近世代数12群的概念

第 5 讲第二章群论§1 群的定义（2课时）本讲教学目的和要求：群论是代数学中最古老最丰富的分支之一，是近世代数的基础。

变换群在几何学中起着重要的作用，而有限群则是伽罗华理论（Galois,E[法] 1811—1832）的基础。

在所有只含一个代数运算的代数体系中，最重要的一个研究对象就是群。

而群的等价关系可谓“品种繁多”，本讲只是依教材作一些一般性地介绍，为扩大知识面，这里将适当引入一些如同“半群”和“monoid（幺半群）”这样的基本概念。

本讲的教学里要求学生对逆元（左逆元、右逆元），单位元（左单位元、右单位元）和群以及元素的阶要弄清楚，尤其是彼此的联系务必要明白其脉络。

教材中定义的群的第一定义和第二定义的区别及关系必须清楚。

本讲的重点和难点：由于本讲知识群论的最基本部分，照理不该出现什么难点，但仍希望能对下列问题引起注意：（1）半群，幺半群和群的关系.（2）本讲的论证部分（通过逐渐熟悉这些理论证明，慢慢踏上“近世代数”的学习之路.（3）群的阶和群中元素的阶.本讲的教法和教具：使用多媒体教室中的教学设备，并鼓励学生参与教学活动。

说明：本章教学活动中群的代数运算“ ”习惯上称为乘法（这时群也称为乘群），特殊情况下，“ ”也叫加法并改用“+”表示（群也随之叫做加群）一、 半群定义 1. 设G 为任一非空集合，G 上定义了一个能封闭的代数运算“ ”，如果 “ ”满足结合律，即)()(,,,c b a c b a G c b a =∈∀，那么代数体系},{ G 叫做是一个半群.注：（1）乘法“ ”的表达形式上，以后都用“ab ”来替代“b a ”.（2）在不发生混淆的前提下，半群},{ G 可简记为G .定义2. 设},{ G 是一个半群，那么∙如果乘法“ ”满足交换律，则称},{ G 为可换半群.∙如果G 是有限集，则称},{ G 为有限半群.例1、},{},,{⋅+Z Z 都是半群，并且是可换半群.其中“+”和“·”分别是通常的加法和乘法。

近世代数知识点近世代数，又称抽象代数，是数学的一个重要分支，它为许多其他数学领域提供了基础和工具。

下面让我们一起来了解一些近世代数的关键知识点。

首先是群的概念。

群是近世代数中最基本的结构之一。

简单来说，一个群就是一个集合 G 以及定义在这个集合上的一种运算“”，满足一些特定的条件。

比如，对于集合中的任意两个元素 a 和 b，运算的结果ab 仍然属于这个集合；存在一个单位元 e，使得对于任意元素 a，都有ae ＝ ea ＝ a；对于每个元素 a，都存在一个逆元 a^（－1)，使得 aa^（－1) ＝ a^（－1)a ＝ e。

群的例子在生活中也有不少，比如整数集合在加法运算下构成一个群。

环也是近世代数中的重要概念。

一个环 R 是一个集合，上面定义了两种运算：加法“＋”和乘法“·”。

加法满足交换律、结合律，有零元，每个元素都有相反数；乘法满足结合律；乘法对加法满足分配律。

常见的环有整数环、多项式环等。

接下来是域。

域是一种特殊的环，它要求非零元素对于乘法运算构成一个群。

比如有理数域、实数域和复数域。

同态和同构是近世代数中用来比较不同代数结构的重要工具。

同态是指两个代数结构之间存在一种保持运算的映射。

如果这个映射还是一一对应的，那就是同构。

同构的两个代数结构在本质上可以看作是相同的。

在近世代数中，子群、子环和理想也具有重要地位。

子群是群的一个子集，在原来的运算下也构成群；子环是环的一个子集，在原来的两种运算下也构成环；理想则是环中的一个特殊子集，对于环中的乘法和加法有特定的性质。

再来说说商群和商环。

以商群为例，给定一个群 G 和它的一个正规子群N，就可以构造出商群G/N。

商群中的元素是由N 的陪集构成的。

近世代数中的重要定理也不少。

比如拉格朗日定理，它对于理解群的结构和性质非常有帮助。

该定理指出，子群的阶整除群的阶。

最后，我们谈谈近世代数的应用。

在密码学中，群和环的理论被广泛用于加密和解密算法的设计。

近世代数基础知识点总结近世代数是数学中的一个重要分支，它研究的是代数结构及其性质。

本文将对近世代数的基础知识点进行总结，包括群、环、域和向量空间等的定义和性质。

一、群群是近世代数的基础概念，它是一个集合和一个二元运算构成的代数结构。

群的定义包括四个要素：集合、封闭性、结合律和单位元，还需要满足可逆性。

群的性质有唯一性、消去律、幂等性和逆元的唯一性等。

二、环环是在群的基础上引入了乘法运算的代数结构。

环的定义包括三个要素：集合、封闭性和满足环公理。

环的性质有零元的唯一性、加法逆元的唯一性、分配律和幂等性等。

三、域域是在环的基础上引入了除法运算的代数结构。

域的定义包括四个要素：集合、封闭性、满足域公理和乘法逆元的存在性。

域的性质有乘法单位元的唯一性、乘法逆元的唯一性和消去律等。

四、向量空间向量空间是线性代数的基础概念，它是一个集合和一个数域上的向量运算构成的代数结构。

向量空间的定义包括十个要素：集合、封闭性、加法单位元、加法逆元、加法交换律、加法结合律、标量乘法结合律、标量乘法分配律、标量乘法单位元和标量乘法结合律。

向量空间的性质有零向量的唯一性、加法逆元的唯一性和标量乘法的分配律等。

五、同态映射同态映射是近世代数中的一个重要概念，它是保持代数结构之间运算关系的映射。

同态映射的定义要求保持运算的封闭性、满足运算关系和保持单位元。

同态映射的性质有保持运算的封闭性、满足运算关系和保持单位元等。

六、理想理想是环和域中的一个重要概念，它是一个子集，并且满足加法逆元、封闭性和分配律。

理想的性质有加法单位元的存在性、加法逆元的存在性和分配律等。

七、同余关系同余关系是环中的一个重要概念，它是一种等价关系，表示两个元素具有相同的余数。

同余关系的性质有自反性、对称性和传递性等。

八、域的扩张域的扩张是域论中的一个重要概念，它是在一个域上构造出一个更大的域。

域的扩张可以通过添加一个或多个元素来实现，使得新的域仍然满足域公理。

近世代数的基础知识初等代数、高等代数和线性代数都称为经典代数（Classical algebra ），它的研究对象主要是代数方程和线性方程组）。

近世代数（modern algebra ）又称为抽象代数（abstract algebra ），它的研究对象是代数系，所谓代数系，是由一个集合和定义在这个集合中的一种或若干种运算所构成的一个系统。

近世代数主要包括：群论、环论和域论等几个方面的理论，其中群论是基础。

下面，我们首先简要回顾一下集合、映射和整数等方面的基础知识，然后介绍本文需要用到的近世代数的相关知识。

3．1 集合、映射、二元运算和整数3．1．1 集合集合是指一些对象的总体，这些对象称为集合的元或元素。

“元素a 是集合A 的元”记作“A x ∈”，反之，“A a ∉”表示“x 不是集合A 的元”。

设有两个集合A 和B ，若对A 中的任意一个元素a （记作A a ∈∀）均有B a ∈，则称A 是B 的子集，记作B A ⊆。

若B A ⊆且A B ⊆，即A 和B 有完全相同的元素，则称它们相等，记作B A =。

若B A ⊆，但B A ≠，则称A 是B 的真子集，或称B 真包含A ，记作B A ⊂。

不含任何元素的集合叫空集，空集是任何一个集合的子集。

集合的表示方法通常有两种：一种是直接列出所有的元素，另一种是规定元素所具有的性质。

例如：${}c b a A ,,=；{})(x p x S =，其中)(x p 表示元素x 具有的性质。

本文中常用的集合及记号有： 整数集合{} ,3,2,1,0±±±=Z ；非零整数集合{}{} ,3,2,10\±±±==*Z Z ；正整数（自然数）集合{} ,3,2,1=+Z；有理数集合Q ，实数集合R ，复数集合C 等。

—一个集合A 的元素个数用A 表示。

当A 中有有限个元素时，称为有限集，否则称为无限集。

用∞=A 表示A 是无限集，∞<A 表示A 是有限集。

《近世代数》作业参考答案一．概念解释1．代数运算：一个集合B A ⨯到集合D 的映射叫做一个B A ⨯到D 的代数运算。

2．群的第一定义：一个非空集合G 对乘法运算作成一个群，只要满足：1）G 对乘法运算封闭；2）结合律成立：)()(bc a bc a =对G 中任意三个元c b a ,,都成立。

3）对于G 的任意两个元b a ,来说，方程b ax =和b ya =都在G 中有解。

3．域的定义：一个交换除环叫做一个子域。

4．满射：若在集合A 到集合A 的映射Φ下，A 的每一个元至少是A 中的某一个元的象，则称Φ为A 到A 的满射。

5．群的第二定义：设G 为非空集合，G 有代数运算叫乘法，若：（1）G 对乘法封闭；（2）结合律成立；（3）单位元存在；（4）G 中任一元在G 中都有逆元，则称G 对乘法作成群。

6．理想：环R 的一个非空子集N 叫做一个理想子环，简称理想，假若：（1）N b a N b a ∈-⇒∈,（2）N ar N ra N r N a ∈∈⇒∈∈,,7．单射：一个集合A 到A 的映射，a a →Φ:，A a A a ∈∈,，叫做一个A 到A 的单射。

若：b a b a ≠⇒≠。

8． 换：一个有限集合的一个一一变换叫做一个置换。

9． 环：一个环R 若满足：（1）R 至少包含一个不等于零的元。

（2）R 有单位元。

（3）R 的每一个非零元有一个逆元，则称R 为除环。

10．一一映射：既是满射又是单射的映射，叫做一一映射。

11．群的指数：一个群G 的一个子群H 的右陪集（或左陪集）的个数，叫做群H 在G 里的指数。

12．环的单位元：设R 是一个环，R e ∈，若对任意的R a ∈，都有a ae ea ==，则称e 是R 的单位元。

二．判断题1．×；2．×；3． √；4．×；5．√；6．√；7．√； 8，√；9．√；10．√；11．×；12．√13、√ 14、× 15、√三．证明题1． 证：G 显然非空，又任取A ，B G ∈，则1,1±=±=B A ，于是AB 是整数方阵，且1±=⋅=B A AB ， 故G AB ∈，即G 对乘法封闭。

第二章群论 20第二章群论本章讨论具有一个代数运算的代数结构——半群与群，但重点是群的基本知识及典型的两个群-变换群和循环群．群是概括性比较强的一个概念，是近世代数中比较丰富的一个分支，它产生于19世纪初人们对高次方程根号解问题的研究，发展到现在，群论已经应用到数学许多其它分支及一些别的科学领域．如在近世几何中，利用群的观点，把几何加以科学分类；在晶体学中，利用群论的方法，解决了空间晶体的分类问题；在现代通讯理论中，利用群来进行编码，有所谓的群码．我们先从半群开始来研究群．§1 群的定义及基本性质2.1 半群的定义设S是具有一个代数运算的集合，为了方便，将此代数运算叫S的乘法，并且仍用通常的乘法记号“·”来表示，把S的两个元素ba,关于“·”运算结果ba∙简记为ab．当然，这样被叫做乘法不一定就是指数的乘法，还可表示像矩阵、函数、向量的乘法，但一般来说它们都不是数的乘法．定义1如果代数结构（S，·）的乘法适合结合律，即ba∈c∀)有,S,,ab=，则称S关于它的乘法是一个半群，简称Sac(bc()是一个半群．2关于数的乘法是一个半群．关于数的加法也是一例1 偶数集Z个半群．n⨯矩阵作成的集合M n(F)，关于矩阵乘法例2数域F上的所有n是一个半群．例3 A 是一个非空集合，A 的幂集}|{A x x A P ⊆=）（关于∩、∪分别是半群．例4 +Z （正整数）关于数减法不能作成一个半群，因为数的减法不是+Z 的一个代数运算；Z 虽然关于数的减法是Z 的代数运算，但结合律不成立，故),(-Z 不是一个半群．注 由于一个半群),(⋅S 的乘法适合结合律，故可以在半群),(⋅S 中可以引进一个元素a 的正整数次幂的概念，规定：, 个n n a aa a =那么，易见半群里有以下指数运算规律：ba ab b a ab a a a a a n n n nm m n n m n m =⋅===⋅+当,)(,)(,，这里+∈Z n m ,。

124第7章 群论第七章中我们介绍了近世代数的一些基本概念，有了这些初步的准备，这一章我们来介绍群这个含有一个代数运算的重要的代数系统．§1群的定义群是含有一种代数运算，这个代数运算一般用符号 或•来表示，有时为了方便也可能直接用普通加法或乘法符号来表示，或者省略运算符号，仅写为ab ，所以有时就把代数运算叫做乘法．请大家注意区分它和普通乘法的不同．定义1设G 是一个非空集合，在G 上的一个二元运算 ，若 满足结合律，则称G 为一个半群．引入半群的目的是为了更方便的介绍群的概念, 下面先介绍几个名词．定义 2 设G 为一个半群，如果存在元素G e L ∈， 对于任意的G g ∈，都有g g e L = ，那么就称L e 为G 的一个左单位元；如果存在元素G e R ∈，对于任意的G g ∈，都有g e g R = ．那么就称R e 为G 的一个右单位元；若e 既为G 的一个左单位元，又为G 的一个右单位元，则称e 为G 的一个单位元．注 半群既可以没有左单位元，又可以没有右单位元或者仅有左单位元或右单位元．但是，若两者都存在，则一定相等，即为单位元．因为e e e e e R L R L === ．定义 3 ),( G 是含右单位元e 的半群，称G 中元素g 是右可逆，如果存在G g ∈′，使e g g =′ ，称g ′为g 的右逆元；称G 中元素g 是左可逆，如果存在 G g ∈′′，使e g g =′′ ，称g ′′为g 的左逆元；称G 中元素g 是可逆元，如果存在G g ∈−1，使125e g g g g ==−− 11，称1−g 为g 的逆元．显然，若G g ∈，g 既有左逆元，又有右逆元，则两者必定相等，并为G 中元素g 得逆元．有了半群、单位元、逆元的概念，即可引入群的定义．定义 4 一个有单位元的半群),( G ，叫做一个群，如果G 的每一个元都为可逆元．换言之，一个非空集合G ，给定G 上的一个二元运算 ，若以下条件满足（１）任意,,G b a ∈则G b a ∈ ；（２）结合律成立：对任意的G c b a ∈,,有)()(c b a c b a =；（３）G 中存在唯一的单位元G e ∈，对任意的G g ∈都有g e g g e == ；（４）G 中任意元素g ，存在G g ∈−1使e g g g g ==−− 11．则称),( G 为一个群．在群的定义中，（1）是多余的，因为已知 是集合G 上的一个二元运算，当然任意两个元素的运算结果仍在G 中，此处只是强调一下G 对 是封闭的．定义了群之后，来看几个群的例子．例1 G 只包含一个元素g ，二元运算定义为g g g = ，则G 对于这个二元运算来说做成一个群．（1） 结合律满足；（2）存在单位元g ；（3）对G 中元素g ，存在逆元g ．例2 全体不等于零的有理数对于普通乘法来说做成一个群．结合律成立．单位元为1．a 的逆元为a1．126例3 Z n ∈，模n 剩余类}1,,1,0{}|]{[−=∈=n Z k k Z n ,二元运算定义为模n 加法，则),(+n Z 构成一个群．（1）结合律成立；（2）单位元为0；（3）0的逆元为0，1的逆元为1−n ，以此类推．例4 模m 的简化剩余系*m Z 对于模m 乘法运算构成一个群．证明 (1) 对任意的,,*m Z b a ∈ 都有,1),(,1),(==m b m a 所以*,1),(m Z ab m ab ∈=．（2）对于模m 乘法，结合律显然成立．（3）单位元为1．（4）对任意的m Z a *∈，存在唯一的1−a ，使)(mod 11m a a =⋅−，故*m Z 中每一个元素都有逆元．以上三个例子中，例1，例3 ，例4的非空集合元素个数为有限多个，例2 元素个数为无限多个．定义5 假如一个群的元的个数是一个有限整数，这个群叫做有限群，否则，这个群叫做无限群．一个有限群的元的个数叫做这个群的阶．记为G ．从群得定义我们知道群满足结合律，而对于交换律，则不一定成立．定义6 一个群),( G ，假如对任意的G b a ∈,，都有 a b b a =．则这个群叫做交换群（也叫Abel 群）．还有一个重要概念是利用单位元e 来定义的．定义7 若群G 的一个元g ，能够使得e gm =的最小的正整数m 叫做g 的阶（或周期）．若这样的m 不存在，则称g 的阶为无限．此处定义的g 的阶类似于初等数论中定义g 的指数)(g m δ，在前面的介绍中我们知道指数满足如下性质：对任给的整数d ，如果)(mod 1m gd ≡，则d g m |)(δ．127在此处元素的阶也有类似的性质．定理1 设a 的周期为m ，当且仅当n m |时，e a n=．证明 设n m |，则存在整数k ，使得mk n =．于是 e e a a a k k m mk n ====)(．反之，设e a n=，但n m |/，则r mk n +=，m r <≤1．于是 r r r mk n a ea a a e ====+，与m 是a 的周期矛盾．实际上，群中元素的阶的定义与模的既约剩余系中元素的指数定义是一致的，所不同的是，在模的既约剩余系中，当时我们并没有提到群的概念．而在本质上，模的既约剩余系关于剩余类的乘法运算就构成一个有限群，元素的指数即为元素的阶（群中）．最后我们来证明群的一个等价的定义．定义4′ 设),( G 是一个半群，如果对于G 中任意,,b a 方程b a y b x a == ,在G 中都有解，则G 为一个群．证明 （1）先证G 中有单位元e ． 令b b y = 的一个解为L e ，则b b e L = ．对任意的,G a ∈ 因为a x b = 有解c ，于是， ()()a c b c b e c b e a e L L L ==== ，L e 为G 的左单位元．同样可以证明b y b = 的解R e 为G 的右单位元．所以e e e R L ==为G 的单位元．（2） 下证对任意的G a ∈，逆元1−a 存在．显然e a y = 的解a ′为a 的左逆元，而e y a = 的解a ′′为a 的右逆元，a a e a a a e a a ′′=′′=′′′=′=′．故两者相等为a 的逆元，所以G 为一个群．从群的等价定义4′可以知道，在群中，一元一次方程有解且解唯一．例5 设b a ,是群G 的元素，a 的阶为p ，b 的阶为q ，（q p <为不同的素数），且 ba ab =，则ab 的阶为pq ．128证明 设ab 的阶为r ，由题设知e b a ab pq pq pq ==)(，故pq r |．所以 ,,,1q p r =或q p 中的一个．1=r 显然是不可能的，若p r =，则p p p p b b a e ab ===)(，因为q p <，所以与b 的周期为q 矛盾．若q r =，则q q q q a b a e ab ===)(从而q p |，此与q 为素数矛盾．所以pq r =．§2 循环群在上一节中给出了群的定义，这一节中，我们介绍一种很重要的群—循环群，并重点研究循环群的结构．研究群的结构是群论的主要目的．到目前为止，仅有少数几类群的结构完全被大家所了解．而对于多数群的结构，目前还有待继续研究．值得说明的是，本节中我们将代数运算通称为乘法．定义 1 若一个群G 的每一个元都是某一固定元a 的乘方，}|{Z n a G n∈=，则称G 为循环群，我们也说，G 是由元a 所生成的，记为)(a G =，a 叫做G 的一个生成元．我们先举两个循环群的例子．例1 ),(+=Z G 是一个循环群，因为)1(=G ．例2 G 包含模n 的n 个剩余类，代数运算定义为模n 加法．剩余类的每一个元可以写成i ，10−≤≤n i ．显然，1是G 的一个生成元．这两个例子具有一定的代表性，例1中的群),(+Z 通常叫做整数加群，生成元1是无限阶的．例2中的群),(+n Z 通常叫做模n 的剩余类加群，生成元1的阶为n ．例3 前面我们证明了模m 的简化剩余系*m Z 构成一个群，当模m 有原根g 时，则g 为*m Z129的生成元，且任给i ，满足1))(,(=m i φ，则i g 亦为*m Z 的生成元，并由此可看出，*m Z 的生成元共有))((m φφ个．通过下列定理可以知道，所有的循环群只有两类．而例1与例2中两个具体的群即为两类循环群的代表．定理1 假定G 是一个由元a 所生成的循环群，当a 的阶无限时，那么G 与整数加群同构；若a 的阶是一个有限整数n ，那么G 与模n 的剩余类加群同构．证明 令 k a k :φ首先证明φ为G 到),(+Z 的映射：即证明k h a a k h =⇒=．反证法：若k h a a =而k h ≠，假定k h >，则得到e a k h =−，与a 的阶无限矛盾．所以φ为G 与整数加群),(+Z 间的映射．又因为k h a a ≠⇒k h ≠，所以φ为单射．显然φ为满射，所以φ为一一映射．又因为)()()()(k h k h k h a a k h a a a φφφφ=+==+．因此φ为同构映射．故G 与整数加群同构．（2）a 的阶是一个有限整数n ，令h a h :ϕ下证ϕ为G 到),(+n Z 的群同构映射．由第1节定理及初等数论中剩余类的性质知：130k h k h n e a a a k h k h =⇔−⇔=⇔=−，所以ϕ映射并且为单射．显然ϕ为满射，所以ϕ为一一映射．又因为k h a a a k h k h +=+==+)()(ϕϕ．所以ϕ为G 与模n 的剩余类加群的同构映射．得证．至此，我们对循环群的存在及构造问题就完全掌握了．但是一般的群构造极其复杂，很难得到象循环群类这样的完美结果．§3 变换群、置换群在前面介绍的群的例子中，集合上的二元运算都是一些具体的普通加法或乘法运算，本节讨论变换群，它的元素不再是普通的数，二元运算也不再是我们通常的四则运算．变换群虽然是一类具体的群，但从同构的概念上，任何抽象群都可以在这类群中找到同构的群．因此通过对变换群的研究，有助于帮助了解抽象群．首先我们再回顾一下以前介绍过的集合A 上的变换．定义1 A 是给定的集合，我们称A 到A 的一个映射A A →:φ为集合A 上的一个变换．A 到A 的一个一一映射称为A 上的一个一一变换．A 到A 的恒等映射称为A 上的恒等变换．考虑集合A 上的所有变换的全体，记为集合S ，规定变换的合成 为S 上的代数运算，显然恒等变换为S 的单位元，由第６章的基本概念知 满足结合律．因此),( S 是一个含有单位元的半群．通常),( S 并不能构成一个群．但S 的子集G 对于上述运算却有可能构成一个群．下面定理说明了),( G 构成群的一个必要条件．定理 1 假如G 是集合A 的若干个变换所作成的集合，并且包含恒等变换ε，若是对于变换的合成来说G 作成一个群，那么G 只包含A 的一一变换．证明 若G 关于变换的合成构成群．则对于任意的G 的元素φ，一定存在1−φ，使εφφφφ==−−11．下证φ为A 上的一一变换．任给A a ∈，131a a a a ===−−)())(()(11εφφφφ，所以φ为满射．若)()(b a φφ=，则b b b a a a =====−−−−)())(())(()(1111φφφφφφφφ．所以φ为单射．定理得证．定义2 一个集合A 的若干个一一变换对于变换的合成作成的群，叫做A 的一个变换群． 我们给出了变换群的定义，但是是否存在变换群，即能否找到若干个一一变换作成变换群呢？我们来看如下定理．定理 2 一个集合A 的所有一一变换作成一个变换群G ．证明 （1）首先证明集合G 对合成运算封闭．若21,φφ为一一变换，则21φφ也是A 上的一一变换．先证21φφ为满射：对任意A a ∈，因为21,φφ为一一变换，所以存在A a a ∈′′′,，使得a a =′)(2φ，a a ′=′′)(1φ，故存在A a ∈′′，使a a =′′)(21φφ．再证21φφ为单射：若b a =/，则)()(22b a φφ≠，)]([)]([2121b a φφφφ≠．因此21φφ也是A 上的一一变换．2） 结合律显然成立．3） 恒同变换ε为一一变换，即为单位元．４）若是φ一个一一变换，那么有一个A 上变换φ′，对任意A a ∈，定义()a a φφ:′容易证明φ′满足εφφφφ=′=′．所以1−=′φφ．定理得证．在证明任意抽象群同构于一个变换群之前，首先需要证明以下结论．132定理 3 ),( G 是一个群，G ′是定义了一个二元运算•的非空集合，如果存在一个G 到G ′的同态满射，对任意的G b a ∈,有)()()(b a b a φφφ•= ，则),(•′G 也是一个群．证明 因为φ是G 到G ′的同态满射，G 的二元运算 适合结合律，由第6章的定理知，G ′的二元运算•也适合结合律．若e 是G 的单位元，e e ′=)(φ，下证e ′是G ′的单位元，任意的G x ′∈′，存在,G x ∈ 使得x x ′=)(φ故)()()()()()()()(x e x x e x e x x e φφφφφφφφ=•=•⇒== ．从而x e x x e ′=′•′=′•′，即e ′是G ′的单位元．任取G a ′∈′，存在,G a ∈a a ′=)(φ同理e a a a a e a a a a ′=•=•⇒==−−−−)()()()()()()(1111φφφφφφφ ．可知G a ′∈−)(1φ为a ′在G ′中的逆元．从而),(•′G 也是一个群．下面定理在群的理论上是一个非常重要的结果．它使任何一个抽象的群跟一个具体的变换群联系在一起．定理4 （Cayley 定理）任意群都与一个变换群同构．证明 对于任意的G g ∈，作集合G 的下述变换 gx x g :τ133则g τ是G 的一一变换．事实上，因b gx =在G 中有解，故对任意,G b ∈存在G x ∈使()b x g =τ，即g τ是G 到G 的一个满射．又因为2121gx gx x x ≠⇒≠，故g τ是G 到G 的一个单射．从而g τ是G 到G 的一个一一变换．由于())()()()())((x x gh hx g hx x x gh g h g h g ττττττ=====•,故对任意的G h g ∈,都有,gh h g τττ=•即}|{G g G g ∈=′τ关于映射的合成是封闭的．令g g τφ :．显然φ为G 到G ′的满射，设h g ≠，则存在,G x ∈ )()(x x hx gx h g ττ≠⇒≠，即h g ττ≠，所以φ是G 到G ′的一一映射．又因为)()()(h g gh h g gh φφτττφ•=•==，由定理 3知G ′是一个群，且G G ′≅．即G 同构于集合G 上的一个变换群．从定理4知，从同构的角度，任意抽象群对应一个变换群．也就是说，如果对于抽象群的研究也可以转换成变换群研究．由此即可看出变换群在群论中的特殊地位，但往往变换群的结构并不比抽象群更容易．下面我们讨论一类简单的变换群，即有限集合A 上的一一变换群．一般一个有限集合的一个一一变换叫做一个置换．所以我们得到置换群的定义．定义 3 一个有限集合的若干个置换作成的群叫做一个置换群．134置换群是变换群的特例，在高等代数中都介绍过，在此我们将一些主要结论简单回忆一下．我们知道，n 个元的置换有!n 个，这!n 个n 次置换关于置换合成作成的群叫做n 次对称群，用n S 表示．故n 次对称群n S 的阶为!n ．现在我们规定一个新符号．定义4 n S 的把1i a 变到2i a ，2i a 变到k i i a a ,,3 变到1i a ，而使其余元（假如还有的话）不变的置换，叫做一个k －循环置换．我们用符号()k i i i 21来表示．特别地，当2=k 时，称()21i i 为一个对换．每一个n 个元的置换π都可以写成若干个互不相交的循环置换的乘积，而每一个循环置换可以表示成对换的乘积．虽然每个置换表示成对换的乘积时，表示法不唯一，但奇偶性不变．通常将表示成偶数个对换的置换为偶置换，表示成奇数个对换的置换为奇置换．!n 个n 次置换中奇偶置换各占一半．所有的偶置换构成一个置换群，称为n 次交代群．最后我们描述在有限群下的Cayley 定理．定理 5 每一个有限群都与一个置换群同构．定理5说明了，每一个有限群都可以在置换群中找到例子．置换群是一种比较容易计算的例子．因此利用定理 5寻找有限群的例子是一种较好的方法．例1 设)(a G =是n 阶循环群，则G 与置换群G ′同构，求G ′．解 由于G 是n 阶循环群，故G ′也是n 阶循环群．为了找到G ′，只要找到G ′的生成元即可．G G ′≅，故G 的生成元的象即为a 的象．由Cayley 定理的证明知n f a ：ax x()n e a a a a a a e f n n 213212=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=−， 即()()n G 21=′．例2 证明：4S 有生成元{)41(),31(),21(}．证明 因为任一置换可表示成对换的乘积．4S 中不同的对换为{)43(),42(),32(),41(),31(),21(} 只需证明由)41(),31(),21(可生成)43(,)42(),32(即可．135)231()31)(21(=， )431()31)(41(=，)241()41)(21(=， )341()41)(31(=，)321()21)(31(=， )421()21)(41(=，)43()43)(21)(21()431)(231)(21(==，)32()32)(41)(41()341)(241)(41(==，)42()42)(31)(31()421)(321)(31(==，所以由)}41(),31(),21{(=S 可生成4S ．例3 证明：3S 不是交换群．证明 3S 有 6个元．这6个元可以写成I ，)12(，)13(，)23(，)123(，)132(因为)123()23)(12(=≠)132()12)(23(=所以3S 不是交换群．§4 子群 子群的陪集集合论中我们学了子集的概念，在群论中，集合G 的非空子集合H 对于G 上的二元运算是否也可构成一个群．我们规定定义 1 群() ,G 非空子集H ，若对于G 的运算作成群，则说H 是G 的一个子群．我们用符号G H ≤表示．给定一个任意群G ，则G 至少有两个子群G 和}{e ，称之为平凡子群；其它的子群，称为G 的真子群．例1 设136},,1|{Z n C x x x G n ∈∈==∗，∗C 表示除去零元素以外的复数域，对于某个固定的n ，},1|{∗∈==C x x x H n构成G 的子群．因为任取H x x ∈21,，1)(21=nx x ，故H x x ∈21．G 中的元素满足结合律，所以H 中的元素也满足结合律．,11=n 所以H 中有单位元． H x x x x n n n ∈⇒==⇒=−−−1111)()(1，即H 是一个子群．例2 模4的剩余类加群}3,2,1,0{),(4=+Z ，4Z 和}0{为其平凡子群．}2,0{=H 为其真子群．子群的定义给出了子群的判定方法，以下介绍一个更简单的判定方法，而不需要每次验证子集合H 是否符合群的所有条件．定理 1 H 为群G 的非空子集，H 作成G 的一个子群的充分必要条件是⑴ H ab H b a ∈⇒∈,；⑵ H a H a ∈⇒∈−1．证明 充分性：因为由⑴可知H 是闭的．结合律在G 中成立，在H 中也成立．又因为H 中至少有一个元a ，由⑵知H 中含有1−a ，所以由⑴得 H e aa ∈=−1．故H 中存在单位元．因此H 构成一个群．反过来，若H 作成一个群，则⑴显然成立．下证（2）成立．因为H 是一个群，H 有单位元e ′．任意的H a ∈，a e a a e =′=′．由于G e a ∈′,，所以e ′是a ya =在G 的解．但这个方程在G 里只有一个解，就是G 的单位元e ，所以H e e ∈=′．因为H 是一个群，方程e ya =137在H 中有解a ′，a ′也是这个方程在G 里的解，而方程在G 里有且只有一个解1−a ，所以，H a a ∈=′−1．证毕．推论 1 H 为群G 的非空子集，H 作成G 的一个子群的充分必要条件是H ab H b a ∈⇒∈−1,．有了子群的概念，我们讨论循环群的子群的结构．定理2 循环群的子群仍为循环群。