分式方程的解法与应用

分式方程与实际问题的技巧分式方程在实际问题中的应用非常广泛，例如在物理学、化学、工程学等领域中都有广泛的应用。

解决分式方程的问题需要一定的技巧和方法，本文将从以下几个方面介绍分式方程与实际问题的技巧。

一、理解分式方程的基本概念分式方程是指含有分式的方程，即等号两边至少有一个项是分式。

分式方程的一般形式为：A/B = C/D，其中A、B、C、D 均为整式，且B≠0。

二、分式方程的解法1. 消去分母法消去分母法是将分式方程转化为整式方程求解的方法。

具体步骤如下：（1）将分式方程转化为整式方程；（2）解整式方程；（3）检验所得解是否为原分式方程的解。

2. 换元法换元法是将原分式方程中的未知数用另一个变量表示，从而将原分式方程转化为一个新的整式方程求解的方法。

具体步骤如下：（1）设一个新的变量u，使得原分式方程可以表示为关于u的整式方程；（2）解关于u的整式方程；（3）将所得解代入原分式方程，求出原未知数的值。

3. 分离变量法分离变量法是将原分式方程中的未知数与常数分离，从而将原分式方程转化为一个关于未知数的一元一次方程求解的方法。

具体步骤如下：（1）将原分式方程中的未知数与常数分离；（2）对分离后的一元一次方程进行求解；（3）将所得解代入原分式方程，求出原未知数的值。

三、实际问题中的分式方程技巧1. 确定未知数和已知条件在解决实际问题时，首先要明确题目中的未知数和已知条件。

未知数通常是需要求解的量，而已知条件则是题目给出的关于未知数的信息。

例如，某物体的速度v与其时间t的关系可以表示为v = at^2 + bt + c，其中a、b、c为已知常数，v、t为未知数。

2. 建立分式方程模型根据题目中的已知条件，建立相应的分式方程模型。

例如，某物体的速度v与其时间t的关系可以表示为v = at^2 + bt + c/t，其中a、b、c为已知常数，v、t为未知数。

3. 选择合适的解法求解分式方程根据所建立的分式方程模型，选择合适的解法求解分式方程。

分式方程解法的原理及应用1. 分式方程的定义和形式分式方程即含有分式的方程，通常以分式形式表达，一般的形式为：\\frac{P(x)}{Q(x)} = R(x)其中，P(x)、Q(x) 和 R(x) 分别表示多项式函数，分子和分母的系数和幂次。

2. 分式方程的解法原理解决分式方程的方法主要包括化简、等式法、代换法等。

2.1 化简方法化简是解决分式方程的基本思路之一。

通过对方程的分子和分母进行因式分解、约分或通分等操作，将分式方程转化为较简单的形式，以便于求解。

2.2 等式法等式法是解决分式方程的常用方法之一。

通过设法使方程中的各项相等，从而建立一个等式，通过求解等式得到方程的解。

2.3 代换法代换法是解决分式方程的另一种常用方法。

通过引入合适的变量或代换，将复杂的分式方程转化为较简单的形式，从而求解方程。

3. 分式方程的应用分式方程在实际生活和工作中具有广泛的应用，包括但不限于以下几个方面：3.1 金融领域在金融领域，分式方程可以用来计算利息、贷款等金融问题。

例如，可以通过解析贷款利率的分式方程，计算每月的还款额，帮助借款人做出合理的还款计划。

3.2 物理学和工程学领域在物理学和工程学领域，分式方程常常用于描述复杂的物理现象和工程问题。

例如，分式方程可以用来描述弹性力学中的受力和变形关系，帮助工程师设计合适的结构和材料。

3.3 统计学和经济学领域在统计学和经济学领域，分式方程经常用于描述经济和社会现象的变化规律。

例如，在经济学中，可以通过分式方程来描述供求关系、价格变化等。

3.4 生活中的实际问题除了以上领域，分式方程还可以应用于日常生活中的实际问题。

例如，分式方程可以用来求解食物烹饪过程中的配方比例、化妆品的混合比例等。

4. 总结分式方程的解法原理主要包括化简、等式法和代换法。

这些方法可以帮助我们解决实际生活和工作中的问题。

分式方程在金融、物理学、工程学、统计学和经济学等领域有着广泛的应用。

了解分式方程的解法原理和应用，有助于我们更好地理解和运用数学知识解决实际问题。

分式方程的解法与应用技巧分式方程是含有分数的方程，其求解过程相对复杂。

本文将介绍分式方程的解法与应用技巧，帮助读者更好地掌握这一内容。

一、简单分式方程的解法对于形如$\frac{a}{x}=b$的简单分式方程，其中$a$和$b$为已知数，$x$为未知数。

我们可以通过以下步骤求解：1. 将方程两边乘以$x$，消去分式：$a=bx$。

2. 将方程两边除以$b$，解出未知数：$x=\frac{a}{b}$。

例如，对于分式方程$\frac{2}{x}=3$，我们可以按照以上步骤解得$x=\frac{2}{3}$。

二、复杂分式方程的解法对于形如$\frac{ax+b}{cx+d}=e$的复杂分式方程，其中$a$、$b$、$c$、$d$和$e$为已知数，$x$为未知数。

我们可以通过以下步骤求解：1. 消去分母，得到线性方程：$ax+b=ecx+ed$。

2. 整理方程，将未知数放在一侧，已知数放在另一侧：$ax-ecx=ed-b$。

3. 合并同类项，得到线性方程：$x(a-ec)=ed-b$。

4. 解出未知数：$x=\frac{ed-b}{a-ec}$。

例如，对于分式方程$\frac{2x+1}{3x+2}=4$，我们可以按照以上步骤解得$x=\frac{7}{10}$。

三、分式方程的应用技巧1. 化简分式：在处理分式方程时，我们可以通过化简分式来简化计算过程。

例如，对于分式方程$\frac{3x^2+6x}{2x}=5$，我们可以化简分式为$\frac{3(x+2)}{2}=5$，然后继续求解。

2. 注意特殊解：有些分式方程存在特殊解。

例如，对于分式方程$\frac{x-1}{x}=0$，我们可以通过化简分式得到$x=1$，但这并不是方程的解，因为分母为0时方程无解。

3. 检验解的合法性：在求解分式方程时，我们应该检验解的合法性。

即将解代入原方程，检验等式是否成立。

如果不成立，则解是无效的。

4. 借助整体思维：在处理分式方程的过程中，我们可以借助整体思维，将分数表示为整体，并通过整体与部分的关系，简化方程求解。

§16.3.1分式方程的解法(一)【教学目标】知识与技能：理解分式方程的概念；过程与方法：探索并掌握分式方程的解法；情感态度与价值观：理解分式方程增根产生的原因．【教学重点】掌握分式方程的解法及理解增根产生的原因．【教学难点】理解分式方程增根产生的原因．【学习过程】一、引入：轮船在顺水中航行80千米所需的时间和逆水航行60千米所需的时间相同．已知水流速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度．（设未知数列方程）二、新知：1．分式方程概念：方程中含有分式，并且分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2．增根：在将在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘以一个含未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的解（或根），这种根通常称为增根．因此，在解分式方程时必须进行检验．例1．解方程：806033x x=+-．例2．解方程：12112-=-xx．例3．解方程：（1）100307x x=-；（2）1122xx x-=--；（3）131x xx x+=--（4）31523162x x-=--；（5）0212322=--+x x x x ； （6）21233x x x-=---．三、课堂练习： 1．解下列方程： （1）3513x x =++； （2）263x x x x -=--；（3）2211566x x x x =+-++； （4）232703x x -=-； （5）151511.54x x -=； （6）665122+=++x xx x ．§16.3.1分式方程的解法(二)【教学目标】知识与技能：使学生理解分式方程的意义，会按一般步骤解可化为一元一次方程的分式方程；会解含有常数项的分式方程.过程与方法：经历探究，找到化分式方程为整式方程的方法.情感态度与价值观：渗透转化思想.【教学重点】会按一般步骤解含有常数项的可化为一元一次方程的分式方程.【教学难点】含有常数项的可化为一元一次方程的分式方程.【学习过程】一、引入：解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程.转化方法：在分式方程的两边同时乘以一个整式约去分母，所乘的整式通常取方程中出现的各分母的最简公分母.解方程（1）314725x x=+-；（2）221146x x+--=.二、新知：例1：解方程：21133x xx x=+++；练习：（1）213xx x+=+；（2）31523162x x-=--；例2：13122x x x --=--.练习：（1）21142xx x-=--； （2）31122x x x -=---；（3）2512552x x x +=+-； （4）2111x x x x++=+. 例3：2431422x x x x x +-+=--+.练习：（1）21212339x x x -=+--； （2）22122563x x x x x x x --=--+-.§16.3.1分式方程的应用----行程问题【教学目标】知识与技能：能将实际问题中的等量关系用分式方程表示，列出分式方程解决简单的实际问题，并能根据实际问题的意义检验所得的结果是否合理。

分式方程的解法与应用分式方程是含有至少一个分式的方程，其解法与整式方程有一定的区别。

本文将介绍分式方程的解法及其应用。

一、分式方程的解法解分式方程的关键在于将方程化简为整式方程，以下是常见的几种解法：1. 通分法：当分式方程中含有多个分母时，可以通过通分的方式将其转化为整式方程。

首先找到所有分母的公倍数，然后将方程两边都乘以公倍数，从而得到一个整式方程。

最后求解整式方程，即可得到分式方程的解。

2. 消去法：当分式方程中存在相同的因式时，可以通过消去的方式将其化简为整式方程。

首先找出方程中的公因式，然后将其约去，从而得到一个整式方程。

最后求解整式方程，即可得到分式方程的解。

3. 倒数法：当分式方程中含有一个分式的倒数时，可以通过倒数的方式将其转化为整式方程。

首先将方程两边的分式取倒数，然后将其化简为整式方程。

最后求解整式方程，即可得到分式方程的解。

二、分式方程的应用分式方程在实际问题中具有广泛的应用，以下是几个常见的例子：1. 比例问题：比例问题通常可以表示为分式方程。

例如，某商品的原价为x元，打折后的价格为x/2元，求折扣后的价格是多少。

可以建立分式方程x/2 = 折扣后的价格，然后通过解方程求得折扣后的价格。

2. 水箱问题：水箱问题中常涉及到进水速度、出水速度等概念，可以通过分式方程求解。

例如，一个水箱的进水口每小时进水1/3箱，出水口每小时排水1/4箱，求水箱在多长时间内装满。

可以建立分式方程1/3 - 1/4 =水箱装满的时间，然后通过解方程求得水箱装满的时间。

3. 工作效率问题：工作效率问题中常涉及到多个人或物共同工作时的效率关系，可以通过分式方程求解。

例如，甲、乙两人共同完成一项任务需要5小时，如果甲的效率是乙的2倍，那么甲独自完成此任务需要多长时间。

可以建立分式方程1/甲的效率 - 1/乙的效率 = 5，然后通过解方程求得甲独自完成任务的时间。

总之，分式方程的解法与整式方程有一定的区别，可以通过通分法、消去法、倒数法等方式来解决。

数学知识点分式方程的解法和应用数学知识点：分式方程的解法和应用分式方程是指方程中含有分式的数学等式。

解分式方程需要运用一些特定的方法和策略，以找到变量的值满足方程的条件。

本文将介绍分式方程的解法和应用。

首先，我们将讨论如何解一元分式方程。

一元分式方程的解法解一元分式方程的方法主要分为两个步骤：首先将分式方程转化为整式方程，然后求解整式方程得到变量的值。

步骤一：转化为整式方程为了将分式方程转化为整式方程，我们可以通过两种方法：通分或消去分母。

例子 1：解方程： 5/x - 2/(3x) = 1/4通分即可得到：15/(3x) - 2/(3x) = 3/(12x)化简为：13/(3x) = 3/(12x)例子 2：解方程： (2x - 1)/3 - (x + 1)/(2x) = 2/3将所有分式通分得到：2(2x - 1)/(6x) - 3(x + 1)/(6x) = 4/6整理化简为：4x - 2 - 3x - 3 = 4/6步骤二：求解整式方程得到整式方程后，我们可以使用常规的方程求解方法，将变量的值计算出来。

例子 1的继续：13/(3x) = 3/(12x)通过交叉相乘可得：39x = 36x整理化简为：x = 0例子 2的继续：4x - 2 - 3x - 3 = 4/6化简为：x - 5 = 2/6继续整理可得：x = 3到此为止，我们已经学习了解一元分式方程的方法。

接下来，我们将探讨分式方程的应用。

分式方程的应用分式方程在实际问题中具有广泛的应用。

下面将介绍两个常见的应用场景：比例问题和物体混合问题。

应用一：比例问题比例问题是指涉及到数量比例关系的问题。

通过设立分式方程，我们可以解决这类问题。

例子 3：甲、乙、丙三个人的年龄比例为5:3:2。

如果乙的年龄比甲大9岁，而丙的年龄比乙大8岁，求三个人的年龄。

设甲的年龄为5x岁，则乙的年龄为3x岁，丙的年龄为2x岁。

乙的年龄比甲大9岁，可以设立方程：3x = 5x - 9通过解方程可得：x = 4因此，甲的年龄为20岁，乙的年龄为12岁，丙的年龄为8岁。

分式方程的解法与应用在数学中，分式方程是含有分数的方程，通常形式为一个或多个包含有未知数的分式等于一个已知数或者另一个分式。

解分式方程的过程需要注意一些特殊的技巧和方法。

本文将介绍解分式方程的常用方法，并探讨分式方程在现实生活中的应用。

一、一次分式方程的解法对于一次分式方程，即含有一个未知数的分式方程，我们可以通过以下步骤来求解：1. 将分式方程的分母清零，即使分子等于0。

这样可以排除分母为0的情况。

2. 化简方程。

将方程两端的分式进行通分，并将分式约简到最简形式。

3. 消去分母。

将方程两端的分母消去，得到一个一次方程。

4. 求解一次方程。

将消去分母后的方程进行移项和合并同类项的运算，得到未知数的解。

二、二次分式方程的解法对于二次分式方程，即含有未知数的平方的分式方程，我们可以通过以下步骤来求解：1. 将方程的分母清零，使分子等于0。

2. 化简方程，将方程两端的分式通分，并将分式约简到最简形式。

3. 进行配方法。

对于二次分式方程，我们可以通过配方法将方程转化为一次分式方程。

4. 解一次分式方程。

按照一次分式方程的解法，求解配方法后得到的一次分式方程。

5. 核对解的有效性。

将求得的解代入原分式方程，并检查是否成立。

三、分式方程的应用分式方程在现实生活中有着广泛的应用，下面举几个例子：1. 比例问题：分式方程可以用于解决比例问题，比如某个产品的销售量与价格之间的关系。

2. 浓度计算：在化学领域，分式方程可用于计算溶液的浓度，如溶液A中含有5%的某种物质，溶液B中含有10%的同种物质，问如何将溶液A和溶液B混合得到含有8%的溶液。

3. 财务分析：在财务领域，分式方程可用于计算财务指标，如利润率、毛利率等。

4. 随机问题：分式方程可以用于解决随机问题，如抛硬币的概率问题、抽奖问题等。

通过上述例子，我们可以看到分式方程在实际生活中的应用十分广泛。

综上所述，解分式方程的方法根据方程的次数和具体形式有所区别，但总体思路是将方程转化为一次方程进行求解。

分式方程的解法及应用（基础）【要点梳理】要点一、分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫分式方程.要点诠释：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程.要点二、分式方程的解法解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根.解分式方程的一般步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.要点三、解分式方程产生增根的原因方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根.产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根.要点诠释：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根.（2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的.要点四、分式方程的应用分式方程的应用主要就是列方程解应用题.列分式方程解应用题按下列步骤进行：（1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系；（2）设未知数；（3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程；（4）解这个分式方程；（5）验根，检验是否是增根；（6）写出答案.【典型例题】类型一、判别分式方程例1 下列方程中，是分式方程的是（ ）． A ．3214312x x +--= B ．124111x x x x x -+-=+-- C ．21305x x += D ．x a x a b +=，（a ，b 为非零常数）类型二、解分式方程例2 解分式方程：（1）10522112x x +=--； （2）225103x x x x -=+-．变式 解方程：21233x x x-=---；类型三、分式方程的增根例3 m 为何值时，关于x 的方程223242mx x x x +=--+会产生增根？变式 如果方程11322x x x-+=--有增根，那么增根是________．类型四、分式方程的应用例4 甲、乙两班参加绿化校园植树活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60 棵树所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等．求甲、乙两班每小时各种多少棵树?变式两个工程队共同参与一个建筑工程，甲队单独施工1个月完成总工程的13，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成．哪个队的施工速度快?。

分式方程的解法和应用分式方程，又称有理方程，是指包含了分数的方程。

解决分式方程问题可以在数学中发挥很大的作用，因为它们可以用来描述实际问题，特别是在科学和工程领域中。

本文将介绍一些常见的分式方程的解法以及它们在实际应用中的应用。

一、一次分式方程的解法一次分式方程是指分式的分子和分母的次数均为1的方程。

例如，2/x + 3 = 1/2。

解决这类问题的一种常见方法是通过消去分母，使方程转化为线性方程。

在这种情况下，可以通过以下步骤来解决方程：1. 将分数转化为一个等于0的分式形式，例如将2/x转化为2/x - 1/2。

2. 通过求公倍数来消去分母，例如通过乘以2来消去分母。

3. 合并同类项并将方程转化为一元一次方程，例如2 - x = 1/2。

4. 将方程解题得到x的值，检查解的合法性。

二、二次分式方程的解法二次分式方程是指分式的分子或者分母的次数为2的方程。

例如，1/x^2 + 1/x = 2。

解决这类问题的一种常见方法是通过将方程转化为二次方程，然后使用二次方程的解决方法来求解。

在这种情况下，可以通过以下步骤来解决方程：1. 将分数转化为一个等于0的分式形式，例如将1/x^2转化为1/x^2 - 2。

2. 将方程中的分数转化为一个多项式方程，例如通过乘以x^2来消去分母。

3. 合并同类项并将方程转化为二次方程，例如x^2 - 2x + 1 = 0。

4. 使用求解二次方程的方法，例如配方法、因式分解法或者公式法，得到x的值。

5. 检查解的合法性。

三、分式方程的应用分式方程在实际应用中有广泛的用途，常见的应用包括以下几个方面：1. 比例问题：比例问题可以通过设置分式方程来解决。

例如，一个图书馆中有1000本书，其中有3/10是故事书，那么故事书的数目可以表示为(3/10)*1000=300本。

2. 涉及速度、距离和时间的问题：速度、距离和时间之间有一定的关系，可以通过设置分式方程来解决相关问题。

例如，一个人以每小时60公里的速度行驶，问他行驶1小时可以行驶多远，可以通过设置方程60/1=x/1解决。

分式解法及应用总结分式是一种特殊的代数表达式，包含分子和分母两部分，分子和分母都可以是代数式，其形式为a/b，其中a为分子，b为分母。

对于分式的加、减、乘、除运算，要根据运算法则进行处理，以得到最简形式的分式。

分式解法及应用在数学中具有重要意义，既可以用来解决实际问题，也可以用来推导和证明数学定理。

下面我将对分式解法及应用进行总结。

一、分式解法：1. 分式的加法与减法：对于分式a/b和c/d，可以采用通分的方式进行运算。

先找到a/b和c/d的最小公倍数lcm，然后将a/b和c/d分别乘以lcm/b和lcm/d，得到分母相同的两个分式。

最后，将分子相加或相减即可。

2. 分式的乘法：分式的乘法直接将分子相乘，分母相乘即可。

即(a/b) * (c/d) = (a*c)/(b*d)。

3. 分式的除法：分式的除法可以转化为乘法的倒数。

即(a/b) / (c/d) = (a/b) * (d/c) = (a*d)/(b*c)。

4. 分式的化简：对于分式a/b，可以将a和b的公因式约掉，得到最简形式的分式。

如果a和b都是多项式，可以进行因式分解后约掉公因式。

5. 分式方程的求解：将方程两边的分式化简后，将分子和分母交换位置，再将方程等式两边的分式乘以分母的最小公倍数，将方程化为整式方程，再根据整式方程的解法求解。

二、分式应用：1. 基本经济学原理：在经济学中，人们常常用比例和分式来表示经济关系。

例如，GDP（国内生产总值）可以表示为人均GDP的乘积，即GDP/人口数量。

又如价格的计算可以使用原价和折扣率的分式表达，价格=原价* (1-折扣率) / 100%。

2. 物理学中的速度计算：物理学中，速度是物体在单位时间内所经过的距离，通常使用分式来表示速度。

速度=位移/时间，分子位移代表物体所经过的距离，分母时间表示时间的长短。

3. 科学研究中的实验设计：在进行科学实验时，通常需要对研究对象进行分组，常用的分组方法之一是随机分组。

分式方程的解法及应用一、目标与策略明确学习目标及要紧的学习方式是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！学习目标：分式方程的概念和解法；分式方程产生增根的缘故；分式方程的应用题。

重点难点：重点：分式方程转化为整式方程的方式及其中的转化思想，用分式方程解决实际问题，能从实际问题中抽象出数量关系．难点：查验分式方程解的缘故，实际问题中数量关系的分析．学习策略：经历“实际问题——分式方程——整式方程”的进程，进展分析问题、解决问题的能力，渗透数学的转化思想，培育数学的应用意识。

二、学习与应用“凡事预则立，不预则废”。

科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对知识回顾——复习学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？（一）什么叫方程？什么叫方程的解？答：含有的叫做方程．使方程两边相等的的值，叫做方程的解．（二）分式的大体性质：分式的分子与分母同乘（或除以）同一个，分式的值不变，那个性质叫做分式的大体性质．用式子表示是：M B M A B A M B M A B A ÷÷=⨯⨯=,（其中M 是不等于0的整式）． （三）等式的大体性质：等式的两边都乘（或除以）同一个数或 （除数不能为0），所得的结果仍是等式。

（四）解以下方程：（1）9－3x ＝5x ＋5；（2）52221+-=--y y y知识点一：分式方程的概念里含有未知数的方程叫分式方程。

要点诠释：（1）分式方程的三个重要特点：①是 ；②含有 ；③分母里含有 。

（2）分式方程与整式方程的区别就在于分母中是不是含有 （不是一样的字母系数），分母中含有未知数的方程是 ，不含有未知数的方程是方程，如：关于x 的方程x x =-21和12723+=-x x 都是 方程，而关于x 的方程x x a =-21和d cb x =+1都是 方程。

知识点二：分式方程的解法（一）解分式方程的基本思想把分式方程化为 方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程，然后利用整式方程的解法求解。

分式方程的解法与应用分式方程是数学中的一种常见形式，它包含有分数的方程。

解决分式方程的过程需要运用一些特定的方法和技巧，同时，分式方程在实际生活中也有着广泛的应用。

本文将介绍分式方程的解法以及其在实际问题中的应用。

一、分式方程的解法解决分式方程的关键是将其转化为简单的等式，然后求解。

下面将介绍几种常用的分式方程解法。

1. 通分法当分式方程中含有多个分母时，可以使用通分法来简化方程。

首先找到方程中所有分母的最小公倍数，然后将方程两边同时乘以最小公倍数，将分母消去，得到一个简化的等式。

最后，通过移项和化简，求得方程的解。

2. 倒数法倒数法是解决分式方程中含有倒数的情况。

首先将方程中的倒数部分转化为分数形式，然后通过移项和化简，求得方程的解。

3. 分解法对于一些特殊的分式方程，可以使用分解法来解决。

例如，对于形如$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=1$的方程，可以将其分解为$\frac{x+y}{xy}=1$，然后通过移项和化简，求得方程的解。

二、分式方程的应用分式方程在实际生活中有着广泛的应用。

下面将介绍几个典型的应用案例。

1. 比例问题比例问题是分式方程的一种常见应用。

例如，某商品原价为$x$元，现在打折后的价格为原价的$\frac{2}{3}$，求打折后的价格。

通过建立方程$\frac{2}{3}x=x-\frac{1}{3}x$，可以求得打折后的价格为$\frac{1}{3}x$。

2. 浓度问题浓度问题也是分式方程的一种常见应用。

例如，某种饮料中含有$30\%$的果汁，现在要制作$1$升含有$20\%$果汁的饮料，需要加入多少升的纯果汁？通过建立方程$\frac{x}{1+x}=0.2$，可以求得需要加入的纯果汁的升数。

3. 财务问题财务问题中也常常涉及到分式方程的应用。

例如，某人的年收入为$x$元，他的生活开销占年收入的$\frac{1}{4}$，求他的生活开销。

通过建立方程$\frac{1}{4}x=x-\frac{3}{4}x$，可以求得他的生活开销为$\frac{3}{4}x$。

分式方程的解法与实际问题应用分式方程是数学中常见的一种方程形式，它涉及到分数的运算和求解。

在实际问题中，我们经常会遇到需要利用分式方程进行建模和求解的情况。

本文将介绍分式方程的解法以及其在实际问题中的应用。

一、分式方程的解法分式方程的解法主要有两种：通分法和消元法。

1. 通分法通分法是将分式方程中的分母进行通分，以便于进行进一步的运算和求解。

通分法的步骤如下：（1）找到方程中所有分式的最小公倍数作为通分的分母；（2）将方程两边的分式分别乘以通分的分母，得到新的方程；（3）将方程中的分式进行合并和化简；（4）解得方程的未知数。

例如，对于分式方程$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=2$，我们可以通过通分法解得：首先，分式的最小公倍数为xy，将方程两边分别乘以xy，得到新的方程为$xy(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})=2xy$。

然后，将方程中的分式进行合并和化简，得到$y+x=2xy$。

最后，解得方程的未知数为$x=1$和$y=1$。

2. 消元法消元法是通过消去方程中的某个未知数，将分式方程转化为一元方程，进而求解。

消元法的步骤如下：（1）根据方程的特点选择消元的未知数；（2）将方程中的分式进行合并和化简；（3）解得方程的未知数。

例如，对于分式方程$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=2$，我们可以通过消元法解得：首先，选择消元的未知数为x，将方程两边分别乘以x，得到新的方程为$\frac{x}{x}+\frac{x}{y}=2x$。

然后，将方程中的分式进行合并和化简，得到$1+\frac{x}{y}=2x$。

最后，解得方程的未知数为$x=1$和$y=1$。

二、分式方程在实际问题中的应用分式方程在实际问题中的应用非常广泛，下面以几个具体的例子来说明。

1. 比例问题比例问题是分式方程的典型应用之一。

例如，某工程队完成一项工程需要10天，现在增加了一些人手，要求减少完成工程的时间。

分式方程•分式方程是方程中的一种，且分母里含有未知数的（有理）方程叫做分式方程，等号两边至少有一个分母含有未知数。

•分式方程特征：①一是方程②二是分母中含有未知数。

因此整式方程和分式方程的根本区别就在于分母中是否含有未知数。

解分式方程•解法：解分式方程的基本思想是把分式方程转化为整式方程，其一般步骤是：（1）去分母：分式方程两边同乘以方程中各分母的最简公分母，把分式方程转化为整式方程。

(最简公分母:①系数取最小公倍数②出现的字母取最高次幂③出现的因式取最高次幂）（2）解方程：解整式方程，得到方程的根；（3）验根：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解，是原分式方程的增根。

如果分式本身约分了，也要带进去检验。

在列分式方程解应用题时，不仅要检验所得解的是否满足方程式，还要检验是否符合题意。

一般的，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为零，因此要将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为零，则是方程的解.注意：（1）注意去分母时，不要漏乘整式项。

（2）増根是分式方程去分母后化成的整式方程的根，但不是原分式方程的根。

（3）増根使最简公分母等于0。

分式方程的特殊解法：换元法：换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法。

•解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，这也是解分式方程的一般思路和做法。

解分式方程注意：①解分式方程的基本思想是把分式方程转化为整式方程，通过解整式方程进一步求得分式方程的解；②用分式方程中的最简公分母同乘方程的两边，从而约去分母，但要注意用最简公分母乘方程两边各项时，切勿漏项；③解分式方程可能产生使分式方程无意义的情况，那么检验就是解分式方程的必要步骤。

分式方程的解法与应用实例讨论一、分式方程的定义与性质1.1 分式方程的概念：分式方程是含有未知数的分式等式。

1.2 分式方程的性质：分式方程的解与方程的系数、常数项有密切关系。

二、分式方程的解法2.1 去分母法：将分式方程中的分母消去，使方程变为整式方程。

2.2 代入法：将分式方程中的未知数表示为其他变量的函数，然后代入整式方程求解。

2.3 加减法：通过对分式方程进行加减运算，消去分式中的分母。

2.4 乘除法：通过对分式方程进行乘除运算，将分式方程转化为整式方程。

三、分式方程的解法实例3.1 去分母法实例：解方程x−12=3−x4。

3.2 代入法实例：解方程x+23=5x−1。

3.3 加减法实例：解方程x3−2x=1。

3.4 乘除法实例：解方程2x−13⋅x+14=12。

四、分式方程的应用实例4.1 实际问题：某商品的原价是100元，打八折后的价格是多少？4.2 实际问题：甲、乙两地相距300公里，甲地到乙地的客车每小时行驶60公里，客车行驶2小时后离甲地还有多少公里？4.3 实际问题：一个长方形的长比宽多5cm，且长方形的面积是30cm²，求长方形的宽是多少cm？五、分式方程的拓展与提高5.1 含有多个未知数的分式方程：解方程组x+y3=2和x−y4=1。

5.2 不等式与分式方程的综合：解不等式组x−12>1和3−x4≤0。

5.3 函数与分式方程的综合：已知函数f(x)=x+2x−1，求函数的值域。

六、分式方程的综合训练6.1 给出一个分式方程，要求解方程并检验解的正确性。

6.2 给出一个实际问题，要求用分式方程表示问题，并求解方程。

6.3 结合函数、不等式等知识，解决一个涉及分式方程的综合问题。

以上是关于分式方程的解法与应用实例讨论的知识点总结。

希望对您的学习有所帮助。

习题及方法：一、去分母法习题1.1 解方程x+12=3−x4。

答案：将方程两边同乘以4，得到2(x+1)=3−x，然后解得x=13。

分式方程的解法与应用分式方程是指方程中含有分式的方程，通常形式为分子中含有未知数的方程。

解决分式方程问题的关键是找到其中的未知数的值，使等式成立。

本文将介绍常见的分式方程解法以及其在实际问题中的应用。

一、基本解法1. 消去分母将分数方程中的分母通过乘以最小公倍数或通分的方法消去，从而得到一个等式。

然后继续将未知数移到方程的一边，常数移到另一边，最终求得未知数的值。

2. 通分并整理将分式方程的分子进行通分，并整理为一个等式。

然后通过移项和整理，将未知数移到一边，常数移到另一边，继而求解未知数的值。

3. 求最小公倍数对于一些特殊的分式方程，我们可以先求出方程中分母的最小公倍数，然后将方程中的所有分式统一化。

接着，将分母消去，得到一个整式方程，进而解决。

二、分式方程的应用1. 比例问题分式方程经常用于解决比例相关的问题。

比如，A车和B车以不同的速度驶向一个目的地，已知A车比B车快1小时到达目的地，而A 车比B车慢1小时赶上B车。

求A车和B车单独行驶到达目的地所需的时间。

通过建立分式方程可得到两车的速度比，从而解决问题。

2. 涉及水池、容器等物理问题假设有一个水池，一根管子可以独立进行排水，另一根管子可以独立进行注水。

已知两根管子独立工作时分别需要6小时和8小时将水池排干或注满。

求填满一半的水池所需的时间。

通过建立分式方程可得到两根管子的工作效率，进而解决问题。

3. 财务问题分式方程在解决财务问题时也具有重要应用。

例如，某人通过两种不同的投资方式投资了一笔钱，两种方式的年利率分别为4%和6%。

已知一年后获得的总收益为800元。

求该人分别投资了多少钱。

通过建立分式方程可得到两种投资的金额比例，从而解决问题。

4. 混合液体问题当涉及到两种不同浓度的液体混合时，我们可以利用分式方程解决问题。

例如，混合含有30%盐的溶液和50%盐的溶液，已知混合后的溶液含有40%盐。

求两种溶液的混合比例。

通过建立分式方程可得到两种溶液的体积比例，进而解决问题。

分式方程及其应用一、分式方程的基本解法：1．分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫作分式方程．2．可化为一元一次方程的分式方程的解法：（1）解分式方程的基本思想是：把分式方程转化为整式方程．（2）解可化为一元一次方程的分式方程的一般方法和步骤：①去分母，即在方程的两边同时乘以最简公分母，把原方程化为整式方程；②解这个整式方程；③验根：把整式方程的根代入最简公分母中，使最简公分母不等于零的值是原方程的根；使最简公分母等于零的值是原方程的增根．注意：（1）增根能使最简公分母等于0；（2）增根是去分母后所得整式方程的根．3．解分式方程产生增根的原因：增根的产生是在解分式方程的第一步“去分母”时造成的，根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得的方程是原方程的同解方程，如果方程的两边都乘以的数是0 ，那么所得的方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根．【例1】解下列分式方程：（1）131x x+=-（2）31244xx x-+=--（3）21122xx x=---（4）11222xx x-=---（5）212xx x+=+（6）2216124xx x--=+-【例2】（1）若关于x 的方程1233mx x=+--有增根，则m =________．（2）解关于x 的方程2224222x a a x x+-=--会产生增根，则a 的值是________．（3）若关于x 的分式方程11044a xx x---=--无解，则a 的值为________．（4）若关于x 的分式方程2111m x x+=--的解为整数，则m 的取值范围是________．（5）若关于x 的分式方程311x a x x--=-无解，则a =________．二、巧解分式方程： 【例3】（1）111141086x x x x +=+---- （2）2263503x x x x-++=-（3）()()()()()1111111220212022x x x x x x x +++=------…（4）方程222313x x x x-+=-中，如设23y x x =-，原方程可化为整式方程：________．【拓1】观察下列方程及其解的特征：①12x x+=的解为121x x ==； ②152x x +=的解为12x =，212x =；③1103x x +=的解为13x =，213x =；…… 解答下列问题： ①请猜想：方程1265x x +=的解为________； ②请猜想：关于x 的方程1x x +=________的解为1x a =，21x a=（0a ≠）； ③上题中的结论可以证明是正确的，请用该结论来解方程：315132x x x x -+=-．【拓2】24111181111x x x x +++=-+++．三、分式方程的应用：【例4】（20宝应模拟）十堰即将跨入高铁时代，钢轨铺设任务也将完成．现还有6000米的钢轨需要铺设，为确保年底通车，如果实际施工时每天比原计划多铺设20米，就能提前15天完成任务．设原计划每天铺设钢轨x 米，则根据题意所列的方程是（ ） A ．600060001520x x -=+ B ．600060001520x x -=+ C ．600060002015x x -=- D ．600060002015x x-=-【拓3】某服装厂准备加工400套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了20%，结果共用了18天完成任务，问原计划每天加工服装多少套？在这个问题中，设原计划每天加工x 套，则根据题意可得方程为（ ） A ．()16040018120%x x +=+ B ．()16040016018120%x x -+=+ C ．1604001601820%x x -+= D ．()40040016018120%x x-+=+【例5】一辆汽车开往距离出发地180千米的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度行驶，一小时后加速为原来的1.5倍，并比原计划提前40分钟到达目的地，求前一小 时的平均速度．【拓4】有一段6000米的道路由甲乙两个工程队负责完成．已知甲工程队每天完成的工作量是乙工程队每天完成工作量的2倍，且甲工程队单独完成此项工程比乙工程队单独 完成此项工程少用10天．（1）求甲、乙两工程队每天各完成多少米？（2）如果甲工程队每天需工程费7000元，乙工程队每天需工程费5000元，若甲队 先单独工作若干天，再由甲乙两工程队合作完成剩余的任务，支付工程队总费用不超 过79000元，则两工程队最多可以合作施工多少天？四、真题演练：1．（21扬州三模）若关于x 的分式方程21mx x=-有正整数解，则整数m 的值是（ ） A ．3 B ．5 C ．3或5 D ．3或42．（19仪征期中）定义：如果一个关于x 的分式方程a b x=的解等于1a b -，我们就说这个方程叫差解方程．比如：243x =就是个差解方程．如果关于x 的分式方程2mm x =-是一个差解方程，那么m 的值是（ ） A ．2 B ．12 C ．12- D ．2-3．（20邗江月考）扬州轨道交通线网规划2020年由4条线路组成，其中1号线一期工程全长30千米，预计运行后的平均速度是原来乘公交车的1.5倍，行驶时间则缩短半小时．设原来公交车的平均速度为x 千米/时，则下列方程正确的是（ ） A ．30301.50.5x x +=B ．30301.50.5x x -= C ．30300.5 1.5x x +=D ．30300.5 1.5x x-=4．（21高邮期末）如果关于x 的不等式组521113()22m x x x -≥⎧⎪⎨-<+⎪⎩有且仅有四个整数解，且关于y的分式方程28122my y y --=--有非负数解，则符合条件的所有整数m 的和是（ ） A ．13 B ．15 C ．20 D ．225．（21仪征期末）若关于x 的分式方程312mx -=+的解为负数，则m 的取值范围为________．6．（21邗江期末）关于x 的方程1122m x x-=--有增根，则m 的值为________．7．（19宝应月考）若关于x 的分式方程21011m x x -=-+无解，则m =________．8．（18高邮期中）已知关于x 的分式方程111x k kx x +-=+-的解为负数，则k 的取值范围是________．9．（19江都期中）若关于x 的方程4122ax x x =+--无解，则a 的值是________．10．（20广陵期中）要使方程121x x a=--有正数解，则a 的取值范围是________．11．（21仪征期末）若关于x 的分式方程12221(2)(1)x x x ax x x x --+-=-+-+的解为负数，则a 的取值范围是________．12．（19邗江月考）对于非零实数a 、b ，规定21a ab b a⊗=-．若(21)1x x ⊗-=，则x 的值为________．13．（20仪征期中）对于两个不相等的实数a 、b ，我们规定{in }m h a b 、表示a 、b 中较小的数的一半，如min 2{}31h =、，那么方程22{i }m n h x x xx=-+、的解为________．14．（20仪征期中）定义运算“※”： , , aa b a ba b b a b b a⎧>⎪⎪-=⎨⎪<⎪-⎩※，若52x =※，则x 的值为________．15．（20仪征期中）若32248168224816321111111a x x x x x x x =+++++--+++++，则a 的值是________．16．（2021·扬州）为保障新冠病毒疫苗接种需求，某生物科技公司开启“加速”模式，生产效率比原先提高了20%，现在生产240万剂疫苗所用的时间比原先生产220万剂疫苗所用的时间少0.5天．问：原先每天生产多少万剂疫苗？17．（20邗江月考）疫情防控形势下，人们在外出时都应戴上口罩以保护自己免受新型冠状病毒感染．某药店用4000元购进若干包次性医用口罩，很快售完，该店又用7500元钱购进第二批这种口罩，所进的包数比第一批多50%，每包口罩的进价比第一批每包口罩的进价多0.5元，请解答下列问题： （1）求购进的第一批医用口罩有多少包？（2）政府采取措施，在这两批医用口罩的销售中，售价保持了一致，若售完这两批口罩的总利润不高于3500元钱，那么药店销售该口罩每包的最高售价是多少元？18．（21邗江期末）对于两个不等的非零实数a ，b ，若分式()()x a x b x--的值为0，则x a =或x b =．因为2()()()()x a x b x a b x ab abx a b x x x---++==+-+，所以关于x 的方程abx a b x+=+的两个解分别为1x a =，2x b =．利用上面建构的模型，解决下列问题： （1）若方程px q x+=的两个解分别为11x =-，24x =．则p =________，q =________；（2）已知关于x 的方程222221n n x n x +-+=+两个解分别为1x ，2x （12x x <）．求12223x x -的值．19．（21高邮期末）八年级学生去距学校12km 的珠湖小镇游玩，一部分学生骑自行车先走，其余学生20min 后乘汽车出发，结果他们同时到达、已知汽车的速度是骑车学生速度的3倍．（1）求骑车学生的速度；（2）游玩中八（4）班班主任为增强班级凝聚力决定让全班学生在户外拓展区参加一次户外拓展活动，班主任根据该项目收费标准支付了1575元，请根据该项目收费信息确定全班人数．户外拓展收费标准：人数 收费 不超过30人 人均收费50元超过30人每增加1人，人均收费降低1元，但人均收费不低于40元20．（2020·扬州）如图，某公司会计欲查询乙商品的进价，发现进货单已被墨水污染． 进货单：商品 进价（元/件）数量（件）总金额（元）甲7200 乙3200李阿姨：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高50%． 王师傅：甲商品比乙商品的数量多40件． 请你求出乙商品的进价，并帮助他们补全进货单．。