2017-2018学年北师大版数学必修4课时作业：1周期现象 角的概念的推广 Word版含解析

1 周期现象2 角的概念的推广学习目标 1.了解现实生活中的周期现象.2.了解任意角的概念，理解象限角的概念.3.掌握终边相同的角的含义及其表示．知识点一周期现象思考“钟表上的时针每经过12小时运行一周，分针每经过1小时运行一周，秒针每经过1分钟运行一周．”这样的现象，具有怎样的属性？梳理(1)以相同间隔重复出现的现象叫作周期现象．(2)要判断一种现象是否为周期现象，关键是看每隔一段时间这种现象是否会________出现，若出现，则为周期现象；否则，不是周期现象．知识点二角的相关概念思考1 将射线OA绕着点O旋转到OB位置，有几种旋转方向？思考2 如果一个角的始边与终边重合，那么这个角一定是零角吗？梳理(1)角的概念：角可以看成平面内____________绕着________从一个位置________到另一个位置所形成的图形．(2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：知识点三象限角思考把角的顶点放在平面直角坐标系的原点，角的始边与x轴的非负半轴重合，旋转该角，则其终边(除端点外)可能落在什么位置？梳理在直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．象限角：________在第几象限就是第几象限角；轴线角：________落在坐标轴上的角．知识点四终边相同的角思考1 假设60°的终边是OB，那么－660°，420°的终边与60°的终边有什么关系，它们与60°分别相差多少？思考2 如何表示与60°终边相同的角？梳理终边相同角的表示一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k×360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与________的整数倍的和．类型一周期现象的应用例1 水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，假设水车5分钟转一圈，计算1小时内最多盛水多少升？反思与感悟(1)应用周期现象中“周而复始”的规律性可以达到“化繁为简”、“化无限为有限”的目的．(2)只要确定好周期现象中重复出现的“基本单位”就可以把问题转化到一个周期内来解决．跟踪训练1 利用例1中的水车盛800升的水，至少需要多少时间？类型二象限角的判定例2 在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.反思与感悟 判断象限角的步骤(1)当0°≤α<360°时，直接写出结果．(2)当α<0°或α≥360°时，将α化为k ·360°＋β(k ∈Z ，0°≤β<360°)，转化为判断角β所属的象限．跟踪训练2 (1)判断下列角所在的象限，并指出其在0°～360°范围内终边相同的角． ①549°；②－60°；③－503°36′.(2)若α是第二象限角，试确定2α、α2是第几象限角．类型三 终边相同的角命题角度1 求与已知角终边相同的角例3 在与角10 030°终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)[360°，720°)的角．反思与感悟 求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k 的值．跟踪训练3 写出与α＝－1 910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来．命题角度2 求终边在给定直线上的角的集合例4 写出终边在直线y ＝－3x 上的角的集合．反思与感悟 求终边在给定直线上的角的集合，常用分类讨论的思想，即分x ≥0和x <0两种情况讨论，最后再进行合并．跟踪训练4 写出终边在直线y＝33x上的角的集合．1．下列是周期现象的为( )①闰年每四年一次；②某交通路口的红绿灯每30秒转换一次；③某超市每天的营业额；④某地每年6月份的平均降雨量．A．①②④ B．②④C．①② D．①②③2．与－457°角终边相同的角的集合是( )A．{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z}B．{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z}C．{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}D．{α|α＝k·360°－263°，k∈Z}3．2 017°是第________象限角．4．一个质点，在平衡位置O点附近振动，如果不考虑阻力，可将此振动看作周期运动，从O点开始计时，质点向左运动第一次到达M点用了0.3 s，又经过0.2 s第二次通过M点，则质点第三次通过M点，还要经过的时间是________s.5．已知，如图所示．(1)写出终边落在射线OA，OB上的角的集合；(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．1．判断是否为周期现象，关键是看在相同的间隔内，图像是否重复出现．2．由于角的概念推广了，那么终边相同的角有无数个，这无数个终边相同的角构成一个集合．与α角终边相同的角可表示为{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，要领会好k∈Z的含义．3．熟记终边在坐标轴上的各角的度数，才能正确快速地用不等式表示各象限角，注意不等式表示的角的终边随整数k的改变而改变时，要对k分类讨论．答案精析问题导学知识点一思考 周而复始，重复出现．梳理 (2)重复知识点二思考1 有顺时针和逆时针两种旋转方向．思考2 不一定，若角的终边未作旋转，则这个角是零角．若角的终边作了旋转，则这个角就不是零角．梳理 (1)一条射线 端点 旋转(2)逆时针方向旋转 顺时针方向旋转 没有作任何旋转知识点三思考 终边可能落在坐标轴上或四个象限内．梳理 终边 终边知识点四思考1 它们的终边相同．－660°＝60°－2×360°，420°＝60°＋360°，故它们与60°分别相隔了2个周角的和及1个周角．思考2 60°＋k ·360°(k ∈Z )．梳理 周角题型探究例1 解 因为1小时＝60分钟＝12×5分钟，且水车5分钟转一圈，所以1小时内水车转12圈．又因为水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，所以每转一圈，最多盛水16×10＝160(升)，所以水车1小时内最多盛水160×12＝1 920(升)．跟踪训练1 解 设x 分钟后盛水y 升，由例1知每转一圈，水车最多盛水16×10＝160(升)， 所以y ＝x 5·160＝32x ，为使水车盛800升的水， 则有32x ≥800，所以x ≥25，即水车盛800升的水至少需要25分钟．例2 解 (1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．跟踪训练2 解 (1)①∵549°＝189°＋360°，∴549°角为第三象限的角，与189°角终边相同．②∵－60°＝300°－360°，∴－60°角为第四象限的角，与300°角终边相同． ③∵－503°36′＝216°24′－2×360°，∴－503°36′角为第三象限的角，与216°24′角终边相同．(2)由题意得90°＋k ·360°<α<180°＋k ·360°(k ∈Z )，①所以180°＋2k ·360°<2α<360°＋2k ·360°(k ∈Z )．故2α是第三或第四象限角或终边落在y 轴非正半轴上的角．由①得45°＋k ·180°<α2<90°＋k ·180°(k ∈Z )， 当k 为偶数时，令k ＝2n (n ∈Z )，得45°＋n ·360°<α2<90°＋n ·360°(n ∈Z )，故α2是第一象限角． 当k 为奇数时，令k ＝2n ＋1(n ∈Z )，得45°＋180°＋n ·360°<α2<90°＋180°＋n ·360°(n ∈Z )，即225°＋n ·360°<α2<270°＋n ·360°(n ∈Z )， 故α2为第三象限角． 综上可知，α2为第一或第三象限角． 例3 解 与10 030°终边相同的角的一般形式为β＝k ·360°＋10 030°(k ∈Z )．(1)由－360°＜k ·360°＋10 030°＜0°，得－10 390°＜k ·360°＜－10 030°，解得k ＝－28，故所求的最大负角为β＝－50°.(2)由0°＜k ·360°＋10 030°＜360°，得－10 030°＜k ·360°＜－9 670°，解得k ＝－27，故所求的最小正角为β＝310°.(3)由360°≤k ·360°＋10 030°＜720°，得－9 670°≤k ·360°＜－9 310°，解得k ＝－26，故所求的角为β＝670°.跟踪训练 3 解 由终边相同的角的表示知，与角α＝－1 910°终边相同的角的集合为{β|β＝k ·360°－1 910°，k ∈Z }．∵－720°≤β＜360°，即－720°≤k ·360°－1 910°＜360°(k ∈Z )，∴31136≤k ＜61136(k ∈Z )，故取k ＝4,5,6. 当k ＝4时，β＝4×360°－1 910°＝－470°；当k ＝5时，β＝5×360°－1 910°＝－110°；当k ＝6时，β＝6×360°－1 910°＝250°.例4 解 终边在y ＝－3x (x <0)上的角的集合是S 1＝{α|α＝120°＋k ·360°，k ∈Z }； 终边在y ＝－3x (x ≥0)上的角的集合是S 2＝{α|α＝300°＋k ·360°，k ∈Z }． 因此，终边在直线y ＝－3x 上的角的集合是S ＝S 1∪S 2＝{α|α＝120°＋k ·360°，k ∈Z }∪{α|α＝300°＋k ·360°，k ∈Z }，即S ＝{α|α＝120°＋2k ·180°，k ∈Z }∪{α|α＝120°＋(2k ＋1)·180°，k ∈Z }＝{α|α＝120°＋n ·180°，n ∈Z }．故终边在直线y ＝－3x 上的角的集合是S ＝{α|α＝120°＋n ·180°，n ∈Z }． 跟踪训练 4 解 终边在y ＝33x (x ≥0)上的角的集合是S 1＝{α|α＝30°＋k ·360°，k ∈Z }；终边在y ＝33x (x <0)上的角的集合是S 2＝{α|α＝210°＋k ·360°，k ∈Z }． 因此，终边在直线y ＝33x 上的角的集合是S ＝S 1∪S 2＝{α|α＝30°＋k ·360°，k ∈Z }∪{α|α＝210°＋k ·360°，k ∈Z }，即S ＝{α|α＝30°＋2k ·180°，k ∈Z }∪{α|α＝30°＋(2k ＋1)·180°，k ∈Z }＝{α|α＝30°＋n ·180°，n ∈Z }．故终边在直线y ＝33x 上的角的集合是S ＝{α|α＝30°＋n ·180°，n ∈Z }． 当堂训练1．C 2.C 3.三 4.1.45．解 (1)终边落在射线OA 上的角的集合是{α|α＝k ·360°＋210°，k ∈Z }． 终边落在射线OB 上的角的集合是{α|α＝k ·360°＋300°，k ∈Z }．(2)终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|k ·360°＋210°≤α≤k ·360°＋300°，k ∈Z }．。

课时作业1 周期现象角的概念推广1.观察寻找规律，第100个字母是（）“ABCDABCD......”A.AB.BC.CD.D2.把一条射线绕着端点按逆时针方向旋转361°，所形成角是（）A.1°B. -1°C.361°D.-361°3.若角的定点在原点，角的始边与x轴非负半轴重合，给出以下四个命题：1)0°角是第一象限角；2）相等角终边一定相同；3）终边相同的角有无限多个；4）与-120°角终边相同角都是第三象限角其中正确的有几个（）A.1B.2C.3D.44.若角α为锐角，则下列各角中一定为第三象限角的是（）A.90°- αB.90°+ αC.360°- αD.180°+α5.若角α与角β终边关于y轴对称，则必有（）A.α＋β＝90°B.α＋β=k·360°＋90°（k∈Z）C.α＋β＝k·360°(k∈Z)D.α＋β=(2k+1）180°（k∈Z）6.已知角α与2α的终边相同，且α∈[0°，360°﹚，则角α=——7.判断下列现象去是否是周期现象A.钟表的时针的运动；B.地球的自传；C.物理学中的单摆运动；D.连续的抛1枚硬币，面值朝上记为0，面值朝下记为1,0和1的出现1α各是第几象限角？8.已知α是第四象限角，则2α，2参考答案1-5 DCCDD6. 0°7.ABC是D不是8. 2α是第三象限角，或第四象限角或终边在y轴非正半轴的1α是第二象限角或第四象限角角；2。

§1 周期现象2 角的概念的推广知识梳理1.周期现象某种动作或现象每隔“一段”就会重复出现，这种现象被称为周期现象.2.任意角（1）角的定义①静态定义：具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边.②动态定义：一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形，所旋转射线的端点叫做顶点，开始位置的射线叫做角的始边,终止位置的射线叫做角的终边。

(2）在平面内，一条射线绕它的端点旋转时，有顺时针和逆时针两个相反的方向.习惯上规定：按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角；按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角；当射线没有旋转时，也把它看成一个角,称为零角；旋转生成的角又常称为转角.这样就形成了任意大小的角，即任意角.（3)角的记法用一个希腊字母;用三个大写的英文字母表示(字母前面要写“∠”）。

(4）角的分类按旋转方向分为正角、零角、负角;按终边所在位置分为象限角和轴线角.3.象限角、轴线角(1）定义：将角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合，那么就把角放在了平面直角坐标系中。

如果角的终边（除原点外)在第几象限，则就说这个角是第几象限角；如果角的终边落在坐标轴上,则这个角不属于任何象限，称之为轴线角（或称为象限界角)。

（2）表示方法第一象限角的集合：{α｜k·360°＜α＜k·360°+90°，k∈Z}；第二象限角的集合：｛α｜k·360°+90°＜α＜k·360°+180°,k∈Z｝；第三象限角的集合:{α｜k·360°+180°＜α＜k·360°+270°,k∈Z};第四象限角的集合：｛α|k·360°+270°＜α＜k·360°+360°,k∈Z}；终边落在x轴的非负半轴上的角的集合：{α｜α=k·360°,k∈Z｝;终边落在x轴的非正半轴上的角的集合：｛α|α=k·360°+180°,k∈Z｝；终边落在x轴上的角的集合:｛α｜α=k·180°,k∈Z｝；终边落在y轴的非负半轴上的角的集合:｛α|α=k·360°+90°，k∈Z}；终边落在y轴的非正半轴上的角的集合：{α|α=k·360°+270°，k∈Z};终边落在y轴上的角的集合：{α｜α=k·180°+90°，k∈Z｝；终边落在坐标轴上的角的集合：{α｜α=k·90°，k∈Z｝；象限角与轴线角的表示形式并不唯一，还有其他的表示形式，如：终边落在y轴的非正半轴上的角的集合也可表示为{x|x=k·360°—90°，k∈Z}。

周期现象一、选择题(每小题3分,共18分)1.下列现象不是周期现象的是( )A.“春去春又回”B.钟表的分针每小时转一圈C.“哈雷彗星”的运行时间D.某同学每天上数学课的时间【解析】选D.某同学每天上数学课的时间不确定,不是周期现象.2.(2014·西安高一检测)今天是星期三,再过92天是( )A.星期三B.星期四C.星期五D.星期二【解析】选B.因为7天为一周,92=7×13+1,所以再过92天是星期四.3.(2014·成都高一检测)某广场从左向右依次种着一排树苗,每两棵白杨树之间按顺序有梧桐树,柳树,水杉树各一棵,若左边第一棵是白杨树,则第90棵树是( )A.白杨树B.梧桐树C.柳树D.水杉树【解析】选B.由题意知,四棵树(白杨、梧桐、柳树、水杉)为一组,90=4×22+2,所以第90棵树是梧桐树. 【变式训练】某齿轮转动装备如图,大齿轮有44个齿,小齿轮有22个齿,当大齿轮转动10周时,小齿轮转动( )A.10周B.5周C.15周D.20周【解题指南】齿轮转动的周数与齿轮的齿数成反比.【解析】选D.大齿轮齿数是小齿轮齿数的2倍,故大齿轮转动一周小齿轮转动2周,所以大齿轮转动10周时,小齿轮转动20周.4.(2014·榆林高一检测)钟表分针的运动是一个周期现象,其周期是60分,现在分针恰好指在2点处,则100分钟后,分针指在处. ( )A.8点B.10点C.11点D.12点【解析】选B.100=60+40,所以100分钟后,分针指在10点处.5.(2014·廊坊高一检测)科学家进行一项实验,每隔6小时做一次记录,如果第11次记录时,挂钟时针恰好指向7,第一次记录时,时针指向( )A.1B.2C.6D.7【解析】选D.每隔6小时做一次记录,11次记录共需60小时,而60=12×5,也就是说在此过程中时针旋转了5圈,逆推回去可知,第一次记录时,时针指向7.【误区警示】此题中计算记录共需时间时容易出错,误认为是6×11=66.6.(2013·南昌高一检测)假定现在的时间是12点整,再过t小时,分针与时针第一次重合,则t= ( )A. B. C. D.【解题指南】分针与时针第一次重合意味着分针比时针多转一圈.【解析】选A.时针1小时旋转的角度为30°,t小时旋转(30t)°.而分针每走一分钟对应的角度为6°,t 小时分针走了(60t×6)°,所以30t=60t×6-360.解得t=.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2014·秦皇岛高一检测)某单摆每经过6秒钟就回到竖直状态,则每经过秒钟就回到最右边.【解析】单摆回到竖直状态的时间为6秒,只有半个周期,而回到最右边的间隔时间为整个周期,所以是12秒.答案:128.观察一列数“1,0,2,0,3,0,4,0,5,0,6,0,…,”,则第100个数字是.【解析】从这一列数字观察不难发现,偶数项的位置上都是数字0,所以第100个数字是0.答案:0【举一反三】此题条件不变,则第101个数字是.【解析】第101个数字是=51.答案:519.公元2015年是羊年,那么公元1907年是年;公元3015年是年.【解题指南】十二生肖的排列顺序是:子鼠、丑牛、寅虎、卯兔、辰龙、巳蛇、午马、未羊、申猴、酉鸡、戌狗、亥猪.【解析】因为2015-1907=108=12×9,所以1907年也是羊年;3015-2015=1000=12×83+4,所以公元3015年是猪年.答案:羊猪三、解答题(每小题10分,共20分)10.如图是某简谐振动的图像,据此回答:(1)此振动具有周期现象吗?(2)此简谐振动的周期为多少?【解析】(1)该振动具有周期现象.(2)振动周期为2×(8-4)=8.11.下表中,将每列上下两个字组成一组,如第一组为“喜幸”,第二组为“迎运”.求第2013组是什么?喜迎新春喜迎新春喜迎新春…幸运年幸运年幸运年幸运年…【解析】由题意知,第一行“喜迎新春”与第二行“幸运年”搭配,产生4×3=12(组),也就是说每隔12组,重复出现相同的字组.因为2013=9+12×167,所以第2013组与第9组相同即“喜年”.一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2014·合肥高一检测)下列现象是周期现象的是( )①日出日落②潮汐③海啸④地震A.①②B.②③C.③④D.①③【解析】选A.“日出日落”“潮汐”都是周期现象,“海啸”“地震”都不是.2.(2014·西安高一检测)2014索契冬奥会是第22届,则第24届冬奥会是年( )A.2018B.2022C.2026D.2030【解题指南】冬奥会和夏季奥运会一样,都是每隔4年举办一次.【解析】选B.2014+8=2022.【举一反三】你知道第19届冬奥会是哪一年举办的吗?【解析】2014-12=2002,所以第19届冬奥会是2002年举办的.3.(2014·汉中高一检测)设钟摆从A点开始每经过3.2s回到原来的位置,如图,图中的钟摆达到左侧最高位置的A点处开始计时,经过1min钟后,钟摆的大致位置是( )A.点O处B.点A处C.点O,A之间D.点O,B之间【解析】选A.由题意知,钟摆摆动的周期为3.2秒,60=3.2×18+2.4,所以60秒后,钟摆应该在点O处. 4.(2014·衡水高一检测)根据图中箭头指向的规律,判断从2013到2014再到2015,箭头方向是( )【解题指南】根据图中的数字,探寻规律,再判断箭头方向.【解析】选D.从图中的数字来看0-4,4-8,8-12,…,箭头的方向重复出现,所以从2013到2014再到2015,箭头方向是D.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2014·重庆高一检测)某水车上有8个水桶,每个水桶最多能盛水4升,20 min转一圈,估算一下8h后最多盛水升.【解析】480=20×24,8×4×24=768.答案:7686.下列函数图像中,y随x变化的现象是周期现象的序号是.【解析】结合周期现象的定义可知,对于(1),每隔1s函数值变化一次,每隔2s函数值重复出现,是周期现象.同理(4)也是周期现象.对于(2),每隔s函数值会重复出现,是周期现象.对于(3)不满足每隔一段时间函数值重复出现故不是周期现象.答案:(1)(2)(4)三、解答题(每小题12分,共24分)7.如图所示,观察下列图像回答:y随x变化的现象是周期现象吗?周期是多少?【解析】从函数的图像来看y的值随着x的变化而呈现重复性变化,所以y随x的变化的现象是周期现象,且周期为4.8.(2014·渭南高一检测)天上有些恒星的亮度是会变化的,其中有一种称为造父变星,亮度会随本身体积的膨胀收缩而发生变化,且这种变化的现象是周期现象,如图为一造父变星的亮度随时间变化的图像.据此请回答:(1)此星亮度的变化周期为多少天?(2)最亮时是几等星?最暗时是几等星?(3)按照这个规律,判断此星在第30天时的等级.【解析】(1)由亮度随时间变化的图像可知此星的亮度大约每6天就有规律地重复出现,故此星亮度的变化周期大约为6天.(2)由图可知,此星最亮时是3.7等星,最暗时是4.4等星.(3)由于此星的变化周期为6天,故在第30天时的等级与在第6天时的等级相同. 该星在第6天时的等级为3.7等星,故在第30天时为3.7等星.。

1 周期现象、角的概念的推广时间：45分钟满分：80分班级________ 姓名________ 分数________一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)1．已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，给出下列四个命题：①A＝B＝C；②A⊆C；③C⊆A；④A∩C ＝B.其中正确命题的个数为()A．0 B．2C．3 D．4答案：A2．与1303°角的终边相同的角是()A．763°B．493°C．－137°D．－47°答案：C3．如果角α的终边上有一个点P(0，－3)，那么α()A．是第三象限角B．是第四象限角C．是第三或第四象限角D．不是任何象限角答案：D4．角α与β的终边关于y轴对称，则有()A．α＋β＝90°B．α＋β＝90°＋k·360°(k∈Z)C．α＋β＝2k·180°(k∈Z)D．α＋β＝180°＋k·360°(k∈Z)答案：D5．已知角2α的终边在x轴上方，那么α是()A．第一象限角B．第一或第二象限角C．第一或第三象限角D．第一或第四象限角答案：C6．探索规律：根据图中箭头指向的规律，判断从2014到2015再到2016，箭头的指向是()答案：B二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)7．时针走过2小时40分，则分针转过的角度是________．答案：－960°8.与－496°终边相同的角是________；它们是第________象限的角；它们中最小正角是________；最大负角是________．答案：k·360°－496°(k∈Z)；三；224°；－136°.9．终边在第一或第三象限角平分线上的角的集合为________，终边在第二或第四象限角平分线上的角的集合为________．答案：{α|α＝k·180°＋45°，k∈Z}{α|α＝k·180°＋135°，k∈Z}三、解答题：(共35分，11＋12＋12)10．如图是一个单摆的振动图像，根据图像，回答下面问题：(1)单摆的振动是周期现象吗？(2)若是周期现象，其振动的周期是多少？(3)单摆离开平衡位置的最大距离是多少？解：由题图可知：(1)单摆的振动是周期现象．(2)其振动周期是0.8 s.(3)单摆离开平衡位置的最大距离是0.5 cm.11．已知α是第三象限角，则α3是第几象限角？解：∵α是第三象限角，∴180°＋k ·360°<α<270°＋k ·360°(k ∈Z )，∴60°＋k ·120°<α3<90°＋k ·120°(k ∈Z )．当k ＝3n (n ∈Z )时，60°＋n ·360°<α3<90°＋n ·360°(n ∈Z )，∴α3是第一象限角；当k ＝3n ＋1(n ∈Z )时，180°＋n ·360°<α3<210°＋n ·360°(n ∈Z )，∴α3是第三象限角；当k ＝3n ＋2(n ∈Z )时，300°＋n ·360°<α3<330°＋n ·360°(n ∈Z )，∴α3是第四象限角．∴α3是第一或第三或第四象限角．12．如图所示．(1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．解：(1)终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}．终边落在OB位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k·360°，k∈Z}．(2)由题图，可知终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合为{γ|－30°＋k·360°≤γ≤135°＋k·360°，k∈Z}．。

高中数学 1.2角的概念的推广课时作业北师大版必修4一、选择题(每小题3分,共18分)1.(2014·榆林高一检测)与-263°角终边相同的角的集合是( )A.{α|α=k×360°+250°,k∈Z}B.{α|α=k×360°+197°,k∈Z}C.{α|α=k×360°+63°,k∈Z}D.{α|α=k×360°-263°,k∈Z}【解析】选D.与-263°角终边相同的角的集合是{α|α=-263°+k×360°,k∈Z}.2.(2014·临沂高一检测)已知α=-130°,则α的终边落在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选C.α=-130°的角的终边处在-180°和-90°之间,所以其终边落在第三象限,故选C.3.(2014·唐山高一检测)下列各组角中,终边相同的是( )A.390°与690°B.-330°与750°C.480°与-420°D.3000°与-840°【解题指南】化简各角,再判断终边是否相同.【解析】选B.因为-330°=30°-360°,750°=30°+2×360°,所以这两个角都与30°角的终边相同.4.(2014·北京高一检测)若角α与角β的终边关于y轴对称,则必有( )A.α+β=90°B.α+β=k×90°+360°,k∈ZC.α+β=k×360°,k∈ZD.α+β=(2k+1)·180°,k∈Z【解析】选D.与角β的终边关于y轴对称的角为k×360°+180°-β,k∈Z,所以α+β=k×360°+180°,k ∈Z.5.α是第四象限角,则180°-α是( )A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角【解析】选 C.α是第四象限角,所以k×360°-90°<α<k×360°,k∈Z,所以k×360°<-α<k×360°+90°,k∈Z,故有k×360°+180°<180°-α<k×360°+270°,k∈Z.所以180°-α是第三象限角.【举一反三】题中条件不变,90°-α是第象限的角.【解析】α是第四象限角,所以k×360°-90°<α<k×360°,k∈Z,所以k×360°<-α<k×360°+90°,k∈Z,故有k×360°+90°<90°-α<k×360°+180°,k∈Z.所以90°-α是第二象限的角.答案:二6.(2014·西安高一检测)已知A={第一象限角},B={锐角},C={小于90°的角},那么A,B,C的关系是( )A.B=A∩CB.B∪C=CC.A⊂B⊂CD.A=B=C【解析】选A.由于A={第一象限角}={α|k×360°<α<k×360°+90°,k∈Z};B={锐角}={α|0°<α<90°};C={小于90°的角}={α|α<90°}.由集合间的关系可得A∩C=B.故选A.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2014·哈尔滨高一检测)与-2015°角终边相同的最小正角是.【解析】-2015°=145°-6×360°,所以-2015°与145°角的终边相同,且145°是最小正角.答案:145°8.已知α是第二象限角,则应是第象限角.【解题指南】先表示出的范围,再分三种情况讨论确定所在象限.【解析】因为k×360°+90°<α<k×360°+180°,k∈Z,所以×360°+30°<<×360°+60°,k∈Z,当k=3n(n∈Z)时,n×360°+30°<<n×360°+60°,n∈Z,此时为第一象限角.当k=3n+1(n∈Z)时,n×360°+150°<<n×360°+180°,n∈Z,此时为第二象限角.当k=3n+2(n∈Z)时,n×360°+270°<<n×360°+300°,n∈Z,此时为第四象限角.所以为第一或第二或第四象限角.答案:一或二或四9.(2014·武汉高一检测)若α=k·360°+θ,β=m·360°-θ(k,m∈Z),则角α与β的终边的位置关系是.【解析】由题意知角α与角θ的终边相同,角β与角-θ的终边相同,又角θ与角-θ的终边关于x轴对称,所以角α与角β的终边关于x轴对称.答案:关于x轴对称三、解答题(每小题10分,共20分)10.在平面直角坐标系中,画出下列集合所表示的角的终边所在区域(用阴影表示).(1){α|k×360°≤α≤135°+k×360°,k∈Z}.(2){α|k×180°≤α≤135°+k×180°,k∈Z}.【解析】【变式训练】已知角α的终边在如图所示的阴影部分内,试指出角α的取值范围.【解析】终边在30°角的终边所在直线上的角的集合为S1={α|α=30°+k×180°,k∈Z},终边在180°-75°=105°角的终边所在直线上的角的集合为S2={α|α=105°+k×180°,k∈Z},因此终边在图中阴影部分的角α的取值范围为{α|30°+k×180°≤α<105°+k×180°,k∈Z}.11.(2014·重庆高一检测)已知α=-1910°.(1)把α写成β+k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式,并指出它是第几象限角.(2)求θ,使θ与α的终边相同,且-720°≤θ<0°.【解析】(1)设α=β+k·360°(k∈Z),则β=-1910°-k·360°(k∈Z).令-1910°-k·360°≥0,解得k≤-,k的最大整数解为k=-6,求出相应的β=250°.所以α=250°-6×360°.α是第三象限角.(2)令θ=250°+n·360°(n∈Z),取n=-1,-2就得到符合-720°≤θ<0°的角.250°-360°=-110°,250°-720°=-470°,故θ=-110°或-470°.一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2014·乌鲁木齐高一检测)与405°角的终边相同的角α的集合是( )A.B.C.D.【解析】选C.与405°角的终边相同的角α的集合可以写成或{α+k×360°,k∈Z}等.要点是需要加上周角的整数倍,排除D;然后再确定是否与405°相差周角的整数倍,可知405°=45°+360°,故选C.2.(2014·呼伦贝尔高一检测)若角α的终边经过点P(0,-3),则α是( )A.第三象限角B.终边在x轴的非正半轴上的角C.第四象限角D.终边在y轴的非正半轴上的角【解析】选D.因为点P(0,-3)在y轴的非正半轴上,所以角α的终边落在y轴的非正半轴上,故选D.【举一反三】若角α的终边经过点P(-3,0),则α是.【解析】因为点P(-3,0)在x轴的非正半轴上,所以角α的终边落在x轴的非正半轴上.答案:终边在x轴的非正半轴上的角3.(2014·衡水高一检测)角α为锐角,则k×180°+α(k∈Z)所在的象限是( )A.第一象限B.第二象限C.第一、三象限D.第一、四象限【解析】选C.若角α为锐角,则角α的终边在第一象限,k×180°+α(k∈Z)表示把角α的终边旋转180°的整数倍,终边落在第一或第三象限.4.(2014·济南高一检测)如图,终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是( )A.{α|-45°≤α≤120°}B.{α|120°≤α≤315°}C.{α|k×360°-45°≤α≤k×360°+120°,k∈Z}D.{α|k×360°+120°≤α≤k×360°+315°,k∈Z}【解析】选C.当-180°<α<180°时,-45°≤α≤120°.又α∈R,所以k×360°-45°≤α≤k×360°+120°,k∈Z.二、填空题(每小题5分,共10分)5.已知-990°<α<-630°,且α与120°角终边相同,则α= .【解析】α与120°角终边相同,则α=k×360°+120°,k∈Z且-990°<k×360°+120°<-630°.即-1110°<k×360°<-750°,所以k=-3.当k=-3时,α=(-3)×360°+120°=-960°.答案:-960°6.(2014·威海高一检测)若α是第一象限角,则①90°+α是第象限的角;②90°-α是第象限的角;③180°+α是第象限的角;④360°-α是第象限的角.【解析】若α是第一象限角,则90°+α的终边是把α的终边逆时针旋转90°得到的,显然应该在第二象限;180°+α的终边是把α的终边逆时针旋转180°得到的(或与α的终边互为反向延长线),显然应该在第三象限.若α是第一象限角,-α是第四象限角,所以90°-α是把-α的终边逆时针旋转90°得到的,应该在第一象限;360°-α与-α的终边相同,是第四象限角.答案:①二②一③三④四【一题多解】特例法,比如取α=30°,可知①90°+α=120°在第二象限;②90°-α=60°在第一象限;③180°+α=210°在第三象限;④360°-α=330°在第四象限.答案:①二②一③三④四【拓展延伸】确定角的终边位置的两种方法(1)旋转法:任意角的概念是利用旋转法推广得到的,讨论角所在的象限,就应学会用旋转的方法找角所在的象限,如α+90°,即将角α的终边逆时针旋转90°;α-90°,即将α的终边顺时针旋转90°.(2)终边对称法:α与-α的终边关于x轴对称;90°+α与90°-α的终边关于y轴对称;180°+α与α的终边关于原点对称.三、解答题(每小题12分,共24分)7.(2014·赣州高一检测)已知角的集合M={α+k×90°,k∈Z},回答下列问题:(1)集合M有几类终边不相同的角?(2)集合M中大于-360°且小于360°的角是哪几个?【解析】(1)集合M的角可以分成四类,即终边分别与-150°角,-60°角,30°角,120°角的终边相同的角.(2)令-360°<30°+k×90°<360°,则-<k<,又因为k∈Z,所以k=-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,即集合M中大于-360°且小于360°的角共有8个,分别是-330°,-240°,-150°,-60°,30°,120°,210°,300°.8.(2014·成都高一检测)若角β的终边落在直线y=-x上,写出角β的集合,当β∈(-360°,360°)时,求角β.【解题指南】根据直线的斜率,计算直线的倾斜角写出角的集合,再求符合条件的角.【解析】因为角β的终边落在直线y=-x上,所以在0°到360°范围内的角为150°和330°,所以角β的集合为{β|β=150°+k×180°,k∈Z},当角β∈(-360°,360°)时,角β为-210°,-30°,150°,330°.【变式训练】设点P(m,n)(n≠0)是600°角的终边上的一点.(1)试求的值.(2)写出终边落在过原点O且垂直于OP的直线l上的角的集合.【解题指南】解答本题(1)应先在0°到360°范围内找出与600°角的终边相同的角,作直角三角形求.解答本题(2)时可先根据直线l过原点O且垂直于OP,在0°到360°范围内找出终边落在l上的角,再写出角的集合.【解析】(1)在0°到360°范围内与600°角的终边相同的角为240°,故点P(m,n)(n≠0)是240°角的终边上的一点,过P作PA⊥x轴,垂足为A.在Rt△PAO中,∠POA=60°,=tan60°=,又点P在第三象限,所以n=-|PA|,m=-|AO|,所以=.(2)由题意得:在0°到360°范围内终边落在直线l上的角有240°-90°=150°和240°+90°=330°,所以终边落在直线l上的角的集合为:S={α|α=k×360°+150°,k∈Z}∪{α|α=k×360°+330°,k∈Z}={α|α=2k×180°+150°,k∈Z}∪{α|α=(2k+1)×180°+150°,k∈Z}={α|α=n×180°+150°,n∈Z},所以终边落在直线l上的角的集合为S={α|α=n×180°+150°,n∈Z}.。

§1周期现象§2角的概念的推广[学习目标] 1.通过实际情境，感知周期现象，能判断简单的实际问题中的周期.2.理解正角、负角、零角与象限角的概念.3.掌握终边相同角的表示方法．[知识链接]1．用精简的文字语言概括出周期现象的关键特征是什么？答间隔相同，重复出现．2．手表慢了5分钟，如何校准？手表快了0.5小时，又如何校准？答可将分针顺分针方向旋转30°；可将分针逆时针方向旋转180°.3．在初中角是如何定义的？答定义1：有公共端点的两条射线组成的几何图形叫作角．定义2：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形叫作角．[预习导引]1．周期现象若某一现象按照一定的规律周而复始地重复出现，那么这种现象就称为周期现象．2．角的概念(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．(2)角的表示方法：①常用大写字母A、B、C等表示；②也可以用希腊字母α、β、γ等表示；③特别是当角作为变量时，常用字母x表示．(3)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：类型定义图示正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角3.角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．4．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．要点一周期现象的判定例1下面是一个古希腊的哲学家、数学家、天文学家毕达哥拉斯的故事：有一次毕达哥拉斯处罚学生，让他来回数在黛安娜神庙的七根柱子(这七根柱子的标号分别为A，B，C，…，G)，如图所示，一直到指出第1 999个数的柱子的标号是哪一个才能够停止．你能帮助这名学生尽快结束这个处罚吗？A B C D E F G12345671312111098141516171819252423222120………………………………解通过观察可发现规律：数“2,3,4，…，1 997,1 998，1 999”按标号为“B，C，D，E，F，G，F，E，D，C，B，A”这12个字母循环出现，因此周期是12.先把1去掉，(1 999－1)÷12＝166……6，因此第1 999个数的柱子的标号与第167个周期的第6个数的标号相同，故数到第1 999个数的柱子的标号是G.规律方法对周期现象的判断，首先要认真审题，明确题目的实际背景，然后应牢牢抓住“间隔相同，现象(或值)重复出现”这一重要特征进行判断．跟踪演练12015年5月1日是星期五，问2015年10月1日是星期几？解按照公历记法，2015年5、7、8这三个月份都是31天，6、9月份各30天．从2015年5月1日到2015年10月1日共有153天，因为每星期有7天，故由153＝22×7－1知，从2015年5月1日再过154天恰好与5月1日相同都是星期五，这一天是公历2015年10月2日，故2015年10月1日是星期四．要点二任意角概念的辨析例2在下列说法中：①0°～90°的角是第一象限角；②第二象限角大于第一象限角；③钝角都是第二象限角；④小于90°的角都是锐角．其中错误说法的序号为________．答案①②④解析①0°角不属于任何象限，所以①不正确．②120°是第二象限角，390°是第一象限角，显然390°>120°，所以②不正确．③钝角α的范围是90°＜α＜180°，显然是第二象限角，所以③正确．④锐角α的范围是0°＜α＜90°，小于90°的角也可以是零角或负角，所以④不正确．规律方法判断说法错误，只需举一个反例即可．解决本题关键在于正确理解各种角的定义．随着角的概念的推广，对角的认识不能再停留在初中阶段，否则判断容易错误．跟踪演练2设A＝{小于90°的角}，B＝{锐角}，C＝{第一象限角}，D＝{小于90°而不小于0°的角}，那么有()A．B C A B．B A CC．D(A∩C) D．C∩D＝B答案D解析锐角、0°～90°的角、小于90°的角及第一象限角的范围，如下表所示.角集合表示锐角B＝{α|0°<α<90°}0°～90°的角D＝{α|0°≤α<90°}小于90°的角A＝{α|α<90°}第一象限角C＝{α|k·360°<α<k·360°＋90，k∈Z}要点三例3在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.解(1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．规律方法本题要求在0°～360°范围内，找出与已知角终边相同的角，并判断其为第几象限角，这是为以后证明恒等式、化简及利用诱导公式求三角函数的值打基础．跟踪演练3给出下列四个说法：①－75°角是第四象限角；②225°角是第三象限角；③475°角是第二象限角；④－315°是第一象限角，其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个答案D解析对于①：如图1所示，－75°角是第四象限角；对于②：如图2所示，225°角是第三象限角；对于③：如图3所示，475°角是第二象限角；对于④：如图4所示，－315°角是第一象限角．要点四终边相同的角的应用例4在与角10 030°终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)360°～720°的角．解(1)与10 030°终边相同的角的一般形式为β＝k·360°＋10 030°(k∈Z)，由－360°<k·360°＋10 030°<0°，得－10 390°<k·360°<－10 030°，解得k＝－28，故所求的最大负角为β＝－50°.(2)由0°<k ·360°＋10 030°<360°，得－10 030°<k ·360°<－9 670°，解得k ＝－27，故所求的最小正角为β＝310°.(3)由360°≤k ·360°＋10 030°<720°， 得－9 670°≤k ·360°<－9 310°， 解得k ＝－26， 故所求的角为β＝670°.规律方法 求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k 的值．跟踪演练4 写出与α＝－1 910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β<360°的元素β写出来．解 由终边相同的角的表示知，与角α＝－1 910°终边相同的角的集合为：{β|β＝k ·360°－1 910°，k ∈Z }． ∵－720°≤β<360°，即－720°≤k ·360°－1 910°<360°(k ∈Z )， ∴31136≤k <61136(k ∈Z )．故取k ＝4,5,6. k ＝4时，β＝4×360°－1 910°＝－470°； k ＝5时，β＝5×360°－1 910°＝－110°； k ＝6时，β＝6×360°－1 910°＝250°.1．－361°的终边落在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限答案 D2．集合A ＝{α|α＝k ·90°－36°，k ∈Z }，B ＝{β|－180°＜β＜180°}，则A ∩B 等于( ) A ．{－36°，54°}B ．{－126°，144°}C ．{－126°，－36°，54°，144°}D ．{－126°，54°} 答案 C解析令－180°＜k·90°－36°＜180°，则－144°＜k·90°＜216°，当k＝－1,0,1,2时，不等式均成立，所对应的角分别为－126°，－36°，54°，144°，故选C.3．今天是星期一，7天后的那一天是星期________，120天后的那一天是星期________．(注今天是第一天)答案一二解析用星期一，星期二，…，星期日来表示时间时，时间是以7为周期循环出现的，故7天后的那一天是星期一，120天后的那一天是星期二．4．写出终边落在坐标轴上的角的集合S.解终边落在x轴上的角的集合：S1＝{β|β＝k·180°，k∈Z}；终边落在y轴上的角的集合：S2＝{β|β＝k·180°＋90°，k∈Z}；∴终边落在坐标轴上的角的集合：S＝S1∪S2＝{β|β＝k·180°，k∈Z}∪{β|β＝k·180°＋90°，k∈Z}＝{β|β＝2k·90°，k∈Z}∪{β|β＝(2k＋1)·90°，k∈Z}＝{β|β＝n·90°，n∈Z}．1.对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转量”决定角的“绝对值大小”．2．关于终边相同角的认识(1)一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．注意：(1)α为任意角；(2)k·360°与α之间是“＋”号，k·360°－α可理解为k·360°＋(－α)；(3)相等的角终边一定相同；终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍；(4)k∈Z这一条件不能少．一、基础达标1．设A＝{θ|θ为锐角}，B＝{θ|θ为小于90°的角}，C＝{θ|θ为第一象限的角}，D＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是()A．A＝B B．B＝CC．A＝C D．A＝D答案D2．钟表分针的运动是一个周期现象，其周期为60分，现在分针恰好指在2点处，则100分钟后分针指在()A．8点处B．10点处C．11点处D．12点处答案B3.如图，终边落在直线y＝±x上的角α的集合是()A．{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}B．{α|α＝k·180°＋45°，k∈Z}C．{α|α＝k·180°－45°，k∈Z}D．{α|α＝k·90°＋45°，k∈Z}答案D4．若α是第四象限角，则180°－α是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角答案C解析可以给α赋一特殊值－60°，则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角．5．已知{α|0°＜α＜360°}，α的终边与－60°角的终边关于x轴对称，则α＝________.答案60°6．下列说法中，正确的是________．(填序号)①终边落在第一象限的角为锐角；②锐角是第一象限的角；③第二象限的角为钝角；④小于90°的角一定为锐角；⑤角α与－α的终边关于x轴对称．答案②⑤解析终边落在第一象限的角不一定是锐角，如400°的角是第一象限的角，但不是锐角，故①的说法是错误的；同理第二象限的角也不一定是钝角，故③的说法也是错误的；小于90°的角不一定为锐角，比如负角，故④的说法是错误的．7．在与角－2 013°终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1)最小的正角；(2)最大的负角；(3)－720°～720°内的角．解(1)∵－2 013°＝－6×360°＋147°，∴与角－2 013°终边相同的最小正角是147°.(2)∵－2 013°＝－5×360°＋(－213°)，∴与角－2 013°终边相同的最大负角是－213°.(3)∵－2 013°＝－6×360°＋147°，∴与－2 013°终边相同也就是与147°终边相同．由－720°≤k·360°＋147°<720°，k∈Z，解得：k＝－2，－1,0,1.代入k·360°＋147°依次得：－573°，－213°，147°，507°.二、能力提升8．集合{α|k·180°＋45°≤α≤k·180°＋90°，k∈Z}中，角所表示的范围(阴影部分)正确的是()答案C9．在－180°～360°范围内，与2 000°角终边相同的角为______．答案－160°，200°解析∵2 000°＝200°＋5×360°，2 000°＝－160°＋6×360°，∴在－180°～360°范围内与2 000°角终边相同的角有－160°，200°两个．10．角α，β的终边关于y轴对称，若α＝30°，则β＝________.答案150°＋k·360°，k∈Z解析∵30°与150°的终边关于y轴对称，∴β的终边与150°角的终边相同．∴β＝150°＋k·360°，k∈Z.11．已知角x的终边落在图示阴影部分区域，写出角x组成的集合．解(1){x|k·360°－135°≤x≤k·360°＋135°，k∈Z}．(2){x|k·360°＋30°≤x≤k·360°＋60°，k∈Z}∪{x|k·360°＋210°≤x≤k·360°＋240°，k∈Z}＝{x|2k·180°＋30°≤x≤2k·180°＋60°或(2k＋1)·180°＋30°≤x≤(2k＋1)·180°＋60°，k∈Z}＝{x|n·180°＋30°≤x≤n·180°＋60°，n∈Z}．12．已知角β的终边在直线3x－y＝0上．(1)写出角β的集合S；(2)写出S中适合不等式－360°<β<720°的元素．解(1)如图，直线3x－y＝0过原点，倾斜角为60°，在0°～360°范围内，终边落在射线OA 上的角是60°，终边落在射线OB上的角是240°，所以以射线OA、OB为终边的角的集合为：S 1＝{β|β＝60°＋k ·360°，k ∈Z }， S 2＝{β|β＝240°＋k ·360°，k ∈Z }，所以，角β的集合S ＝S 1∪S 2＝{β|β＝60°＋k ·360°，k ∈Z }∪{β|β＝60°＋180°＋k ·360°，k ∈Z }＝{β|β＝60°＋2k ·180°，k ∈Z }∪{β|β＝60°＋(2k ＋1)·180°，k ∈Z }＝{β|β＝60°＋n ·180°，n ∈Z }． (2)由于－360°<β<720°，即－360°<60°＋n ·180°<720°，n ∈Z .解得－73<n <113，n ∈Z ，所以n ＝－2，－1,0,1,2,3.所以S 中适合不等式－360°<β<720°的元素为： 60°－2×180°＝－300°；60°－1×180°＝－120°； 60°＋0×180°＝60°；60°＋1×180°＝240°； 60°＋2×180°＝420°；60°＋3×180°＝600°. 三、探究与创新13．若α是第一象限角，问－α，2α，α3是第几象限角？解 ∵α是第一象限角， ∴k ·360°<α<k ·360°＋90°(k ∈Z )． (1)－k ·360°－90°<－α<－k ·360°(k ∈Z )，∴－α所在区域与(－90°，0°)范围相同，故－α是第四象限角． (2)2k ·360°<2α<2k ·360°＋180°(k ∈Z )， ∴2α所在区域与(0°，180°)范围相同，故2α是第一、二象限角或终边在y 轴的非负半轴上． (3)k ·120°<α3<k ·120°＋30(k ∈Z )．方法一 (分类讨论)当k ＝3n (n ∈Z )时，n ·360°<α3<n ·360°＋30°(n ∈Z )，∴α3是第一象限角；打印版 高中数学 当k＝3n ＋1(n ∈Z )时，n ·360°＋120°<α3<n ·360°＋150°(n ∈Z )，∴α3是第二象限角； 当k ＝3n ＋2(n ∈Z )时，n ·360°＋240°<α3<n ·360°＋270°(n ∈Z )，∴α3是第三象限角． 综上可知：α3是第一、二或第三象限角． 方法二 (几何法)如图，先将各象限分成3等份，再从x 轴的非负半轴的上方起，依次将各区域标上1,2,3,4，则标有1的区域即为α3终边所落在的区域，故α3为第一、二或第三象限角．。