工程数学线性代数

工程数学线性代数
工程数学线性代数是工程数学中的一个重要分支，它研究的是向量、张量、矩阵等有关的结构数学知识，也是工程师和工程数学科学家们日常解决工程问题的必备知识。

线性代数涉及到矩阵、向量等结构数学知识，它可以帮助我们解决复杂的数学问题，对于工程问题也有重要的启发性作用。

线性代数可以帮助我们构建、求解线性方程组，它就像一台求解复杂的数学问题的军械库一样。

线性代数的实用性不仅在数学研究方面，而且在工程应用中也是不可或缺的工具，在工程中有着广泛的应用。

线性代数虽然只是数学中的一小部分，但它对于工程数学应用却有着不可替代的作用。

它可以用来分析复杂的数学模型，并进行有效的求解，为工程的设计和建造提供参考。

例如，在建筑工程中，线性代数可以用来分析结构的物理组成、材料的性质以及施工的过程，可以提供最优的设计方案，以此来保证建筑的质量安全。

线性代数在工程数学中也有着广泛的应用，它可以用来分析、计算任意复杂的工程数学问题，并将结果应用于工程实践中，例如在控制系统设计过程中，可以用线性代数计算控制系统的稳定性、鲁棒性以及参数估计等，从而使控制系统的设计更加完善。

另外，线性代数也被用来计算机视觉，并在图像处理领域中发挥重要作用，例如检测图像中的边缘、色彩、噪声等。

线性代数在图像处理中起着至关重要的作用，它可以用来提高图像的质量，检测图像的特征，并从而更精确地识别物体。

综上所述，线性代数是工程数学中不可缺少的一个重要分支，它被应用于各个领域，以求解复杂的数学模型和工程问题。

它也可以用来提高图像处理的质量，从而使工程设计更加完善和先进。

总而言之，线性代数在工程数学中发挥着不可或缺的重要作用，值得研究和深入探索。

参考书：线性代数(第二版) 居余马 清华大学出版社概要&总结 一、线性代数的基础内容：1、行列式——行列式的定义及计算性质(7条)，克莱姆法则；2、矩阵——运算(包括相等、加法、数乘；转置，乘法，逆)；矩阵的行列式、伴随矩阵；初等变换(包括行、列变换及与矩阵乘法的关系，求逆等)；行等价标准形(行阶梯形、行简化阶梯形)及标准形；矩阵的秩；分块矩阵例1：设A 是m n ⨯矩阵，设B 是n m ⨯矩阵，且AB E =，其中E 是m 阶单位矩阵，则： ()()(); ()(),(); ()(),(); ()(A r A r B m B r A m r B n C r A n r B m D r A r B n======== 3、向量——线性组合、表示、相关性；秩及极大无关组例2：设123(1,2,1,0),(1,0,2),(2,1)TTTa ααα=-==，若123,,ααα形成的向量组为2，则___a = 特别的，除理解概念外，尽可能深刻的理解初等变换在解决矩阵相关问题中的作用；初等变换与矩阵乘积运算的关系；矩阵的秩与向量组的秩之间的关系；如何借助矩阵的初等行变换去求向量组的秩及其极大无关组二、线性代数的应用性内容1、线性方程组求解：i)齐次的0Ax =，讨论有不全为零解的条件，解的性质和基础解系(不唯一)—格式化的求基础解系的步骤；ii)非齐次的Ax b =，讨论有解的条件(唯一解、无穷多解)，解的性质和结构—格式化的解题步骤例3：设11010,1111a A b λλλ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，已知线性方程组AX b =存在两个不同的解。

(I)求,a λ；(II)求AX b =的通解2、向量空间：基、坐标、过渡矩阵、坐标变换公式；特殊的基，自然基和标准正交基及施密特正交化方法；正交矩阵3、特征值特征向量：i)特征值、特征向量——格式化的求解步骤，关键是在理解这组概念及其性质；ii)矩阵对角化：矩阵可对角化的条件；特征向量的性质；相似矩阵iii)实对称矩阵正交对角化：实对称矩阵特征值特征向量的性质(特征值都为实数，属于不同特征值的特征向量正交)——格式化的对角化步骤例4：设A 是四阶实对称矩阵，且20A A +=，若()3r A =则A 相似于：11111111();();();()11110000A B C D -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭4、二次型：i)二次型与对称矩阵的关系ii) 利用正交变换的方法化二次型为标准型相当于实对称矩阵的正交对角化；配方法化二次型为标准形；合同矩阵(与等价、相似的关系)iii)二次型的规范形与惯性定理：正惯性指数与负惯性指数唯一确定iv)正定二次型与正定矩阵：如何判别？——四个等价的条件(正定；正惯性指数为n ；存在P 使T P P A =；所有特征值大于零)例5：设二次型123(,,)T f x x x x Ax =在正交变换x Qy =下的标准形为2212y y +，且Q的第三列为)22T 。

工程数学与线性代数工程数学与线性代数是工程专业中非常重要的一门课程，它为我们提供了解决实际问题、优化工程设计和分析工程系统的数学工具。

在本文中，我们将探讨工程数学与线性代数的基本概念、应用以及与工程实践的关系。

一、基本概念1.1 工程数学工程数学是指将数学理论和方法应用于工程问题中的学科。

它涉及到微积分、离散数学、概率与统计、数值计算等多个领域。

工程数学的主要目的是通过建立数学模型来描述和分析工程问题，进而得出科学、系统和准确的解决方案。

1.2 线性代数线性代数是代数学的一个分支，研究向量、矩阵、线性方程组等内容。

在工程数学中，线性代数起到了重要的作用。

通过使用线性代数的方法，我们可以对工程问题进行建模、求解和分析。

二、应用领域2.1 信号处理在通信领域，信号处理是一个重要的应用方向。

通过运用线性代数的知识，我们可以对信号进行采样、量化、编码等处理，实现信号的传输和处理。

此外，线性代数的变换方法还能够提取信号的特征，实现数据的降维和压缩。

2.2 随机模型在工程领域中，许多问题都具有不确定性和随机性。

通过采用概率与统计的方法，我们可以建立随机模型，预测和分析各种不确定因素对工程系统的影响。

线性代数则提供了解决随机模型的理论基础，通过求解线性方程组或矩阵运算，可以得到随机模型的解析解或数值解。

2.3 控制系统控制系统是工程中广泛应用的一种工具，用于控制、调节和优化工程系统的运行。

线性代数为控制系统的建模和分析提供了重要的数学工具。

通过线性代数中的矩阵和向量运算，我们可以描述控制系统的状态和输入，分析系统的稳定性、可控性和可观性，并设计合适的控制策略。

三、与工程实践的关系工程数学与线性代数是理论和实践的桥梁，它们的应用对于工程实践有着重要的意义。

3.1 工程问题的建模与求解通过运用工程数学和线性代数的知识，我们可以将实际工程问题抽象成数学模型，并应用数学方法对其进行求解。

这种建模和求解的过程不仅能够提高问题分析的准确性和系统性，还可以减少工程试错的成本和时间。

第一章行列式1.利用对角线法则计算下列三阶行列式:(1)381141102---; 解381141102--- =2⨯(-4)⨯3+0⨯(-1)⨯(-1)+1⨯1⨯8-0⨯1⨯3-2⨯(-1)⨯8-1⨯(-4)⨯(-1)=-24+8+16-4=-4.(2)ba c a cbc b a ; 解ba c a cbc b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc=3abc -a 3-b 3-c 3.(3)222111c b a c b a ; 解222111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2=(a -b )(b -c )(c -a ).(4)yx y x x y x y y x y x +++. 解 yx y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3=3xy (x +y )-y 3-3x 2y -x 3-y 3-x 3=-2(x 3+y 3).2.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数:(1)1 2 3 4;解逆序数为0(2)4 1 3 2;解逆序数为4:41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1;解逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1.(4)2 4 1 3;解逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3.(5)1 3 ⋅⋅⋅ (2n-1) 2 4 ⋅⋅⋅ (2n);解逆序数为2)1(-nn:3 2 (1个)5 2, 5 4(2个)7 2, 7 4, 7 6(3个)⋅⋅⋅⋅⋅⋅(2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6,⋅⋅⋅, (2n-1)(2n-2)(n-1个) (6)1 3 ⋅⋅⋅(2n-1) (2n) (2n-2) ⋅⋅⋅ 2.解逆序数为n(n-1) :3 2(1个)5 2, 5 4 (2个)⋅⋅⋅⋅⋅⋅(2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6,⋅⋅⋅, (2n-1)(2n-2)(n-1个) 4 2(1个)6 2, 6 4(2个)⋅⋅⋅⋅⋅⋅(2n )2, (2n )4, (2n )6,⋅⋅⋅, (2n )(2n -2)(n -1个)3.写出四阶行列式中含有因子a 11a 23的项.解 含因子a 11a 23的项的一般形式为(-1)t a 11a 23a 3r a 4s ,其中rs 是2和4构成的排列, 这种排列共有两个, 即24和42. 所以含因子a 11a 23的项分别是(-1)t a 11a 23a 32a 44=(-1)1a 11a 23a 32a 44=-a 11a 23a 32a 44,(-1)t a 11a 23a 34a 42=(-1)2a 11a 23a 34a 42=a 11a 23a 34a 42.4.计算下列各行列式: (1)71100251020214214; 解71100251020214214010014231020211021473234-----======c c c c 34)1(143102211014+-⨯---= 143102211014--=01417172001099323211=-++======c c c c . (2)2605232112131412-;解 2605232112131412-260503212213041224--=====c c 041203212213041224--=====r r 0000003212213041214=--=====r r . (3)efcf bf de cd bd ae ac ab ---; 解 ef cf bf de cd bd ae ac ab ---ec b e c b e c b adf ---= abcdef adfbce 4111111111=---=. (4)dc b a 100110011001---. 解d c b a 100110011001---dc b a ab ar r 10011001101021---++===== dc a ab 101101)1)(1(12--+--=+01011123-+-++=====cd c ad a ab dc c cdad ab +-+--=+111)1)(1(23=abcd +ab +cd +ad +1. 5.证明:(1)1112222b b a a b ab a +=(a -b )3;证明1112222b b a a b ab a +00122222221213a b a b a a b a ab a c c c c ------===== a b a b a b a ab 22)1(22213-----=+21))((a b a a b a b +--==(a -b )3. (2)yx z x z y z y x b a bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax )(33+=+++++++++; 证明bzay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax +++++++++ bzay by ax x by ax bx az z bx az bz ay y b bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a +++++++++++++= bzay y x by ax x z bx az z y b y by ax z x bx az y z bz ay x a +++++++=22 zy x y x z x z y b y x z x z y z y x a 33+= yx z x z y z y x b y x z x z y z y x a 33+= yx z x z y z y x b a )(33+=.(3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c cb b b b a a a a ; 证明2222222222222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a (c 4-c 3,c 3-c 2,c 2-c 1得) 5232125232125232125232122222++++++++++++=d d d d c c c c b b b b a a a a (c 4-c 3,c 3-c 2得) 022122212*********222=++++=d d c c b b a a . (4)444422221111d c b a d c b a d c b a =(a -b )(a -c )(a -d )(b -c )(b -d )(c -d )(a +b +c +d ); 证明444422221111d c b a d c b a d c b a )()()(0)()()(001111222222222a d d a c c a b b a d d a c c a b b a d a c a b ---------=)()()(111))()((222a d d a c c a b b d c b a d a c a b +++---= ))(())((00111))()((a b d b d d a b c b c c b d b c a d a c a b ++-++------= )()(11))()()()((a b d d a b c c b d b c a d a c a b ++++-----==(a -b )(a -c )(a -d )(b -c )(b -d )(c -d )(a +b +c +d ).(5)1221 1 000 00 1000 01a x a a a a x x x n n n+⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅--- =x n +a 1x n -1+⋅⋅⋅+a n -1x +a n . 证明 用数学归纳法证明.当n =2时,2121221a x a x a x a x D ++=+-=,命题成立. 假设对于(n -1)阶行列式命题成立,即D n -1=x n -1+a 1x n -2+⋅⋅⋅+a n -2x +a n -1,则D n 按第一列展开, 有111 00 100 01)1(11-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅--+=+-x x a xD D n n n n =xD n -1+a n =x n +a 1x n -1+⋅⋅⋅+a n -1x +a n .因此,对于n 阶行列式命题成立.6.设n 阶行列式D =det(a ij ), 把D 上下翻转、或逆时针旋转90︒、或依副对角线翻转,依次得n nn n a a a a D 11111 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=,11112 n nn n a a a a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=,11113 a a a a D n n nn ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=, 证明D D D n n 2)1(21)1(--==,D 3=D .证明 因为D =det(a ij ),所以n nn n n n n nn n a a a a a a a a a a D 2211111111111 )1( ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=- ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅--=-- )1()1(331122111121nnn n n n n n a a a a a a a a D D n n n n 2)1()1()2( 21)1()1(--+-+⋅⋅⋅++-=-=.同理可证nnn n n n a a a a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=- )1(11112)1(2D D n n T n n 2)1(2)1()1()1(---=-=. D D D D D n n n n n n n n =-=--=-=----)1(2)1(2)1(22)1(3)1()1()1()1(.7.计算下列各行列式(D k 为k 阶行列式): (1)a aD n 1 1⋅⋅⋅=, 其中对角线上元素都是a ,未写出的元素都是0;解aa a a a D n 0 0010 000 00 0000 0010 00⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=(按第n 行展开) )1()1(10 000 00 0000 0010 000)1(-⨯-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=n n n a a a )1()1(2 )1(-⨯-⋅⋅⋅⋅-+n n n a a a n n n n n a a a +⋅⋅⋅-⋅-=--+)2)(2(1 )1()1(=a n -a n -2=a n -2(a 2-1). (2)xa a a x a a a xD n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ; 解 将第一行乘(-1)分别加到其余各行,得 a x x a a x x a a x x a a a a x D n --⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅--⋅⋅⋅--⋅⋅⋅=000 0 00 0 , 再将各列都加到第一列上,得a x a x a x a a a a n x D n -⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-+=0000 0 000 00 )1(=[x +(n -1)a ](x -a )n -1.(3)111 1 )( )1()( )1(1111⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅--⋅⋅⋅-=---+n a a a n a a a n a a a D n n n nn n n ; 解 根据第6题结果, 有nnn n n n n n n n a a a n a a a n a a aD )( )1()( )1( 11 11)1(1112)1(1-⋅⋅⋅--⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-=---++此行列式为范德蒙德行列式. ∏≥>≥++++--+--=112)1(1)]1()1[()1(j i n n n n j a i a D∏≥>≥++---=112)1()]([)1(j i n n n j i∏≥>≥++⋅⋅⋅+-++-⋅-⋅-=1121)1(2)1()()1()1(j i n n n n n j i∏≥>≥+-=11)(j i n j i .(4)nnnnn d c d c b a b a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=11112; 解nnnnn d c d c b a b a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=11112(按第1行展开) nn n n n nd d c d c b a b a a 00011111111----⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= 00)1(1111111112c d c d c b a b a b nn n n n nn ----+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-+. 再按最后一行展开得递推公式D 2n =a n d n D 2n -2-b n c n D 2n -2, 即D 2n =(a n d n -b n c n )D 2n -2. 于是 ∏=-=ni i i i i n D c b d a D 222)(.而111111112c b d a d c b a D -==, 所以 ∏=-=n i i i i i n c b d a D 12)(. (5) D =det(a ij ),其中a ij =|i -j |; 解 a ij =|i -j |,4321 4 01233 10122 21011 3210)det(⋅⋅⋅----⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅==n n n n n n n n a D ij n 0 4321 1 11111 11111 11111 1111 2132⋅⋅⋅----⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅----⋅⋅⋅---⋅⋅⋅--⋅⋅⋅--⋅⋅⋅-=====n n n n r r r r 152423210 22210 02210 00210 0001 1213-⋅⋅⋅----⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅----⋅⋅⋅---⋅⋅⋅--⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅+=====n n n n n c c c c =(-1)n -1(n -1)2n -2. (6)nn a a a D +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+=1 11 1 1111121, 其中a 1a 2⋅⋅⋅a n≠0.解nn a a a D +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+=1 11 1 1111121 nn n n a a a a a a a a a c c c c +-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-=====--100001 000 100 0100 0100 00113322121321111312112111000011 000 00 11000 01100 001 ------+-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=nn n a a a a a a a a∑=------+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n i i n n a a a a a a a a 1111131******** 00010 000 00 10000 01000 001)11)((121∑=+=ni in a a a a .8.用克莱姆法则解下列方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=+++-=----=+-+=+++01123253224254321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ;解 因为14211213513241211111-=----=D , 142112105132412211151-=------=D ,284112035122412111512-=-----=D ,426110135232422115113-=----=D ,14202132132212151114=-----=D , 所以 111==D D x ,222==D D x ,333==D D x ,144-==DDx . (2)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++=++=++=+150650650651655454343232121x x x x x x x x x x x x x .解 因为 665510006510006510065100065==D , 150751001651000651000650000611==D ,114551010651000650000601000152-==D , 703511650000601000051001653==D ,39551601000051000651010654-==D , 2121100005100065100651100655==D , 所以66515071=x ,66511452-=x ,6657033=x ,6653954-=x ,6652124=x .9.问λ,μ取何值时,齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0200321321321x x x x x x x x x μμλ有非零解？解 系数行列式为μλμμμλ-==1211111D .令D =0,得μ=0或λ=1.于是, 当μ=0或λ=1时该齐次线性方程组有非零解.10.问λ取何值时,齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+-+=+--0)1(0)3(2042)1(321321321x x x x x x x x x λλλ有非零解？解 系数行列式为λλλλλλλ--+--=----=101112431111132421D=(1-λ)3+(λ-3)-4(1-λ)-2(1-λ)(-3-λ) =(1-λ)3+2(1-λ)2+λ-3. 令D =0, 得λ=0,λ=2或λ=3.于是, 当λ=0,λ=2或λ=3时,该齐次线性方程组有非零解.第二章 矩阵及其运算1.已知线性变换:⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=3213321232113235322y y y x y y y x y y y x , 求从变量x 1,x 2,x 3到变量y 1,y 2,y 3的线性变换. 解由已知: ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321323513122y y y x x x , 故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3211221323513122x x x y y y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321423736947y y y ,⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=+--=321332123211423736947x x x y x x x y x x x y . 2.已知两个线性变换⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=32133212311542322y y y x y y y x y y x ,⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y ,求从z 1,z 2,z 3到x 1,x 2,x 3的线性变换. 解由已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321514232102y y y x x x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321310102013514232102z z z ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321161109412316z z z , 所以有⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=++-=3213321232111610941236z z z x z z z x z z z x .3.设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=150421321B , 求3AB -2A 及A T B .解⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1111111112150421321111111111323A AB⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2294201722213211111111120926508503, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=092650850150421321111111111B A T. 4.计算下列乘积:(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134;解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⨯⨯+⨯-+⨯⨯+⨯+⨯=102775132)2(71112374⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=49635. (2)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛123)321(;解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛123)321(=(1⨯3+2⨯2+3⨯1)=(10).(3))21(312-⎪⎪⎭⎫⎝⎛; 解 )21(312-⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=23)1(321)1(122)1(2⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=632142. (4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412; 解 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412⎪⎭⎫ ⎝⎛---=6520876.(5)⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x ;解⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x=(a 11x 1+a 12x 2+a 13x 3 a 12x 1+a 22x 2+a 23x 3 a 13x 1+a 23x 2+a 33x 3)⎪⎪⎭⎫⎝⎛321x x x322331132112233322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=.5.设⎪⎭⎫ ⎝⎛=3121A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101B , 问: (1)AB =BA 吗? 解AB ≠BA .因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=6443AB ,⎪⎭⎫ ⎝⎛=8321BA , 所以AB ≠BA . (2)(A +B )2=A 2+2AB +B 2吗? 解 (A +B )2≠A 2+2AB +B 2.因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=+52225222)(2B A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2914148, 但 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++43011288611483222B AB A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=27151610, 所以(A +B )2≠A 2+2AB +B 2. (3)(A +B )(A -B )=A 2-B 2吗? 解 (A +B )(A -B )≠A 2-B 2.因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1020B A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+906010205222))((B A B A ,而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-718243011148322B A , 故(A +B )(A -B )≠A 2-B 2. 6.举反列说明下列命题是错误的:(1)若A 2=0, 则A =0;解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0010A , 则A 2=0, 但A ≠0. (2)若A 2=A ,则A =0或A =E ; 解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011A , 则A 2=A ,但A ≠0且A ≠E . (3)若AX =AY ,且A ≠0,则X =Y .解 取 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=0001A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111X ,⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011Y , 则AX =AY ,且A ≠0,但X ≠Y .7.设⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λA ,求A 2,A 3,⋅⋅⋅,A k . 解⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=12011011012λλλA , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==1301101120123λλλA A A , ⋅⋅⋅⋅⋅⋅,⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λk A k .8.设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλ001001A ,求A k . 解首先观察⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλλλ0010010010012A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222002012λλλλλ, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=3232323003033λλλλλλA A A , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=43423434004064λλλλλλA A A , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=545345450050105λλλλλλA A A , ⋅⋅⋅⋅⋅⋅,⎝⎛=k A k k k k k k k k k k λλλλλλ0002)1(121----⎪⎪⎪⎭⎫. 用数学归纳法证明:当k =2时,显然成立. 假设k 时成立，则k +1时，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅=---+λλλλλλλλλ0010010002)1(1211k k k k k k k k k k k k A A A⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+-+--+11111100)1(02)1()1(k k k k k k k k k k λλλλλλ, 由数学归纳法原理知:⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---k k k k k k k k k k k A λλλλλλ0002)1(121. 9.设A ,B 为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明B T AB 也是对称矩阵.证明因为A T =A , 所以(B T AB )T =B T (B T A )T =B T A T B =B T AB ,从而B T AB 是对称矩阵.10.设A ,B 都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是AB =BA .证明充分性:因为A T =A ,B T =B , 且AB =BA , 所以(AB )T =(BA )T =A T B T =AB ,即AB 是对称矩阵.必要性: 因为A T =A ,B T =B , 且(AB )T =AB , 所以AB =(AB )T =B T A T =BA .11.求下列矩阵的逆矩阵:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛5221;解⎪⎭⎫ ⎝⎛=5221A . |A |=1,故A -1存在.因为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225*22122111A A A A A , 故*||11A A A =-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1225. (2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-θθθθcos sin sin cos ; 解⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos A . |A |=1≠0,故A -1存在.因为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=θθθθcos sin sin cos *22122111A A A A A , 所以*||11A A A =-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos . (3)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---145243121; 解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=145243121A . |A |=2≠0,故A -1存在.因为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=214321613024*332313322212312111A A A A A A A A A A , 所以*||11A A A =-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=1716213213012.(4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a 0021(a 1a 2⋅⋅⋅a n ≠0) . 解⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a A 0021,由对角矩阵的性质知 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n a a a A 10011211 . 12.解下列矩阵方程:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛12643152X ; 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-126431521X ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=12642153⎪⎭⎫ ⎝⎛-=80232. (2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--234311*********X ; 解 1111012112234311-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-=03323210123431131 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=32538122.(3)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-101311022141X ; 解 11110210132141--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=210110131142121 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=21010366121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=04111. (4)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021102341010100001100001010X . 解 11010100001021102341100001010--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=X ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010100001021102341100001010⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=201431012. 13.利用逆矩阵解下列线性方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++3532522132321321321x x x x x x x x x ; 解 方程组可表示为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321153522321321x x x , 故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0013211535223211321x x x ,从而有 ⎪⎩⎪⎨⎧===001321x x x . (2)⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--05231322321321321x x x x x x x x x . 解 方程组可表示为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----012523312111321x x x , 故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3050125233121111321x x x , 故有 ⎪⎩⎪⎨⎧===305321x x x . 14.设A k =O (k 为正整数),证明(E -A )-1=E +A +A 2+⋅⋅⋅+A k -1. 证明 因为A k =O , 所以E -A k =E . 又因为E -A k =(E -A )(E +A +A 2+⋅⋅⋅+A k -1),所以 (E -A )(E +A +A 2+⋅⋅⋅+A k -1)=E ,由定理2推论知(E -A )可逆, 且(E -A )-1=E +A +A 2+⋅⋅⋅+A k -1.证明一方面, 有E =(E -A )-1(E -A ).另一方面, 由A k =O , 有E =(E -A )+(A -A 2)+A 2-⋅⋅⋅-A k -1+(A k -1-A k )=(E +A +A 2+⋅⋅⋅+A k -1)(E -A ),故 (E -A )-1(E -A )=(E +A +A 2+⋅⋅⋅+A k -1)(E -A ),两端同时右乘(E -A )-1,就有(E -A )-1(E -A )=E +A +A 2+⋅⋅⋅+A k -1.15.设方阵A 满足A 2-A -2E =O ,证明A 及A +2E 都可逆,并求A -1及(A +2E )-1.证明 由A 2-A -2E =O 得A 2-A =2E , 即A (A -E )=2E ,或 E E A A =-⋅)(21, 由定理2推论知A 可逆, 且)(211E A A -=-. 由A 2-A -2E =O 得A 2-A -6E =-4E , 即(A +2E )(A -3E )=-4E ,或 E A E E A =-⋅+)3(41)2( 由定理2推论知(A +2E )可逆, 且)3(41)2(1A E E A -=+-.证明由A 2-A -2E =O 得A 2-A =2E ,两端同时取行列式得|A 2-A |=2,即 |A ||A -E |=2,故 |A |≠0,所以A 可逆,而A +2E =A 2,|A +2E |=|A 2|=|A |2≠0,故A +2E 也可逆. 由A 2-A -2E =O ⇒A (A -E )=2E⇒A -1A (A -E )=2A -1E ⇒)(211E A A -=-, 又由A 2-A -2E =O ⇒(A +2E )A -3(A +2E )=-4E⇒ (A +2E )(A -3E )=-4 E ,所以 (A +2E )-1(A +2E )(A -3E )=-4(A +2 E )-1,)3(41)2(1A E E A -=+-. 16.设A 为3阶矩阵,21||=A ,求|(2A )-1-5A *|. 解因为*||11A A A =-,所以 |||521||*5)2(|111----=-A A A A A |2521|11---=A A =|-2A -1|=(-2)3|A -1|=-8|A |-1=-8⨯2=-16.17.设矩阵A 可逆,证明其伴随阵A *也可逆,且(A *)-1=(A -1)*. 证明由*||11A A A =-,得A *=|A |A -1, 所以当A 可逆时, 有 |A *|=|A |n |A -1|=|A |n -1≠0,从而A *也可逆.因为A *=|A |A -1,所以(A *)-1=|A |-1A . 又*)(||)*(||1111---==A A A A A , 所以 (A *)-1=|A |-1A =|A |-1|A |(A -1)*=(A -1)*.18.设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为A *, 证明:(1)若|A |=0,则|A *|=0;(2)|A *|=|A |n -1.证明(1)用反证法证明.假设|A *|≠0, 则有A *(A *)-1=E ,由此得 A =AA *(A *)-1=|A |E (A *)-1=O ,所以A *=O , 这与|A *|≠0矛盾，故当|A |=0时, 有|A *|=0.(2)由于*||11A A A =-, 则AA *=|A |E , 取行列式得到 |A ||A *|=|A |n .若|A |≠0, 则|A *|=|A |n -1;若|A |=0, 由(1)知|A *|=0, 此时命题也成立.因此|A *|=|A |n -1.19.设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321011330A ,AB =A +2B , 求B . 解由AB =A +2E 可得(A -2E )B =A ,故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-=--321011330121011332)2(11A E A B ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=011321330. 20. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101020101A , 且AB +E =A 2+B , 求B . 解 由AB +E =A 2+B 得(A -E )B =A 2-E ,即 (A -E )B =(A -E )(A +E ).因为01001010100||≠-==-E A , 所以(A -E )可逆, 从而⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+=201030102E A B .21. 设A =diag(1,-2,1),A *BA =2BA -8E , 求B . 解 由A *BA =2BA -8E 得 (A *-2E )BA =-8E , B =-8(A *-2E )-1A -1 =-8[A (A *-2E )]-1 =-8(AA *-2A )-1 =-8(|A |E -2A )-1 =-8(-2E -2A )-1 =4(E +A )-1=4[diag(2,-1,2)]-1)21 ,1 ,21(diag 4-==2diag(1,-2,1).22. 已知矩阵A 的伴随阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=8030010100100001*A , 且ABA -1=BA -1+3E , 求B . 解 由|A *|=|A |3=8, 得|A |=2.由ABA -1=BA -1+3E 得 AB =B +3A ,B =3(A -E )-1A =3[A (E -A -1)]-1A 11*)2(6*)21(3---=-=A E A E⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-1030060600600006603001010010000161. 23.设P -1AP =Λ,其中⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1141P ,⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ2001,求A 11. 解由P -1AP =Λ,得A =P ΛP -1, 所以A 11=A =P Λ11P -1.|P |=3,⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1141*P ,⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1141311P ,而⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ11111120 012001,故⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=31313431200111411111A ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=68468327322731. 24. 设AP =P Λ, 其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=111201111P ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ511,求ϕ(A )=A 8(5E -6A +A 2). 解 ϕ(Λ)=Λ8(5E -6Λ+Λ2)=diag(1,1,58)[diag(5,5,5)-diag(-6,6,30)+diag(1,1,25)] =diag(1,1,58)diag(12,0,0)=12diag(1,0,0).ϕ(A )=P ϕ(Λ)P -1 *)(||1P P P Λ=ϕ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1213032220000000011112011112⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111111114. 25. 设矩阵A 、B 及A +B 都可逆, 证明A -1+B -1也可逆, 并求其逆阵. 证明 因为A -1(A +B )B -1=B -1+A -1=A -1+B -1,而A -1(A +B )B -1是三个可逆矩阵的乘积, 所以A -1(A +B )B -1可逆, 即A -1+B -1可逆.(A -1+B -1)-1=[A -1(A +B )B -1]-1=B (A +B )-1A .26. 计算⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛30003200121013013000120010100121. 解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=10211A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛=30122A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12131B ,⎪⎭⎫ ⎝⎛--=30322B ,则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫⎝⎛+=222111B A O B B A A ,而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+4225303212131021211B B A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛=90343032301222B A , 所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222111B A O B B A A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=9000340042102521, 即 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛30003200121013013000120010100121⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=9000340042102521. 27.取⎪⎭⎫ ⎝⎛==-==1001D C B A ,验证|||||||| D C B A D C B A ≠.解 4100120021010*********0021010010110100101==--=--=D C B A , 而 01111|||||||| ==D C B A ,故 |||||||| D C B A D C B A ≠.28.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22023443O O A ,求|A 8|及A 4. 解 令⎪⎭⎫ ⎝⎛-=34431A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛=22022A ,则 ⎪⎭⎫⎝⎛=21A O O A A ,故 8218⎪⎭⎫ ⎝⎛=A O O A A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8281A O O A ,1682818281810||||||||||===A A A A A . ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=464444241422025005O O A O O A A . 29.设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆,求 (1)1-⎪⎭⎫ ⎝⎛O B A O ; 解设⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-43211C C C C O B A O , 则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛O B A O ⎪⎭⎫ ⎝⎛4321C C C C ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=s n E O O E BC BC AC AC 2143. 由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧====s n EBC OBC O AC E AC 2143⇒⎪⎩⎪⎨⎧====--121413B C O C O C A C ,所以⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛---O A B O O B A O 111. (2)1-⎪⎭⎫ ⎝⎛B C O A . 解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-43211D D D D B C O A , 则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛s n E O O E BD CD BD CD AD AD D D D D B C O A 4231214321.由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+==s nEBD CD O BD CD O AD E AD 423121⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-===----14113211B D CA B D O D A D ,所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-----11111B CA B O A BC O A . 30. 求下列矩阵的逆阵:(1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2500380000120025; 解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛=2538B , 则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--5221122511A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--8532253811B .于是 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----850032000052002125003800001200251111B A B A .(2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4121031200210001. 解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛=4103B ,⎪⎭⎫ ⎝⎛=2112C , 则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------1111114121031200210001B CA B O A B C O A⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=411212458103161210021210001.第三章 矩阵的初等变换与线性方程组1. 把下列矩阵化为行最简形矩阵:(1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313021201; 解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--340313021201(下一步:r 2+(-2)r 1,r 3+(-3)r 1.)~⎪⎪⎭⎫⎝⎛---020*********(下一步:r 2÷(-1),r 3÷(-2).)~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--010*********(下一步:r 3-r 2.)~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--300031001201(下一步:r 3÷3.)~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--100031001201(下一步:r 2+3r 3.)~⎪⎪⎭⎫⎝⎛-100001001201(下一步:r 1+(-2)r 2,r 1+r 3.)~⎪⎪⎭⎫⎝⎛100001000001.(2)⎪⎪⎭⎫⎝⎛----174034301320;解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛----174034301320(下一步:r 2⨯2+(-3)r 1,r 3+(-2)r 1. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛---310031001320(下一步:r 3+r 2,r 1+3r 2. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000310010020(下一步:r 1÷2. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛000031005010.(3)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------12433023221453334311;解⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311(下一步:r 2-3r 1,r 3-2r 1,r 4-3r 1. )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------1010500663008840034311(下一步:r 2÷(-4),r 3÷(-3) ,r 4÷(-5). )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----22100221002210034311(下一步:r 1-3r 2,r 3-r 2,r 4-r 2. )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---00000000002210032011.(4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------34732038234202173132.解 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132(下一步:r 1-2r 2,r 3-3r 2,r 4-2r 2. )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----1187701298804202111110(下一步:r 2+2r 1,r 3-8r 1,r 4-7r 1. )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--41000410002020111110(下一步:r 1↔r 2,r 2⨯(-1),r 4-r 3. )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----00000410001111020201(下一步:r 2+r 3. )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000410*******20201. 2. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛987654321100010101100001010A , 求A .解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛100001010是初等矩阵E (1,2), 其逆矩阵就是其本身.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010101是初等矩阵E (1, 2(1)), 其逆矩阵是 E (1, 2(-1)) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=100010101. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010101987654321100001010A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=287221254100010101987321654. 3. 试利用矩阵的初等变换, 求下列方阵的逆矩阵:(1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛323513123; 解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010001323513123~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101011001200410123 ~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1012002110102/102/3023~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----2/102/11002110102/922/7003 ~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----2/102/11002110102/33/26/7001 故逆矩阵为⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----21021211233267.(2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1210232112201023.解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----10000100001000011210232112201023 ~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----00100301100001001220594012102321 ~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------20104301100001001200110012102321 ~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------106124301100001001000110012102321 ~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----------10612631110`1022111000010000100021 ~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------106126311101042111000010000100001故逆矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------10612631110104211. 4.(1)设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=113122214A ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=132231B , 求X 使AX =B ; 解因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=132231 113122214) ,(B A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--412315210 100010001 ~r , 所以 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==-4123152101B A X . (2)设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=433312120A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛-=132321B , 求X 使XA =B . 解 考虑A T X T =B T . 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=134313*********) ,(T T B A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---411007101042001 ~r , 所以 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---==-417142)(1T T T B A X , 从而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛---==-4741121BA X . 5. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=101110011A ,AX =2X +A , 求X . 解 原方程化为(A -2E )X =A . 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------=-101101110110011011) ,2(A E A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---011100101010110001~, 所以 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-=-011101110)2(1A E A X . 6. 在秩是r 的矩阵中,有没有等于0的r -1阶子式? 有没有等于0的r 阶子式?解在秩是r 的矩阵中, 可能存在等于0的r -1阶子式, 也可能存在等于0的r 阶子式.例如,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010*********A ,R (A )=3. 0000是等于0的2阶子式,010001000是等于0的3阶子式. 7. 从矩阵A 中划去一行得到矩阵B , 问A ,B 的秩的关系怎样? 解R (A )≥R (B ).这是因为B 的非零子式必是A 的非零子式, 故A 的秩不会小于B 的秩.8. 求作一个秩是4的方阵, 它的两个行向量是(1,0,1,0,0),(1,-1,0,0,0).解用已知向量容易构成一个有4个非零行的5阶下三角矩阵:⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0000001000001010001100001, 此矩阵的秩为4, 其第2行和第3行是已知向量.9. 求下列矩阵的秩, 并求一个最高阶非零子式:(1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---443112112013; 解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---443112112013(下一步:r 1↔r 2. ) ~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---443120131211(下一步:r 2-3r 1,r 3-r 1. ) ~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----564056401211(下一步:r 3-r 2. ) ~⎪⎭⎫ ⎝⎛---000056401211, 矩阵的2秩为,41113-=-是一个最高阶非零子式. (2)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------815073*********;解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------815073*********(下一步:r 1-r 2,r 2-2r 1,r 3-7r 1. ) ~⎪⎭⎫ ⎝⎛------15273321059117014431(下一步:r 3-3r 2. ) ~⎪⎭⎫ ⎝⎛----0000059117014431, 矩阵的秩是2,71223-=-是一个最高阶非零子式.(3)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---02301085235703273812. 解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---02301085235703273812(下一步:r 1-2r 4,r 2-2r 4,r 3-3r 4. ) ~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------02301024205363071210(下一步:r 2+3r 1,r 3+2r 1. ) ~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0230114000016000071210(下一步:r 2÷16r 4,r 3-16r 2. ) ~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-02301000001000071210~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00000100007121002301, 矩阵的秩为3,070023085570≠=-是一个最高阶非零子式. 10. 设A 、B 都是m ⨯n 矩阵, 证明A ~B 的充分必要条件是R (A )=R (B ).证明 根据定理3, 必要性是成立的.充分性. 设R (A )=R (B ), 则A 与B 的标准形是相同的. 设A 与B 的标准形为D , 则有A ~D ,D ~B .由等价关系的传递性, 有A ~B .11. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=32321321k k k A , 问k 为何值, 可使 (1)R (A )=1;(2)R (A )=2;(3)R (A )=3.解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=32321321k k k A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-----)2)(1(0011011 ~k k k k k r . (1)当k =1时,R (A )=1;(2)当k =-2且k ≠1时,R (A )=2;(3)当k ≠1且k ≠-2时,R (A )=3.12. 求解下列齐次线性方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=+++=-++=-++02220202432143214321x x x x x x x x x x x x ; 解 对系数矩阵A 进行初等行变换, 有A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--212211121211~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---3/410013100101, 于是 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-==4443424134334x x x x x x x x , 故方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1343344321k x x x x (k 为任意常数). (2)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+=-++05105036302432143214321x x x x x x x x x x x x ; 解 对系数矩阵A 进行初等行变换,有A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----5110531631121~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000001001021, 于是 ⎪⎩⎪⎨⎧===+-=4432242102x x x x x x x x ,故方程组的解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10010012214321k k x x x x (k 1,k 2为任意常数). (3)⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+-+=-++=+-+07420634072305324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ; 解 对系数矩阵A 进行初等行变换,有A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----7421631472135132~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1000010000100001,于是 ⎪⎩⎪⎨⎧====00004321x x x x , 故方程组的解为⎪⎩⎪⎨⎧====00004321x x x x .(4)⎪⎩⎪⎨⎧=++-=+-+=-+-=+-+03270161311402332075434321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x . 解 对系数矩阵A 进行初等行变换,有A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----3127161311423327543~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000000001720171910171317301,于是 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=-=4433432431172017191713173x x x x x x x x x x , 故方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1017201713011719173214321k k x x x x (k 1,k 2为任意常数).13. 求解下列非齐次线性方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-=-+83111021322421321321x x x x x x x x ; 解 对增广矩阵B 进行初等行变换,有B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--80311102132124~⎪⎭⎫ ⎝⎛----600034111008331, 于是R (A )=2, 而R (B )=3, 故方程组无解.。

第一章n阶行列式在初等数学中讨论过二阶、三阶行列式，并且利用它们来解二元、三元线性方程组. 为了研究n元线性方程组，需要把行列式推广到n 阶，即讨论n阶行列式的问题. 为此，下面先介绍全排列等知识，然后引出n阶行列式的概念.§1 全排列及其逆序数先看一个例子.引例用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？解这个问题相当于说，把三个数字分别放在百位、十位与个位上，有几种不同的放法？显然，百位上可以从1、2、3三个数字中任选一个，所以有3种放法；十位上只能从剩下的两个数字中选一个，所以有两种放法；个位上只能放最后剩下的一个数字，所以只有1种放法. 因此，共有⨯⨯种放法.3=162这六个不同的三位数是：123，132，213，231，312，321.在数学中，把考察的对象，如上例中的数字1、2、3叫做元素. 上述问题就是：把3个不同的元素排成一列，共有几种不同的排法？对于n个不同的元素，也可以提出类似的问题：把n个不同的元素排成一列，共有几种不同的排法？把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列，简称排列.n个不同元素的所有排列的种数，通常用P n表示. 有引例的结果可知P3 = 3 . 2 . 1 = 6 .12为了得出计算P n 的公式，可以仿照引例进行讨论：从n 个元素中任取一个放在第一个位置上，有n 种取法；又从剩下的n －1个元素中任取一个放在第二个位置上，有n －1种取法；这样继续下去，直到最后只剩下一个元素放在第n 个位置上，只有1种取法. 于是P n =n .（n －1）. … . 3 . 2 . 1 = n ! .对于n 个不同的元素，我们规定各元素之间有一个标准次序（例如n 个不同的自然数，可规定由小到大为标准次序），于是在这n 个元素的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有1个逆序. 一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数.逆序数为奇数的排列叫做奇排列，逆序数为偶数的排列叫做偶排列.下面我们来讨论计算排列的逆序数的方法.不失一般性，不妨设n 个元素为1至n 这n 个自然数，并规定由小到大为标准次序. 设n p p p 21为这n 个自然数的一个排列，考虑元素 ),,2,1(n i p i =，如果比i p 大的且排在i p 前面的元素有i t 个，就说i p 这个元素的逆序数是i t . 全体元素的逆序数之总和∑==+++=ni i n t t t t t 121 ，即是这个排列的逆序数.例1 求排列32514的逆序数. 解 在排列32514中，33排在首位逆序数为0；2的前面比2大的数只有一个“3”，故逆序数为1； 5是最大数，逆序数为0；1的前面比1大的数有三个“3、2、5”，故逆序数为3； 4的前面比4大的数只有一个“5”，故逆序数为1； 于是排列的逆序数为513010=++++=t .§2 n 阶行列式的定义为了给出n 阶行列式的定义，我们先研究三阶行列式的结构. 三阶行列式定义为：)1(.312213332112322311322113312312332211333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++=容易看出：①（1）式右边的每一项都恰是三个元素的乘积，这三个元素位于不同的行、不同的列. 因此，（1）式右端的任意项除正负号外可以写成321321p p p a a a . 这里第一下标（称行标）排成标准排列123，而第二个下标（称列标）排成321p p p ，它是1、2、3三个数的某个排列. 这样的排列共有6种，对应（1）式右端共含6项。

工程数学（线性代数）复习资料一、矩阵和行列式1、了解矩阵的相关概念；矩阵的加、减、数乘以矩阵和矩阵的乘法；会求逆矩阵；2、了解行列式相关性质及利用行列式的性质进行运算；3、理解n 级排列的定义，会求排列的逆序数并判断是奇排列还是偶排列；4、会利用克莱姆法则判断方程组的解并解方程。

二、向量空间1、了解向量的相关概念；熟悉向量的运算；2、理解向量组线性相关和线性无关的定义；并能判断向量组线性相关和线性无关；3、了解向量组秩的概念并能求出其秩。

三、矩阵的秩与线性方程组1、了解矩阵秩的概念并能利用矩阵的初等行变换求矩阵秩；2、利用高斯消元法解线性方程组；3、利用矩阵的秩来判断齐次解线性方程组和非齐次解线性方程组解的结构。

四、特征值与特征向量1、熟悉特征值与特征向量的基本概念、性质及运算；2、了解相似矩阵的概念、方阵可对角化的充要条件；3、了解内积、正交向量组与正交矩阵的概念；能利用施密特正交化方法把向量组化成正交单位向量组。

附复习题一、单项选择题1．设A 为3阶方阵，且|A |＝2，则|2A -1|=（ D ） A ．-4 B ．-1 C ．1D ．42．设A 为任意n 阶矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是（ B ） A ．A ＋A TB ．A －A TC ．AA TD ．A T A3．矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0133的逆矩阵是（ C ）A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3310B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3130C ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛-13110 D ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-01311 4．设行列式2211b a b a =1，2211c a c a =2，则222111c b a c b a ++=（ D ）A ．-3B ．-1C ．1D ．35．设矩阵A ，B ，C 为同阶方阵，则（ABC ）T =（ B ） A ．A T B T C T B ．C T B T A T C ．C T A T B T D ．A T C T B T6．设向量组α1，α2，…，αs 线性相关，则必可推出（ D ） A ．α1，α2，…，αs 中至少有一个向量为零向量 B ．α1，α2，…，αs 中至少有两个向量成比例C ．α1，α2，…，αs 中至少有一个向量可以表示为其余向量的线性组合D ．α1，α2，…，αs 中每一个向量都可以表示为其余向量的线性组合7．设A 为m×n 矩阵，则齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充分必要条件是（ C ） A ．A 的列向量组线性无关 B ．A 的列向量组线性相关 C ．A 的行向量组线性无关 D ．A 的行向量组线性相关8．设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3500030000200041A ，则A 的特征值是（ C ） A ．2,2,1,1 B ．3,2,1,1 C ．3,3,2,1 D ．3,2,2,1 9．设行列式D=333231232221131211a a a a a a a a a =3，D 1=333231312322212113121111252525a a a a a a a a a a a a +++，则D 1的值为（ C ） A ．-15 B ．-6 C ．6 D ．1510．设3阶方阵A 的秩为2，则与A 等价的矩阵为（ B） A ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000000111 B ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000110111 C ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000222111 D ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛333222111 11．向量组α1，α2，…αs ，(s ＞2)线性无关的充分必要条件是（ D ） A ．α1，α2，…，αs 均不为零向量B ．α1，α2，…，αs 中任意两个向量不成比例C ．α1，α2，…，αs 中任意s-1个向量线性无关D ．α1，α2，…，αs 中任意一个向量均不能由其余s-1个向量线性表示 12．设A ，B 为可逆矩阵，则分块矩阵00A B ⎛⎫⎪⎝⎭的逆矩阵为（ A ）． A ．1100A B --⎛⎫⎪⎝⎭ B ．1100B A --⎛⎫⎪⎝⎭ C 1100A B --⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．1100B A--⎛⎫ ⎪⎝⎭ 13．设A ，B 均为方阵且可逆，满足AXB C =则下列命题中正确是（ C ） A ．11X A B C --= B ．11X CA B --= C ．11X A CB --=D ．11X B CA --=14．设A ，B 均为n 阶方阵且可逆，A 为A 的行列式，则下列命题中不正确是（ B ）A ．TA A =B ．A A λλ= C ．AB A B = D ．11AA-=15．设A 、B 、C 均为n 阶方阵，则下列命题中不正确是（ C ） A ．()()A B C A B C ++=++ B ．()()AB C A BC = C ．AB BA = D ．()A B C AB AC +=+ 16．设A 、B 为n 阶方阵，满足0AB =，则必有（ B ）A ．0A =或0B = B ．0A =或0B =C ．0BA =D ．0A B +=17.3阶行列式j i a =011101110---中元素21a 的代数余了式21A =（ B ） A ．-2 B ．-1 C ．1 D ．218．设A 为m n ⨯矩阵，且非奇次线性方程组Ax b =有唯一解，则必有（ C ）A ．m n =B ．秩()A m =C ．秩()A n =D ．秩()A n <19．设n 阶可逆矩阵A 、B 、C 满足ABC =E ，则B -1=（ A ） A ．A -1C -1 B ．C -1A -1 C ．AC D ．CA 20．设4321,,,αααα是一个4维向量组，若已知4α可以表为321,,ααα的线性组合，且表示法惟一，则向量组4321,,,αααα的秩为（ C ）A ．1B ．2C ．3D ．4 21．设向量组4321,,,αααα，下列命题中正确是（ C ） A ．12233441,,,αααααααα++++线性无关 B ．12233441,,,αααααααα----线性无关 C ．12233441,,,αααααααα+++-线性无关 D ．12233441,,,αααααααα++--线性无关22．矩阵563101,121-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭的特征值是（ A ） A ．1232λλλ=== B ．1231λλλ=== C ．1231,2λλλ=== D ．1233λλλ=== 23．排列()1,2,3,,12,2,,6,4,2⋅⋅⋅-⋅⋅⋅n n 的逆序数为（ C ） A ．()1+n n B ．()1-n n C ．2n D ．n24．排列（1，8，2，7，3，6，4，5）是（ A ）A ．偶排列B ．奇排列C ．非奇非偶D ．以上都不对 25．齐次线性方程组0=AX 有零解的充要条件是（ A ） A ．0≠A B ．0=A C ．1=A D ．1≠A二、填空题1．若,3,2,1,0=≠i b a i i 则行列式332313322212312111b a b a b a b a b a b a b a b a b a =（ 0 ） 2．设矩阵A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321，则行列式|A TA |=（ 4 ）3．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000333232131323222121313212111x a x a x a x a x a x a x a x a x a 有非零解，则其系数行列式的值为 （ 0 ）4．设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100020101，矩阵B=A-E ，则矩阵B 的秩r(B )=（ 2 ）5．设A 是4×3矩阵，若齐次线性方程组Ax =0只有零解，则矩阵A 的秩r(A )= （ 4 ）6．已知某个3元非齐次线性方程组Ax=b 的增广矩阵A 经初等行变换化为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→1)1(0021201321a a a A ，若方程组无解，则a 的取值为（ 0 ）7．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=22111212112a a A 使()3=A R ，则a （2,1≠≠a a ） 8．设矩阵A =⎪⎭⎫ ⎝⎛--311102，B =⎪⎭⎫ ⎝⎛753240，则A T B = 33335791119--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭9．方程组12340x x x x +=⎧⎨-=⎩的基础解系为（11100ξ-⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 20011ξ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭）.10．设向量组α1=（6，4，1，-1，2），α2=（1，0，2，3，4），α3=（1，4，-9，-6，22）α4=（7，1，0，-1，3），则向量组的秩为 （ 4 ）11．设A 可逆，A λ可逆，则A λ1()A λ-=（11A λ-）.12.设矩阵A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321，P=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1011，则TAP =3274⎛⎫⎪⎝⎭. 13.设矩阵A=020003400⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，则A -1=001/41/20001/30⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 14.111122220000000a b c d a b c d =（()()512211221a b a b c d c d ∂=--） 15.使排列1274569j k 为偶排列，则j =（ 8 ）k =（ 3 ）.16．已知3阶行列式33323123222113121196364232a a a a a a a a a =6，则333231232221131211a a a a a a a a a =（16）. 17．若0λ=是方阵A 的一个特征值，则()det A =（ 0 ）.18．设A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0121，则A 2-2A +E =2211--⎛⎫⎪-⎝⎭.19.若向量组()11,1,0t ∂=+，()21,2,0∂=，()230,0,1t ∂=+线性相关，则t =（ 1 ）.20.设向量组1α=（a ,1,1）,2α=（1,-2,1）, 3α=（1,1,-2）线性相关，则数a =（-2）.21.若向量组U 与向量组（1，2，3，4），（2，3，4，5），（0，0，1，2）等价，则U 的秩（3）. 22.设A 为3阶方阵，()det 3A =-，则()det 2A -=（ 24 ）23.方程组12312321231x x x x x x x x x λλλλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，当λ=（ 1 ）时有无穷多解。