1第一章 n 阶行列式在初等数学中讨论过二阶、三阶行列式，并且利用它们来解二元、三元线性方程组. 为了研究元线性方程组，需要把行列式推广到n n 阶，即讨论n 阶行列式的问题. 为此，下面先介绍全排列等知识，然后引出n 阶行列式的概念.§1 全排列及其逆序数先看一个例子.引例 用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？解 这个问题相当于说，把三个数字分别放在百位、十位与个位上，有几种不同的放法？显然，百位上可以从1、2、3三个数字中任选一个，所以有3种放法；十位上只能从剩下的两个数字中选一个，所以有两种放法； 个位上只能放最后剩下的一个数字，所以只有1种放法. 因此，共有种放法.6123=⨯⨯这六个不同的三位数是：123，132，213，231，312，321.在数学中，把考察的对象，如上例中的数字1、2、3叫做元素. 上述问题就是：把3个不同的元素排成一列，共有几种不同的排法？对于n 个不同的元素，也可以提出类似的问题：把n 个不同的元素排成一列，共有几种不同的排法？把n 个不同的元素排成一列，叫做这n 个元素的全排列，简称排列.n 个不同元素的所有排列的种数，通常用P n 表示. 有引例的结果可知 P 3 = 3 . 2 . 1 = 6 .2为了得出计算P n 的公式，可以仿照引例进行讨论：从n 个元素中任取一个放在第一个位置上，有n 种取法；又从剩下的n －1个元素中任取一个放在第二个位置上，有n －1种取法；这样继续下去，直到最后只剩下一个元素放在第n 个位置上，只有1种取法. 于是P n =n .（n －1）. … . 3 . 2 . 1 = n ! .对于n 个不同的元素，我们规定各元素之间有一个标准次序（例如n 个不同的自然数，可规定由小到大为标准次序），于是在这n 个元素的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有1个逆序. 一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数.逆序数为奇数的排列叫做奇排列，逆序数为偶数的排列叫做偶排列.下面我们来讨论计算排列的逆序数的方法.不失一般性，不妨设n 个元素为1至n 这n 个自然数，并规定由小到大为标准次序. 设np p p 21为这n 个自然数的一个排列，考虑元素 ，如果比),,2,1(n i p i =i p 大的且排在前面的元素有个，就说这个元素的逆序数是. i p i t i p i t 全体元素的逆序数之总和，∑==+++=ni i n t t t t t 121 即是这个排列的逆序数.例1 求排列32514的逆序数. 解 在排列32514中，33排在首位逆序数为0；2的前面比2大的数只有一个“3”，故逆序数为1；5是最大数，逆序数为0；1的前面比1大的数有三个“3、2、5”，故逆序数为3；4的前面比4大的数只有一个“5”，故逆序数为1；于是排列的逆序数为 .513010=++++=t §2 阶行列式的定义n 为了给出阶行列式的定义，我们先研究三阶行列式的结构. n 三阶行列式定义为：)1(.312213332112322311322113312312332211333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++=容易看出：①（1）式右边的每一项都恰是三个元素的乘积，这三个元素位于不同的行、不同的列. 因此，（1）式右端的任意项除正负号外可以写成. 这里第一下标（称行标）排成标准排列，而第321321p p p a a a 123二个下标（称列标）排成，它是1、2、3三个数的某个排列. 321p p p 这样的排列共有6种，对应（1）式右端共含6项。
② 各项的正负号与列标的排列对照：带正号的三项列标排列是：123，231，312；带负号的三项列标排列是：132，213，321.经计算可知前三个排列都是偶排列，而后三个排列都是奇排列.4因此各项所带的正负号可以表示为，其中为列标排列的逆序t)1(-t 数.总之，三阶行列式可以写成，∑-=321321333231232221131211)1(p p p t a a a a a a a a a a a a 其中为排列的逆序数，表示对1、2、3三个数的所有t 321p p p ∑排列取和.321p p p 仿此，我们可以把行列式推广到一般情形. 定义 设有个数，排成行列的表2n n n ,212222111211nn n n n n a a a a a a a a a 作出表中位于不同行不同列的个数的乘积，并冠以符号；得n t)1(-到形如)2()1(2121nnp p p t a a a -的项，其中为自然数的一个排列，为这个排列n p p p 21n ,,2,1 t 的逆序数. 由于这样的排列共有个，因而形如（2）式的项共有项.!n !n5所有这项的代数和!n∑-nnp p p t a a a 2121)1(称为阶行列式，记作n，nnn n n na a a a a a a a a D 212222111211=简记作. 数称为行列式的元素.)det(ij a ij a 按此定义的二阶、三阶行列式，与对角线法则定义的二阶、三阶行列式，显然是一致的. 当时，，注意这里不是的绝1=n a a =||||a a 对值.例2 证明对角线行列式（其中对角线上的元素都是，未写出i λ的元素都是0）；n nλλλλλλ2121=.n n n nλλλλλλ212)1(21)1(--=6证 第一式是显然的，下面证第二式. 若记则依行列式定义,1,+-=i n i i a λ,)1()1(2111,2111,2121n t n n n t n n nna a a a a a λλλλλλ-=-==--其中t 为排列 的逆序数，故21)1( -n n2)1()1(210-=-++++=n n n t . 证毕对角线以下（上）的元素都为0的行列式叫做上（下）三角行列式，它的值与对角行列式一样.例3 证明下三角行列式.nn nnn n a a a a a a a a a D 221121222111==证 由于当时，，故中可能不为0的元素，i j >0=ij a D i ip a 其下标应有，即i p i ≤.,,2,121n p p p n ≤≤≤ 在所有排列中，能满足上述关系的排列只有一个自然n p p p 217排列，所以中可能不为0的项只有一项，n 12D nn ta a a 2211)1(-此项的符号，所以1)1()1(0=-=-t.nn a a a D 2211=例4 设nnn nk n n k kkk k b b c c b b c c a a a a D1111111111110=kkk kij a a a a a D11111)det(==nnn nij b b b b b D11112)det(==证明 .21D D D =证 记 ，其中)det(ij d D =，ij ij a d =),,1;,,1(k j k i ==8，.ij j k i k b d =++,),,1;,,1(n j n i ==考察的一般项D,n r n k r k kr r t k k k d d d d ++++-,1,111)1( 由于当时，，因此只有在中k j k i >≤,0=j i d k r r ,,1 k ,,1 选取时，该项才可能不为零. 而当在中选取时，k r r ,,1 k ,,1 只能在中选取. 于是中可能不为零的n k k r r ++,,1 n k k ++,,1 D 项可以记作.n k nq q kp p t b b a a 1111)1(-这里，，而为排列k r q r p k i i i -==+1,l )()(11n k q k q k p p ++ 的逆序数. 以、分别表示排列及的逆序数，应有t s k p p 1n q q 1. 于是s t l +=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-=∑∑∑∑+n n k k nnk k q q nq q sp p kp p t q q nq q kp p st p p b b a a b b a a D 111111111111)1()1()1(9.)1()1(2121211111D D D a a D a ak k kk p p kp p tp p kp p t=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=∑∑ §3 对 换为了研究阶行列式的性质，我们先来讨论对换以及它与排列的n 奇偶性的关系.在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换. 将相邻两个元素对换，叫做相邻对换.定理1 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性. 证 先证相邻对换的情形.设排列为，对换与，变为m l b abb a a 11a b . 显然，；这些元素的逆序数经过对m l b bab a a 11l a a 1m b b 1换并不改变，而、两元素的逆序数改变为：当时，经对换后a b b a <的逆序数增加1而的逆序数不变；当时，经对换后的逆a b b a >a 序数不变而的逆序数减少1. 所以排列与排列b m l b abb a a 11的奇偶性不同.m l b bab a a 11再证一般对换的情形.设排列为，把它作次相邻对换，调成n m l c bc b ab a a 111m10，再作次相邻对换，调成n m l c c b abb a a 1111+m . 总之，经过次相邻对换，排列n m l c ac b bb a a 11112+m 调成排列，所以这两n m l c bc b ab a a 111n m l c ac b bb a a 111个排列的奇偶性相反.推论 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.证 由定理1知对换的次数就是排列奇偶性变化的次数，而标准排列是偶排列（逆序数是0），因此得知推论成立. 证毕利用定理1，我们来讨论行列式定义的另一种表示法. 对于行列式的任一项，n j i np jp ip p t a a a a 11)1(-其中为自然排列，为排列的逆序n j i 1t n j i p p p p 1数，对换元素与成i ip a j jp a，n i j np ip jp p t a a a a 11)1(-这时，这一项的值不变，而行标排列与列标排列同时作了一次相应的对换. 设新的行标排列的逆序数为，则n i j 11t . 故，于是t t )1()1(1--=-1)1()1(t r t +-=-.n i j n j i np ip jp p t r np jp ip p t a a a a a a a a 11111)1()1(+-=-这就表明，对换乘积中两元素的次序，从而行标排列与列标排列11同时作出了相应的对换，则行标排列与列标排列的逆序数之和并不改变奇偶性. 经过一次对换如此，经过多次对换还是如此. 于是，经过若干次对换，使：列标排列（逆序数为）变为自然排列（逆序数为0）；n p p p 21t 行标排列则相应地从自然排列变为某个新的排列，设此新排列为，其逆序数为，则有n q q q 21s.n q q q s np p p t n n a a a a a a 21212121)1()1(-=-又，若，则（即）. 可见排列j p i =i q j =j q j i ip j i a a a ==由排列所唯一确定.n q q q 21n p p p 21由此可得定理2 阶行列式也可定义为n，∑-=n p p p t n a a a D 2121)1(其中为行标排列的逆序数.t n p p p 21证 按行列式定义有 ，∑-=n np p p p t a a a a D 321321)1(记.n p p p p t n a a a a D ∑-=3211321)1(按上面讨论知：对于中任一项，总有D n np p p p ta a a a 321321)1(-且仅有中的某一项与之对应并相等；反1D n q q q q sn a a a a 321321)1(-12之，对于中的任一项，也总有且仅有1D n p p p p tn a a a a 321321)1(-D 中的某一项与之对应并相等，于是与中n nq q q q sa a a a 321321)1(-D 1D 的项可以一一对应并相等，从而.1D D =§4 行列式的性质记，，nnn n n na a a a a a a a a D212222111211=nnn n n n a a a a a a a a a D 212221212111='行列式称为行列式的转置行列式.D 'D 性质1 行列式与它的转置行列式相等.证 记的转置行列式)det(ij a D =，nnn n n nb b b b b b b b b D 212222111211='即，按定义),,2,1,(,n j i a b ji ij ==.∑∑-=-='n p p p t np p p t n n a a a b b b D 21212121)1()1(而由定理2，有13，∑-=n p p p t n a a a D 2121)1(故 .证毕D D ='由此性质可知，行列式中的行与列具有同等的地位，行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立，反之亦然.性质2 互换行列式的两行（列），行列式的值改变符号. 证 设行列式nnn n n nb b b b b b b b b D 2122221112111=是由行列式交换两行得到的，即当时，)det(ij a D =j i ,j i k ,≠；当时，，. 于是kp kp a b =j i k ,=jp ip a b =ip jp a b =,)1()1()1(1111111∑∑∑-=-=-=n i j n j i nj i np jp ip p t np ip jp p t np jp ip p t a a a a a a a a b b b b D 其中为自然排列，为排列的逆序n j i 1t n j i p p p p 1数.设排列的逆序数为，则，故n i j p p p p 11t 1)1()1(tt--=-.证毕∑-=--=D a a a a D n i j np jp ip p t 1111)1(14以表示行列式的第行，以表示行列式的第列. 交换两i r i i c i j i ,行记作，交换两列记作.j i r r ↔j i ,j i c c ↔推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零. 证 把完全相同的两行（列）互换，有，故. D D -=0=D 性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数，k 等于用数乘此行列式.k 第行（或列）乘以，记作（或）.i k k r i ⨯k c i ⨯性质4 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式的值等于零.性质5 若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和，例如，nnni ni n n ni i ni i a a a a a a a a a a a a a a a D)()()('212'2222211'111211+++=则等于下列两个行列式之和：D .nnni n n ni ni nnni n n n i ni a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a D'212'222211'1121121222221111211+=性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）上去，行列式的值不变. 例如以数乘第列加到第k j i 列上去（记作），有j i kc c +15).(,)()()(122222111111112222111111j i a a ka a a a a ka a a a a ka a a a a a a a a a a a a a a nnnj nj ni n nj j i n j j i kc c nnnj ni n n j i n j i ji ≠++++ （以数乘第行加到第行上，记作）k j i j i kr r +性质3至性质6的证明，请读者自行完成. 这些性质可用于简化行列式的计算.例5 计算.3351110243152113------=D 解16例6 计算.3111131111311113D 解 这个行列式的特点是各列4个数之和都是6. 今把第2、3、4行同时加到第1行，提出公因子6，然后各行减去第1行：17例7 计算dc b a c b a b a ad c b a c b a b a a d c b a c b a b a ad c b a D ++++++++++++++++++=3610363234232解 从第4行开始，后行减前行：§5 行列式按行（列）展开一般说来，低价行列式的计算比高价行列式的计算要简便，于是，我们自然地考虑到用低价行列式来表示高价行列式的问题. 为此，先引进余子式和代数余子式的概念.18在阶行列式中，把元素所在的第行和第列划去后，留下n j i a i j 来的阶行列式叫做元素的余子式，记作；记1-n j i a j i M，ij j i j i M A +-=)1(叫做元素的代数余子式.j i A j i a 例如四阶行列式44434241343332312423222114131211a a a a a a a a a a a a a a a a D =中元素的余子式和代数余子式分别为32a ，444341242321141311a a a a a a a a a M =.32322332)1(M M A -=-=+引理 一个阶行列式，如果其中第行所有元素除外都为n i j i a 零，那么这个行列式等于与它的余子式的乘积，即j i a .ij j i A a D =19证 先证位于第1行第1列的情形，此时j i a .nnn n n a a a a a a a D 21222211100=这是例4中当时的特殊情形，按例4的结论，即有1=k .1111M a D =又 ，11111111)1(M M A =-=+从而.1111A a D =再证一般情形，此时.nnnj n ij nj a a a a a a a D 1111100=为了利用前面的结果，把的行列作如下调换：把的第行D D i 依次与第行、第行、…、第1行对调，这样就调到原来1-i 2-i ij a j a 1的位置上，调换的次数为. 再把第列依次与第列、第1-i j 1-j 列、…、第1列对调，这样就调到左上角，调换的次数为.2-j ij a 1-j20总之，经过次对调，把调到左上角，所得的行列式2-+j i ij a ，而元素在中的余子式仍然是D D D j i j i +-+-=-=)1()1(21ij a 1D ija 在中的余子式.D ij M 由于位于的左上角，利用前面的结果，有ij a 1D ，ij ij M a D =1于是.ij ij ij ij j i j i A a M a D D =-=-=++)1()1(1定理3 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即,),,2,1(2211n i A a A a A a D inin i i i i =+++=或 .),,2,1(2211n j A a A a A a D njnj j j j j =+++=证nnn n ini i n a a a a a a a a a D212111211000000++++++++=21nnn n i nnnn n i na a a a a a a a a a a a a a 21211211211112110000+=，nnn n in na a a a a a a211121100++根据引理可知),,2,1(2211n i A a A a A a D inin i i i i =+++=类似地，若按列证明，可得证毕),,2,1(2211n i A a A a A a D njnj j j j j =+++=这个定理叫做行列式按行（列）展开法则. 利用这一法则并结合行列式的性质，可以简化行列式的计算.下面，我们用此法来计算例5的行列式. 3351110243152113------=D 我们保留，把第3行其余元素变为0，然后按第3行展开：33a22例8 计算.nn d c dcd c baba baD 220解 按第1行展开，有23，)1(2)1(2112)1(2)()1(--+---=--=n n n n D bc ad D bc adD 以此作递推公式，即可得=-=-=--)2(22)1(22)()(n n n D bc ad D bc ad D.n n n bc ad dc ba bc ad D bc ad )()()(121-=-=-=--24例9证明范德蒙行列式)3().(1111112112222121j i j i n n nn n n nn x x x x x x x x x x x D -∏==≥>≥---其中记号“”表示全体同类因子的乘积.∏证 用数学归纳法. 因为，∏≥>≥-=-==1212212)(11j i j i x x x x x x D 所以当时（3）式成立. 现在假设（3）式对于阶范德蒙行2=n 1-n 列式成立，要证（3）式对阶范德蒙行列式也成立.n为此，设法把降阶：从第行开始，后行减去前行的倍，有n D n 1x，)()()(0)()()(0011111213231222113312211312x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x D n n n n n n n n n ---------=---按第1列展开，并把每列的公因子（）提出，就有1x x i -25.2222223211312111)())((------=n n n nn n x x x x x x x x x x x x D上式右端的行列式是阶范德蒙行列式，按归纳法假设，它等于1-n 所有（）因子的乘积，其中. 故j i x x -2≥>≥j i n .证毕∏∏≥>≥≥>≥-=----=2211312)()()())((j i n jij i n jin n x x x x x x x x x x D 由定理3，还可得下述重要推论：推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. 即，j i A a A a A a n j n i j i j i ≠=+++,02211 或.j i A a A a A a nj ni j i j i ≠=+++,02211 证 把行列式按第行展开，有)det(ij a D =j26,nnn jnj ini n n j jn j j j j a a a a a a a a A a A a A a1111112211=+++在上式中把换成，可得jk a ),,1(n k a ik =行第行第j i a a a a a a a a A a A a A a nnn in i in i nn j in j i j i ←←=+++1111112211当时，上式右端行列式中有两行对应元素相同，故行列式为零，j i ≠即得)(,02211j i A a A a A a n j n i j i j i ≠=+++ 上述证法如按列进行，可得证毕)(,02211j i A a A a A a nj ni j i j i ≠=+++27§6 克莱姆法则含有个未知数的个线性方程的方程组n n x x x ,,,21 n )4(,,,22112222212*********⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++n n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 与二、三元线性方程组相类似，它的解可以用阶行列式表示，即有n 克莱姆法则 如果线性方程组（4）的系数行列式不等于零，即，01111≠=nnn na a a a D 那么，方程组（4）有唯一解,,,,2211DD x D Dx D D x n n ===（5）其中是把系数行列式中第列的元素用方程组),,2,1(n j D j =D j 右端的自由项代替后所得到的阶行列式，即n .nnj n n j n n nj j j a a b a a a a b a a D 1,1,111,111,111+-+-=28证 用中第列元素的代数余子式依次乘方D j j n j j A A A ,,21程组（4）的个方程，再把它们相加，得n ,111111∑∑∑∑=====⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛nk j k k n n k j k n k j n k j k j k n k j k k A b x A a x A a x A a 根据代数余子式的重要性质可知，上式中的系数等于，而其余j x D 的系数均为；又，等式右端即是. 于是)(j i x i ≠0j D.),,2,1(,n j D Dx j j ==（6）当时，方程组（6）有唯一的一个解（5）.0≠D 由于方程组（6）是由方程组（4）经乘数与相加两种运算而得，故（4）的解一定是（6）的解。
