第一章n阶行列式在初等数学中讨论过二阶、三阶行列式，并且利用它们来解二元、三元线性方程组. 为了研究n元线性方程组，需要把行列式推广到n 阶，即讨论n阶行列式的问题. 为此，下面先介绍全排列等知识，然后引出n阶行列式的概念.§1 全排列及其逆序数先看一个例子.引例用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？解这个问题相当于说，把三个数字分别放在百位、十位与个位上，有几种不同的放法？显然，百位上可以从1、2、3三个数字中任选一个，所以有3种放法；十位上只能从剩下的两个数字中选一个，所以有两种放法；个位上只能放最后剩下的一个数字，所以只有1种放法. 因此，共有⨯⨯种放法.3=162这六个不同的三位数是：123，132，213，231，312，321.在数学中，把考察的对象，如上例中的数字1、2、3叫做元素. 上述问题就是：把3个不同的元素排成一列，共有几种不同的排法？对于n个不同的元素，也可以提出类似的问题：把n个不同的元素排成一列，共有几种不同的排法？把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列，简称排列.n个不同元素的所有排列的种数，通常用P n表示. 有引例的结果可知P3 = 3 . 2 . 1 = 6 .12为了得出计算P n 的公式，可以仿照引例进行讨论：从n 个元素中任取一个放在第一个位置上，有n 种取法；又从剩下的n －1个元素中任取一个放在第二个位置上，有n －1种取法；这样继续下去，直到最后只剩下一个元素放在第n 个位置上，只有1种取法. 于是P n =n .（n －1）. … . 3 . 2 . 1 = n ! .对于n 个不同的元素，我们规定各元素之间有一个标准次序（例如n 个不同的自然数，可规定由小到大为标准次序），于是在这n 个元素的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有1个逆序. 一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数.逆序数为奇数的排列叫做奇排列，逆序数为偶数的排列叫做偶排列.下面我们来讨论计算排列的逆序数的方法.不失一般性，不妨设n 个元素为1至n 这n 个自然数，并规定由小到大为标准次序. 设n p p p 21为这n 个自然数的一个排列，考虑元素 ),,2,1(n i p i =，如果比i p 大的且排在i p 前面的元素有i t 个，就说i p 这个元素的逆序数是i t . 全体元素的逆序数之总和∑==+++=ni i n t t t t t 121 ，即是这个排列的逆序数.例1 求排列32514的逆序数. 解 在排列32514中，33排在首位逆序数为0；2的前面比2大的数只有一个“3”，故逆序数为1； 5是最大数，逆序数为0；1的前面比1大的数有三个“3、2、5”，故逆序数为3； 4的前面比4大的数只有一个“5”，故逆序数为1； 于是排列的逆序数为513010=++++=t .§2 n 阶行列式的定义为了给出n 阶行列式的定义，我们先研究三阶行列式的结构. 三阶行列式定义为：)1(.312213332112322311322113312312332211333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++=容易看出：①（1）式右边的每一项都恰是三个元素的乘积，这三个元素位于不同的行、不同的列. 因此，（1）式右端的任意项除正负号外可以写成321321p p p a a a . 这里第一下标（称行标）排成标准排列123，而第二个下标（称列标）排成321p p p ，它是1、2、3三个数的某个排列. 这样的排列共有6种，对应（1）式右端共含6项。
② 各项的正负号与列标的排列对照：带正号的三项列标排列是：123，231，312； 带负号的三项列标排列是：132，213，321.经计算可知前三个排列都是偶排列，而后三个排列都是奇排列.4因此各项所带的正负号可以表示为t)1(-，其中t 为列标排列的逆序数.总之，三阶行列式可以写成∑-=321321333231232221131211)1(p p p t a a a a a a a a a a a a ， 其中t 为排列321p p p 的逆序数，∑表示对1、2、3三个数的所有排列321p p p 取和.仿此，我们可以把行列式推广到一般情形. 定义 设有2n 个数，排成n 行n 列的表,212222111211nn n n n n a a a a a a a a a作出表中位于不同行不同列的n 个数的乘积，并冠以符号t)1(-；得到形如)2()1(2121nnp p p ta a a -的项，其中n p p p 21为自然数n ,,2,1 的一个排列，t 为这个排列的逆序数. 由于这样的排列共有!n 个，因而形如（2）式的项共有!n 项.5所有这!n 项的代数和∑-n np p p ta aa2121)1(称为n 阶行列式，记作nnn n n na a a a a a a a a D 212222111211=，简记作)det(ij a . 数ij a 称为行列式的元素.按此定义的二阶、三阶行列式，与对角线法则定义的二阶、三阶行列式，显然是一致的. 当1=n 时，a a =||，注意这里||a 不是a 的绝对值.例2 证明对角线行列式（其中对角线上的元素都是i λ，未写出的元素都是0）n n λλλλλλ2121=；n n n nλλλλλλ212)1(21)1(--=.6证 第一式是显然的，下面证第二式. 若记 ,1,+-=i n i i a λ则依行列式定义,)1()1(2111,2111,2121n t n n n t n n nna a a a a a λλλλλλ-=-==--其中t 为排列 21)1( -n n 的逆序数，故 2)1()1(210-=-++++=n n n t . 证毕 对角线以下（上）的元素都为0的行列式叫做上（下）三角行列式，它的值与对角行列式一样.例3 证明下三角行列式nn nnn n a a a a a a a a a D 221121222111==.证 由于当i j >时，0=ij a ，故D 中可能不为0的元素i ip a ，其下标应有i p i ≤，即.,,2,121n p p p n ≤≤≤在所有排列n p p p 21中，能满足上述关系的排列只有一个自然7排列n 12，所以D 中可能不为0的项只有一项nn ta a a 2211)1(-，此项的符号1)1()1(0=-=-t ，所以nn a a a D 2211=. 例4 设nnn nk n n k kkk k b b c c b b c c a a a a D1111111111110=kk k kij a a a a a D 11111)det(==nnn nij b b b b b D 11112)det(==证明 21D D D =.证 记 )det(ij d D =，其中ij ij a d =，),,1;,,1(k j k i ==8ij j k i k b d =++,，),,1;,,1(n j n i ==. 考察D 的一般项n r n k r k kr r t k k k d d d d ++++-,1,111)1( ,由于当k j k i >≤,时，0=j i d ，因此k r r ,,1 只有在k ,,1 中选取时，该项才可能不为零. 而当k r r ,,1 在k ,,1 中选取时，n k k r r ++,,1 只能在n k k ++,,1 中选取. 于是D 中可能不为零的项可以记作n k nq q kp p t b b a a 1111)1(-.这里，k r q r p k i i i -==+1,，而l 为排列)()(11n k q k q k p p ++ 的逆序数. 以t 、s 分别表示排列k p p 1及n q q 1的逆序数，应有s t l +=. 于是⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-=∑∑∑∑+n n k k nnk k q q nq q sp p kp p tq q nq q kp p st p p b b a a b b a a D 111111111111)1()1()1(9.)1()1(2121211111D D D a a D a ak k kk p p kp p tp p kp p t=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=∑∑§3 对 换为了研究n 阶行列式的性质，我们先来讨论对换以及它与排列的奇偶性的关系.在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换. 将相邻两个元素对换，叫做相邻对换.定理1 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性. 证 先证相邻对换的情形.设排列为m l b abb a a 11，对换a 与b ，变为m l b bab a a 11. 显然，l a a 1；m b b 1这些元素的逆序数经过对换并不改变，而a 、b 两元素的逆序数改变为：当b a <时，经对换后a 的逆序数增加1而b 的逆序数不变；当b a >时，经对换后a 的逆序数不变而b 的逆序数减少 1. 所以排列m l b abb a a 11与排列m l b bab a a 11的奇偶性不同.再证一般对换的情形.设排列为n m l c bc b ab a a 111，把它作m 次相邻对换，调成n m l c c b abb a a 111，再作1+m 次相邻对换，调成10n m l c ac b bb a a 111. 总之，经过12+m 次相邻对换，排列n m l c bc b ab a a 111调成排列n m l c ac b bb a a 111，所以这两个排列的奇偶性相反.推论 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.证 由定理1知对换的次数就是排列奇偶性变化的次数，而标准排列是偶排列（逆序数是0），因此得知推论成立. 证毕利用定理1，我们来讨论行列式定义的另一种表示法. 对于行列式的任一项n j i np jp ip p t a a a a 11)1(-，其中n j i 1为自然排列，t 为排列n j i p p p p 1的逆序数，对换元素i ip a 与j jp a 成n i j np ip jp p t a a a a 11)1(-，这时，这一项的值不变，而行标排列与列标排列同时作了一次相应的对换. 设新的行标排列n i j 1的逆序数为1t ，则t t )1()1(1--=-. 故1)1()1(t r t +-=-，于是n i j n j i np ip jp p t r np jp ip p t a a a a a a a a 11111)1()1(+-=-.这就表明，对换乘积中两元素的次序，从而行标排列与列标排列同时作出了相应的对换，则行标排列与列标排列的逆序数之和并不改变奇偶性. 经过一次对换如此，经过多次对换还是如此. 于是，经过11若干次对换，使：列标排列n p p p 21（逆序数为t ）变为自然排列（逆序数为0）； 行标排列则相应地从自然排列变为某个新的排列，设此新排列为n q q q 21，其逆序数为s ，则有n q q q s np p p t n n a a a a a a 21212121)1()1(-=-.又，若j p i =，则i q j =（即j q j i ip j i a a a ==）. 可见排列n q q q 21由排列n p p p 21所唯一确定.由此可得定理2 n 阶行列式也可定义为 ∑-=n p p p tn a aaD 2121)1(，其中t 为行标排列n p p p 21的逆序数.证 按行列式定义有 ∑-=n np p p p t a a aaD 321321)1(， 记 n p p p p tn a aaaD ∑-=3211321)1(.按上面讨论知：对于D 中任一项n np p p p ta a a a 321321)1(-，总有且仅有1D 中的某一项n q q q q sn a a a a 321321)1(-与之对应并相等；反之，对于1D 中的任一项n p p p p tn a a a a 321321)1(-，也总有且仅有D 中12的某一项n nq q q q s a a a a 321321)1(-与之对应并相等，于是D 与1D 中的项可以一一对应并相等，从而1D D =.§4 行列式的性质记nnn n n na a a a a a a a a D 212222111211=，nnn n n n a a a a a a a a a D 212221212111='，行列式D '称为行列式D 的转置行列式.性质1 行列式与它的转置行列式相等.证 记)det(ij a D =的转置行列式nnn n n nb b b b b b b b b D 212222111211='，即),,2,1,(,n j i a b ji ij ==，按定义∑∑-=-='n p p p t np p p t n n a a a b b b D 21212121)1()1(.而由定理2，有13∑-=n p p p t n a a a D 2121)1(，故 D D ='. 证毕 由此性质可知，行列式中的行与列具有同等的地位，行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立，反之亦然.性质2 互换行列式的两行（列），行列式的值改变符号. 证 设行列式nnn n n nb b b b b b b b b D 2122221112111=是由行列式)det(ij a D =交换j i ,两行得到的，即当j i k ,≠时，kp kp a b =；当j i k ,=时，jp ip a b =，ip jp a b =. 于是,)1()1()1(1111111∑∑∑-=-=-=n i j n j i nj i np jp ip p t np ip jp p t np jp ip p t a a a a a a a a b b b b D 其中n j i 1为自然排列，t 为排列n j i p p p p 1的逆序数.设排列n i j p p p p 1的逆序数为1t ，则1)1()1(tt--=-，故∑-=--=D a a a a D n i j np jp ip p t 1111)1(. 证毕以i r 表示行列式的第i 行，以i c 表示行列式的第i 列. 交换j i ,两14行记作j i r r ↔，交换j i ,两列记作j i c c ↔.推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零. 证 把完全相同的两行（列）互换，有D D -=，故0=D . 性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k ，等于用数k 乘此行列式.第i 行（或列）乘以k ，记作k r i ⨯（或k c i ⨯）.性质 4 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式的值等于零.性质5 若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和，例如nnni ni n n ni i ni i a a a a a a a a a a a a a a a D)()()('212'2222211'111211+++=，则D 等于下列两个行列式之和：nnni n n ni ni nnni n n n i ni a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a D'212'222211'1121121222221111211+=.性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）上去，行列式的值不变. 例如以数k 乘第j 列加到第i 列上去（记作j i kc c +），有15).(,)()()(122222111111112222111111j i a a ka a a a a ka a a a a ka a a a a a a a a a a a a a a nnnj nj ni n nj j i n j j i kc c nnnj ni n n j i n j i ji ≠++++（以数k 乘第j 行加到第i 行上，记作j i kr r +）性质3至性质6的证明，请读者自行完成. 这些性质可用于简化行列式的计算.例5 计算3351110243152113------=D .解16例6 计算3111131111311113D .解 这个行列式的特点是各列4个数之和都是6. 今把第2、3、4行同时加到第1行，提出公因子6，然后各行减去第1行：17例7 计算dc b a c b a b a ad c b a c b a b a a d c b a c b a b a a d c b a D ++++++++++++++++++=3610363234232 解 从第4行开始，后行减前行：§5 行列式按行（列）展开一般说来，低价行列式的计算比高价行列式的计算要简便，于是，我们自然地考虑到用低价行列式来表示高价行列式的问题. 为此，先引进余子式和代数余子式的概念.18在n 阶行列式中，把元素j i a 所在的第i 行和第j 列划去后，留下来的1-n 阶行列式叫做元素j i a 的余子式，记作j i M ；记ij j i j i M A +-=)1( ，j i A 叫做元素j i a 的代数余子式.例如四阶行列式44434241343332312423222114131211a a a a a a a a a a a a a a a a D =中元素32a 的余子式和代数余子式分别为444341242321141311a a a a a a a a a M =， 32322332)1(M M A -=-=+.引理 一个n 阶行列式，如果其中第i 行所有元素除j i a 外都为零，那么这个行列式等于j i a 与它的余子式的乘积，即ij j i A a D =.19证 先证j i a 位于第1行第1列的情形，此时nnn n n a a a a a a a D 21222211100=.这是例4中当1=k 时的特殊情形，按例4的结论，即有1111M a D =.又 11111111)1(M M A =-=+，从而 1111A a D =.再证一般情形，此时nnnj n ij n j a a a a a a a D 1111100=.为了利用前面的结果，把D 的行列作如下调换：把D 的第i 行依次与第1-i 行、第2-i 行、…、第1行对调，这样ij a 就调到原来j a 1的位置上，调换的次数为1-i . 再把第j 列依次与第1-j 列、第2-j 列、…、第1列对调，这样ij a 就调到左上角，调换的次数为1-j .20总之，经过2-+j i 次对调，把ij a 调到左上角，所得的行列式D D D j i j i +-+-=-=)1()1(21，而元素ij a 在1D 中的余子式仍然是ija 在D 中的余子式ij M .由于ij a 位于1D 的左上角，利用前面的结果，有ij ij M a D =1，于是 ij ij ij ij j i j i A a M a D D =-=-=++)1()1(1.定理3 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即),,2,1(2211n i A a A a A a D inin i i i i =+++=, 或 ),,2,1(2211n j A a A a A a D nj nj j j j j =+++=.证nnn n ini i n a a a a a a a a a D212111211000000++++++++=21nnn n i nnnn n i n a a a a a a a a a a a a a a21211211211112110000+=nnn n in na a a a a a a211121100++，根据引理可知),,2,1(2211n i A a A a A a D inin i i i i =+++=类似地，若按列证明，可得证毕),,2,1(2211n i A a A a A a D njnj j j j j =+++=这个定理叫做行列式按行（列）展开法则. 利用这一法则并结合行列式的性质，可以简化行列式的计算.下面，我们用此法来计算例5的行列式3351110243152113------=D .我们保留33a ，把第3行其余元素变为0，然后按第3行展开：22例8 计算nn d c dcd c baba ba D 220.解 按第1行展开，有23)1(2)1(2112)1(2)()1(--+---=--=n n n n D bc ad D bc adD ，以此作递推公式，即可得=-=-=--)2(22)1(22)()(n n n D bc ad D bc ad Dn n n bc ad dc b a bc ad D bc ad )()()(121-=-=-=--.24例9 证明范德蒙行列式)3().(1111112112222121j i j i n n nn n n nn x x x x x x x x x x x D -∏==≥>≥---其中记号“∏”表示全体同类因子的乘积.证 用数学归纳法. 因为∏≥>≥-=-==1212212)(11j i jix x x x x x D ，所以当2=n 时（3）式成立. 现在假设（3）式对于1-n 阶范德蒙行列式成立，要证（3）式对n 阶范德蒙行列式也成立.为此，设法把n D 降阶：从第n 行开始，后行减去前行的1x 倍，有)()()(0)()()(0011111213231222113312211312x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x D n n n n n n n n n ---------=---， 按第1列展开，并把每列的公因子（1x x i -）提出，就有252222223211312111)())((------=n n n nn n x x x x x x x x x x x x D.上式右端的行列式是1-n 阶范德蒙行列式，按归纳法假设，它等于所有（j i x x -）因子的乘积，其中2≥>≥j i n . 故证毕∏∏≥>≥≥>≥-=----=2211312)()()())((j i n j ij i n j in n x xx xx x x x x x D .由定理3，还可得下述重要推论：推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. 即j i A a A a A a n j n i j i j i ≠=+++,02211 ，或 j i A a A a A a nj ni j i j i ≠=+++,02211 .证 把行列式)det(ij a D =按第j 行展开，有26nnn jnj ini nn j jn j j j j a a a a a a a a A a A a A a1111112211=+++,在上式中把jk a 换成),,1(n k a ik =，可得行第行第j i a a a a a a a a A a A a A a nnn in i in i nn j in j i j i ←←=+++1111112211当j i ≠时，上式右端行列式中有两行对应元素相同，故行列式为零，即得)(,02211j i A a A a A a n j n i j i j i ≠=+++上述证法如按列进行，可得证毕)(,02211j i A a A a A a nj ni j i j i ≠=+++27§6 克莱姆法则含有n 个未知数n x x x ,,,21 的n 个线性方程的方程组)4(,,,22112222212*********⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++n n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 与二、三元线性方程组相类似，它的解可以用n 阶行列式表示，即有克莱姆法则 如果线性方程组（4）的系数行列式不等于零，即01111≠=nnn na a a a D ，那么，方程组（4）有唯一解,,,,2211DD x D Dx D D x n n ===（5）其中),,2,1(n j D j =是把系数行列式D 中第j 列的元素用方程组右端的自由项代替后所得到的n 阶行列式，即nnj n n j n n nj j j a a b a a a a b a a D 1,1,111,111,111+-+-= . 证 用D 中第j 列元素的代数余子式j n j j A A A ,,21依次乘方28程组（4）的n 个方程，再把它们相加，得,111111∑∑∑∑=====⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛nk j k k n n k j k n k j n k j k j k n k j k k A b x A a x A a x A a根据代数余子式的重要性质可知，上式中j x 的系数等于D ，而其余)(j i x i ≠的系数均为0；又，等式右端即是j D . 于是),,2,1(,n j D Dx j j ==. （6） 当0≠D 时，方程组（6）有唯一的一个解（5）.由于方程组（6）是由方程组（4）经乘数与相加两种运算而得，故（4）的解一定是（6）的解。
