D12_2数项级数及审敛法1

第二节 常数项级数的审敛法
一、正项级数及其审敛法
二、交错级数及其审敛法
第十二章
三、绝对收敛与条件收敛
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一、正项级数及其审敛法
若 un 0 , 则称 u n 为正项级数 .
n 1
定理 1. 正项级数 有界 . 证: “ “ 又已知 ” 若 ” 有界, 故
收敛
部分和序列
设 un 0 , n 1, 2 ,, 则各项符号正负相间的级数
称为交错级数 . 定理6 . ( Leibnitz 判别法 ) 若交错级数满足条件:
1) un un1 ( n 1, 2 , ) ;
2)

n
lim un 0 ,
(1) n 1u n 收敛 , 且其和 S u1 , 其余项满足 则级数
n
lim n pun l
0l
p 1, 0 l
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un 发散 un 收敛
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1 例3. 判别级数 sin 的敛散性 . n n 1 1 1 解: lim n sin lim n 1 n n n n

sin 1 ～ n
用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性:
1 1 1 n1 1 n 1 1 1) 1 (1) n 1 收敛 2 3 4 u n 1 n (n 1) ! 1 1n 1 10 n n 1 1 1 1 u n n 1 1 1 10 收敛 n 2) 1 (1) n 2! 3! 4! n ! 10! n 1 2 3 4 n 1 n 3) 2 3 4 (1) 收敛 10 10 10 10 10n

1 n
1 根据比较审敛法的极限形式知 sin 发散 . n n 1 1 例4. 判别级数 ln 1 2 的敛散性. ln(1 12 ) ～ n n n 1

1 n2
1 2 1 解: lim n ln 1 2 lim n 2 1 n n n n
提示:
lim u n 0
n
2 由比较判敛法可知 u n 收敛 . n 1

注意: 反之不成立. 例如,
1 n 2 收敛 , n 1

1 n 发散 . n 1
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作业
P268 1 (1), (3), (5) ; 2
(2), (4) ;
4
(1), (3), (5) ;
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( l ) vn u n ( l ) vn
(1) 当0 < l <∞时, 同时收敛或同时发散 ; (2) 当l = 0时,
(n N )
由定理 2 可知
n 1
vn

由定理2 知
若 vn 收敛 ,
n 1

(3) 当l = ∞时,
即
u n vn
由定理2可知, 若 vn 发散 ,
因此 lim un u N 0 , 所以级数发散.
n
un1 说明: 当 lim 1 时,级数可能收敛也可能发散. n u n 1 un1 ( n 1) p lim lim 1 1 例如, p – 级数 n u n n p
n
但
p 1, 级数收敛 ; p 1, 级数发散 .
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例5. 讨论级数
解:
的敛散性 .
un1 (n 1) x n lim lim x n1 n u n nx n
根据定理4可知:
当0 x 1 时, 级数收敛 ;
当x 1时, 级数发散 ; 当x 1时,
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二 、交错级数及其审敛法
根据比较审敛法可知, 所给级数发散 .
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定理3. (比较审敛法的极限形式) 设两正项级数
un 满足 lim l , 则有 n vn
(1) 当 0 < l <∞ 时, 两个级数同时收敛或发散 ;
(2) 当 l = 0 (3) 当 l =∞ 证: 据极限定义,
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1 n 1 1 lim 1 n e n e
2


n 1

n2 n (1) n 收敛, 因此 e
n2 (1) n n 绝对收敛. e n 1

小结
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内容小结
1. un 收敛 部分和数列 {S n } 有极限
2. 判别正项级数敛散性的方法与步骤
解: 1) 若 p 1, 因为对一切
1 n
1 而调和级数 发散 , 由比较审敛法可知 p 级数 n 1 n
发散 .

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2) 若 p 1, 因为当
n 1 1 dx p p n 1 n n n 1 1 1 1 p 1 dx p 1 p n 1 x p 1 (n 1) n
证: (1) 当 1时,
un1 存在 N N , 当n N 时, 1 un
收敛 , 由比较审敛法可知
un 收敛.
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(2) 当 1 或 时, 必存在 N N , u N 0, 当n N 时 从而
un 1 un un 1 u N
n 1
rn un 1 .
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证: S 2n (u1 u2 ) (u3 u4 ) (u2n 1 u2n )
S 2n u1 (u2 u3 ) (u4 u5 ) (u2n 2 u2n 1 ) u2n
2
1 根据比较审敛法的极限形式知 ln 1 2 收敛 . n n 1
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定理4 . 比值审敛法 ( D’alembert 判别法) un1 , 则 设 为正项级数, 且 lim n u n (1) 当 1 时, 级数收敛 ; (2) 当 1 或 时, 级数发散 .
n 1
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是两个正项级数,
(1) 当 0 l 时, 两个级数同时收敛或发散 ;
(2) 当 l 0 且 vn 收敛时,
也收敛 ;
也发散 .
(3) 当 l 且 vn 发散时,
注: 1) un , vn均为无穷小时, l 的值反映了它们不同阶的比较. 1 2) 特别取 vn p , 对正项级数 un , 可得如下结论 : n
条件收敛 Leibniz判别法:
un un 1 0
n
lim u n 0
则交错级数 (1) n u n 收敛
n 1
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思考与练习
2 设正项级数 u n 收敛, 能否推出 u n 收敛 ? n 1 2 un lim n u n n 1
(B) 绝对收敛;
(D) 收敛性根据条件不能确定. ∴ (B) 错 ;
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上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?
1 1) ; n 1 n
发散

1 2) ; n 1 n !
收敛

n 3) n . n 1 10
收敛
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三、绝对收敛与条件收敛
定义: 对任意项级数
数 若 收敛 , 则称原级
绝对收敛 ；
若原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散, 则称原级 数 条件收敛 .
5 (2), (4)
第三节
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备用题
1. 判别级数的敛散性:
不是 p–级数
解: (1)
1 n 发散 , 故原级数发散 . n 1
(2)


1 n 发散 , 故原级数发散 . n 1
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2.
则级数
C
(A) 发散 ;
(C) 条件收敛 ; 分析: 又

1 n 4 收敛 , n 1




n 1
sin n 收敛 4 n
sin n 因此 绝对收敛 . 4 n 1 n
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(2) 令
n2 n (2) (1) n e n 1

u n 1 lim n u n
(n 1) 2 en1 lim n n2 en
u n 2 vn u n
n 1 n 1
un , 2 vn 收敛
n 1
n 1
un 也收敛
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例7. 证明下列级数绝对收敛 : 2 sin n nn (1) 4 ; (2) (1) n . e n 1 n n 1
sin n 1 证: (1) 4,而 4 n n
收敛 ,
故有界.
∴部分和数列
收敛 , 从而
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单调递增,
也收敛.
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定理2 (比较审敛法) 设
且存在 对一切 有
是两个正项级数, (常数 k > 0 ), 也收敛 ;
(1) 若强级数 (2) 若弱级数
收敛 , 则弱级数 发散 , 则强级数
也发散 .