弧弦圆心角练习题

中考数学专题练习圆的圆心角、弧、弦的关系（含解析）2019中考数学专题练习-圆的圆心角、弧、弦的关系（含解析）一、单选题1.如图，已知AB是⊙O的直径，弧BC=弧CD=弧DE，，那么的度数是（）A.B.C.D.2.如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，AD∥BC．那么与的数量关系是（）A. =B. ＞C. 30°D. 22.5°5.如图，已知⊙O的半径等于1cm，AB是直径，C，D是⊙O上的两点，且==，则四边形ABCD的周长等于（）A. 4cmB. 5cmC. 6cmD. 7cm6.如图，A，B是⊙O的直径，C、D在⊙O上，，若∠DAB=58°，则∠CAB=（）A. 20°B. 22°C. 24°D. 26°7.如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，连接BC、BD、AC，下列结论中不一定正确的是（）A. ∠ACB=90°B. OE=BEC. BD=BCD. △BDE∽△CAE8.如图所示，M是弧AB的中点，过点M的弦MN 交AB于点C，设⊙O的半径为4cm，MN=4 cm，则∠ACM的度数是（）A. 45°B. 50°C. 55°D. 60°9.如图，AB是⊙O的直径，= = ，∠COD=34°，则∠AEO的度数是（）A. 51°B. 56°C. 68°D. 78°10.如图，在⊙O中，已知=，则AC与BD的关系是（）A. AC=BDB. AC＜BDC. AC＞BDD. 不确定二、填空题11.如图，AB是⊙O的直径，==，∠COD=35°，则∠AOE=________°．12.已知，半径为4的圆中，弦AB把圆周分成1：3两部分，则弦AB长是________ ．13.圆的一条弦分圆成4：5两部分，则此弦所对的圆心角等于________．14.如图，⊙O中，已知弧AB=弧BC，且弧AB：弧AmC=3：4，则∠AOC=________度．15.在⊙O中，弦AB∥CD，则∠AOC________∠BOD．16.如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，分别以AC，BC为底边向外作高为AC，BC长的等腰△ACM，等腰△BCN，，的中点分别是P，Q．若MP+NQ=12，AC+BC=15，则AB的长是________ ．17.如图所示，∠BOC=∠COD=∠DOE=∠AOE，则∠DOE=36 度，的度数为________ 度．18.如图，AB是⊙O的直径，如果∠COA=∠DOB=60°，那么与线段OA相等的线段有________ ，与相等的弧有________ ．三、解答题19.已知：如图所示，AD=BC。

<弧、弦、圆心角 、圆周角>练习一、选择题1．同圆中两弦长分别为x 1和x 2它们所对的圆心角相等，那么（ ）A ．x 1 ＞x 2B ．x 1 ＜x 2 C. x 1 ＝x 2 D ．不能确定2．下列说法正确的有（ ）①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③在同圆中，相等的弦所对的圆心角相等；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．在⊙O 中同弦所对的圆周角（ ）A ．相等B ．互补C ．相等或互补D ．以上都不对4．如图所示，如果的⊙O 半径为2弦AB= AB 的距离OE 为（ ）A ． 1 B． C ．12D5．如图所示，⊙O 的半径为5，弧AB 所对的圆心角为120°，则弦AB 的长为（ ）A ．BC ． 8D ．6．如图所示，正方形ABCD 内接于⊙O 中，P 是弧AD 上任意一点，则∠ABP+∠DCP 等于（ ）A ．90°B 。

45 °C 。

60°D 。

30°第 6 题图第 5 题图第 4 题图二、填空题 7．一条弦恰好等于圆的半径，则这条弦所对的圆心角为________8．如图所示，已知AB 、CD 是⊙O 的两条直径，弦DE ∥AB ，∠DOE=70°则∠BOD=___________9．如图所示，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠B=25°，以C 为圆心，CA 为半径的圆交AB 于点D ，则∠ACD=___________第 9 题图第 8 题图B B10．D 、C 是以AB 为直径的半圆弧上两点，若弧BC 所对的圆周角为25°弧AD 所对的圆周角为35°，则弧DC 所对的圆周角为_____度11．如图所示，在⊙O 中，A 、B 、C 三点在圆上，且∠CBD=60，那么∠AOC=_______12．如图所示，CD 是圆的直径，O 是圆心，E 是圆上一点且∠EOD=45°，A 是DC 延长线上一点，AE 交圆于B ，如果AB=OC ，则∠EAD= ____________第12题图第11题图D三、解答题 13.已知如图所示，OA 、OB 、OC 是⊙O 的三条半径，弧AC 和弧BC 相等，M 、N 分别是OA 、OB 的中点。

第二十四章圆24.1.3弧、弦、圆心角一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如图，已知AB是O的直径，D，C是劣弧EB的三等分点，∠BOC=40°，那么∠AOE=A．40°B．60°C．80°D．120°【答案】B2．将一个圆分割成四个大小相同的扇形，则每个扇形的圆心角是（）度．A．45 B．60C．90 D．120【答案】C【解析】∵圆心处构成一个周角,∴圆心角为360°,∵将圆分割成四个大小相同的扇形,∴每个扇形的圆心角是90°,故选C.【名师点睛】本题考查了扇形和圆心角的定义，解题的关键是掌握一个圆的圆心角为360°.3．已知AB与A′B′分别是O与O′的两条弦,AB=A′B′,那么∠AOB与∠A′O′B′的大小关系是A．∠AOB=∠A′O′B′ B．∠AOB>∠A′O′B′C．∠AOB<∠A′O′B′ D．不能确定【答案】D【解析】由弦相等推弦所对的圆心角相等,必须保证在同圆或等圆中.此题没有限制,所以不能确定∠AOB 和∠A′O′B′的大小关系.4．下列图形中表示的角是圆心角的是A ．AB ．BC ．CD ．D【答案】A【解析】根据圆心角的定义:顶点在圆心的角是圆心角可知,B,C,D 项图形中的顶点都不在圆心上,所以它们都不是圆心角.故选A. 5．如果两个圆心角相等，那么 A ．这两个圆心角所对的弦相等B ．这两个圆心角所对的弧相等C ．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等D ．以上说法都不对 【答案】D6．在同圆中，下列四个命题:(1)圆心角是顶点在圆心的角；(2)两个圆心角相等， 它们所对的弦也相等；(3)两条弦相等，它们所对的弧也相等；(4)等弧所对的圆心角相等.其中真命题有A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】B【解析】圆心角是顶点在圆心的角，所以①正确，为真命题；在同圆中，两个圆心角相等，它们所对的弦也相等，所以②正确，为真命题；在同圆中，两条弦相等，所对的劣弧也相等，所以③错误，为假命题；等弧所对的圆心角相等，所以④正确，为真命题． 故选B ．7．如图，已知A 、B 、C 、D 是⊙O 上的点，∠1＝∠2，则下列结论中正确的有 ①AB CD =；②BD AC =；③AC ＝BD ；④∠BOD ＝∠AO C ．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D二、填空题：请将答案填在题中横线上．8．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠AOC=40°，D是弧BC的中点，则∠ACD= ________．【答案】125°【解析】连接OD，∵AB是⊙O的直径，∠AOC=40°，∴∠BOC=140°，∠ACO=（180°-40°）÷2=70°，∵D是弧BC的中点，∴∠COD=70°，∴∠OCD=（180°-70°）÷2=55°，∴∠ACD=∠ACO+∠OCD=70°+55°=125°，故答案为125°．9．在半径为R的⊙O中，有一条弦等于半径，则弦所对的圆心角为 ________．【答案】60°【解析】如图，AB=OA=OB，所以△ABC为等边三角形，所以∠AOB=60°．故答案为60°．10．弦AB将⊙O分成度数之比为1：5的两段弧，则∠AOB= _________°.【答案】60三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．11．如图,AB,CD,EF都是O的直径,且∠1=∠2=∠3,求证:AC=EB=DF.【解析】在O中,∵∠1=∠2=∠3,又∵AB,CD,EF都是O的直径,∴∠FOD=∠AOC=∠BOE.∴DF=AC=EB,∴AC=EB=DF.。

圆心角、弧、弦的关系（北京习题集）（教师版）一．选择题（共5小题）1．（2017秋•北京期末）如图， 圆心角25AOB ∠=︒，将AB 旋转n ︒得到CD ，则COD ∠等于( )A ．25︒B ．25n ︒+︒C ．50︒D ．50n ︒+︒2．（2017秋•海淀区校级期中）如图， 在55⨯正方形网格中， 一条圆弧经过A 、B 、C 三点， 那么AC 所对的圆心角的大小是( )A ．60︒B ．75︒C ．80︒D ．90︒3．（2016秋•大兴区期末）如图，A ，B ，C 是O 上三个点，2AOB BOC ∠=∠，则下列说法中正确的是( )A ．OBA OCA ∠=∠B ．四边形OABC 内接于O C ．2AB BC =D ．90OBA BOC ∠+∠=︒4．（2016•海淀区校级模拟）如图，用不同颜色的马赛克覆盖一个圆形的台面，估计15︒的圆心角的扇形部分大约需要34片马赛克片．已知每箱装有125片马赛克片，那么应该购买多少箱马赛克片才能铺满整个台面( )A ．56-箱B ．67-箱C ．78-箱D ．89-箱5．（2015•通州区二模）如图，O 中，如果2AB AC =，那么( )A ．AB AC =B ．2AB AC =C ．2AB AC <D ．2AB AC >二．填空题（共6小题）6．（2019秋•西城区校级期中）已知弦AB 的长等于O 的半径，弦AB 所对的圆周角是 度．7．（2017秋•西城区期末）如图，O 的半径等于4，如果弦AB 所对的圆心角等于120︒，那么圆心O 到弦AB 的距离等于 ．8．（2008秋•怀柔区期末）如图，AC 是O 的直径，AB AC =，AB 交O 于E ，BC 交O 于D ，44A ∠=︒，则DE 的度数是 度．9．（2009秋•海淀区期中）一条弦AB 将O 分成两条弧，其中一条弧是另一条弧的4倍，则弦AB 所对的圆心角的度数是 度．10．（2007•海淀区校级自主招生）如图，AB 是O 的直径，BC ，CD ，DA 是O 的弦， 且BC CD DA ==，则BCD ∠= ．11．（2016秋•西城区期中）如图，CD 是O 的直径，点A 是半圆上的三等分点，B 是弧AD 的中点，P 点为直线CD 上的一个动点，当4CD =时，AP BP +的最小值为 ．三．解答题（共4小题）12．（2019秋•海淀区期末）如图，在O 中，AC CB =，CD OA ⊥于点D ，CE OB ⊥于点E ． （1）求证：CD CE =；（2）若120AOB ∠=︒，2OA =，求四边形DOEC 的面积．13．（2019秋•西城区校级期中）ABC ∆的三个顶点在O 上，AD BC ⊥，D 为垂足，E 是BC 的中点，求证：12∠=∠（提示：可以延长AO 交O 于F ，连接)BF ．14．（2019秋•西城区校级期中）如图，以ABCD 的顶点A 为圆心，AB 为半径作A ，分别交BC ，AD 于E ，F 两点，交BA 的延长线于G ，判断弧EF 和弧FG 是否相等，并说明理由．15．（2018秋•海淀区校级月考）问题呈现： 阿基米德折弦定理： 如图 1 ，AB 和BC 是O 的两条弦 （即 折线ABC 是圆的一条折弦） ，BC AB >，M 是ABC 的中点， 则从M 向BC 所作垂线的垂足D 是折弦ABC 的中点， 即CD AB BD =+． 下面是运用“截长法”证明CD AB BD =+的部分证明过程 ．证明： 如图 2 ，在CB 上截取CG AB =，连接MA ，MB ，MC 和MG ．M 是ABC 的中点，MA MC ∴=⋯⋯请按照上面的证明思路， 写出该证明的剩余部分； 实践应用：（1） 如图 3 ，已知ABC ∆内接于O ，BC AB AC >>，D 是ACB 的中点， 依据阿基米德折弦定理可得图中某三条线段的等量关系为 ．（2） 如图 4 ，已知等腰ABC ∆内接于O ，AB AC =，D 为AB 上一点， 连接DB ，45ACD ∠=︒，AE CD ⊥于点E ，BDC ∆的周长为422+，2BC =，请求出AC 的长 ．圆心角、弧、弦的关系（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．（2017秋•北京期末）如图， 圆心角25AOB ∠=︒，将AB 旋转n ︒得到CD ，则COD ∠等于( )A ．25︒B ．25n ︒+︒C ．50︒D ．50n ︒+︒【分析】根据旋转的性质得到AB CD =，根据圆心角、 弧、 弦的关系定理解答 ． 【解答】解：将AB 旋转n ︒得到CD ，∴AB CD =，25COD AOB ∴∠=∠=︒， 故选：A ．【点评】本题考查的是旋转变换的性质、 圆心角、 弧、 弦的关系， 在同圆或等圆中， 如果两个圆心角、 两条弧、 两条弦中有一组量相等， 那么它们所对应的其余各组量都分别相等 ． 2．（2017秋•海淀区校级期中）如图， 在55⨯正方形网格中， 一条圆弧经过A 、B 、C 三点， 那么AC 所对的圆心角的大小是( )A ．60︒B ．75︒C ．80︒D ．90︒【分析】根据垂径定理的推论： 弦的垂直平分线必过圆心， 分别作AB ，BC 的垂直平分线即可得到圆心， 进而解答即可 ．【解答】解： 作AB 的垂直平分线， 作BC 的垂直平分线， 如图，它们都经过Q ，所以点Q 为这条圆弧所在圆的圆心 ． 连接AQ ，CQ ， 在APQ ∆与CQN ∆中AP QN APQ QNC PQ CN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()APQ CQN SAS ∴∆≅∆，AQP CQN ∴∠=∠，PAQ CQN ∠=∠ 90AQP PAQ ∠+∠=︒， 90AQP CQN ∴∠+∠=︒， 90AQC ∴∠=︒，即AC 所对的圆心角的大小是90︒， 故选：D ．【点评】本题考查了垂径定理的推论： 弦的垂直平分线必过圆心 ． 这也常用来确定圆心的方法 ．3．（2016秋•大兴区期末）如图，A ，B ，C 是O 上三个点，2AOB BOC ∠=∠，则下列说法中正确的是( )A ．OBA OCA ∠=∠B ．四边形OABC 内接于O C ．2AB BC =D ．90OBA BOC ∠+∠=︒【分析】过O 作OD AB ⊥于D 交O 于E ，由垂径定理得到AE BE =，于是得到AE BE BC ==，推出AE BE BC ==，根据三角形的三边关系得到2BC AB >，故C 错误；根据三角形内角和得到1(180)902OBA AOB BOC ∠=︒-∠=︒-∠，13(180)9022OCA AOC BOC ∠=︒-∠=︒-∠，推出OBA OCA ∠≠∠，故A 错误；由点A ，B ，C 在O 上，而点O 在圆心，得到四边形OABC 不内接于O ，故B 错误；根据余角的性质得到90OBA BOC ∠+∠=︒，故D 正确； 【解答】解：过O 作OD AB ⊥于D 交O 于E ， 则AE BE =，AE BE ∴=，12AOE BOE AOB ∠=∠=∠，2AOB BOC ∠=∠， AOE BOE BOC ∴∠=∠=∠，∴AE BE BC ==，AE BE BC ∴==， 2BC AB ∴>，故C 错误； OA OB OC ==，1(180)902OBA AOB BOC ∴∠=︒-∠=︒-∠，13(180)9022OCA AOC BOC ∠=︒-∠=︒-∠，OBA OCA ∴∠≠∠，故A 错误；点A ，B ，C 在O 上，而点O 在圆心，∴四边形OABC 不内接于O ，故B 错误；12BOE BOC AOB ∠=∠=∠，90BOE OBA ∠+∠=︒，90OBA BOC ∴∠+∠=︒，故D 正确；故选：D ．【点评】本题考查了圆心角，弧，弦的关系，垂径定理，三角形的三边关系，正确的作出辅助线是解题的关键． 4．（2016•海淀区校级模拟）如图，用不同颜色的马赛克覆盖一个圆形的台面，估计15︒的圆心角的扇形部分大约需要34片马赛克片．已知每箱装有125片马赛克片，那么应该购买多少箱马赛克片才能铺满整个台面( )A ．56-箱B ．67-箱C ．78-箱D ．89-箱【分析】设需要x 箱马赛克片，由题意：3603412515x ⨯=，解方程即可． 【解答】解：设需要x 箱马赛克片．由题意：3603412515x ⨯=， 6.5x ∴≈．∴需要马赛克片67-箱．故选：B ．【点评】本题考查圆心角、弧弦之间的关系，一元一次方程等知识，解题的关键是学会设未知数列方程解决问题，属于中考常考题型．5．（2015•通州区二模）如图，O 中，如果2AB AC =，那么( )A ．AB AC =B ．2AB AC =C ．2AB AC <D ．2AB AC >【分析】取弧AB 的中点D ，连接AD ，DB ，由已知条件可知AD BD AC ==，在ADB ∆中由三角形的三边关系可知AD BD AB +>，即2AC AB >，问题得解． 【解答】解：取弧AB 的中点D ，连接AD ，DB ， 2AB AC =，AD BD AC ∴==，在ADB ∆中由三角形的三边关系可知AD BD AB +>， 2AC AB ∴>，即2AB AC <， 故选：C ．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系以及三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，题目设计新颖，是一道不错的中考题． 二．填空题（共6小题）6．（2019秋•西城区校级期中）已知弦AB 的长等于O 的半径，弦AB 所对的圆周角是 30或150 度． 【分析】在圆中，由半径和弦组成的三角形是等腰三角形，又因为AB 的长等于半径，所以由弦和半径组成的三角形是等边三角形，根据等边三角形的性质，弦所对的圆心角为60︒，所以弦所对的圆周角为30︒或150︒．【解答】解：如图示，AB OA OB ==， OAB ∴∆是等边三角形， 60AOB ∴∠=︒， 30ACB ∴∠=︒， 150ADB ∴∠=︒．故弦AB 所对的圆周角是 30或150度． 故答案为：30或150．【点评】本题极易漏解，需注意圆中的一条弦对着两个圆周角，它们是互补关系．7．（2017秋•西城区期末）如图，O 的半径等于4，如果弦AB 所对的圆心角等于120︒，那么圆心O 到弦AB 的距离等于 2 ．【分析】由圆心角120AOB ∠=︒，可得AOB ∆是等腰三角形，又由OC AB ⊥，再利用含30︒角的直角三角形的性质，可求得OC 的长．【解答】解：如图，圆心角120AOB ∠=︒，OA OB =，OAB ∴∆是等腰三角形， OC AB ⊥，90ACO ∴∠=︒，30A ∠=︒，122OC OA ∴==．故答案为：2【点评】此题考查了垂径定理、含30︒角的直角三角形的性质．注意根据题意作出图形是关键．8．（2008秋•怀柔区期末）如图，AC 是O 的直径，AB AC =，AB 交O 于E ，BC 交O 于D ，44A ∠=︒，则DE的度数是 44 度．【分析】通过A ∠的度数，可求出底角ABC ∠．又通过90AEC ∠=︒，求出ECB ∠．而DE 的度数是ECB ∠的两倍． 【解答】解：AB AC =，44A ∠=︒(18044)268ABC ∴∠=︒-︒÷=︒又AC 是O 的直径90AEC ∴∠=︒906822ECD ∴∠=︒-︒=︒∴DE 的度数为44︒．故填44︒．【点评】掌握等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，直径所对的圆周角是直角，弧的度数等于它所对的圆周角度数的两倍．9．（2009秋•海淀区期中）一条弦AB 将O 分成两条弧，其中一条弧是另一条弧的4倍，则弦AB 所对的圆心角的度数是 72 度．【分析】根据题意知，弦AB 将圆周分成了5等分，而弦AB 所对的圆心角占了其中的15，由此可求出此圆心角的度数．【解答】解：由于弦AB 将O 分成了1:4两段弧， AB ∴所对的圆心角1360725AOB ∠=⨯︒=︒．【点评】此题主要考查了圆心角、弧的关系．10．（2007•海淀区校级自主招生）如图，AB 是O 的直径，BC ，CD ，DA 是O 的弦， 且BC CD DA ==，则BCD ∠= 120︒ ．【分析】由已知可得， 弦BC 、CD 、DA 三等分半圆， 从而不难求得BCD ∠的度数 ． 【解答】解： 连接OC 、OD ，BC CD DA ==，∴AD DC CB ==，∴弦BC 、CD 、DA 三等分半圆，∴弦BC 和CD 和DA 对的圆心角均为60︒， 1(18060)1202BCD ∴∠=︒+︒=︒． 故答案是：120︒．【点评】本题利用了弧、 弦与圆心角的关系求解， 注意半圆对的圆心角为180︒．11．（2016秋•西城区期中）如图，CD 是O 的直径，点A 是半圆上的三等分点，B 是弧AD 的中点，P 点为直线CD上的一个动点，当4CD =时，AP BP +的最小值为 22 ．【分析】本题是要在CD 上找一点P ，使PA PB +的值最小，设A '是A 关于CD 的对称点，连接A B '，与CD 的交点即为点P ．此时PA PB A B +='是最小值，可证△OA B '是等腰直角三角形，从而得出结果．【解答】解：作点A 关于CD 的对称点A '，连接A B '，交CD 于点P ，则PA PB +最小，连接OA '，AA '．点A 与A '关于CD 对称，点A 是半圆上的一个三等分点，60AOD AOD ∴∠'=∠=︒，PA PA ='，点B 是弧AD 的中点，30BOD ∴∠=︒，90AOB AOD BOD ∴∠'=∠'+∠=︒，又2OA OA ='=，22A B ∴'=．22PA PB PA PB A B ∴+='+='=故答案为：2【点评】此题主要考查了轴对称最短线段问题以及垂径定理和勾股定理等知识，正确确定P 点的位置是解题的关键，确定点P 的位置这类题在课本中有原题，因此加强课本题目的训练至关重要．三．解答题（共4小题）12．（2019秋•海淀区期末）如图，在O 中，AC CB =，CD OA ⊥于点D ，CE OB ⊥于点E ．（1）求证：CD CE =；（2）若120AOB ∠=︒，2OA =，求四边形DOEC 的面积．【分析】（1）连接OC ，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到AOC BOC ∠=∠，根据角平分线的性质定理证明结论；（2）根据直角三角形的性质求出OD ，根据勾股定理求出CD ，根据三角形的面积公式计算，得到答案．【解答】（1）证明：连接OC ，AC BC =，AOC BOC ∴∠=∠，又CD OA ⊥，CE OB ⊥，CD CE ∴=；（2）解：120AOB ∠=︒，60AOC BOC ∴∠=∠=︒，90CDO ∠=︒，30OCD ∴∠=︒，112OD OC ∴==， 2222213CD OC OD ∴=--OCD ∴∆的面积132OD CD =⨯⨯= 同理可得，OCE ∆的面积132OD CD =⨯⨯= ∴四边形DOEC 的面积333=【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、勾股定理、直角三角形的性质，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．13．（2019秋•西城区校级期中）ABC∠=∠⊥，D为垂足，E是BC的中点，求证：12∆的三个顶点在O上，AD BC（提示：可以延长AO交O于F，连接)BF．【分析】连接OE，利用垂径定理可得OE BCOE AD，然后即可证明．⊥，可得//⊥，再利用AD BC【解答】证明：连接OE，E是BC的中点，∴弧BE=弧EC，∴⊥，OE BC⊥，AD BC∴，OE AD//∴∠=∠，OEA EADOE OA=，∴∠=∠，OAE OEA∴∠=∠．12【点评】此题主要考查学生对三角形内角和定理和圆心角、弧、弦的关系等知识点的理解和掌握，此题难度不大，关键是作好辅助线．14．（2019秋•西城区校级期中）如图，以ABCD 的顶点A 为圆心，AB 为半径作A ，分别交BC ，AD 于E ，F 两点，交BA 的延长线于G ，判断弧EF 和弧FG 是否相等，并说明理由．【分析】要证明EF FG =，则要证明DAE GAD ∠=∠，由AB AE =，得出ABE AEB ∠=∠，由平行四边形的性质得出B GAF ∠=∠，FAE AEB ∠=∠，GAF FAE ∠=∠，由圆心角、弧、弦的关系定理得出EF FG =．【解答】解：EF FG =，理由：连接AE ．AB AE ∴=，B AEB ∴∠=∠，四边形ABCD 是平行四边形，//AD BC ∴，B GAF ∴∠=∠，FAE AEB ∠=∠，GAF FAE ∴∠=∠，∴EF FG =．【点评】本题考查了平行四边形性质，平行线性质，圆心角、弧、弦的关系定理等知识点的应用，关键是求出DAE GAD ∠=∠，题目比较典型，难度不大．15．（2018秋•海淀区校级月考）问题呈现： 阿基米德折弦定理： 如图 1 ，AB 和BC 是O 的两条弦 （即 折线ABC 是圆的一条折弦） ，BC AB >，M 是ABC 的中点， 则从M 向BC 所作垂线的垂足D 是折弦ABC 的中点， 即CD AB BD =+． 下面是运用“截长法”证明CD AB BD =+的部分证明过程 ．证明： 如图 2 ，在CB 上截取CG AB =，连接MA ，MB ，MC 和MG ． M 是ABC 的中点，MA MC ∴=⋯⋯请按照上面的证明思路， 写出该证明的剩余部分；实践应用：（1） 如图 3 ，已知ABC ∆内接于O ，BC AB AC >>，D 是ACB 的中点， 依据阿基米德折弦定理可得图中某三条线段的等量关系为 BE CE AC =+ ．（2） 如图 4 ，已知等腰ABC ∆内接于O ，AB AC =，D 为AB 上一点， 连接DB ，45ACD ∠=︒，AE CD ⊥于点E ，BDC ∆的周长为422+，2BC =，请求出AC 的长 ．【分析】首先证明()MBA MGC SAS ∆≅∆，进而得出MB MG =，再利用等腰三角形的性质得出BD GD =，即可得出答案；（1） 直接根据阿基米德折弦定理得出结论；（2） 根据阿基米德折弦定理得出CE BD DE =+，进而求出CE ，最后用勾股定理即可得出结论 ．【解答】证明： 如图 2 ，在CB 上截取CG AB =，连接MA ，MB ，MC 和MG ， M 是ABC 的中点，MA MC ∴=．在MBA ∆和MGC ∆中，BA GC A C MA MC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()MBA MGC SAS ∴∆≅∆，MB MG ∴=，又MD BC ⊥，BD GD ∴=，DC GC GD AB BD ∴=+=+；实践应用（1） 如图 3 ，依据阿基米德折弦定理可得：BE CE AC =+；故答案为：BE CE AC =+；（2）AB AC =，A ∴是BAC 的中点，AE CD ⊥，根据阿基米德折弦定理得，CE BD DE =+，BCD ∆的周长为422+，422BD CD BC ∴++=+，2422BD DE CE BC CE BC ∴+++=+=+，2BC =，22CE ∴=，在Rt ACE ∆中，45ACD ∠=︒，22AE CE ∴==，4AC ∴=．【点评】此题是圆的综合题， 考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，理解和应用阿基米德折弦定理是解题关键 ．。

《圆心角、弧、弦、弦心距、间关系》习题 1．下列说法中正确的是（ ）．
A ．相等的圆心角所对的弧相等
B ．等弧所对的圆心角相等
C ．相等的弦所对的弦心距相等
D ．弦心距相等，则弦相等
2．在半径为5cm 的圆中，有一条长为6cm 的弦，则圆心到此弦的距离为（ ）．
A ．3cm
B ．4cm
C ．5cm
D ．6cm
3．下列说法：①等弧的度数相等；②等弧的长度相等；③度数相等的两条弧是等弧；④长度相等的两条弧是等弧，其中正确的有（ ）．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
4．在⊙O 中，弦AB 所对的劣弧为圆的3
1，圆的半径为4cm ，则弦AB 的长是（ ）． A ．3cm B ．2cm C ．32cm D ．34cm
5．弦AB 把⊙O 分成1∶2两部分，AB ＝8cm ，则弦AB 的弦心距等于___________．
6．直径为20cm 的圆中，有一条长为310cm 的弦，则这条弦所对的圆心角的度数是___________，这条弦的弦心距是___________．
7．在⊙O 中，AB 是弦，∠OAB ＝50°，则弦AB 所对的圆心角的度数是___________，弦AB 所对的两条弧的度数是___________．
8．在⊙O 中，OC 是半径，弦EF 过OC 的中点且垂直于OC ，则弦EF 所对的圆心角的度数是___________，弦EF 的弦心距和弦EF 的长的比是___________．
9．如图，AB 、CD 是⊙O 的直径，弦AE ∥CD ，连结CE 、BC ，求证：BC ＝CE ．（用两种方法加以证明）
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初三数学弧弦圆心角的练习题1. 圆心角是90°的扇形的圆的周长为12π cm，求该扇形的面积。

解析：假设扇形的半径为r cm，则圆心角为90°的弧长为r cm。

根据圆的周长公式，可得：2πr = 12π解得：r = 6 cm扇形的面积为：(1/4)πr² = (1/4)π(6)² = 9π cm²2. 若圆心角为30°，则它所对的弧的度数是多少？解析：圆心角度数与所对弧度数相等，因此该圆心角所对的弧的度数是30°。

3. 在圆上，直径AB的长度为12 cm，弦CD的长度为8 cm。

求圆心角ACB的度数。

解析：对于圆上的任意一个圆心角，其所对的弦长是固定的。

设弦长CD = 8 cm，直径AB = 12 cm。

由于直径等于两个弦加起来的长度，可得：12 cm = 8 cm + CE解得：CE = 4 cm由于圆心角ACB所对的弦CD等于1/2的直径AB，所以CE = 1/2 AB。

因此，圆心角ACB所对的弦CD是直径AB的1/2，即圆心角ACB 的度数为180°的1/2，即90°。

4. 在圆上，弦AC的度数为60°，则对应的圆心角ABC的度数是多少？解析：对于圆上的任意一个圆心角，其度数等于所对的弦的度数的2倍。

因此，圆心角ABC的度数为60°的2倍，即120°。

5. 在圆上，弦DE的度数等于圆心角DFE的度数的4倍，并且圆心角DFE的度数比弦DE多30°。

求弦DE所对的圆心角的度数。

解析：设圆心角DFE的度数为x°。

根据题意可得：弦DE的度数 = 圆心角DFE的度数的4倍 = 4x°圆心角DFE的度数 = 弦DE的度数 + 30° = 4x° + 30°根据圆心角与所对弦的关系，可得：弦DE所对的圆心角的度数 = 圆心角DFE的度数的2倍 = 2(4x° + 30°) = 8x° + 60°综上所述，弦DE所对的圆心角的度数为8x° + 60°。

专题27 弧弦圆心角的关系一、单选题1．下列命题中是真命题的是（）A．1的平方根是1B．等弦所对的圆周角相等C．等腰三角形的高、角平分线、中线重合D．两条直线被第三条直线所截，内错角不一定相等【答案】D【分析】由平方根的含义判断,A由圆的弧，弦，圆心角，圆周角的关系判断,B由等腰三角形的性质判断,C由内错角的含义判断,D从而可得答案．【详解】解：1的平方根是 ，故A不符合题意；等弦所对的圆周角不一定相等，故B不符合题意；等腰三角形的底边上的高、顶角的角平分线、底边上的中线互相重合，故C不符合题意；两条直线被第三条直线所截，内错角不一定相等，真命题，故D符合题意；故选：.D【点睛】本题考查的是真假命题的判断，同时考查了内错角的含义，平方根的含义，等腰三角形的性质，弧，弦，圆心角，圆周角的关系，圆周角定理，掌握以上知识是解题的关键．2．如图，AB是⊙O的直径，C、D是ACB上的三等分点，则⊙A+⊙D＝（）A．120°B．95°C．105°D．150°【答案】A【分析】根据圆周角定理和圆心角、弦、弧的关系求得⊙ACB＝90°，⊙BOD＝60°，⊙A＝60°，再根据OB=OD证得⊙BOD为等边三角形，则有⊙D=60°，即可求解．【详解】解：⊙C、D是ACB上的三等分点，⊙AC CD BD==，⊙AB是⊙O的直径，⊙⊙ACB＝90°，⊙BOD＝60°，⊙A＝60°，⊙OB＝OD，⊙⊙OBD为等边三角形，⊙⊙D＝60°，⊙⊙A+⊙D＝120°，故选：A．【点睛】本题考查圆周角定理，圆心角、弦、弧的关系，等边三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识的运用是解答的关键．3．如果在两个圆中有两条相等的弦，那么（）A．这两条弦所对的圆心角相等B．这两条弦所对的弧相等C．这两条弦都被与它垂直的半径平分D．这两条弦所对的弦心距相等【答案】C【分析】在同圆或等圆中，两条相等的弦所对的圆心角相等，弧相等，据此解答．【详解】解：A. 在同圆或等圆中，两条相等的弦所对的圆心角相等，故A 错误；B. 在同圆或等圆中，两条相等的弦所对弧相等，故B 错误；C. 如果在两个圆中有两条相等的弦，这两条弦都被与它垂直的半径平分，故C 正确；D. 如果在两个圆中有两条相等的弦，这两条弦所对的弦心距不一定相等，故D 错误．【点睛】本题考查圆心角、弧、弦的关系及垂径定理，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 4．如图，A B C D 、、、是O 上的点，180AOD BOC ∠+∠=︒．若2,6AD BC ==，则BOC ∆的面积为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．12【答案】A【分析】 作出辅助线延长BO 交O 于点E ，连接CE ，由此构建圆心角AOD COE ∠=∠，根据圆周角与弧长和弦长的关系得到2AD CE ==，再据此求出BEC △的面积，经由OB OE =即可求出BCE 的面积.【详解】解：如图延长BO 交O 于点E ，连接CE ，⊙B O E 、、三点共线⊙180COE BOC ∠+∠=︒，90BCE ∠=︒，⊙CE BC ⊥，⊙180AOD BOC ∠+∠=︒，⊙AOD COE ∠=∠，⊙AD CE =，⊙2AD CE ==,⊙6BC =， ⊙1162622S BC CE ==⨯⨯=△BCE ， ⊙OB OE =， ⊙116322S S ==⨯=△BOC △BEC . 故选A.【点睛】 本题主要考查圆心角所对弧、弦的关系，圆周角定理，关键在于作出OB 的延长线OE ，来构造出圆心角相等，以此来解决问题.5．如图，AB 是O 的直径，,C D 是ACB 上的三等分点，且1sin 2ABC ∠=，则A D ∠+∠等于 （ ）A ．120°B ．95°C ．105°D ．150°【答案】A【分析】 由圆心角、弦、弧的关系及圆周角定理可得⊙ACB=90°，⊙BOD=60°，⊙A=60°，通过证明⊙OBD 为等边三角形，即可求⊙D=60°，进而可求解；【详解】⊙ C 、D 是ACB 上的三等分点，⊙ AC CD BD == ，⊙ AB 是圆的直径，⊙ ⊙ACB=90°，⊙BOD=60°，⊙A=60°，⊙OB=OD ，⊙⊙OBD 为等边三角形，⊙⊙D=60°，⊙⊙A+⊙D=120°，故选：A ．【点睛】本题主要考查了圆心角、弦、弧的关系，等边三角形的判定与性质，圆周角定理等知识点的综合运用； 6．如图，正五边形ABCDE 内接于O ，点P 为DE 上一点（点P 与点D ，点E 不重合），连接PC ，PD ，DG PC ⊥，垂足为G ，则PDG ∠等于（ ）A ．72°B ．54°C ．36°D ．64°【答案】B【分析】 根据正五边形ABCDE 内接于O ，可得COD ∠，再根据同弧所对的圆周角和圆心角的关系，可得CPD ∠，再根据三角形内角和定理即可得PDG ∠．【详解】解：⊙正五边形ABCDE 内接于O ， ⊙360725COD ︒∠==︒ ⊙CPD ∠与COD ∠所对的弧相同 ⊙1362CPD COD ∠=∠=︒⊙PDG ∠=180903654︒-︒-︒=︒故选：B ．【点睛】本题主要考查了圆内接正多边形的性质及同弧所对的圆周角和圆心角的性质，解题的关键是求出CD 所对的圆心角．7．如图，AB 为⊙O 直径，CD 为弦，AB⊙CD 于E ，连接CO ，AD ，⊙BAD ＝25°，下列结论中正确的有（ ） ⊙CE ＝OE ；⊙⊙C ＝40°；⊙ACD ＝ADC ；⊙AD ＝2OEA ．⊙⊙B ．⊙⊙C ．⊙⊙⊙D ．⊙⊙⊙⊙【答案】B【分析】根据圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系以及直角三角形边的关系进行判断即可．【详解】解：⊙AB 为⊙O 直径，CD 为弦，AB⊙CD 于E ，⊙CE=DE ，BC BD =，ACB ADB =，⊙⊙BOC=2⊙A=40°，ACB BC ADB BC +=+，即ADC ADC =，故⊙正确；⊙⊙OEC=90°，⊙BOC=40°，⊙⊙C=50°，故⊙正确；⊙⊙C≠⊙BOC ，⊙CE≠OE ，故⊙错误；作OP⊙CD ，交AD 于P ，⊙AB⊙CD ，⊙AE ＜AD ，⊙AOP=90°，⊙OA ＜PA ，OE ＜PD ，⊙PA+PD ＞OA+OE⊙OE ＜OA ，⊙AD ＞2OE ，故⊙错误；故选：B ．【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握性质定理是解题的关键． 8．如图，AB 是⊙O 的直径，点P 是O 上一个动点（点P 不与点A ，B 重合），在点P 运动的过程中，有如下四个结论：⊙至少存在一点P ，使得PA AB >；⊙若2PB PA =，则2PB PA =；⊙PAB ∠不是直角；⊙2POB OPA ∠=∠．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）A ．⊙⊙B ．⊙⊙C ．⊙⊙⊙D ．⊙⊙⊙【答案】B【分析】 根据圆的直径的性质，直径是圆中最长的弦，直径所对的圆周角是90°，弧，弦，圆心角的关系，以及圆的半径相等，即可得出．【详解】⊙因为直径是圆中最长的弦,故⊙错误，⊙若2=则PB＜2PA ，故⊙错误，PB PA⊙ 因为直径所对的圆周角是90°，⊙APB=90°，所以⊙PAB不可能是90°，故⊙正确，⊙ 连接PA，PO，如图⊙⊙POB=⊙PAO+⊙APO又⊙PAO=⊙APO⊙⊙POB=2⊙OPA故⊙正确，故选：B．【点睛】本题考查了与圆有关的性质，圆的直径的性质，直径是圆中最长的弦，直径所对的圆周角是90°，弧，弦，圆心角的关系，以及圆的半径相等，解题的关键是掌握圆的有关的性质，直径，半径，圆周角，圆心角，弧，等知识是解题的关键．9．下列说法错误的是（）A．等弧所对的弦相等B．圆的内接平行四边形是矩形C．90︒的圆周角所对的弦是直径D．平分一条弦的直径也垂直于该弦【答案】D【分析】根据圆的性质逐项判断即可．【详解】A．等弧所对的弦相等，故A正确，不符合题意．B．根据圆的内接四边形对角互补和平行四边形邻角互补，即可知圆的内接平行四边形是矩形．故B正确，不符合题意．C．90︒的圆周角所对的弦是直径，故C正确，不符合题意．D．平分一条弦（非直径）的直径也垂直于该弦．故D错误，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系以及圆内接平行四边形的性质．熟练掌握这些知识是判断此题的关键．10．下列判断正确的个数有（）⊙平分弦的直径垂直于弦；⊙圆内接平行四边形是菱形；⊙一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；⊙如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【分析】根据垂径定理可对⊙进行判断；根据圆内接四边形的性质及矩形的判定定理可对⊙进行判断；根据圆周角定理可对⊙进行判断；根据弧、弦、圆心角的关系可对⊙进行判断；综上即可得答案．【详解】平分弦（非直径）的直径垂直于弦；故⊙错误；⊙四边形内接于圆，⊙四边形的对角互补，⊙四边形是平行四边形，⊙对角相等，⊙四边形的四个内角都是直角，⊙四边形是矩形，故⊙错误，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，故⊙正确，在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆周心相等，故⊙错误，综上所述：正确的判断为⊙，共1个，故选：A．【点睛】本题考查垂径定理、圆周角定理、圆内接四边形的性质、矩形的判定及弧、弦、圆心角的关系，平分弦（非直径）的直径垂直于弦；并且平分弦所对的两条弧；在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；圆的内接四边形对角互补；在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆周心相等；熟练掌握相关定理及性质是解题关键．11．下列命题：⊙垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；⊙在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等；⊙在同圆或等圆中如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等；⊙圆内接四边形的对角互补．其中正确的命题共有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】A【分析】根据垂径定理、圆心角、弧、弦的关系、圆内接四边形的性质判断．【详解】解：⊙垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，本小题说法是真命题；⊙在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，本小题说法是真命题；⊙在同圆或等圆中如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，本小题说法是真命题；⊙圆内接四边形的对角互补，本小题说法是真命题；故选：A．【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．12．下列说法中，正确的是（）A．等弦所对的弧相等B．在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等C．圆心角相等，所对的弦相等D．弦相等所对的圆心角相等【答案】B【分析】根据弦、弧与圆心角的关系逐一判断即可.【详解】A、等弦所对应的弧可以相等也可以互补构成新圆，故此选项不符合题意；B、在同圆或等圆中，等弧所对应的弦相等，故此选项正确；C、同圆或等圆中，圆心角相等所对应的弦相等，故此选项不符合题意；D、同圆或等圆中，弦相等，所对的圆心角相等或互补，如果不等的圆，那么弦相等不一定能确定所对圆心角的大小，故此选项不符合题意；故选B【点睛】本题考查弦、弧与圆心角的关系，此类试题难度不大，关键是掌握弦和圆心角等一些基本知识，容易混淆. 13．如图，线段AB 是⊙的直径，弦CD⊙AB ，⊙CAB ＝20°，则⊙BOD 等于（ ）A ．30°B ．70°C ．40°D ．20°【答案】C【分析】由线段AB 是O 的直径， 弦CD AB ⊥，根据垂径定理可得BC BD =，然后由圆周角定理，即可求得答案 ．【详解】解：连接OC ，线段AB 是O 的直径， 弦CD AB ⊥，∴BC BD =，222040BOD BOC CAB ∴∠=∠=∠=⨯︒=︒．故选：C ．【点睛】本题考查垂径定理、圆周角定理，掌握圆的基本性质定理是解题的关键．14．如图，AB 是半圆的直径，点D 是弧AC 的中点，⊙ABC ＝50°，则⊙BCD ＝（ ）A ．105°B ．110°C ．115°D ．120°【答案】C【分析】 连接AC ，然后根据圆内接四边形的性质，可以得到⊙ADC 的度数，再根据点D 是弧AC 的中点，可以得到⊙DCA 的度数，直径所对的圆周角是90°，从而可以求得⊙BCD 的度数．【详解】解：连接AC ，⊙⊙ABC ＝50°，四边形ABCD 是圆内接四边形，⊙⊙ADC ＝130°，⊙点D 是弧AC 的中点，⊙CD ＝AC ，⊙⊙DCA ＝⊙DAC ＝25°，⊙AB 是直径，⊙⊙BCA ＝90°，⊙⊙BCD ＝⊙BCA+⊙DCA ＝115°，故选：C ．【点睛】本题考查圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 15．如图，BD 是O 的直径，点A ，C 在O 上，AB AD =，AC 交BD 于点G ．若126COD ∠=︒．则AGB ∠的度数为（ ）A ．99︒B ．108︒C ．110︒D ．117︒ 【答案】B【分析】先根据圆周角定理得到⊙BAD 90=︒，再根据等弧所对的弦相等，得到AB AD =，⊙ABD 45=︒，最后根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，得到⊙CAD=63︒，⊙BAG=27︒，即可求解．【详解】解：⊙BD 是O 的直径⊙⊙BAD 90=︒⊙AB AD =⊙AB AD =⊙⊙ABD 45=︒⊙126COD ∠=︒ ⊙⊙1CAD 632COD =∠=︒ ⊙⊙BAG 906327=︒-︒=︒⊙⊙AGB 1802745108=︒-︒-︒=︒故选：B ．【点睛】此题主要考查圆周角定理和弧、弦及圆周角之间的关系，熟练掌握圆周角定理和三者之间的关系是解题关键．16．如图，O 中，AB AC =，70ABC ∠=︒．则BOC ∠的度数为（ ）A．100°B．90°C．80°D．70°【答案】C【分析】首先根据弧、弦、圆心角的关系得到AB=AC，再根据等腰三角形的性质可得⊙A的度数，然后根据圆周角定理可得⊙BOC=2⊙A，进而可得答案．【详解】解：⊙AB AC，⊙AB=AC，⊙⊙ABC=⊙ACB=70°，⊙⊙A=180°-70°×2=40°，⊙圆O是⊙ABC的外接圆，⊙⊙BOC=2⊙A=40°×2=80°，故选C．【点睛】此题主要考查了弧、弦、圆心角的关系、圆周角定理、等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，由圆周角定理得出结果是解决问题的关键．17．下列命题中真命题是（）A．平分弦的半径垂直于弦B．垂直平分弦的直线必经过圆心C．相等的圆心角所对的弦相等D．经过半径一端且垂直于这条半径的直线是圆的切线【答案】B【分析】根据垂径定理，圆心角、弧、弦的关系定理，切线的判定定理判断即可．【详解】A.平分弦（不是直径）的半径垂直于弦，本选项说法是假命题；B.垂直平分弦的直线必经过圆心，本选项说法是真命题；C.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，本选项说法是假命题；D.经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，本选项说法是假命题；故选：B．【点睛】本题主要考查了圆中相关命题正误的判断，熟练掌握垂径定理，圆心角、弦、弧的关系定理，切线的判定定理等知识是解决本题的关键．18．下列命题：⊙长度相等的弧是等弧；⊙任意三点确定一个圆；⊙相等的圆心角所对的弦相等；⊙平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；其中真命题共有( )A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】A【分析】由等弧的概念判断⊙，根据不在一条直线上的三点确定一个圆，可判断⊙；根据圆心角、弧、弦的关系判断⊙，根据垂径定理判断⊙.【详解】⊙同圆或等圆中，能够互相重合的弧是等弧，故⊙是假命题；⊙不在一条直线上的三点确定一个圆,若三点共线，则不能确定圆，故⊙是假命题；⊙同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故⊙是假命题；⊙圆两条直径互相平分，但不垂直，故⊙是假命题；所以真命题共有0个，故选A.【点睛】本题考查圆中的相关概念，熟记基本概念才能准确判断命题真假.19．在两个圆中有两条相等的弦，则下列说法正确的是（）A．这两条弦所对的弦心距相等B．这两条弦所对的圆心角相等C．这两条弦所对的弧相等D．这两条弦都被垂直于弦的半径平分【答案】D【分析】在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，但在不同圆中则应另当别论．【详解】A. 这两条弦所对的弦心距不一定相等，原说法错误，故本选项错误；B. 这两条弦所对的圆心角不一定相等，原说法错误，故本选项错误；C. 这两条弦所对的弧不一定相等，原说法错误，故本选项错误；D. 这两条弦都被垂直于弦的半径平分(垂径定理)，原说法正确，故本选项正确；故选D.【点睛】此题考查圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，解题关键在于掌握其性质定理 .20．已知⊙O的半径为5，弦AB=6⊙P是AB上任意一点，点C是劣弧AB的中点，若⊙POC为直角三角形，则PB的长度（）A．1B．5C．1或5D．2或4【答案】C【分析】由点C是劣弧AB的中点，得到OC垂直平分AB，求得DA=DB=3，根据勾股定理得到OD==1，若⊙POC 为直角三角形，只能是⊙OPC=90°，则根据相似三角形的性质得到PD=2，于是得到结论．【详解】⊙点C是劣弧AB的中点，⊙OC垂直平分AB⊙⊙DA=DB=3⊙4=⊙若⊙POC为直角三角形，只能是⊙OPC=90°⊙则⊙POD⊙⊙CPD⊙⊙PD CD OD PD=⊙⊙PD2=4×1=4⊙⊙PD=2⊙⊙PB=3⊙2=1⊙根据对称性得，当P在OC的左侧时，PB=3+2=5⊙⊙PB的长度为1或5.故选C⊙【点睛】考查了圆周角，弧，弦的关系，勾股定理，垂径定理，正确左侧图形是解题的关键．21．如图，AB是⊙O的弦，OA⊙OC是⊙O的半径，AC BC⊙⊙BAO=37°，则⊙AOC的度数是（）度.A．74B．106C．117D．127【答案】D【分析】连接OB，进而得出⊙AOB的度数，然后根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得⊙AOC 的度数．【详解】连接OB⊙⊙OA=OB⊙⊙BAO=37°⊙⊙⊙AOB=180°-2×37°=106°⊙⊙=AC BC⊙⊙⊙AOC=⊙BOC=3601062︒-︒⊙127°⊙故选D⊙【点睛】此题考查了圆周角定理．此题难度不大，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用是解此题的关键．22．如图，已知AB和CD是⊙O的两条等弦．OM⊙AB⊙ON⊙CD，垂足分别为点M⊙N⊙BA⊙DC的延长线交于点P，联结OP．下列四个说法中：⊙AB CD=⊙⊙OM=ON⊙⊙P A=PC⊙⊙⊙BPO=⊙DPO，正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】如图连接OB⊙OD⊙⊙AB=CD⊙⊙AB=CD，故⊙正确⊙OM⊙AB⊙ON⊙CD⊙⊙AM=MB⊙CN=ND⊙⊙BM=DN⊙⊙OB=OD⊙⊙Rt⊙OMB⊙Rt⊙OND⊙⊙OM=ON，故⊙正确，⊙OP=OP⊙⊙Rt⊙OPM⊙Rt⊙OPN⊙⊙PM=PN⊙⊙OPB=⊙OPD，故⊙正确，⊙AM=CN⊙⊙PA=PC，故⊙正确，故选D⊙23．下列说法中，结论错误的是（⊙A．直径相等的两个圆是等圆B．长度相等的两条弧是等弧C．圆中最长的弦是直径D．一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧【答案】B【分析】利用圆的有关定义进行判断后利用排除法即可得到正确的答案；【详解】A、直径相等的两个圆是等圆，正确，不符合题意；B、长度相等的两条弧圆周角不一定相等，它们不一定是等弧，原题的说法是错误的，符合题意；C、圆中最长的弦是直径，正确，不符合题意；D、一条直径把圆分成两条弧，这两条弧是等弧，正确，不符合题意，故选B．【点睛】本题考查了圆的认识，了解圆中有关的定义及性质是解答本题的关键．二、填空题24．如图，正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，点P是GH上的任意一点，则⊙CPE的度数为____．【答案】45︒．【分析】连接OD,OC,OE,利用正八边形的中心角的定义，计算圆心角⊙COE，根据圆心角与圆周角的关系定理计算即可．【详解】连接OD,OC,OE,⊙八边形ABCDEFGH是正八边形,⊙⊙COD=⊙DOE=3608︒=45°,⊙⊙COE=45°+45°=90°,⊙⊙CPE=12⊙COE=45°.⊙⊙⊙⊙⊙45°⊙【点睛】本题考查了正多边形的中心角，圆心角与圆周角关系定理，连接半径，构造中心角是解题的关键．25．如图，已知⊙O的半径为3，弦AB、CD所对的圆心角分别是⊙AOB、⊙COD，若⊙AOB与⊙COD互补，弦CD＝4，则弦AB的长为_____．【答案】【分析】作直径AE ，连接BE ，如图，利用等角的补角相等得到⊙BOE ＝⊙COD ，则根据圆心角、弧、弦的关系得到BE ＝CD ＝4，接着利用圆周角定理得到⊙ABE ＝90°，然后利用勾股定理计算AB 的长．【详解】解：作直径AE ，连接BE ，如图，⊙⊙AOB ＋⊙COD ＝180°，⊙AOB ＋⊙BOE ＝180°，⊙⊙BOE ＝⊙COD ，⊙BE ＝CD ＝4，⊙AE 为直径，⊙⊙ABE ＝90°，在Rt⊙ABE 中，AB =故答案为：【点睛】本题主要考查圆的基本性质，解题的关键是应用圆的性质和勾股定理解决问题．26．如图，BAC 是O 的内接三角形，BC 为直径，AD 平分BAC ∠，连接BD 、CD ，若65ACB ∠=︒，则ABD ∠的度数为_________．【答案】70︒【分析】由BC 为直径，可得⊙BAC=⊙BDC=90°由AD 平分BAC ∠，可证BD=DC ，可得⊙DBC=⊙DCB=45°，65ACB ∠=︒，可求⊙ABC=90°-⊙ACB=25°，可求⊙ABD=⊙ABC+⊙DBC=70°即可．【详解】解：⊙BAC 是O 的内接三角形，BC 为直径，⊙⊙BAC=⊙BDC=90°⊙AD 平分BAC ∠，⊙⊙BAD=⊙CAD ，⊙BD DC =，⊙BD=DC ，⊙⊙DBC=⊙DCB=45°，⊙65ACB ∠=︒，⊙⊙ABC=90°-⊙ACB=90°-65°=25°，⊙⊙ABD=⊙ABC+⊙DBC=25°+45°=70°．故答案为：70°．【点睛】本题考查圆的性质，直径所对圆周角性质，角平分线性质，直角三角形性质，掌握圆的性质，直径所对圆周角性质，角平分线性质，直角三角形性质是解题关键．27．如图，若12∠=∠，那么AB 与BC __________相等（填“一定”、“一定不”、“不一定”）．【答案】一定【分析】根据圆心角、弧、弦关系定理进行解答即可．【详解】解：⊙⊙1=⊙2，⊙AB=AC,⊙AB=BC，故答案为：一定．【点睛】本题考查的是圆心角，熟知在同圆和等圆中，相等的弦所对的弧相等是解答此题的关键．28．如图，AB为O的直径，2AC BC=，M为BC的中点，过M作//MN OC交AB于N，连接BM，则BMN∠的度数为__________．【答案】45°【分析】连接OM．根据弧与圆心角的度数求得⊙BOC的度数，然后利用M为BC的中点，求得⊙MOB=⊙COM=30°，结合平行线的性质和等腰三角形的性质求得⊙MNB，⊙B，即可解决问题．【详解】解：连接OM．⊙AB是直径，2AC BC=，⊙⊙BOC=13×180°=60°，⊙M为BC的中点，⊙BM CM=⊙⊙MOB=⊙COM=30°，⊙OM=OB，⊙⊙B=⊙OMB=12（180°-30°）=75°，⊙OC⊙MN，⊙⊙MNB=⊙COB=60°，⊙⊙BMN=180°-⊙BNM-⊙NBM=180°-60°-75°=45°，故答案为：45°．【点睛】本题考查圆周角定理，平行线的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．29．如图，在⊙O中，若弧AB＝BC＝CD，则AC与2CD的大小关系是：AC ________2CD．（填“＞”，“＜”或“＝”）【答案】＜【分析】利用圆心角、弧、弦的关系得到AB=BC=CD，然后根据三角形三边的关系可得到AC与2CD之间的关系．【详解】解：连接AB、BC，如图，⊙AB BC CD==，⊙AB=BC=CD，⊙AB+BC＞AC，⊙2CD＞AC，即AC＜2CD．故答案为：＜．【点睛】本题考查了在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．30．如图，ABC ∆是O 的内接正三角形，点O 是圆心，点D ，E 分别在边AC ，AB 上，若DA EB =，则DOE ∠的度数是____度．【答案】120【分析】本题可通过构造辅助线，利用垂径定理证明角等，继而利用SAS 定理证明三角形全等，最后根据角的互换结合同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求解本题．【详解】连接OA ，OB ，作OH⊙AC ，OM⊙AB ，如下图所示：因为等边三角形ABC ，OH⊙AC ，OM⊙AB ，由垂径定理得：AH=AM ，又因为OA=OA ，故⊙OAH ≅⊙OAM （HL ）．⊙⊙OAH=⊙OAM ．又⊙OA=OB,AD=EB,⊙⊙OAB=⊙OBA=⊙OAD,⊙⊙ODA ≅⊙OEB （SAS ）,⊙⊙DOA=⊙EOB,⊙⊙DOE=⊙DOA+⊙AOE=⊙AOE+⊙EOB=⊙AOB ．又⊙⊙C=60°以及同弧AB ，⊙⊙AOB=⊙DOE=120°．故本题答案为：120．【点睛】本题考查圆与等边三角形的综合，本题目需要根据等角的互换将所求问题进行转化，构造辅助线是本题难点，全等以及垂径定理的应用在圆综合题目极为常见，圆心角、弧、圆周角的关系需熟练掌握． 31．如图，已知AB 是半圆O 的直径，6AB =，点C ，D 在半圆上，OC AB ⊥，2BD CD =，点P 是OC 上的一个动点，则BP DP +的最小值为_______．【答案】【分析】 如图，连接AD ，P A ，OD ．先证明P A ＝PB ，再根据PD +PB ＝PD +P A ≥AD ，求出AD 即可解决问题．【详解】解：如图，连接AD ，P A ，OD ．⊙OC ⊙AB ，OA ＝OB ，⊙P A ＝PB ，⊙COB ＝90°，⊙BD =2CD ，⊙⊙DOB 23=⨯90°＝60°， ⊙OD ＝OB ，⊙⊙OBD 是等边三角形，⊙⊙ABD ＝60°⊙AB 是直径，⊙⊙ADB ＝90°，⊙AD ＝AB •cos⊙ABD ＝，⊙PB +PD ＝P A +PD ≥AD ，⊙PD +PB⊙PD +PB 的最小值为，故答案为：【点睛】本题考查圆周角定理，圆心角，弧，弦之间的关系，三角函数等知识，根据OC 为AB 的垂直平分线得到AD 为BP DP +的最小值是解题的关键．32．如图，在扇形BOC 中，60,BOC OD ∠=︒平分BOC ∠交弧BC 于点D ．点E 为半径OB 上一动点若2OB =，则阴影部分周长的最小值为__________．【答案】.3π【分析】 如图，先作扇形OCB 关于OB 对称的扇形,OAB 连接AD 交OB 于E ，再分别求解,AD CD 的长即可得到答案．【详解】解：C 阴影＝,CE DE CD ++∴ C 阴影最短，则CE DE +最短，如图，作扇形OCB 关于OB 对称的扇形,OAB 连接AD 交OB 于E ，则,CE AE =,CE DE AE DE AD ∴+=+=此时E 点满足CE DE +最短，60,COB AOB OD ∠=∠=︒平分,CB30,90,DOB DOA ∴∠=︒∠=︒2,OB OA OD ===AD ∴==而CD 的长为：302,1803ππ⨯=∴ C 阴影最短为.3π故答案为：.3π【点睛】本题考查的是利用轴对称求最短周长，同时考查了圆的基本性质，扇形弧长的计算，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．三、解答题33．如图，OA 、OB 、OC 是⊙O 的三条半径，弧AC 等于弧BC ，D 、E 分别是OA 、OB 的中点，CD 与CE 相等吗？为什么？【答案】相等，理由见解析【分析】根据弧与圆心角的关系，可得⊙AOC=⊙BOC ，又由D 、E 分别是半径OA 、OB 的中点，可得OD=OE ，利用SAS 判定⊙DOC⊙⊙EOC ，继而证得结论．【详解】解：CD=CE ，理由如下：⊙弧AC 和弧BC 相等，⊙⊙AOC=⊙BOC ，又⊙OA=OB ，D 、E 分别是OA 、OB 的中点，⊙OD=OE ，在⊙DOC 和⊙EOC 中，OD OE AOC BOC OC OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊙⊙DOC⊙⊙EOC （SAS ），⊙CD=CE ．【点睛】本题考查了弧与圆心角的关系以及全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键． 34．已知⊙O 的直径为10，点A ，点B ，点C 在⊙O 上，⊙CAB 的平分线交⊙O 于点D ．（⊙）如图⊙，若BC为⊙O的直径，AB＝6，求AC，BD，CD的长；（⊙）如图⊙，若⊙CAB＝60°，求BD的长．【答案】（⊙）求AC＝8，BD＝CD＝；（⊙）BD＝5【分析】（⊙）利用圆周角定理可以判定⊙CAB和⊙DCB是直角三角形，利用勾股定理可以求得AC的长度；利用圆心角、弧、弦的关系推知⊙DCB也是等腰三角形，所以利用勾股定理同样得到BD＝CD＝；（⊙）如图⊙，连接OB，OD．由圆周角定理、角平分线的性质以及等边三角形的判定推知⊙OBD是等边三角形，则BD＝OB＝OD＝5．【详解】解：（⊙）如图⊙，⊙BC是⊙O的直径，⊙⊙CAB＝⊙BDC＝90°．⊙在直角⊙CAB中，BC＝10，AB＝6，⊙由勾股定理得到：AC8=⊙AD平分⊙CAB，⊙CD BD=，⊙CD＝BD．在直角⊙BDC中，BC＝10，CD2+BD2＝BC2，⊙易求BD＝CD＝（⊙）如图⊙，连接OB，OD．⊙AD平分⊙CAB，且⊙CAB＝60°，⊙⊙DAB＝12⊙CAB＝30°，⊙⊙DOB＝2⊙DAB＝60°．又⊙OB＝OD，⊙⊙OBD是等边三角形，⊙BD＝OB＝OD．⊙⊙O的直径为10，则OB＝5，⊙BD＝5．【点睛】本题综合考查了圆周角定理，勾股定理以及等边三角形的判定与性质．此题利用了圆的定义、有一内角为60度的等腰三角形为等边三角形证得⊙OBD 是等边三角形．35．阿基米德（Archimedes ，公元前287年~公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一．他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．阿拉伯A1-Biruni （973年~1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，前苏联在1964年根据A1-Biruni 译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理．阿基米德折弦定理：如图⊙，已知AB 和BC 是O 的两条弦（即折线ABC 是O 的一条折弦），,BC AB M >是ABC 的中点．那么从M 向BC 所作垂线的垂足D 是折弦ABC 的中点，即CD AB BD =+． 下面是运用“截长法”证明CD AB BD =+的部分证明思路：证明：如图⊙，在CB 上截取CG AB =，连接,MA MB ，…………（定理证明）按照上面的思路，写出剩余部分的证明过程．（问题解决）如图⊙，等边ABC ∆内接于,3,O AB D =为AC 上一点，45ACD ∠=︒．求BDC ∆的周长．【答案】【定理证明】：见解析；【问题解决】：BDC ∆的周长为3+【分析】（1）首先证明⊙MBA⊙⊙MGC （SAS ），进而得出MB=MG ，再利用等腰三角形的性质得出BD=GD ，即可得出答案；（2）首先证明⊙ABF⊙ACD （SAS ），进而得出AF=AD ，以及CD+DE=BE ，进而求出DE 的长即可得出答案．【详解】解：（1）如图⊙，连接,MC MG ．可得A C ∠=∠．由M 是ABC 的中点，可求得MA MC =．CG AB =，MBA MGC ∴∆≅∆．MB MG ∴=．MD BC ⊥，BD GD ∴=．CG GD AB BD ∴+=+．即CD AB BD =+．（2）如图⊙，作AE BD ⊥．由AB AC =，可得AB AC =．由阿基米德折弦定理，可得BE ED DC =+．由于45,3ACD ABD AB ∠=∠=︒=，所以，在Rt ABE ∆中，可求得BE =故BDC ∆的周长为3+．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形以及等边三角形的性质，正确作出辅助线利用全等三角形的判定与性质解题是解题关键．36．如图，已知AB 是⊙O 的弦，半径OC 、OD 与AB 分别交于点E 、F ，且AE BF =．求证：AC BD =．【答案】见解析【分析】取AB 中点G ，联结OG 并延长与⊙O 交于H ，利用圆心角、弧、弦之间的关系得到AH BH =，再根据AE BF =及垂径定理求解即可；。

圆的定义、圆心角、弧、弦和圆周角基础练习1、⊙O中，弦AB=12，⊙O半径为10，则O到AB的距离为.2、P为⊙O内一点，OP=4，⊙O半径为5，则过P点的最短弦长为，最长弦.3、如图1，⊙O中，弦CD⊥直径AB于E，AB=20，CD=16，则BE= .4、AB为⊙O直径，OD⊥弦AC于D，且OD=4，则弦BC= .5、如图2，将半径是2cm的圆形纸片折叠后圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB= .6、半径为13的圆中，弦AB∥CD，且AB=10，CD=24，则AB与CD之间的距离为.7、如图3，AB为直径，B为弧BC的中点，∠A=35°，则∠BOD= .8、以等腰△ABC的腰AB为直径作⊙O交底边BC于点D，交AC于E，连接DE，若BC=8，则DE= .9、⊙O直径AB=8cm，C为⊙O上一点，∠BAC=30°，则BC= .10、如图4，⊙O半径OA⊥OB，D、E为⊙O上的点，则∠D+∠E= .11、如图5，∠ACB=20°，则∠OAB= .12、如图6，AB直径，∠BAC=20°，则∠D= .13、如图7，∠ABC=120°，则∠AOC= .14、如图8，AB为直径，∠COB=30°，则∠ADC= .15、如图9，OA⊥OB，∠A=38°，则∠F= .16、如图10，AB为直径，弦CD与AB相交于E，则∠AEC= .17、如图11，Δ ABC中，AB=AC，D是⊙O上的点，E在BD的延长线上且∠ADE=65°，则∠BOC= .18、已知⊙O是等边ΔABC 的外接圆，且⊙O半径为4，则ΔABC的边长是.19、如图12，∠BAC=30°，BC=2.4cm，则⊙O直径AB= .20、⊙O半径为10，OP=8，则点P在⊙O .（填内、上或外）21、如图13，⊙O的直径AB⊥弦CD于E，AB=10，CD=8，则BE= .22、如图14，⊙O的直径AB⊥弦CD，D=30°，CD= .23、如图15，∠ACB=45°，AB=4，⊙O的半径为.24、在ΔABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，则ΔABC的外接圆半径是.25、如图16，AB是⊙O的直径，CD⊥AB,∠CDB=35°，则∠CAD= .26、若AB是⊙O的弦，OA=6，∠AOB=120°，则AB= .27、如图17，∠COD=84°，AC平分∠OCD，则∠ABD+∠OCA= .28、如图18，AB为直径，∠BAC=50°，∠D= .29、如图19，AB直径，∠B=30°，OD⊥BC，∠BCD= .30、如图20，∠A=30°，OD⊥AB，则∠E= .31、如图21，∠BCD=58°，DC直径，则∠A= .CA P O DCEO AD B 32. 如图所示，OA 是圆O 的半径，弦CD ⊥OA 于点P ，已知OC=5，OP=3，则弦CD=_______。

弧、弦、圆心角的关系同步练习一、填空题:1.如图1,等边三角形ABC的三个顶点都在⊙O上,D是»AC上任一点(不与A、C重合),则∠ADC的度数是________.DCBAO(1) (2) (3)2.如图2,四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上,且AD∥BC,对角线AC与BC相交于点E,那么图中有_________对全等三角形;________对相似比不等于1的相似三角形.3.已知,如图3,∠BAC的对角∠BAD=100°,则∠BOC=_______度.4.如图4,A、B、C为⊙O上三点，若∠OAB=46°,则∠ACB=_______度.BAA(4) (5) (6)5.如图5,AB是⊙O的直径,»»BC BD,∠A=25°,则∠BOD的度数为________.6.如图6,AB是半圆O的直径,AC=AD,OC=2,∠CAB= 30 °, 则点O 到CD 的距离OE=______.二、选择题:7.如图7,已知圆心角∠BOC=100°,则圆周角∠BAC的度数是( )A.50°B.100°C.130°D.200°D DCBA(7) (8) (9) (10)8.如图8,A、B、C、D四个点在同一个圆上,四边形ABCD 的对角线把四个内角分成的八个角中,相等的角有( )A.2对B.3对C.4对D.5对9.如图9,D 是»AC 的中点,则图中与∠ABD 相等的角的个数是( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 10.如图10,∠AOB=100°,则∠A+∠B 等于( ) A.100° B.80° C.50° D.40°11.在半径为R 的圆中有一条长度为R 的弦,则该弦所对的圆周角的度数是( ) A.30° B.30°或150° C.60° D.60°或120°12.如图,A 、B 、C 三点都在⊙O 上,点D 是AB 延长线上一点,∠AOC=140°, ∠CBD 的度数是( ) A.40° B.50° C.70° D.110°1．同圆中两弦长分别为x 1和x 2它们所对的圆心角相等，那么（ ）A ．x 1 ＞x 2B ．x 1 ＜x 2 C. x 1 ＝x 2 D ．不能确定2．下列说法正确的有（ ）①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③在同圆中，相等的弦所对的圆心角相等；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．在⊙O 中同弦所对的圆周角（ ）A ．相等B ．互补C ．相等或互补D ．以上都不对4．如图所示，如果的⊙O 半径为2弦AB= AB 的距离OE 为（ ）A． 1 B ． C ．12D 5．如图所示，⊙O 的半径为5，弧AB 所对的圆心角为120°，则弦AB 的长为（ ） A．3B ．2C ．8 D ． 6．如图所示，正方形ABCD 内接于⊙O 中，P 是弧AD 上任意一点，则∠ABP+∠DCP 等于（ ） A ．90° B 。