2021年浦东新区初三数学二模答案

浦东新区2021二模数学试卷〔总分值150分，考试时间100分钟〕一、选择题：〔本大题共6题，每题4分，总分值24分〕1．2021的相反数是〔〕1〔A〕1；〔B〕-2021；〔C〕；〔D〕2021．202120212．一元二次方程x23x20，以下判断正确的选项是〔〕〔A〕该方程无实数解；〔B〕该方程有两个相等的实数解；〔C〕该方程有两个不相等的实数解；〔D〕该方程解的情况不确定．3．以下函数的图像在每一个象限内，y随着x的增大而增大的是〔〕〔A〕y1；〔B〕y x21；〔C〕y1；〔D〕y x1．x x4．如果从1、2、3这三个数字中任意选取两个数字组成一个两位数，那么这个两位数是素数的概率等于〔〕〔A〕1；〔B〕1；〔C〕1；〔D〕1．23465．以下图是上海今年春节七天最高气温〔℃〕的统计结果：ANMB第6题图C这七天最高气温的众数和中位数是〔〕〔A〕15，17；〔B〕14，17；〔C〕17，14；〔D〕17，15．6．如图，△ABC和△AMN都是等边三角形，点M是△ABC的重心，那么SAMN的值为〔〕SABC 〔A〕2；〔B〕1；〔C〕1；〔D〕4．3349二、填空题：〔本大题共12题，每题4分，总分值48分〕7．计算：1－1＝．38．不等式x12的解集是．9．分解因式：82a2r r ．r r10．计算：3a b2b2a．11．方程5x3的解是．12．函数f(x)6，那么f(2)．x2213．如图，传送带和地面所成的斜坡的坡度为1:3，它把物体从地面送到离地面9米高的地方，那么物体从A到B所经过的路程为米．14．正八边形的中心角等于度．15．在开展“国学诵读〞活动中，某校为了解全校1200名学生课外阅读的情况，随机调查了50名学生一周的课外阅读时间，并绘制成如下图的条形统计图．根据图中数据，估计该校1200 名学生一周的课外阅读时间不少于6小时的人数是．16．：⊙O1、⊙O2的半径长分别为2和R，如果⊙O1与⊙O2相切，且两圆的圆心距d=3，那么R的值为．17．定义运算“﹡〞：规定x﹡y ax、b为常数〕，假设1﹡1＝3，1﹡( 1)＝1，那么1﹡2 by〔其中a＝．18．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AC＝20．点D在边AC上，DE⊥AB，垂足为点E，将△ADE沿直线DE翻折，翻折后点A的对应点为点P，当∠CPD为直角时，AD的长是．三、解答题：〔本大题共7题，总分值78 分〕1119．〔此题总分值10分〕计算：2sin45 20210 8+ ．220．〔此题总分值10分〕解方程：x x 2 8 ．x2 x 2 x2 4（21．〔此题总分值10分〕如图，AB是⊙O的弦，C是AB上一点，∠AOC=90°，OA=4，OC=3，求弦AB的长．（（（（（（（（（（22．〔此题总分值10分，每题5分〕（某工厂生产一种产品，当生产数量不超过40吨时，每吨的本钱y〔万元/吨〕与生产数量x〔吨〕的函数关系式如下图：（1〕求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（2〕当生产这种产品的总本钱为210万元时，求该产品的生产数量．〔注：总本钱=每吨的本钱×生产数量〕23．〔此题总分值 12分，第(1)、〔2〕小题各如图，：四边形ABCD是平行四边形，〔1〕求证：EAC∽ECB；〔2〕假设DF=AF，求AC︰BC的值．6分〕点E在边BA的延长线上，CE 交AD于点F，∠ECA= ∠D．24．(此题总分值12分，每题4分)如图，二次函数yax 24ax 2的图像与y 轴交于点，且过点B(3，6) ．A〔1〕试求二次函数的解析式及点A的坐标；〔2〕假设点B关于二次函数对称轴的对称点为点C，试求CAB的正切值；〔3〕假设在x轴上有一点P，使得点B关于直线AP的对称点B在y 轴上，试求点P 的坐标．1第24题图25．〔此题总分值14分，其中第〔1〕小题4分，第〔2〕、〔3〕小题各5分〕如图，Rt△ABC中，ACB 90o，BC6，点D为斜边AB的中点，点E为边AC上的一个动点．联结DE，过点E作DE的垂线与边BC交于点F，以DE,EF为邻边作矩形DEFG．（1〕如图1，当（2〕如图2，假设AC 8，点G在边AB上时，求DE和EF的长；DE 1x，矩形DEFG的面积为y，求y关于x的函数解析式；EF，设AC2〔3〕假设DE2，且点G恰好落在Rt△ABC的边上，求AC的长．EF3CE FA D G B第25题图1CFEGA D B第25题图2浦东新区2021学年第二学期初三教学质量检测数学试卷参考答案及评分标准 一、：〔本大共 6，每 4分，分24分〕1．B 2．C3．A4．A5．C6．B二、填空：〔本大共 12，每4分，分 48分〕r r7．28．3 9．a)(2a)10．11．412．313．183x2(2abx18．3514．4515．720．16．1或5 17．47，分78分〕8三、解答：〔本大共 19．〔本分 10分〕解：原式=222+2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯〔8分〕122＝1＋32⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯〔 2分〕20．〔本分 10分〕解方程：x x 2 8x 2 x 2 x 24解：去分母得： xx2x 28⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯〔4分〕2整理得：x 2 x 2 0⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯〔2分〕 解得：x 11，x 22⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯〔2分〕x 1 1 是原方程的根，x 22是原方程的增根⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯〔1分〕原方程的根x1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯〔1分〕21．〔本分10分〕解：点O 作OD ⊥AB 于D在Rt △AOC 中，OA 2 OC 2AC 2，AC=5⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯〔2分〕 在Rt △AOC 中，COSOACOA 4；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯〔2分〕AC 5在Rt △ADO 中，COSOADDA，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯〔2分〕所以AD OA，AD16AO.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯〔1分〕AOAC5因在⊙O 中，OD ⊥AB ，所以AB=2AD=216，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯〔2分〕5所以AB=32．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯〔1分〕5〔本分10分，每小5分〕解：⑴函数解析式 y=kx+b，将(0，10)、(40，6)分代入 y=kx+b10 b,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯〔2分〕得40k 6 b.k1,1分〕解之得10 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯〔b 10.所以y=1 x+10(0≤x ≤40)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯〔1+1分〕 10⑵由(1x+11)x=210 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯〔2 分〕10=70，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯〔1分〕解得x=30或x1 2由于0≤x ≤40所以x=30⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯〔 1分〕答：品的生数量是30吨⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯〔1分〕23．〔本分 12分，第(1) 、〔2〕小各6分〕〔1〕明：因，四形ABCD 是平行四形，所以，∠ B=∠D ，⋯⋯⋯⋯⋯〔 2分〕因∠ECA= ∠D ，所以∠ECA=∠B ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯〔 2分〕 因∠E=∠E ，(2)所以△ECA ∽△ECB ⋯⋯⋯⋯⋯⋯〔 2分〕(3) 解：因，四形ABCD 是平行四形，所以，CD ∥AB ，即：CD ∥AE所以CDDF⋯⋯⋯⋯⋯⋯〔1分〕AEAF因DF=AF ，所以，CD=AE ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯〔1分〕因四形ABCD 是平行四形，所以， AB=CD ，所以AE=AB ，所以，BE=2AE ，⋯〔1分〕因△ECA ∽△EBC所以AECEAC⋯⋯⋯⋯⋯⋯〔1分〕CEBEBC所以CE 2 AEBE1 BE 2CE2 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯〔1分〕2 ，即： 2BE所以AC2 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯〔1分〕BC224.(1) 将点B(3,6) 代入解析式yax 24ax 2，可得：6 9a 12a 2.，解之得a4.⋯⋯⋯⋯⋯⋯〔2分〕3所以二次函数解析式y 4x216x 2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯〔1分〕33点A 的坐〔0，2〕．⋯⋯⋯⋯⋯⋯〔1分〕〔2〕由意，C(1,6)，BC2，AB5，tanCBA4．⋯⋯⋯⋯⋯⋯〔1分〕3点C 作CH8，BH619 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯〔2分〕AB于点H．∴CH，AH555∴tanCAB8．⋯⋯⋯⋯⋯⋯〔1分〕19(3)由意， ABAB 15，从而点B 1的坐(0, 3)或(0,7) ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯〔2分〕①假设点B 1(0, 3)，P(x,0)，由PBPB 1，有(x3)2 62x 2 32，解得:x6，即P(6,0)⋯⋯⋯⋯⋯⋯〔 1分〕②假设点 B 1(0,7) ，P(x,0)，由PB PB 1，有(x3)2 62 x 2 72，解得:x2 ，即P( 2,0)⋯⋯⋯⋯⋯⋯〔1分〕33合知，点P 的坐(6,0)或(2,0)．325.(1) 如，∵AD1AB5∴DEFG5315 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯〔2分〕24 4BG3FG3 15 4544 4 16∴DG545 35 ．即DE 15,EF 35 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯〔2分〕16 164163．易得△DHE ∽△ECF ，由DE1〔2〕点D 作DHAC 于点H ，从而DH，可得1xEF2EC 2DH6 ，EH6．⋯⋯⋯⋯⋯⋯〔3分〕2所以DE232(x6)2x 2 6x 45．⋯⋯⋯⋯⋯⋯〔1分〕2 4∴yDE EF2DE 2x 2 12x 90．⋯⋯⋯⋯⋯⋯〔1分〕2CxF 6EH3GADB(3) 由意，点G 可以在BC 或者AB 上．9①如左假设点G 在BC 上，从而由DE3，可知EF 2EF9；⋯⋯〔2分〕，于是AC2②如右，假设点G 在AB 上．ADDB a ，矩形DE2b,EF3b ，由△ADE ∽△FGB ，可得ADFG ，即a 2b ，化可得a 23ab4b 20，因式分解后有:a4b ，即DE GB 2b a3bAD 2DE ．而由△ADE ∽△ACB ，所以AC2BC ，从而AC12．⋯⋯⋯⋯⋯⋯〔3分〕上知，AC 的 9或12.。

第二学期第二次模拟考试初三年级（考试时间：120分钟 满分：150分）一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置．．．．．．．上） 1．气温由﹣1℃上升2℃后是（▲）A ．3℃B ．2℃C ．1℃D ．﹣1℃ 2．下列运算正确的是（▲）A ．B ．C ．D ．3．在式子31-x ,41-x ,3-x ,4-x 中,x 可以取到3和4的是（▲） A ．31-x B ．41-x C ．3-x D ．4-x 4．如图，一个圆柱体在正方体上沿虚线从左向右平移，平移过程中不变的是（▲） A ．主视图 B ．左视图 C ．俯视图 D ．主视图和俯视图（第4题） （第8题）5.为弘扬传统文化，某校初二年级举办传统文化进校园朗诵大赛，小明同学根据比赛中九位评委所给的某位参赛选手的分数，制作了一个表格，如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是（▲）中位数 众数 平均数 方差 9.29.39.10.3A ．中位数B ．众数C ．平均数D ．方差6．若一个正比例函数的图象经过不同象限的两点A （﹣2，m ），B （n ，3），那么一定有（▲） A ．m ＞0，n ＞0 B ．m ＞0，n ＜0 C ．m ＜0，n ＞0 D ．m ＜0，n ＜07.如图，已知△ABC ，AB <BC ，用尺规作图的方法在BC 上取一点P ，使得PA +PC =BC ，则下列选项正确的是（▲）A ．B ．C ．D ．8．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CM 为AB 边上的中线，AN ⊥CM ，交BC 于点N .若 CM ＝3，AN ＝4，则tan ∠CAN 的值为（▲） A .23B .34C .35D .45二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置．．．．．．．上） 9．在实数范围内分解因式：2x 2-32= ▲ ．10．扬州市梅岭中学图书馆藏书12000本，数据“12000”用科学记数法可表示为 ▲ ． 11．关于x 的一元二次方程2x 2+2x ﹣m=0有实根，则m 的取值范围是 ▲ ．12．某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题，如图所示：已知AB∥CD ，∠BAE=87°，∠DCE=121°，则∠E 的度数是 ▲ ．（第12题） （第14题） （第16题）PCB AP C B A P CBA P CB A13．如果圆锥的母线长为5cm，底面半径为2cm ，那么这个圆锥的侧面积为▲．14．如图，四边形ABCD是平行四边形，其中边AD是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，若⊙O的周长是12π，则四边形ABCD的面积为▲．15．某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式为y=﹣1.5x2+60x，该型号飞机着陆后滑行▲ m才能停下来．16．如图，点A是反比例函数y=图象上的任意一点，过点A做AB∥x轴，AC∥y轴，分别交反比例函数y=的图象于点B，C，连接BC，E是BC上一点，连接并延长AE交y轴于点D，连接CD，则S△DEC﹣S△BEA= ▲．（第17题）（第18题）17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，AC=8，E、F分别为AB、AC上的点，沿直线EF将∠B折叠，使点B恰好落在AC上的D处，当△ADE恰好为直角三角形时，BE的长为▲．18.如图：已知矩形ABCD，AB=8，BC=6，以点A为圆心，5为半径作圆，点M为圆A上一动点，连接CM，DM,则12CM+MD的最小值为▲．三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．（本题满分8分）（1）计算：22160sin2123-⎪⎭⎫⎝⎛--++）（π（2），并求出它的所有整数解的和．20．（本题满分8分）先化简再求值：，其中．21.（本题满分8分）梅岭中学初三年级要举行一场毕业联欢会，主持人同时转动下图中的两个转盘（每个转盘分别被四等分和三等分），由一名同学在转动前来判断两个转盘上指针所指的两个数字之和是奇数还是偶数，如果判断错误，他就要为大家表演一个节目；如果判断正确，他可以指派别人替自己表演节目．现在轮到小明来选择，小明不想自己表演，于是他选择了偶数．小明的选择合理吗？从概率的角度进行分析（要求用树状图或列表方法求解）某校为了解本校九年级男生“引体向上”项目的训练情况，随机抽取该年级部分男生进行了一次测试（满分15分，成绩均记为整数分），并按测试成绩m（单位：分）分成四类：A类（12≤m≤15），B类（9≤m≤11），C类（6≤m≤8），D类（m≤5）绘制出以下两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题：（1）本次抽取样本容量为，扇形统计图中A类所对的圆心角是度；（2）请补全条形统计图；（3）若该校九年级男生有300名，请估计该校九年级男生“引体向上”项目成绩为C类的有多少名？23.（本题满分10分）列．方程解．．．：．．．．应用题几个小伙伴打算去音乐厅看演出，他们准备用360元钱购买门票．下面是两个小伙伴的对话：根据对话中的信息，请你求出这些小伙伴的人数．如图，在□ABCD 中，AE 平分∠BAD，交BC 于点E ，BF 平分∠ABC，交AD 于点F ，AE 与BF 交于点P ，连接EF ，PD ．（1）求证：四边形ABEF 是菱形；（2）若AB=4，AD=6，∠ABC=60°，求tan∠ADP .25. （本题满分10分）如图，山坡AB 的坡度i=1：，AB=10米，AE=15米．在高楼的顶端竖立一块倒计时牌CD ，在点B 处测量计时牌的顶端C 的仰角是45°，在点A 处测量计时牌的底端D 的仰角是60°，求这块倒计时牌CD 的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）26. （本题满分10分）如图，⊙O 与Rt △ABC 的直角边AC 和斜边AB 分别相切于点C 、D ，与边BC 相交于点F ，OA 与CD 相交于点E ，连接FE 并延长交AC 边于点G ． （1）求证：DF ∥AO ； （2）当AC=6，AB=10时①求⊙O 的半径 ②求CG 的长． 323如图，在平面直角坐标系中，给出如下定义：已知点A（2，3），点B（6，3），连接AB．如果线段AB上有一个点与点P的距离不大于1，那么称点P是线段AB的“环绕点”．（1）已知点C（3，1.5），D（4，3.5），E（1，3），则是线段AB的“环绕点”的点是；（2）已知点P（m，n）在反比例函数y=的图象上，且点P是线段AB的“环绕点”，求出点P的横坐标m的取值范围；（3）已知⊙M上有一点P是线段AB的“环绕点”，且点M（4，1），求⊙M的半径r的取值范围．28.（本题满分12分）如图，直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为抛物线在第二象限内一点，过点P作x轴的垂线，垂足为点M，与直线AB交于点C，过点P作x轴的平行线交抛物线于点Q，过点Q作x轴的垂线，垂足为点N，若点P在点Q左边，设点P的横坐标为m．①当矩形PQNM的周长最大时，求△ACM的面积；②在①的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，G是直线AC上一点，F是抛物线上一点，是否存在点G，使得以点P、C、G、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出G点的坐标；若不存在，请说明理由．九年级中考二模考试数学试题参考答案及评分建议说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神酌情给分．一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 选项CBCBACDA二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）9．)4)(4(2-+x x 10．4102.1⨯11．21-≥m 12．34° 13．π10 14．72 15．600 16．8317．730415或 18．297三、解答题（本大题共有10小题，共96分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19.①33- ② 31<≤-x 和为2 20.11+a 22 21.解：小明的选择不合理；列表得∴共出现12中等可能的结果， 其中出现奇数的次数是7次，概率为，出现偶数的次数为5次，概率为，2 3 4 6 3 5 6 7 9 5789118 10 11 12 14∵，即出现奇数的概率较大，∴小明的选择不合理．22.解：（1）由题意可得，抽取的学生数为：10÷20%=50，扇形统计图中A类所对的圆心角是：360°×20%=72°，故答案为：50，72；（2）C类学生数为：50﹣10﹣22﹣3=15，C类占抽取样本的百分比为：15÷50×100%=30%，D类占抽取样本的百分比为：3÷50×100%=6%，补全的统计图如右图所示，（3）300×30%=90（名）即该校九年级男生“引体向上”项目成绩为C类的有90名．23.解：设票价为每张x元，根据题意，得+2=．解得x=60．经检验x=60是原方程的根且符合题意，小伙伴的人数为+2=8人答：小伙伴的人数为8人．24.（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∴∠DAE=∠AEB．∵AE是角平分线，∴∠DAE=∠BAE．∴∠BAE=∠AEB．∴AB=BE．同理AB=AF．∴AF=BE．∴四边形ABEF是平行四边形．∵AB=BE，∴四边形ABEF是菱形．（2）解：作PH⊥AD于H，∵四边形ABEF是菱形，∠ABC=60°，AB=4，∴AB=AF=4，∠ABF=∠AFB=30°，AP⊥BF，∴AP=AB=2，∴PH=，DH=5，∴tan∠ADP==．25.解：作BF⊥DE于点F，BG⊥AE于点G，∵CE⊥AE，∴四边形BGEF为矩形，∴BG=EF，BF=GE，在Rt△ADE中，∵tan∠ADE=，∴DE=AE•tan∠ADE=15，∵山坡AB的坡度i=1：，AB=10，∴BG=5，AG=5，∴EF=BG=5，BF=AG+AE=5+15，∵∠CBF=45°∴CF=BF=5+15，∴CD=CF+EF﹣DE=20﹣10≈20﹣10×1.732=2.68≈2.7（m），答：这块宣传牌CD的高度为2.7米．26.（1）证明：连接OD．∵AB与⊙O相切于点D，又AC与⊙O相切于点C，∴AC=AD，OC⊥CA．∴CF是⊙O的直径，∵OC=OD，∴OA⊥CD，∵CF是直径，∴∠CDF=90°，∴DF⊥CD，∴DF∥AO．（2）过点作EM⊥OC于M，∵AC=6，AB=10，∴BC==8，∴AD=AC=6，∴BD=AB﹣AD=4，∵AB是切线，∴OD⊥AB，∴∠ODB=90°，∵CF是直径，∴∠CDF=90°，∵∠BDF+∠ODF=90°，∠CDO+∠ODF=90°，∴∠BDF=∠CDO，∵OC=OD，∴∠ODC=∠OCD，∴∠BDF=∠BCD，∴△BDF∽△BCD，可得BD2=BF•BC，∴BF=2，∴CF=BC﹣BF=6．OC=CF=3，∴OA==3，∵OC2=OE•OA，∴OE=，∵EM∥AC，∴===，∴OM=，EM=，FM=OF+OM=，∴===，∴CG=EM=2．27.解：（1）由“环绕点”的定义可知：点P到直线AB的距离d应满足：d≤1，∵A、B两点的纵坐标都是3，∴AB∥x轴，∴点C到直线AB的距离为|1.5﹣3|=1.5＞1，点D到直线AB的距离为|3.5﹣3|=0.5＜1，点E到直线AB的距离为|3﹣3|=0＜1，∴点D和E是线段AB的环绕点；故答案为：点D和E；（2）当点P在线段AB的上方，点P到线段AB的距离为1时，m=2；当点P在线段AB的下方，点P到线段AB的距离为1时，m=4；所以点P的横坐标m的取值范围为：2≤m≤4；（3）当点P在线段AB的下方时，且到线段AB的最小距离是1时，r=1；当点P在线段AB的上方时，且到点A的距离是1时，如图，过M作MC⊥AB，则CM=2，AC=2，连接MA并延长交⊙M于P，则PA=1，∴MP=2+1，即r=2+1．∴⊙M的半径r的取值范围是1≤r≤2+1．28.（1）∵直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴A（﹣3，0），B（0，3）．∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点，∴，解得，∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3；（2）①∵点P的横坐标为m，∴P（m，﹣m2﹣2m+3），PM=﹣m2﹣2m+3．∵抛物线y=﹣x2﹣2x+3的对称轴为x=﹣=﹣=﹣1，∴PQ=2（﹣1﹣m）=﹣2m﹣2．∴矩形PQMN的周长=2（PM+PQ）=2（﹣m2﹣2m+3﹣2m﹣2）=﹣2m2﹣8m+2=﹣2（m+2）2+10，当m=﹣2时，矩形PQMN的周长最大，此时点C的坐标为（﹣2，1），CM=AM=1，=×1×1=；∴S△ACM②∵C（﹣2，1），∴P（﹣2，3），∴PC=3﹣1=2．∵点P、C、G、F为顶点的四边形是平行四边形，GF∥y轴，∴GF∥PC，且GF=PC．设G（x，x+3），则F（x，﹣x2﹣2x+3），当点F在点G的上方时，﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）=2，解得x=﹣1或x=﹣2（舍去），当x=﹣1时，﹣x2﹣2x+3=4，即F1（﹣1，4）；当点F在点G的下方时，x+3﹣（﹣x2﹣2x+3）=2，解得x=或x=，当x=时，﹣x2﹣2x+3=；当x=时，﹣x2﹣2x+3=，故F2（，），F3（，）．综上所示，点F的坐标为F1（﹣1，4），F2（，），F3（，）．G1（﹣1，2），G2（，2173+），G3（，2173-）．当GF为对角线时G4（﹣3，0）。

上海市各区2021年中考模拟数学试题汇编：二次函数解答1．（2021•嘉定区三模）在平面直角坐标系xOy中（如图），抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a＞0）的对称轴是直线x＝1．（1）求抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a＞0）的顶点坐标；（2）当x满足﹣2≤x≤3时，函数值y满足﹣4≤y≤5，试求a的值；（3）将抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a＞0）与x轴所围成的区域（不包含边界）记为G，将横坐标、纵坐标都是整数的点称为“整点”，如果区域G内恰好只有5个“整点”，结合函数的图象，求a的取值范围．2．（2021•上海模拟）在平面直角坐标系xOy（如图）中，二次函数f（x）＝ax2﹣2ax+a﹣1（其中a是常数，且a≠0）的图象是开口向上的抛物线．（1）求该抛物线的顶点P的坐标；（2）我们将横、纵坐标都是整数的点叫做“整点”，将抛物线f（x）＝ax2﹣2ax+a﹣1与y轴的交点记为A，如果线段OA上的“整点”的个数小于4，试求a的取值范围；（3）如果f（﹣1）、f（0）、f（3）、f（4）这四个函数值中有且只有一个值大于0，试写出符合题意的一个函数解析式；结合函数图象，求a的取值范围．3．（2021•奉贤区三模）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x 轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，2）．（1）求这条抛物线的表达式；（2）如果将抛物线向下平移m个单位，使平移后的抛物线的顶点恰好落在线段BC上，求m的值；（3）如果点P是抛物线位于第一象限上的点，联结PA，交线段BC于点E，当PE：AE＝4：5时，求点P的坐标．4．（2021•上海模拟）如图，抛物线与y轴交于点A（0，1），过点A的直线与抛物线交于另一点B（3，），过点B作BC⊥x轴，垂足为C．（1）求抛物线的表达式；（2）点P是x轴正半轴上的一动点，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N，设OP的长度为m．①当点P在线段OC上（不与点O、C重合）时，试用含m的代数式表示线段PM的长度；②如果以点M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形，求m的值．5．（2021•浦东新区二模）已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴与x轴的交点为M（﹣3，0），抛物线上三点A、B、C到点M的距离都为5，其中点A、B在x轴上（点A在点B的左侧），点C在y轴正半轴上，抛物线的顶点为点P．（1）求点A、B、C的坐标；（2）求这条抛物线的表达式及顶点坐标；（3）点Q是抛物线对称轴上一点，当以点Q为圆心，QA为半径的圆与线段AP有两个交点时，求点Q的纵坐标的取值范围．6．（2021•上海模拟）已知直线交x轴于点A，交y轴于点C（0，4），抛物线经过点A，交y轴于点B（0，﹣2），点P为抛物线上一个动点，设P的横坐标为m（m＞0），过点P作x轴的垂线PD，过点B作BD⊥PD于点D，联结PB．（1）求抛物线的解析式；（2）当△BDP为等腰直角三角形时，求线段PD的长；（3）将△BDP绕点B旋转得到△BD′P′，且旋转角∠PBP′＝∠OAC，当点P对应点P′落在y轴上时，求点P的坐标．7．（2021•宝山区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）经过点A （﹣2，0），B（1，0）和点D（﹣3，n），与y轴交于点C．（1）求该抛物线的表达式及点D的坐标；（2）将抛物线平移，使点C落在点B处，点D落在点E处，求△ODE的面积；（3）如果点P在y轴上，△PCD与△ABC相似，求点P的坐标．8．（2021•青浦区二模）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，对称轴是直线x＝1，顶点是点D．（1）求该抛物线的解析式和顶点D的坐标；（2）点P为该抛物线第三象限上的一点，当四边形PBDC为梯形时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，点E为x轴正半轴上的一点，当tan（∠PBO+∠PEO）＝时，求OE的长．9．（2021•金山区二模）已知直线y＝kx+b经过点A（﹣2，0），B（1，3）两点，抛物线y ＝ax2﹣4ax+b与已知直线交于C、D两点（点C在点D的右侧），顶点为P．（1）求直线y＝kx+b的表达式；（2）若抛物线的顶点不在第一象限，求a的取值范围；（3）若直线DP与直线AB所成的夹角等于15°，且点P在直线AB的上方，求抛物线y＝ax2﹣4ax+b的表达式．10．（2021•松江区二模）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y＝ax2+bx﹣5a经过点A．将点B向右平移5个单位长度，得到点C．（1）求点C的坐标；（2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线的顶点在△OBC的内部，求a的取值范围．11．（2021•崇明区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x﹣3分别交x轴、y 轴于A、B两点，抛物线y＝x2+bx+c经过点A和点B，且其顶点为D．（1）求抛物线的表达式；（2）求∠BAD的正切值；（3）设点C为抛物线与x轴的另一个交点，点E为抛物线的对称轴与直线y＝x﹣3的交点，点P是直线y＝x﹣3上的动点，如果△PAC与△AED是相似三角形，求点P的坐标．12．（2021•长宁区二模）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣x+c经过点A（1，0）、B（3，0），且与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）如果将抛物线向左平移m（m＞0）个单位长度，联结AC、BC，当抛物线与△ABC的三边有且只有一个公共点时，求m的值；（3）如果点P是抛物线上一动点，且在点B的右侧，联结PC，直线PA交y轴于点E，当∠PCE＝∠PEC时，求点P的坐标．13．（2021•徐汇区二模）如图，已知抛物线y＝x2+m与y轴交于点C，直线y＝﹣x+4与y轴和x轴分别交于点A和点B，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，设点E在x轴上，以CD为对角线作▱CEDF．（1）当点C在∠ABO的平分线上时，求上述抛物线的表达式；（2）在（1）的条件下，如果▱CEDF的顶点F正好落在y轴上，求点F的坐标；（3）如果点E是BO的中点，且▱CEDF是菱形，求m的值．14．（2021•闵行区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+mx+n经过点A（5，0），顶点为点B，对称轴为直线x＝3，且对称轴与x轴交于点C．直线y＝kx+b，经过点A，与线段BC交于点E．（1）求抛物线y＝﹣x2+mx+n的表达式；（2）联结BO、EO．当△BOE的面积为3时，求直线y＝kx+b的表达式；（3）在（2）的条件下，设点D为y轴上的一点，联结BD、AD，当BD＝EO时，求∠DAO 的余切值．15．（2021•奉贤区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知B（0，2），C（1，﹣），点A在x轴正半轴上，且OA＝2OB，抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A、C．（1）求这条抛物线的表达式；（2）将抛物线先向右平移m个单位，再向上平移1个单位，此时点C恰好落在直线AB 上的点C′处，求m的值；（3）设点B关于原抛物线对称轴的对称点为B′，联结AC，如果点F在直线AB′上，∠ACF＝∠BAO，求点F的坐标．16．（2021•浦东新区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx经过点A（2，0）．直线y＝x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点C．（1）求这条抛物线的表达式和顶点的坐标；（2）将抛物线y＝x2+bx向右平移，使平移后的抛物线经过点B，求平移后抛物线的表达式；（3）将抛物线y＝x2+bx向下平移，使平移后的抛物线交y轴于点D，交线段BC于点P、Q，（点P在点Q右侧），平移后抛物线的顶点为M，如果DP∥x轴，求∠MCP的正弦值．17．（2021•浦东新区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+3与x轴和y轴的正半轴分别交于A、B两点，且OA＝OB，抛物线的顶点为M，联结AB、AM．（1）求这条抛物线的表达式和点M的坐标；（2）求sin∠BAM的值；（3）如果Q是线段OB上一点，满足∠MAQ＝45°，求点Q的坐标．18．（2021•浦东新区三模）在平面直角坐标系xOy中，我们把以抛物线y＝x2上的动点A 为顶点的抛物线叫做这条抛物线的“子抛物线”．如图，已知某条“子抛物线”的二次项系数为，且与y轴交于点C．设点A的横坐标为m（m＞0），过点A作y轴的垂线交y轴于点B．（1）当m＝1时，求这条“子抛物线”的解析式；（2）用含m的代数式表示∠ACB的余切值；（3）如果∠OAC＝135°，求m的值．19．（2021•宝山区三模）如图，在直角坐标平面xOy内，点A在x轴的正半轴上，点B在第一象限内，且∠OAB＝90°，∠BOA＝30°，OB＝4．二次函数y＝﹣x2+bx的图象经过点A，顶点为点C．（1）求这个二次函数的解析式，并写出顶点C的坐标；（2）设这个二次函数图象的对称轴l与OB相交于点D，与x轴相交于点E，求的值；（3）设P是这个二次函数图象的对称轴l上一点，如果△POA的面积与△OCE的面积相等，求点P的坐标．参考答案1．【分析】（1）利用x＝﹣求得a和b的关系，再将其代入原解析式即可；（2）分两种情况讨论，利用抛物线的对称性即可求解；（3）根据整点的定义，结合图象中x取0，1，2，时对应y的值即可判断．【解答】解：（1）将x＝1代入抛物线y＝ax2+bx+a﹣4得，y＝a+b+a﹣4＝2a+b﹣4，∵对称轴是直线x＝1．∴﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴y＝2a+b﹣4＝2a﹣2a﹣4＝﹣4，∴抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a≠0）的顶点坐标为（1，﹣4）；（2）①a＜0时，抛物线开口向下，y的最大值是﹣4，∵当﹣2≤x≤3时，数值y满足﹣4≤y≤5，∴a＜0不合题意；②a＞0时，抛物线开口向上，∵对称轴是直线x＝1.1到﹣2的距离大于1到3的距离，∴x＝﹣2时，y的值最大5，x＝1时，y的值最小﹣4，∴y＝4a﹣2b+a﹣4＝5a﹣2b﹣4＝5，将b＝﹣2a代入得，a＝1，∴a＝1；（3）如图：根据（1）、（2）及抛物线对称性可知：∵抛物线与x轴所围成的区域内只有五个整点，即（1，﹣1），（1，﹣2），（1，﹣3），（0，﹣1），（2，﹣1），∴x＝﹣1时，﹣2≤a﹣4≤﹣1，解得：2≤a≤3．2．【分析】（1）把抛物线代入顶点式为f（x）＝a（x﹣1）2﹣1，即可求顶点坐标；（2）抛物线与y轴的交点，横坐标为0，即A坐标为（0，a﹣1），根据已知条件|a﹣1|＜3，即可求a的取值范围为﹣2＜a＜4；（3）根据已知f（﹣1）、f（0）、f（3）、f（4）有且只有一个大于0，即其余的小于或等于0，由对称轴为直线x＝1开口向上，可以得出f（4）＞f（3）＝f（﹣1）＞f（0），根据f（4）＞0，f（3）≤0可以求a的范围，＜a≤，即可以写出符合条件的函数解析式．【解答】解：（1）抛物线的方程为f（x）＝ax2﹣2ax+a﹣1＝a（x﹣1）2﹣1，∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣1）；（2）A为抛物线与y轴的交点，∴A点坐标为（0，a﹣1），∵线段OA上的整点个数小于4，且开口向上，则可知|a﹣1|＜3且a＞0，﹣2＜a＜4，故a的取值范围为﹣2＜a＜4；（3）已知f（﹣1）、f（0）、f（3）、f（4）有且只有一个大于0，（即其余的小于或等于0）由题可知该函数对称轴为直线x＝1，开口方向向上，故有f（4）＞f（3）＝f（﹣1）＞f（0），∴f（4）＞0，∴得16a﹣8a+a﹣1＞0，得a＞，f（3）≤0，得9a﹣6a+a﹣1≤0，得a≤，取a＝，f（x）＝x2﹣x﹣，∴a的取值范围为＜a≤．3．【分析】（1）利用待定系数法可求解析式；（2）求出平移前后的顶点坐标，即可求解；（3）通过证明△AEF∽△APH，可证＝，即可求解．【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴交于点C（0，2）．∴，解得：，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2；（2）∵y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣）2+，∴顶点坐标为（，），∵y＝﹣x2+x+2与x轴交于点A，点B，∴0＝﹣x2+x+2，∴x1＝﹣1，x2＝4，∴点B（4，0），设直线BC解析式为y＝kx+n，，解得：，∴直线BC解析式为y＝﹣x+2，当x＝时，y＝，∴m＝＝；（3）如图，过点E作EF⊥AB于F，过点P作PH⊥AB于H，∴EF∥PH，∴△AEF∽△APH，∴，∵PE：AE＝4：5，∴＝，∴AF＝5x，AH＝9x，∴OF＝5x﹣1，OH＝9x﹣1，∴点E坐标为[5x﹣1，﹣（5x﹣1）+2]，点P坐标为[9x﹣1，﹣（9x﹣1）2+（9x ﹣1）+2]，∴EF＝﹣（5x﹣1）+2，PH＝﹣（9x﹣1）2+（9x﹣1）+2，∴＝，∴x＝，∴点P（2，3）．4．【分析】（1）直接代入A、B两点坐标求出b、c的值，即可得到抛物线解析式；（2）①利用待定系数法求出直线AB的解析式，再根据P、M两点的坐标即可表示出PM 的长度；②可设点N坐标为，再由MN∥BC可知当MN＝BC时可判定四边形BCMN为平行四边形，分点P在OC上、点P在OC延长线上两种情况进行讨论即可．【解答】解：（1）∵抛物线经过A（0，1）和点B，∴，∴解得：，∴．∴该抛物线表达式为．（2）①由题意可得：直线AB的解析式为，∵PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N，OP＝m，∴P（m，0），，∴．②由题意可得：，MN∥BC，∴当MN＝BC时，四边形BCMN为平行四边形．1°当点P在线段OC上时，，又∵BC＝，∴．得m1＝1，m2＝2．2°当点P在线段OC的延长线上时，．∴，解得（不合题意，舍去），．综上所述，当m的值为1或2或时，以点M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形．5．【分析】（1）由点C到点M（﹣3，0）距离为5，可得．解得y＝±4．进而求解；（2）用待定系数法即可求解；（3）圆Q与直线AP相切的临界点，进而求解．【解答】解：（1）∵点A、B在x轴上（点A在点B的左侧），且到点M（﹣3，0）的距离为5，∴点A坐标为（﹣8，0），点B坐标为（2，0），∵点C在y轴上，设点C的坐标为（0，y）．由点C到点M（﹣3，0）距离为5，可得．解得y＝±4．∵点C在y轴正半轴上，∴点C的坐标为（0，4）；（2）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣8，0）、B（2，0）、C（0，4）．∴，解得，∴抛物线的表达式是，∴抛物线的顶点P的坐标为（﹣3，）；（3）过点A作AQ1⊥AP与抛物线的对称轴相交于点Q1．此时以Q1为圆心，Q1A为半径的圆与线段AP相切于点A．∵∠MPA+∠MAP＝90°，∠MAP+∠MAQ1＝90°．∴∠MPA＝∠MAQ1．∴tan∠MPA＝tan∠MAQ1．∴．∵AM＝5，PM＝，∴Q1M＝4．即点Q1坐标为（0，﹣4）；作AP的中垂线与AP相交于点N，与对称轴x＝﹣3相交于点Q2，则PN＝PA．此时以Q2为圆心，Q2A为半径的圆经过点A、点P．∵AQ1⊥AP，NQ2⊥AP，∴∠Q1AP＝∠Q2NP＝90°．∴AQ1∥NQ2．∴．∵点P的坐标为（﹣3，），点Q1的坐标为（﹣3，﹣4），∴PQ1＝，∴PQ2＝．∴Q2M＝PM﹣PQ2＝﹣＝．即点Q2坐标为（0，），∴当以点Q为圆心，QA为半径的圆与线段AP有两个交点时，点Q纵坐标取值范围是．6．【分析】（1）先确定出点A的坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式；（2）根据△BDP为等腰直角三角形，则PD＝BD，分两种情况进行讨论：①当点P在直线BD上方时，②当点P在直线BD下方时，分别建立方程求解即可；（3）分点P在y轴右侧，△BDP绕点B逆时针旋转，且点P'落在y轴上时或△BDP绕点B顺时针旋转，且点P'落在y轴上时，若点P在y轴左侧，分别进行讨论，【解答】解：（1）∵点C（0，4）在直线y＝﹣x+n上，∴n＝4，∴y＝﹣x+4，令y＝0，∴x＝3，∴A（3，0），∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A，交y轴于点B（0，﹣2），∴c＝﹣2，6+3b﹣2＝0，∴b＝﹣，∴抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣2；（2）∵P的横坐标为m（m＞0），且点P在抛物线上，∴P（m，m2﹣m﹣2），∵PD⊥x轴，BD⊥PD，∴点D坐标为（m，﹣2），若△BDP为等腰直角三角形，则PD＝BD，①当点P在直线BD上方时，PD＝m2﹣m﹣2﹣（﹣2）＝m2﹣m，如图1，BD＝m．∴m2﹣m＝m，解得：m1＝0，m2＝，∵m＞0，∴m＝；②当点P在直线BD下方时，如图2，m＞0，BD＝m，PD＝﹣m2+m，∴﹣m2+m＝m，解得：m1＝0，m2＝，∵m＞0，∴m＝；综上所述，m＝或；即当△BDP为等腰直角三角形时，线段PD的长为或．（3）∵∠PBP'＝∠OAC，OA＝3，OC＝4，∴AC＝5，∴sin∠PBP'＝，cos∠PBP'＝，若点P在y轴右侧，①当△BDP绕点B逆时针旋转，且点P'落在y轴上时，如图3，过点D′作D′M⊥x轴，交BD于M，过点P′作P′N⊥y轴，交MD'的延长线于点N，∴∠DBD′＝∠ND′P′＝∠PBP′，由旋转知，P′D′＝PD＝m2﹣m，在Rt△P′D′N中，sin∠ND′P′＝＝sin∠PBP′＝，∴P′N＝P′D′＝（m2﹣m），在Rt△BD′M中，BD′＝m，cos∠DBD′＝＝cos∠PBP′＝，∴BM＝BD′＝m，∵P′N＝BM，∴（m2﹣m）＝m，∴m＝，∴P（，）；②当△BDP绕点B顺时针旋转，且点P'落在y轴上时，如图4，过点P作PT⊥y轴于点T，∴PT＝m，BT＝OT﹣OB＝﹣（m2﹣m﹣2）﹣2＝﹣m2+m，∵∠PBP′＝∠OAC，∴tan∠PBP′＝tan∠OAC＝＝，∴＝，∴PT＝BT，∴m＝（﹣m2+m），解得：m＝0（舍去）或m＝，∴P（，﹣）；若点P在y轴左侧，仿照上述方法讨论均不存在满足条件的点P；综上所述，点P的坐标为（，）或（，﹣）．7．【分析】（1）由待定系数法可求出解析式，由抛物线解式可求出点D的坐标；（2）求出E点坐标，由三角形面积公式可得出答案；（3）由点的坐标得出∠ABC＝∠OCD＝45°，若△PCD与△ABC相似，分两种情况：①当∠BAC＝∠CDP时，△DCP∽△ABC；②当∠BAC＝∠DPC时，△PCD∽△ABC，得出比例线段，则可求出答案．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣1经过点A（﹣2，0），B（1，0）和D（﹣3，n），∴，解得：，∴抛物线解析式为：y＝x2+x﹣1；∴＝2，∴D（﹣3，2）；（2）∵将抛物线平移，使点C落在点B处，点D落在点E处，∴E（﹣2，3），＝9﹣﹣＝；∴S△ODE（3）如图1，连接CD，AC，CB，过点D作DE⊥y轴于点E，∵A（﹣2，0），B（1，0），C（﹣1，0），D（﹣3，2），∴OB＝OC，DE＝CE＝3，AB＝3，BC＝，CD＝3，∴∠ABC＝∠OCD＝45°，∵△PCD与△ABC相似，点P在y轴上，∴分两种情况讨论：①如图2，当∠BAC＝∠CDP时，△DCP∽△ABC，∴，∴，∴PC＝2，∴P（0，1），②如图3，当∠BAC＝∠DPC时，△PCD∽△ABC，∴，∴，∴PC＝9，∴P（0，8）．∴点P的坐标为（0，8）或（0，1）时，△PCD与△ABC相似．8．【分析】（1）把A（﹣1，0）代入抛物线的解析式，再由对称轴x＝＝1，列方程组求出a、b的值；（2）四边形PBDC为梯形时，则PB∥CD；先求CD所在直线的解析式，再根据两个一次函数一般式中的k值相等求直线PB的解析式且与抛物线的解析式组成方程，解方程组求出点P的坐标；（3）过点P作x轴的垂线，构造以P为顶点且一个锐角的正切值为的直角三角形，再利用相似三角形的性质求OE的长．【解答】解：（1）根据题意，得，解得，∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴该抛物线的顶点D的坐标为（1，4）．（2）如图1，由y＝﹣x2+2x+3，得C（0，3），B（3，0）．设直线CD的解析式为y＝kx+3，则k+3＝4，解得k＝1，∴y＝x+3；当四边形PBDC是梯形时，则PB∥CD，设直线PB的解析式为y＝x+m，则3+m＝0，解得m＝﹣3，∴y＝x﹣3．由，得，，∴P（﹣2，﹣5）．（3）如图2，作PH⊥x轴于点H，在x轴正半轴上取一点F，使＝tan∠HPF＝，连接PF．由（2）得，直线PB的解析式为y＝x﹣3，则G（0，﹣3），∴OB＝OG＝3．∵PH∥OG，∴∠BPH＝∠BGO＝∠PBO＝45°，∴∠HPF＝45°+∠FPB；∵tan（∠PBO+∠PEO）＝，∴45°+∠PEO＝45°+∠FPB，∴∠PEO＝∠FPB，又∵∠PBE＝∠FBP（公共角），∴△PBE∽△FBP，∴＝，BE•BF＝PB2，∵HF＝PH＝×5＝，∴BF＝﹣2﹣3＝，又∵PH＝BH＝5，∴PB2＝52+52＝50，∴BE＝50，解得BE＝，∴OE＝3+＝．9．【分析】（1）直线y＝kx+b经过点A（﹣2，0），B（1，3）两点，将点坐标代入即得答案；（2）用a表示顶点坐标，根据顶点不在第一象限，列出不等式即可解得a范围；（3）延长PD交x轴于M，对称轴与x轴交于N，首先求出D坐标，再根据直线DP与直线AB所成的夹角等于15°，求出OM长度，又利用求出PN列方程即可得答案．【解答】解：（1）∵直线y＝kx+b经过点A（﹣2，0），B（1，3）两点，∴，解得，∴直线y＝kx+b的表达式为y＝x+2；（2）∵b＝2，∴抛物线y＝ax2﹣4ax+b解析式为y＝ax2﹣4ax+2＝a（x﹣2）2+2﹣4a，∴顶点是（2，2﹣4a），∵顶点不在第一象限，且在对称轴x＝2上，∴顶点在第四象限或在x轴上，∴2﹣4a≤0，即a≥；（3）延长PD交x轴于M，对称轴与x轴交于N，如图：∵P在直线AB的上方，抛物线y＝ax2﹣4ax+b与已知直线交于C、D两点（点C在点D的右侧），∴开口向下，∵直线y＝x+2与抛物线y＝ax2﹣4ax+2都经过（0，2），点C在点D的右侧，∴D（0，2），∴OA＝OD＝2，∠AOD＝90°，∴∠OAD＝∠ODA＝45°，∵直线DP与直线AB所成的夹角等于15°，∴∠MDO＝30°，Rt△MDO中，tan∠MDO＝，∴tan30°＝，解得OM＝，∵对称轴与x轴交于N，∴OD∥PN，MN＝ON+OM＝2+，∴，即＝，∴PN＝2+2，而P（2，2﹣4a），∴2﹣4a＝2+2，∴a＝﹣，∴抛物线y＝ax2﹣4ax+b的表达式为：y＝﹣x2+2x+2．10．【分析】（1）由y＝3x+3与x、y轴分别交于点A、B，可求出A、B坐标，B向右移动5个单位即得C坐标；（2）将A坐标代入y＝ax2+bx﹣5a可得b＝﹣4a，根据对称轴公式可得答案；（3）对称轴x＝2与BC交于D，与OC交于E，抛物线的顶点在△OBC的内部，则顶点在D和E之间，用a表示顶点纵坐标列不等式可得答案．【解答】解：（1）在y＝3x+3中，令x＝0得y＝3，令y＝0得x＝﹣1，∴A（﹣1，0），B（0，3），∵点B向右平移5个单位长度，得到点C．∴C（5，3）；（2）∵A（﹣1，0），抛物线y＝ax2+bx﹣5a经过点A，∴0＝a﹣b﹣5a，即b＝﹣4a，∴抛物线y＝ax2+bx﹣5a对称轴为x＝＝﹣＝2；（3）对称轴x＝2与BC交于D，与OC交于E，如图：设OC解析式为y＝kx，∵（5，3），∴3＝5k，∴k＝，∴OC解析式为y＝x，令x＝2得y＝，即E（2，），由（1）知b＝﹣4a，∴抛物线为y＝ax2﹣4ax﹣5a，∴顶点坐标为（2，﹣9a），抛物线的顶点在△OBC的内部，则顶点在D和E之间，而D（2，3），∴＜﹣9a＜3，∴﹣＜a＜﹣．11．【分析】（1）根据一次函数y＝x﹣3可以求出A点和B点坐标，把A点和B点坐标代入y＝x2+bx+c即可求出抛物线的表达式；（2）利用勾股定理分别求出AB、AD、BD的长度，再根据勾股定理逆定理可以证明△ABD 是直角三角形，从而可以求出∠BAD的正切值；（3）先通过计算得出∠AED＝135°，则P点在x轴上方，然后分或两种情况进行讨论即可得到答案．【解答】解：（1）在y＝x﹣3中，x＝0时，y＝﹣3，y＝0时，x＝3，∴A（3，0），B（0，﹣3），把A（3，0），B（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c得：，解得，∴抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴D（1，﹣4），又∵A（3，0），B（0，﹣3），∴AD＝，BD＝，AB＝，∵，，∴AB 2+BD 2＝AD 2，∴△ABD 是直角三角形，且∠ADB ＝90°，∴tan ∠BAD ＝；（3）∵OA ＝OB ＝3，∠AOB ＝90°，∴∠1＝∠2＝45°，又∵DE ∥OB ，∴∠3＝∠2＝45°，∴∠AED ＝135°，又∵△PAC 与△AED 相似，∠1＝45°，∴点P 在x 轴上方， 且或，在y ＝x ﹣3中，x ＝1时，y ＝﹣2，在y ＝x 2﹣2x ﹣3中，y ＝0时，x 1＝﹣1，x 2＝3，∴E （1，﹣2），C （﹣1，0），∴AC ＝3﹣（﹣1）＝4，DE ＝（﹣2）﹣（﹣4）＝2，AE ＝，∴或，解得：AP＝2或，过点P作PQ⊥x轴于点Q，又∵∠4＝∠1＝45°，∴△PAQ是等腰直角三角形，当AP＝2时，AQ＝2，此时P（5，2），当AP＝4时，AQ＝4，此时P（7，4），综上所述，P点坐标为（5，2）或（7，4）．12．【分析】（1）由待定系数法即可求解；（2）当抛物线与△ABC的三边有且只有一个公共点时，则抛物线过点C（0，4），即可求解；（3）求出直线PA的表达式，得到点E的坐标为（0，﹣t+4），由∠PCE＝∠PEC，则点P在CE的中垂线上，进而求解．【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得：，解得，故抛物线的表达式为y＝x2﹣x+4；（2）当抛物线与△ABC的三边有且只有一个公共点时，则抛物线过点C（0，4），由抛物线的表达式知，其对称轴为x＝2，则平移后抛物线再过点C时，m＝4；（3）设点P的坐标为（t，t2﹣t+4），设直线PA的表达式为y＝kx+b，则，解得，故点E的坐标为（0，﹣t+4），而点C（0，4），∵∠PCE＝∠PEC，则点P在CE的中垂线上，由中点公式得：y P＝（y C+y E），即t2﹣t+4＝（4﹣t+4），解得t＝1（舍去）或，故点P的坐标为（，）．13．【分析】（1）在Rt△ADC中，由勾股定理得：（4﹣x）2＝x2+4，解得x＝，即可求解；（2）求出点D的坐标为（，），如果▱CEDF的顶点F正好落在y轴上，则DE∥y 轴，且DE＝CF，进而求解；（3）求出点D的坐标为（，），由DE＝CE，即可求解．【解答】解：（1）对于y＝﹣x+4①，令y＝﹣x+4＝0，解得x＝3，令x＝0，则y ＝4，故点A、B的坐标分别为（0，4）、（3，0），由点A、B的坐标知，OA＝4，OB＝3，则AB＝5，连接BC，如下图，∵点C在∠ABO的平分线上，则OC＝CD，∵BC＝BC，∴Rt△BCD≌Rt△BCO（HL），故BD＝OB＝3，则AD＝5﹣3＝2，设OC＝CD＝x，则AC＝4﹣x，在Rt△ADC中，由勾股定理得：（4﹣x）2＝x2+4，解得x＝，故点C的坐标为（0，），则抛物线的表达式为y＝x2+；（2）如上图，过点C作CH∥x轴交AB于点H，则∠ABO＝∠DHC，由AB得表达式知，tan∠ABO＝＝tan∠AHC，则tan∠DCH＝，故直线CD的表达式为y＝x+②，联立①②并解得，故点D的坐标为（，），如果▱CEDF的顶点F正好落在y轴上，则DE∥y轴，且DE＝CF，故DE＝y D＝，则y F＝y C+DE＝+＝，故点F的坐标为（0，）；（3）∵点E是BO的中点，故点E（，0），由（2）知，直线CD的表达式为y＝x+m③，联立①③并解得，点D的坐标为（，），而点E、C的坐标分别为（，0）、（0，m），∵▱CEDF是菱形，则DE＝CE，即（﹣）2+（）2＝（）2+m2，即9m2﹣36m＝0，解得m＝4（舍去）或0，故m＝0．14．【分析】（1）利用待定系数法和抛物线对称轴公式即可求解；（2）先求出顶点B坐标，根据△BOE的面积为3求出BE，进而求出点E坐标，利用待定系数法即可求解；（3）分BD∥OE和BD与OE不平行两种情况，分别求出D坐标，利用余切定义即可求解．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+mx+n经过点A（5，0），对称轴为直线x＝3，∴，∴，∴抛物线表达式为y＝﹣x2+6x﹣5；（2）把x＝3代入y＝﹣x2+6x﹣5得y＝4，∴抛物线顶点B坐标为（3，4），由△BOE的面积为3得BE×3＝3，∴BE＝2，∵点E在线段BC上，∴点E坐标为E（3，2），把点E（3，2）和点A（5，0）代入y＝kx+b得，，∴，∴直线表达式为y＝﹣x+5；（3）如图，①若BD∥OE，如图，则四边形OEBD1为平行四边形，则点D1坐标为（0，2），连接D1A，∴cot∠D1AO＝＝，②若BD不平行OE，如图D2，则四边形OEBD2为等腰梯形，做BF⊥y轴于F，则D1F＝D2F＝2，∴点D2坐标为（0，6），连接D2A，AO＝＝，∴cot∠D1综上所述，此时∠DAO的余切值为或．15．【分析】（1）求出A坐标，将A、C坐标代入y＝ax2+bx即可得答案；（2）求出AB解析式，用m表示C′坐标代入即可得答案；（3）分F在A上方和下方两种情况画出图形，构造相似三角形利用对应边成比例可得答案．【解答】解：（1）∵B（0，2），∴OB＝2，∵点A在x轴正半轴上，且OA＝2OB，∴A（4，0），∴将A（4，0），C（1，﹣）代入y＝ax2+bx得：，解得，∴抛物线的表达式为y＝x2﹣2x；（2）设直线AB的解析式是y＝mx+n，将A（4，0），B（0，2）代入得：，解得，∴直线AB的解析式是y＝﹣x+2，∵抛物线y＝x2﹣2x向右平移m个单位，再向上平移1个单位，则其上的点C也向右平移m个单位，再向上平移1个单位，而C（1，﹣），∴C′（1+m，﹣），∵C′（1+m，﹣）在直线AB上，∴﹣＝﹣（1+m）+2，∴m＝4；（3）∵y＝x2﹣2x对称轴为x＝2，B（0，2），点B关于原抛物线对称轴的对称点为B′，∴B′（4，2），∵A（4，0），∴直线AB′为x＝4，点F在直线AB′上，∠ACF＝∠BAO，分两种情况：①F在A上方，如图：过A作AG⊥CF于G，过G作GH∥x轴交直线x＝4于H，过C作CM⊥x轴交直线GH于M，∵B（0，2），A（4，0），∴tan∠BAO＝，∵∠ACF＝∠BAO，AG⊥CF，∴tan∠ACF＝，即，而∠MCG＝90°﹣∠MGC＝∠AGH，∠M＝∠AHG，∴△MCG∽△HGA，∴，∴MC＝2GH，MG＝2AH，设G（m，n），则MC＝n+1.5，MG＝m﹣1，GH＝4﹣m．AH＝n，∴n+1.5＝2（4﹣m），且m﹣1＝2n，解得m＝2.8，n＝0.9，∴G（2.8，0.9），又C（1，﹣1.5），∴直线GC解析式为：y＝x﹣，令x＝4得y＝∴F（4，），②F在A下方，延长AC交y轴于D，过C作CF∥x轴交直线x＝4于F，∵A（4，0），C（1，﹣1.5），∴直线AC解析式为y＝x﹣2，∴D（0，﹣2），∵B（0，2），∴B，D关于x轴对称，∴∠BAO＝∠DAO，若∠ACF＝∠BAO，则∠ACF＝∠DAO，∴CF∥x轴，∴F（4，﹣1.5）．综上所述，∠ACF＝∠DAO，F坐标为（4，）或（4，﹣1.5）．16．【分析】（1）根据待定系数法即可求得抛物线的解析式，化成顶点式即可求得顶点坐标；（2）根据图象上点的坐标特征求得B（4，0），然后分两种情况讨论求得即可；（3）设向下平移后的抛物线表达式是：y＝x2﹣2x+n，得点D（0，n），即可求得P（2，n），代入y＝x﹣2求得n＝﹣1，即可求得平移后的解析式为y＝x2﹣2x﹣1．求得顶点坐标，然后解直角三角形即可求得结论．【解答】解：（1）由题意，抛物线y＝x2+bx经过点A（2，0），得0＝4+2b，解得b＝﹣2，∴抛物线的表达式是y＝x2﹣2x．∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，∴它的顶点C的坐标是（1，﹣1）．（2）∵直线与x轴交于点B，∴点B的坐标是（4，0）．①将抛物线y＝x2﹣2x向右平移2个单位，使得点A与点B重合，此时平移后的抛物线表达式是y＝（x﹣3）2﹣1．②将抛物线y＝x2﹣2x向右平移4个单位，使得点O与点B重合，此时平移后的抛物线表达式是y＝（x﹣5）2﹣1．（3）如图，设向下平移后的抛物线表达式是：y＝x2﹣2x+n，得点D（0，n）．∵DP∥x轴，∴点D、P关于抛物线的对称轴直线x＝1对称，∴P（2，n）．∵点P在直线BC上，∴．∴平移后的抛物线表达式是：y＝x2﹣2x﹣1．∴新抛物线的顶点M的坐标是（1，﹣2）．∴MC∥OB，∴∠MCP＝∠OBC．在Rt△OBC中，，由题意得：OC＝2，，∴．即∠MCP的正弦值是．17．【分析】（1）抛物线y＝﹣x2+bx+3与y轴交于B点，令x＝0得y＝3，求出B（0，3），而AO＝BO求出A（3，0），进而求解；（2）证明∠MBA＝90°，则；（3）证明∠BAM＝∠OAQ，即可求解．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+3与y轴交于B点，令x＝0得y＝3，∴B（0，3），∵AO＝BO，∴A（3，0），把A（3，0）代入y＝﹣x2+bx+3，得﹣9+3b+3＝0，解得b＝2，∴这条抛物线的表达式y＝﹣x2+2x+3，顶点M（1，4）；（2）∵A（3，0），B（0，3）M（1，4），∴BM2＝2，AB2＝18，AM2＝20，∴∠MBA＝90°，∴；（3）∵OA＝OB，∴∠OAB＝45°∵∠MAQ＝45°，∴∠BAM＝∠OAQ，由（2）得，∴，∴，∴，∴OQ＝1，∴Q（0，1）．18．【分析】（1）根据题意得出A（m，m2），将m＝1代入得出其坐标，继而可得答案；（2）根据A（m，m2）知“子抛物线”的解析式为．求出x＝0时y的值可知点C坐标，表示出OC、BC的长度，从而求得余切值；（3）过O点作OD⊥CA的延长线于点D，过点D作y轴的平行线分别交BA的延长线于点E，交x轴于点F，证△AED≌△DFO得AE＝DF，DE＝OF，设AE＝n，知DF＝n，BE＝m+n ＝OF＝ED．结合OB＝EF得m2＝m+2n．再由∠BCA＝∠ADE知，联立方程组，解之可得答案．【解答】解：（1）由题得，A（m，m2），当m＝1时，A（1，1），∴这条“子抛物线”的解析式：；（2）由A（m，m2），且AB⊥y轴，可得AB＝m，OB＝m2．∴“子抛物线”的解析式为．令x＝0，则，∴点C的坐标（0，），，∴．在Rt△ABC中，．（3）如图，过O点作OD⊥CA的延长线于点D，过点D作y轴的平行线分别交BA的延长线于点E，交x轴于点F，∵∠OAC＝135°，∴∠OAD＝45°，又∵OD⊥CA，∴∠OAD＝∠AOD＝45°，∴AD＝OD，∴△AED≌△DFO（AAS），∴AE＝DF，DE＝OF，设AE＝n，那么DF＝n，BE＝m+n＝OF＝ED．又∵OB＝EF，∴m2＝m+2n．又∵∠BCA＝∠ADE，∴，解方程组，得m＝2，（舍去），1∴m的值为2．19．【分析】（1）由∠OAB＝90°，在直角三角形OAB中求得点A，代入函数式解得．（2）直角三角形OAB中求得AB的长度，由抛物线的对称轴可知DE∥AB，OE＝AE．求得DE，进而求得CD，从而求得．（3）利用三角形OCE和三角形POA的面积相等即求得．【解答】解：（1）∵∠OAB＝90°，∠BOA＝30°，OB＝4，∴．∴A（，0）．∵二次函数y＝﹣x2+bx的图象经过点A，∴．解得．∴二次函数的解析式为．顶点C的坐标是（，3）．（2）∵∠OAB＝90°，∠BOA＝30°，OB＝4，∴AB＝2．由DE是二次函数的图象的对称轴，可知DE∥AB，OE＝AE．∴．即得DE＝1．又∵C（，3），∴CE＝3．即得CD＝2．∴．（3）根据题意，可设P（，n）．∵，CE＝3，∴．∴．解得．∴点P的坐标为P1（，）、P2（，）．。

2021年上海市各区中考数学模拟压轴题图文解析目录第24、25题图文解析例2021年上海市宝山区中考第24、25题/ 2例2021年上海市崇明县中考第24、25题/ 6例2021年上海市奉贤区中考第24、25题/ 10例2021年上海市虹口区中考第24、25题/ 14例2021年上海市黄浦区中考第24、25题/ 19例2021年上海市嘉定区中考第24、25题/ 22例2021年上海市金山区中考第24、25题/25例2021年上海市静安区中考第24、25题/28例2021年上海市闵行区中考第24、25题/ 33例2021年上海市浦东新区中考第24、25题/ 36例2021年上海市普陀区中考第24、25题/ 40例2021年上海市青浦区中考第24、25题/ 44例2021年上海市松江区中考第24、25题/ 48例2021年上海市徐汇区中考第24、25题/ 51例2021年上海市杨浦区中考第24、25题/ 55例2021年上海市长宁区中考第24、25题/60第18题图文解析例2021年上海市宝山区中考第18题/ 64例2021年上海市崇明县中考第18题/ 65例2021年上海市奉贤区中考第18题/ 66例2021年上海市虹口区中考第18题/ 67例2021年上海市黄浦区中考第18题/ 68例2021年上海市嘉定区中考第18题/ 69例2021年上海市金山区中考第18题/70例2021年上海市静安区中考第18题/ 71例2021年上海市闵行区中考第18题/ 72例2021年上海市浦东新区中考第17题/ 73例2021年上海市浦东新区中考第18题/ 74例2021年上海市普陀区中考第18题/ 75例2021年上海市青浦区中考第18题/ 76例2021年上海市松江区中考第18题/ 77例2021年上海市徐汇区中考第18题/ 78例2021年上海市杨浦区中考第18题/ 79例2021年上海市长宁区中考第18题/80例 2021年上海市宝山区中考模拟第24题如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2＋bx －1（a ≠0）经过点A (－2, 0)、B (1, 0)和D (－3, n )，与y 轴交于点C ．（1）求该抛物线的表达式及点D 的坐标；（2）将抛物线平移，使点C 落在点B 处，点D 落在点E 处，求△ODE 的面积；（3）如果点P 在y 轴上，△PCD 与△ABC 相似，求点P 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“21宝山24”，可以体验到，△ODE 与△OMN 是同高三角形．点击屏幕左下方的按钮“第（3）题”，拖动点P 在运动，可以体验到，△PCD 与△ABC 相似存在两种情况．思路点拨1．第（1）题先写出抛物线的交点式，再根据常数项相等列关于a 的方程．2．第（2）题求△ODE 的面积可以用割补法，也可以先求直线DE 与坐标轴围成的三角形的面积，再根据同高三角形的面积比等于底边的比来解．3．第（3）题关键的一步是寻找一组等角，然后根据夹角的两条边对应成比例，分两种情况列方程求CP 的长．图文解析（1）抛物线的交点式为y ＝a (x ＋2)(x －1)，对照y ＝ax 2＋bx －1，根据常数项相等， 得－2a ＝－1．解得12a =． 所以2111(2)(1)1222y x x x x =+-=+-． 当x ＝－3时，11(2)(1)(1)(4)222y x x =+-=⨯-⨯-=．所以D (－3, 2)． （2）如图2，点C (0,－1)先向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点B (1, 0)． 所以点D (－3, 2)按C →B 的方向平移，得到点E (－2, 3)．由D (－3, 2)、E (－2, 3)，得直线DE 的解析式为y ＝x ＋5．直线DE 与y 轴交于点M (0, 5)，与x 轴交于点N (－5, 0)，所以S △OMN ＝252． 因为15DE MN =，所以S △ODE ＝15S △OMN ＝52．（3）如图2，由A (－2, 0)、B (1, 0)、C (0,－1)，可知∠ABC ＝45°，BA ＝3，BC ．如图3，由D (－3, 2) 、C (0,－1)，可知∠DCO ＝45°，CD ＝当点P 在y 轴上点C 上方时，∠DCP ＝∠ABC ＝45°，分两种情况讨论相似： ①当CP BACD BC ==．解得CP ＝9．此时P (0, 8)（图3中的点P ′）．②当CPBCCD BA ==．解得CP ＝2．此时P (0, 1) （图3中的点P ）．图2 图3考点伸展第（2）题求△ODE 的面积的方法多样，例如S △ODE ＝S △OMN ―S △OME ―S △OND ．例 2021年上海市宝山区中考模拟第25题如图1，已知AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，垂足分别为B 、C ，AC 与BD 交于点P ．（1）如果AB ＝3，CD ＝5，以点P 为圆心作圆，⊙P 与直线BC 相切．①求圆P 的半径长；②若BC ＝8，以BC 为直径作⊙O ，试判断⊙O 与⊙P 的位置关系，并说明理由．（2）如果分别以AB 、CD 为直径的两圆外切，求证：△ABC 与△BCD 相似．图1动感体验请打开几何画板文件名“21宝山25”，拖动点C 运动，改变BC 的长度，可以体验到，PH 的长度始终保持不变．观察度量值，可以体验到，当BC ＝8时，⊙O 与⊙P 内切．点击屏幕左下方的按钮“第（2）题”，拖动点A 或点C 改变两圆的半径，可以体验到，当两圆相切时，△ABC 与△BCD 始终保持相似．思路点拨1．第（1）题用字母表示线段的长，设BH ＝m ，CH ＝n ，计算起来比较方便．2．判断两圆的位置关系，需要罗列三要素，即两圆半径和圆心距．3．第（2）题中蕴含了两个经典，一是外切两圆的圆心以及外公切线的两个切点，围成了一个直角梯形，一般策略是把这个直角梯形分割为一个矩形和一个直角三角形．另一个经典是代数计算，用到了两个完全平方公式的差．图文解析（1）①如图2，设⊙P 与直线BC 相切于点H ，那么PH ⊥BC ．设BH ＝m ，CH ＝n ．由PH //AB //DC ，得PH CH n AB BC m n ==+，PH BH m DC BC m n ==+． 两式相加，得1PH PH AB DC +=． 所以135PH PH +=． 解得r P ＝PH ＝158．图2 图3②如图3，因为BC ＝8，那么rO ＝OB ＝4． 由=PH BH DC BC ，得15858=BH ．解得BH ＝3． 在Rt △POH 中，PH ＝158，OH ＝OB －BH ＝4－3＝1，由勾股定理，得PO ＝178． 因为r O －r P ＝1548-＝178，所以d ＝PO ＝r O －r P ． 图4 所以⊙O 与⊙P 内切（如图4所示）．（2）如图5，设AB ＝2a ，DC ＝2b ，那么AB ·DC ＝4ab ．取AB 的中点M ，DC 的中点N ，联结MN ．那么r M ＝a ，r N ＝b ．作MG ⊥DC 于G ，得矩形BCGM ．在Rt △MNG 中，MN ＝b ＋a ，NG ＝b －a ，所以MG 2＝(b ＋a )2－(b －a )2＝4ab ．所以AB ·DC ＝MG 2．又因为MG ＝BC ，所以=AB BC BC DC． 又因为∠ABC ＝∠BCD ＝90°，所以△ABC ∽△BCD （如图6所示）．图5 图6考点伸展我们把第（1）题一般化．如图7，AC 与BD 交于点P ，AB //PH //DC ，如果AB ＝3，DC ＝5，那么PH ＝158．求解过程完全相同，与BC 的长无关，与AB 的斜率无关．图7例 2021年上海市崇明区中考模拟第24题如图1，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝x －3分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过点A 和B ，且其顶点为D ．（1）求抛物线的表达式；（2）求∠BAD 的正切值；（3）设点C 为抛物线与x 轴的另一个交点，点E 为抛物线的对称轴与直线y ＝x －3的交点，点P 是直线y ＝x －3上的动点，如果△P AC 与△AED 是相似三角形，求点P 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“21崇明24”，拖动点P 在BA 的延长线上运动，可以体验到，△P AC 与△AED 相似存在两种情况．思路点拨1．第（2）题由A 、B 、D 三点的坐标，根据勾股定理的逆定理得到△ABC 是直角三角形．2．第（3）题关键的一步，是寻求一组相等的角，然后根据夹角的两边对应成比例分两种情况列方程求AP 的长，进而求点P 的坐标．图文解析（1）由y ＝x －3，得A (3, 0)，B (0,－3)．因为抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、C 两点，设y ＝(x －3)(x －x C )．代入点B (0,－3)，得－3＝－3(－x C )．解得x C ＝－1．所以y ＝(x －3)(x ＋1)＝x 2－2x －3，顶点为D (1,－4)．（2）如图2，由A (3, 0)、B (0,－3)、D (1,－4)，得AB 2＝18，BD 2＝2，AD 2＝20． 所以AB 2＋BD 2＝AD 2．所以△ABD 是直角三角形，∠ABD ＝90°．所以tan ∠BAD ＝BD AB ＝13．图2（3）如图3，由A (3, 0)，B (0,－3)，得OA ＝OB ，∠OAB ＝45°．抛物线的顶点为D (1,－4)，当x ＝1时，y ＝x －3＝－2．所以E (1,－2)．所以ED ＝2，EA ＝当点P 在BA 的延长线上时，∠CAP ＝∠AED ＝135°，分两种情况讨论△P AC 与△AED 相似．①当AP EA AC ED =时，4AP =AP ＝ 作PH ⊥x 轴于H ，那么PH ＝AH ＝4．此时P (7, 4)（如图3所示）．②当AP EDAC EA =时，4AP =AP ＝ 此时PH ＝AH ＝2，P (5, 2) （如图4所示）．图3 图4考点伸展第（2）题也可以用几何计算的方法．如图2，作DF ⊥y 轴于F ．由△OAB 和△DFB 都是等腰直角三角形，得到∠ABD ＝90°．直角三角形ABD 两条直角边的比，就是两个等腰直角三角形斜边的比，等于相似比1∶3．例 2021年上海市崇明区中考模拟第25题如图1，在矩形ABCD中，E是边CD的中点，点F在边AD上，EF⊥BD，垂足为点G．（1）如图2，当矩形ABCD为正方形时，求DGGB的值；（2）如果15=DGGB，AF＝x，AB＝y，求y与x的函数关系式，并写出函数定义域；（3）如果AB＝4cm，以点A为圆心，3cm长为半径的⊙A与以点B为圆心的⊙B外切，以点F为圆心的⊙F与⊙A、⊙B都内切，求DGGB的值．图1 图2 备用图动感体验请打开几何画板文件名“21崇明25”，拖动点D运动，可以体验到，⊙F与⊙A内切的切点是确定的，⊙F与⊙B内切时，Rt△ABF就确定了．思路点拨1．这三个小题都和DG∶GB相关，因此添加辅助线的方法是一致的，延长FE交BC 的延长线于点M，这样就利用了中点E．2．第（3）题中，⊙A、⊙B、⊙F的半径分别为3、1、r，当⊙F与⊙A、⊙B都内切时，用r表示圆心距AF、BF，再利用勾股定理解Rt△ABF，就得到了AF的长．图文解析（1）设正方形ABCD的边长为2a．如图3，延长FE交BC的延长线于点M．因为AD//BM，E是DC的中点，所以DF＝CM．因为△DEG是等腰直角三角形，所以△DEF也是等腰直角三角形．所以DF＝DE＝CE＝CM＝a．再由AD//BM，得1===33 DG DF aGB BM a．（2）如图4，延长FE交BC延长线于点M．设DF＝m．因为AD//BM，E是DC的中点，所以DF＝CM＝m．再由AD//BM，得15DF DGBM BG==．所以BM＝5DF＝5m．所以BC＝5m－m＝4m．所以AF＝4m－m＝3m＝x．所以m＝13x．如图5，根据等角的余角相等，得∠1＝∠2．由tan ∠1＝tan ∠2，得CB CE CD CM=．所以142=y m y m ．所以228=y m ．因为x ＞0，y ＞0，所以3==y x ．定义域是x ＞0．图3 图4 图5（3）如图6，因为⊙A 与⊙B 外切，所以圆心距AB ＝r A ＋r B ．所以3＋r B ＝4．解得r B ＝1．设⊙F 的半径为r ．因为⊙F 与⊙A 、⊙B 都内切，所以圆心距AF ＝r F －r A ＝r －3，圆心距BF ＝r F －r B ＝r －1．在Rt △ABF 中，根据勾股定理，得AB 2＋AF 2＝BF 2．所以42＋(r －3)2＝(r －1)2． 解得r ＝6．所以AF ＝r －3＝3．如图7，设DF ＝CM ＝m ，那么BC ＝m ＋3．由△DCB ∽△ECM ，得=CD CM CB CE ．所以432=+m m ．整理，得m 2＋3m －8＝0．解得m ．如图8，由AD //BM ，得23==+DG FD m GB BM m ．代入=m DG GB ．图6 图7 图8考点伸展第（3）题中的⊙F 不存在其他情况，从解题过程可以看到，圆心距AF 不论表示为r －3还是3－r ，圆心距BF 不论表示为r －1还是1－r ，由勾股定理得42＋(r －3)2＝(r －1)2，这个方程是一元一次方程，解是唯一的．例 2021年上海市奉贤区中考模拟第24题如图1，在平面直角坐标系中，已知B (0, 2)、C 3(1,)2-，点A 在x 轴正半轴上，且OA ＝2OB ，抛物线y ＝ax 2＋bx （a ≠0）经过点A 、C ．（1）求这条抛物线的表达式；（2）将抛物线先向右平移m 个单位，再向上平移1个单位，此时点C 恰好落在直线AB 上的点C ′处，求m的值；（3）设点B 关于原抛物线对称轴的对称点为B ′，联结AC ，如果点F 在直线AB ′上，∠ACF ＝∠BAO ，求点F的坐标． 图1 动感体验请打开几何画板文件名“21奉贤24”，可以体验到，∠CAO ＝∠BAO ，按照点F 与直线AC 的位置关系，∠ACF ＝∠BAO 存在两种情况．思路点拨1．抛物线的平移，归根到底是对应点的平移．第（2）题其实是点C 平移以后落在直线AB 上，抛物线的平移是假象．2．第（3）题中∠ACF ＝∠BAO ，按照点F 与直线AC 的位置关系，分两种情况． 图文解析（1）由B (0, 2)、OA ＝2OB ，得OA ＝4，A (4, 0)．因为抛物线与x 轴交于O 、A 两点，设y ＝ax (x －4)．代入点C 3(1,)2-，得31(3)2a -=⨯⨯-．解得12a =． 所以211(4)222y x x x x =-=-． （2）由A (4, 0)、B (0, 2)，得直线AB 的解析式为122y x =-+． 如图2，点C 3(1,)2-先向右平移m 个单位，再向上平移1个单位得点C ′1(1,)2m +-． 将点C ′1(1,)2m +-代入直线AB 的解析式122y x =-+，得11(1)222m -=-++． 解得m ＝4．图2（3）由A (4, 0)、B (0, 2)、C 3(1,)2-，可得tan ∠BAO ＝24＝12，tan ∠CAO ＝332÷＝12． 所以∠BAO ＝∠CAO （如图3所示）．如图3，点B 与点B ′关于OA 的垂直平分线对称，所以直线AB ′是x ＝4．如果∠ACF ＝∠BAO ，分两种情况：①点F 在直线AC 的下方．过点C 作x 轴的平行线交直线AB ′于点F ．此时F 3(4,)2-． ②点F ′在直线AC 的上方．设F ′C 与x 轴交于点G ，那么GA ＝GC ．设G (m , 0)，由GA 2＝GC 2，得2223(1)()(4)2m m -+=-．解得178m =．所以G 17(,0)8． 由174'58'38F A GA F F CF -===，得'53F A AF =．所以5535'3322F A AF ==⨯=．此时F ′5(4,)2．图3 图4考点伸展第（3）题求点F ′的坐标，也可以先求tan2α的值．如图4，已知A (4, 0)、B (0, 2)，作AB 的垂直平分线交y 轴于点P ，垂足为Q ，那么 ∠APB ＝2∠BAO ＝2α．设P (0, n )．由P A 2＝PB 2，可得42＋n 2＝(2－n )2．解得n ＝－3．所以tan2α＝tan ∠APO ＝OA OP ＝43． 第（3）题求点F ′的坐标，还可以先说理再计算．如果把△CAF 与△CAF ′看作同高三角形，面积比等于AF ∶AF ′．又因为CA 平分∠FCF ′，所以点A 到CF 、CF ′的距离相等，因此△CAF 与△CAF ′又可以看作等高三角形，面积比等于CF ∶CF ′． 所以''CF AF CF AF =．设F ′(4, y )3322y y==． 整理，得4y 2－4y －15＝0．解得52y =，或32y =-（与点F 重合，舍去）．例 2021年上海市奉贤区中考模拟第25题如图1，已知扇形AOB 的半径OA ＝4，∠AOB ＝90°，点C 、D 分别在半径OA 、OB 上（点C 不与点A 重合），联结CD ．点P 是弧AB 上一点，PC ＝PD ．（1）当cot ∠ODC ＝34，以CD 为半径的圆D 与圆O 相切时，求CD 的长； （2）当点D 与点B 重合，点P 为弧AB 的中点时，求∠OCD 的度数；（3）如果OC ＝2，且四边形ODPC 是梯形，求PCD OCDS S △△的值．图1 备用图 备用图动感体验请打开几何画板文件名“21奉贤25”，拖动点D 在OB 上运动，可以体验到，⊙O 与 ⊙D 可以内切于点B ．点击屏幕左下方的按钮“第（2）题”，可以体验到，△OAP 、△OBP 和△P AC 都是顶角为45°的等腰三角形．点击按钮“第（3）题”，可以体验到，梯形ODPC 存在两种情况．思路点拨1．相切两圆的连心线必过切点，⊙O 与⊙D 可以内切于点B ．2．第（2）题把图形中的等腰三角形都标记出来，标记出内角的度数．事实上，PC 与PD 垂直且相等．3．第（3）题根据梯形的一组对边平行，可以先画出准确的示意图，再进行计算．两个三角形的面积比等于底边的比．图文解析（1）如图2，在Rt △OCD 中，cot ∠ODC ＝34，设OD ＝3m ，OC ＝4m ，那么CD ＝5m ． 因为相切两圆的连心线必过切点，所以连心线OD 过切点B ．所以⊙O 与⊙D 内切于点B ．所以r O －r D ＝d ＝OD ．所以4－5m ＝3m ．解得m ＝12．所以CD ＝5m ＝52．图2 图3 图4（2）如图3，因为点P为弧AB的中点，所以P A＝PD，∠POA＝∠POD＝45°．又因为OA＝OP，所以∠OAP＝∠OP A＝67.5°．同理可得∠OPD＝∠ODP＝67.5°．所以∠APD＝135°．如图4，因为P A＝PD，PC＝PD，得P A＝PC．所以在△ACP中，∠P AC＝∠PCA＝67.5°，∠APC＝45°．在△PCD中，∠CPD＝∠APD－∠APC＝90°，所以∠PCD＝45°．所以∠OCD＝180°－∠ACP－∠PCD＝180°－67.5－45°＝67.5°．（3）如果四边形ODPC是梯形，按照对边平行，分两种情况．①如图5，当CP//OD时，△PCD与△OCD是等高三角形，面积比等于PC∶OD．作PH⊥OB于H，得矩形OCPH．联结OP．在Rt△OCP中，OC＝2，OP＝4，所以PC＝．在Rt△DPH中，PH＝OC＝2，PD＝PC＝，所以DH＝所以OD＝OH－DH＝所以3PCDOCDS PCS OD==+△△图5 图6 图7②如图6，当DP//CO时，△PCD与△OCD是等高三角形，面积比等于PD∶OC．作PG⊥AO于G，得矩形PGOD．联结OP．设PC＝PD＝m．在Rt△PDO和Rt△PGC中，由OD2＝PG2，得22216(2)m m m-=--．整理，得m2＋4m－20＝0．解得m＝2±（舍去负值）．所以1PCDOCDS PDS OC===△△．考点伸展第（2）题当点P是弧AB的中点时，这个图形是一个典型图，如图7，PC与PD垂直且相等．例 2021年上海市虹口区中考模拟第24题如图1，在平面直角坐标系中，直线l：34y x b=+与x轴、y轴分别交于点A、B，与双曲线H：kyx=交于点P9(2,)2，直线x＝m分别与直线l和双曲线H交于点E、D．（1）求k和b的值；（2）当点E在线段AB上时，如果ED＝BO，求m的值；（3）点C是y轴上一点，如果四边形BCDE是菱形，求点C的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“21虹口24”，拖动点E运动，可以体验到，菱形BCDE存在两种情况，点E分别在点B的左侧和右侧．思路点拨1．第（2）题用m表示E、D两点的坐标，再用m表示ED的长．2．第（3）题根据ED2＝EB2列方程，就可以不遗不漏地得到所有可能的菱形．图文解析（1）将点P9(2,)2代入kyx=，得k＝xy＝9．将点P9(2,)2代入34y x b=+，得93224b=⨯+．解得b＝3．所以BO＝3．（2）如图2，由E3(,3)4m m+，D9(,)mm，得ED＝39(3)4mm+-．如果ED＝BO＝3，那么39(3)34mm+-=．整理，得34mm=．解得m＝（舍去），或m＝-（3）如图3，由E3(,3)4m m+、B(0, 3)，得EB2＝22235()()44m m m+=．由（2）知，ED＝39 (3)4mm+-．如果四边形BCDE是菱形，那么EB＝ED．由EB2＝ED2，得22539 ()(3)44m mm⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦．①方程539(3)44m mm=+-整理，得m2－6m＋18＝0．此方程无实数根．②方程539(3)44m mm-=+-整理，得2m2＋3m－9＝0．解得m＝－3，或32m=．当m ＝－3时，EB 2＝25()4m ＝154．所以BC ＝154． 此时将点B 向下平移个154单位得到点C 3(0,)4-（如图3所示）． 当32m =时，EB 2＝25()4m ＝158．所以BC ＝158． 此时将点B 向上平移个158单位得到点C 39(0,)8（如图4所示）．图2 图3 图4考点伸展第（3）题还可以这样构图：如图5，设四边形BCDE 是菱形，边长为5n ．作EM ⊥y 轴于M ，作DN ⊥y 轴于N ，那么EM ＝DN ＝4n ，BM ＝CN ＝3n ．将点B (0, 3)向下平移5n 个单位得点C (0, 3－5n )，点C (0, 3－5n )向下平移3n 个单位，再向左平移4n 个单位，得点D (－4n , 3－8n )．将点D (－4n , 3－8n )代入9y x=，得－4n (3－8n )＝9． 整理，得32n 2－12n －9＝0．解得n ＝34，或n ＝38-． 当n ＝34时，3－5n ＝34-．此时C 3(0,)4-．当n ＝38-时，3－5n ＝398．此时C 39(0,)8．图5例 2021年上海市虹口区中考模拟第25题在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，tan A＝34，AC＝5，点M是射线AB上一点，以MC为半径的⊙M交直线AC于点D．（1）如图1，当MC＝AC时，求CD的长；（2）当点D在线段AC的延长线上时，设BM＝x，四边形CBMD的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）如果直线MD与射线BC相交于点E，且△ECD与△EMC相似，求线段BM的长．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“21虹口25”，拖动点M在AB的延长线上运动，可以体验到，四边形CBMD的面积等于△CBM与△CDM的面积之和．点击屏幕左下方的按钮“第（3）题”，拖动点M在射线AB上运动，可以体验到，△ECD与△EMC相似存在两种情况．思路点拨1．第（1）题为第（2）题提供了方法依据，第（2）题求不规则四边形的面积，先要用x表示CD的长．2．第（3）题点M的位置在变，点D的位置随之改变，根据点M和点D的位置画出示意图，分三种情况讨论，其中两种情况下，根据相似三角形的对应角相等和等边对等角，等量代换以后都能得到角平分线，从而得到HM＝BM．图文解析（1）在Rt△ABC中，由tan A＝34，AC＝5，可得AB＝4，CB＝3．如图2，作MH⊥CD于H，那么CD＝2CH．因为MC＝AC，CB⊥AM，所以AB＝BM＝4．所以AM＝8．在Rt△AMH中，cos A＝45，所以AH＝AM∙cos A＝485⨯＝325．所以CH＝AH－AC＝3255-＝75．所以CD＝2CH＝145．图2 图3 图4（2）如图3，在Rt △AMH 中，cos A ＝45，AM ＝4＋x ，所以AH ＝AM ∙cos A ＝4(4)5+x ， MH ＝3(4)5+x ．所以CH ＝AH －AC ＝4(4)55+-x ＝495-x ． 所以CD ＝2CH ＝2(49)5-x ． 如图4，S 四边形CBMD ＝S △CBM ＋S △CDM ＝1122⋅+⋅BM CB CD MH ． 所以y ＝312(49)3(4)2255-+⋅⋅+x x x ． 整理，得y ＝22411721650+-x x ．定义域是x ＞94． 当x ＝94时，⊙M 与直线AC 相切于点C ． （3）以点M 和点D 的位置为分类标准，分三种情况讨论．①如图5，点M 在线段AB 上，点D 在线段CA 的延长线上．由△ECD ∽△EMC ，得∠ECM ＝∠EDC ．又因为MC ＝MD ，所以∠MCD ＝∠EDC ．等量代换，得∠ECM ＝∠MCD ．所以CM 是∠BCH 的平分线，HM ＝BM ＝x ．如图6，在Rt △AMH 中，由sin A ＝HM AM ＝35，得3(4)5=-x x ． 解得x ＝BM ＝32．图5 图6②如图7，当点M 在线段AB 的延长线上，点D 在线段AC 上时，△ECD 是锐角三角形，△EMC 是钝角三角形，这两个三角形不可能相似．④如图8，点M 在线段AB 的延长线上，点D 在线段AC 的延长线上．由△ECD ∽△EMC ，得∠EDC ＝∠ECM ．根据等角的补角相等，得∠MDC ＝∠BCM ．图7 图8 图9如图9，因为MC＝MD，所以∠MCD＝∠MDC．等量代换，得∠BCM＝∠MCD．所以CM是∠BCD的角平分线，HM＝BM＝x．在Rt△AMH中，由sin A＝HMAM＝35，得3(4)5x x=+．解得x＝BM＝6．考点伸展第（2）题求四边形CBMD的面积，也可以用△ADM的面积减去△ACB的面积．计算CD和MH的方法相同．如果抛物线C1：y＝ax2＋bx＋c与抛物线C2：y＝－ax2＋dx＋e的开口方向相反，顶点相同，我们称抛物线C2是C1的“对顶”抛物线．（1）求抛物线y＝x2－4x＋7的“对顶”抛物线的表达式；（2）将y＝x2－4x＋7的“对顶”抛物线沿其对称轴平移，使所得抛物线与原抛物线y ＝x2－4x＋7形成两个交点M、N，记平移前后两抛物线的顶点分别为A、B，当四边形AMBN 是正方形时，求正方形AMBN的面积；（3）某同学在探究“对顶”抛物线时发现：如果抛物线C1与C2的顶点位于x轴上，那么系数b与d，c与e之间的关系是确定的，请写出它们之间的关系．动感体验请打开几何画板文件名“21 黄浦24”，拖动x轴正半轴上表示实数a的点可以改变a 的值，拖动点A可以平移抛物线，拖动点B可以上下平移抛物线C2，可以体验到，四边形AMBN可以成为正方形．思路点拨1．把一般式化为顶点式，就可以写出“对顶”抛物线的顶点式．2．正方形的对角线互相垂直平分且相等，将点A向上平移m个单位，再向右平移m个单位，就可以表示出点N的坐标．然后将点N代入C1就可以求得平移距离m的值．3．第（3）题直接写出两条抛物线的顶点式，再化为一般式进行比较．图文解析（1）由y＝x2－4x＋7＝(x－2)2＋3，得顶点为(2, 3)．所以它的“对顶”抛物线的表达式为y＝－(x－2)2＋3＝－x2＋4x－1．（2）如图1，已知A(2, 3)，设AB＝2m，那么B(2, 3＋2m)．如果四边形AMBN是正方形，那么N(2＋m, 3＋m)．将点N(2＋m, 3＋m)代入y＝(x－2)2＋3，得3＋m＝m2＋3．解得m＝1，或m＝0（舍去）．所以AB＝2．所以正方形AMBN的面积＝2．（3）如果抛物线C1与C2的顶点位于x轴上，设顶点为(n, 0)．所以C1为y＝a(x－n)2＝ax2－2anx＋an2，C2为y＝－a(x－n)2＝－ax2＋2anx－an2．所以b＝－2an，d＝2an，c＝an2，e＝－an2．所以b＝－d，c＝－e．也就是说，b与d互为相反数，c与e互为相反数．图1 图2考点伸展第（2）题可以一般化，如图所示2，当1（a＞0）时，四边形AMBN是正方形．ma如图1，AD 是△ABC 的角平分线，过点C 作AD 的垂线交边AB 于点E ，垂足为点O ，联结DE ．（1）求证：DE ＝DC ；（2）当∠ACB ＝90°，且△BDE 与△ABC 的面积比为1∶3时，求CE ∶AD 的值；（3）是否存在△ABC 能使CE 为△ABC 边AB 上的中线，且CE ＝AD ？如果能，请用∠CAB 的某个三角比的值来表示它此时的大小；若不能，请说明理由．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“21黄浦25”，拖动点C 落在半圆上，可以体验到，DE ⊥AB ．当点E 与圆心重合时，可以体验到，△ADC 、△ADE 和△BDE 全等．点击按钮“CE ＝AD ，E 是AB 的中点”，观察度量值，可以体验到，这样的△ABC 是存在的．思路点拨1．第（1）题由等腰三角形的“三线合一”可知AD 垂直平分CE ．2．第（2）题可以转化为三个直角三角形全等，得到30°角的Rt △ABC ．3．第（3）题就是求等腰三角形ACE 的顶角的三角比，如果知道腰和底的比，或者底边与高的比，这个三角形的形状就确定了．图文解析（1）因为∠1＝∠2，CE ⊥AD ，AO ＝AO ，所以△ACO ≌△AEO ．所以AC ＝AE ． 根据等腰三角形的“三线合一”，可得AD 垂直平分CE ．所以DE ＝DC ．（2）因为S △BDE ∶S △ABC ＝1∶3，所以S △BDE ∶S 四边形ACDE ＝1∶2．又因为△ACD ≌△AED ，所以△ADC 、△ADE 和△BDE 面积相等．所以E 是AB 的中点．如果∠ACB ＝90°，那么DE ⊥AB ．所以DE 垂直平分AB ．所以DA ＝DB ．所以∠2＝∠3．又因为∠1＝∠2，所以∠1＝∠2＝∠3＝30°．所以△ACE 是等边三角形．于是cos 2cos302CE AE AD AD ==∠=︒=．图2 图3（3）如图4，作BF //CE 交AD 的延长线于点F ．如果CE 是△ABC 的中线，那么E 是AB 的中点．所以O 是AF 的中点．所以OE 是△ABF 的中位线．所以BF ＝2OE ＝2OC ． 所以2DF BF OD CO==． 设DO ＝n ，DF ＝2n ，那么OF ＝3n ．所以AO ＝OF ＝3n ．所以AD ＝4n ．如果CE ＝AD ，那么CE ＝4n ．如图5，作CG ⊥AE 于G ．在Rt △AEO 中，AO ＝3n ，EO ＝12CE ＝2n ，所以AE ．由S △ACE ＝1122⋅=⋅AE CG CE AO 1432⋅=⋅CG n n ．解得CG ．在Rt △ACG 中，AC ＝AE ，CG ，所以sin ∠CAG ＝CG AC ＝1213．图4 图5考点伸展在本题情景下，如果△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，如图6所示，这个图形就是我们熟悉的一个典型图，AB ＝AC ＋CD ．图6 图7第（3）题情景下，把这个图形看作△CEB 被一条直线所截，与三边或延长线分别交于点D 、O 、A ，如图7所示，理论上过C 、E 、B 、D 、O 、A 等六个点的每一个点，都有两种添加平行线的方法，例如图8、图9、图10．图8 图9 图10在平面直角坐标系中，二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋a －1（其中a 是常数，且a ≠0）的图像是开口向上的抛物线．（1）求该抛物线的顶点P 的坐标；（2）我们将横、纵坐标都是整数的点叫做“整点”，将抛物线f (x )＝ax 2－2ax ＋a －1与y 轴的交点记为A ，如果线段OA 上的“整点”的个数小于4，试求a 的取值范围；（3）如果f (－1)、f (0)、f (3)、f (4)这四个函数值中有且只有一个大于0，试写出符合题意的一个函数解析式；结合函数图像，求a 的取值范围．动感体验请打开几何画板文件名“21嘉定24”，拖动点A 在y 轴上运动，可以体验到，f (－1)和f (3)的函数值相等，f (0)对应点A ，只有f (4)这个函数值大于0．思路点拨1．按照点A 在x 轴下方和上方两种情况分类考虑，再综合考虑．2．抛物线的对称轴为x ＝1，所以f (－1)和f (3)的函数值相等．抛物线开口向上，所以f (0)＜f (3)，只有f (4)＞0．3．第（3）题先探究a 的取值范围，再写出一种具体情况．临界点是f (3)＝0和f (4)＝0． 图文解析（1）由f (x )＝ax 2－2ax ＋a －1＝a (x －1)2－1，得抛物线的顶点P 的坐标为(1,－1)．（2）由f (x )＝ax 2－2ax ＋a －1，得A (0, a －1)．①因为抛物线的顶点为P (1,－1)，当点A 在x 轴下方时，－1＜a －1≤0．解得0＜a ≤1．②当点A 在x 轴上方时，0＜a －1＜3．解得1＜a ＜4．③当点A 与点O 重合时，线段OA 不存在．因此a －1≠0．解得a ≠1．综上所述，a 的取值范围是0＜a ＜4且a ≠1．（3）如图1，因为抛物线的对称轴为直线x ＝1，所以f (－1)和f (3)的函数值相等． 如果f (－1)、f (0)、f (3)、f (4)这四个函数值中有且只有一个大于0，因为抛物线的开口向上，所以只有f (4)的值大于0．由(3)0,(4)0,f f ⎧⎨⎩≤＞ 得不等式组410,910.a a -⎧⎨-⎩≤＞ 解得a 的取值范围是1194a ＜≤． 例如：当18a =时，符合题意的一个函数解析式是21(1)18y x =--． 图1 考点伸展第（3）题如果没有抛物线开口向上的条件，当开口向下时，f (0)＞0．已知：⊙O 的半径长是5，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦．分别过点A 、B 向直线CD 作垂线，垂足分别为E 、F ．（1）如图1，当点A 、B 位于直线CD 同侧，求证：CF ＝DE ；（2）如图2，当点A 、B 位于直线CD 两侧，∠BAE ＝30°，且AE ＝2BF 时，求弦CD 的长；（3）设弦CD 的长为l ，线段AE 的长为m ，线段BF 的长为n ，探究l 与m 、n 之间的数量关系，并用含m 、n 的代数式表示l ．图1 图2 备用图动感体验请打开几何画板文件名“21嘉定25”，拖动点A 运动，可以体验到，OH 是△ABK 的中位线，当A 、B 两点在弦CD 的同侧时，OH 等于AE ＋BE 的一半；点A 、B 两点在弦CD 的两侧时，OH 等于AE －BF 的一半．思路点拨1．作弦心距OH ，求CD 的长先求DH 的长．2．由O 、H 是两个中点，不由得想到中位线．图文解析（1）如图3，作OH ⊥CD 于H ．由垂径定理，得CH ＝DH ．因为BF //OH //AE ，OA ＝OB ，所以FH ＝EH ．所以FH －CH ＝EH －DH ，即CF ＝DE ．（2）如图4，设AB 与CD 交于点G ．由AE //BF ，得2AG AE BG BF ==．所以23AG AB =．所以AG ＝23AB ＝203．图3 图4 图5如图5，在Rt △OGH 中，OG ＝AG －OA ＝2053-＝53，∠GOH ＝∠A ＝30°，所以OH ＝OG ·cos30°＝53．在Rt △OCH 中，OC ＝5，OH ，由勾股定理，得CH所以CD ＝2OD （3）如图3，点A 、B 位于直线CD 同侧．因为OH 是梯形ABFE 的中位线，所以OH ＝1()2+BF AE ＝1()2+m n ． 如图5，在Rt △OCH 中，OC ＝5，OH ＝1()2+m n ，由勾股定理，得CH ．所以l ＝CD ＝2CH ．如图6，点A 、B 位于直线CD 两侧．延长BH 交AE 于点K ．因为BF //AE ，H 是FE 的中点，所以KE ＝BF ＝n ．因为OH 是△ABK 的中位线，所以OH ＝12AK ＝1()2AE BF -＝1()2m n -． 如图5，在Rt △OCH 中，OC ＝5，OH ＝1()2-m n ，由勾股定理，得CH所以l ＝CD ＝2CH ．考点伸展如图6、如图7是对立统一的两个图，OH 是△ABK 的中位线．如图6，当A 、B 在CD两侧时，OH ＝12AK ＝2AE BF -．如图7，当A 、B 在CD 同侧时，OH ＝12AK ＝2AE BF +．图6 图7如图1，已知直线y＝kx＋b经过A(－2, 0)、B(1, 3)两点，抛物线y＝ax2－4ax＋b与已知直线交于C、D两点（点C在点D的右侧），顶点为P．（1）求直线y＝kx＋b的表达式；（2）若抛物线的顶点不在第一象限，求a的取值范围；（3）若直线DP与直线AB所成的夹角等于15°，且点P在直线AB上方，求抛物线y＝ax2－4ax＋b的表达式．动感体验请打开几何画板文件名“21金山24”，拖动点P在第四象限的对称轴上运动，可以体验到，抛物线与y轴的交点D是确定的．点击屏幕左下方的按钮“第（3）题”，可以体验到，△PDF是60°角的直角三角形．思路点拨1．注意到两个解析式的常数项相同，抛物线与直线左侧的交点D是确定的．2．第（3）题构造60°角的直角三角形，先求顶点P的坐标．图文解析（1）将A(－2, 0)、B(1, 3)两点分别代入y＝kx＋b，得20,3.k bk b-+=⎧⎨+=⎩解得k＝1，b＝2．所以直线的表达式为y＝x＋2．（2）由y＝ax2－4ax＋2＝a(x－2)2＋2－4a，可知抛物线的顶点为P(2, 2－4a)．如图1所示，如果顶点不在第一象限，那么2－4a＜0．解得12 a>．（3）抛物线的对称轴为直线x＝2，设对称轴与直线AB交于点E，那么E(2, 4)．抛物线与直线的左侧的交点D的坐标为(0, 2)．如图2，过点D向对称轴作垂线，垂足为F，那么△DEF是腰长为2的等腰直角三角形．当点P在直线AB上方，∠PDE＝15°时，在Rt△PDF中，∠PDF＝60°．所以PF＝．所以顶点P(2,2+．所以224a+-．解得a=．所以抛物线的表达式为y＝ax2－4ax＋2＝22++．图1 图2考点伸展第（2）题可以数形结合，抛物线开口向上，a＞0，由∆＝(－4a)2－8＞0，解得12 a>．如图1，在△ABC 中，AB ＝AC＝，∠BAC ＝120°，△ADE 的顶点D 在边BC 上，AE 交BC 边于点F （点F 在点D 的右侧），∠DAE ＝30°．（1）求证：△ABF ∽△DCA ；（2）若AD ＝ED ．①联结EC ，当点F 是BC 的黄金分割点（FC ＞BF ）时，求ABF FECS S △△． ②联结BE ，当DF ＝1时，求BE 的长．图1 备用图 备用图动感体验请打开几何画板文件名“21金山25”，拖动点D 在BC 上运动，可以体验到，△ABF 、△DCA 与△DAF 两两相似．点击屏幕左下方的按钮“第（2）题①”，拖动点D 在BC 上运动，可以体验到，CE 与BC 的夹角始终保持30°不变，△ABF 与△ECF 始终保持相似．点击屏幕左下方的按钮“第（2）题②”，观察DF 的度量值，可以体验到，DF ＝1存在两种情况，分别是AD ⊥BC 和AF ⊥BC 的时刻．思路点拨1．第（1）题也是“三等角”问题，有三个三角形两两相似．2．第（2）题中的四边形AEDC 被对角线分成四个三角形，相对的两个三角形相似．3．第（2）题中AB 与CE 保持平行关系，△ABF 与△ECF 保持相似．图文解析（1）如图2，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，所以∠B ＝∠C ＝30°． 设∠BAD ＝α，那么∠ADC ＝α＋30°．又因为∠BAF ＝α＋30°，所以∠ADC ＝∠BAF ．所以△ABF ∽△DCA ．（2）①因为点F 是BC 的黄金分割点（FC ＞BF ），所以=BF FC ． 如图3，由AD ＝ED ，得∠AED ＝∠DAE ＝30°．等量代换，得∠AED ＝∠C ．又因为∠DFE ＝∠AFC ，所以△DFE ∽△AFC ．所以FD FA FE FC =． 又因为∠DF A ＝∠EFC ，所以△DF A ∽△EFC ．所以∠FCE ＝∠F AD ＝30°．如图4，因为∠B ＝∠FCE ，所以AB //CE ．所以△ABF ∽△ECF ．所以22=()==ABF FEC S BF S FC △△．。

2020-2021学年上海市中考二模数学试卷有答案初中毕业生学业模拟考试数学试卷（满分150分，完卷时间100分钟）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1．下列各根式中与3是同类二次根式的是……………………………………………（）（A ）9；（B ）31；（C（D ）30.2．下列运算中，正确的是…………………………………………………………………（）（A ）325x x x +=；（B ）32x x x -=；（C ）326x x x ?=；（D ）32x x x ÷=.3．不等式组?≤>+103x x 的解集在数轴上表示正确的是…………………………………（）4．已知一组数据123,,x x x 的平均数和方差分别为6和2，则数据1231,1,1x x x +++的平均数和方差分别是……………………………………………………………………………（）（A ）6和2；（B ）6和3；（C ）7和2；（D ）7和3.5．顺次连结等腰梯形的各边中点所得到的四边形（A ）；（B ）．（C ）（D ）是……………………………………（）（A ）平行四边形；（B ）菱形；（C ）矩形；（D ）正方形.6．已知在△ABC 中，AB=AC=13，BC=10，如果以A 为圆心r 为半径的⊙A 和以BC为直径的⊙D相交，那么r的取值范围……………………………………………………………（）（A ）313r <<；（B ）517r <<；（C ）713r <<；（D ）717r <<.二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．因式分解：24a -= .81=的解为 .9．如果一元二次方程220x x a ++=有两个不相等的实数根，那么a 的取值范围是． 10．函数y ＝23x-中自变量x 的取值范围是_______． 11．将抛物线221y x =-向右平移2个单位，再向上平移2个单位所得抛物线的表达式是．12．如果反比例函数21k y x-=的图像在每个象限内y 随x 的增大而减小，那么k 的取值范围是．13．在等腰梯形、正五边形、平行四边形、矩形这4种图形中，任取一种图形，这个图形是中心对称图形的概率是．14．为了解某区初三学生的课余生活情况，调查小组在全区范围内随机抽取部分学生进行问卷调查. 问卷中请学生选择最喜欢的课余生活种类（每人只选一类），选项有音乐类、美术类、体育类及其他共四类，调查后将数据绘制成扇形统计图（如图所示）. 如果该区有6000名初三学生，请你估计该区最喜欢体育运动的初三学生约有名．15．已知在△ABC 中，AB a AC b ==u u u r u u u r r r ，，M 是边BC 上的一点，:1:2BM CM =，用向量a ρ、b r表示AM u u u u r = ．16．一公路大桥引桥长100米，已知引桥的坡度3:1=i ，那么引桥的铅直高度为米（结果保留根号）．17．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“有趣三角形”，这条中线称为“有趣中线”.已知Rt △ABC 中，∠C=90°，较短的一条直角边边长为1，如果Rt △ABC 是“有趣三角形”，那么这个三角形“有趣中线”32%其他16%音乐12%美术%体育（第14题图）CABD （第18题图）长等于 .18．如图，在Rt △ABC 中，90ACB ∠=?，AC=4，BC=3，点D 为AB 的中点，将△ACD 绕着点C 逆时针旋转，使点A 落在CB 的延长线A '处，点D 落在点D '处，则D B '长为．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）11()24-20．（本题满分10分）解方程：213221x x x x +-=+.21．(本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分)如图，已知在△ABC 中，AB=AC ，8BC =,tan 3ABC ∠=，AD ⊥BC 于D，（第21题图）O 是AD 上一点，OD=3，以OB 为半径的⊙O 分别交AB 、AC 于E 、F ．求：（1）⊙O 的半径；（2）BE 的长．22．（本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分）某市对火车站进行了大规模的改建，改建后的火车站除原有的普通售票窗口外，新增了自动打印车票的无人售票窗口．如图,线段OA 和OB 分别表示某日从上午8点到上午11点，每个普通售票窗口售出的车票数1w （张）和每个无人售票窗口售出的车票数2w （张）关于售票时间t （小时）的函数图象．（1）求1w （张）与t （小时）的函数解析式；（2）若当天开放无人售票窗口个数是普通售票窗口个数的2倍，从上午8点到上午11点，两种窗口共售出的车票数为2400张，求当天开放无人售票窗口的个数？23.（本题满分12分，每小题6分）如图，在正方形ABCD 中，E 是边CD 上一点，AF AE 交CB 的延长线于小时)（第22题图）（第23题图）（第24题图）点F ，联结DF ，分别交AE 、AB 于点G 、P. （1）求证：AE=AF ；（2）若∠BAF=∠BFD,求证：四边形APED 是矩形.24．（本题满分12分，第（1）小题3分，第（2）小题4分，第（3）小题5分）如图，在直角坐标平面内，直线5+-=x y 与x 轴和y 轴分别交于A 、B 两点，二次函数c bx x y ++=2的图象经过点A 、B （1）求这个二次函数的解析式；（2）求OCA ∠sin 的值；（3）若P 是这个二次函数图象上位于x 轴下方的一点，且?ABP 的面积为10，求点P（第25题图1）D ABFCE（第25题图2）DABFCEB（第25题备用图）25．（本题满分14分，第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题6分）在ABC ?中，AC=25，35AB =，4tan 3A =，点D 为边AC 上一点，且AD=5，点E 、F 分别为边AB 上的动点（点F 在点E 的左边），且EDF A ∠=∠.设y AF x AE ==,.（1）如图1，当DF AB ⊥ 时，求AE 的长；（2）如图2，当点E 、F在边AB上时，求函数的定义域；的函数关系式，并写出关于x y （3）联结CE ，当相似时，和ADF DEC ??求x 的值.初中毕业生学业模拟考试答案及评分参考(满分150分，考试时间100分钟)一、选择题 (本大题共6题，每题4分，满分24分) 题号 1 2 3 45 6 答案BDACBD二、填空题 (本大题共12题，每题4分，满分48分)7、(2)(2)a a +-；8、x=1 ；9、a<1； 10、x ≠3 ； 11、22(2)1y x =-+ ；12、12k >；13、12 ；14、2400； 15、2133a b +r r；16、 17； 18 .19、解:原式=………………………………（8分）=2- …………………………………………………………（2分）20、解：设21x y x+=………………………………………(1分) 原方程化为232y y-= …………………………（1分）2230y y --=……………………………………（2分）解得123,1y y ==- ………………………………（2分）当213x x+=时解得1x = …………………………（1分）当211x x+=-时解得13x =- …………………………（1分）经检验1x =，13x =-都是原方程的根…………………………（1分）所以原方程的根为1x =，13x =-…………………………（1分） 21、解：(1)∵AB=AC, AD ⊥BC ∴BD=CD=4…………………………（2在RT BOD ?中∵OD=3∴OB=5…………………………（2分）(2)过O 点作,AB H OH AB ⊥交于又∵OH 过圆心O ∴BH=EH ……………………………………………（1分）∵在RT ABD ?中tan 3ADABD BD∠==，∴AD =12, AB=104……………………………………………（1分）（第21题图）∵OD=3 ∴AO=9∵,OAH BAD OHA ADB ∠=∠∠=∠ ∵AOH ?∽ABD ?∴AH AOAD AB=∴12AH =∴AH =2分）∴BH =……………………………………………………………………（1分）∴BE =……………………………………………………………………（1分）22、（1）设kt w =1（0≠k ）………………………………………………………（1分）把240,3==w t 代入解得80=k …………………………………………………（2分）所以t w 801=…………………………………………………………………………（1分）（2）设当天开放无人售票窗口x 个，普通售票窗口x 21个………………………（1分）由题意得240018021240=+?x x ………………………………………………………（3分）解得8=x …………………………………………………………………………………（1分）答：当天开放无人售票窗口8个.………………………………………………………（1分）23、∵四边形ABCD 是正方形，∴090=∠=∠=∠DAB ABC ADE ，AB AD =,AD //BC ，AB //CD ………… (3分)∵AE AF ⊥∴090=∠EAF ∴BAE DAE ∠=∠…………………………………(1分)∴∴ABF ADE ………………………………………………………………… (1分)∴AF=AE ………………………………………………… ( 1分)2) ∵BFD BAF ∠=∠,∠DAE=∠BAF ∴∠BFP=∠EAD …（2分）∴AD //BC ∴∠ADF=∠CFD ∴∠ADF=∠DAG ∴GA=DG …………………（2分）∵∠AGP=∠DGE∴DGE AGP ………………………………………………（1分）∴DE AP =又∵AP //ED ∴四边形APED 是平行四边形………………………………（2分）∵∠ADE=900, ∴四边形APED矩形……………………………………………………………………（1分）24．解：（1）由直线5+-=x y 得点B(0，5)，A(5，0)，…………………………（1分）将A 、B 两点的坐标代入c bx x y ++=2，得 ?=++=05255c b c ………… （1分）解得??=-=56c b …………………………………………………………………（1分）∴抛物线的解析式为562+-=x x y ………………………………………（1分）（2）过点C 作轴x CH ⊥交x 轴于点H把562+-=x x y 配方得2(3)4y x =--∴点C(3，-4)，…………………（1分）∴CH=4，AH=2，AC=52∴OC=5，…………………（1分）∵OA=5∴OA=OC ∴OCA OAC ∠=∠………………………（1分）OCA ∠sin =552524sin ===∠AC CH OAC ………………………（1分）（3）过P 点作PQ ⊥x 轴并延长交直线5+-=x y 于Q 设点P 56,(2+-m mm )，Q(m,-m+5))56(52+--+-=m m m PQ =m m 5-2+…………………（1分）∵PQA PQB ABP S S S += ∴)(2121212121h h PQ h PQ h PQ S ABP +??=??+??= …………………（1分）∴5)5(21102?+-=m m ∴4,121==m m …………………（1分）∴P(1,0)(舍去)，P （4，-3）…………………（1分）25.（1）∵DF AB ⊥,∴90AFD ∠=? ，∴90A ADF ∠+∠=?∵EDF A ∠=∠，∴90EDF ADF ∠+∠=?，即90ADF ∠=?……（1分）在090,5Rt ADE ADE AD ?∠==中，，34tan =A ∴203DE = ………………………………………………………………（1分）∴253AE = ……………………………………………………………………（1分）（2）过点D 作G AB AB DG 于交,⊥ ∵ADEEDF ∠=∠,AEDDEF ∠=∠∴EDF∽EAD ?…………（1分）∴EDAEEF ED =∴EF AE ED ?=.2…………………………………………（1分）∴090,10RT AGD AGD AD ?∠==中，，34tan =A ∴86DG AG ==，∴6EG x =-∴2224x-3)DE =+（……………………（1分）∴)(3(422y x x x -?=-+）∴xy 256-=……………………………………………………………………（1分）（2535)6x ≤≤）…………………………………………………………………（1分）（3）∵A AFD EDF EDC ∠+∠=∠+∠,且EDF A ∠=∠.∴AFD EDC ∠=∠…………………………………………………………………（2分）01当时CED A ∠=∠∵EDF A ∠=∠，又∵FDE CED ∠=∠ ∴DF //CE ∴AE AF AC AD =∴x y =255∵x y 256-=∴x x=)25-65（5,2521==x x ………………………………………………………………（2分）02当时DCE A ∠=∠∵A EDF ∠=∠，∴ECD ?∽DAF ? ∴AD CE AF CD =∴520x y =∵x y 256-=∴x x=)25-65（∴6125=x ………………………………………………………………（2分）综上当相似时，和ADF DEC ??5,2521==x x 6125=x .。

上海浦东新区2023-2024学年度第二学期初三年级模拟考试数学试卷考生注意：1．本试卷共25题，试卷满分150分，考试时间100分钟．2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1.下列实数中，无理数是（）A .B.C.πD.2372.下列计算中，结果等于a 2m 的是（）A.a m +a mB.a m •a 2C.（a m ）mD.（a m ）23.直线y =-x +1经过的象限是（）A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限C.第二、三、四象限D.第一、三、四象限4.如图，AB CD ∥，13∠=︒D ，28B ∠=︒，那么E ∠等于（）A.13︒B.14︒C.15︒D.16︒5.下列命题中，真命题是（）A.对角线相等的四边形是平行四边形B.对角线相等的平行四边形是矩形C.对角线互相垂直的四边形是菱形D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形6.如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，4AC =，3BC =．点D 在边AB 上，且13BD AD =，DE BC ∥交边AC 于点E ，那么以E 为圆心，EC 为半径的E 和以D 为圆心，BD 为半径的D 的位置关系是（）A.外离B.外切C.相交D.内含二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.分解因式：21a -=____．8.化简111x x x+--的结果是______．9.2x x +=的根是_______．10.如果方程260x x m -+=没有实数根，那么m 的取值范围是__________．11.从一副52张没有大小王的扑克牌中任意抽取一张牌，抽到梅花的概率是_____．12.沿着x 轴的正方向看，如果抛物线2(1)1y k x =-+在y 轴左侧的部分是上升的，那么k 的取值范围是________．13.正五边形的中心角的度数是_____．14.如果梯形的下底长为7，中位线长为5，那么其上底长为________．15.小丽在大楼窗口A 测得校园内旗杆底部C 的俯角为α度，窗口离地面高度A h =（米），那么旗杆底部与大楼的距离BC =________米（用α的三角比和h 的式子表示）16.如图，已知ABC 中，中线AM 、BN 相交于点G ，设= AG a ，= BG b ，那么向量BC 用向量a 、b表示为________．17.如图，点A 、C 在反比例函数1y x=-的图象上，点B 在反比例函数2y x =的图象上，且AB x ∥轴，BC y ∥轴，那么ABC 的面积等于________．18.定义：四边形ABCD 中，点E 在边AB 上，连接DE 、EC ，如果DEC 的面积是四边形ABCD 面积的一半，且BEC 的面积是ADE V 及DCE △面积的比例中项，我们称点E 是四边形ABCD 的边AB 上的一个面积黄金分割点．已知：如图，四边形ABCD 是梯形，且AD BC ∥，BC AD >，如果点E 是它的边AB 上的一个面积黄金分割点，那么BCAD的值是________．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19.11311|2327232-⎛⎫++ ⎪+⎝⎭．20.解不等式组：()42141223x x x x⎧--<⎪⎨-≤⎪⎩，并把解集在数轴上表示出来．21.如图，在ABC 中，CD 是边AB 上的高．已知AB AC =，10BC =，3tan 4BAC ∠=．（1）求AD 的长；（2）如果点E 是边AC 的中点，连接BE ，求cot ∠ABE 的值．22.某校六年级200名学生参加了环保知识竞赛，已知竞赛得分都是整数，满分100分．随机抽取了部分学生的竞赛成绩作为一个样本，数据整理后分成6个小组，画出竞赛成绩的频数分布直方图，如图1所示（每个小组可包括最小值，不包括最大值），同时画出竞赛成绩等第的扇形统计图，如图2所示（设竞赛成绩为a 分，060≤<a 为不合格、6080a ≤<为合格，8090a ≤<为良好，90110a ≤≤为优秀）．根据图中的信息回答下列问题：（1）估计六年级参赛学生中成绩为良好的学生有________人；请把图1补画完整、补齐图2中缺失的数据；（2）小明对统计图进行了研究，得出了如下结论：①中位数一定落在80分—90分这一组内；②众数一定落在80分—90分这一组内；③仍有不合格的学生，该校环保知识宣传需进一步加强；④从这两个统计图中能准确求出样本的平均数．上述结论中错误的是________（填序号）．（3）估计本次六年级参赛学生中荣获优秀的共有m 人．学校“环保社团”决定：这m 名学生都光荣的成为学校的小小环保“宣传员”，从中选派x 人帮助本年级参赛得分60分以下的学生普及环保知识．经计算，x 与()m x -的积恰好等于样本容量的15倍．你认为x 的值取多少比较合理，为什么？23.已知：如图，在菱形ABCD 中，点E 是边DC 上的任意一点（不与点D 、C 重合），AE 交对角线BD 于F ，过点E 作EG BC ∥交BD 于点G ．（1）求证：2=⋅DF FG BF ；（2）当2⋅=⋅BD DF AD DE 时，求证：AE DC ⊥．24.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线2y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A 、点B ，抛物线21:C y x bx c =-++经过点A 、B 两点，顶点为点C ．（1）求b 、c 的值；（2）如果点D 在抛物线1C 的对称轴上，射线AB 平分CAD ∠，求点D 的坐标；（3）将抛物线1C 平移，使得新抛物线2C 的顶点E 在射线BA 上，抛物线2C 与y 轴交于点F ，如果BEF △是等腰三角形，求抛物线2C 的表达式．25.已知：1O 和2O 相交于A 、B 两点，线段12O O 的延长线交2O 于点C ，CA 、CB 的延长线分别交1O 于点D 、E ．（1）连接AB 、DE ，AB 、DE 分别与连心线12O O 相交于点H 、点G ，如图1，求证：AB DE ∥；（2）如果125O O =．①如图2，当点G 与O 重合，1O 的半径为4时，求2O 的半径；②连接2AO 、BD ，BD 与连心线12O O 相交于点F ，如图3，当2∥BD AO ，且2O 的半径为2时，求1O G 的长．浦东新区2023学年度第二学期初三年级模拟考试数学试卷考生注意：1．本试卷共25题，试卷满分150分，考试时间100分钟．2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1.下列实数中，无理数是（）A.0B.C.πD.237【答案】C【解析】【分析】本题考查了无理数，算术平方根的含义，解答本题的关键掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．根据无理数的定义，“无限不循环的小数是无理数”逐个分析判断即可．4 ，π，0，237中，0，237是有理数，π是无理数，故选：C．2.下列计算中，结果等于a2m的是（）A.a m+a mB.a m•a2C.（a m）mD.（a m）2【答案】D【解析】【分析】直接利用合并同类项法则、同底数幂的乘法运算法则、幂的乘方运算法则分别计算得出答案．【详解】解：A、a m+a m＝2a m，故此选项不合题意；B、a m•a2＝a m+2，故此选项不合题意；C、（a m）m＝2m a，故此选项不合题意；D 、（a m ）2＝a 2m ，故此选项符合题意．故选：D ．【点睛】此题考查的是幂的运算性质和合并同类项，掌握合并同类项法则、同底数幂的乘法运算法则、幂的乘方运算法则是解决此题的关键．3.直线y =-x +1经过的象限是（）A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限C.第二、三、四象限D.第一、三、四象限【答案】B 【解析】【详解】∵y=-x+1中k=-1,b=1∴它是递增的一次函数，与x 、y 轴的交点分别是(1,0)、(0，1)∴它的图象经过第一、二、四象限4.如图，AB CD ∥，13∠=︒D ，28B ∠=︒，那么E ∠等于（）A.13︒B.14︒C.15︒D.16︒【答案】C 【解析】【分析】本题考查的是平行线的性质，三角形的外角的性质，先证明28BCD B ∠=∠=︒，再利用三角形的外角的性质可得答案．【详解】解：∵AB CD ∥，28B ∠=︒，∴28BCD B ∠=∠=︒，∵13∠=︒D ，∴281315BED BCD D ∠=∠-∠=︒-︒=︒，故选C5.下列命题中，真命题是（）A.对角线相等的四边形是平行四边形B.对角线相等的平行四边形是矩形C.对角线互相垂直的四边形是菱形D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形【答案】B 【解析】【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，解题的关键是熟练掌握相关判定定理．根据平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定即可进行解答．【详解】解：A 、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A 不符合题意；B 、对角线相等的平行四边形是矩形，故B 符合题意；C 、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C 不符合题意；D 、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故D 不符合题意；故选：B ．6.如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，4AC =，3BC =．点D 在边AB 上，且13BD AD =，DE BC ∥交边AC 于点E ，那么以E 为圆心，EC 为半径的E 和以D 为圆心，BD 为半径的D 的位置关系是（）A.外离B.外切C.相交D.内含【答案】B 【解析】【分析】本题考查的是两圆的位置关系，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，先求解5AB ==，再证明ADE ABC △△∽，求解54BD =，1CE AC AE =-=，再结合两圆的位置关系可得答案．【详解】解：∵90ACB ∠=︒，4AC =，3BC =，∴5AB ==，∵13BD AD =，∴34AD AB =，54BD =，∵DE BC ∥，∴ADE ABC △△∽，∴3344DE AE==，∴94DE =，3AE =，∴1CE AC AE =-=，∴59144CE BD DE +=+==，∴以E 为圆心，EC 为半径的E 和以D 为圆心，BD 为半径的D 的位置关系是外切．故选B二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.分解因式：21a -=____．【答案】()()11a a +-．【解析】【分析】利用平方差公式分解因式即可得到答案【详解】解：()()2111a a a -=+-．故答案为：()()11a a +-【点睛】本题考查的是利用平方差公式分解因式，掌握利用平方差公式分解因式是解题的关键．8.化简111x x x+--的结果是______．【答案】1【解析】【分析】原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．【详解】解：111111111x x x x x x x x -+=-==-----．故答案为：1．【点睛】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．9.x =的根是_______．【答案】2x =【解析】【分析】先把方程两边平方，使原方程化为整式方程22x x +=，解此一元二次方程得到12x =，21x =-，结合二次根式的性质，去掉增根，即可得到答案．【详解】方程两边平方得：22x x +=∴12x =，21x =-0≥x =≥∴21x =-不符合题意，故舍去∴原方程的根为2x =故答案为：2x =．【点睛】本题考查了一元二次方程、二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程、二次根式的性质，从而完成求解．10.如果方程260x x m -+=没有实数根，那么m 的取值范围是__________．【答案】9m >【解析】【分析】利用判别式的意义得到△=（-6）2-4m ＜0，然后解不等式即可．【详解】根据题意得△=（-6）2-4m ＜0，解得m ＞9；故答案为：9m >.【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根与△=b 2-4ac 有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．11.从一副52张没有大小王的扑克牌中任意抽取一张牌，抽到梅花的概率是_____．【答案】14【解析】【分析】直接利用概率公式计算．【详解】解：任意抽取一张牌，抽到梅花的概率＝1352＝14．故答案为14．【点睛】此题考查概率的简单计算，只要找出总数和可能发生的事件的量相除即可．12.沿着x 轴的正方向看，如果抛物线2(1)1y k x =-+在y 轴左侧的部分是上升的，那么k 的取值范围是________．【答案】1k <【解析】【分析】本题考查的是抛物线的增减性，利用抛物线的对称轴的左侧的部分是上升的可得抛物线开口向下，再建立不等式解题即可．【详解】解：∵抛物线2(1)1y k x =-+在对称轴左侧的部分是上升的，∴抛物线开口向下，∴10k -<，解得1k <．故答案为：1k <．13.正五边形的中心角的度数是_____．【答案】72°．【解析】【分析】根据正多边形的圆心角定义可知：正n 边形的圆中心角为360n︒，则代入求解即可．【详解】解：正五边形的中心角为：360725︒︒=．故答案为72°．【点睛】此题考查了正多边形的中心角的知识．题目比较简单，注意熟记定义．14.如果梯形的下底长为7，中位线长为5，那么其上底长为________．【答案】3【解析】【分析】本题考查的是梯形中位线定理，掌握梯形的中位线定理是解题的关键．根据梯形的中位线定理得：下底=中位线长的2倍-上底可得答案．【详解】解：根据梯形的中位线定理得，上底2571073=⨯-=-=．故答案为：3．15.小丽在大楼窗口A 测得校园内旗杆底部C 的俯角为α度，窗口离地面高度A h =（米），那么旗杆底部与大楼的距离BC =________米（用α的三角比和h 的式子表示）【答案】tan h α【解析】【分析】根据题意可得，∠ACB=α，AB=h ，然后利用三角函数求出BC 的长度．【详解】在Rt △ABC 中，∵∠ACB=α，AB=h ，∴BC=tan AB α=tan h α．故答案为tan h α．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据俯角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解．16.如图，已知ABC 中，中线AM 、BN 相交于点G ，设= AG a ，= BG b ，那么向量BC 用向量a 、b 表示为________．【答案】2a b + ##2b a+【解析】【分析】本题考查了三角形的重心，三角形法则等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．根据重心的性质可得2AG GM =，2BC BM =，利用三角形法则求出BM ，进而可得结果．【详解】解：∵中线AM 、BN 交于点G ，∴2AG GM =，2BC BM =，∴12GM AG =，∵BM BG GM =+ ，即12BM a b =+ ，∴22BC BM a b ==+ ．故答案为：2a b + ．17.如图，点A 、C 在反比例函数1y x =-的图象上，点B 在反比例函数2y x=的图象上，且AB x ∥轴，BC y ∥轴，那么ABC 的面积等于________．【答案】94【解析】【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题关键．设点1,A a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，根据AB x ∥轴，且点B 在反比例函数2y x =的图象上，得出12,B a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，进而得到3AB a =，根据BC y ∥轴，点C 在反比例函数1y x=-的图象上，得到12,2C a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，进而得到32BC a =，最后利用三角形面积公式即可求解．【详解】解： 点A 在反比例函数1y x=-的图象上，设点1,A a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，AB x ∥Q 轴，∴点B 的纵坐标为1a， 点B 在反比例函数2y x=的图象上，12,B a a ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，()23AB a a a ∴=--=，BC y ∥ 轴，∴点C 的横坐标为2a ，点C 在反比例函数1y x =-的图象上，12,2C a a ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，11322BC a a a⎛⎫∴=--= ⎪⎝⎭，113932224ABC S AB BC a a ∴=⋅=⨯⨯= ，故答案为：9418.定义：四边形ABCD 中，点E 在边AB 上，连接DE 、EC ，如果DEC 的面积是四边形ABCD 面积的一半，且BEC 的面积是ADE V 及DCE △面积的比例中项，我们称点E 是四边形ABCD 的边AB 上的一个面积黄金分割点．已知：如图，四边形ABCD 是梯形，且AD BC ∥，BC AD >，如果点E 是它的边AB 上的一个面积黄金分割点，那么BC AD的值是________．【答案】12+【解析】【分析】设CDE S S =△，1ADE S S =△，2BEC S S = ，结合题意可得：12S S S =+，221S SS =，可得21152S S +=，如图，过E 作EK AD ∥交CD 于K ，过D 作DH BC ⊥于H ，交EK 于T ，证明EM 是ABN 的中位线，同理可得：12DK DC =，证明EK 是梯形中位线，可得DT TH =，从而可得答案．【详解】解：设CDE S S =△，1ADE S S =△，2BEC S S = ，∴结合题意可得：12S S S =+，221S SS =，∴()22112S S S S =+，∴2221210S S S S --=，()21S S >∴21152S S =，1352S S +=，如图，过E 作EK AD ∥交CD 于K ，过D 作DH BC ⊥于H ，交EK 于T ，∵AD BC ∥，∴AD EK BC ∥∥，DH EK ⊥，∴()1122DEK CEK S S S EK DT TH EK DH =+=⨯+=⨯ ，∵()122ABCD S AD BC DH S EK DH =+⨯==⨯梯形，∴2AD BC EK +=，过A 作AN CD ∥交EK 于M ，∴四边形ANCD ，AMKD ，MNCK 是平行四边形，∴AD MK NC ==，∴222AD BC BN CN EM MK +=+=+，∴2BN EM =，∵EK BC ∥，∴AEM ABN ∽，∴12AM AE EM AN AB BN ===，∴EM 是ABN 的中位线，同理可得：12DK DC =，∴EK 是梯形中位线，∴DT TH =，∴2112S BC AD S +==；故答案为：152【点睛】本题考查的是新定义的含义，三角形的中位线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，理解题意是解本题的关键．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19.1131|2272-⎛⎫++ ⎪⎝⎭．【答案】7【解析】【分析】本题考查的是负整数指数幂的运算，分母有理化，求解立方根，先分母有理化，化简绝对值，计算负整数指数幂，立方根，再合并即可．【详解】解：1131|2|272-⎛⎫-++⎪⎝⎭223=-+25=-7=；20.解不等式组：()42141223x xx x⎧--<⎪⎨-≤⎪⎩，并把解集在数轴上表示出来．【答案】31x-≤<，画图见解析【解析】【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解法，掌握解法步骤是解本题的关键，先分别解不等式组中的两个不等式，再把解集在数轴上表示，利用数轴确定解集的公共部分即可．【详解】解：()42141223x xx x⎧--<⎪⎨-≤⎪⎩①②，由①得：4224x x-+<，∴22x<，解得：1x<，由②得：334x x-≤，解得：3x≥-；在数轴上表示不等式的解集如下：∴不等式组的解集为：31x-≤<．21.如图，在ABC中，CD是边AB上的高．已知AB AC=，BC=，3tan4BAC∠=．（1）求AD 的长；（2）如果点E 是边AC 的中点，连接BE ，求cot ∠ABE 的值．【答案】（1）4=AD （2）cot 2ABE ∠=【解析】【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，掌握锐角三角函数的定义是解本题的关键；（1）由3tan 4BAC ∠=可设3CD x =，则4AD x =，则225AC AD CD x =+=，54BD x x x =-=，再利用勾股定理求解x ，从而可得答案；（2）如图，过E 作EH AB ⊥于H ，由（1）得：4=AD ，3CD =，5AB AC ==，利用等面积法求解32EH =，可得222AH AE EH =-=，可得523BH =-=，再结合余切的定义可得答案．【小问1详解】解：∵3tan 4BAC ∠=，∴34CD AD =，∴设3CD x =，则4AD x =，∴225AC AD CD x =+=，∵AB AC =，∴5AB AC x ==，∴54BD x x x =-=，∵10BC =，CD 是边AB 上的高，∴()22310x x +=，解得：1x =（负根舍去），∴44AD x ==；【小问2详解】如图，过E 作EH AB ⊥于H，∵由（1）得：4=AD ，3CD =，5AB AC ==，∴1155322ABC S =⨯⨯= ，∵E 为AC 的中点，∴11155222ABE S EH =⨯⨯=⨯ ，52AE CE ==，∴32EH =，2AH ==，∴523BH =-=，∴3cot 232BH ABE EH ∠===．22.某校六年级200名学生参加了环保知识竞赛，已知竞赛得分都是整数，满分100分．随机抽取了部分学生的竞赛成绩作为一个样本，数据整理后分成6个小组，画出竞赛成绩的频数分布直方图，如图1所示（每个小组可包括最小值，不包括最大值），同时画出竞赛成绩等第的扇形统计图，如图2所示（设竞赛成绩为a 分，060≤<a 为不合格、6080a ≤<为合格，8090a ≤<为良好，90110a ≤≤为优秀）．根据图中的信息回答下列问题：（1）估计六年级参赛学生中成绩为良好的学生有________人；请把图1补画完整、补齐图2中缺失的数据；（2）小明对统计图进行了研究，得出了如下结论：①中位数一定落在80分—90分这一组内；②众数一定落在80分—90分这一组内；③仍有不合格的学生，该校环保知识宣传需进一步加强；④从这两个统计图中能准确求出样本的平均数．上述结论中错误的是________（填序号）．（3）估计本次六年级参赛学生中荣获优秀的共有m 人．学校“环保社团”决定：这m 名学生都光荣的成为学校的小小环保“宣传员”，从中选派x 人帮助本年级参赛得分60分以下的学生普及环保知识．经计算，x 与()m x -的积恰好等于样本容量的15倍．你认为x 的值取多少比较合理，为什么？【答案】（1）45人，补全图形见解析（2）②④（3）10x =合理；【解析】【分析】（1）由总人数乘以样本优秀率即可得到答案，再求解样本容量及6070a ≤<的人数，再求解扇形图中的各百分比补全图形即可；（2）根据中位数，众数，样本平均数的含义可得答案；（3）根据x 与()m x -的积恰好等于样本容量的15倍建立方程求解x ，结合得分60分以下的学生有2005%10⨯=可得答案．【小问1详解】解：∵()6835%40+÷=，∴40289867-----=，∵92004540⨯=，六年级参赛学生中成绩为良好的学生有45人；∵良好占94022.5%÷=，∴合格占122.5%35%5%37.5%---=补全条形图如下：【小问2详解】由40个数据，第20个，第21个数据落在80分—90分这一组，故①正确；众数是出现次数最多的数据，不一定落在80分—90分这一组内，故②不正确；仍有不合格的学生，该校环保知识宣传需进一步加强；故③正确；从这两个统计图中不能准确求出样本的平均数，故④不正确；∴上述结论中错误的是②④；【小问3详解】由（1）得：20035%70m =⨯=，样本容量为40，∴()704015x x -=⨯，整理得：2706000x x -+=，解得：110x =，260x =，∵得分60分以下的学生有2005%10⨯=，∴10x =合理；【点睛】本题考查的是从扇形图与条形图中获取信息，中位数，众数的含义，样本容量的概念，一元二次方程的解法，掌握以上基础知识是解本题的关键；23.已知：如图，在菱形ABCD 中，点E 是边DC 上的任意一点（不与点D 、C 重合），AE 交对角线BD 于F ，过点E 作EG BC ∥交BD 于点G ．（1）求证：2=⋅DF FG BF ；（2）当2⋅=⋅BD DF AD DE 时，求证：AE DC ⊥．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判断，菱形的性质：（1）证明ADF EGF △∽△，得到AF DF EF FG =，证明ABF EDF ∽得到AF BF EF DF =，则可得DF BF FG DF =，即2=⋅DF FG BF ；（2）如图所示，连接AC 交BD 于O ，由菱形的性质得到2AC BD BD OD =⊥，，ADB CDB =∠，则90AOD ∠=︒，证明AD OD DF DE=，进而证明ADO FDE △∽△,即可得到90FED AOD ==︒∠∠，即AE DC ⊥．【小问1详解】证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AD BC ∥，AB CD ，∵EG BC ∥，∴AD EG ，∴ADF EGF △∽△，∴AF DF EF FG=，∵AB CD ，∴ABF EDF ∽，∴AF BF EF DF =，∴DF BF FG DF =，∴2=⋅DF FG BF ；【小问2详解】证明：如图所示，连接AC 交BD 于O ，∵四边形ABCD 是菱形，∴2AC BD BD OD =⊥，，ADB CDB ∠=∠，∴90AOD ∠=︒，∵2⋅=⋅BD DF AD DE ，∴22OD DF AD DE ⋅=⋅，∴AD OD DF DE=，又∵ADO FDE =∠∠，∴ADO FDE △∽△,∴90FED AOD ==︒∠∠，∴AE DC ⊥．24.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线2y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A 、点B ，抛物线21:C y x bx c =-++经过点A 、B 两点，顶点为点C ．（1）求b 、c 的值；（2）如果点D 在抛物线1C 的对称轴上，射线AB 平分CAD ∠，求点D 的坐标；（3）将抛物线1C 平移，使得新抛物线2C 的顶点E 在射线BA 上，抛物线2C 与y 轴交于点F ，如果BEF △是等腰三角形，求抛物线2C 的表达式．【答案】（1）1b =，2c =；（2）1,12D ⎛⎫ ⎪⎝⎭（3）()213y x =--++或()211y x =--+【解析】【分析】（1）由待定系数法即可求解；（2）证明DD H ' 为等腰直角三角形，则点D ¢在AC 上，点D ¢D ′代入AC 的解析式，即可求解；（3）分情况讨论：当BE BF =时，列出方程，即可求解；当BE EF =或BF EF =时，同理可解．【小问1详解】解：把0x =代入2y x =-+得2y =，∴点B 坐标是()0,2，把0y =代入2y x =-+，得2x =，∴点A 坐标是()2,0，将点A 、B 坐标代入2y x bx c =-++，得22022c b c =⎧⎨=-++⎩，解得12b c=⎧⎨=⎩．∴抛物线的表达式是22y x x =-++．【小问2详解】由（1）知，抛物线的表达式为22y x x =-++，则其对称轴为直线12x =，∴19,24C ⎛⎫⎪⎝⎭，作点D 关于直线AB 的对称点D ¢，DD '交AB 于点T ，∵AB 平分CAD ∠，∴由轴对称的性质可得：DT D T '=，过点D 作x 轴的平行线交AB 于点H ，连接D H '，∵()2,0A ，()0,2B ，∴45OAB ∠=︒，则45DHB ∠=︒，则DTH 为等腰直角三角形，由轴对称的性质可得：D TH ' 为等腰直角三角形，∴DD H ' 为等腰直角三角形，则点D ¢在AC 上，设点1,2D m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，当2y m x ==-+，则2x m =-，∴()2,H m m -，∴13222DH m m D H '=--=-=，∴点32,2D m ⎛⎫- ⎪⎝⎭'，设直线AC 为y ax n =+，∴201924a n a n +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得：323a n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线AC 的表达332y x =-+，将点D ¢代入上式得：()332322m =--+，解得：1m =，则点1,12D ⎛⎫⎪⎝⎭；【小问3详解】设点()(),20E m m m -+>，则抛物线的表达式为：()22y x m m =---+，当0x =时，()2222y x m m m m =---+=--+，即点()20,2F m m --+，而()0,2B ，∴2BF m m ==+，BE ==，FE ==当BE BF =时，则2m m +=，解得：0m =（舍去）或1m =-，则抛物线的表达式为：()213y x =---；当BE EF =或BF EF =时，=2m m +=，解得：1m =（不合题意的值已舍去），即抛物线的表达式为：()211y x =--+，综上，抛物线的表达式为：()211y x =--+或()213y x =--．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到点的对称性、等腰三角形的性质，一元二次方程的解法等，分类求解是解题的关键．25.已知：1O 和2O 相交于A 、B 两点，线段12O O 的延长线交2O 于点C ，CA 、CB 的延长线分别交1O 于点D 、E ．（1）连接AB 、DE ，AB 、DE 分别与连心线12O O 相交于点H 、点G ，如图1，求证：AB DE ∥；（2）如果125O O =．①如图2，当点G 与O 重合，1O 的半径为4时，求2O 的半径；②连接2AO 、BD ，BD 与连心线12O O 相交于点F ，如图3，当2∥BD AO ，且2O 的半径为2时，求1O G 的长．【答案】（1）证明见解析（2）①3；②74【解析】【分析】（1）先证明CA CB =，可得CAB CBA ∠=∠，再证明CAB D ∠=∠，可得AB DE ∥；（2）①如图，连接1AO ，2AO ，AE ，AH ，证明,,A H E 三点共线，证明211190O AH O AH O AD O AH ∠+∠=∠+∠=︒，再利用勾股定理求解即可；②如图，连接1O A ，1O D ，1O B ，证明21CAO CO A ∽，可得1AC AO ==，证明172O H CH ==，求解72AH =，证明CAH CDG ∽，再利用相似三角形的性质与勾股定理求解即可．【小问1详解】证明：∵12O O AB ⊥，AH BH =，∴CA CB =，∴CAB CBA ∠=∠，∵180CAB DAB DAB E ∠+∠=︒=∠+∠，∴CAB E ∠=∠，同理：CBA D ∠=∠，∴CAB D ∠=∠，∴AB DE ∥；【小问2详解】①如图，连接1AO ，2AO ，AE ，AH ，∵DE 为1O 的直径，∴90EAD EAC HAC ∠=︒=∠=∠，∴,,A H E 三点共线，∵AB DE ∥，1AB O C ⊥，∴1DE O C ⊥，∴211180AHO AHO D AHO ∠+∠=︒=∠+∠，∴2AHO D ∠=∠，∵11O A O D =，22O A O H =，∴1D O AD ∠=∠，22O AH O HA ∠=∠，∴12O AD O AH ∠=∠，∴211190O AH O AH O AD O AH ∠+∠=∠+∠=︒，∵14O A =，125O O =，∴23O A ==；②如图，连接1O A ，1O D ，1O B，∴2AO DF ∥，∴2CAO CDF ∠=∠，∵AB GC ⊥，21O A B O =，∴11AO H BO H ∠=∠，∵22AO B ADB ∠=∠，∴1ADB AO H ∠=∠，∴21CAO AO C ∠=∠，∵21ACO ACO ∠=∠，∴21CAO CO A ∽，∴2211CO AO CA CO CA AO ==，∵222AO CO ==，125O O =，∴CA ==，1AO =，∴1AC AO ==，而AB CG ⊥，2257CO =+=，∴172O H CH ==，∴2AH ==，∵AB DE ∥，∴CAH CDG ∽，∴AH CH DG CG=，设DG m =，1O G n =，∴77227m n=+，∴7m n =，∵在1Rt DGO 中，22211DO DG GO =+，∴222m n +=，∴227147n n ⎫+=⎪⎪⎭，整理得：2814490n n +-=，解得：74n =或72n =-（舍去），∴174O G =．【点睛】本题考查的是两圆的位置关系，勾股定理的应用，等腰三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，相似三角形的判定与性质，平行线的判定，本题难度大，作出合适的辅助线是解本题的关键．。

上海市中考数学二模试卷一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）1．﹣8的立方根是（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．2．下列属于最简二次根式的是（）A．B．C．D．3．下列方程中，有实数根的是（）A．=﹣2 B．x2+1=0 C．=1 D．x2+x+1=04．在△ABC中，DE∥BC，DE与边AB相交于点D，与边AC相交于点E．如果DE过重心G点，且DE=4，那么BC的长是（）A．5 B．6 C．7 D．85．饭店为某公司提供“白领午餐”，有12元、15元、18元三种价格的套餐可供选择，每人限购一份．本周销售套餐共计500份，其中12元的占总份数的20%，15元的卖出180份，其余均为18元的，那么所购买的盒饭费用的中位数和众数分别是（）A．15元和18元B．15元和15元C．18元和15元D．18元和18元6．如图，某水渠的横断面是等腰梯形，已知其斜坡AD和BC的坡度为1：0.6，现测得放水前的水面宽EF为1.2米，当水闸放水后，水渠内水面宽GH为2.1米．求放水后水面上升的高度是（）A．0.55 B．0.8 C．0.6 D．0.75二、填空题（共12小题，每小题4分，满分48分）7．计算：2﹣2= ．8．用科学记数法表示：3402000= ．9．化简分式：= ．10．不等式组的解集是．11．方程x+=0的解是．12．已知反比例函数y=（k≠0）图象过点（﹣1，﹣3），在每个象限内，自变量x的值逐渐增大时，y的值随着逐渐．（填“减小”或“增大”）13．文件夹里放了大小相同的试卷共12张，其中语文4张、数学2张、英语6张，随机从中抽出1张，抽出的试卷恰好是数学试卷的概率为．14．某品牌汽车经过两次连续的调价，先降价10%，后又提价10%，原价10万元的汽车，现售价万元．15．如图，在正方形ABCD中，如果AC=3，=，=，那么|﹣|= ．16．某公园正在举行郁金香花展，现从红、黄两种郁金香中，各抽出6株，测得它们离地面的高度分别如下（单位cm）：红：54、44、37、36、35、34；黄：48、35、38、36、43、40；已知它们的平均高度均是40cm，请判断哪种颜色的郁金香样本长得整齐？．（填“红”或“黄”）17．已知⊙O的直径是10，△ABC是⊙O的内接等腰三角形，且底边BC=6，求△ABC的面积是．18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC沿BD折叠，点C恰巧落在边AB上的C′处，折痕为BD，再将其沿DE折叠，使点A落在DC′的延长线上的A′处．若△BED与△ABC相似，则相似比= ．三、解答题（共7小题，满分78分）19．计算：﹣|cos45°﹣1|+（﹣2015）0+3．20．解方程组：．21．已知：如图，点E是矩形ABCD的边AD上一点，BE=AD，AE=8，现有甲乙两人同时从E点出发，分别沿EC，ED方向前进，甲的速度是乙的倍，甲到达目的地C点的同时乙恰好到达终点D处．（1）求tan∠ECD的值；（2）求线段AB及BC的长度．22．某公司的物流业务原来由A运输队承接，已知其收费标准y（元）与运输所跑路程x（公里）之间是某种函数关系．其中部分数据如表所示：x（公里）80 120 180 200 …y（元）200 300 450 500 …（1）写出y（元）关于x（公里）的函数解析式；（不需写出定义域）（2）由于行业竞争激烈，现B运输队表示：若公司每次支付200元的汽车租赁费，则可按每公里0.9元收费．请写出B运输队每次收费y（元）关于所跑路程x（公里）的函数解析式；（不需写出定义域）（3）如果该公司有一笔路程500公里的运输业务，请通过计算说明应该选择哪家运输队？23．已知：如图（1），在平行四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且AE=AF，∠AEC=∠AFC．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）如图（2），若AD=AF，延长AE、DC交于点G，求证：AF2=AG•DF；（3）在第（2）小题的条件下，连接BD，交AG于点H，若HE=4，EG=12，求AH的长．24．已知如图，二次函数图象经过点A（﹣6，0），B（0，6），对称轴为直线x=﹣2，顶点为点C，点B关于直线x=﹣2的对称点为点D．（1）求二次函数的解析式以及点C和点D的坐标；（2）联结AB、BC、CD、DA，点E在线段AB上，联结DE，若DE平分四边形ABCD的面积，求线段AE的长；（3）在二次函数的图象上是否存在点P，能够使∠PCA=∠BAC？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．25．已知：如图1，在△ABC中，已知AB=AC=6，BC=4，以点B为圆心所作的⊙B与线段AB、BC 都有交点，设⊙B的半径为x．（1）若⊙B与AB的交点为D，直线CD与⊙B相切，求x的值；（2）如图2，以AC为直径作⊙P，那么⊙B与⊙P存在哪些位置关系？并求出相应x的取值范围；（3）若以AC为直径的⊙P与⊙B的交点E在线段BC上（点E不与C点重合），求两圆公共弦EF的长．上海市中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）1．﹣8的立方根是（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．【考点】立方根．【分析】利用立方根的定义即可求解．【解答】解：∵（﹣2）3=﹣8，∴﹣8的立方根是﹣2．故选B【点评】本题主要考查了平方根和立方根的概念．如果一个数x的立方等于a，即x的三次方等于a（x3=a），那么这个数x就叫做a的立方根，也叫做三次方根．读作“三次根号a”其中，a叫做被开方数，3叫做根指数．2．下列属于最简二次根式的是（）A．B．C．D．【考点】最简二次根式．【分析】判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察．【解答】解：A、，无法化简，故是最简二次根式，故本选项正确；B、，被开方数中含有分母；故本选项错误；C、，被开方数中含有分母，故本选项错误；D、所以本二次根式的被开方数中含有没开的尽方的数；故本选项错误；故选：A．【点评】本题考查了最简二次根式的定义．在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式．3．下列方程中，有实数根的是（）A．=﹣2 B．x2+1=0 C．=1 D．x2+x+1=0【考点】根的判别式；无理方程；分式方程的解．【专题】计算题．【分析】根据二次很式的性质可对A进行判断；根据判别式的意义对B、D进行判断；通过解分式方程对C进行判断．【解答】解：A、方程=﹣2没有实数解，所以A选项错误；B、△=0﹣4＜0，方程没有实数解，所以B选项错误；C、去分母得1=x+1，解得x=0，经检验x=0是原方程的解，所以C选项正确；D、△=14＜0，方程没有实数解，所以D选项错误．故选C．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了分式方程和无理方程．4．在△ABC中，DE∥BC，DE与边AB相交于点D，与边AC相交于点E．如果DE过重心G点，且DE=4，那么BC的长是（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】三角形的重心．【专题】计算题．【分析】如图，连结AG并延长交BC于F，根据三角形重心性质得=2，再证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质得=，然后利用比例的性质计算BC的长．【解答】解：如图，连结AG并延长交BC于F，如图，∵点G为△ABC的重心，∴=2，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴=，即=，∴BC=6．故选B．【点评】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．也考查了相似三角形的判定与性质．5．饭店为某公司提供“白领午餐”，有12元、15元、18元三种价格的套餐可供选择，每人限购一份．本周销售套餐共计500份，其中12元的占总份数的20%，15元的卖出180份，其余均为18元的，那么所购买的盒饭费用的中位数和众数分别是（）A．15元和18元B．15元和15元C．18元和15元D．18元和18元【考点】众数；中位数．【分析】根据题意先计算出本周销售套餐12元和18元的份数，再根据中位数和众数的定义即可得出答案．【解答】解：12元的份数有500×20%=100（份），18元的份数有500﹣100﹣180=220（份），∵本周销售套餐共计500份，∴所购买的盒饭费用的中位数是第250和251个数的平均数，∴中位数是15元；18元出现的次数最多，则众数是18元；故选A．【点评】此题考查了众数与中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．6．如图，某水渠的横断面是等腰梯形，已知其斜坡AD和BC的坡度为1：0.6，现测得放水前的水面宽EF为1.2米，当水闸放水后，水渠内水面宽GH为2.1米．求放水后水面上升的高度是（）A．0.55 B．0.8 C．0.6 D．0.75【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】先过点E作EM⊥GH于点M，根据水渠的横断面是等腰梯形，求出GM，再根据斜坡AD 的坡度为1：0.6，得出EM：GM=1：0.6，最后代入计算即可．【解答】解：如图；过点E作EM⊥GH于点M，∵水渠的横断面是等腰梯形，∴GM=×（GH﹣EF）=×（2.1﹣1.2）=0.45，∵斜坡AD的坡度为1：0.6，∴EM：GM=1：0.6，∴EM：0.45=1：0.6，∴EM=0.75，故选：D．【点评】此题考查了解直角三角形的应用，用到的知识点是坡度、等腰三角形的性质，关键是根据题意画出图形，作出辅助线，构造直角三角形．二、填空题（共12小题，每小题4分，满分48分）7．计算：2﹣2= ．【考点】负整数指数幂．【专题】计算题．【分析】根据负整数指数幂的定义求解：a﹣p=（a≠0，p为正整数）【解答】解：2﹣2==，故答案为．【点评】本题考查了负整数指数幂的定义，解题时牢记定义是关键，此题比较简单，易于掌握．8．用科学记数法表示：3402000= 3.402×106．【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】确定a×10n（1≤|a|＜10，n为整数）中n的值是易错点，由于3402000有7位，所以可以确定n=7﹣1=6．【解答】解：3402000=3.402×106．故答案为：3.402×106．【点评】此题考查科学记数法，用科学记数法表示一个数的方法是（1）确定a：a是只有一位整数的数；（2）确定n：当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1时，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数（含整数位数上的零）．9．化简分式：= ．【考点】约分．【专题】计算题．【分析】先把分母因式分解，然后进行约分即可．【解答】解：原式==．故答案为．【点评】本题考查了约分：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．10．不等式组的解集是x≥3 ．【考点】解一元一次不等式组．【分析】根据不等式的性质求出不等式①和②的解集，根据找不等式组的解集的规律找出不等式组的解集即可．【解答】解：由①得：x＞﹣2，由②得：x≥3，∴不等式组的解集是x≥3．故答案为x≥3．【点评】本题主要考查对不等式的性质，解一元一次不等式，解一元一次不等式组等知识点的理解和掌握，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键．11．方程x+=0的解是0 ．【考点】无理方程．【分析】本题含根号，计算比较不便，因此可先对方程两边平方，得到x=x2，再对方程进行因式分解即可解出本题．【解答】解：原方程变形为：x=x2即x2﹣x=0∴（x﹣1）x=0∴x=0或x=1∵x=1时不满足题意．∴x=0．故答案为：0．【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的提点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法和平方法．12．已知反比例函数y=（k≠0）图象过点（﹣1，﹣3），在每个象限内，自变量x的值逐渐增大时，y的值随着逐渐减小．（填“减小”或“增大”）【考点】反比例函数的性质．【分析】首先利用待定系数法确定反比例函数的比例系数，然后根据其符号确定其增减性即可．【解答】解：设反比例函数的解析式为y=（k≠0），∵反比例函数图象过点（﹣1，﹣3），∴把（﹣1，﹣3）代入得3=k＞0，根据反比例函数图象的性质可知它在每个象限内y随x的增大而减小，故答案为：减小；【点评】考查了反比例函数的性质，解答此题的关键是要熟知反比例函数图象的性质及用待定系数法求反比例函数的解析式．反比例函数图象的性质：（1）当k＞0时，反比例函数的图象位于一、三象限；（2）当k＜0时，反比例函数的图象位于二、四象限．13．文件夹里放了大小相同的试卷共12张，其中语文4张、数学2张、英语6张，随机从中抽出1张，抽出的试卷恰好是数学试卷的概率为．【考点】概率公式．【分析】由文件夹里放了大小相同的试卷共12张，其中语文4张、数学2张、英语6张，直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：∵文件夹里放了大小相同的试卷共12张，其中语文4张、数学2张、英语6张，∴随机从中抽出1张，抽出的试卷恰好是数学试卷的概率为：=．故答案为：．【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14．某品牌汽车经过两次连续的调价，先降价10%，后又提价10%，原价10万元的汽车，现售价9.9 万元．【考点】有理数的混合运算．【专题】计算题．【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果．【解答】解：根据题意得：10×（1﹣10%）×（1+10%）=9.9（万元），则现售价为9.9万元．故答案为：9.9．【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．15．如图，在正方形ABCD中，如果AC=3，=，=，那么|﹣|= 3 ．【考点】*平面向量．【分析】首先由在正方形ABCD中，如果AC=3，可求得BC的长，又由=，=，可得|﹣|=||=BC．【解答】解：∵在正方形ABCD中，AC=3，∴AB=BC=3，∵=，=，∴﹣=﹣=，∴|﹣|=||=BC=3．故答案为：3．【点评】此题考查了平面向量的知识．注意掌握三角形法则的应用．16．某公园正在举行郁金香花展，现从红、黄两种郁金香中，各抽出6株，测得它们离地面的高度分别如下（单位cm）：红：54、44、37、36、35、34；黄：48、35、38、36、43、40；已知它们的平均高度均是40cm，请判断哪种颜色的郁金香样本长得整齐？黄．（填“红”或“黄”）【考点】方差．【分析】先根据方差公式S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]分别求出红颜色和黄颜色的方差，然后进行比较，即可得出答案．【解答】解：红颜色的郁金香的方差是：[（54﹣40）2+（44﹣40）2+（37﹣40）2+（36﹣40）2+（35﹣40）2+（34﹣40）2]≈49.67，黄颜色的郁金香的方差是：[（48﹣40）2+（35﹣40）2+（38﹣40）2+（36﹣40）2+（43﹣40）2+（40﹣40）2]≈29.67，＞S2黄，∵S2红∴黄颜色的郁金香样本长得整齐；故答案为：黄．【点评】本题考查方差的定义与意义：一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为，则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．17．已知⊙O的直径是10，△ABC是⊙O的内接等腰三角形，且底边BC=6，求△ABC的面积是3或27 ．【考点】垂径定理；等腰三角形的性质；勾股定理．【分析】从圆心在三角形内部和外部两种情况讨论，根据垂径定理和三角形的性质求出答案．【解答】解：当圆心在三角形内部时，0B=5，BD=3，根据勾股定理，OD=4，则AD=9，S△=×6×9=27，ABC当圆心在三角形外部时，0B=5，BD=3，根据勾股定理，OD=4，则AD=1，=×6×1=3，S△ABC故答案为：3或27．【点评】本题考查的是垂径定理、等腰三角形的性质和勾股定理，正确运用定理和性质是解题的关键，注意分情况讨论思想的运用．18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC沿BD折叠，点C恰巧落在边AB上的C′处，折痕为BD，再将其沿DE折叠，使点A落在DC′的延长线上的A′处．若△BED与△ABC相似，则相似比= ．【考点】相似三角形的性质；翻折变换（折叠问题）．【分析】根据△BED与△ABC相似和△ABC沿BD折叠，点C恰巧落在边AB上的C′处，求出∠A=∠DBA=∠DBC=30°，利用三角函数求出BD、AC的长，得到答案．【解答】解：△BED与△ABC相似，∴∠DBA=∠A，又∠DBA=∠DBC，∴∠A=∠DBA=∠DBC=30°，设BC为x，则AC=x，BD=x，=．故答案为：．【点评】本题考查的是相似三角形的性质和翻折变换的知识，掌握相似三角形的对应角相等和锐角三角函数的应用是解题的关键．三、解答题（共7小题，满分78分）19．计算：﹣|cos45°﹣1|+（﹣2015）0+3．【考点】二次根式的混合运算；分数指数幂；零指数幂；特殊角的三角函数值．【专题】计算题．【分析】根据零指数幂、分数指数幂和特殊角的三角函数值得到原式=﹣|﹣1|+1+，然后分母有理化和去绝对值后合并即可．【解答】解：原式=﹣|﹣1|+1+=2﹣+﹣1+1+=2+．【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂和分数指数幂．20．解方程组：．【考点】高次方程．【分析】把①化为x=±2y，把②化为x+y=±2，重新组成方程组，解二元一次方程组即可．【解答】解：，由①得，x=±2y，由②得，x+y=±2，则，，，解得，，，，．【点评】本题考查的是二元二次方程组的解法，把二元二次方程根据平方差公式和完全平方公式进行变形化为两个二元一次方程是解题的关键．21．已知：如图，点E是矩形ABCD的边AD上一点，BE=AD，AE=8，现有甲乙两人同时从E点出发，分别沿EC，ED方向前进，甲的速度是乙的倍，甲到达目的地C点的同时乙恰好到达终点D处．（1）求tan∠ECD的值；（2）求线段AB及BC的长度．【考点】勾股定理．【分析】（1）设ED=a，则EC=a，在Rt△EDC中根据勾股定理用a表示出DC的长，在Rt△ABE 中，根据BE2=AB2+AE2求出a的值，故可得出ED及CD的长，由锐角三角函数的定义即可得出结论；（2）由（1）中，DE=a，CD=3a，a=2可得出DE=2，CD=6，再根据四边形ABCD是矩形，BE=AD 即可得出结论．【解答】解：（1）设ED=a，则EC=a，在Rt△EDC中，∵DC===3a，∴BE=AE+ED=8+a．在Rt△ABE中，∵BE2=AB2+AE2，即（8+a）2=（3a）2+82，解得a=2，∴ED=2，CD=6，∴tan∠ECD===．（2）∵由（1）知，DE=a，CD=3a，a=2，∴DE=2，CD=6．∵四边形ABCD是矩形，BE=AD，AE=8，∴AB=CD=6，BC=AD=AE+DE=8+2=10．【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．22．某公司的物流业务原来由A运输队承接，已知其收费标准y（元）与运输所跑路程x（公里）之间是某种函数关系．其中部分数据如表所示：x（公里）80 120 180 200 …y（元）200 300 450 500 …（1）写出y（元）关于x（公里）的函数解析式y A=2.5x ；（不需写出定义域）（2）由于行业竞争激烈，现B运输队表示：若公司每次支付200元的汽车租赁费，则可按每公里0.9元收费．请写出B运输队每次收费y（元）关于所跑路程x（公里）的函数解析式y B=200+0.9x ；（不需写出定义域）（3）如果该公司有一笔路程500公里的运输业务，请通过计算说明应该选择哪家运输队？【考点】一次函数的应用．【分析】（1）根据表可知：当运输路程跑80公里时，收费200元，所以每公里收费为2.5元，所以y A=2.5x．（2）根据题意得：y B=200+0.9x．（3）当x=500时，y A=2.5×500=1250，y B=2000+0.9×500=2450，因为y A＞y B，所以选择B运输队．【解答】解：（1）根据表可知：当运输路程跑80公里时，收费200元，∴每公里收费为2.5元，=2.5x．∴yA故答案为：y A=2.5x．（2）根据题意得：y B=200+0.9x．故答案为：y B=200+0.9x．（3）当x=500时，y A=2.5×500=1250，y B=200+0.9×500=650，＞y B，∴yA∴选择B运输队．【点评】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是读懂题意，列出函数解析式．23．已知：如图（1），在平行四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且AE=AF，∠AEC=∠AFC．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）如图（2），若AD=AF，延长AE、DC交于点G，求证：AF2=AG•DF；（3）在第（2）小题的条件下，连接BD，交AG于点H，若HE=4，EG=12，求AH的长．【考点】相似形综合题．【分析】（1）通过AAS证得△AEB≌△AFD，则其对应边相等：AB=AD，所以“邻边相等的平行四边形是菱形”；（2）欲证明AF2=AG•DF，需要通过相似三角形△GAD∽△AFD的对应边成比例得到AD=AF，则AF2=AG•DF；（3）根据菱形的性质和平行线分线段成比例得到：AH：HG=BH：HD，BH：HD=EH：AH，故AH：HG=EH：AH．把相关线段的长度代入来求AH的长度即可．【解答】（1）证明：如图1，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D．∵∠AEC=∠AFC，∠AEC+∠AEB=∠AFC+∠AFD=180°，∴∠AEB=∠AFD．在△AEB和△AFD中，，∴△AEB≌△AFD（AAS）∴AB=AD，∴平行四边形ABCD是菱形；（2）由（1）知，△AEB≌△AFD，则∠BAE=∠DAF．如图2，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DG，∴∠BAE=∠G，∴∠G=∠DAF．又∵∠ADF=∠GDA，∴△GAD∽△AFD，∴DA：DF=DG：DA，∴DA2=DG•DF．∵DG：DA=AG：FA，且AD=AF，∴DG=AG．又∵AD=AF，∴AF2=AG•DF；（3）如图2，在菱形ABCD中，∵AB∥DC，AD∥BC，∴AH：HG=BH：HD，BH：HD=EH：AH，∴AH：HG=EH：AH．∵HE=4，EG=12，∴AH：16=4：AH，∴AH=8．【点评】本题考查了相似综合题．此题综合性比较强，其中涉及到了菱形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，解题时，需要弄清楚相似三角形的对应边与对应角，以防弄错．24．已知如图，二次函数图象经过点A（﹣6，0），B（0，6），对称轴为直线x=﹣2，顶点为点C，点B关于直线x=﹣2的对称点为点D．（1）求二次函数的解析式以及点C和点D的坐标；（2）联结AB、BC、CD、DA，点E在线段AB上，联结DE，若DE平分四边形ABCD的面积，求线段AE的长；（3）在二次函数的图象上是否存在点P，能够使∠PCA=∠BAC？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】综合题；二次函数图象及其性质；二次函数的应用．【分析】（1）由二次函数对称轴为直线x=2，根据A坐标确定出二次函数与x轴的另一个交点坐标，设出二次函数解析式为y=a（x+6）（x﹣2），把C坐标代入求出a的值，确定出二次函数解析式，进而确定出C与D坐标即可；（2）连接AB、BC、CD、DA，点E在线段AB上，连接DE，如图1所示，利用勾股定理求出AB，BC，CD与BD的长，根据直线CD与直线AB斜率相等，得到DC与AB平行，继而得到四边形ABCD 为直角梯形，若DE平分四边形ABCD的面积，可得直角梯形面积等于三角形ADE面积的2倍，求出AE的长即可；（3）在二次函数的图象上存在点P，能够使∠PCA=∠BAC，如图2所示，直线CP与AB交于点G，可得GA=GC，根据直线AB解析式设出G坐标（x，x+6），利用两点间的距离公式求出x的值，确定出G坐标，利用待定系数法求出直线CG解析式，与二次函数解析式联立求出P坐标；由（2）得到四边形ABCD为直角梯形，即DC与AB平行，利用两直线平行内错角相等，得到P 与D重合时，满足题意，确定出此时P的坐标即可．【解答】解：（1）∵二次函数经过A（﹣6，0），B（0，6），对称轴为直线x=2，∴二次函数图象经过（2，0），设二次函数解析式为y=a（x+6）（x﹣2），把B（0，6）代入得：6=﹣12a，即a=﹣，∴二次函数解析式为y=﹣（x+6）（x﹣2）=﹣x2﹣2x+6=﹣（x+2）2+8，则C（﹣2，8），D（﹣4，6）；（2）如图1所示，由题意得：AB=6，BC=CD=2，BD=4，∵BD2=CD2+BC2，∴∠DCB=90°，∵直线AB的解析式为y=x+6，直线DC解析式为y=x+10，∴DC∥AB，∴四边形ABCD为直角梯形，，即×2×（2+6）=2××2×AE，若S梯形ABCD=2S△ADE解得：AE=4；（3）如图2，在二次函数的图象上存在点P，使∠PCA=∠BAC，直线CP与AB交于点G，可得GA=GC，∵A（﹣6，0），C（﹣2，8），直线AB解析式为y=x+6，设G（x，x+6），∴=，解得：x=﹣，经检验是原方程的根且符合题意，∴G（﹣，），设直线CG解析式为y=kx+b，把C与G坐标代入得：，解得：，∴直线CG解析式为y=7x+22，联立得：，解得：或（经检验不合题意，舍去），∴P坐标为（﹣16，﹣90）；由（2）得到四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，∴∠DCA=∠BAC，此时P与D重合，即P（﹣4，6），综上，满足题意P的坐标为（﹣16，﹣90）或（﹣4，6）．【点评】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定二次函数解析式，待定系数法确定一次函数解析式，直角梯形的判定，直线与二次函数的交点，坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．25．已知：如图1，在△ABC中，已知AB=AC=6，BC=4，以点B为圆心所作的⊙B与线段AB、BC 都有交点，设⊙B的半径为x．（1）若⊙B与AB的交点为D，直线CD与⊙B相切，求x的值；（2）如图2，以AC为直径作⊙P，那么⊙B与⊙P存在哪些位置关系？并求出相应x的取值范围；（3）若以AC为直径的⊙P与⊙B的交点E在线段BC上（点E不与C点重合），求两圆公共弦EF的长．【考点】圆的综合题．【分析】（1）作AH⊥BC于点H，根据直线CD与⊙B相切，得到CD⊥AB，从而得到cos∠DBC=cos∠ACH，利用余弦的定义得到BD：BC=CH：CA，从而得到BD：4=2：6，求得BD 的长即可求得圆的半径；（2）作PK⊥BC于点K，求得两圆的圆心距，然后根据两圆的半径和圆心距的大小关系得到位置关系即可；（3）设EF与PB交于点G，BG=m，在△PBE中，PE2﹣PG2=BE2﹣BG2求得m的值，然后根据EG2﹣BG2=BE2求得EG的长即可求得EF的长．【解答】解：（1）如图1，作AH⊥BC于点H，∵AB=AC=6，BC=4，∴BH=2．∵直线CD与⊙B相切，∴CD⊥AB，∵∠DBC=∠ACH，∴cos∠DBC=cos∠ACH，∴BD：BC=CH：CA，∴BD：4=2：6，∴BD=．（2）如图1，作PK⊥BC于点K，∴PK∥AH．∵AH⊥BC，AB=AC=6，BC=4，∴BH=2，∴AH=4．∵以AC为直径作⊙P，∴AP=PC，∴PK=2，CK=BC=1，∴BK=3，∴在Rt△PBK中，PB===，∴当0＜x＜﹣3时，⊙B与⊙P外离，当x=﹣3时，⊙B与⊙P外切，当﹣3＜x≤4时，⊙B与⊙P相交；（3）如图2，点E即为BC边的中点H，∴PE=3．设EF与PB交于点G，BG=m，∴在△PBE中，PE2﹣PG2=BE2﹣BG2，∴32﹣（﹣m）2=22﹣m2，∴m=．∵EG2﹣BG2=BE2，∴EG2﹣（）2=22，∴EG=，∴EF=．【点评】本题考查了圆的综合知识，题目中还涉及到了勾股定理、两圆的位置关系等知识，知识点较多，难度较大，特别是最后一题中两次运用勾股定理求得EG的长更是解决本题的关键．。

中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图1，在△ABC中，AB=BC，AC=m，D，E分别是AB，BC边的中点，点P为AC边上的一个动点，连接PD，PB，PE.设AP=x，图1中某条线段长为y，若表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是（）A．PD B．PB C．PE D．PC【答案】C【解析】观察可得，点P在线段AC上由A到C的运动中，线段PE逐渐变短，当EP⊥AC时，PE最短，过垂直这个点后，PE又逐渐变长，当AP=m时，点P停止运动，符合图像的只有线段PE，故选C.点睛：本题考查了动点问题的函数图象，对于此类问题来说是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．2．如图，在▱ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AD、BC于点E、F，连接CE，若△CED的周长为6，则▱ABCD的周长为（）A．6 B．12 C．18 D．24【答案】B【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC=AB，AD=BC，∵AC的垂直平分线交AD于点E，∴AE=CE，∴△CDE的周长=DE+CE+DC=DE+AE+DC=AD+DC=6，∴▱ABCD的周长=2×6=12，故选B．3．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图,图象过点（-1,0），对称轴为直线x=2,下列结论:①4a+b=0;②9a+c＞3b;③8a+7b+2c＞0;④当x＞-1时,y的值随x值的增大而增大.其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】根据抛物线的对称轴即可判定①；观察图象可得，当x=-3时，y＜0，由此即可判定②；观察图象可得，当x=1时，y＞0，由此即可判定③；观察图象可得，当x＞2时，的值随值的增大而增大，即可判定④.【详解】由抛物线的对称轴为x=2可得=2，即4a+b=0，①正确；观察图象可得，当x=-3时，y＜0，即9a-3b+c＜0，所以，②错误；观察图象可得，当x=1时，y＞0，即a+b+c＞0，③正确；观察图象可得，当x＞2时，的值随值的增大而增大，④错误．综上，正确的结论有2个.故选B.【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac ＜0时，抛物线与x轴没有交点．4．如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为点E,DE=1,则BC=()A3B．2 C．3 D3【答案】C【解析】试题分析：根据角平分线的性质可得CD=DE=1，根据Rt△ADE可得AD=2DE=2，根据题意可得△ADB 为等腰三角形，则DE为AB的中垂线，则BD=AD=2，则BC=CD+BD=1+2=1．考点：角平分线的性质和中垂线的性质．5．某公司第4月份投入1000万元科研经费,计划6月份投入科研经费比4月多500万元.设该公司第5、6个月投放科研经费的月平均增长率为x,则所列方程正确的为( )A．1000(1+x)2=1000+500B．1000(1+x)2=500C．500(1+x)2=1000D．1000(1+2x)=1000+500【答案】A【解析】设该公司第5、6个月投放科研经费的月平均增长率为x，5月份投放科研经费为1000（1+x），6月份投放科研经费为1000（1+x）（1+x），即可得答案.【详解】设该公司第5、6个月投放科研经费的月平均增长率为x，则6月份投放科研经费1000（1+x）2=1000+500，故选A.【点睛】考查一元二次方程的应用，求平均变化率的方法为：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．6．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，其对称轴为x＝1，下列结论：①abc＞0；②2a＋b＝0；③4a ＋2b＋c＜0；④若(－，y1)，(，y2)是抛物线上两点，则y1＜y2，其中结论正确的是( )A．①②B．②③C．②④D．①③④【答案】C【解析】试题分析：根据题意可得：a0，b0，c0，则abc0，则①错误；根据对称轴为x=1可得：=1，则-b=2a，即2a+b=0，则②正确；根据函数的轴对称可得：当x=2时，y0，即4a+2b+c0，则③错误；对于开口向下的函数，离对称轴越近则函数值越大，则，则④正确.点睛：本题主要考查的就是二次函数的性质，属于中等题.如果开口向上，则a0，如果开口向下，则a0；如果对称轴在y轴左边，则b的符号与a相同，如果对称轴在y轴右边，则b的符号与a相反；如果题目中出现2a+b和2a-b的时候，我们要看对称轴与1或者-1的大小关系再进行判定；如果出现a+b+c，则看x=1时y 的值；如果出现a-b+c ，则看x=-1时y 的值；如果出现4a+2b+c ，则看x=2时y 的值，以此类推；对于开口向上的函数，离对称轴越远则函数值越大，对于开口向下的函数，离对称轴越近则函数值越大. 7．将抛物线23y x =向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（ ） A ．23(2)3y x =++ B ．23(2)3y x =-+ C ．23(2)3y x =+- D ．23(2)3y x =--【答案】A【解析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【详解】将抛物线23y x =向上平移3个单位，再向左平移2个单位，根据抛物线的平移规律可得新抛物线的解析式为23(2)3y x =++，故答案选A ．8．某商品的标价为200元，8折销售仍赚40元，则商品进价为（ ）元．A ．140B ．120C ．160D ．100 【答案】B【解析】设商品进价为x 元，则售价为每件0.8×200元，由利润=售价-进价建立方程求出其解即可．【详解】解：设商品的进价为x 元，售价为每件0.8×200元，由题意得0.8×200=x+40解得：x=120答：商品进价为120元．故选：B ．【点睛】此题考查一元一次方程的实际运用，掌握销售问题的数量关系利润=售价-进价，建立方程是关键． 9．在围棋盒中有x 颗白色棋子和y 颗黑色棋子，从盒中随机取出一颗棋子，取得白色棋子的概率是25，如再往盒中放进3颗黑色棋子，取得白色棋子的概率变为14，则原来盒里有白色棋子（ ） A ．1颗B ．2颗C ．3颗D ．4颗【答案】B 【解析】试题解析：由题意得25134x x y x x y ⎧⎪+⎪⎨⎪⎪++⎩＝＝， 解得：23x y ⎧⎨⎩＝＝． 故选B ．10．下列各式中，互为相反数的是（ ）A ．2(3)-和23-B ．2(3)-和23C ．3(2)-和32-D ．3|2|-和32-【答案】A【解析】根据乘方的法则进行计算，然后根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．【详解】解：A. 2(3)-=9，23-=-9，故2(3)-和23-互为相反数，故正确；B. 2(3)-=9，23=9，故2(3)-和23不是互为相反数，故错误；C. 3(2)-=-8，32-=-8，故3(2)-和32-不是互为相反数，故错误；D. 3|2|-=8，32-=8故3|2|-和32-不是互为相反数，故错误.故选A.【点睛】本题考查了有理数的乘方和相反数的定义，关键是掌握有理数乘方的运算法则．二、填空题（本题包括8个小题）11．一元二次方程()21210k x x ---=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是________． 【答案】2k <且1k ≠【解析】根据一元二次方程的根与判别式△的关系，结合一元二次方程的定义解答即可.【详解】由题意可得，1−k≠0，△＝4+4(1−k)＞0，∴k ＜2且k≠1.故答案为k ＜2且k≠1.【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式的应用，解题中要注意不要漏掉对二次项系数1-k≠0的考虑． 12．如图，点A ，B 在反比例函数k y x=（k ＞0）的图象上，AC ⊥x 轴，BD ⊥x 轴，垂足C ，D 分别在x 轴的正、负半轴上，CD=k ，已知AB=2AC ，E 是AB 的中点，且△BCE 的面积是△ADE 的面积的2倍，则k 的值是______．【答案】【解析】试题解析：过点B 作直线AC 的垂线交直线AC 于点F ，如图所示．∵△BCE 的面积是△ADE 的面积的2倍，E 是AB 的中点，∴S △ABC =2S △BCE ，S △ABD =2S △ADE ，∴S △ABC =2S △ABD ，且△ABC 和△ABD 的高均为BF ，∴AC=2BD ，∴OD=2OC ．∵CD=k ，∴点A 的坐标为（3k ，3），点B 的坐标为（-23k ，-32）， ∴AC=3，BD=32， ∴AB=2AC=6，AF=AC+BD=92， ∴22229376()22AB AF -=-=． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、三角形的面积公式以及勾股定理．构造直角三角形利用勾股定理巧妙得出k 值是解题的关键.13．若a+b ＝3，ab ＝2，则a 2+b 2＝_____．【答案】1【解析】根据a 2+b 2=（a+b ）2-2ab ，代入计算即可．【详解】∵a+b ＝3，ab ＝2，∴a 2+b 2＝（a+b ）2﹣2ab ＝9﹣4＝1．故答案为：1．【点睛】本题考查对完全平方公式的变形应用能力，要熟记有关完全平方的几个变形公式．14．如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m 的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点.此时，竹竿与这一点距离相距6m ，与树相距15m ，则树的高度为_________m.【答案】7【解析】设树的高度为x m ，由相似可得6157262x +==，解得7x =，所以树的高度为7m 15．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是：有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地．求此人第六天走的路程为多少里．设此人第六天走的路程为x 里，依题意，可列方程为________．【答案】2481632378x x x x x x +++++=;【解析】设第一天走了x 里,则第二天走了2x 里,第三天走了4x 里…第六天走了32x 里,根据总路程为378里列出方程可得答案.【详解】解：设第一天走了x 里, 则第二天走了2x 里,第三天走了4x 里…第六天走了32x 里, 依题意得:3782481632x x x x x x +++++=， 故答案：3782481632x x x x x x +++++=. 【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次方程.16．如图，正方形ABCD 边长为3，连接AC ，AE 平分∠CAD ，交BC 的延长线于点E ，FA ⊥AE ，交CB 延长线于点F ，则EF 的长为__________．【答案】6【解析】利用正方形的性质和勾股定理可得AC 的长，由角平分线的性质和平行线的性质可得∠CAE=∠E ，易得CE=CA ，由FA ⊥AE ，可得∠FAC=∠F ，易得CF=AC ，可得EF 的长．【详解】解：∵四边形ABCD 为正方形，且边长为3，∴2∵AE平分∠CAD，∴∠CAE=∠DAE，∵AD∥CE，∴∠DAE=∠E，∴∠CAE=∠E，∴CE=CA=32，∵FA⊥AE，∴∠FAC+∠CAE=90°，∠F+∠E=90°，∴∠FAC=∠F，∴CF=AC=32，∴EF=CF+CE=32+32=6217．如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠DBC=15°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠A的度数是．【答案】50°．【解析】根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AD=BD，根据等边对等角可得∠A=∠ABD，然后表示出∠ABC，再根据等腰三角形两底角相等可得∠C=∠ABC，然后根据三角形的内角和定理列出方程求解即可：【详解】∵MN是AB的垂直平分线，∴AD="BD." ∴∠A=∠ABD.∵∠DBC=15°，∴∠ABC=∠A+15°.∵AB=AC，∴∠C=∠ABC=∠A+15°.∴∠A+∠A+15°+∠A+15°=180°，解得∠A=50°．故答案为50°．18．|-3|=_________；【答案】1【解析】分析：根据负数的绝对值等于这个数的相反数，即可得出答案．解答：解：|-1|=1．故答案为1．三、解答题（本题包括8个小题）19．已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是；以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是；△A2B2C2的面积是平方单位．【答案】（1）（2，﹣2）；（2）（1，0）；（3）1．【解析】试题分析：（1）根据平移的性质得出平移后的图从而得到点的坐标；（2）根据位似图形的性质得出对应点位置，从而得到点的坐标；（3）利用等腰直角三角形的性质得出△A2B2C2的面积．试题解析：（1）如图所示：C1（2，﹣2）；故答案为（2，﹣2）；（2）如图所示：C2（1，0）；故答案为（1，0）；（3）∵=20，=20，=40，∴△A2B2C2是等腰直角三角形，∴△A2B2C2的面积是：××=1平方单位．故答案为1．考点：1、平移变换；2、位似变换；3、勾股定理的逆定理20．为改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种1000棵树．由于青年志愿者的支援，每天比原计划多种25%，结果提前5天完成任务，原计划每天种多少棵树？【答案】原计划每天种树40棵．【解析】设原计划每天种树x 棵，实际每天植树（1+25%）x 棵，根据实际完成的天数比计划少5天为等量关系建立方程求出其解即可．【详解】设原计划每天种树x 棵,实际每天植树(1+25%)x 棵，由题意，得 1000x −1000+%x（125）=5， 解得：x=40，经检验，x=40是原方程的解.答：原计划每天种树40棵.21．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC 5=，tanB 12=，半径为2的⊙C 分别交AC ，BC 于点D 、E ，得到DE 弧．求证：AB 为⊙C 的切线．求图中阴影部分的面积．【答案】 (1)证明见解析；(2)1-π.【解析】（1）解直角三角形求出BC ，根据勾股定理求出AB ，根据三角形面积公式求出CF ，根据切线的判定得出即可；（2）分别求出△ACB 的面积和扇形DCE 的面积，即可得出答案．【详解】（1）过C 作CF ⊥AB 于F ．∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC 5=tanB 12AC BC ==，∴BC ＝5AB 22AC BC =+=1．∵△ACB 的面积S 1122AB CF AC BC =⨯⨯=⨯⨯，∴CF 5255⨯==2，∴CF 为⊙C 的半径． ∵CF ⊥AB ，∴AB 为⊙C 的切线；（2）图中阴影部分的面积＝S △ACB ﹣S 扇形DCE 219025252360π⨯=⨯⨯-=1﹣π． 【点睛】本题考查了勾股定理，扇形的面积，解直角三角形，切线的性质和判定等知识点，能求出CF 的长是解答此题的关键．22．某景区在同一线路上顺次有三个景点A ，B ，C ，甲、乙两名游客从景点A 出发，甲步行到景点C ；乙花20分钟时间排队后乘观光车先到景点B ，在B 处停留一段时间后，再步行到景点C ．甲、乙两人离景点A 的路程s （米）关于时间t （分钟）的函数图象如图所示．甲的速度是______米/分钟；当20≤t≤30时，求乙离景点A 的路程s 与t 的函数表达式；乙出发后多长时间与甲在途中相遇？若当甲到达景点C 时，乙与景点C 的路程为360米，则乙从景点B 步行到景点C 的速度是多少？【答案】（1）60；（2）s ＝10t －6000；（3）乙出发5分钟和1分钟时与甲在途中相遇；（4）乙从景点B 步行到景点C 的速度是2米/分钟．【解析】（1）观察图像得出路程和时间，即可解决问题．（2）利用待定系数法求一次函数解析式即可；（3）分两种情况讨论即可；（4）设乙从B 步行到C 的速度是x 米/分钟，根据当甲到达景点C 时，乙与景点C 的路程为360米，所用的时间为（90-60）分钟，列方程求解即可．【详解】（1）甲的速度为540090=60米/分钟． （2）当20≤t ≤1时，设s=mt ＋n ，由题意得：200303000m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得：3006000m n =⎧⎨=-⎩，所以s=10t －6000；（3）①当20≤t ≤1时，60t=10t－6000，解得：t=25，25－20=5；②当1≤t ≤60时，60t=100，解得：t=50，50－20=1．综上所述：乙出发5分钟和1分钟时与甲在途中相遇．（4）设乙从B步行到C的速度是x米/分钟，由题意得：5400－100－（90－60）x=360解得：x=2．答：乙从景点B步行到景点C的速度是2米/分钟．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、行程问题等知识，解题的关键是理解题意，读懂图像信息，学会构建一次函数解决实际问题，属于中考常考题型．23．某校七年级（1）班班主任对本班学生进行了“我最喜欢的课外活动”的调查，并将调查结果分为书法和绘画类记为A；音乐类记为B；球类记为C；其他类记为D．根据调查结果发现该班每个学生都进行了等级且只登记了一种自己最喜欢的课外活动．班主任根据调查情况把学生都进行了归类，并制作了如下两幅统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：七年级（1）班学生总人数为_______人，扇形统计图中D类所对应扇形的圆心角为_____度，请补全条形统计图；学校将举行书法和绘画比赛，每班需派两名学生参加，A类4名学生中有两名学生擅长书法，另两名擅长绘画．班主任现从A类4名学生中随机抽取两名学生参加比赛，请你用列表或画树状图的方法求出抽到的两名学生恰好是一名擅长书法，另一名擅长绘画的概率．【答案】48；105°；【解析】试题分析：根据B的人数和百分比求出总人数，根据D的人数和总人数的得出D所占的百分比，然后得出圆心角的度数，根据总人数求出C的人数，然后补全统计图；记A类学生擅长书法的为A1，擅长绘画的为A2，根据题意画出表格，根据概率的计算法则得出答案．试题解析：（1）12÷25%=48（人）14÷48×360°=105°48－（4+12+14）=18（人），补全图形如下：（2）记A 类学生擅长书法的为A1，擅长绘画的为A2，则可列下表：A1 A1 A2 A2 A1√ √ A1√ √ A2√ √ A2√ √∴由上表可得：考点：统计图、概率的计算．24．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线2y x bx c =++顶点A 的横坐标是1-，且与y 轴交于点()B 0,1-，点P 为抛物线上一点．()1求抛物线的表达式；()2若将抛物线2y x bx c =++向下平移4个单位，点P 平移后的对应点为Q.如果OP OQ =，求点Q 的坐标．【答案】()1为2y x 2x 1=+-；()2点Q 的坐标为()3,2--或()1,2-． 【解析】()1依据抛物线的对称轴方程可求得b 的值，然后将点B 的坐标代入线22y x x c =-+可求得c 的值,即可求得抛物线的表达式；()2由平移后抛物线的顶点在x 轴上可求得平移的方向和距离，故此4QP =，然后由点QO PO =，//QP y 轴可得到点Q 和P 关于x 对称，可求得点Q 的纵坐标，将点Q 的纵坐标代入平移后的解析式可求得对应的x 的值，则可得到点Q 的坐标．【详解】()1抛物线2y x bx c =++顶点A 的横坐标是1-， b x 12a ∴=-=-，即b 121-=-⨯，解得b 2=． 2y x 2x c ∴=++．将()B 0,1-代入得：c 1=-，∴抛物线的解析式为2y x 2x 1=+-．()2抛物线向下平移了4个单位．∴平移后抛物线的解析式为2y x 2x 5=+-，PQ 4=．OP OQ =，∴点O 在PQ 的垂直平分线上．又QP //y 轴，∴点Q 与点P 关于x 轴对称．∴点Q 的纵坐标为2-．将y 2=-代入2y x 2x 5=+-得：2x 2x 52+-=-，解得：x 3=-或x 1=． ∴点Q 的坐标为()3,2--或()1,2-．【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的平移规律、线段垂直平分线的性质，发现点Q 与点P 关于x 轴对称，从而得到点Q 的纵坐标是解题的关键．25．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线()30y kx k =+≠与x 轴交于点A ，与双曲线()0m y m x=≠的一个交点为B （－1，4）.求直线与双曲线的表达式；过点B 作BC ⊥x 轴于点C ，若点P 在双曲线m y x =上，且△PAC 的面积为4，求点P 的坐标.【答案】（1）直线的表达式为3y x =-+，双曲线的表达方式为4y x=-；（2）点P 的坐标为1(2,2)P -或2(2,2)P -【解析】分析：（1）将点B （-1，4）代入直线和双曲线解析式求出k 和m 的值即可；（2）根据直线解析式求得点A 坐标，由S △ACP ＝12AC•|y P |＝4求得点P 的纵坐标，继而可得答案． 详解：（1）∵直线()30y kx k =+≠与双曲线y =m x （0m ≠）都经过点B （－1，4）， 34,14k m ∴-+==-⨯，1,4k m ∴=-=-，∴直线的表达式为3y x =-+，双曲线的表达方式为4y x=-.（2）由题意，得点C 的坐标为C （－1，0），直线3y x =-+与x 轴交于点A （3，0），4AC ∴=，∵142ACP P S AC y ∆=⋅=， 2P y ∴=±，点P 在双曲线4y x=-上， ∴点P 的坐标为()12,2P -或()22,2P -.点睛：本题主要考查反比例函数和一次函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式及三角形的面积是解题的关键．26．如图，已知：△ABC 中，AB=AC ，M 是BC 的中点，D 、E 分别是AB 、AC 边上的点，且BD=CE ．求证：MD=ME ．【答案】证明见解析.【解析】试题分析：根据等腰三角形的性质可证∠DBM=∠ECM ，可证△BDM ≌△CEM ，可得MD=ME ，即可解题．试题解析：证明：△ABC 中，∵AB=AC ，∴∠DBM=∠ECM.∵M 是BC 的中点，∴BM=CM.在△BDM 和△CEM 中，∵{BD CEDBM ECM BM CM=∠=∠=，∴△BDM ≌△CEM （SAS ）.∴MD=ME ．考点：1.等腰三角形的性质；2.全等三角形的判定与性质.中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．反比例函数y=的图象与直线y=﹣x+2有两个交点，且两交点横坐标的积为负数，则t的取值范围是（）A．t＜B．t＞C．t≤D．t≥【答案】B【解析】将一次函数解析式代入到反比例函数解析式中，整理得出x2﹣2x+1﹣6t=0，又因两函数图象有两个交点，且两交点横坐标的积为负数，根据根的判别式以及根与系数的关系可求解．【详解】由题意可得：﹣x+2=，所以x2﹣2x+1﹣6t=0，∵两函数图象有两个交点，且两交点横坐标的积为负数，∴解不等式组，得t＞．故选：B．点睛：此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，关键是利用两个函数的解析式构成方程，再利用一元二次方程的根与系数的关系求解.2．下列各式：①a0=1 ②a2·a3=a5 ③ 2–2= –14④–(3－5)＋(–2)4÷8×(–1)=0⑤x2+x2=2x2，其中正确的是( )A．①②③B．①③⑤C．②③④D．②④⑤【答案】D【解析】根据实数的运算法则即可一一判断求解.【详解】①有理数的0次幂，当a=0时，a0=0；②为同底数幂相乘，底数不变，指数相加，正确；③中2–2= 14，原式错误；④为有理数的混合运算，正确；⑤为合并同类项，正确．故选D.3．已知函数y=(k-1)x2-4x+4的图象与x轴只有一个交点,则k的取值范围是( )A．k≤2且k≠1B．k<2且k≠1C．k=2 D．k=2或1【答案】D【解析】当k+1=0时，函数为一次函数必与x轴有一个交点；当k+1≠0时，函数为二次函数，根据条件可知其判别式为0，可求得k的值．【详解】当k-1=0，即k=1时，函数为y=-4x+4，与x轴只有一个交点；当k-1≠0，即k≠1时，由函数与x轴只有一个交点可知，∴△=（-4）2-4（k-1）×4=0，解得k=2，综上可知k的值为1或2，故选D．【点睛】本题主要考查函数与x轴的交点，掌握二次函数与x轴只有一个交点的条件是解题的关键，解决本题时注意考虑一次函数和二次函数两种情况．4．已知△ABC中，∠BAC=90°，用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形，其作法不正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】分析：根据过直线外一点作这条直线的垂线，及线段中垂线的做法，圆周角定理，分别作出直角三角形斜边上的垂线，根据直角三角形斜边上的垂线，把原直角三角形分成了两个小直角三角形，图中的三个直角三角形式彼此相似的；即可作出判断.详解：A、在角∠BAC内作作∠CAD=∠B,交BC于点D,根据余角的定义及等量代换得出∠B＋∠BAD=90°,进而得出AD⊥BC,根据直角三角形斜边上的垂线，把原直角三角形分成了两个小直角三角形，图中的三个直角三角形式彼此相似的；A不符合题意；B、以点A为圆心，略小于AB的长为半径，画弧，交线段BC两点，再分别以这两点为圆心，大于12两交点间的距离为半径画弧，两弧相交于一点，过这一点与A点作直线，该直线是BC的垂线；根据直角三角形斜边上的垂线，把原直角三角形分成了两个小直角三角形，图中的三个直角三角形是彼此相似的；B不符合题意；C、以AB为直径作圆，该圆交BC于点D，根据圆周角定理，过AD两点作直线该直线垂直于BC，根据直角三角形斜边上的垂线，把原直角三角形分成了两个小直角三角形，图中的三个直角三角形式彼此相似的；C 不符合题意；D 、以点B 为圆心BA 的长为半径画弧，交BC 于点E ，再以E 点为圆心，AB 的长为半径画弧，在BC 的另一侧交前弧于一点，过这一点及A 点作直线，该直线不一定是BE 的垂线；从而就不能保证两个小三角形相似；D 符合题意;故选D.点睛：此题主要考查了相似变换以及相似三角形的判定，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键． 5．若关于x 的一元二次方程x 2﹣2x+m ＝0没有实数根，则实数m 的取值是( )A ．m ＜1B ．m ＞﹣1C ．m ＞1D ．m ＜﹣1【答案】C【解析】试题解析：关于x 的一元二次方程2x 2x m 0-+=没有实数根， ()224241440b ac m m ∆=-=--⨯⨯=-<，解得： 1.m >故选C ．6．如图所示是小孔成像原理的示意图，根据图中所标注的尺寸，求出这支蜡烛在暗盒中所成像CD 的长（ ）A ．16cmB ．13cm C ．12cm D ．1cm【答案】D【解析】过O 作直线OE ⊥AB ，交CD 于F ，由CD//AB 可得△OAB ∽△OCD ，根据相似三角形对应边的比等于对应高的比列方程求出CD 的值即可.【详解】过O 作直线OE ⊥AB ，交CD 于F ，∵AB//CD ，∴OF ⊥CD ，OE=12，OF=2，∴△OAB ∽△OCD ，∵OE 、OF 分别是△OAB 和△OCD 的高， ∴OF CD OE AB =，即2126CD =， 解得：CD=1.故选D.【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键在于理解小孔成像原理给我们带来的已知条件，熟记相似三角形对应边的比等于对应高的比是解题关键.7．如图，将长方形纸片ABCD 折叠，使边DC 落在对角线AC 上，折痕为CE ，且D 点落在对角线D′处．若AB=3，AD=4，则ED 的长为A ．32B ．3C ．1D ．43【答案】A【解析】首先利用勾股定理计算出AC 的长，再根据折叠可得△DEC ≌△D′EC ，设ED=x ，则D′E=x ，AD′=AC ﹣CD′=2，AE=4﹣x ，再根据勾股定理可得方程22+x 2=（4﹣x ）2，再解方程即可【详解】∵AB=3，AD=4，∴DC=3∴根据勾股定理得AC=5根据折叠可得：△DEC ≌△D′EC ，∴D′C=DC=3，DE=D′E设ED=x ，则D′E=x ，AD′=AC ﹣CD′=2，AE=4﹣x ，在Rt △AED′中：（AD′）2+（ED′）2=AE 2，即22+x 2=（4﹣x ）2，解得：x=32 故选A.8．如图，平行四边形 ABCD 中， E 为 BC 边上一点，以 AE 为边作正方形AEFG ，若 40BAE ∠=︒，15CEF ∠=︒，则 D ∠的度数是A ．65︒B ．55︒C ．70︒D ．75︒【答案】A 【解析】分析：首先求出∠AEB ，再利用三角形内角和定理求出∠B ，最后利用平行四边形的性质得∠D=∠B即可解决问题．详解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠AEF=90°，∵∠CEF=15°，∴∠AEB=180°-90°-15°=75°，∵∠B=180°-∠BAE-∠AEB=180°-40°-75°=65°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D=∠B=65°故选A．点睛：本题考查正方形的性质、平行四边形的性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．9．如图，直线a∥b，一块含60°角的直角三角板ABC（∠A＝60°）按如图所示放置．若∠1＝55°，则∠2的度数为（）A．105°B．110°C．115°D．120°【答案】C【解析】如图，首先证明∠AMO=∠2，然后运用对顶角的性质求出∠ANM=55°；借助三角形外角的性质求出∠AMO即可解决问题．【详解】如图，对图形进行点标注.∵直线a∥b，∴∠AMO=∠2；∵∠ANM=∠1，而∠1=55°，∴∠ANM=55°，∴∠2=∠AMO=∠A+∠ANM=60°+55°=115°，故选C.【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.10．如图，正六边形ABCDEF 内接于O ，M 为EF 的中点，连接DM ，若O 的半径为2，则MD 的长度为( )A ．7B ．5C ．2D ．1【答案】A 【解析】连接OM 、OD 、OF ，由正六边形的性质和已知条件得出OM ⊥OD ，OM ⊥EF ，∠MFO=60°，由三角函数求出OM ，再由勾股定理求出MD 即可．【详解】连接OM 、OD 、OF ，∵正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，M 为EF 的中点，∴OM ⊥OD ，OM ⊥EF ，∠MFO=60°，∴∠MOD=∠OMF=90°，∴OM=OF•sin ∠MFO=2×3=3， ∴MD=()2222327OM OD +=+=，故选A ．【点睛】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、三角函数、勾股定理；熟练掌握正六边形的性质，由三角函数求出OM 是解决问题的关键．二、填空题（本题包括8个小题）11．对于实数p q ，，我们用符号min{}p q ，表示p q ，两数中较小的数，如min{1,2}1=.因此，{}min 2,3--= ________；若{}22min (1)1x x -=，，则x ＝________．【答案】3 2或-1．【解析】①∵－2 －3,∴min{－2，－3}=－3;②∵min{(x−1)2,x2}=1，∴当x>0.5时,(x−1)2=1，∴x−1=±1，∴x−1=1，x−1=−1，解得：x1=2,x2=0(不合题意,舍去)，当x⩽0.5时,x2=1，解得：x1=1(不合题意,舍去),x2=−1，12．如图，线段AB=10，点P在线段AB上，在AB的同侧分别以AP、BP为边长作正方形APCD和BPEF，点M、N分别是EF、CD的中点，则MN的最小值是_______.【答案】2【解析】设MN=y，PC=x，根据正方形的性质和勾股定理列出y1关于x的二次函数关系式，求二次函数的最值即可．【详解】作MG⊥DC于G，如图所示：设MN=y，PC=x，根据题意得：GN=2，MG=|10-1x|，在Rt△MNG中，由勾股定理得：MN1=MG1+GN1，即y1=21+（10-1x）1．∵0＜x＜10，∴当10-1x=0，即x=2时，y1最小值=12，∴y最小值=2．即MN的最小值为2；故答案为：2．【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、二次函数的最值．熟练掌握勾股定理和二次函数的最值是解决问题的关键．13．如图，四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB、BC、CD、DA的中点．若四边形EFGH为菱形，则对角线AC、BD应满足条件_____．【答案】AC=BD．【解析】试题分析：添加的条件应为：AC=BD，把AC=BD作为已知条件，根据三角形的中位线定理可得，HG平行且等于AC的一半，EF平行且等于AC的一半，根据等量代换和平行于同一条直线的两直线平行，得到HG和EF平行且相等，所以EFGH为平行四边形，又EH等于BD的一半且AC=BD，所以得到所证四边形的邻边EH与HG相等，所以四边形EFGH为菱形．试题解析：添加的条件应为：AC=BD．证明：∵E，F，G，H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，∴在△ADC中，HG为△ADC的中位线，所以HG∥AC且HG=12AC；同理EF∥AC且EF=12AC，同理可得EH=12 BD，则HG∥EF且HG=EF，∴四边形EFGH为平行四边形，又AC=BD，所以EF=EH，∴四边形EFGH为菱形．考点：1．菱形的性质；2．三角形中位线定理．14．规定用符号[]m表示一个实数m的整数部分，例如：23⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，[]3.143=．按此规定，101⎡⎤+⎣⎦的值为________．【答案】4101的整数部分即可. 【详解】∵103<4，∴104<5∴整数部分为4.【点睛】本题考查无理数的估值，熟记方法是关键.。

上海市浦东新区中考数学二模试卷一、选择题，共6题，每题4分，共24分1．下列等式成立的是（）A．2﹣2=﹣22B．26÷23=22C．（23）2=25D．20=12．下列各整式中，次数为5次的单项式是（）A．x y4B．x y5C．x+y4D．x+y53．如果最简二次根式与是同类二次根式，那么x的值是（）A．﹣1B．0C．1D．24．如果正多边形的一个内角等于135°，那么这个正多边形的边数是（）A．5B．6C．7D．85．下列说法中，正确的个数有（）①一组数据的平均数一定是该组数据中的某个数据；②一组数据的中位数一定是该组数据中的某个数据；③一组数据的众数一定是该组数据中的某个数据．A．0个B．1个C．2个D．3个6．已知四边形A B C D是平行四边形，对角线A C与B D相交于点O，下列结论中不正确的是（）A．当A B=B C时，四边形A B C D是菱形B．当A C⊥B D时，四边形A B C D是菱形C．当O A=O B时，四边形A B C D是矩形D．当∠A B D=∠C B D时，四边形A B C D是矩形二、填空题，共12小题，每题4分，共48分7．计算：=．（结果保留根号）8．分解因式：x3﹣4x=．9．方程x=x+4的解是．10．已知分式方程+=3，如果t=，那么原方程可化为关于t的整式方程是．11．如果反比例函数的图象经过点（3，﹣4），那么这个反比例函数的比例系数是．12．如果随意把各面分别写有数字“1”、“2”、“3”、“4”、“5”、“6”的骰子抛到桌面上，那么正面朝上的数字是合数的概率是．13．为了解某山区金丝猴的数量，科研人员在改山区不同的地方捕获了15只金丝猴，并在它们的身上做标记后放回该山区．过段时间后，在该山区不同的地方又捕获了32只金丝猴，其中4只身上有上次做的标记，由此可估计该山区金丝猴的数量约有只．14．已知点G时△A B C的重心，=，=，那么向量用向量、表示为．15．如图，已知A D∥E F∥B C，A E=3B E，A D=2，E F=5，那么B C=．16．如图，已知小岛B在基地A的南偏东30°方向上，与基地A相距10海里，货轮C在基地A的南偏西60°方向、小岛B的北偏西75°方向上，那么货轮C与小岛B的距离是海里．17．对于函数y=（a x+b）2，我们称[a，b]为这个函数的特征数．如果一个函数y=（a x+b）2的特征数为[2，﹣5]，那么这个函数图象与x轴的交点坐标为．18．如图，已知在R t△A B C中，D是斜边A B的中点，A C=4，B C=2，将△A C D沿直线C D折叠，点A落在点E处，联结A E，那么线段A E的长度等于．三、简答题，共7题，共78分19．化简并求值：（1+）+，其中x=+1．20．解不等式组：，并写出它的非负整数解．21．已知：如图，在△A B C中，D是边B C上一点，以点D为圆心，C D为半径作半圆，分别与边A C、B C相交于点E和点F．如果A B=A C=5，c o s B=，A E=1．求：（1）线段C D的长度；（2）点A和点F之间的距离．22．小张利用休息日进行登山锻炼，从山脚到山顶的路程为12千米．他上午8时从山脚出发，到达山顶后停留了半个小时，再原路返回，下午3时30分回到山脚．假设他上山与下山时都是匀速行走，且下山比上山时的速度每小时快1千米．求小张上山时的速度．23．如图，已知在平行四边形A B C D中，A E⊥B C，垂足为E，A F⊥C D，垂足为点F．（1）如果A B=A D，求证：E F∥B D；（2）如果E F∥B D，求证：A B=A D．24．已知：如图，直线y=k x+2与x轴正半轴相交于A（t，0），与y轴相交于点B，抛物线y=﹣x2+b x+c经过点A和点B，点C在第三象象限内，且A C⊥A B，t a n∠A C B=．（1）当t=1时，求抛物线的表达式；（2）试用含t的代数式表示点C的坐标；（3）如果点C在这条抛物线的对称轴上，求t的值．25．如图，已知在△A B C中，射线A M∥B C，P是边B C上一动点，∠A P D=∠B，P D交射线A M于点D．联结C D．A B=4，B C=6，∠B=60°．（1）求证：A P2=A D•B P；（2）如果以A D为半径的圆A以与A以B P为半径的圆B相切．求线段B P的长度；（3）将△A C D绕点A旋转，如果点D恰好与点B重合，点C落在点E的位置上，求此时∠B E P的余切值．上海市浦东新区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题，共6题，每题4分，共24分1．下列等式成立的是（）A．2﹣2=﹣22B．26÷23=22C．（23）2=25D．20=1【考点】同底数幂的除法；幂的乘方与积的乘方；零指数幂；负整数指数幂．【分析】根据负整数指数幂，可判断A，根据同底数幂的除法，可判断B，根据幂的乘方，可判断C，根据0指数幂，可判断D．【解答】解：A、负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，故A错误；B、同底数幂的除法底数不变指数相减，故B错误；C、幂的乘方底数不变指数相乘，故C错误；D、非零的零次幂等于1，故D正确；故选：D．【点评】本题考查了同底数幂的除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键．2．下列各整式中，次数为5次的单项式是（）A．x y4B．x y5C．x+y4D．x+y5【考点】单项式．【分析】根据单项式的次数是所有字母的指数和，可得答案．【解答】解：A、是5次单项式，故A正确；B、是6次单项式，故B错误；C、是多项式，故C错误；D、是5次多项式，故D错误；故选：A．【点评】本题考查了单项式，需注重：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，几个单项式的和叫做多项式，单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．3．如果最简二次根式与是同类二次根式，那么x的值是（）A．﹣1B．0C．1D．2【考点】同类二次根式．【分析】根据题意，它们的被开方数相同，列出方程求解即可．【解答】解：由最简二次根式与是同类二次根式，得x+2=3x，解得x=1．故选：C．【点评】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．4．如果正多边形的一个内角等于135°，那么这个正多边形的边数是（）A．5B．6C．7D．8【考点】多边形内角与外角．【分析】根据正多边形的一个内角是135°，则知该正多边形的一个外角为45°，再根据多边形的外角之和为360°，即可求出正多边形的边数．【解答】解：∵正多边形的一个内角是135°，∴该正多边形的一个外角为45°，∵多边形的外角之和为360°，∴边数n=360÷45=8，∴该正多边形的边数是8．故选：D．【点评】本题主要考查多边形内角与外角的知识点，解答本题的关键是知道多边形的外角之和为360°，此题难度不大．5．下列说法中，正确的个数有（）①一组数据的平均数一定是该组数据中的某个数据；②一组数据的中位数一定是该组数据中的某个数据；③一组数据的众数一定是该组数据中的某个数据．A．0个B．1个C．2个D．3个【考点】众数；算术平均数；中位数．【分析】根据平均数的定义，即可判断①；根据中位数的定义，即可判断②；根据众数的定义即可判断③．【解答】解：①根据平均数的定义，可判断①错误，如3，7，8三个数的平均数为：=6；②根据中位数的定义可判断②错误，当数据个数为偶数个时，中位数不一定是该组数据中的某个数据，如2，2，4，5的中位数为：=3；③根据众数的定义可判断③正确．故选：B．【点评】此题考查了平均数，中位数，众数的定义，解题的关键是：熟记这三种数据的定义．6．已知四边形A B C D是平行四边形，对角线A C与B D相交于点O，下列结论中不正确的是（）A．当A B=B C时，四边形A B C D是菱形B．当A C⊥B D时，四边形A B C D是菱形C．当O A=O B时，四边形A B C D是矩形D．当∠A B D=∠C B D时，四边形A B C D是矩形【考点】矩形的判定；平行四边形的性质；菱形的判定．【分析】利用矩形的判定、四边形的性质及菱形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可以得到该结论正确；B、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可以得到该选项正确；C、根据对角线相等的平行四边形是矩形可以判断该选项正确；D、不能得到一个角是直角，故错误，故选D．【点评】本题考查了矩形的判定、四边形的性质及菱形的判定方法，牢记判定方法是解答本题的关键．二、填空题，共12小题，每题4分，共48分7．计算：=．（结果保留根号）【考点】实数的性质．【专题】计算题．【分析】本题需先判断出的符号，再求出的结果即可．【解答】解：∵﹣2＜0∴=2﹣故答案为：2﹣【点评】本题主要考查了实数的性质，在解题时要能根据绝对值得求法得出结果是本题的关键．8．分解因式：x3﹣4x=x（x+2）（x﹣2）．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【专题】因式分解．【分析】应先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：x3﹣4x，=x（x2﹣4），=x（x+2）（x﹣2）．故答案为：x（x+2）（x﹣2）．【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次因式分解，分解因式一定要彻底，直到不能再分解为止．9．方程x=x+4的解是x=﹣2﹣2．【考点】二次根式的应用；解一元一次方程．【分析】根据一元一次方程的解法求解，然后分母有理化即可．【解答】解：移项得，x﹣x=4，合并同类项得，（1﹣）x=4，系数化为1得，x===﹣2﹣2，即x=﹣2﹣2．故答案为：x=﹣2﹣2．【点评】本题考查了二次根式的应用，解一元一次方程，难点在于要分母有理化．10．已知分式方程+=3，如果t=，那么原方程可化为关于t的整式方程是t2﹣3t+2=0．【考点】换元法解分式方程．【分析】把t=代入方程，得出t+=3，整理成一般形式即可．【解答】解：∵+=3，t=，∴t+=3，整理得：t2﹣3t+2=0，故答案为：t2﹣3t+2=0．【点评】本题考查了用换元法解分式方程的应用，解此题的关键是能正确换元，题目是一道比较典型的题目，难度不是很大．11．如果反比例函数的图象经过点（3，﹣4），那么这个反比例函数的比例系数是﹣12．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】直接根据根据反比例函数中k=x y的特点进行解答即可．【解答】解：∵反比例函数的图象经过点（3，﹣4），∴k=3×（﹣4）=﹣12．故答案为：﹣12．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．12．如果随意把各面分别写有数字“1”、“2”、“3”、“4”、“5”、“6”的骰子抛到桌面上，那么正面朝上的数字是合数的概率是．【考点】概率公式．【分析】由随意把各面分别写有数字“1”、“2”、“3”、“4”、“5”、“6”的骰子抛到桌面上，共有6中等可能的结果，正面朝上的数字是合数的有4，6；直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：∵随意把各面分别写有数字“1”、“2”、“3”、“4”、“5”、“6”的骰子抛到桌面上，共有6中等可能的结果，正面朝上的数字是合数的有4，6；∴正面朝上的数字是合数的概率是：=．故答案为：．【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．13．为了解某山区金丝猴的数量，科研人员在改山区不同的地方捕获了15只金丝猴，并在它们的身上做标记后放回该山区．过段时间后，在该山区不同的地方又捕获了32只金丝猴，其中4只身上有上次做的标记，由此可估计该山区金丝猴的数量约有120只．【考点】用样本估计总体．【分析】设该山区金丝猴的数量约有x只金丝猴，根据第一次捕获了15只金丝猴，在它们的身上做标记后放回该山区，第二次又捕获了32只金丝猴，其中4只身上有上次做的标记，列出方程，求出x的值即可．【解答】解：设该山区金丝猴的数量约有x只金丝猴，依题意得x：15=32：4，解得：x=120．则该山区金丝猴的数量约有120只．故答案为：120．【点评】本题主要考查了利用样本估计总体的思想，用样本估计整体让整体×样本的百分比即可．14．已知点G时△A B C的重心，=，=，那么向量用向量、表示为+．【考点】*平面向量；三角形的重心．【分析】由点G时△A B C的重心，根据三角形重心的性质，即可求得，再利用三角形法则求得的长，继而求得答案．【解答】解：如图，∵点G时△A B C的重心，=，∴==，∴=+=+，∵点G时△A B C的重心，∴==+．故答案为：+．【点评】此题考查了平面向量的知识与三角形重心的性质．注重掌握三角形法则的应用．15．如图，已知A D∥E F∥B C，A E=3B E，A D=2，E F=5，那么B C=．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】首先延长B A与C D，相交于点G，由A D∥E F∥B C，可得△G A D∽△G E F，△G A D∽△G B C，又由A D=2，E F=5，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得B C的长．【解答】解：延长B A与C D，相交于点G，∵A D∥E F∥B C，∴△G A D∽△G E F，△G A D∽△G B C，∴==，∵A D=2，E F=，A E=9，∴=，解得：G A=6，∴G B=G A+A E+B E=18，∴=，解得：B C=6．故答案为：6．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行线分线段成比例定理．此题难度适中，注重掌握辅助线的作法，注重数形结合思想的应用．16．如图，已知小岛B在基地A的南偏东30°方向上，与基地A相距10海里，货轮C在基地A的南偏西60°方向、小岛B的北偏西75°方向上，那么货轮C与小岛B的距离是10海里．【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．【分析】由已知可得△A B C是等腰直角三角形，已知A B=10海里，根据等腰直角三角形的性质即可求得斜边B C的长．【解答】解：如图，由题意得，∠B A D=30°，∠C A D=60°，∠C B E=75°，A B=10海里．∵A D∥B E，∴∠A B E=∠B A D=30°，∴∠A B C=∠C B E﹣∠A B E=75°﹣30°=45°．在△A B C中，∵∠B A C=∠B A D+∠C A D=30°+60°=90°，∠A B C=45°，∴△A B C是等腰直角三角形，∵A B=10海里，∴B C=A B=10海里．故答案为10．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，等腰直角三角形的判定与性质，掌握方向角的定义从而证明△A B C是等腰直角三角形是解题的关键．17．对于函数y=（a x+b）2，我们称[a，b]为这个函数的特征数．如果一个函数y=（a x+b）2的特征数为[2，﹣5]，那么这个函数图象与x轴的交点坐标为（，0）．【考点】抛物线与x轴的交点．【专题】新定义．【分析】首先根据函数的特征数新定义求出a和b的值，然后令y=0，即可求出x的值．【解答】解：∵对于函数y=（a x+b）2，我们称[a，b]为这个函数的特征数，函数y=（a x+b）2的特征数为[2，﹣5]，∴a=2，b=﹣5，∴函数为y=（2x﹣5）2，∴（2x﹣5）2=0解得x=，∴这个函数图象与x轴的交点坐标为（，0），故答案为：（，0）．【点评】本题主要考查了抛物线与x轴交点的知识，解答本题的关键是掌握函数的特征数新定义，此题难度不大．18．如图，已知在R t△A B C中，D是斜边A B的中点，A C=4，B C=2，将△A C D沿直线C D折叠，点A落在点E处，联结A E，那么线段A E的长度等于．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】延长C D交A E于F，由折叠的性质得出C F⊥A E，A C=E C，得出∠A F C=90°，A F=E F，由勾股定理求出A B，由直角三角形斜边上的中线性质得出C D=A B=A D，得出∠D C A=∠D A C，证出△A F C∽△B C A，得出对应边成比例，求出A F，即可得出A E的长．【解答】解：如图所示：延长C D交A E于F，由折叠的性质得：C F⊥A E，A C=E C，∴∠A F C=90°，A F=E F，∵在R t△A B C中，∠A C B=90°，∴A B===2，∵D是斜边A B的中点，∴C D=A B=A D，∴∠D C A=∠D A C，∵∠A F C=∠A C B=90°，∴△A F C∽△B C A，∴，即，∴A F=，∴A E=2A F=；故答案为：．【点评】本题考查了翻折变换的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质；熟练掌握翻折变换的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．三、简答题，共7题，共78分19．化简并求值：（1+）+，其中x=+1．【考点】分式的化简求值．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．【解答】解：原式=（+）+=+=+=当x=+1时，原式==．【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．20．解不等式组：，并写出它的非负整数解．【考点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解．【分析】首先分别计算出两个不等式的解集，然后再根据大小小大中间找确定不等式组的解集，然后再找出非负整数解．【解答】解：，由①得：x≥﹣4，由②得：x＜2，不等式组的解集为：﹣4≤x＜2，非负整数解为：0，1．【点评】此题主要考查了一元一次不等式组的解法，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．21．已知：如图，在△A B C中，D是边B C上一点，以点D为圆心，C D为半径作半圆，分别与边A C、B C相交于点E和点F．如果A B=A C=5，c o s B=，A E=1．求：（1）线段C D的长度；（2）点A和点F之间的距离．【考点】圆周角定理；解直角三角形．【分析】（1）连接E F，利用圆周角定理得出∠F E C=90°，再利用等腰三角形的性质，结合锐角三角函数得出答案；（2）利用锐角三角函数得出N C的长，再利用勾股定理得出答案．【解答】解：（1）连接E F，∵由题意可得F C是⊙D的直径，∴∠F E C=90°，∵A B=A C，∴∠B=∠A C B，∵A B=A C=5，c o s B=，A E=1，∴E C=4，c o s B=c o s∠A C B===，解得：F C=5，则D C=2.5；（2）连接A F，过点A作A N⊥B C于点N，∵A B=5，c o s B=，∴B N=4，∴A N=3，∵c o s C=c o s B=，∴N C=4，∴F N=1，∴A F==．【点评】此题主要考查了圆周角定理以及勾股定理和锐角三角函数等知识，正确应用锐角三角函数关系是解题关键．22．小张利用休息日进行登山锻炼，从山脚到山顶的路程为12千米．他上午8时从山脚出发，到达山顶后停留了半个小时，再原路返回，下午3时30分回到山脚．假设他上山与下山时都是匀速行走，且下山比上山时的速度每小时快1千米．求小张上山时的速度．【考点】分式方程的应用．【分析】设小张上山时的速度为x千米/小时，则下山时的速度为x+1千米/小时，根据上下山所用时间和到达山顶后停留了半个小时为15时30分﹣8时=7小时30分列出方程解答即可．【解答】解：设小张上山时的速度为x千米/小时，则下山时的速度为x+1千米/小时，由题意得++=7.5，解得：x=3或x=﹣（不合题意，舍去），经检验x=3是原分式方程的解．答：小张上山时的速度为3千米/小时．【点评】此题考查分式方程的实际运用，掌握行程问题中路程、时间、速度三者之间的关系是解决问题的关键．23．如图，已知在平行四边形A B C D中，A E⊥B C，垂足为E，A F⊥C D，垂足为点F．（1）如果A B=A D，求证：E F∥B D；（2）如果E F∥B D，求证：A B=A D．【考点】平行四边形的性质．【专题】证明题．【分析】（1）直接利用平行四边形的性质结合全等三角形的判定方法得出△A B E≌△A D F（A A S），进而求出答案；（2）利用平行线分线段成比例定理结合相似三角形的判定与性质得出△A B E∽△A D F，进而求出答案．【解答】证明：（1）∵在平行四边形A B C D中，A E⊥B C，A F⊥C D，∴∠A B E=∠A D F，在△A B E和△A D F中∵，∴△A B E≌△A D F（A A S），∴B E=D F，∴=，∴E F∥B D；（2）∵E F∥B D，∴=，∵∠A B F=∠A D F，∠A E B=∠A F D，∴△A B E∽△A D F，∴=，∴=，∴A D×B C=A B×D C，∴A B2=A D2，∴A B=A D．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质和平行四边形的性质等知识，得出=是解题关键．24．已知：如图，直线y=k x+2与x轴正半轴相交于A（t，0），与y轴相交于点B，抛物线y=﹣x2+b x+c经过点A和点B，点C在第三象象限内，且A C⊥A B，t a n∠A C B=．（1）当t=1时，求抛物线的表达式；（2）试用含t的代数式表示点C的坐标；（3）如果点C在这条抛物线的对称轴上，求t的值．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）把点A（1，0），B（0，2）分别代入抛物线的表达式，解方程组即可；（2）如图：作C H⊥x轴，垂足为点H，根据△A O B∽△C H A，得到==，根据t a n∠A C B==，得到==，根据O A=t，得到点C的坐标为（t﹣4，﹣2t）．（3）根据点C（t﹣4，﹣2t）在抛物线y=﹣x2+b x+c的对称轴上，得到t﹣4=，即b=2t﹣8，把点A（t，0）、B（0，2）代入抛物线的表达式，得﹣t2+b t+2=0，可知t2+（2t﹣8）t+2=0，即t2﹣8t+2=0，据此即可求出t的值．【解答】解：（1）∵t=1，y=k x+2，∴A（1，0），B（0，2），把点A（1，0），B（0，2）分别代入抛物线的表达式，得，解得，，∴所求抛物线的表达式为y=﹣x2﹣x+2．（2）如图：作C H⊥x轴，垂足为点H，得∠A H C=∠A O B=90°，∵A C⊥A B，∴∠O A B+∠C A H=90°，又∵∠C A H+∠A C H=90°，∴∠O A B=∠A C H，∴△A O B∽△C H A，∴==，∵t a n∠A C B==，∴==，∵O A=t，O B=2，∴C H=2t，A H=4，∴点C的坐标为（t﹣4，﹣2t）．（3）∵点C（t﹣4，﹣2t）在抛物线y=﹣x2+b x+c的对称轴上，∴t﹣4=，即b=2t﹣8，把点A（t，0）、B（0，2）代入抛物线的表达式，得﹣t2+b t+2=0，∴﹣t2+（2t﹣8）t+2=0，即t2﹣8t+2=0，解得t=4+，∵点C（t﹣4，﹣2t）在第三象限，∴t=4+不符合题意，舍去，∴t=4﹣．【点评】本题考查了二次函数综合题，涉及三角函数、待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的性质等知识，难度较大．25．如图，已知在△A B C中，射线A M∥B C，P是边B C上一动点，∠A P D=∠B，P D交射线A M于点D．联结C D．A B=4，B C=6，∠B=60°．（1）求证：A P2=A D•B P；（2）如果以A D为半径的圆A以与A以B P为半径的圆B相切．求线段B P的长度；（3）将△A C D绕点A旋转，如果点D恰好与点B重合，点C落在点E的位置上，求此时∠B E P的余切值．【考点】相似形综合题．【分析】（1）先由平行线证明∠A P B=∠D A P，再由已知条件∠A P D=∠B，证明△A B P∽△D P A，得出对应边成比例，即可得出结论；（2）设B P=x，作A H⊥B C于H，先根据勾股定理求出A H，再由勾股定理得出A P2=P H2+A H2，由两圆外切时，A B=|A D+B P|，得出方程，解方程即可；（3）作P M⊥A B于M；先根据题意得出：A D=A B==4，解方程求出B P，再证明△A B P为等边三角形，求出P M，然后证明四边形A D C H为矩形，得出B E=C D=A H=2，∠A B E=∠AD C=90°，求出B F，即可求出∠BE P的余切值．【解答】（1）证明：∵A M∥B C，∴∠A P B=∠D A P，又∵∠A P D=∠B，∴△A B P∽△D P A，∴，∴A P2=A D•B P；（2）解：设B P=x，作A H⊥B C于H，如图1所示：∵∠B=60°，∴∠B A H=30°，∴B H=A B=2，根据勾股定理得：A H==2，A P2=P H2+A H2=（x﹣2）2+（2）2=x2﹣4x+16，∴A D==，两圆相切时，A B=|A D+B P|，即4=|x+|，整理得：4x=|4x﹣16|，解得：x=2，∴B P的长度为2时，两圆内切；（3）解：根据题意得：A D=A B==4，解得：x=4，∴B P=4，∵∠A B P=60°，A B=B P=4，∴△A B P为等边三角形，∵A D=A B=4，C H=B C﹣B H=4，A D∥C H，∠A H C=90°，∴四边形A D C H为矩形，∴B E=C D=A H=2，∠A B E=∠A D C=90°，作P M⊥A B于M，如图2所示：则P M∥B E，P M=2，∴P M=B E，∴B F=F M=B M=1，∴c o t∠B E P==2．【点评】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、两圆外切的条件、等边三角形的判定与性质、三角函数等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）（3）中，需要通过作辅助线运用勾股定理和证明等边三角形、矩形才能得出结果．。