八年级数学上册第十五章分式15.3分式方程第2课时用分式方程解决实际问题教案

第十五章分式15.3 分式方程课时2 分式方程的应用【知识与技能】(1)进一步熟练地解可化为一元一次方程的分式方程.(2)熟练地列可化为一元一次方程的分式方程解应用题.【过程与方法】建立分式方程模型的过程，体会建模思想.【情感态度与价值观】在探索分式方程解决实际问题的过程中，体会数学在实际生活中的广泛应用.在不同的实际问题中审清题意设未知数，列分式方程，解决实际问题.在不同的实际问题中，设未知数列分式方程.多媒体课件.教师出示问题：1.列方程解应用题的一般步骤是什么？(1)审；(2)设；(3)列；(4)解；（5）验；(6)答.(教师板书)2.由学生讨论，我们现在所学过的应用题有哪些类型？学生举手回答上面的两个问题，教师点评.在学生讨论的基础上，教师归纳、总结，基本上有五种：(出示投影)(1)行程问题：路程=速度×时间，而行程问题中又分相遇问题和追及问题.(2)数字问题：在数字问题中，要掌握十进制数的表示法.(3)工程问题：工作量=工作时间×工作效率.(4)顺水、逆水问题：v顺水=v静水+v水，v逆水=v静水-v水.(5)利润问题：售价-进价=利润率×进价.教师引入：有一些实际问题，我们可以通过列分式方程解决.(板书课题)教师：同学们，我们一起来看几个例子(教师依次出示教材P152例3、P153例4)：例3两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的13，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快？分析：甲队1个月完成总工程的，设乙队单独施工1个月能完成总工程的，那么甲队半个月完成总工程的（），乙队半个月完成总工程的（），两队半个月完成总工程的（）.教师引导学生在用式子表示上述的量之后，再根据“甲、乙两个工程队的工程总量=总工程量”这一相等关系建立方程.教师示范解答过程，强调必须检验这一过程.例4某次列车平均提速v km/h.用相同的时间，列车提速前行驶s km，提速后比提速前多行驶50 km，提速前列车的平均速度为多少？学生讨论，教师引导.先指导学生读题，理清速度、路程和时间所对应的式子，再抓住“相同的时间”这一关键词，得出相等的数量关系，即“提速前的路程÷提速前的速度=提速后的路程÷提速后的速度”，从而建立方程.学生自己独立完成解答过程，教师再演示解答过程.注意：教师帮助学生解决含有字母的计算问题，求出关于x的方程的解.教师提醒：表达问题时，用字母不仅可以表示未知数(量)，也可以表示已知数(量).最后教师总结：(1)在实际问题中，有时题目中包含多个相等数量关系，在列方程时一定要选择一个能够体现全部(或大部分)题意的相等关系.(2)在检验过程中，不仅要检验所得的根是否为原分式方程的根，还要检验这个根在实际问题中是否具有实际意义，如时间非负、人数为正数等.(3)在一些实际问题中，有时直接设问题所求的量为未知数可能比较麻烦，可以间接地设未知数.接着教师让学生独立完成教材P154练习第1，2题，同桌之间互相检查.列分式方程解应用题按下列步骤进行：(1)审题,了解已知量与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系；(2)设未知数；(3)找出能够表示题中全部(或大部分)含义的相等关系，列出分式方程；(4)解这个分式方程；(5)验根，检验所求得的根是不是增根，以及是否符合实际意义；(6)写出答案.第十一章检测题(时间：120分钟满分：120分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列长度的三条线段能组成三角形的是( D )A．1，2，3 B．1， 2 ，3 C．3，4，8 D．4，5，62．正十边形的一个内角的度数是( D )A．108°B．120°C．135°D．144°3．已知△ABC中，∠B是∠A的2倍，∠C比∠A大20°，则∠A等于( A )A．40°B．60°C．80°D．90°4．如图，D，B，C，E四点共线，∠ABD＋∠ACE＝230°，则∠A的度数为( A )A．50°B．60°C．70°D．80°（第4题图）（第6题图）（第7题图）5．一个正多边形的外角等于45°，则这个正多边形的内角和是( B )A．1 440°B．1 080°C．900°D．720°6．如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD的周长为22 cm，AB比AC长3 cm，则△ACD 的周长为( A )A．19 cm B．22 cm C．25 cm D．31 cm7．小明同学把自己的一副三角板(两个直角三角形)按如图所示的位置将相等的边叠放在一起，则α的度数为( C )A．135°B．120°C．105°D．75°8．已知n是正整数，若一个三角形的三边长分别是n＋2，n＋8，3n，则满足条件的n 的值有( D )A．4个B．5个C．6个D．7个9．如图，在△CEF中，∠E＝80°，∠F＝50°，AB∥CF，AD∥CE，连接BC，CD，则∠A的度数是( B )A．45°B．50°C．55°D．80°（第9题图）（第10题图）10．如图，在△ABC中，∠C＝36°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1－∠2的度数是( B )A．36°B．72°C．50°D．46°二、填空题(每小题3分，共18分)11．工人师傅盖房子时，常将房梁设计成如图所示的图形，使其牢固不变形，这是利用三角形的稳定性．（第11题图） （第14题图） （第16题图）12．若三角形两边长分别是2，4，第三边长为偶数，则第三边长为4． 13．若一个n 边形的外角和与它的内角和之和为1 800°，则边数n ＝10．14．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AD 平分∠CAB，交边BC 于点D ，过点D 作DE⊥AB，垂足为点E.若∠CAD＝20°，则∠EDB 的度数是40°．15．已知a ，b ，c 是三角形的三条边，则化简|a －b ＋c|－|c －a －b|＝2c －2b ．16．如图，在△ABC 中，∠A ＝84°，点O 是∠ABC，∠ACB 平分线的交点，点P 是∠BOC，∠OCB 平分线的交点，若∠P＝100°，则∠ACB 的度数是56°．三、解答题(共72分)17．(6分)求图中∠α的度数．(1)解：∠α＝360°－65°－70°－(180°－40°)＝85°.(2)解：∠α＝180°－(360°－90°－90°－40°)＝40°.18．(6分)若三角形的三边长分别是2，x ，10，且x 是不等式x ＋14 ＜1－1－x 5的正偶数解，试求第三边的长x.解：原不等式可化为5(x ＋1)＜20－4(1－x)，解得x ＜11，又根据三角形的三边关系，得10－2＜x ＜10＋2，解得8＜x ＜12，∵x 是正偶数，∴x ＝10，∴第三边的长为10.19．(6分)如图，AD 是△ABC 的高，AE 是△ABC 的角平分线，若∠BAC∶∠B∶∠C＝6∶3∶1，求∠DAE 的度数．解：∵∠BAC∶∠B∶∠C＝6∶3∶1，∴设∠BAC＝6α，则∠B＝3α，∠C ＝α，∵∠BAC ＋∠B＋∠C＝180°，∴6α＋3α＋α＝180°，解得α＝18°，∴∠BAC ＝108°，∠B ＝54°，∠C ＝18°.∵AD 是△ABC 的高，∴∠ADB ＝90°，∴∠BAD ＝180°－90°－54°＝36°，∵AE 是△ABC 的角平分线，∴∠BAE ＝12 ∠BAC＝12×108°＝54°，∴∠DAE ＝∠BAE －∠BAD＝54°－36°＝18°.20. (8分)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝34°，△ABC 的外角∠CBD 的平分线BE 交AC 的延长线于点E.(1)求∠CBE 的度数；(2)过点D 作DF∥BE，交AC 的延长线于点F ，求∠F 的度数．解：(1)∵∠ACB＝90°，∠A ＝34°，∴∠CBD ＝∠ACB＋∠A＝124°，∵BE 是∠CBD 的平分线，∴∠CBE＝12∠CBD＝62°.(2)∵∠ECB＝90°，∠CBE ＝62°，∴∠CEB ＝90°－∠CBE＝28°，∵DF ∥BE ，∴∠F ＝∠CEB＝28°.21．(8分)如图，D 是△ABC 的边BC 上的一点，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC ＝66°，求∠DAC 的度数．解：∵∠4＝∠1＋∠2，∠1＝∠2，∴∠4＝2∠1，∵∠3＝∠4，∴∠3＝2∠1，∵∠BAC ＝66°，∴180°－∠2－∠3＝180°－∠1－2∠1＝66°，解得∠1＝38°，∴∠DAC ＝∠BAC－∠1＝66°－38°＝28°.22．(8分)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D.(1)求证：∠ACD＝∠B；(2)若AF 平分∠CAB，且分别交CD ，BC 于点E ，F ，求证：∠CEF＝∠CFE.证明：(1)∵∠ACB＝90°，∴∠ACD ＋∠DCB＝90°，又∵CD⊥AB 于点D ，∴∠DCB ＋∠B＝90°，∴∠ACD ＝∠B.(2)∵∠CEF＝∠CAF＋∠ACD，∠CFE ＝∠B＋∠FAB，又∵AF 平分∠CAB，∴∠CAF ＝∠FAB，由(1)知∠ACD＝∠B，∴∠CEF ＝∠CFE.23．(9分)当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．(1)已知一个“特征三角形”的“特征角”为100°，求这个“特征三角形”的最小内角的度数；(2)是否存在“特征角”为120°的三角形？若存在，请举例说明．解：设三角形的另一个内角为γ.(1)∵α＝2β，且α＋β＋γ＝180°，∴当α＝100°时，β＝50°，则γ＝30°，∴这个“特征三角形”的最小内角的度数是30°.(2)不存在．∵α＝2β，且α＋β＋γ＝180°，∴当α＝120°时，β＝60°，则γ＝0°，此时不能构成三角形，∴不存在“特征角”为120°的三角形．24．(9分)如图，在△ABC 中(AC ＞AB)，AC ＝2BC ，BC 边上的中线AD 把△ABC 的周长分成60 cm 和40 cm 两部分，求边AC 和AB 的长．(提示：设CD ＝x cm )解：∵AD 是BC 边上的中线，∴BD ＝CD ，设BD ＝CD ＝x cm ，AB ＝y cm ，∵AC ＝2BC ，∴AC ＝4x cm ，分为两种情况：①若AC ＋CD ＝60 cm ，AB ＋BD ＝40 cm 时，则⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋x ＝60，x ＋y ＝40， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝28， 即AC ＝4×12＝48(cm )，AB ＝28 cm ，BC ＝2×12＝24(cm )，此时符合AC ＞AB 和三角形三边关系；②若AC ＋CD ＝40 cm ，AB ＋BD ＝60 cm 时，则⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋x ＝40，x ＋y ＝60， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝52，即AC ＝4×8＝32(cm )，AB ＝52 cm ，不符合AC ＞AB ，舍去．综上所述，AC 的长为48 cm ，AB 的长为28 cm .25．(12分) “转化”是数学中的一种重要思想，即把陌生的问题转化成熟悉的问题，把复杂的问题转化成简单的问题，把抽象的问题转化成具体的问题．(1)请你根据已经学过的知识求出下面星形图①中∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数；(2)若对图①中星形截去一个角，如图②，请你求出∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F 的度数；(3)若再对图②中的角进一步截去，你能由题(2)中所得的方法或规律，猜想图③中的∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠M＋∠N的度数吗？(只需写出结论，不需要写出解题过程)解：(1)如图①，∵∠1＝∠2＋∠D＝∠B＋∠E＋∠D，∠1＋∠A＋∠C＝180°，∴∠A ＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.(2)如图②，∵∠1＝∠2＋∠F＝∠B＋∠E＋∠F，∠1＋∠A ＋∠C＋∠D＝360°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝360°.(3)根据题(2)可得出规律：图①中，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°，每截去一个角则会增加180度，所以当截去5个角时增加了(180×5)度，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E ＋∠F＋∠G＋∠H＋∠M＋∠N＝180°×5＋180°＝1 080°.2.5 等腰三角形的轴对称性同步测试题（满分120分；时间：120分钟）班级____________姓名___________成绩_________一、选择题（本题共计 9 小题，每题 3 分，共计27分，）1. 已知等腰三角形中，腰＝，底＝，则这个三角形的周长为（）A. B. C. D.2. 的三边长分别，，，且＝，则是（）A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形3. 下列条件中，不能得到等边三角形的是（）A.有两个内角是的三角形B.有两边相等且是轴对称的三角形C.有一个角是且是轴对称的三角形D.三边都相等的三角形4. 在等腰中，，、分别是底角的平分线，，图中等腰三角形有（）A.个B.个C.个D.个5. 已知等腰三角形的一个外角等于，则这个三角形的三个内角的度数分别是（）A.、、B.、、C.、、D.、、或、、6. 如图，在中，，，以为圆心，的长为半径作圆弧，交于点，连接，则等于（）10A. B.C. D.7. 下列说法：①在中，若，则为等边三角形；②在中，若，则为等边三角形；③有两个角都是的三角形是等边三角形；④一个角为的等腰三角形是等边三角形．其中正确的个数为（）A.个B.个C.个D.个8. 已知，，为的各边边长，当时，则的形状是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形9. 如图，正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知，是两格点，如果也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点的个数是（）A. B. C. D.二、填空题（本题共计 8 小题，每题 3 分，共计24分，）10. 已知等腰三角形的一个外角为，则它的顶角的度数为________．11 已知一个等腰三角形的一个角是，其顶角的度数为________．12. 有一个角是________的等腰三角形是等边三角形．13. 如果一个三角形的两条角分线又是它的两条高线，则这个三角形是________三角形．14 如图，在的正方形网格中，点、分别在格点上，在图中确定格点，则以、、为顶点的等腰三角形有________个．15 如图，已知在矩形中，对角线，相交于点，且，，则图中长度为的线段有________条．16 如图，已知，，，，…，以此类推，若，则________．三、解答题（本题共计 8 小题，共计72分，）17. 画一个，在射线上任选一点，画，与交于点，试判断的形状．18. 如图，在中，＝，于点，平分交于点，交于点，求证：＝．19 如图，在中，，，，，求的度数．20. 如图，在等边中，点，分別在边，上，，过点作丄，交的延长线于点．求的度数；若，求，的长．21 如图，在中，＝，点，点分别是，上一点，且．若＝，＝，求的度数．22. 如图，已知等边三角形，是边上一点，作交于点，交延长线于点，求证：＝．23 如图，等边边长为，点是等边的中心，连接.将线段绕点顺时针旋转，设旋转角为._________；如图，当时，线段旋转到，求证在旋转过程中，当时，直接写出点经过的路径长.。

第2课时 分式方程的应用1．进一步熟练地解可化为一元一次方程的分式方程．2．使学生能较熟练地列可化为一元一次方程的分式方程解应用题．重点在不同的实际问题中审明题意设未知数，列分式方程，解决实际问题． 难点在不同的实际问题中，设未知数列分式方程．一、复习引入 1．解下列方程：(1)3－x x ＋1＝4＋x x ＋1－2；(2)2x ＋3＋32＝72x ＋6. 2．列方程解应用题的一般步骤：(1)审；(2)设；(3)列；(4)解；(5)答．[概括] 这些解题方法与步骤，对于解分式方程应用题也适用．这节课，我们将学习列分式方程解应用题．二、探究新知例 1 某校招生录取时，为了防止数据输入出错，2 640名学生的成绩数据分别由两位程序操作员各向计算机输入一遍，然后让计算机比较两人的输入是否一致．已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用了2小时输完．问这两个操作员每分钟各能输入多少名学生的成绩？[分析] (1)如何设元？(2)题目中有几个相等关系？(3)怎样列方程？ 本题有两个相等关系： (1)甲速＝2乙速 (2)甲时＋120＝乙时其中(1)用来设，(2)用来列方程．[概括] 列分式方程解应用题的一般步骤： (1)审清题意；(2)设未知数(要有单位)；(3)根据题目中的数量关系列出式子，找出相等关系，列出方程； (4)解方程，并验根，还要看方程的解是否符合题意； (5)写出答案(要有单位)．例2 A ，B 两地相距135千米，两辆汽车从A 开往B ，大汽车比小汽车早出发5小时，小汽车比大汽车晚到30分钟，已知小汽车与大汽车的速度之比为5∶2，求两车的速度．练习：(1)甲乙两人同时从A 地出发，骑自行车到B 地，已知AB 两地的距离为30 km ，甲每小时比乙多走3 km ，并且比乙先到40分钟．设乙每小时走x km ，则可列方程为( )A .30x －30x －3＝23B .30x －30x ＋3＝23C .30x ＋3－30x ＝23 D .30x －3－30x ＝23(2)我军某部由驻地到距离30千米的地方去执行任务，由于情况发生了变化，急行军速度必须是原计划的1.5倍，才能按要求提前2小时到达，求急行军的速度．例3(教材例3) 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的13，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成．哪个队的施工速度快？分析：甲队1个月完成工程的13，设乙队单独施工1个月能完成总工程的1x ，那么甲队半个月完成总工程的________，乙队半个月完成总工程的________，两队半个月完成总工程的________．本题是工程问题，注意基本公式是：工作量＝工时×工效． 等量关系为：甲、乙两个工程总量总工程量．列方程：13＋16＋12x＝1.例4(教材例4) 某次列车平均提速v km /h ，用相同的时间，列车提速前行驶s km ，提速后比提速前多行驶50 km ，提速前列车的平均速度为多少？分析：这里的字母v ，s 表示已知数据，设提速前列车的平均速度为x km /h ，那么提速前列车行驶s km 所用时间为________h ，提速后列车的平均速度为________km /h ，提速后列车运行(s ＋50)km 所用时间为________h .本题是列含字母系数的分式方程，解这个方程并且检验是难点，在解题过程中注意把s ，v 当作已知数．等量关系：提速前行驶50 km 所用的时间＝提速后行驶(s ＋50) km 所用的时间．列方程：sx＝错误!.练习：教材第154页练习第1，2题． 三、课堂小结1．列分式方程解应用题的一般步骤： (1)审：审清题意；(2)设：设未知数(要有单位)；(3)列：根据题目中的数量关系找出相等关系，列出方程； (4)解：解方程，并验根，还要看方程的解是否符合题意； (5)答：写出答案(要有单位)． 2．几种基本题型： (1)行程问题； (2)数字问题； (3)工程问题； (4)顺水逆水问题； (5)利润问题． 四、布置作业教材第154～155页习题15.3第3，4，5题．本节课结合具体的数学内容采用“问题情境——建立数学模型——解释应用与拓展”的模式展开，选择有现实意义的，对学生具有一定挑战性的内容，使学生在自主探索和合作交流的过程中建立数学模型，让学生能够自觉的用数学的眼光观察世界，提高发现问题、分析问题、解决问题的能力．第2课时 线段的垂直平分线的有关作图1．作出轴对称图形的对称轴，即线段垂直平分线的尺规作图．(重点)2．依据轴对称的性质找出两个图形成轴对称及轴对称图形的对称轴．(重点)一、情境导入有时我们感觉两个平面图形成轴对称，如何验证呢？不折叠图形，你能准确地作出轴对称图形的对称轴吗？二、合作探究探究点一：作线段的垂直平分线【类型一】 作某条线段的垂直平分线如图，点A 和点B 关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？(注：作一对对应点的对称轴就是作线段AB 的垂直平分线)解析：本题其实就是作线段AB 的垂直平分线，根据线段垂直平分线的作法作出即可． 解：作法：(1)分别以点A 、B 为圆心，以大于12AB 的长为半径作弧，两弧相交于E 、F两点；(2)作直线EF ，EF 即为所求的直线．同样，对于轴对称图形，只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴．方法总结：要熟练掌握线段垂直平分线的作法，作出的图形中的作图痕迹要保留．【类型二】 垂直平分线的作法与垂直平分线的性质的综合如图，已知点A 、点B 以及直线l .(1)用尺规作图的方法在直线l 上求作一点P ，使PA ＝PB .(保留作图痕迹，不要求写出作法)；(2)在(1)中所作的图中，若AM ＝PN ，BN ＝PM ，求证：∠MAP ＝∠NPB .解析：(1)利用线段垂直平分线的作法作出即可；(2)利用全等三角形的判定方法以及利用其性质得出即可．解：(1)如图所示：(2)在△AMP 和△BNP 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AM ＝PN ，PM ＝BN ，AP ＝BP ，∴△AMP ≌△PNB (SSS)，∴∠MAP ＝∠NPB .方法总结：解决此类问题首先要正确作出图形，然后运用相关的知识解决其他问题．【类型三】 垂直平分线作法的应用如图，某地由于居民增多，要在公路l 边增加一个公共汽车站，A ，B 是路边两个新建小区，这个公共汽车站C 建在什么位置，能使两个小区到车站的路程一样长(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写画法)?解析：作线段AB 的垂直平分线，由垂直平分线的定理可知，垂直平分线上的点到A ，B 的距离相等．解：连接AB ，作AB 的垂直平分线交直线l 于O ，交AB 于E .∵EO 是线段AB 的垂直平分线，∴点O 到A ，B 的距离相等，∴这个公共汽车站C 应建在O 点处，才能使到两个小区的路程一样长．方法总结：对于作图题首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．【类型四】 线段垂直平分线与角平分线作法的综合运用如图，某地有两所大学和两条交叉的公路．图中点M ，N 表示大学，OA ，OB 表示公路，现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出仓库P应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计．(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)解析：到两条公路的距离相等，在这两条公路的夹角的平分线上；到两所大学的距离相等，在这两所大学两个端点的连线的垂直平分线上，所画两条直线的交点即为所求的位置．解：如图，点P为所求．方法总结：通过本题要熟练地掌握角平分线的作法以及线段垂直平分线的作法．探究点二：对称轴的画法【类型一】画出已知图形的对称轴画出下列轴对称图形的所有对称轴(不考虑颜色)．解析：利用轴对称图形的性质分别得出其对称轴即可．解：如图所示：方法总结：画轴对称图形的对称轴，先找出对称点，然后作对称点的垂直平分线即可．【类型二】补全图形，并画出对称轴如图，在4×3的正方形网格中，阴影部分是由4个正方形组成的一个图形，请你用两种方法分别在如图方格内填涂2个小正方形，使这6个小正方形组成的图形是轴对称图形，并画出其对称轴．解析：根据轴对称的性质画出图形即可．解：如图所示：方法总结：解答此类问题，一般要先设计出轴对称图形，然后根据图形的特点，画出对称轴．三、板书设计线段的垂直平分线的有关作图1．线段垂直平分线的作法．2．作轴对称图形的对称轴的方法．本节课由于采用了直观操作以及讨论交流等教学方法，从而有效地增强了学生的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因而本节课的教学效果较好，学生对所学的新知识掌握较好，达到了教学的目的．不足之处是少数学生对线段垂直平分线性质定理的逆定理理解不透彻，还需在今后的教学和作业中进一步进行巩固和提高．[菱形]说课稿一、教材分析1、在教材中的作用与地位[菱形]紧接[矩形]一节之后。

人教版八年级数学上册15.3.2《列分式方程解决实际问题》教学设计一. 教材分析人教版八年级数学上册15.3.2《列分式方程解决实际问题》这一节主要讲述了如何利用分式方程来解决实际问题。

学生在学习了分式方程的知识后，需要运用这些知识解决一些实际问题，从而加深对分式方程的理解和应用。

本节内容是分式方程应用的一个例子，通过解决实际问题，让学生掌握分式方程在实际问题中的应用。

二. 学情分析学生在学习这一节之前，已经掌握了分式方程的基本知识，能够熟练地列出分式方程。

但是对于如何选择合适的等量关系，以及如何将实际问题转化为分式方程，可能还存在一些困难。

因此，在教学过程中，需要引导学生正确地选择等量关系，并将实际问题转化为分式方程。

三. 教学目标1.理解分式方程在解决实际问题中的应用。

2.能够正确选择等量关系，并将实际问题转化为分式方程。

3.通过解决实际问题，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。

四. 教学重难点1.教学重点：分式方程在解决实际问题中的应用。

2.教学难点：如何选择合适的等量关系，并将实际问题转化为分式方程。

五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，通过解决实际问题，引导学生运用分式方程的知识。

在教学过程中，注重启发式教学，引导学生主动思考，提高学生解决问题的能力。

六. 教学准备1.准备相关的实际问题，用于引导学生运用分式方程。

2.准备多媒体教学设备，用于展示问题和解答过程。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个简单的实际问题，引导学生思考如何利用分式方程来解决问题。

例如：甲、乙两地相距100公里，甲地有一批货物需要运往乙地，如果每小时运60公里，则4小时可以运完。

如果每小时运80公里，则需要多少时间才能运完？2.呈现（10分钟）呈现更多的实际问题，让学生独立思考如何列出分式方程。

例如：一个长方形的周长是36厘米，长是10厘米，求宽是多少厘米？3.操练（15分钟）让学生分组讨论，尝试解决呈现的问题。

人教版义务教育教科书八年级数学上册
15.3 《分式方程（二）》第2课时教学设计
一、教材分析
1、地位作用：
本节“分式方程”是继一元一次方程，二元一次方程组之后，初中阶段所讲授的又能一种方程的解法。

本节课是在继分式的内容及分式的四则混合运算之后所讲述的一个内容，其实际上就是分式与方程的综合。

因此本节课可以看作是一个综合课，同时分式方程的解法也是初中阶段的一个重点内容，要求学生必须掌握。

2、教学目标：
(1)、了解解分式方程的基本思路和解法；理解解分式方程产生增根的原因，并掌握分式方程的验根方法。

（2）、经历“实际问题——分式方程——整式方程”的过程，发展学生分析问题，解决问题的能力，渗透数学的转化思想，培养学生的应用意识。

3、教学重、难点
重点：解分式方程的基本思路和解法。

难点：理解解分式方程产生增根的原因。

突破难点的方法：以典型例子为范,说明通过去分母得到的解必须经过验根.,当这个解使得分式方程分母不为0时,才是分式方程的解。

二、教学准备：多媒体课件、导学案
三、教学过程
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第十五章 分式15.3 分式方程第1课时 分式方程及其解法学习目标：1.了解分式方程的概念，掌握解分式方程的基本思路.2.掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法.3.理解分式方程无解的原因，掌握分式方程验根的方法. 重点：掌握解分式方程的基本思路和解法. 难点：理解分式方程无解的原因.一、知识链接1.下列哪些式子是方程？（1）267=-x （ ） （2）549=- （ ） （3）8+x （ ） （4）312 -x （ ） （5）2131x x =- （ ） （6）132=-yx （ ） （7）132=-y x （ ） （8）5=x （ ） 2.解一元一次方程的一般需经过哪些步骤呢？结合例题回顾.3.找出下列各组分式的最简公分母： （1）11+x 与11-x 的最简公分母是 .（2）21+a 与412-a 的最简公分母是 . 二、新知预习问题1：什么是分式方程？要点归纳：分母中含有________的方程叫做分式方程.问题2：解分式方程的一般步骤有哪些？要点归纳：(1)去分母：在方程的两边都乘以___________，化成整式方程； (2)解这个整式方程：去括号、移项、合并同类项；(3)检验：把解得的根代入______________，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则这个解不是原分式方程的解. 三、自学自测1.下列各式中，分式方程是 （ ）A.65x x = B.1051x x =- C.2341x x =+ D.()1033x xa a =-≠2.解分式方程2211x x x++--＝3时，去分母后变形为 （ ） A ．2＋(x ＋2)＝3(x －1) B ．2－x ＋2＝3(x －1) C ．2－(x ＋2)＝3(1－x) ． D ．2－(x ＋2)＝3(x －1)3.解方程：(1)x －2x ＋2－1＝3x 2－4；(2)2x 2x －3－12x ＋3＝1.四、我的疑惑_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________一、要点探究探究点1：分式方程的概念 问题1：一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时,它沿江以最大航速顺流航行90千米所解：设江水的流速为 x 千米/时.依题意，得问题2：此方程与我们所学过的方程有何差别？所列方程是整式方程吗？要点归纳： 的方程叫做分式方程.例1：下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？437x y +=；13(2)2x x =-；(1)(4)1x x x -=-；3(3)2x x π-=；162105x x -+=（）；152x x -=（）；2131x x x ++=.方法总结:判断一个方程是否为分式方程，主要是看分母中是否含有未知数(注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母)． 探究点2：分式方程的解法 问题1：如何求分式方程vv -=+30603090的解呢？问题2：分式方程2510512-=-x x 有解吗？问题3：解分式方程的基本思路是什么？需要注意的问题是什么？例1：解方程：(1)5x ＝7x －2；(2)1x －2＝1－x 2－x－3.方法总结：解分式方程的步骤：①去分母；②解整式方程；③检验；④写出方程的解．注意检验有两种方法，一是代入原方程，二是代入去分母时乘的最简公分母，一般是代入公分母检验．例2：关于x 的方程2x ＋ax －1＝1的解是正数，则a 的取值范围是____________．方法总结：求出方程的解(用未知字母表示)，然后根据解的正负性，列关于未知字母的不等式求解，特别注意分母不能为0.例3：若关于x 的分式方程2x －2＋mx x 2－4＝3x ＋2无解，求m 的值．方法总结：分式方程无解与分式方程有增根所表达的意义是不一样的．分式方程有增根仅仅针对使最简公分母为0的数，分式方程无解不但包括使最简公分母为0的数，而且还包括分式方程化为整式方程后，使整式方程无解的数．1.解方程：(1)2112x x =--；(2)2313162x x -=--. 2.若关于x 的方程无解，求a 的值.A.3＋x 2＝2＋x 5B.2x －17＝x 2C.x π＋1＝2－x 3D.12＋x＝1－2x 2. 要把方程 化为整式方程，方程两边可以同乘以（ ） 3. 解分式方程 时，去分母后得到的整式方程是（ ） A.2（x -8)+5x=16(x -7) B.2(x -8)+5x=8 C.2(x -8)-5x=16(x -7) D.2(x -8)-5x=8 4．若关于x 的分式方程2213m x x x +-=-无解，则m 的值为 ( ) A ．－1，5 B ．1 C ．－1.5或2 D ．－0.5或－1.53. 解方程：311x a x x--=-第十五章 分式15.3 分式方程第2课时 分式方程的应用学习目标：1.理解实际问题中的数量关系.3.在不同的实际问题中能审明题意设未知数，列分式方程解决实际问题.重点：能通过列分式方程解决实际问题.难点：找出实际问题中的数量关系，并列出方程.一、知识链接1.解方程：2.列方程（组）解应用题的一般步骤是什么？ （1） ；（2） ；（3）解所列方程； （4）检验所列方程的解是否符合题意；（5）写出完整的答案.3.列方程（组）解应用题的关键是什么？二、新知预习4.完成下面解题过程：小红和小丽分别将9000字和7500字的两篇文稿录入计算机，所用时间相同.已知两人每分钟录入计算机字数的和是220字.两人每分钟各录入多少字？ （1）请找出上述问题中的等量关系；答：________________________________________________________________________. （2）试列出方程，并求方程的解；解：设小红每分钟录入x 字，则小丽每分钟录入______字.根据题意，得_________________________.解这个方程得_____________________. 经检验，__________________________.答：_____________________________________________________________. 要点归纳：根据4中的解题步骤，归纳用分式方程解决实际问题的一般步骤为：第一步，审清题意；第二步，根据题意设未知数；第三步，根据题目中的数量关系列出式子，并找准等量关系，列出方程； 第四步，解方程，并验根，还要看方程的解______________；241122x x x x +=--第五步，作答． 三、自学自测1.八年级(1)班全体师生义务植树300棵．原计划每小时植树x 棵，但由于参加植树的全体师生植树的积极性高涨，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，结果提前20分钟完成任务．则下面所列方程中，正确的是( )A.300x －2060＝3001.2xB.300x －3001.2x ＝20C.300x －300x ＋1.2x ＝2060D.300x ＝3001.2x －2060 四、我的疑惑_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________二、要点探究探究点1：利用分式方程解决工程问题 例1：两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快？ . . 抗洪抢险时，需要在一定时间内筑起拦洪大坝，甲队单独做正好按期完成，而乙队由于人少，单独做则超期3个小时才能完成．现甲、乙两队合作2个小时后，甲队又有新任务，余下的由乙队单独做，刚好按期完成．求甲、乙两队单独完成全部工程各需多少小时？探究点2：利用分式方程解决行程问题例2：朋友们约着一起开着2辆车自驾去黄山玩，其中面包车为领队，小轿车车紧随其后，他们同时出发，当面包车车行驶了200公里时，发现小轿车车只行驶了180公里，若面包车的行驶速度比小轿车快10km/h,请问面包车，小轿车的速度分别为多少km/h？方法总结：明确两个“主人公”的行程问题中三个量用代数式表示出来；行程问题中的等量关系通常抓住“时间线”来建立方程.1.小轿车发现跟丢时，面包车行驶了200公里，小轿车行驶了180公里，小轿车为了追上面包车，他就马上提速，他们约定好在300公里的地方碰头，他们正好同时到达，请问小轿车提速多少km/h？2.两车发现跟丢时，面包车行驶了200公里，小轿车行驶了180公里，小轿车为了追上面包车，他就马上提速，他们约定好在s公里的地方碰头，他们正好同时到达，请问小轿车提速多少km/h？例3：佳佳果品店在批发市场购买某种水果销售，第一次用1200元购进若干千克，并以每千克8元出售，很快售完．由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了10%，用1452元所购买的数量比第一次多20千克，以每千克9元售出100千克后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价50%售完剩余的水果．(1)求第一次水果的进价是每千克多少元？(2)该果品店在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？掌握这次活动的流程．1.几名同学包租一辆面包车去旅游，面包车的租价为180元，出发前，又增加两名同学，结果每个同学比原来少分摊3元车费，若设原来参加旅游的学生有x人，则所列方程为()A.180x－180x＋2＝3 B.180x＋2－180x＝3 C.180x－180x－2＝3 D.180x－2－180x＝32.一轮船往返于A、B两地之间，顺水比逆水快1小时到达.已知A、B两地相距80千米，水流速度是2千米/小时，求轮船在静水中的速度.3.农机厂到距工厂15千米的向阳村检修农机，一部分人骑自行车先走，过了40分钟，其余人乘汽车去，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车的3倍，求两车的速度.4.某学校为鼓励学生积极参加体育锻炼，派王老师和李老师去购买一些篮球和排球．回校后，王老师和李老师编写了一道题：同学们，请求出篮球和排球的单价各是多少元？。