二、自主学习：1.数列2、5、22、…，则25是该数列的( B )A ．第6项B ．第7项C ．第10项D ．第11项2．已知1111,1(2)n n a a n a -==+≥，则5a =85． 3．在数列{}n a中n a =，且9n S =，则n =99．【考点梳理】1．在数列{a n }中，前n 项和S n 与通项a n 的关系为：⎩⎨⎧∈≥-===-)N n ,2( )1( 111n S S n S a a n n n (数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =+++).2．求数列的通项公式的方法（未完，待续）方法1——观察归纳法：先观察哪些因素随项数n 的变化而变化，哪些因素不变；初步归纳出公式，再取n 的特珠值进行检验，最后用数学归纳法对归纳出的结果加以证明；方法2——由a n 与S n 的关系求通项公式。

方法3——归纳、猜想、证明法：有的数列求出通项公式时，常先由递推公式算出前几项，发现规律、归纳、猜想出通项公式再加以证明。

方法4——递推关系法：先观察数列相邻项间的递推关系，将它们一般化，得到的数列普遍的递推关系，再通过代数方法由递推关系求出通项公式.3．数列与函数的关系：研究数列可联系函数的相关知识，如数列的表示法（列表法、图象法、公式法等）、数列的分类（有限和无穷、有界无界、单调或摆动等）.应注意用函数的观点分析问题.1）判定数列{a n }的单调性考查的是a n ＋1与a n 的大小关系.2）待定系数法：解读：1）比差法或比商法。

2）使用待定系数法的一般步骤是：①确定所求问题含待定系数的解析式；（2）根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程；3）解方程（组），使问题得到解决。

《数列的概念》学历案（第一课时）一、学习主题本课学习主题为“数列的概念”。

数列是数学中一个基础且重要的概念，对于理解函数、概率统计等后续知识具有承上启下的作用。

通过本课的学习，学生将掌握数列的基本概念、分类及基本性质，为后续的数学学习打下坚实的基础。

二、学习目标1. 理解数列的定义及基本特征，能正确区分数列与函数的区别与联系。

2. 掌握数列的分类方法，并能根据数列的通项公式或项数序列判断数列的类型。

3. 了解等差数列和等比数列的通项公式和前n项和公式，并能进行简单的应用。

4. 培养学生的数学逻辑思维能力和分析解决问题的能力。

三、评价任务1. 学生对数列定义的掌握程度，通过课堂提问和小组讨论进行评价。

2. 学生能否正确判断数列的类型，通过课堂练习进行评价。

3. 学生能否理解并运用等差数列和等比数列的公式进行计算，通过课后作业进行评价。

四、学习过程1. 导入新课：通过生活中的实例（如存款利息、股票价格等）引出数列的概念，激发学生的学习兴趣。

2. 概念讲解：讲解数列的定义、特征及分类方法，强调数列与函数的区别。

3. 分类学习：重点讲解等差数列和等比数列的概念、通项公式及前n项和公式。

4. 案例分析：通过典型例题分析，让学生掌握如何判断数列类型及如何运用公式进行计算。

5. 课堂练习：学生独立完成练习题，巩固所学知识。

6. 小组讨论：学生分组讨论生活中的数列实例，加深对数列概念的理解。

五、检测与作业1. 课堂检测：通过课堂小测验，检测学生对数列概念及分类的掌握情况。

2. 课后作业：布置相关练习题，包括判断数列类型、运用公式进行计算等，加强学生对知识的巩固和应用。

3. 拓展作业：要求学生收集生活中的数列实例，并尝试运用所学知识进行分析和解释。

六、学后反思1. 学生应反思自己在学习过程中对数列概念的理解程度，找出自己的不足之处。

2. 学生应总结在学习过程中遇到的困难及解决方法，以便在以后的学习中避免类似问题。

一、教学目标1. 知识目标：（1）使学生掌握数列的概念、通项公式、前n项和公式等基本知识。

（2）使学生了解数列在自然科学、社会科学和实际生活中的应用。

2. 能力目标：（1）培养学生观察、分析、归纳、推理等数学思维能力。

（2）提高学生运用数列知识解决实际问题的能力。

3. 情感目标：（1）激发学生对数学学习的兴趣，培养良好的学习习惯。

（2）培养学生的合作精神、创新意识和团队协作能力。

二、教学内容1. 数列的概念及性质2. 数列的通项公式3. 数列的前n项和公式4. 数列的应用三、教学过程1. 导入新课（1）结合实际生活，引导学生思考数列在生活中的应用，激发学生学习兴趣。

（2）通过列举实例，让学生了解数列的基本概念。

2. 新课讲解（1）数列的概念及性质：讲解数列的定义、通项公式、递推公式等基本概念，并通过实例让学生理解数列的性质。

（2）数列的通项公式：讲解数列的通项公式、递推公式、求和公式等，通过实例让学生掌握通项公式的求解方法。

（3）数列的前n项和公式：讲解数列的前n项和公式，并通过实例让学生掌握前n项和的计算方法。

（4）数列的应用：结合实际生活，讲解数列在自然科学、社会科学和实际生活中的应用。

3. 练习巩固（1）布置课后作业，巩固所学知识。

（2）课堂上进行随堂练习，及时检验学生的学习效果。

4. 总结与反思（1）引导学生总结本节课所学内容，巩固知识点。

（2）鼓励学生提出问题，共同探讨解决方法。

四、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的学习态度、合作精神、创新意识等方面。

2. 作业完成情况：检查学生课后作业的完成质量，了解学生对知识的掌握程度。

3. 课堂练习：通过课堂练习，检验学生对知识的运用能力。

4. 期末考试：全面评价学生对数列知识的掌握程度。

五、教学资源1. 教材：选用符合中职教学要求、内容丰富的数列教材。

2. 多媒体课件：制作与教学内容相关的多媒体课件，提高课堂教学效果。

3. 实际案例：收集与数列相关的实际案例，丰富教学内容。

数列的定义教案教案标题：数列的定义教案教学目标：1. 理解数列的概念和定义；2. 能够区分等差数列和等比数列；3. 掌握数列的通项公式和求和公式；4. 能够应用数列的概念解决实际问题。

教学准备：1. 教师准备：白板、黑板笔、投影仪；2. 学生准备：教科书、笔、纸。

教学过程：步骤一：引入1. 教师通过投影仪或白板展示一组数字：2, 4, 6, 8, 10，然后询问学生这组数字有何特点。

2. 学生可能会提到这组数字之间的差值相等，教师引导学生思考这组数字是否有其他规律。

步骤二：概念讲解1. 教师告诉学生，这组数字是一个数列，数列是按照一定规律排列的一组数字。

2. 教师引导学生思考这组数字的规律，并解释这是一个等差数列，因为每个数字与它前面的数字之间的差值相等。

3. 教师给出等差数列的定义：等差数列是指数列中任意两个相邻的项之间的差值相等的数列。

步骤三：例题演示1. 教师给出另一个数列：3, 6, 12, 24，然后询问学生这组数字的规律。

2. 学生可能会发现这组数字之间的比值相等，教师引导学生思考这组数字是否有其他规律。

3. 教师解释这是一个等比数列，因为每个数字与它前面的数字之间的比值相等。

4. 教师给出等比数列的定义：等比数列是指数列中任意两个相邻的项之间的比值相等的数列。

步骤四：总结1. 教师与学生一起总结等差数列和等比数列的定义。

2. 教师提醒学生数列的通项公式和求和公式是解决数列问题的重要工具，并简要介绍这两个公式的概念。

步骤五：练习1. 教师提供一些练习题，让学生应用所学的知识解决数列问题。

2. 教师鼓励学生在解题过程中积极思考，提供必要的指导和帮助。

步骤六：作业布置1. 教师布置相关的作业，巩固学生对数列的理解和应用能力。

2. 教师提醒学生及时复习和解决作业中的问题。

教学反思：本节课通过引入、概念讲解、例题演示、总结、练习和作业布置等环节，帮助学生理解数列的概念和定义，并掌握等差数列和等比数列的特点。

《数列的概念》教学设计发布时间：2022-10-21T05:29:42.217Z 来源：《中小学教育》2022年第6月12期作者：李智萍[导读] 《数列的概念》是中等职业学校数学基础模块下册第6章第1节的内容.本章将数列作为一种特殊的函数，采用函数的研究思路来研究数列。

李智萍武汉市财政学校，湖北武汉 430000一、教材分析：《数列的概念》是中等职业学校数学基础模块下册第6章第1节的内容.本章将数列作为一种特殊的函数，采用函数的研究思路来研究数列。

然后学生根据已经学习过的函数的概念和性质，来类比学习数列的概念和性质。

本节课承前启后，将为后面学习等差，等比数列的概念和性质打下坚实的基础。

二、教学分析：三维教学目标：知识目标：了解数列的相关概念，掌握数列的通项公式的求法能力目标：通过环节一和环节二，学生能理解数列的相关概念，并会根据通项公式写出数列中的项，以及判断某个数是不是数列中的项；通过环节三，学生能写出一些常见简单数列的通项公式.情感目标：为了落实新课程标准，本节课导入“斐波那契数列”视频，渗透课程思政，设置闯关游戏等方式，激发学生的求知欲，培养学生严谨的数学思维，提升学生社会主义核心价值观。

教学重难点：重点：理解数列的概念难点：探求数列的通项公式如何突破重难点？采用兴趣导入，问题驱动，和实例导入的形式来突破重点；利用表格进行直观比较，同时结合巩固练习，变式训练，游戏闯关等形式来突破难点。

三、教学过程环节一：兴趣导入设计意图：通过精彩的视频播放，学生从中感受到大自然万物生长的神奇，从而激发学生学习兴趣。

四、教学反思根据中职新课程标准以及人才培养方案，本节课共设计了三个教学环节和三个教学亮点，环环相扣，层层递进。

我们先让学生感受神奇的“斐波那契数列”的神奇之处，接着举出两个实例来引出数列的概念，同时通过实例贯穿思政元素，让学生体会数学就在身边。

真正做到在激发学生求知欲的同时，又培养了学生正确的社会主义核心价值观。

【课题】6．1 数列的概念
【教学目标】
知识目标：
（1）了解数列的有关概念；
（2）掌握数列的通项（一般项）和通项公式．
能力目标：
通过实例引出数列的定义,培养学生的观察能力和归纳能力．
【教学重点】
利用数列的通项公式写出数列中的任意一项并且能判断一个数是否为数列中的一项．【教学难点】
根据数列的前若干项写出它的一个通项公式．
【教学设计】
通过几个实例讲解数列及其有关概念：项、首项、项数、有穷数列和无穷数列．讲解数列的通项（一般项）和通项公式．
从几个具体实例入手,引出数列的定义.数列是按照一定次序排成的一列数．学生往往不易理解什么是“一定次序”．实际上，不论能否表述出来，只要写出来，就等于给出了“次序”，比如我们随便写出的两列数：2，1，15，3，243，23与1，15，23，2，243，3，就都是按照“一定次序”排成的一列数，因此它们就都是数列，但它们的排列“次序”不一样，因此是不同的数列．
例1和例3是基本题目,前者是利用通项公式写出数列中的项；后者是利用通项公式判断一个数是否为数列中的项,是通项公式的逆向应用．
例2是巩固性题目,指导学生分析完成.要列出项数与该项的对应关系，不能泛泛而谈,采用对应表的方法比较直观,降低了难度,学生容易接受.
【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
2课时．(90分钟)
【教学过程】
【教师教学后记】。

数列的概念与简单表示法数列的概念与简单表示法(一)三维目标 一、知识与技能1.理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；2.了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；3.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式. 二、过程与方法1.采用探究法，按照思考、交流、实验、观察、分析、得出结论的方法进行启发式教学；2.发挥学生的主体作用，作好探究性学习；3.理论联系实际，激发学生的学习积极性. 三、情感态度与价值观1.通过日常生活中的大量实例，鼓励学生动手试验.理论联系实际，激发学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的辩证唯物主义观点；2.通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣.教学过程推进新课 ［合作探究］ 折纸问题师 请同学们想一想，一张纸可以重复对折多少次？请同学们随便取一张纸试试(学生们兴趣一定很浓).生 一般折5、6次就不能折下去了，厚度太高了.师 你知道这是为什么吗？我们设纸原来的厚度为1长度单位，面积为1面积单位，随依次折的次数，它的厚度和每层纸的面积依次怎样？生 随着对折数厚度依次为:2，4，8，16，…，256，…；① 随着对折数面积依次为21,41 ,81 ,161 ,…,2561 ,…. 生 对折8次以后，纸的厚度为原来的256倍，其面积为原来的分 1[]256式，再折下去太困难了. 师 说得很好，随数学水平的提高，我们的思维会更加理性化.请同学们观察上面我们列出的这一列一列的数，看它们有何共同特点？ 生 均是一列数.生 还有一定次序.师 它们的共同特点：都是有一定次序的一列数.［教师精讲］1.数列的定义：按一定顺序排列着的一列数叫做数列.注意：（1）数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；（2）定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.2.数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项(或首项)，第2项，…，第n 项，….同学们能举例说明吗？生 例如，上述例子均是数列，其中①中，“2”是这个数列的第1项(或首项)，“16”是这个数列中的第4项.3.数列的分类：1)根据数列项数的多少分：有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列.无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6…是无穷数列.2)根据数列项的大小分：递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列.递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列.常数数列：各项相等的数列.摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列. 请同学们观察：课本P 33的六组数列，哪些是递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列？ 生 这六组数列分别是(1)递增数列，(2)递增数列，(3)常数数列，(4)递减数列，(5)摆动数列，(6)1.递增数列，2.递减数列. ［知识拓展］师 你能说出上述数列①中的256是这数列的第多少项？能否写出它的第n 项？生 256是这数列的第8项，我能写出它的第n 项，应为a n =2n . ［合作探究］同学们看数列2，4，8，16，…，256，…①中项与项之间的对应关系，项 2 4 8 16 32↓ ↓ ↓ ↓ ↓序号 1 2 3 4 5 你能从中得到什么启示？生 数列可以看作是一个定义域为正整数集N *(或它的有限子集{1，2，3，…，n })的函数a n =f(n )，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值.反过来，对于函数y=f(x)，如果f(i)(i=1、2、3、4…)有意义，那么我们可以得到一个数列f(1),f(2),f(3),…,f(n ),…. 师 说的很好.如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式. ［例题剖析］1.根据下面数列{a n }的通项公式，写出前5项：(1)a n =1 n n ;(2)a n =(-1)n ·n . 师 由通项公式定义可知，只要将通项公式中n 依次取1，2，3，4，5，即可得到数列的前5项.生 解：(1)n =1,2,3,4,5.a 1=21;a 2=32;a 3=43;a 4=54;a 5=65. (2)n =1,2,3,4,5.a 1=-1;a 2=2;a 3=-3;a 4=4;a 5=-5.师 好！就这样解.2.根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1)3，5，7，9，11，…；(2)32，154，356，638，9910，…； (3)0，1，0，1，0，1，…；(4)1，3，3，5，5，7，7，9，9，…；(5)2，-6，12，-20，30，-42，….师 这里只给出数列的前几项的值，哪位同学能写出这些数列的一个通项公式？(给学生一定的思考时间)生老师，我写好了！解：(1)a n ＝2n ＋1；(2)a n ＝)12)(12(2+-n n n ；(3)a n ＝2)1(1n -+； (4)将数列变形为1＋0，2＋1，3＋0，4＋1，5＋0，6＋1，7＋0，8＋1，…，∴a n ＝n ＋2)1(1n-+； (5)将数列变形为1×2，-2×3，3×4，-4×5，5×6，…，∴a n ＝(-1)n +1n (n ＋1).师 完全正确！这是由“数”给出数列的“式”的例子，解决的关键是要找出这列数呈现出的规律性的东西，然后再通过归纳写出这个数列的通项公式.［合作探究］师 函数与数列的比较(由学生完成此表)：函数 数列(特殊的函数) 定义域R 或R 的子集 N *或它的有限子集{1，2，…，n } 解析式y=f(x) a n =f(n ) 图象 点的集合 一些离散的点的集合师 对于函数，我们可以根据其函数解析式画出其对应图象，看来，数列也可根据其通项公式来画出其对应图象，下面同学们练习画数列:4，5，6，7，8，9，10…;② 1,21 ,31 ,41 ,…③的图象. 生 根据这数列的通项公式画出数列②、③的图象为师 数列4，5，6，7，8，9，10,…②的图象与我们学过的什么函数的图象有关？ 生 与我们学过的一次函数y=x+3的图象有关.师 数列1,21 ,31 ,41 ,…③的图象与我们学过的什么函数的图象有关？ 生 与我们学过的反比例函数x y 1=的图象有关. 师 这两数列的图象有什么特点？生 其特点为：它们都是一群孤立的点.生 它们都位于y 轴的右侧，即特点为：它们都是一群孤立的，都位于y 轴的右侧的点. 本课时的整个教学过程以学生自主探究为主，教师起引导作用，充分体现学生的主体作用，体现新课程的理念.课堂小结对于本节内容应着重掌握数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，并会根据数列的前n 项求一些简单数列的通项公式.备课资料 一、备用例题1.写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：(1)1，3，5，7；(2)515;414,313;2122222----;(3)211⨯-,321⨯- ,431⨯- ,541⨯-.分析：(1)项：1=2×1-1 3=2×2-1 5=2×3-1 7=2×4-1↓ ↓ ↓ ↓序号： 1 2 3 4所以我们得到了a n =2n -1；(2)序号： 1 2 3 4↓ ↓ ↓ ↓项分母： 2=1+1 3=2+1 4=3+1 5=4+1↓ ↓ ↓ ↓项分子： 22-1=(1+1)2-1 32-1=(2+1)2-1 42-1=(3+1)2-1 52-1=(4+1)2-1所以我们得到了a n =1)1(2++n n 或1)2(+•+n nn ；(3)序号: 1 2 3 4↓ ↓ ↓ ↓211⨯- 321⨯- 431⨯- 541⨯-↓ ↓ ↓ ↓)11(11+⨯- )12(21+⨯- )13(31+⨯- )14(41+⨯-所以我们得到了a n =-)1(1+⨯n n .2.写出下面数列的一个通项公式，使它的前n 项分别是下列各数：(1)1,0,1,0; 〔a n =2)1(11+-+n ,n ∈N *〕(2)-32,83,154- ,245,356-; 〔a n =(-1)n ·1)1(12-++n n 〕(3)7,77,777,7 777; 〔a n =97×(10n -1)〕(4)-1,7,-13,19,-25,31; 〔a n =(-1)n (6n -5)〕(5)23,45,169,25617. 〔a n =12212-+n n 〕点评：上述两题都是根据数列的前几项来写出这数列的通项公式，根据数列的前几项来写出这数列的通项公式时，常可联想奇数、偶数、平方数、指数等等.遇到分数的时候，常可根据需要把分子和分母同时扩大再来看看分子和分母中数的规律性，有时可直截了当地研究分子和分母之间的关系.3.已知数列{a n }的通项公式是a n =2n 2-n ，那么( )A .30是数列{a n }的一项B .44是数列{a n }的一项C.66是数列{a n }的一项 D .90是数列{a n }的一项分析：注意到30，44，66，90均比较小，可以写出这个数列的前几项，如果这前几项中出现了这四个数中的某一个，则问题就可以解决了.若出现的数比较大，还可以用解方程求正整数解的方法加以解决.答案：C点评：看一个数A 是不是数列{a n }中的某一项，实质上就是看能不能找出一个非零自然数n ，使得a n =A .4.(链接探究题)假定有一张极薄的纸，厚度为2001cm 就是每200张叠起来刚好为1 cm ，现在把这张纸裁一为二，叠起来，它的厚度记为a 1；再裁一为二，叠起来，它的厚度记为a 2，又裁一为二，叠起来，它的厚度记为a 3，这样一裁一叠，每次叠起来所得的厚度依次排列，就得到一个数列：a 1,a 2,a 3,…,a k ,….你能求出这个数列的通项公式吗？你知道a 50，即裁了50次、叠了50次后的厚度是多少厘米吗？是否有10层楼高呢？答案：这个数列的通项公式为a n =2002n ， 裁了50次、叠了50次后的厚度是5 629 499 534 213.12 cm ＞56 294 995 km ，大于地球到月球距离的146倍.二、阅读材料无法实现的奖赏相传古印度舍罕王朝有一位宰相叫达依尔，据说是他发明了国际象棋，古印度的舍罕王学会了下国际象棋以后，非常激动，他要重赏他的宰相达依尔.达依尔对他的国王说：陛下，我不要您的重赏，只要您按我下面的办法赏我一些麦粒就可以了：在我的棋盘上(它有64个格)第一格赏1粒，第二格赏2粒，第三格赏4粒，第四格赏8粒……依此类推每后一格的麦粒数都是前面一格的两倍.国王答应了达依尔的要求，但是几天以后他就发现事实上这是一个无法兑现的奖赏.请问国王为什么不能兑现他的奖赏呢？2.1.2 数列的概念与简单表示法(二)从容说课这节课通过对数列通项公式的正确理解，让学生进一步了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项；通过经历数列知识的感受及理解运用的过程，作好探究性教学.发挥学生的主体作用，提高学生的分析问题以及解决问题的能力.教学重点 根据数列的递推公式写出数列的前几项.教学难点 理解递推公式与通项公式的关系.教具准备 多媒体三维目标 一、知识与技能1.了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；2.会根据数列的递推公式写出数列的前几项. 二、过程与方法1.经历数列知识的感受及理解运用的过程;2.发挥学生的主体作用，作好探究性实验;3.理论联系实际，激发学生的学习积极性. 三、情感态度与价值观通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣.教学过程导入新课师 同学们，昨天我们学习了数列的定义，数列的通项公式的意义等内容，哪位同学能谈一谈什么叫数列的通项公式？生 如果数列{a n }的第n 项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.师 你能举例说明吗？生 如数列0，1，2，3，…的通项公式为a n =n -1(n ∈N *);1,1,1的通项公式为a n =1(n ∈N *,1≤n ≤3); 1,21 ,31 ,41 ,…的通项公式为a n =n1 (n ∈N *). ［合作探究］数列的表示方法师 通项公式是表示数列的很好的方法，同学们想一想还有哪些方法可以表示数列？ 生 图象法，我们可仿照函数图象的画法画数列的图形.具体方法是以项数n 为横坐标，相应的项a n 为纵坐标，即以(n ,a n )为坐标在平面直角坐标系中作出点(以前面提到的数列1, 21,31,41,…为例，作出一个数列的图象)，所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在y 轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数.从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势.师 说得很好，还有其他的方法吗？生 ……师 下面我们来介绍数列的另一种表示方法：递推公式法知识都来源于实践，同时还要应用于生活，用其来解决一些实际问题.下面同学们来看右下图：钢管堆放示意图(投影片).观察钢管堆放示意图，寻其规律，看看能否建立它的一些数学生 模型一：自上而下第1层钢管数为4,即14＝1+3;第2层钢管数为5,即25＝2+3;第3层钢管数为6,即36＝3+3;第4层钢管数为7,即47＝4+3;第5层钢管数为8,即58＝5+3;第6层钢管数为9,即69＝6+3;第7层钢管数为10,即710＝7+3.若用a n 表示钢管数，n 表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且a n =n +3(1≤n ≤7). 师 同学们运用每一层的钢管数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，这完全正确，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数.这会给我们的统计与计算带来很多方便.让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？(启发学生寻找规律)生 模型二：上下层之间的关系自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1,即a 1=4；a 2=5=4+1=a 1+1；a 3=6=5+1=a 2+1.依此类推：a n =a n -1+1(2≤n ≤7).师对于上述所求关系，同学们有什么样的理解?生 若知其第1项，就可以求出第二项，以此类推，即可求出其他项.师 看来，这一关系也较为重要，我们把数列中具有这种递推关系的式子叫做递推公式. 推进新课1.递推公式定义：如果已知数列{a n }的第1项(或前几项)，且任一项a n 与它的前一项a n -1(或前n 项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.注意：递推公式也是给出数列的一种方法.如下列数字排列的一个数列：3，5，8，13，21，34，55，89.递推公式为：a 1=3,a 2=5,a n =a n -1+a n -2(3≤n ≤8).2.数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，函数的表示法有：列表法、图象法、解析式法.相对于数列来说也有相应的这几种表示方法：即列表法、图象法、解析式法. ［例题剖析］【例1】 设数列{a n }满足1,11111＞n a a a n n ⎪⎩⎪⎨⎧+==-.写出这个数列的前五项. 师 分析：题中已给出{a n }的第1项即a 1=1，题目要求写出这个数列的前五项，因而只要再求出二到五项即可.这个递推公式：a n =1+11-n a 我们将如何应用呢? 生 这要将n 的值2和a 1=1代入这个递推公式计算就可求出第二项，然后依次这样进行就可师 请大家计算一下!生 解：据题意可知：a 1=1,a 2=1+11a =2,a 3=1+21a =32,a 4=1+31a =35,a 5=58师 掌握递推公式很关键的一点就是其中的递推关系，同学们要注意探究和发现递推公式中的前项与后项，或前后几项之间的关系.【例2】 已知a 1=2，a n +1=2a n ，写出前5项，并猜想a n .师 由例1的经验我们先求前5项.生 前5项分别为2，4，8，16，32.师 对，下面来猜想第n 项.生 由a 1=2，a 2=2×2=22，a 3=2×22=23观察可得，我猜想a n =2n .师 很好!生 老师，本题若改为求a n 是否还可这样去解呢?师 不能.必须有求解的过程.生 老师，我由a n +1=2a n 变形可得a n =2a n -1，即21=-n n a a ，依次向下写，一直到第一项，然后将它们乘起来，就有⨯⨯⨯-----32211n n n n n n a a a a a a …×1122-=n a a ，所以a n =a 1·2n -1=2n . 师 太妙了，真是求解的好方法.你所用的这种方法通常叫迭乘法，这种方法在已知递推公式求数列通项的问题中是比较常用的方法，对应的还有迭加法.［知识拓展］已知a 1=2，a n +1=a n -4,求a n .师 此题与前例2比较，递推式中的运算改为了减法，同学们想一想如何去求解呢? 生1 写出：a 1=2，a 2=-2，a 3=-6，a 4=-10，…观察可得：a n =2+(n -1)(n -4)=2-4(n -1).生2 他这种解法不行，因为不是猜出a n ，而是要求出a n .我这样解：由a n +1-a n =-4依次向下写，一直到第一项，然后将它们加起来,a n -a n -1=-4a n -1-a n -2=-4a n -2-a n -3=-4……)1(44a )112--=--=-+n a a a n ∴a n =2-4(n -1).师 好极了，真是触类旁通啊，这种方法也请同学们课后多体会.［教师精讲］(1)数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定的，如果只有递推关系而无初始值，那么这个数列是不能确定的.例如，由数列{a n }中的递推公式a n +1=2a n +1无法写出数列{a n }中的任何一项，若又知a 1=1，则可以依次地写出a 2=3,a 3=7,a 4=15,….(2)递推公式是给出数列的一种方法，由递推公式可能求出数列的通项公式，也可能求不出通项公式. ［学生活动］根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式.(投影片)(1)a 1＝0，a n +1＝a n ＋(2n -1)(n ∈N )；(2)a 1＝1，a n +1＝2+n n a a (n ∈N )； (3)a 1＝3，a n +1＝3a n -2(n ∈N ).(让学生思考一定时间后，请三位学生分别作答)解：(1)a 1＝0，a 2＝1，a 3＝4，a 4＝9，a 5＝16，∴a n ＝(n -1)2.(2)a 1＝1，a 2＝32，a 3＝21=42，a 4＝52，a 5＝31 =62，∴a n ＝12+n . (3)a 1＝3＝1+2×30，a 2＝7＝1+2×31，a 3＝19＝1+2×32， a 4＝55＝1+2×33，a 5＝163＝1+2×34，∴a n ＝1＋2·3 n -1.注：不要求学生进行证明归纳出通项公式.［合作探究］一只猴子爬一个8级的梯子，每次可爬一级或上跃二级，最多能上跃起三级，从地面上到最上一级，你知道这只猴子一共可以有多少种不同的爬跃方式吗？析：这题是一道应用题，这里难在爬梯子有多种形式，到底是爬一级还是上跃二级等情况要分类考虑周到.爬一级梯子的方法只有一种.爬一个二级梯子有两种,即一级一级爬是一种，还有一次爬二级，所以共有两种. 若设爬一个n 级梯子的不同爬法有a n 种,则a n =a n -1+a n -2+a n -3(n ≥4),则得到a 1=1,a 2=2,a 3=4及a n =a n -1+a n -2+a n -3(n ≥4)，就可以求得a 8=81.课堂小结师 这节课我们主要学习了数列的另一种给出方法，即递推公式及其用法，要注意理解它与通项公式的区别，谁能说说？生 通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项(或n 项)之间的关系.生 对于通项公式，只要将公式中的n 依次取1，2，3…,即可得到相应的项.而递推公式则要已知首项(或前n 项)，才可求得其他的项.(让学生自己来总结，将所学的知识，结合获取知识的过程与方法，进行回顾与反思，从而达到三维目标的整合.培养学生的概括能力和语言表达能力)。