带小数的一元一次方程

一元一次方程方程的有关概念夯实基础一．等式用等号（“=”）来表示相等关系的式子叫做等式。

温馨提示①等式能够是数字算式，能够是公式、方程，也能够是运算律、运算法那么等，因此等式能够表示不同的意义。

②不能将等式与代数式混淆，等式含有等号，是表示两个式子的“相等关系”，而代数式不含等号，它只能作为等式的一边。

如x x 2735-=+才是等式。

二．等式的性质性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。

即若是b a =，那么c b c a ±=±。

性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。

即若是b a =，那么bc ac =；若是b a =()0≠c ，那么cbc a =。

温馨提示①等式类似天平，当天平两头放有相同质量的物体时，天平处于平稳状态。

假设在天平的两头各加（或减）相同质量的物体，那么天平仍处于平稳状态。

因此运用等式性质1时，当等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式时，才能保证所得的结果仍是等式，应专门注意“都”和“同一个”。

如31=+x ，左侧加2，右边也加2，那么有2321+=++x 。

②运用等式的性质2时，等式两边不能同除以0，因为0不能作除数或分母。

③等式性质的延伸：a.对称性：等式左、右两边互换，所得结果仍是等式，即若是b a =，那么a b =。

b.传递性：若是c b b a ==,，那么c a =（也叫等量代换）。

例1：用适当的数或整式填空，使所得的结果仍为等式，并说明依照等式哪一条性质，和如何变形取得的。

（1）若是51134=-x ，那么+=534x ；（2）若是c by ax -=+，那么+-=c ax ；（3）若是4334=-t ，那么=t 。

三．方程含有未知数的等式叫做方程。

温馨提示方程有两层含义：①方程必需是一个等式，即是用等号连接而成的式子。

②方程中必有一个待确信的数，即未知的字母，那个字母确实是未知数。

一元一次方程小数分母化整三法
培养学生的创新意识和能力，是素质教育的重要内容，对培养开拓思维具有重要意义。

下面以一习题为例，谈一谈含有小数分母的一元一次方程的分母化整技巧。

例：解方程
一、统一化整法
分析：分母0.01和0.02有两位小数，乘以100可统一化整。

解：
整理，得：
移项，合并同类项，得：
解得：
二、分别化整法
分析：分母0.02乘以50，分母0.01乘以100就可各自化整。

解：
整理，得：
移项，合并同类项，得：
解得：
三、分割化整法
分析：利用分数加减法法则的逆运算也可将分母化整。

解：原方程可化为
移项，合并同类项，得：
解得：
可以看出，分母化整利用了分数的基本性质与有关计算原理，它和去分母有本质的区别。

表示如下：。

一元一次方程的简便解法
初一学生在刚刚学习解方程时，往往不能因题而异，灵活应用解题方法，现介绍几种比较简便的解法．
1．化小数为整数
例1 解方程
0.4(2x＋3)=0.8(1-x)-0.5(x-2)．
解：两边同乘以10，得
4(2x+3)=8(1-x)-5(x-2)
8x＋12=8-8x-5x+10
2．化去分子、分母中的小数
例2 解方程
解：根据分式的基本性质，原方程可化为
去分母，得3(4x+6)-5(3+2x)=15
12x＋18-15-10x=15
2x=12，x=6．
3．约去两边的公因数
例3 解方程75×24%=(45-x)·50%．
解：两边约去50%，得36=45-x，x=9．
4．去括号
例4 解方程
解：由乘法分配律，原方程变形为
从以上例题可以看出，解方程时要善于抓住方程结构上显著的特征、标志去分析，常能化繁为简，提高解题速度．。

一元一次方程式的解题方法与技巧初一的同学在刚刚学习到一元一次方程时，往往觉得一元一次方程非常简单，但是一到做题的时候还是缺少方法与技巧，容易在解题的时候失分，最基础的知识偏偏是最重要的，一元一次方程是同学们学习其他方程的基础，如果地基不打牢，怎么能撑得起万丈高楼？看看这些场景，你是不是非常熟悉？a、是不是计算经常出现问题？掉数字、掉字母、去括号不变号b、是不是看到一元一次方程组应用题就犯怵，不知未知数该设什么？如何列等式？c、是不是看到稍微繁琐一点的一元一次方程组问题就犯晕？我们先来一起回顾一下课堂知识，了解一元一次方程的知识总结和方程归纳：我们再来看一个简单的栗子：方程0.25x=4.5，如果是你，你该怎么解这个题？建议大家先想想再看下面的答案：分析：0.254=1，故两边同乘以4要比两边同除以0.25简便得多。

解：两边同乘以4，得x=18。

同样是非常简单的解题，是不是换位思考一下，从多个角度出发寻找解题方法，会更简单？为了让大家牢固掌握其解题方法，今天小德给大家总结一元一次方程的四种解题技巧，大家可以在课后多加练习，在充分熟悉后就要根据方程的特点灵活安排求解步骤。

1、含有小数的一元一次方程，利用分数的基本性质把各项的分母化成1例：解方程：(4x-1.5)/0.5-(5x-0.8)/0.2=(1.2-x)/0.1解析：从题目中可以看出，此方程分母中含有小数，如果直接利用去分母会出现分子乘以小数的情况，在后面的计算中会增加解题难度。

如果利用分数的基本性质，将每项的分母化成1，即第一项分子分母同时乘以2，第二项分子分母同时乘以5，第三项分子分母同时乘以10，那么每项的分母巧妙的化成了1，并且分子还都是整数，从而简化计算难度。

原方程变成：8x-3-(25x-4)=12-10x,然后移项、合并同类项得-7x=11解得x=-11/7.技巧：分数的基本性质能够巧妙的将分母是小数的一元一次方程转变成分数是整数的方程，而关键的是将分母化成1，更加方便，简化了去分母这一步骤，从而简便运算。

一元一次方程的应用公式和差问题公式和+差÷2=较大数；和-差÷2=较小数;和倍问题公式和÷倍数+1=一倍数；一倍数×倍数=另一数,或和-一倍数=另一数;差倍问题公式差÷倍数-1=较小数； \较小数×倍数=较大数,或较小数+差=较大数;平均数问题公式总数量÷总份数=平均数;一般行程问题公式平均速度×时间=路程；路程÷时间=平均速度；路程÷平均速度=时间;反向行程问题公式反向行程问题可以分为“相遇问题”二人从两地出发,相向而行和“相离问题”两人背向而行两种;这两种题,都可用下面的公式解答：速度和×相遇离时间=相遇离路程；相遇离路程÷速度和=相遇离时间；相遇离路程÷相遇离时间=速度和;同向行程问题公式追及拉开路程÷速度差=追及拉开时间；追及拉开路程÷追及拉开时间=速度差；速度差×追及拉开时间=追及拉开路程;列车过桥问题公式桥长+列车长÷速度=过桥时间；桥长+列车长÷过桥时间=速度；速度×过桥时间=桥、车长度之和;行船问题公式1一般公式：静水速度船速+水流速度水速=顺水速度；船速-水速=逆水速度；顺水速度+逆水速度÷2=船速；顺水速度-逆水速度÷2=水速;2两船相向航行的公式：甲船顺水速度+乙船逆水速度=甲船静水速度+乙船静水速度3两船同向航行的公式：后前船静水速度-前后船静水速度=两船距离缩小拉大速度;求出两船距离缩小或拉大速度后,再按上面有关的公式去解答题目;工程问题公式1一般公式：工效×工时=工作总量；工作总量÷工时=工效；工作总量÷工效=工时;2用假设工作总量为“1”的方法解工程问题的公式：1÷工作时间=单位时间内完成工作总量的几分之几；1÷单位时间能完成的几分之几=工作时间;注意：用假设法解工程题,可任意假定工作总量为2、3、4、5……;特别是假定工作总量为几个工作时间的最小公倍数时,分数工程问题可以转化为比较简单的整数工程问题,计算将变得比较简便;盈亏问题公式1一次有余盈,一次不够亏,可用公式：盈+亏÷两次每人分配数的差=人数;2两次都有余盈,可用公式：大盈-小盈÷两次每人分配数的差=人数;3两次都不够亏,可用公式：大亏-小亏÷两次每人分配数的差=人数;4一次不够亏,另一次刚好分完,可用公式：亏÷两次每人分配数的差=人数; 5一次有余盈,另一次刚好分完,可用公式：盈÷两次每人分配数的差=人数; 鸡兔问题公式1已知总头数和总脚数,求鸡、兔各多少：总脚数-每只鸡的脚数×总头数÷每只兔的脚数-每只鸡的脚数=兔数；总头数-兔数=鸡数或者是每只兔脚数×总头数-总脚数÷每只兔脚数-每只鸡脚数=鸡数；总头数-鸡数=兔数;2已知总头数和鸡兔脚数的差数,当鸡的总脚数比兔的总脚数多时,可用公式每只鸡脚数×总头数-脚数之差÷每只鸡的脚数+每只兔的脚数=兔数；总头数-兔数=鸡数或每只兔脚数×总头数+鸡兔脚数之差÷每只鸡的脚数+每只免的脚数=鸡数；总头数-鸡数=兔数;3已知总数与鸡兔脚数的差数,当兔的总脚数比鸡的总脚数多时,可用公式; 每只鸡的脚数×总头数+鸡兔脚数之差÷每只鸡的脚数+每只兔的脚数=兔数；总头数-兔数=鸡数;或每只兔的脚数×总头数-鸡兔脚数之差÷每只鸡的脚数+每只兔的脚数=鸡数；总头数-鸡数=兔数;植树问题公式 1不封闭线路的植树问题:①间隔数+1=棵数;两端植树路长÷间隔长+1=棵数②间隔数－1=棵数;两端不植路长÷间隔长－1=棵数;③路长÷间隔数=每个间隔长;每个间隔长×间隔数=路长;2封闭线路的植树问题: 路长÷间隔数=棵数; 路长÷间隔数=路长÷棵数 =每个间隔长; 每个间隔长×间隔数=每个间隔长×棵数=路长;3平面植树问题:占地总面积÷每棵占地面积=棵数分率、百分率问题比较数÷标准数=比较数的对应分百分率;增长数÷标准数=增长率; 减少数÷标准数=减少率;两数差÷较小数=多几百分之几增, 两数差÷较大数=少几百分之几减增减分百分率互求公式增长率÷1+增长率=减少率;减少率÷1－减少率=增长率;求比较数应用题公式标准数×分百分率=与分率对应的比较数;标准数×增长率=增长数; 标准数×减少率=减少数;标准数×两分率之和=两个数之和; 标准数×两分率之差=两个数之差;求标准数公式比较数÷与比较数对应的分百分率=标准数; 增长数÷增长率=标准数; 减少数÷减少率=标准数;两数和÷两率和=标准数; 两数差÷两率差=标准数;或者是两数差÷较小数=多几百分之几增；两数差÷较大数=少几百分之几减;利率问题公式1单利问题: 本金×利率×时期=利息,本金×1+利率×时期=本利和;本利和÷1+利率×时期=本金,年利率÷12=月利率,月利率×12=年利率2复利问题:本金×1+利率存期期数=本利和;销售问题商品利润=商品售价—商品成本价；商品利润率= 商品利润÷商品成本×100%；销售总额=销售价×销售数量4得失问题鸡兔问题的推广题的解法,可以用下面的公式：1只合格品得分数×产品总数-实得总分数÷每只合格品得分数+每只不合格品扣分数=不合格品数;或者是总产品数-每只不合格品扣分数×总产品数+实得总分数÷每只合格品得分数+每只不合格品扣分数=不合格品数;“得失问题”也称“运玻璃器皿问题”,运到完好无损者每只给运费××元,破损者不仅不给运费,还需要赔成本××元……;它的解法显然可套用上述公式;5鸡兔互换问题已知总脚数及鸡兔互换后总脚数,求鸡兔各多少的问题,可用下面的公式：〔两次总脚数之和÷每只鸡兔脚数和+两次总脚数之差÷每只鸡兔脚数之差〕÷2=鸡数；〔两次总脚数之和÷每只鸡兔脚数之和-两次总脚数之差÷每只鸡兔脚数之差〕÷2=兔数;方阵问题公式1实心方阵：外层每边人数2=总人数;2空心方阵：最外层每边人数2-最外层每边人数-2×层数2=中空方阵的人数;或者是最外层每边人数-层数×层数×4=中空方阵的人数;总人数÷4÷层数+层数=外层每边人数;浓度问题溶质的重量＋溶剂的重量＝溶液的重量溶质的重量÷溶液的重量×100%＝浓度溶液的重量×浓度＝溶质的重量溶质的重量÷浓度＝溶液的重量。

小数一元一次方程小数一元一次方程是指方程中含有小数的一元一次方程。

一元一次方程是数学中最简单的一种方程，形式为ax+b=0，其中a和b为已知数，x为未知数。

小数一元一次方程在实际问题中的应用非常广泛，可以用来解决各种关于比例、百分比、利润等问题。

下面我们通过几个具体的例子来说明小数一元一次方程的应用。

例子1：小红去超市买了一袋苹果，付款时收银员告诉她现在是打折期，每袋苹果只需支付原价的80%。

若小红支付了24元，那么原价是多少元？解析：假设原价为x元，则小红支付的金额为0.8x元。

根据题意可得方程0.8x=24。

将方程两边同时除以0.8得到x=30。

所以原价是30元。

例子2：某公司的年终奖是员工当年的月工资总和的30%。

现在某员工的年终奖是1500元，那么他当年的月工资是多少元？解析：假设员工当年的月工资为x元，则年终奖为0.3x元。

根据题意可得方程0.3x=1500。

将方程两边同时除以0.3得到x=5000。

所以该员工当年的月工资是5000元。

例子3：某商品的原价是78元，现在正在进行促销活动，打折后的价格是原价的90%。

小明买了一件该商品，付款时发现打折后的价格是70.2元，那么小明享受了多少折扣？解析：假设折扣为x，则打折后的价格为0.9x元。

根据题意可得方程0.9x=70.2。

将方程两边同时除以0.9得到x=78。

所以小明享受了100%的折扣。

通过以上几个例子，我们可以看到小数一元一次方程在实际问题中的应用非常广泛。

通过建立方程，我们可以解决各种关于比例、百分比、利润等问题。

解决这些问题的关键就是要将问题转化成数学方程，并通过求解方程得到答案。

在解决小数一元一次方程的过程中，我们可以运用一些常用的解方程的方法，如加减消元法、代入法、化简法等。

根据具体问题的特点选择合适的方法进行求解，可以更加高效地解决问题。

小数一元一次方程是实际问题中常见的数学工具，通过建立方程并求解，可以解决各种涉及比例、百分比、利润等方面的问题。

6.2 解一元一次方程第4课时教学目标【知识与能力】掌握分母中含有小数的一元一次方程的解法,灵活运用解方程的步骤解方程.【过程与方法】通过练习使学生灵活的解一元一次方程.【情感态度价值观】发展学生的观察、计算、思维能力.教学重难点【教学重点】使学生灵活的解一元一次方程.【教学难点】使学生灵活的解一元一次方程.课前准备课件教学过程一、情境导入，初步认识通过前面的学习，得出了解一元一次方程的一般步骤，任何一个一元一次方程都可以通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤转化成x=a的形式.因此当一个方程中的分母含有小数时，应首先考虑化去分母中的小数，然后再求解这个方程.【教学说明】复习解一元一次方程的步骤，为本节课的教学作准备，并引出本节课的内容.二、思考探究，获取新知1.解方程分析：此方程的分母中含有小数，通常将分母中的小数化为整数，然后再按解方程的一般步骤求解.利用分数的基本性质，将方程化为：去分母，得6(9x＋2)-14(3＋2x)-21(3x＋14)=42，去括号，得54x+12-42-28x-63x-294=42，移项，得 54x-28x-63x＝42-12＋42+294，合并同类项，得-37x=366，系数化为1得x=-366/37.【教学说明】解此方程时一定要注意区别：将分母中的小数化为整数根据的是分数的基本性质，分数的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的数，分数的值不变，所以等号右边的1不变.去分母是方程的两边都乘以各分母的最小公倍数42，所以等号右边的1也要乘以42，才能保证所得结果仍成立.2.解下列方程：(1)3(2x-1)＋4=1-(2x-1)；分析：我们已经学习了解方程的一般步骤，具体解题时，要观察题目的结构特征，灵活应用步骤.第(1)小题中可以把(2x-1)看成一个整体，先求出(2x-1)的值，再求x的值；第(2)小题，应注意到分子都是4x+3，且1/6+1/2+1/3=1，所以如果把4x+3看成一个整体，则无需去分母.解：(1)3(2x-1)+4=1-(2x-1) ，3(2x-1)＋(2x-1)=1-4，4(2x-1)=-3，2x-1=-3/4，2x=1/4，x=1/8.(1/6+1/2+1/3)(4x+3)=1；4x+3=1；4x=-2；x=-1/2.【教学说明】解方程时，要注意观察分析题目的结构，根据具体情况合理安排解题的步骤，注意简化运算，这样可以提高解题速度，培养观察能力和决策能力.三、运用新知，深化理解【教学说明】强调学生在解题之前一定要先观察方程的特点，再选择适当的方法，是先去中括号、还是去小括号；是先去分母、还是先去括号等.【答案】1.分析：这个方程的分母含有小数，可依据分数的基本性质，先把分母化为整数再去分母后求解.解：原方程可化为去分母，得3（4x+21）-5（50-20x）= 9，去括号，得12x+63-250+100x=9，移项，得12x +100x=9-63+250，合并同类项，得112x=196，系数化为1，得x=196/112=7/4.2.解：原方程可化为去分母得40x+60=5（18-18x）-3（15-30x），去括号得40x+60=90-90x-45+90x，移项、合并得40x=-15，系数化为1得x=-3/8.3.解：去中括号得4（x-1/2）+1=5x-1，去小括号得4x-2+1=5x-1，移项、合并得x=0.4.解：去小括号得1/3(2x-1/3-2/3)=2,方程两边同乘以3得2x-1=6,移项得2x=7,系数化为1得x =7/2.5.解：依题意，得去分母得5（2k+1）=3（17-k）+45，去括号得10k+5=51-3k+45，移项得10k+3k=51+45-5，合并同类项得13k=91，系数化为1得k=7，6.分析：由方程2(2x-3)=1-2x可求出它的解为x=7/6，因为两个方程的解相同，只需把x =7/6 代入方程8-k=2(x+1)中即可求得k的值.解：由2(2x-3)=1-2x得4x-6=1-2x，4x+2x=1+6，6x=7，x=7/6.把x =7/6代入方程8-k=2(x+1)，得8-k=2(7/6+1),8-k=7/3+2,-k=-11/3,k=11/3.答:当k =11/3时，方程2(2x-3)=1-2x 和8-k=2(x+1)的解相同.四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业1.布置作业:教材第14页“习题6.2.2”中第1 、2 题.2.完成练习册中本课时练习.五、教学反思这几堂课我们都在探讨一元一次方程的解法,具体解题时要仔细审题，根据方程的结构特征，灵活选择解法，以简化解题步骤，提高解题速度.对于利用方程的意义解决的有关数学题，仔细领会题目中的信息，应把它转化为方程来求解.第2课时 分式的乘方[解答] 根据乘方的意义和分式乘法法则，可得分式乘方法则：分式乘方是把分子、分母各自乘方．即由于ba 表示a 除以b 的商，所以分式乘方的法则实质上就是商的乘方法则，这个法则与第六章整式的乘除中幂的运算法则组成了系统的幂的五种运算性质．即关于正整数m 、n 有： (1)m n m n a a a +=⋅(2)m n m n a a a -=÷ (a ≠0，m ＞n)(3)m n m n a a ⋅=)((4)n n n b a b a ⋅=⋅)(加强幂的运算性质“双向应用”的练习，有利于熟练掌握幂的运算性质，发展思维，提高灵活解决有关幂的各类问题的能力．正向应用幂的运算性质解题时，应注意以下几点．(1)“分子、分母各自乘方”是针对分子与分母的整体而言，如果分子、分母是积的形式，应接照积的乘方法则进行运算，如本例中(2)计算带有负号的分式乘方时，按照负数乘方的规律“偶次方为正，奇次方为负”，首先决定结果的符号，如本例中(3)乘方与乘除法混合运算时，应首先计算乘方，然后颠倒除式的分子与分母的位置，再与被除式相乘，进行约分化简．[例2]已知2a =5，2b =4，2c =10，求22a+b-3c 的值．分析：本题应通过逆向应用幂的运算性质，将c b a 322-+用a 2，2b 与2c 的式子表示出来，再代入求值．解：c b a 322-+ ＝c ba 3222+ （ m n m n a a a -=÷的逆向应用 ） ＝c ba 32222⋅ （ m n m n a a a +=⋅的逆向应用 ）＝32)2(2)2(c b a ⋅ （ m n m n a a ⋅=)(的逆向应用 ） ＝101104532=⨯[例3] 求(0.5)10×(-8)3的值．解：(0.5)10×(-8)3注意：把10)5.0(写成92121⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯以及进一步把99)2(21-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛写成9)2(21⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛的形式，是逆向应用幂的运算性质解题的常用技巧，也是解决本题的关键。

一元一次方程的解法在初中数学中，一元一次方程是我们学习的重要内容之一。

解一元一次方程是我们解决实际问题、进行数学推理的基础。

本文将介绍一元一次方程的解法，帮助中学生和他们的父母更好地理解和应用这一知识。

一元一次方程是指只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的方程。

它的一般形式可以表示为：ax + b = 0，其中a和b为已知数，x为未知数。

解一元一次方程的关键是找到使等式成立的未知数的值。

一元一次方程的解法有多种，下面将介绍其中的两种常见方法。

方法一：等式两边同时加减同一个数当我们遇到一个一元一次方程时，可以通过等式两边同时加减同一个数，来逐步消去未知数的系数和常数项，最终得到未知数的值。

例如，我们考虑方程2x - 3 = 7。

为了消去常数项-3，我们可以在等式两边同时加上3，得到2x = 10。

接下来，我们再将方程两边同时除以系数2，即可得到x的值，即x = 5。

这种方法简单直观，适用于一些较为简单的方程。

但需要注意的是，当方程中含有分数或小数时，我们需要进行适当的化简和计算，确保结果的准确性。

方法二：倒数法倒数法是一种更加高效的解一元一次方程的方法。

它的基本思想是通过倒数的方式，将未知数的系数化为1，从而简化计算过程。

例如，我们考虑方程3x + 4 = 13。

为了将系数3化为1，我们可以将方程两边同时除以3，得到x + 4/3 = 13/3。

接下来，我们再将方程两边同时减去4/3，即可得到x的值，即x = 13/3 - 4/3 = 9/3 = 3。

倒数法的优势在于可以减少计算的步骤和复杂度，特别适用于系数较大或方程较复杂的情况。

除了以上两种常见的解法，还有一些特殊情况下的解法，如利用代数性质进行变形、利用图像法进行求解等。

这些方法在一些特殊问题中有着重要的应用，可以进一步提高解题的灵活性和准确性。

总结起来，解一元一次方程的关键是找到未知数的值，从而使等式成立。

通过等式两边同时加减同一个数或者利用倒数法，我们可以逐步消去未知数的系数和常数项，最终求得未知数的值。

第三章：一元一次方程专题一.方程的定义：（一）.判断是否为一元一次方程：1. 判断下列各式哪些是一元一次方程，哪些不是一元一次方程，为什么？①8493+=+； ②b a +-12； ③53=-y x ； ④974>+x ；⑤34831-=+x x ； ⑥b a x =+1； ⑦13=-x ；⑧22-=x x2.判断下列式子中哪些是一元一次方程：①192=+y x ； ②358x x x +=；③y y 92-； ④2992=-x ；⑤ 933=-x； ⑥1=xy ；（二）.满足是一元一次方程的条件：1.12=+a x是一元一次方程，则aa 1-＝__________。

2.关于x 的方程(2k -1)x 2 -(2k + 1)x + 3 = 0是一元一次方程, 则k ＝_________3.如果方程()021=+-x m 是关于x 的一元一次方程，那么m 的取值范围是________4.若关于x 的方程()k x k k -+=-2501是一元一次方程，则k ＝_________ 5.已知08)1()1(22=++--x m x m 是关于x 的一元一次方程，求代数式199(m ＋x)(x －2m)＋m 的值__________.二.解方程：（一）.一般方程： 1.去括号：①17)25(12)23(5-=---y y ②()()()4238152x x x +=---③3223141221223x x +⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎡⎣⎢⎤⎦⎥-= ④1122(1)(1)223x x x x ⎡⎤---=-⎢⎥⎣⎦2.去分母：①-+=-x 2310 ②x x --=-142236（二）.特殊方程： 1、 含有小数的方程： ①125.115.232--=+xx ②5.03.02.01.02.12.06.0=+--x x2.约分：①8.0120)11(120120⨯=+-x ②70%x+(30-x)×55%=30×65%3.复杂方程：① 43}23)]32(41[31{21+=----x x x x ②143)1(2111=-+-x③31{31[31(31x-2)-2]}-2=0 ④14]3)221(31[4151-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧---x2.若方程31{21[71(4x-7a)]}=61的解为 x=7,则a 的值为_________3.21⨯x ＋32⨯x ＋43⨯x ＋…＋20062005⨯x =20054.方程中含有字母：①ax ＝x ＋1 ② ))(()(2222b a a x b b x a ≠+=+5.绝对值方程：①51262--=x训练题：1. 解方程：132x-= 2. 已知方程221=+x 的解是__________。

第一章有理数1.有理数的定义与性质：有理数是可以用两个整数的比表示的数，包括整数、分数、正数、负数。

2.有理数的运算：有理数的加、减、乘、除法运算。

3.有理数的比较：通过比较绝对值的大小，确定有理数的大小关系。

4.有理数的绝对值：一个有理数的绝对值是其与0之间的距离。

5.有理数的表示：分数的四则运算、分数的乘法公式、乘除法法则。

6.分数与整数、小数的关系：分数可以化简为整数或小数，整数可以化为分数或小数，小数可以化为分数。

第二章代数式1.代数式的定义：一个由数及代数符号组成的式子。

2.代数式的运算：代数式的加减乘除运算。

3.代数式的展开：将代数式从因式形式展开为展开式。

4.求代数式的值：给定代数式中的字母数值，可以求出代数式的具体值。

5.变量的代数计算：将一个代数式的一些变量用另一个变量表示出来。

6.代数式间的运算：如同代数式只是一个数一样，进行加、减、乘、除运算。

第三章图形的性质1.直角三角形：一条直角边的边与斜边的关系，勾股定理的应用。

2.这角三角形：斜边的平方等于两直角边的平方和，勾股定理的应用。

3.平行四边形：对角线的性质，平行四边形对角线的长度关系。

4.长方体：长方体的表面积，长方体的体积。

5.圆的性质：圆的半径、直径、弦、弧、弧度、周长、面积的概念，圆心角、圆周角的概念。

6.圆的应用：构造与判断等分线、切线和相切圆。

第四章数据的处理1.平均数：算术平均值的定义及计算，调查数据中个体之间的关系。

2.中位数：确定数据集中的中位数，中位数对数据变化的稳定性。

3.极差和五数概括：观察数据集的极差和五数概括。

4.数据的表示法：条形统计图的基本知识，构建条形统计图的步骤。

5.单位换算：长度、质量、容量以及时间的换算。

6.折线图的绘制：折线图的构建步骤。

第五章线性方程1.方程与解：方程的定义，解方程的原则。

2.带有分数的一元一次方程：解带有分数的一元一次方程。

3.解方程的实际问题：解与年龄、长宽、长度之间关系的方程。

专题06 一元一次方程【专题目录】技巧1：巧用一元一次方程求字母系数的值技巧2：特殊一元一次方程的解法技巧【题型】一、一元一次方程概念【题型】二、一元一次方程的解法【题型】三、一元一次方程应用之配套问题和工程问题【题型】四、一元一次方程应用之销售盈亏问题【题型】五、一元一次方程应用之比赛积分问题【考纲要求】1、了解等式、方程、一元一次方程的概念，掌握等式的基本性质．2、掌握一元一次方程的标准形式，熟练掌握一元一次方程的解法．3、会列方程(组)解决实际问题.【考点总结】一、一元一次方程【注意】一元一次方程的特征1.只含有一个未知数x2.未知数x的次数都是13.等式两边都是整式，分母中不含未知数。

2．解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号； (3)移项； (4)合并同类项； (5)未知数的系数化为1. 【技巧归纳】技巧1：巧用一元一次方程求字母系数的值【类型】一、利用一元一次方程的定义求字母系数的值1．已知方程(m －2)x |m|－1＋16＝0是关于x 的一元一次方程，求m 的值及方程的解． 2．已知方程(3a ＋2b)x 2＋ax ＋b ＝0是关于x 的一元一次方程，求方程的解．3．已知(m 2－1)x 2－(m ＋1)x ＋8＝0是关于x 的一元一次方程，求式子199(m ＋x)(x －2m)＋9m ＋17的值．【类型】一、利用方程的解求字母系数的值 题型1：利用方程的解的定义求字母系数的值4．关于x 的方程a(x －a)＋b(x ＋b)＝0有无穷多个解，则( )A ．a ＋b ＝0B ．a －b ＝0C ．ab ＝0D .ab ＝05．关于x 的方程(2a ＋b)x －1＝0无解，则ab 是( )A ．正数B ．非正数C ．负数D ．非负数6．已知关于x 的方程9x －3＝kx ＋14有整数解，那么满足条件的整数k ＝__________． 7．已知x ＝12是方程6(2x ＋m)＝3m ＋2的解，求关于y 的方程my ＋2＝m(1－2y)的解．8．当m 取什么整数时，关于x 的方程12mx －53＝12⎝⎛⎭⎫x －43的解是正整数？ 题型2：利用两个方程同解或解具有已知倍数关系确定字母系数的值9．如果方程x －43－8＝－x ＋22的解与关于x 的方程2ax －(3a ＋5)＝5x ＋12a ＋20的解相同，确定字母a 的值．题型3：利用方程的错解确定字母系数的值10．小马虎解方程2x －13＝x ＋a2－1，去分母时，方程右边的－1忘记乘6，其他步骤都正确，这时方程的解为x ＝2，试求a 的值，并正确解方程． 参考答案1．解：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧|m|－1＝1，m －2≠0，所以m ＝－2.将m ＝－2代入原方程，得－4x ＋16＝0，解得x ＝4.2.解：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b ＝0，a≠0，所以3a ＝－2b ，即a ＝－23b.当3a ＋2b ＝0时，原方程可化为ax ＋b ＝0，则x ＝－ba .将a ＝－23b 代入方程的解中，得x ＝－b a ＝32.3．解：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－1＝0，m ＋1≠0，所以m ＝1.当m ＝1时，原方程可化为－2x ＋8＝0，解得x ＝4.当m ＝1，x ＝4时，199(m ＋x)(x －2m)＋9m ＋17＝199×5×2＋9×1＋17＝2 016. 4．A 5.B 6.8，－8，10或267．解：将x ＝12代入方程6(2x ＋m)＝3m ＋2，得6⎝⎛⎭⎫2×12＋m ＝3m ＋2，解得m ＝－43. 将m ＝－43代入方程my ＋2＝m(1－2y)，得－43y ＋2＝－43(1－2y)，解得y ＝56.点拨：已知一元一次方程的解，确定关于某一个未知数的方程中另外一个字母的值，只需把未知数的值(方程的解)代入原方程，即可得出含另一个字母的方程，通过求解确定另一个字母的值，从而进行关于其他字母的计算．8．解：原方程可化为12mx －53＝12x －23，所以12(m －1)x ＝1，所以(m －1)x ＝2.因为x 必须为正整数且m 为整数，故m －1＝1或2.当m －1＝1，即m ＝2时，x ＝2； 当m －1＝2，即m ＝3时，x ＝1.所以当m ＝2或3时，方程的解为正整数． 9．解：x －43－8＝－x ＋22，去分母，得2(x －4)－48＝－3(x ＋2)．去括号、移项、合并同类项，得5x ＝50.系数化为1，得x ＝10.把x ＝10代入方程2ax －(3a ＋5)＝5x ＋12a ＋20， 得2a×10－(3a ＋5)＝5×10＋12a ＋20， 去括号、移项，得20a －3a －12a ＝5＋50＋20. 合并同类项，得5a ＝75，系数化为1，得a ＝15. 10．解：由题意得4x －2＝3x ＋3a －1，移项、合并同类项，得x ＝3a ＋1. 因为x ＝2，所以2＝3a ＋1，则a ＝13.当a ＝13时，原方程为2x －13＝x ＋132－1，解得x ＝－3.技巧2：特殊一元一次方程的解法技巧【类型】一、分子、分母含小数的一元一次方程 题型1：巧化分母为11．解方程：4x －1.60.5－3x －5.40.2＝1.8－x0.1.2．解方程：2x ＋10.25－x －20.5＝－10.题型2：巧化同分母3．解方程：x 0.6－0.16－0.5x0.06＝1.题型3：巧约分去分母4．解方程：4－6x 0.01－6.5＝0.02－2x0.02－7.5.【类型】二、分子、分母为整数的一元一次方程 题型1：巧用拆分法5．解方程：x －12－2x －36＝6－x3.6．解方程：x 2＋x 6＋x 12＋x20＝1.题型2：巧用对消法7．解方程：x 3＋x －25＝337－6－3x15.题型3：巧通分8．解方程：x ＋37－x ＋25＝x ＋16－x ＋44.【类型】三、含括号的一元一次方程 题型1：利用倒数关系去括号9．解方程：32⎣⎡⎦⎤23⎝⎛⎭⎫x 4－1－2－x ＝2. 题型2：整体合并去括号10．解方程：x －13⎣⎡⎦⎤x －13（x －9）＝19(x －9)． 题型3：整体合并去分母11．解方程：13(x －5)＝3－23(x －5)．题型4：不去括号反而添括号12．解方程：12⎣⎡⎦⎤x －12（x －1）＝23(x －1)． 题型5：由外向内去括号13．解方程：13⎣⎡⎦⎤14⎝⎛⎭⎫13x －1－6＋2＝0. 题型6：由内向外去括号14．解方程：2⎣⎡⎦⎤43x －⎝⎛⎭⎫23x －12＝34x. 参考答案1．解：去分母，得2(4x －1.6)－5(3x －5.4)＝10(1.8－x)．去括号、移项、合并同类项，得3x ＝－5.8. 系数化为1，得x ＝－2915.点拨：本题将各分数分母化为整数1，从而巧妙地去掉了分母，给解题带来了方便 . 2．解：去分母、去括号，得8x ＋4－2x ＋4＝－10.移项、合并同类项，得6x ＝－18. 系数化为1，得x ＝－3.点拨：由0.25×4＝1，0.5×2＝1，可巧妙地将分母化为整数1. 3．解：化为同分母，得0.1x 0.06－0.16－0.5x 0.06＝0.060.06.去分母，得0.1x －0.16＋0.5x ＝0.06. 解得x ＝1130.4．解：原方程可化为4－6x 0.01＋1＝0.01－x0.01.去分母，得4－6x ＋0.01＝0.01－x. 解得x ＝45.点拨：本题将第二个分数通过约分处理后，使两个分数的分母相同，便于去分母．5．解：拆项，得x 2－12－x 3＋12＝2－x3.移项、合并同类项，得x2＝2.系数化为1，得x ＝4.点拨：方程通过拆项处理后，便于合并同类项，使复杂方程简单化． 6．解：拆项，得⎝⎛⎭⎫x －x 2＋⎝⎛⎭⎫x 2－x 3＋⎝⎛⎭⎫x 3－x 4＋⎝⎛⎭⎫x 4－x5＝1. 整理得x －x 5＝1.解得x ＝54.点拨：因为x 2＝x －x 2，x 6＝x 2－x 3，x 12＝x 3－x 4，x 20＝x 4－x5，所以把方程的左边每一项拆项分解后再合并就很简便 .7．解：原方程可化为x 3＋x －25＝247＋x －25，即x 3＝247.所以x ＝727. 点拨：此题不要急于去分母，通过观察发现－6－3x 15＝x －25，两边消去这一项可避免去分母运算．8．解：方程两边分别通分后相加，得5（x ＋3）－7（x ＋2）35＝2（x ＋1）－3（x ＋4）12.化简，得－2x ＋135＝－x －1012.解得x ＝－36211.点拨：本题若直接去分母，则两边应同乘各分母的最小公倍数420，运算量大容易出错，但是把方程左右两边分别通分后再去分母，会给解方程带来方便． 9．解：去括号，得x4－1－3－x ＝2.移项、合并同类项，得－34x ＝6.系数化为1，得x ＝－8.点拨：观察方程特点，由于32与23互为倒数，因此让32乘以括号内的每一项，则可先去中括号，同时又去小括号，非常简便．10．解：原方程可化为x －13x ＋19(x －9)－19(x －9)＝0.合并同类项，得23x ＝0.系数化为1，得x ＝0.11．解：移项，得13(x －5)＋23(x －5)＝3.合并同类项，得x －5＝3.解得x ＝8.点拨：本题将x －5看成一个整体，通过移项、合并同类项进行解答，这样避免了去分母，给解题带来简便．12．解：原方程可化为12[(x －1)＋1－12(x －1)]＝23(x －1)．去中括号，得12(x －1)＋12－14(x －1)＝23(x －1)．移项、合并同类项，得－512(x －1)＝－12.解得x ＝115.13．解：去中括号，得112⎝⎛⎭⎫13x －1－2＋2＝0.[来源:学科网] 去小括号，得136x －112＝0.移项，得136x ＝112.系数化为1，得x ＝3.14．解：去小括号，得2[43x －23x ＋12]＝34x.去中括号，得43x ＋1＝34x.移项，合并同类项，得712x ＝－1.系数化为1，得x ＝－127.【题型讲解】【题型】一、一元一次方程概念例1、关于x 的一元一次方程224a x m -+=的解为1x =，则a m +的值为（ ） A ．9 B ．8C ．5D ．4【详解】解：因为关于x 的一元一次方程2x a -2+m=4的解为x=1， 可得：a -2=1，2+m=4， 解得：a=3，m=2， 所以a+m=3+2=5， 故选：C ．【题型】二、一元一次方程的解法例2、解一元一次方程11(1)123x x +=-时，去分母正确的是（ ）A ．3(1)12x x +=-B ．2(1)13x x +=-C ．2(1)63x x +=-D ．3(1)62x x +=-【答案】D【分析】根据等式的基本性质将方程两边都乘以6可得答案． 【详解】解：方程两边都乘以6，得：3（x +1）＝6﹣2x ，故选：D ． 例3、解方程：221123x x x ---=-【答案】27x =【分析】去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，依此即可求解． 【详解】解：221123x x x ---=-()()6326221x x x --=--636642x x x -+=-+ 634662x x x -+=-+ 72x =27x =【题型】三、一元一次方程应用之配套问题和工程问题例4、某车间有22名工人，每人每天可生产1200个螺钉或2000个螺母，1个螺钉需配2个螺母，为使生产的螺钉和螺母刚好配套，若设x 名工人生产螺钉，依题意列方程为（ ） A ．1200x ＝2000（22﹣x ） B ．1200x ＝2×2000（22﹣x ） C ．1200（22﹣x ）＝2000x D ．2×1200x ＝2000（22﹣x ）【答案】D【分析】首先根据题目中已经设出每天安排x 个工人生产螺钉，则（22-x ）个工人生产螺母，由1个螺钉需要配2个螺母①可知螺母的个数是螺钉个数的2倍①从而得出等量关系，就可以列出方程． 【详解】解：设每天安排x 个工人生产螺钉，则（22-x ）个工人生产螺母，利用一个螺钉配两个螺母．由题意得：2×1200x=2000①22-x ），即2×1200x=2000①22-x①①故选D① 【题型】四、一元一次方程应用之销售盈亏问题例5、随着传统节日“端午节”临近，某超市决定开展“欢度端午，回馈顾客”的活动，将进价为120元一盒的某品牌粽子按标价的8折出售，仍可获利20%，则该超市该品牌粽子的标价为__元．（ ）A ．180B ．170C ．160D ．150【答案】A【分析】设该超市该品牌粽子的标价为x 元，则售价为80%x 元，根据等量关系：利润=售价﹣进价列出方程，解出即可．【详解】解：设该超市该品牌粽子的标价为x 元，则售价为80%x 元， 由题意得：80%x ﹣120=20%×120， 解得：x =180．即该超市该品牌粽子的标价为180元． 故选：A ．【题型】五、一元一次方程应用之比赛积分问题例6、一张试卷有25道选择题，做对一题得4分，做错一题得-1分，某同学做完了25道题，共得70分，那么他做对的题数是（ ） A ．17道 B ．18道C ．19道D ．20道【答案】C【分析】设作对了x 道，则错了（25-x ）道，根据题意列出方程进行求解. 【详解】设作对了x 道，则错了（25-x ）道，依题意得4x -(25-x)=70，解得x=19 故选C.一元一次方程（达标训练）一、单选题1．（2020·浙江·模拟预测）下列各式：①253-+=；①235=3x x x -+；①211x +=；①21=x；①23x +；①4x =．其中是一元一次方程的有（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】根据一元一次方程的定义逐个判断即可 【详解】解：①不含未知数，故错 ①未知数的最高次数为2，故错①含一个未知数，次数为1，是等式且两边均为整式，故对 ①左边不是整式，故错 ①不是等式，故错①含一个未知数，次数为1，是等式且两边均为整式，故对故选：B【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握并理解一元一次方程的定义是解本题的关键2．（2022·浙江温州·三模）解方程2233522x x x x x --+=--，以下去分母正确的是（ ）A ．22335x x x ---=B ．22335x x x --+=C ．()223352x x x x ---=-D ．()223352x x x x --+=-【答案】D【分析】利用等式的性质在分式方程两边分别乘()2x - 即可．【详解】A ，()223352,x x x x +--=-故此选项不符合题意． B ，()223352,x x x x +--=-故此选项不符合题意． C ，()223352,x x x x +--=-故此选项不符合题意． D ，()223352,x x x x +--=-故此选项符合题意．故选：D ．【点睛】本题主要考查了解分式方程去分母，根据等式的性质在分式方程两边分别乘以分母的最简公分母，熟练掌握等式的性质是解此题的关键．3．（2022·重庆沙坪坝·一模）若关于x 的方程25x a +=的解是2x =，则a 的值为（ ） A ．9- B ．9 C ．1- D ．1【答案】D【分析】把2x =代入方程计算即可求出a 的值． 【详解】解：把2x =代入方程得：45a +=， 解得1a =． 故选：D ．【点睛】本题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 4．（2022·河北石家庄·二模）1x =是下列哪个方程的解（ ） A ．65x =- B ．2233+=+x xC ．21133x x x x -=-- D ．2x x =【答案】D【分析】把x ＝1代入各选项进行验算即可得解． 【详解】解：A 、5−1＝4≠6，故本选项错误； B 、2124⨯+=，3136⨯+=，4≠6，故本选项错误； C 、当x =1时，x -1=0即分式的分母为0，故本选项错误；D 、211=，故本选项正确． 故选：D ．【点睛】本题考查了方程的解的概念，使方程的左右两边相等的未知数的值是方程的解． 5．（2022·广东·佛山市南海外国语学校三模）我国古代的《洛书》中记载了最早的三阶幻方—九宫图．在如图所示的幻方中，每一横行、每一竖列以及两条对角线上的数字之和都相等，则m 的值是（ ）A ．5B ．3C ．1-D ．2-【答案】A【分析】根据幻方中，每一横行、每一竖列以及两条对角线上的数字之和都相等列出方程，即可求解． 【详解】解：设幻方正中间的数字为a ， 依题意得：124a m a ++=++， 解得：5m =． 故选A ．【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键．二、填空题6．（2022·四川达州·二模）方程2x -3=5的解为________. 【答案】x =4【分析】根据解一元一次方程的解法求解即可得． 【详解】解：2x -3=5， 移项得2x =8， 系数化为1得：x =4， 故答案为：x =4．【点睛】题目主要考查解一元一次方程，熟练掌握方法是解题关键．7．（2022·四川广元·二模）已知：A ，B 在数轴上对应的数分别用a ，b 表示，且2(4)|12|0a b ++-=．若点C 点在数轴上且满足3AC BC =，则C 点对应的数为________． 【答案】8或20##20或8【分析】先根据非负数的性质求出a ，b 的值，分C 点在线段AB 上和线段AB 的延长线上两种情况讨论，即可求解．【详解】解：①2(4)|12|0a b ++-= ①a ＋4＝0，b −12＝0 解得：a ＝−4，b ＝12①A 表示的数是−4，B 表示的数是12 设数轴上点C 表示的数为c ①AC ＝3BC ①|c ＋4|＝3|c −12| 当点C 在线段AB 上时 则c ＋4＝3（12−c ） 解得：c ＝8当点C 在AB 的延长线上时 则c ＋4＝3（c −12） 解得：c ＝20综上可知：C 对应的数为8或20．【点睛】本题考查了非负数的性质，方程的解法，数轴两点之间的距离，运用分类讨论思想方程思想和数形结合思想是解本题的关键．三、解答题8．（2022·四川广元·一模）解方程：2(1)13x x x --=-． 【答案】12x =-【分析】先去括号，再移项，合并同类项，最后把未知数的系数化“1”，从而可得答案. 【详解】解：去括号，得2213x x x -+=-. 移项及合并同类项，得21x =-. 系数化为1，得12x =-.【点睛】本题考查的是一元一次方程的解法，掌握“解一元一次方程的步骤”是解本题的关键. 9．（2022·湖南·长沙市长郡双语实验中学二模）“小口罩，大温暖”，为有效防控疫情，缓解基层防疫物资短缺问题，2020年2月10日，福山区首批4万只口罩免费派发．烟台市政府紧急调拨的这批民用口罩包括A ，B 两种不同款型，其中A 型口罩单价100元，B 型口罩单价80元．(1)先进行试点发放，某社区环卫工人共收到A ，B 两种款型的口罩100盒，总价值共计9200元，求免费发放给该社区环卫工人的A 型口罩和B 型口罩各多少盒？(2)我区某街道办事处决定将此项公益活动在其整个街道社区全面铺开，按照试点发放中A，B两种款型的数量比共发放2000盒．若该社区人口平均每500人发放A型口罩m盒，B型口罩（328m-）盒．求该街道社区人口总数．【答案】(1)免费发放给该社区环卫工人的A型口罩60盒，B型口罩40盒(2)该街道社区人口总数为50000人【分析】（1）设免费发放给该社区环卫工人的A型口罩x盒，B型口罩y盒，根据题意，列出方程，即可求解；（2）根据题意可得3286040m m-=，从而得到m=12，即可求解．(1)解：设免费发放给该社区环卫工人的A型口罩x盒，B型口罩y盒，依题意得：100100809200x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得：6040xy=⎧⎨=⎩．答：免费发放给该社区环卫工人的A型口罩60盒，B型口罩40盒．(2)解：依题意得：328 6040m m-=，解得：m=12，①m+3m−28=20．①该街道社区人口总数=200020×500=50000（人）．答：该街道社区人口总数为50000人．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．一元一次方程（提升测评）一、单选题1．（2022·湖北十堰·一模）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数，羊价各是多少？如果我们设合伙人数为x ，则可列方程（ ） A ．54573x x +=+ B ．54573x x -=-C ．45357x x +=+D ．45357x x-=+【答案】A【分析】根据每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，可以列出相应的一元一次方程，本题得以解决．【详解】解：设合伙人数为x ，则可列方程为 54573x x +=+；故选：A【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 2．（2022·浙江温州·二模）若代数式()()2132x x +++的值为8，则代数式()()2231x x -+-的值为（ ） A ．0 B ．11 C ．7- D ．15-【答案】C【分析】由()()2132x x +++的值为8，求得x =0，再将x =0代入计算可得． 【详解】解：①()()2132x x +++的值为8， ①2x +2+3x +6=8， ①x =0，当x =0时，()()2231x x -+-=2×(-2)+3×(-1)=-7． 故选：C ．【点睛】本题考查了解一元一次方程，代数式的求值，掌握解一元一次方程的解法是解题的关键． 3．（2022·河北·石家庄市第四十一中学模拟预测）已知m n =，下列等式不成立的是（ ） A ．2m n m += B ．0-=m n C ．22m x n x -=- D ．235m n n -=【答案】D【分析】根据等式的性质和合并同类项即可判断． 【详解】由m n =，得2m n m m m +=+=，故A 成立； 0m n m m -=-=，故B 成立；根据等式的性质，等式两边同加或减一个等式，左右两边仍相等，22m x n x -=-，故C 成立；2323m n n n n -=-=-，故D 不成立；故选D ．【点睛】本题考查了等式的性质和合并同类项，熟记运算法则是解题的关键．4．（2022·河北保定·一模）已知分式：341()()32a a a a -+---■的某一项被污染，但化简的结果等于2a +，被污染的项应为（ ） A ．0 B ．1 C ．23a a -- D ．32a a -- 【答案】B【分析】设被污染的部分为p ，然后根据等式的性质解关于p 的方程，求出p 的表达式即可． 【详解】解：设被污染的部分为p ， 则341()()232a a p a a a -+-=+--， ①241()232a p a a a --=+--， ①()()()132222a p a a a a --=+⨯--+， ①3122a p a a -=+--， ①22a p a -=-， ①1p =． 故选：B ．【点睛】本题主要考查了分式的混合运算和利用等式的性质解一元一次方程，解题的关键是根据等式的性质解方程和掌握分式混合运算顺序和运算法则． 5．（2022·重庆·三模）下列四种说法中正确的有（ ） ①关于x 、y 的方程24107x y +=存在整数解．①若两个不等实数a 、b 满足()()244222a b a b +=+，则a 、b 互为相反数．①若2()4()()0a c a b b c ---=-，则2b a c =+． ①若222x yz y xz z xy ---==，则x y z ==． A ．①① B ．①① C ．①①① D ．①①①【答案】B【分析】将24x y +提公因式2得2(2)x y +，由x 、y 为整数，则2(3)x y +为偶数，因为107为奇数，即原等式不成立，即可判断①；将442222()()a b a b +=+，整理得222()0a b -=，即得出22a b =，由于实数a 、b 不相等，即得出a 、b 互为相反数，故可判断①；2()4()()0a c a b b c ---=-整理得2(2)0a c b +-=，即得20a c b +-=，即2a c b +=，故可判断①；由222x yz y xz z xy ---==，得出2222x xz y yz y xy z xz ⎧+=+⎨+=+⎩，即可变形为222211()()2211()()22x z y z y x z x ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=+⎪⎩，可以得出x y z ==或0x y z ++=，故可判断①． 【详解】解：①262(3)x y x y +=+， ①如果x 、y 为整数，那么2(3)x y +为偶数， ①107为奇数，①24107x y +=不存在整数解，故①错误； 442222()()a b a b +=+444422222a b a b a b +++=442220a b a b +-=222()0a b -=①22a b =，①实数a 、b 不相等，①a 、b 互为相反数，故①正确； 2()4()()0a c a b b c ---=-222244440a ac c ab ac b bc -+-++-=()()22440a c b a c b +-++=2(2)0a c b +-=①20a c b +-=，即2a c b +=，故①正确； ①222x yz y xz z xy ---==①2222x xz y yzy xy z xz ⎧+=+⎨+=+⎩， ①2222222211441144x xz z y yz z y xy x z xz x ⎧++=++⎪⎪⎨⎪++=++⎪⎩，即222211()()2211()()22x z y z y x z x ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=+⎪⎩，①11()2211()22x z y z y x z x ⎧+=±+⎪⎪⎨⎪+=±+⎪⎩，①x y z ==或0x y z ++=，故①不一定正确． 综上可知正确的有①①．故选B．【点睛】本题考查因式分解，整式的混合运算．熟练掌握完全平方公式是解题关键．二、填空题6．（2022·山东临沂·一模）如图，用一块长7.5cm、宽3cm的长方形纸板，和一块长6cm、宽1.5cm 的长方形纸板，与一块小正方形纸板以及另两块长方形纸板，恰好拼成一个大正方形，则小正方形的边长是______cm，拼成的大正方形的面积是______cm2．【答案】 4.581【分析】设小正方形的边长为x cm，然后表示出大正方形的边长，利用正方形的面积相等列出方程求得小正方形的边长，然后求得大正方形的边长即可求得面积．【详解】解：设小正方形的边长为x cm，则大正方形的边长为(6+7.5-x）cm或（x+3+1.5）cm，根据题意得：6+7.5-x=x+3+1.5，解得：x=4.5，则大正方形的边长为6+7.5-x=6+7.5-4.5=9(cm）,大正方形的面积为92=81(cm2),故答案为：4.5；81．【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，设出小正方形的边长并表示出大正方形的边长．7．（2022·上海静安·1=的解是________．【答案】x=1【分析】首先方程两边同时平方，把无理方程化为有理方程，再解方程即可求得【详解】解：方程两边同时平方，得3x-2=1，解得x=1，经检验，x=1是原方程的解，所以，原方程的解为x=1．故答案为：x=1．【点睛】本题考查了无理方程的解法，熟练掌握和运用无理方程的解法是解决本题的关键，注意要检验．三、解答题8．（2022·河北·育华中学三模）如图，数轴上a 、b 、c 三个数所对应的点分别为A 、B 、C ，已知b是最小的正整数，且a 、c 满足2(6)20c a -++＝．(1)①直接写出数a 、c 的值 ， ； ①求代数式222a c ac +-的值；(2)若将数轴折叠，使得点A 与点C 重合，求与点B 重合的点表示的数； (3)请在数轴上确定一点D ，使得AD ＝2BD ，则D 表示的数是 ． 【答案】(1)①-2，6；①64 (2)3 (3)4或0【分析】（1）①根据平方和绝对值的非负性即可求出a 和c ，①把a 和c 的值代入222a c ac +-求值即可；（2）根据题意，求出b 的值，然后求出线段AC 的中点，即可求出结论；（3）设点D 表示的数为x ，然后根据点D 的位置分类讨论，分别根据2AD BD =列出方程即可分别求出结论． （1） 解：①①()2620c a -++=， ①20a +=，60c -=， 解得2a =-，6c =． 故答案为：-2，6．①把2a =-，6c =代入222a c ac +-，2224362464a c ac +-=++=；（2）解：①b 是最小的正整数，①1b =，①线段AC 的中点为()2622-+÷=，设与点B 重合的点表示的数为n ，则(1+n )÷2=2， 解得：n =3．①与点B 重合的点表示的数是3． 故答案为：3． （3）解：因为a =-2，b =1，c =6，设点D 表示的数为x ，若2AD BD =，分三种情况讨论： ①若点D 在点A 的左侧，则x <-2且()221x x --=-， 解得4x =(不符合题意，舍去)；①若点D 在点A 、B 之间，则-2<x <1且()()221x x --=-， 解得0x =；①若点D 在点B 右侧，则x >1且x -(-2)=2(x -1)， 解得：x =4．综上所述，点D 表示的数是0或4． 故答案为：0或4．【点睛】此题考查了非负性的应用、数轴上两点之间的距离、中点公式和一元一次方程的应用，解题的关键是掌握平方、绝对值的非负性、数轴上两点之间的距离公式、中点公式和等量关系．。

用一元一次方程，将无限循环小数转化为分数
1.将纯无限小数转化为分数
从小数点后面第一位起就开始循环的小数，叫做纯循环小数。

例如：0.33333……、0.454545……、0.345345345……等这些小数都是纯无限小数
分析：遇到这样的纯循环小数，我们可令其为x，观察可知，若将左右两边同时扩大10倍，则右边两个小数的差正好为3，从而可以得到关于x的一元一次方程，通过解方程即可得到该分数。

分析：本题和例题1的区别在于：循环节不一样，因此需要左右两边同时乘以100，而不是乘以10.
分析：同样的，循环节变成了3，因此左右两边需要同时乘以1000.
2.把混循环小数化为分数
如果小数点后面的开头几位不循环，从后面的某一位才开始循环，这样的小数叫做混循环小数。

分析：在解答时，要把握的关键是：先把不循环的小数，转移到等号的左边，最后转化为纯循环无限小数来做即可。